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TEORÍA DE CIRCUITOS CIRCUITO ELÉCTRICO

TEORÍA DE CIRCUITOS CIRCUITO ELÉCTRICO: DEFINICIONES

CIRCUITO ELÉCTRICO REAL CABLES CONDUCTORES

DISPOSITIVOS

DISPOSITIVOS ELÉCTRICOS O ELECTRÓNICOS

ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS

N1 E2

NO NUDO (CONEXIÓN EN SERIE)

E3

ELEMENTOS DE CIRCUITO ANÁLISIS DE CIRCUITOS:

1

+

DETERMINACIÓN DEL VALOR DE LAS VARIABLES DE CIRCUITO:

v(t) = v1(t) - v2(t) i(t) = i1(t) = i2(t)

v(t) i2

CORRIENTES EN LAS RAMA Y TENSIONES EN LOS NODOS LEYES DE KIRCHHOFF

MAGNITUDES Y VARIABLES IMPLICADAS EN EL ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE CIRCUITOS

Intensidad de corriente, i ( t ) = d q ( t ) , Amperio (A) dt

Flujo magnético, φ(t), Webers (Wb) Trabajo por unidad v ( t ) = d W ( t ) Tensión eléctrica, de carga dq Voltio (V) Ley de Faraday v( t ) = d φ ( t ) dt

- Variables relacionadas Energía, W ( t ) =

³ p ( τ ) dτ

–∞

t

=

³ ( v ( τ ) ⋅ i ( τ ) ) dτ

, Julios (J)

–∞

d Potencia, p(t), p ( t ) = W ( t ) = v ( t ) ⋅ i ( t ) ,Watios (W)

nombre

símbolo

factor multiplicativo

femto

f

x 10-15

pico

p

x 10-12

nano

n

x 10-9

micro

µ

x 10-6

mili

m

x 10-3

kilo

k

x 103

mega

M

x 106

giga

G

x

109

tera

T

x 1012

dt

Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

Dep-Leg. Nº : MA-686-2003

RELACIÓN TENSIÓN-CORRIENTE

(LKI)

EN LOS TERMINALES

(LKV)

DE LOS ELEMENTOS DE CIRCUITO

LEYES DE KIRCHHOFF

Prefijos empleados en las unidades

Carga eléctrica, q(t), Culombios (C)

t

CORRIENTES Y TENSIONES EN LOS ELEMENTOS DE CIRCUITO

2

- Variables básicas asociadas al campo electromagnético

E6

MALLA O LAZO

NUDO DE TIERRA

ELEMENTO DE CIRCUITO

NODOS IDEALES

E5

N0

CONEXIONES

i1

N2

E4

E1

MODELO DE CIRCUITO ELÉCTRICO REAL CABLES IDEALES

CONEXIÓN EN PARALELO

NUDOS

RAMA

LEY DE KIRCHHOFF DE TENSIÓN (LKV)

LEY DE KIRCHHOFF DE CORRIENTE (LKI)

_ i1

v1

_ i4

N1

_

v2

v4

+

+

N2

i3

i2

+

_

i 1 + i2 – i3 –i4 = 0

v3

+

v 1 – v 2 – v3 + v 4 = 0

O BIEN

i1 + i 2 = i3 + i 4 Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

O BIEN

v1 – v2 – v3 = – v 4 Dep-Leg. Nº : MA-686-2003

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4/24

ELEMENTOS DE CIRCUITO REFERENCIAS DE CORRIENTE Y TENSIÓN

ELEMENTO PASIVO

CRITERIO ELEMENTO PASIVO

ELEMENTOS DE CIRCUITO

p( t) = v( t) ⋅ i( t) > 0

∀t

FUENTE INDEPENDIENTE DE TENSIÓN

Consume energía o es capaz de almacenarla

i

i

+

V

i

i

+

V_

ELEMENTO ACTIVO

+

FUENTE INDEPENDIENTE DE INTENSIDAD

i

+

v

_

V

Todo aquel que no es pasivo

v

En un circuito siempre se cumple la ecuación

∑ Potencia suministrada = ∑ Potencia consumida

v

p ( t ) = V ⋅ i( t )

Dado V > 0 p( t) > 0

si i > 0 ∀t

Elemento pasivo

Dado I > 0 p ( t ) = I ⋅ v ( t ) p( t) > 0 si v > 0 ∀t Elemento pasivo

p( t) < 0

si i < 0 ∀t

Elemento activo

p( t) < 0

R=1Ω iR

RESISTENCIA (Ω Ohmio)

R(Ω) +

Ley de Ohm

v

_

2

2 v (t) p ( t ) = ------------ = R ⋅ i ( t ) > 0 R

1 --- = G R

v ( t -) i ( t ) = -------R

p( t) = v(t) ⋅ i( t) > 0

Ley de Ohm

i1

∀t

+

V1= vR+ V2

vR

_

+ _

+

V2=3V

V1=5V

vR= 2V

i2

LKI:

Elemento pasivo

pV1 = V1 i1 = -10W < 0 Elemento activo Elemento pasivo

pV2 = V2 i2 = 6W > 0

CIRCUITO ABIERTO

CORTOCIRCUITO

i

i +

v

i

i

R = 0 V = 0

_ 0,0

v

MODELADO DE UNA FUENTE DE TENSIÓN REAL R→∞

E 0,0

v

MODELADO DE UNA FUENTE DE INTENSIDAD REAL

i

i

I = 0

+ v _

Rs

v

+ v

E

I

+ Gs v

Rs

-

v = Rs i + E

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Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

i

I

Gs

v

i

Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

i1= -iR i2 = iR i1= -2A i2= 2A

vR= RiR iR= 2A

pR = vR iR = 4W > 0

_

Elemento pasivo

v

Elemento activo

Ej: Determinar los valores de i1,i2 vR e iR. LKV:

i

si v < 0 ∀t

¿Qué elementos son pasivos y cuáles activos? Realizar el balance energético

ELEMENTOS DE CIRCUITO BÁSICOS: Relación tensión-corriente

i

I

I

v

Capaz de proporcionar energía

-

_

i

i = Gs v + I

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ANÁLISIS DE CIRCUITOS

ELEMENTOS DE CIRCUITO NUDO

RAMA

NO NUDO

Posibles variables incognita en un circuito: - Intensidades y tensiones en los elementos (en todos o en alguno/os en particular)

ELEMENTOS DINÁMICOS

- Tensiones entre dos nudos cualesquiera CONDENSADOR (F Faradio)

+ v

_

i i = C

dv dt

Elemento pasivo almacenador de energía eléctrica

i v = L

v _

- Intensidad en cualquiera de las ramas Algoritmos de solución: MALLA

ELEMENTO

1 2 W = --- Cv 2

C(F)

INDUCTANCIA (H Henrio)

+

Elemento pasivo almacenador de energía eléctrica

di dt

Plantear y resolver un conjunto mínimo de ecuaciones e incognitas que permitan calcular cualquiera de las posibles incognitas en un circuito.

ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS Identifica los nudos (son N), las ramas (son R), y las mallas independientes (son R - (N-1)).

1 2 W = --- Li 2

L(H)

Da un nombre y un sentido a la intensidad en las ramas sin fuentes de intensidad, y da nombre y polaridad a la caída de tensión en las fuentes de intensidad (ambos tipos de variables son las incógnitas del sistema de ecuaciones mínimo).

ic

+

I = βic

-

+

-

paso anterior

V = rm ic

ic

Si hay fuentes controladas, pon la variable de control (ic o vc) en función de las incógnitas.

FVCI

FICI + vc _

Da una polaridad a la caída de tensión en los elementos. i

FUENTES CONTROLADAS

_ v c

V = kvc

I = gm vc

FICV

Escribe las ecuaciones de Kirchhoff en los nudos, y descarta una cualquiera.

+ Escribe las ecuaciones de Kirchhoff en las mallas, sustituyendo al tiempo la relación tensión-intensidad que imponen los elementos de circuito.

Resuelve el sistema de ecuaciones resultante de los dos pasos anteriores.

FVCV

Escribe la variables incognita del circuito en términos de la solución obtenida en el paso anterior.

Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

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Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

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ANÁLISIS DE CIRCUITOS

ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS: EJEMPLO (continuación)

ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS: EJEMPLO Ej: Determinar los valores de las corrientes y las tensiones en todos los elementos del circuito de la figura (Cálculo del punto de operación o análisis dc). R2=1Ω

R1=1Ω

R3=1Ω

E=5V

Variables cuyo valor hay que calcular:

Ej: Determinar los valores de las corrientes y las tensiones en todos los elementos del circuito de la figura (Cálculo del punto de operación o análisis dc). i i R1 R1 N1 R2 R2 R2=1Ω R1=1Ω _

-Tensión e Intensidad en cada uno de las resistencias (vR1,iR1,vR2,iR2,vR3,iR3). - Intensidad en la fuente de tensión E,( iE )

I=1A

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ANÁLISIS DE CIRCUITOS

I=1A

R3=1Ω

E=5V

iE

vR1 +

+ _

1º ) N = 2 (N0 y N1) ; R = 3 (R1, R2, R3)

E

+

M = R - (N-1) = 2 (M1 y M2) R1

N1

R1

R2 R1

R2

N1

i1

R3

E

R1

R3 M1

I

E

M2

R3

R2

R2

i3

+

R3

vI I _

N0

N0 5º ) Cálculo de las variables que pide el enunciado en función de las variables calculadas ende 4º) vR1 = R1i1 iR1 = i1

N1:

i1 - i 3 + I = 0

M1: R1i1 + E+ R3i3 = 0

vR2 = R2I iR2 = I

vR3 = R3i3 iR3 = i3

Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

_

+

vI

R3

_

I

5º ) Variables que pide el enunciado vR2 = R2I vR3 = R3i3 vR1 = R1i1 iR3 = i3 iR2 = I iR1 = i1 vI Se calcula en 4º)

M2: R2I+ vI+ R3i3 = 0

i E = i1

Solución del sistema de ecuaciones y cálculo numérico Método de sustitución De N1 i1 = i3 -I

N0

3º ) Elección de Referencias de las Variables 4º ) Planteamiento del sistema de ecuaciones de los elementos de circuito N -1 ecuaciones de nudos y iR1 iR2 M ecuaciones de malla R1 N1 R2 _ _ + N1: i1 - i3 + I = 0 vR1 + _ vR2 iE iR3 + + M1: R1i1 + E+ R3i3 = 0 vR3 vI I E _ + R M2: R2I+ vI+ R3i3 = 0 _ 3

vR2

N0 4º ) Sistema de ecuaciones

2º ) Selección de variables independientes: i1, i3,vI

iR3

vR3

-Tensión en la fuente de intensidad I, (vI ).

Aplicación del algoritmo de resolución de circuitos

+

_

De donde i1 =

sustituyendo en M1 R1i3 -R1I+ Ri3 = -E

R1I - E -I = R1+ R3

De M2 vI = - R2I - R3i3

i3 =

R1I - E R1+ R3

R3I + E R1+ R3

sustituyendo i3

vI = - R2I -

R3 (R1I - E) R1+ R3

Sustituyendo valores numéricos i3 = -2A

i1 = -3A vI = 1V

y finalmente vI Se calcula en 4º) i E = i1 Dep-Leg. Nº : MA-686-2003

vR1 = -3V iR1 = -3A

vR2 = 1V iR2 = 1A

vR3 = -2V iR3 = -2A

Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

vI = 1V E = 5V I = 1A iE = -3A Dep-Leg. Nº : MA-686-2003

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ANÁLISIS DE CIRCUITOS ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS: EJEMPLO (continuación)

Ej: Determinar los valores de las corrientes y las tensiones en todos los elementos del circuito de la figura (Cálculo del punto de operación o análisis dc).

+

vAB

Solución del Sistema de ecuaciones N1:

_

i1 -

i1 - i 3 + I = 0

M2: R2I+ vI+ R3i3 = 0

i3 = - I

R1i1 + R3 i3 = -E

M1: R1i1 + E+ R3i3 = 0

v I+

+ R3i3 = - R2I

0 1 –1 vI 0 R1 R3 i = 1 1 0 R3 i 3

–I –E –R2 I

∆ =

iAB

B iAB A CIRCUITO EQUIVALENTE

= R1 + R3

–I 1 –1 –E R1 R3 –R2 I 0 R3 – IR 1 R 3 + R 3 E – IR 2 R 3 – IR 2 R 3 v I = ------------------------------------- = ----------------------------------------------------------------------------R 1 + R3 ∆

+

1 0 –R2 I 0 – E + R1 I i 3 = ---------------------------------- = --------------------------R1 + R3 ∆

+

iE2

E1

vE1

_

E2

vE2

+

i1 - i3 = - 1 vI+

∆ =

+ i3 = - 1

0 1 –1 0 1 1 1 0 1

–1 1 –1 –5 1 1 –1 0 1 –1+4–1 v I = ---------------------------- = ------------------------- = 1V ∆ 2

= 2≠0

0 1 –1 0 1 –5 1 0 –1 0–5+1 i 3 = ------------------------ = --------------------- = – 2 A ∆ 2

vI

–I –1 i1 = A –E –R2 I i3

V1

_

E

+

iE1= iE2 = iAB vE1+ vE2 = vAB

_

vI

R1 R3 –R3 R1 + R3 –I 1 i 1 = ------------------- R 3 1 0 –E R1 + R3 – R2 I i3 –R1 1 0

V2

V =

VN

vAB

B

_

N

¦ Vi

R = R1

i=1

EQUIVALENTE DE ELEMENTOS EN PARALELO iAB A A

+ +

Formulación Matricial –I A i1 = –E –R2 I i3

iAB

N

0 –1 –1 0 –5 1 1 –1 1 0–1–5 i 1 = ---------------------------- = --------------------- = – 3A ∆ 2

vI

B

A

B

vAB

vAB

iAB B

EQUIVALENTE DE ELEMENTOS EN SERIE iE1

A

_

Sustituyendo valores numéricos

i1 + i3 = -5

CIRCUITO EQUIVALENTE

iAB B

A

B PUERTO

+

vAB _

0 1 –I 0 R1 –E

0 –I –1 0 –E R 3 1 –R2 I R3 0 – R3 I – E i 1 = ---------------------------------- = -------------------------R1 + R3 ∆

B

iAB A

+

Regla de Cramer 0 1 –1 0 R1 R3 1 0 R3

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ALGUNOS RESULTADOS BÁSICOS DE ANÁLISIS EQUIVALENCIAS iAB A A A

vE1 E1 _

iE1 iE2

+

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RN

iAB E

vAB

N

I = I2

B

¦ Ii i=1

_ IN

+ E2

i=1

I1

vE2 vAB _

vE1= vE2 = vAB iE1+ iE2 = iAB

R1

N

R2

_ B

Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

R2

¦ Ri

Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

1 --- = R

1

¦ ---Ri

i=1

RN Dep-Leg. Nº : MA-686-2003

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ALGUNOS RESULTADOS BÁSICOS DE ANÁLISIS

12/24

ALGUNOS RESULTADOS BÁSICOS DE ANÁLISIS

EQUIVALENCIAS ERRORES N

R = 0 V = 0

-V

V

V

R =

V R1

R2

RN

∑ Ri i=1

I1 V1

Si R→∞ I = 0

I

-I

I

I2

V2

Si

V1 ≠ V2

I1 ≠ I 2

I

EJEMPLO: Si es posible la asociación y obtener un equivalente en el caso de fuentes reles i Rs1

DIVISOR DE TENSIÓN i

Rb

+

+

v

Ra

_

vo

_

Ejercicio: i Rb

v i = ------------------Rb + R a vo = R a i

+ Ra v o = ------------------- v Rb + R a

+ Ra

v

_

va ?

_

Rs2

iE1+ + iE2 E1 vE1 vE2

+

RTH i

+

E2

_ _

vo ?

v

_

ETH

v

v = RTH i + ETH

_

_

vE1 = Rs1 iE1 + E1

E

+

vE2 = Rs2 iE2 + E2

vE1= vE2 = v iE1+ iE2 = i

R s1 R s2 R TH = ----------------------R s1 + R s2 R s1 E 2   R s2 E 1 E TH =  ----------------------+ ---------------------- R + R R  s1 s2 s1 + R s2

DIVISOR DE INTENSIDAD i

+ ib v

_

ia Rb Ra

Ra Rb v = ------------------- i Ra + Rb

Ejercicio: io? i

vi a = ----Ra

Rb i a = ------------------- i Ra + Rb

v i b = -----Rb

Ra i b = ------------------- i Ra + Rb

Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

ia?

+ ib v

_

Rs1 iE1 + E1 = Rs2 iE2 + E2 iE2 = i - iE1

Rb

Ra

Rs1 iE1 + E1 = Rs2 (i - iE1) + E2

R s2 E2 – E1 i E1 = ----------------------- i + ----------------------R s1 + R s2 R s1 + R s2 R s1 R R s1 E 2   R s2 E 1 s2 v = ----------------------- i +  ----------------------+ ---------------------- R s1 + R s2  R s1 + R s2 R s1 + R s2

v = Rs1 iE1 + E1 I

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ALGUNOS RESULTADOS BÁSICOS DE ANÁLISIS EQUIVALENTES THEVENIN Y NORTON A

Elementos de Circuito Resistencias, Fuentes de Tensión Fuentes de Corriente

i

ALGUNOS RESULTADOS BÁSICOS DE ANÁLISIS EQUIVALENTES THEVENIN Y NORTON: Ejemplo NORTON RTH R1 R2 + I1

VI

V1

CÁLCULO DE LA TENSIÓN THEVENIN:

v

_

R1

_

+

R2

_

i

I1

B

(c) VI

+ _

+

(b)

_

V1

+

i2 i3

+ _

(a)

(a) ETH = -i3R3

ETH

R3

(b) ETH = i2R2 + V1

+

(c) ETH = i2R2 + I1R1 + VI

_ EQUIVALENTE THEVENIN

EQUIVALENTE NORTON i

i ETH

RTH

v

+ v

ETH

IN RTH

+ Gs v

-i3R3 = i2R2 + V1 i3(R3 + R2) = - V1 i2 = i3

i -IN

-

-

v GN

i

v = RTH i + ETH

RN = RTH IN = ETH/ RTH

THEVENIN

+ CIRCUITO EQUIVALENTE

i3 =

- V1

ETH =

(R3 + R2)

R3 V1 (R3 + R2)

CÁLCULO DE LA RESISTENCIA THEVENIN: SE ANULAN LAS FUENTES:

i = GN v - IN

RN

_

A

B

IN

ETH

R3

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I1 = 0

I1

V1 = 0

V1

GN = 1/RTH

R1

ETH TENSIÓN THEVENIN

R2

ETH = v cuando i = 0 R3

RTH RESISTENCIA THEVENIN

R2

R3

RTH = R2 || R3 RTH = R2R3/ (R2 + R3)

Es la resistencia equivalente vista desde los terminales A y B cuando se anulan las fuentes independientes

INTENSIDAD Y RESISTENCIA NORTON:

IN INTENSIDAD NORTON IN = ETH / RTH

RN = RTH

RN RESISTENCIA NORTON

IN = V1/ R2

RN = RTH

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IN = ETH/ RTH

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Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

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Ejemplo de análisis: Circuito con fuentes controladas

Ejemplo de análisis: Circuito con fuentes controladas

Ej: Determinar la tensión en el nudo 1 (N1) y la corriente iB en el circuito de la figura. iB R2=0,8kΩ R1=2kΩ

Ej: Determinar la tensión en el nudo 1 (N1) y la corriente iB en el circuito de la figura (Continuación).

N1 R3=1kΩ VB=0,7V I = β iB

_

Variables cuyo valor hay que calcular: -Tensión en el nudo (N1) ( vN1 )

VC=5V

iR1 R1 N1

i B = i1 +

- Intensidad ( iB )

_

vI

β= 50

1º ) N = 2 (N0 y N1) ; R = 3 (R1, R2, R3) M = R - (N-1) = 2 (M1 y M2) R2

R2

R1

2º ) Selección de variables independientes: i1, i2,vI iB i1

VB

VB

M2 VC

M1

I = βiB

N0

R2

R2

R1 N1 R3

R3

i2

+

vI

_

VC

N0

+ _

VB

vR1 + + vR3 vI

_ + _

+v R2 iR3

_

R3

VC_

vN1 = R3βi1+ vI o bien

I = βi 1

_

vN1 = R1i1+ VB

+

VC_

I = β i1

N1:

i1 + i2 + βi1 = 0

M2: R2i2 + VC - vI - R3βi1 = 0

¡Basta con calcular

i1 + i2 + βi1 = 0

i1 para evaluar iB y vN1 ! ( β+ 1) i1 + i2 = 0

(a)

M1: R1i1 + VB - vI - R3βi1 = 0

(b) vI - (R1 - R3β) i1

M2: R2i2 + VC - vI - R3βi1 = 0

(c) vI +

i2 = -( β+ 1) i1

De (a)

Restando (d)- (b) se obtiene Y finalmente i1 =

= VB

R3β i1 - R2 i2 = VC

sustituyendo en (c) se obtiene (d) vI + [R2 ( β+ 1) + R3β] i1 = VC

{ [R2 ( β+ 1) + R3β] + (R1 - R3β) } i1

= VC − VB

VC − VB R2 ( β+ 1) + R1

Al sustituir los valores numéricos hay que tener cuidado con las unidades en las que vienen expresadas los diferentes elementos i1 =

5V − 0,7V

4,3V

0,8kΩ x ( 50+ 1) + 2kΩ

Y finalmente iB = i 1 vN1 = R1i1+ VB

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vN1 = R2i2+ VC

Solución del Sistema de ecuaciones

M1: R1i1 + VB - vI - R3βi1 = 0

N0 Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

o bien

I = β i1

3º ) Elección de Referencias de las Variables 4º ) Planteamiento del sistema de ecuaciones de los elementos de circuito N -1 ecuaciones de nudos y iR2 iR1 iB = i1 M ecuaciones de malla R1 N1 R2 _

+

R3

R1=2kΩ R2=0,8kΩ R3=1kΩ VB = 0,7V VC = 5V β= 50

N1:

R1

N1 R3

R3

_

N0

Aplicación del algoritmo de resolución de circuitos

iB

vR2

5º ) Cálculo de las variables que pide el enunciado en función de las variables calculadas ende 4º) iB = i1

R2

iR3

_ +

N0

R1

+

vR1 + + vR3

VB

iR2

=

42,8kΩ

= 0,10 mA

iB ≅ 0,10 mA vN1 ≅ 2kΩ x 0,10 mA+ 0,7V ≅ 0,9V

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CIRCUITOS CON ELEMENTOS DINÁMICOS

i

18/24

CIRCUITOS CON ELEMENTOS DINÁMICOS ANÁLISIS TRANSITORIO: Carga y Descarga de Condensadores

vs

Ra

i

VA

+

vs

t

iC

V

vo

Ra

R

_

iC = C

VA

+

C

2

t

vo

Ra

Ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes de primer orden

_ v C = Ke

Solución

T T grande T pequeño

– αt

dt

C

– αt

vx

+

+ vy

_

_

+

vx

vy

Cout

vC V- = 0 - – ------+ ------RC RC

dv C

= – αKe

– αt

– αt

, sustituyendo ambas arriba

– αt K β V  ------- – αK e + -------- – -------- = 0  RC  RC RC

+ β- – ------Ke V- = 0 + ----------------------RC RC

t β - – ------V- = 0 ------RC RC

K- – αK = 0  ------ RC 

VIL

1 α = -------RC

vy

+

dt

V – vC = --------------R

Esta expresión ha de ser válida para cualquier valor de la variable t por lo que se ha de cumplir simultaneamente que

VIH vx

dv C

donde K, α y β son constantes por determinar

+β

Dada esta solución y por tanto que – αKe

Cin

dt

dv c

dt

_

dv C

vo

Ra

vs

iC = i

_

T i

+ vC

C

V – vC i = --------------R

iR + v C – V = 0

β = V

Con lo que hemos determinado el valor de dos de las tres constantes de forma que

VOH

la solución puede escribirse ahora t

v C = Ke

t – -------RC

+V

K se calcula a partir de la condición inicial vC (t=0) = v0.

_

VOL

Finalmente Real Ideal

Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

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v C = ( v 0 – V )e

t– ------RC

K = v0 – V t

+V

Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

V – v 0 – ------RC i C =  --------------- e  R 

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CIRCUITOS CON ELEMENTOS DINÁMICOS ANÁLISIS TRANSITORIO: Carga y Descarga de Condensadores i

R

+

iC

V

v C = ( v 0 – V )e

t

t=0

C

+

– ------- RC vC = V  1 – e   

V

V

vC

t

_

V/R (1/e)(V/R)

t

τ = RC

Descarga del condensador

V

C

vC

_

t2

vC = v0e

t – -------RC

(v0/e)

iC

t4

τ = RC t

tf = t4 − t3

Cálculo de tf

τr = CRC constante de tiempo durante la carga

τf = CRD constante de tiempo durante la descarga

vC = v0e

– ----  τr 0, 1V = V  1 – e     

– ---t τf

t 1 ≈ 0, 1τ r

0, 9v 0 = v 0 e

t

– ---2-  τr 0, 9V = V  1 – e     

τ = RC

t

tr = t2 − t1

tf

t1

t

v – ------RC i C = – ----0- e R

t3

t

v0

i

+

tr

t

0,1v0

– ----  τr vC = V  1 – e     

vC

vC (t=0) = v0

iC

t1

Cálculo de tr

τ = RC constante de tiempo

R

t

0,1V

iC t – --------

t=0

v0

0,9v0

V(1-1/e)

τ = RC

V RC i C = --- e R

V = 0

vC

vC t

iC

Descarga del condensador

vC

0,9V

v0 = 0

V

Tiempo de bajada tf

Tiempo de Subida tr Carga del condensador

+V

V – v 0 – ------RC i C =  --------------- e  R 

_

Carga del condensador

R

t – -------RC

vC

C

i

CIRCUITOS CON ELEMENTOS DINÁMICOS ANÁLISIS TRANSITORIO: Carga y Descarga de Condensadores Tiempo de Subida tr y tiempo de bajada tf

t 2 ≈ 2, 3τ r

t r ≈ 2, 2τ r

0, 1v 0 = v 0 e

t – ---3 τf

t – ---4 τf

t 3 ≈ 0, 1τ f

t 4 ≈ 2, 3τ f

t f ≈ 2, 2τ f

-v0/R Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

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CIRCUITOS CON ELEMENTOS DINÁMICOS ANÁLISIS TRANSITORIO: Carga y Descarga de Condensadores Respuesta para un tren de pulsos Si el interruptor S conmuta con frecuencia f = 1/T

Ej: En el circuito de la figura, el interruptor S1 se cierra en el instante t =0 s. y se vuelve a abrir en el instante t = 4 ms. Si inicialmente el condensador está descargado, encuentra la expresión de vC (t) para t ≥ 0 Dibuja esquemáticamente la forma de onda de onda de vC

y ton= toff

i

S on R

V

con T= ton+ toff

CIRCUITOS CON ELEMENTOS DINÁMICOS ANÁLISIS TRANSITORIO: Ejemplo

+

iC

off

va

C

_

va

+

V

vC

ton

T

R3

toff

S1

I

t

_

t = 0s t = 4 ms

R1

E

R2

E=5V I=10mA C = 10µF

+

iC R4

vC

C

_

R1=6kΩ R2=4kΩ

R3=2kΩ R4=3kΩ

0

R va

T > tr+tf vC ton >> tr= tf V

i iC

+

C

_

t

vC 0 T ≅ tr+tf ton ≅ tr= tf

0,9V

Tiempo de subida

0,1V 0

Tiempo de bajada t f ≈ 2, 2τ f

C

vC

Constante de tiempo τf = τr = CR t r ≈ 2, 2τ r

Según el enunciado para valores 0 ≤ t ≤ 4 el interruptor S1 está cerrado por lo que se tiene el siguiente circuito, y donde el condensador, que esta inicialmente descargado comenzara a cargarse. Rc i 0 ≤ t ≤ 4 v0 = v C ( 0 ) = 0 R1 R3 iC + Veqc S1 iC + vC C I E R4 R2 _ vC

_ t

– ----------  R c C v C = V eqc  1 – e    

t

Por otra parte, para t ≥ 4 el interruptor S1 se abrirá por lo que se tendrá el siguiente circuito, donde ahora el condensador, que posee una carga inicial que corresponde al valor que en el caso anterior se alcanza en el instante t=4, se descargará. Asi, en este circuito de descarga, el instante inicial corresponde a t=4 y por tanto v 0 = v C ( 4 ) calculada a partir de la expresión 4 obtenida en el caso anterior. – ---------- 

T ≅ τ r= τ f ton ≅ τr= τf v C 0,9V t 0,1V 0

Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

R3

I

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E

R2

t ≥ 4 v 0 = v C ( 4 ) = V eqc  1 – e  S1

iC

+

C

_

R4

Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

vC

R c C

 

vC = v0e

t – ---------Rd C

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CIRCUITOS CON ELEMENTOS DINÁMICOS ANÁLISIS TRANSITORIO: Ejemplo (Continuación)

CIRCUITOS CON ELEMENTOS DINÁMICOS ANÁLISIS TRANSITORIO: Ejemplo (Continuación)

Durante el proceso de carga, 0 ≤ t ≤ 4 se tiene, v 0 = vC ( 0 ) = 0

Rc

i

Durante el proceso de descarga, t ≥ 4 se tiene, 4

A

+

iC

Veqc

4– ---------- – ----  R c C 12  v 0 = v C ( 4 ) = V eqc 1 – e = 3  1 – e  = 0, 85V      

t

– ----------  R c C v C ( t ) = V eqc  1 – e    

vC

C

R3

_ S1

I

B

E

Veqc es la tensión Thevenin, mientras que Rc es la resistencia Thevenin R3

A S1

I

E

+

iC R4

R2

B

C

E=5V I=10mA C = 10µF

vC R1=6kΩ

R3=2kΩ

R2=4kΩ

R4=3kΩ

_

_

vC

t≥4 vC ( t ) = v0e

v C ( t ) = 0, 85e

t – ---------Rd C

t – -----30

vC (V) R3

R3

R1

A

S1

E

C

τd = CRd = 30ms

Rd = R4 = 3kΩ

- Cálculo de Veqc.

I

+

R4

R2

visto desde los terminales A y B R1

iC

R4

R2

S1

+ E

Veqc

3

+

R4

R4 V eqc = E ------------------R3 + R4

_

_ B

V 3(1-1/e)2

Veqc = 3V

0,85 1

- Cálculo de Rc. R1

τc = CRc = 12ms

R3 A

S1

R2

R4

R4 R3 R c = -----------------R3 + R4

Rc = 6/5kΩ B

Material Auxiliar de Clase de Dispositivos Electrónicos

t

– ----- 12 vC( t ) = 3 1 – e   

0,85/e)

t (ms) 0 0

4

8

12 16 18 20 22 24 26 28 30 34 τd = 30ms τc = 12ms

0≤t≤4

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