Tema 7: Las fracciones

Tema 7: Las fracciones 7.1 El significado de las fracciones Ejemplo Calcula las siguientes expresiones: 3 de 75 a. 75 5 3 15 3 45 5 7 de 36 b. 36 12 7...
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Tema 7: Las fracciones 7.1 El significado de las fracciones Ejemplo Calcula las siguientes expresiones: 3 de 75 a. 75 5 3 15 3 45 5 7 de 36 b. 36 12 7 3 7 21 12 3 de 56 c. 56 8 3 7 3 21 8 Tareas 26-01-16: todos los ejercicios de la página 125 1.

7.2 Relación entre fracciones y decimales Ejemplo 1.

2.

3.

Convierte en número decimal las siguientes fracciones. Indica el tipo de número decimal resultante. 6 a. 6 7 0. 857 142 857 142 857 0. 857 142 número decimal periódico puro 7 5 b. 0. 357 142 857 142 857 0. 357 142 8 número decimal periódico mixto 14 43 c. 0. 671 875 número decimal exacto 64 d. 56 6. 222 222 222 222 22 6. 2 número decimal periódico puro 9 1205 e. 43. 035 714 285 714 3 43. 035 714 28 número decimal periódico mixto 28 120987 f. 193. 579 2 número decimal exacto 625 Convierte en fracción los siguientes números decimales exactos: 9 a. 0. 9 10 8 b. 0. 08 100 7 c. 0. 007 1000 15 d. 1. 5 10 2467 e. 24. 67 100 1580061 f. 158. 0061 10000 Compara las siguientes parejas de fracciones convirtiéndolas previamente en números decimales: 5 y 7 a. 9 11 Convertimos las fracciones en números decimales: 5 0. 555 555 555 555 556 0. 5 9 7 0. 636 363 636 363 636 0. 63 11 Los comparamos:

b.

0. 5 0. 63 Concluimos: 5 7 9 11 8 y 13 5 10 Convertimos las fracciones en números decimales: 8 1. 6 5 1

13 1. 3 10 Los comparamos: 1. 6 1. 3 Concluimos: 13 8 5 10 Tareas 27-01-16: todos los ejercicios de la página 126

7.3 Fracciones equivalentes Ejemplo Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de las siguientes fracciones: 14 a. 21 14 14 7 2 21 21 7 3 14 14 2 28 21 21 2 42 b. 35 20 35 35 5 7 20 20 5 4 35 35 10 350 20 20 10 200 39 c. 52 39 39 3 117 52 3 156 52 39 39 13 3 52 13 4 52 2. Simplifica las siguientes fracciones: 52 52 2 26 26 2 13 fracción irreducible a. 7 28 2 14 14 2 28 48 48 6 8 8 2 4 b. fracción irreducible 36 6 6 6 2 3 36 600 600 50 12 fracción irreducible c. 5 250 50 250 375 5 75 75 3 25 fracción irreducible d. 375 540 5 108 108 3 36 540 Tareas 29-01-16: todos los ejercicios de la página 128 3 Determina si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes o no: 10 y 12 a. 18 15 Calculamos el producto de los extremos y el producto de los medios: 10 18 180 12 15 180 12 Si son equivalentes 10 15 18 b. 15 y 21 20 29 Calculamos el producto de los extremos y el producto de los medios: 15 29 435 20 21 420 21 No son equivalentes 15 20 29 Tareas 29-01-16; todos los ejercicios de la página 129 1.

7.4 Algunos problemas con fracciones Ejemplo 1.

En un aparcamiento hay 380 coches, de los que 3 son blancos. ¿Cuántos coches blancos 10 hay? 2

3 de 380 380 10 3 38 3 114 coches blancos 10 2. Un kilo de chuletas cuesta 13.80 euros. ¿Cuánto cuestan tres cuartos de kilo? 3 de 13. 80 13. 80 4 3 3. 45 3 10. 35 euros cuestan los tres cuartos 4 3. En un colegio hay 845 alumnos. Si dos quintos de los alumnos han pasado la gripe, ¿Cuántos han pasado la gripe? 2 de 845 845 5 2 169 2 338 alumnos han pasado la gripe 5 4. De un queso que pesa 2170 gramos, sabemos que 1550 gramos son materia grasa. ¿Qué fracción del queso es materia grasa? 1550 10 155 155 31 5 del queso son materia grasa 1550 7 2170 2170 10 217 217 31 5. Alberto se ha gastado 3 de su paga en el cine. La entrada ha costado 3.6 euros ¿Cuánto le 5 dan de paga? La situación es: 3 de "paga" 3. 6 5 3. 6 3 5 1. 2 5 6 euros le dan de paga 6. Tres cuartos de kilo de salmón han costado 9 euros. ¿A cómo está el kilo? La situación es: 3 de "precio de un kilo" 9 4 9 3 4 3 4 12 euros cuesta el kilo de salmón. Tareas 01-02-16: todos los ejercicios de la página 130

TEMA 8: Operaciones con fracciones 8.1 Reducción a común denominador Ejemplo 1.

Reduce a común denominador los siguientes grupos de fracciones: 12 y 7 a. 5 6 5 5 Calculamos el m. c. m. 5, 6 2 3 5 30 pues 6 2 3 30 5 12 12 6 12 72 5 30 30 30 30 6 7 7 5 7 35 30 30 30 6 b. 5 , 11 y 8 4 6 9 4 22 Calculamos el m. c. m. 4, 6, 9 2 2 3 2 36 pues 6 2 3 9

2.

32

36 4 5 5 9 5 45 4 36 36 36 36 6 11 11 6 11 66 6 36 36 36 36 9 8 8 4 8 32 9 36 36 36 Ordenar el siguiente conjunto de fracciones: 7 13 17 11 4 9 12 6 Primero hemos de reducirlas a común denominador.

3

Calculamos el m. c. m. 4, 6, 9, 12

22 32

36

pues

4

22

6

2 3

9

32

12

22 3

36 4 7 9 7 63 7 4 36 36 36 36 9 13 4 13 52 13 9 36 36 36 36 12 17 17 3 17 51 12 36 36 36 36 6 11 11 6 11 66 6 36 36 36 Las ordenamos de menor a mayor: 51 52 63 66 17 13 7 11 36 36 36 36 12 9 4 6 Tareas 02-02-16: todos los ejercicios de la página 139

8.2 Suma y resta de fracciones Ejemplo 1.

Realiza las siguientes sumas y restas de fracciones: 6 16 6 16 22 a. 2 11 11 11 11 3 8 3 5 b. 8 1 5 5 5 5 7 12 21 7 12 28 12 16 21 c. 4 4 4 4 4 4 4 7 16 11 15 11 16 15 23 26 d. 7 8 8 8 8 8 8 18 6 5 18 9 8 8 3 5 2 8 5 e. 9 18 18 18 18 6 6 2 3 m. c. m 6, 9 18 pues 9 32

f.

3 fracción irreducible 8 15 16 1 18 18 18

ADVERTENCIA: estas tres fracciones son equivalentes: 2 2 2 pues se cumple la siguiente igualdad 7 7 7 2 7 2 7 2 7 20 20 23 20 5 6 20 10 11 23 6 11 5 10 20 20 20 20 1 23 4 6 2 11 23 24 22 25 25 5 5 fracción irreducible 20 20 20 20 20 20 20 20 5 4 2 20 2 5 m. c. m. 20, 5, 10 20 pues 5 5 10

2 5

Tareas 5-02-16: todos los ejercicios de la página 141

8.3 Multiplicación de fracciones Ejemplo Realiza las siguientes operaciones con fracciones: 4 7 4 7 28 fracción irreducible 1. 5 5 5 4 6 4 6 24 24 3 8 fracción irreducible 2. 5 3 5 3 5 15 15 3 12 3 25 5 25 12 25 4 5 20 fracción irreducible 12 3. 9 35 9 7 3 21 35 35 5 9 3 14 7 9 3 14 9 14 9 2 3 6 fracción irreducible 4. 5 7 15 49 15 49 35 15 3 49 7 4

12 3 20 5 4 4 16 fracción irreducible 12 20 7 9 35 27 63 35 5 27 3 98 2 15 3 49 7 75 15 49 75 98 6. 28 15 15 14 3 28 2 14 7 3 3 5 7 35 2 1 2 75 98 7350 28 15 420 Potencias de fracciones Se cumplen las siguientes propiedades: a n a n donde n es un número natural 1. b bn 0 a 2. 1 b n a c n a c n 3. b n d n b d n a c a c 4. b n d m b n dm a a a 5. b n b m b nm a a a 6. b b b n m nm a a 7. b b 5.

Ejemplo Aplica las propiedades de las potencias en las siguientes expresiones: 4 3 y calcula 1. 5 4 3 43 64 5 125 53 6 4 24 16 2. 81 9 34 0 0 203 203 1 3. 1 1 1209 1209 0 58 0 1 4. 13 2 4 16 10 4 5. 81 15 34 4 4 4 4 6 10 6 10 2 2 4 4 6. 5 5 9 3 9 1 3 7 7 7 12 13 12 13 7. 11 17 11 17 3 7 4 4 4 37 4 10 8. 5 5 5 5 6 9 6 9 15 8 8 8 8 9. 9 9 9 9 3 3 33 9 5 5 5 10. 8 8 8 11.

7 11

2

3

4

5

7 11

2345

7 11

44 3

4

256 81

120

Tareas 10-02-16: todos los ejercicios de la página 142

8.4 División de fracciones Ejemplo Realiza las siguientes operaciones con fracciones, aplicando las propiedades de las potencias cuando corresponda: 6 14 6 1 3 1 3 1. 5 14 5 7 5 35 5

9 5 3 5 15 9 12 5 1 12 1 4 4 6 14 6 9 3 9 27 3. 7 7 14 7 7 9 49 35 75 35 8 7 2 14 4. 12 8 12 75 3 15 45 5 5 5 7 14 7 14 7 15 5 1 5 5. 9 15 9 9 14 3 2 15 8 8 8 21 18 21 18 21 49 6. 20 20 20 49 49 18 5 3 5 3 2 7 7 7 7 7. 9 9 9 9 8 4 8 4 11 11 11 11 4 8. 21 21 21 21 Tareas 10-02-16: todos los ejercicios de la página 143 2.

5

5 6 7 20

8

5

49 6

8

9 6

14 6

8.5 Operaciones combinadas Ejemplo Realiza las siguientes operaciones: 5 1 2 7 5 1 2 3 7 5 1 6 7 1. 4 3 3 2 3 4 2 4 2 5 1 15 2 13 fracción irreducible 4 6 12 12 12 5 1 7 5 2 6 7 7 1 2. 2 4 4 3 2 3 4 3 4 3 5 1 2 7 5 1 1 7 5 1 7 6 3. 2 3 4 2 2 3 4 4 3 4 4 23 6 6 11 21 14 8 6 11 21 3 8 4. 7 5 7 5 4 3 4 14 4 4 11 3 3 8 6 11 9 8 6 6 7 5 7 5 7 4 4 4 2 8 6 11 109 6 1199 960 8393 7433 7 7 4 40 160 1120 1120 1120 Tareas 12-02-16; todos los ejercicios de la página 144

5 4

7 3

7 12

11 4

1 2

3 2

1 3

7 3

45 40

64 40

8.6 Algunos problemas con fracciones Ejemplo 1.

2.

3.

4.

La cuarta parte de la octava parte de las 128 personas que viven en un bloque de viviendas tienen más de 90 años. ¿Cuántas son? La cuarta parte de la octava parte de las 128 1 de 1 de 128 1 1 128 4 8 4 8 128 4 32 Son cuatro personas con más de 90 años. De un depósito de gasolina se sacan primero los 2 de su capacidad y después se saca 1 de 5 2 su capacidad. ¿Qué fracción de combustible hemos sacado? ¿Qué fracción queda en el depósito? 1 2 5 4 9 del depósito se ha extraído 5 2 10 10 10 Queda 1 10 9 10 RECUERDA: 1 1 el depósito entero 10 10 10 Una camioneta transporta 3 de tonelada de arena en cada viaje. Cada día hace cinco viajes. 5 ¿Cuántas toneladas transporta al cabo de seis días? 3 5 6 18t es lo que transporta. 5 Una familia compró un televisor que pagó en cuatro plazos. La primera vez pagó 2 del precio 5 total, el segundo plazo pagó un tercio del resto, la tercera vez pagó 5 de lo que aún quedaba y 7 6

el cuarto plazo fue de 24 euros. ¿Cuál era el precio del televisor? Hemos de averiguar que fracción era el cuarto plazo. La primera vez pagó 2 del precio total queda sin pagar 3 5 5 el segundo plazo pagó un tercio del resto queda sin pagar 2 de del resto 2 de 3 3 3 2 3 2 queda sin pagar 5 5 3 5 la tercera vez pagó 5 de lo que aún quedaba queda sin pagar 2 del resto 2 de 7 7 7 2 2 4 queda sin pagar 2 5 7 5 35 4 son 24 euros el total será el cuarto plazo fue de 24 euros 35 24 4 35 6 35 210 El precio total era 210 euros Tareas 15-02-16: todos los ejercicios de la página 145

TEMA 7: EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1.

2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 8 4 4 4 Tareas 16-02-16: todos los ejercicios que faltan del 1 d

2

5 5 11 5 16 Tareas 16-02-16: todos los ejercicios que faltan del 2 d

3

7

Verdadero Tareas 16-02-16: todos los ejercicios que faltan del 3 d

4

5 de 400 250 8 Dentro de la cabeza se hace 400 8 5 50 5 Tareas 16-02-16: todos los ejercicios que faltan del 4 f

5

4 de 153 153 9 4 17 4 68 9 Tareas 16-02-16: todos los ejercicios que faltan del 5 f

6

los 3 de valen 9 los 3 de 15 valen 9 5 5 Dentro de la cabeza 9 3 5 3 5 15 Así 3 de 15 15 5 3 3 3 9 5 Tareas 16-02-16: todos los ejercicios que faltan del 6 d

7

f

5 8

0. 625

8

5

8

0

0. 625

5

0

4

8 2

0

1

6 4

0

4

0 0

Tareas 16-02-16: todos los ejercicios que faltan del 7 8

21 100 Tareas 16-02-16: todos los ejercicios que faltan del 8 Tareas 16-02-16: 9 e

0. 21

a.

jugador A

10

4 7 7 14 2 4

4

0. 57 1 0. 5 2 1 0. 5 2 7

0

0. 57

jugador B jugador C

4

0

3

5 5

0

4

9 1

El jugador A tiene el tiro más seguro Tareas 16-02-16: 11 b.

12

Tendremos que hacer cada una de las divisiones para ver si hay algún patrón. 1 9 9

1

9

0

0. 1

1

0

1 9

0. 1

0. 11111. . . . . . . . . . . . . .

2 9

0. 2

0. 222222. . . . . . . . . . . . . .

3 9

0. 3

0. 3333333. . . . . . . . . . . . . .

4 9

0. 4

0. 4. . . . . . . . . . . . . .

9 1 2 9 2

9

0

0. 2

2

0

1

8 2

3 9 3

9

0

0. 3

3

0

2

7 3

4 9 4

9

0

0. 4

4

0

3

6 4

5 9 Vamos a comprobarlo: Entonces 0. 5 5

9

0

0. 5

5

0

4

5

1. 5

5 14 9

ES CIERTO!!!!!

9

5 9

9 9

5 9

1

0. 5

13

1 1 3 3 4 4 3 12 Tareas 17-02-16: todos los ejercicios que faltan del 13 14

7 21

7 7 21 7

1 3 10

Tareas 17-02-16: todos los ejercicios que faltan del 14 15

165 165 165 1 330 330 165 2 Tareas 17-02-16: todos los ejercicios que faltan del 15 l

16

36 no pues la parte coloreada es 20 20 36 Tareas 17-02-16: todos los ejercicios que faltan del 16 f

17

1 del día a las ocho en punto de la mañana ha transcurrido 8 24 3 20 5 a las ocho en punto de la tarde ha transcurrido del día 24 6 18

Verdadero 1 12 5 60 Tareas 17-02-16: todos los ejercicios que faltan del 18 e

19

5 1 de la clase ha suspendido 5 25 Tareas 17-02-16: todos los ejercicios que faltan del 19 b

11

20

5 Por ahora, las bolas rojas son 10 16 8 Es decir, 1 son 10 5 2 bolas rojas 8 Entonces si añadimos dos bolas rojas tendremos: 5 1 6 3 8 8 8 4 12 3 Es decir 16 4 Conclusión: tendrían que ser 12 bolas rojas (añadir dos) 1 b. Tendríamos que quitar 6 bolas, así serían 4 16 4 Tareas 17-02-16: 21, 22 a.

23

2 1 de las habitaciones están vacías 20 5 10 100 1 de 80 80 5 1 16 1 16 habitaciones están vacías 5 Tareas 19-02-16: 24,25,26 27

3 de 2. 80 2. 8 4 4 Tareas 19-02-16:28,29,30

3

0. 7 3

2. 1 euros pagaremos

31

3 de 1200 1200 20 Tareas 19-02-16:32,33

20

3

60 3

180 euros ahorra al mes.

34

2 del TOTAL 12 5 Tareas 19-02-16:35,36

TOTAL

12

2

5

6 5

30 litros caben en el bidón

37

3 del PRECIO TOTAL 2. 25 PRECIO TOTAL 4 0. 75 4 3. 0 euros cuesta el kilo. Tareas 19-02-16:38,39

2. 25

3

4

40

12

3 del TOTAL 180 20 Tareas 19-02-16:41

TOTAL

180

3

20

60 20

1200 euros gana al mes

42

3600 12 300 camisetas he de vender a 12 euros/camiseta para recuperar la inversión 3 del TOTAL DE CAMISETAS COMPRADAS 300 TOTAL 5 300 3 5 100 5 500 había comprado UNA FORMA

Recaudamos en total 500 12 6000 euros Ganamos 6000 3600 2400 euros ganamos OTRA FORMA

Ganamos vendiendo las últimas camisetas 200 12 2400 ganamos

500

300

200

EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1.

Verdadero. a a a 1 1 Tareas 22-02-16: todos los ejercicios que faltan del 1 d

2

1 1 2 1 dentro de tu cabeza 4 8 8 8 Tareas 22-02-16: todos los ejercicios que faltan del 2 f

dentro de tu cabeza

1 8

3

f

1 2

3 14

14

2 14

1

14

14 14

3

7 14

2 7 Tareas 22-02-16: todos los ejercicios que faltan del 3

3 14

4 14

4

13

1 1 1 1 2 1 3 4 8 4 8 8 8 8 Tareas 22-02-16: todos los ejercicios que faltan del 4 h

5

Las flechas azules Las flechas rojas 1 2 3 1 6 6 6 2 1 1 3 1 2 1 2 6 6 6 6 3 2 2 2 4 2 1 6 6 6 6 3 3 2 1 4 1 3 1 6 6 6 6 2 3 1 2 3 2 5 6 6 6 6 2 5 1 4 2 6 6 3 6 2 2 4 2 6 1 6 6 6 6 3 6 1 5 1 1 6 6 6 6 En las flechas azules sumamos 2 6 En las flechas rojas restamos 1 6 Tareas 22-02-16: todos los ejercicios que faltan del 5 b

6

5 1 5 7 20 9 30 21 20 9 4 6 12 36 36 36 36 36 Tareas 22-02-16: todos los ejercicios que faltan del 6 h

5 fracción irreducible 9

7

14

Verdadero. a c a 1 a a c 1 b b b c b c Tareas 22-02-16: todos los ejercicios que faltan del 7 e

8

4 3 12 4 fracción irreducible 9 9 3 Tareas 22-02-16: todos los ejercicios que faltan del 8 f

9

42 21 3 2 21 7 16 112 56 8 HORTERAS!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2 2 21 7 2 21 1 3 3 7 16 1 8 8 7 7 16 2 TIPOS INTELIGENTES!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Tareas 22-02-16: todos los ejercicios que faltan del 9 h

10

4 8 4 8 4 1 1 1 1 5 5 5 8 5 2 1 10 Tareas 23-02-16: todos los ejercicios que faltan del 10 f

11

2 2 14 7 2 6 2 14 1 7 7 14 6 1 7 7 6 2 Tareas 23-02-16: todos los ejercicios que faltan del 11 Tareas 23-02-16: 12 h

2 3

2 3

13

5 1 5 1 5 6 5 6 6 6 6 6 1 Tareas 23-02-16: todos los ejercicios que faltan del 13 i

15

Tareas 23-02-16: 14 15

d

3 3 3 4 1 1 2 2 8 8 3 2 1 4 3 6 3 3 3 2 3 1 8 4 8 4 4 4 Los resultados son iguales Tareas 23-02-16: todos los ejercicios que faltan del 15 16 Calcula 9 5 10 7 h 3 5 2 7 5 5 5 3 3 3 11 fracción irreducible 15 Tareas 23-02-16: todos los ejercicios que faltan del 16 17 Calcula 2 7 4 7 7 7 1 3 f 9 6 9 9 18 18 9 18 Tareas 23-02-16: todos los ejercicios que faltan del 17 19 Calcula 2 1 1 1 4 3 5 3 h 5 2 6 15 3 3 6 15 1 5 5 fracción irreducible 2 2 4 Tareas 23-02-16: todos los ejercicios que faltan del 19 21 Calcula. 1 1 3 2 d 2 5 2 5 2 5 6 3 6 6 6 2 6 Tareas 24-02-16: todos los ejercicios que faltan del 21

2 1

2

1 2

2 2

3 5

20 15

18 7

1 1

2 1

2

2 15

1 6

15 2

4 3

7 9

1 6

5 6

2

1

1

9 15

1

22

1 2 5 6 5 3 15 15 Tareas 24-02-16: 23

11 quedará cubierta 15

24

b

30 2 15 botellas 5 4 5 1 20 botellas 4 1 1 Tareas 24-02-16: todos los ejercicios que faltan del 24 16

25

Verdadero Dada una fracción a , su inversa es ba , y la inversa de esta es a b b Tareas 24-02-16: todos los ejercicios que faltan del 25 Tareas 24-02-16: 26 d

27

2 15 8 3 5 4 20 20 Tareas 24-02-16: 28, 29

7 de litro queda en la botella 20

30

1 1 1 1 2 4 b. 1 de 32 32 4 4 Tareas 24-02-16: 31, 32

2 4

a.

1

1 4 8 1

3 4 3 1 de queso para Mar 4 4 4 8 euros pagará Mar 1

33

3 300 15 litros de perfume 20 20 Tareas 24-02-16: 34, 35 100

36

Si se gasta 2 , le queda 3 al final del sábado 5 5 1 de 3 1 3 1 es lo que se gasta el domingo 5 5 3 3 5 2 1 Después del fin de semana le queda 1 1 5 5 Tareas 24-02-16: 37, 38

3 5

2 5

39

Después del envasado le quedan 1 de las magdalenas. 3 17

1 1 1 La cafetería se lleva 1 de 1 2 3 2 3 6 A la venta pone el total menos lo que se han llevado supermercado y 2 1 4 1 cafetería 1 1 3 6 6 6 5 1 1 es lo que se ha puesto a la venta que son 20 magdalenas 6 6 Salieron del horno 20 6 120 magdalenas Tareas 24-02-16: 40, 41, 42

18