Tsunami Teoria ogólna Tsunami jako soliton? Podsumowanie

Teoretyczne podstawy modelowania tsunami Jacek Grela

04.04.2011 / Seminarium UJ

Jacek Grela

Tsunami Teoria ogólna Tsunami jako soliton? Podsumowanie

O czym bedziemy ˛ mówi´c? Tsunami Tsunami - zjawisko przyrody Teoria ogólna Równania Stokesa Przybli˙zenia Solitony Odkrycie samotnej fali i równanie KdV Inne nieliniowe modele Podsumowanie Podsumowanie Literatura Jacek Grela

Tsunami Teoria ogólna Tsunami jako soliton? Podsumowanie

Zjawisko

Tsunami jako zjawisko przyrody

Tsunami to trzy fazy: I

Wytworzenie

I

Propagacja

I

Załamanie przy brzegu (powód´z)

Jacek Grela

Tsunami Teoria ogólna Tsunami jako soliton? Podsumowanie

Zjawisko

Generacja Głównie trzesienia ˛ ziemi, rzadziej wybuchy wulkanów

Teoria: Dynamika płyt tektonicznych Jacek Grela

Tsunami Teoria ogólna Tsunami jako soliton? Podsumowanie

Propagacja

Teoria: Ruch falowy Jacek Grela

Zjawisko

Tsunami Teoria ogólna Tsunami jako soliton? Podsumowanie

Zjawisko

Run-up The Great Wave Off Kanagawa, Hokusai XIX w.

Teoria: Metody numeryczne głównie

Jacek Grela

Tsunami Teoria ogólna Tsunami jako soliton? Podsumowanie

Zjawisko

Wystepowanie ˛ i skutki

‘04 na Oceanie Indyjskim: 250 tys. ofiar ’11 w Japonii: 20 tys. ofiar Jacek Grela

Tsunami Teoria ogólna Tsunami jako soliton? Podsumowanie

Równania Stokesa Przybli˙zenia

Równania Stokesa Stokes 1847 - wychodzimy z równan´ Eulera (nie´sci´sliwa, nielepka ciecz): ∂ρ + ∇ · (ρu) = 0 ∂t   0  ∂u  ρ + u · ∇u =  0  − ∇p ∂t −ρg ρ = const → ∇ · u = 0 ∇ × u = 0 → u = ∇φ

Jacek Grela

(1)

(2)

Tsunami Teoria ogólna Tsunami jako soliton? Podsumowanie

Równania Stokesa Przybli˙zenia

Warunki brzegowe η (x,y,t) h(x,y,t)

Z

100 0 -100 -200 -300 -400 -500 -600

10 5 0 Y

-10 -5

-5 0 5 10

X

Jacek Grela

-10

Tsunami Teoria ogólna Tsunami jako soliton? Podsumowanie

Równania Stokesa Przybli˙zenia

Równania

∇2 φ = 0 dla − h(x, y ) < z ∇φ · ∇(z + h(x, y )) = 0 dla z ∂t η + ∂x η ∂x φ + ∂y η ∂y φ = ∂z φ dla z 1 2 ∂t φ + 2 |∇φ| + gη = 0 dla z

< η(x, y , t) = −h(x, y ) = η(x, y , t) = η(x, y , t)

Laplace + 3 dynamiczne równania brzegowe... wygladaj ˛ a˛ cie˙ ˛ zko.

Jacek Grela

Tsunami Teoria ogólna Tsunami jako soliton? Podsumowanie

Równania Stokesa Przybli˙zenia

Przybli˙zenie

Wprowadzamy parametry: a d  2 d β = λ

α =

Gdzie: a − amplituda, d − głeboko´ ˛ sc´ zbiornika, λ − długo´sc´ fali. Antycypujemy te˙z pewna˛ predko´ ˛ sc´ fali v

Jacek Grela

Tsunami Teoria ogólna Tsunami jako soliton? Podsumowanie

Równania Stokesa Przybli˙zenia

Za pomoca˛ tych wielko´sci wprowadzamy zmienne bezwymiarowe: x → λx, y → λy , z → dz, t → λv t η → aη, h → dh, φ → gaλ v φ Przeskalowane równania:

β(φxx + φyy ) + φzz = 0 dla − h(x, y ) < z < η(x, y , t) β(φx hx + φy hy ) + φz = 0 dla z = −h(x, y ) βηt + αβ(φx ηx + φy ηy ) = φz dla z = αη(x, y , t) dla z = αη(x, y , t) βφt + 12 αβ(φ2x + φ2y ) + 21 αφ2z + gη = 0

Jacek Grela

Tsunami Teoria ogólna Tsunami jako soliton? Podsumowanie

Równania Stokesa Przybli˙zenia

Dla tsunami rozpatruje sie˛ przybli˙zenie α → 0 (mała amplituda) i β → 0 (płytki zbiornik). Zakładamy ruch wzdłu˙z x i stało´sc´ podło˙za h(x, y ) = d. Równania: φz z(x, z, t) + φx x(x, z, t) = 0

(3)

φz (x, z = −d, t) = 0

(4)

ηt (x, z = 0, t) = ψz (x, z = 0, t)

(5)

ψt (x, z = 0, t) = −gη(x, z = 0, t)

(6)

Poszukujemy rozwiazania ˛ periodycznego: φ(x, z, t) = A(z)ei(ωt−kx) Nie znamy k , ω ani A(z).

Jacek Grela

(7)

Tsunami Teoria ogólna Tsunami jako soliton? Podsumowanie

Równania Stokesa Przybli˙zenia

Po rachunku otrzymujemy rozwiazania: ˛ π

η = aei(ωt−kx− 2 ) ag cosh(k (d + z)) i(ωt−kx− π ) 2 ψ = e ω cosh(kd)

(8) (9)

z (nieliniowa!) ˛ relacja˛ dyspersji: ω 2 = gk tanh(kd)

Jacek Grela

(10)

Tsunami Teoria ogólna Tsunami jako soliton? Podsumowanie

Równania Stokesa Przybli˙zenia

Nawet tak prosty model ma nietrywialna˛ zale˙zno´sc´ ω(k ). Jednak przybli˙zymy konsekwentnie kd