TEMA 5: SERIES TEMPORALES. 5.1.- introducción. ...................................................................................... 1 5.2.- Componentes de una serie temporal. ................................................. 3 5.3.- Tipos de esquemas para series temporales. ....................................... 4 5.3.1.-Esquema (modelo) aditivo: ........................................................... 4 5.3.2.-Esquema (modelo) multiplicativo:................................................. 4 5.3.3.-Procedimientos para determinar el tipo de modelo: ...................... 4 5.4.-Análisis de la tendencia....................................................................... 7 5.4.1.-Enfoque global. ............................................................................. 7 5.4.2.- Enfoque local. Método de las medias móviles. .............................. 8 5.5.- Análisis de la estacionalidad. ........................................................... 10 5.5.1.-Método de la razón(o diferencia) a la media móvil ...................... 11 5.5.2- Método de las relaciones de las medias mensuales respecto a la tendencia (método de las medias simples)............................................ 13 Medias ...................................................................................................... 15 5.6.- Predicción. ....................................................................................... 16 Apéndice. Resumen .................................................................................. 18 5.1.- Introducción. Llamaremos serie temporal o cronológica a un conjunto de observaciones generadas secuencialmente en el tiempo. Es habitual en publicaciones económicas y empresariales encontrar datos con esta forma (ej. La serie de los i.p.c., la evolución del desempleo...). La siguiente disposición de los datos es frecuente en una serie cronológica: Tiempo Observaciones t1 Y(t1) t2 Y(t2) . . . . . . (En las observaciones se destaca la dependencia del tiempo). De esta forma podemos entender las series temporales como distribuciones estadísticas bidimensionales en las que una de las variables es el tiempo y la otra la característica en estudio. Es habitual una representación grafica como la que sigue: Todo análisis de series temporales deberá iniciarse con una representación grafica de la misma, que nos permitirá detectar las características más importantes del fenómeno, al eliminar los problemas de visualización que conlleva una tabla con un gran volumen de datos. 100 80 60 40 20 0 t1

t2

t3

t4

t Nota: Hemos de ser especialmente cuidadosos en la elección de las escalas en las que presentamos las grafica, ya que una elección errónea puede llevarnos a una distorsión en las consideraciones iniciales. DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS E INFORMÁTICOS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EMPRESA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA 1-19

TEMA 5: SERIES TEMPORALES. Si para cada instante de tiempo “t” se dispone de varias observaciones los datos se recogen en una tabla de la forma: Estaciones Años t1 ti tn

1

.......

J

.....

S

Y11 ..... Yi1 .... Yn1

....... ..... ....... ...... .......

Y1j ....... Yij ...... Ynj

....... ...... ....... ...... .......

Y1s ..... Yis ....... Yns

Ejemplo 1: las denuncias en oficinas de consumo (en miles) durante los años 19861989 han sido: Año/estación

1ºcuatrimestre 2º cuatrim.

3º cuatrim.

1986 5 3 2 1987 6 4 3 1988 3 4 2 1989 2.5 4.2 3.3 En este caso para cada instante t (que en este caso son años) tenemos 3 observaciones (una por cada cuatrimestre). Objetivos: La finalidad de este tema será un estudio de las series temporales que nos permita: 1.- Explicar como se generan las observaciones en el tiempo lo que propiciará una mejor comprensión del fenómeno. 2.- Entender como se desarrolla el fenómeno con el fin de proporcionar predicciones sobre los valores futuros de la característica en estudio. Premisas: 1.-Supondremos que no hay cambios estructurales en el fenómeno en estudio. Así, por ejemplo, si estamos analizando producciones de una empresa a lo largo del tiempo, supondremos que no se producen cambios en el sector, aparición de nuevos productos sustitutivos, etc. Una conclusión que se desprende de los anterior es que si estamos haciendo predicciones para instantes (tiempos) muy alejados del periodo para el que tenemos datos ciertos, es muy probable que se produzcan cambios estructurales con lo que las predicciones serán extraordinariamente inciertas. Ejemplo: la aparición de los reproductores de video, supuso un cambio estructural importante para las salas de exhibición cinematográfica, que en muchos casos se vieron obligadas a cerrar, cuando en principio las perspectivas (predicciones) del sector eran halagüeñas. 2.- Efectuaremos la simplificación de suponer que las observaciones están tomadas a intervalos de tiempo de igual amplitud. En general, nos referiremos a una unidad de tiempo como un año, pudiendo referirnos a un mes, un trimestre, una semana. La metodología que consideramos para el estudio de una serie temporal, utilizando procedimientos de estadística descriptiva, consiste en un método de descomposición. Cada serie puede interpretarse como la resultante de la interacción DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS E INFORMÁTICOS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EMPRESA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA 2-19

TEMA 5: SERIES TEMPORALES. de diversos factores cuya influencia global determina los valores de la variable a lo largo del tiempo. Las series se pueden descomponer en cuatro componentes que denominaremos: tendencia secular, variación estacional, variación cíclica y variación irregular. Veamos cual es el significado de cada una de estas componentes: 5.2.- Componentes de una serie temporal. 1. Tendencia secular: refleja el movimiento de la serie a largo plazo. Esto es la evolución promedio de la serie a largo plazo. La notaremos por tt. Por ejemplo la tendencia creciente del i.p.c., o la evolución creciente de los beneficios de la gran banca. 2. Variación estacional: representa fluctuaciones de la serie en periodos de tiempo inferiores a un año que se repiten con periodicidad conocida. Es decir pretende recoger los crecimientos o decrecimientos en los valores de la serie que se producen por el hecho de encontrarnos en una determinada época, en general una estación del año. La notaremos et. Las razones de la estacionalidad puden ser de dos tipos: Físico-naturales: tiempo meteorológico, ciclos biológicos. Institucionales: vacaciones escolares, fiestas horarios comerciales, etc. 3. Variación cíclica: representa la pauta de comportamiento de la serie de carácter periódico, con periodos de duración diferente, desconocida y superiores a un año: por ejemplo los ciclos económicos de prosperidad, recesion y recuperación. La notaremos ct. Resulta difícil separar esta componente de la tendencia secular, ya que para ello es necesario disponer de una serie larga y con un número de ciclos completo. 4. Variación irregular, residual, aleatoria o accidental: es una fluctuación impredecible que ocurre aleatoriamente en diferentes instantes del tiempo. Esta componente recoge huelgas, catástrofes, etc. y ligeras variaciones en los factores anteriores. La notaremos rt. De estas 4 componentes, solo estudiaremos en profundidad la tendencia y la estacionalidad. La componente cíclica no la estudiaremos, ya que necesitamos disponer de un conjunto amplio de datos que abarque varios ciclos y además es muy probable que en nuestra serie aparezcan diversos ciclos de diferentes amplitudes superpuestos lo que añade un importante grado de complejidad al tratamiento de la información. Nota: los economistas han venido a distinguir varias clases de ciclos económicos tanto en función de su longitud como a partir de las diferentes causas de su generación. Así el mas corto de ellos, es el llamado ciclo de Kitchin con una amplitud de entre 3 y 5 años, fluctuación breve atribuida a los procesos de acumulación y desacumulacion de stocks realizados por los empresarios. La siguiente clase de ciclos en función de su mayor longitud de onda es la correspondiente a los llamados ciclos de Jutglar también denominados ciclos de inversión o ciclos de negocios. Su duración esta comprendida entre los 7 y 10 años y a pesar de que esta forma es la más estudiada, los economistas no han llegado ni de lejos a un mínimo acuerdo sobre las causas que los desencadenan. Las series temporales relativas a la evolución del P.I.B real o del empleo observados, también suelen tener movimientos cíclicos con una duración entre 15 y 25 años, que suelen deberse en general a las oscilaciones habidas en la DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS E INFORMÁTICOS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EMPRESA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA 3-19

TEMA 5: SERIES TEMPORALES. construcción, y/o a las facilidades adicionales surgidas en el campo de los transportes. A estos ciclos se les denomina ciclos de construcción o también ciclos de Kuznets. Alternativamente y como su duración se corresponde con la aparición o cadencia temporal de cada generación humana, suele afirmarse que estos ciclos están relacionados con impulsos demográficos, que por razones reproductivas inducirán efectos de eco cada 20 o 25 años. Final mente cabe aludir a los ciclos de Kondratieff con una duración de entre 45 y 60 años y que tienen que ver con la aparición esporádica y discontinua en el mercado de determinados bienes de capital básico (maquina de vapor, ferrocarril, ordenadores, etc.). Pues bien, en opinión de algunos autores (Schumpeter) estos ciclos interactuarán entre sí mutuamente, incidiendo en la actividad económica de modo asociado. 5.3.- Tipos de esquemas para series temporales. Las cuatro componentes enumeradas determinan conjuntamente los valores de la variable analizada en cada instante, sin que pueda valorarse con precisión el influjo individual de cada una de ellas. Dos son los esquemas generalmente más admitidos sobre la forma en que la serie temporal se descompone en sus cuatro componentes: el aditivo y el multiplicativo. 5.3.1.-Esquema (modelo) aditivo: Supone que las observaciones se generan como suma de las cuatro componentes, es decir: Yt = t t + c t + e t + r t En este caso cada componente se expresa en el mismo tipo de unidad que las observaciones. La variación residual, en este modelo, es independiente de las demás componentes, es decir la magnitud de dichos residuos no depende del valor que tome cualquier otra componente de la serie, (análogamente la variación estacional y la cíclica son independientes de las demás componentes). 5.3.2.-Esquema (modelo) multiplicativo: Supone que las observaciones se generan como producto de las cuatro componentes, es decir: Yt = t t x c t x e t x r t En este modelo (multiplicativo puro) la tendencia secular se expresa en el mismo tipo de unidad que las observaciones, y el resto de las componentes en tanto por uno. Aquí no se cumple la hipótesis de independencia del esquema aditivo. Otro tipo de modelo multiplicativo que si la cumple llamado modelo multiplicativo mixto es el siguiente: Yt = t t x c t x e t + r t Existen otros modelos que combinan esquemas aditivos y multiplicativos, tratando de resolver las carencias o inconvenientes de los modelos más sencillos. Señalaremos que generalmente el modelo multiplicativo es el que mejor se adapta a la descripción de variables económicas. 5.3.3.-Procedimientos para determinar el tipo de modelo: La idea de los métodos presentados consiste en poner de manifiesto si las fluctuaciones de la serie son aproximadamente constantes o si se modifican en función de la tendencia: DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS E INFORMÁTICOS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EMPRESA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA 4-19

TEMA 5: SERIES TEMPORALES. A) Representación grafica de la serie: Realizada la representación grafica de la serie, se observara si las fluctuaciones de esta (lo que comúnmente se conoce como dientes de sierra) varían con la tendencia (crecen) o bien si permanecen constantes. El primero de los casos se trata de un esquema multiplicativo y en el segundo de un esquema aditivo. Nota: este procedimiento no es totalmente fiable, aunque puede ser de utilidad en aquellas series temporales con tendencia muy marcada. B) Grafico de la desviación típica-media: Este método se aplica llevando sobre unos ejes cartesianos puntos de la forma (media, desviación típica). Es decir calcularemos previamente las medias y las desviaciones típicas para cada instante o periodo y las llevamos sobre los ejes cartesianos. Concretamente, supongamos un conjunto de observaciones que se extiende a “n” años y que en cada año se dispone de s observaciones referidas a “s” estaciones (meses, trimestres,...) Se calculan las medias y desviaciones típicas de cada año y se llevan sobre los ejes cartesianos (las medias sobre el eje de abscisas y las desviaciones típicas sobre el eje de ordenadas. Si la nube de puntos se distribuye aproximadamente en torno a una recta paralela al eje de abscisas, estamos ante un modelo aditivo. Si las desviaciones típicas crecen al aumentar las medias anuales, es razonable pensar que la tendencia aparece multiplicada por las demás componentes y el esquema adecuado será el multiplicativo (puro o mixto). Ejemplo 2: supongamos que disponemos de la siguiente tabla de datos sobre denuncias en las oficinas de información al consumidor (en decenas de miles): Año Cuatrim.1º Cuatrim.2º Cuatrim.3º 1986 5 3,5 7 1987 8 5 9 1988 10 7 10,25 1989 11,5 10 13 Calculamos las medias y las desviaciones típicas anuales.para calcular la varianza utilizamos (como casi siempre) la forma s2 = a2- a12: Las medias de cada año serán las sumas de los valores cuatrimestrales de cada año divididas por 3(numero de cuatrimestres): Media 1986 = (5+3,5+7)/3= 5,17 Media 1988 = (10+7+10,25)/3= 9,17

media 1987 = (8+5+9)/3= 7,33 media 1989 = (11,5+10+13)/3= 11,5

Las medias de los cuadrados de los valores cuatrimestrales de cada año(los momentos de orden 2 - a2- ): A2(1986) = (25+12,25+49)/3= 28,75 A2(1988) = (100+49+110,25)/3= 86,42

a2(1987) = (64+25+81)/3= 56,67 a2(1989) = (132,25+100+169)/3= 133,75

Calculamos las varianzas (la desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza): S21986 S21987 S21988 S21989

= = = =

28,75 56,67 86,42 133,75

– 5,172 = 2,0211 – 7,332 = 2,9411 – 9,172 = 2,3311 – 11,52 = 1,5

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

s1986 = 1,4217 s1987 = 1,715 s1988 = 1,5268 s1989 = 1,2247

Veamos como evolucionan las desviaciones típicas: DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS E INFORMÁTICOS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EMPRESA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA 5-19

TEMA 5: SERIES TEMPORALES. Año 1986 1987 1988 1989

Media anual 5,17 7,33 9,17 11,5

Dev.típica 1,4217 1,715 1,5268 1,2247

Las desviaciones típicas no aumentan con el valor de las medias anuales, luego no parece adecuado el modelo multiplicativo. Pero tampoco permanece constante el valor de las desviaciones típicas mientras aumenta el valor de las medias sino que se observa (salvo para el primer año) que las desviaciones típicas decrecen al aumentar el valor de las medias por lo que tampoco esta clara la conveniencia del modelo aditivo. Veámoslo gráficamente: Por tanto la fiabilidad de este método en este ejemplo queda en entredicho, veamos el más fiable de los tres métodos:

DESVIACIONES

2 1,5 1 0,5 0 0

2

4

6

8

10

12

MEDIAS

C) Análisis de la variabilidad de las diferencias y cocientes estacionales. Llamaremos diferencia estacional dij a la diferencia entre dos datos de la misma estación j correspondiente a dos años consecutivos i-1 e i: dij= yij- yi-1 j Donde yij es el valor de la serie en el año i y estación j. De manera similar, definimos los cocientes estacionales kij como los cocientes entre dos datos de la misma estación correspondientes a dos años consecutivos: kij= yij / yi-1 j Una vez calculados los valores dij y kij, calculamos los coeficientes de variación sobre cada uno de ellos, cv(d) y cv(k). Si cv(d) < cv(k) se elegirá esquema aditivo, en caso contrario se optara por el multiplicativo. Estudiemos según este método la conveniencia del modelo aditivo o multiplicativo en nuestro ejemplo 2: Calculamos las diferencias estacionales dij: Año Cuatrim.1º 1986 1987 3 1988 2 1989 1,5 Y los cocientes estacionales kij:

Cuatrim.2º 1,5 2 3

Cuatrim. 3º 2 1,5 2,5

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TEMA 5: SERIES TEMPORALES. Año Cuatrim.1º Cuatrim.2º Cuatrim. 3º 1986 1987 1,6 1,43 1,29 1988 1,25 1,4 1,17 1989 1,15 1,43 1,24 Para los datos de cada una de las tablas anteriores se calculan la media y la varianza, resultando:

d = 2,11111 k = 1,32889

s2d = 0,32099 ⇒ s d = 0,56656 s2k = 0,0191

⇒ s k = 0,1382

Por tanto: Cv d = s d / d = 0,26837 > cv k = s k / k = 0,104 Lo que indica que será más adecuado el esquema multiplicativo. A continuación vamos a describir procedimientos de cálculo para las componentes tendencia secular y variación estacional. 5.4.-Análisis de la tendencia. Se consideran dos procedimientos para la determinación de la tendencia secular en una serie cronológica: el enfoque global y el enfoque local. 5.4.1.-Enfoque global. Consiste en el ajuste de las observaciones a una función matemática (usualmente por el método de mínimos cuadrados) para la obtención de la tendencia. Esto es posible ya que una serie temporal puede ser considerada como una distribución bidimensional y su nube de puntos se puede ajustar a una función (recta, parábola, etc.). Este procedimiento además de ser el más exacto, tiene la ventaja de disponer de una medida de la bondad del ajuste, que viene dada por el coeficiente de determinación. Desde el punto de vista práctico es conveniente tomar una función que sea sencilla, de tal forma que la estimación de los parámetros no sea muy compleja y que por otro lado intente explicar lo esencial del movimiento de la serie. En economía son muy frecuentes fenómenos cuyo desarrollo es de tipo lineal, parabólico o exponencial. Para eliminar las oscilaciones propias de factores estacionales, calcularemos valores medios anuales y sobre estos realizaremos el ajuste, evitándose así que se recoja en la tendencia movimientos de la serie de tipo estacional. Vamos a realizar un ajuste lineal sobre los datos de nuestro ejemplo 2, señalando que el ajuste a funciones no lineales no presenta ningún problema adicional:

t 1986 1987 1988 1989 Suma

t’= t –1985 1 2 3 4 10

Media anual(y) 5,16667 7,33333 9,16667 11,5 33,16667

t’2 1 4 9 16 30

yt’ 5,16667 14,66666 27,50001 46 93,33334

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TEMA 5: SERIES TEMPORALES. Hacemos el cambio de variable t’ = t – 1985 para operar con números más sencillos. Se trata pues de ajustar los puntos de nuestras observaciones (t’, y) a una recta: y = a + bt’ Los coeficientes de esta recta de regresión (ver tema anterior) eran:

a = y − bt '

En nuestro ejemplo:

t ' = 10/4 =2,5

St’y b = -------St’2

y = 33,16667/4 = 8,29167

St’2 = (30/4) – (2,5) 2 = 1,25 St’y = (93,33334/4) – 2,5 x 8,29167 = 2,60416 Luego b = 2,083328 y a = 3,08335 Y nuestra recta es y = 3,08 + 2,08 t’ Deshaciendo el cambio t’ = t – 1985 tendremos: Y = 2,08 t – 4125,72 Esta función seria la tendencia de la serie temporal. Importante: si el esquema de la serie resulta ser aditivo, ajustaremos a una recta, y si resulta multiplicativo a una exponencial. En nuestro ejemplo 2 el esquema resulto multiplicativo (método diferenciascocientes) pero ajustamos a una recta para simplificar. 5.4.2.- Enfoque local. Método de las medias móviles. Este método es más flexible y no exige la suposición de una forma funcional para la tendencia al contrario que el anterior. Este método se usa bien para la obtención de la tendencia secular o bien como una técnica de transformar las observaciones en otras mas suavizadas (la típica representación grafica con dientes de sierra presentara altibajos menos pronunciados) para posteriormente ajustar una curva a estos valores. Generalmente entenderemos por suavizamiento de la serie la obtención de unos valores transformados con menos fluctuación. Dado un conjunto de observaciones correspondientes a una serie cronológica, la determinación de las medias móviles de amplitud h se hace de la siguiente forma: i) ii) iii) iv)

Se forman grupos de “h” observaciones y se calcula su media. El primer grupo lo forman las “h” primeras observaciones. Los siguientes grupos se van formando, excluyendo en el grupo anterior la primera observación e incluyendo la posterior a la última. Se continúa el proceso hasta que no se puedan formar más grupos.

Las medias obtenidas del proceso anterior se denominan medias móviles de orden o amplitud h. Cada media móvil se asocia al punto medio del intervalo sobre el que ha sido calculada. Este método presenta varios inconvenientes: en principio la elección de la amplitud “h” no tiene por que ser clara. Esta elección debe estar ligada a la periodicidad de las fluctuaciones que se desean suavizar, pero este no es un problema fácil que DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS E INFORMÁTICOS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EMPRESA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA 8-19

TEMA 5: SERIES TEMPORALES. admita una solución general. Por otro lado hay observaciones (las primeras y las últimas) para las que no se dispone de la media móvil por lo que se produce una perdida de información. Cuanto mayor sea la amplitud mejor se eliminaran las irregularidades de la serie, ya que en su cálculo se compensaran las fluctuaciones de un mayor número de observaciones. Por el contrario, cuanto menor sea el orden de las medias móviles, estas reflejaran con mayor rapidez los cambios que puedan producirse en la evolución de la serie. Conviene tener en cuenta lo anterior para decidirse por un orden u otro. Obsérvese que cuanto mayor sea el orden o amplitud de las medias, mayor será el efecto de suavizamiento, pero también será menor el número de datos para cálculos posteriores. Las medias que hemos considerado son medias con igual ponderación para cada una de las observaciones, pero es posible considerar un conjunto de ponderaciones asociadas, con objeto de primar el peso de determinadas observaciones. Si el orden o amplitud de las medias móviles es impar, la media móvil se asignara al instante central de la amplitud considerada, pero si el orden o amplitud es par se plantea la necesidad de centrarlas en los mismos instantes de tiempo donde se sitúan las observaciones iniciales (veremos como se hace con un ejemplo). Ejemplo 3.- calcular las medias móviles de amplitud 3 y amplitud 4 para los siguientes datos: t Y(t)

1970 1

1971 3

1972 2

1973 0

1974 2

1975 4

1976 1

1977 1

Solución: T 1970 ........ 1971 ........ 1972 ........ 1973 ........ 1974 ........ 1975 ........ 1976 ........ 1977

Y(t) 1 ......... 3 ......... 2 ......... 0 ......... 2 ......... 4 ......... 1 1

h=3 ..................... 6 2 ..................... 5 1,66 ..................... 4 1,33 ..................... 6 2 ..................... 7 2,33 .................... 6 2 .................... -

h=4 ....................... ... 6 ... 1,5 ..... 1,62 ... 7 ... 1,75 .... 1,87 ... 8 ... 2 ..... 1,87 ... 7 ... 1,75 ..... 1,87 ... 8 .... 2 ...... ........................ -

En las columnas h = 3 y h = 4 aparece en primer lugar la columna de los totales móviles (suma de los h valores de las observaciones) y a continuación las medias móviles. Dado que cada media móvil se asigna al punto medio del intervalo de tiempo sobre el que se ha calculado, las medias de orden tres si fijan en el segundo de los tres años sobre los que se calculan( la media móvil de los años 1973-1974-1975 que se calcula sobre los valores 0, 2 y 4, y vale 2 se coloca sobre el año central 1974) y las medias móviles de orden 4 en el punto que separa los dos años centrales de los DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS E INFORMÁTICOS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EMPRESA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA 9-19

TEMA 5: SERIES TEMPORALES. cuatro sobre los que se calculan( la media móvil 1, 5 de los años 1970-71-72-73 sobre los datos 1, 3, 2 y 0 se coloca sobre el punto que divide los años 1971 y 1972). En este ultimo caso para referir las medias móviles a los mismos tiempos que los datos originales se procede a centrarlas, realizando sobre las medias de orden 4 nuevas medias de orden 2(en la ultima columna de la caja h = 4; la media de 1,5 – principio de 1972- y de 1,75 – final de 1972- que es 1,625 se asigna al punto medio del año 1972). 5.5.- Análisis de la estacionalidad. La variación estacional nos indica el incremento o disminución que se ha experimentado en un periodo estacional dado respecto del valor medio referido a todo el año. En el modelo multiplicativo, la componente estacional se una serie temporal, se mide con un índice (adimensional) denominado índice de variación estacional, expresado en porcentaje y que significa la fluctuación del valor de la serie respecto al valor de la tendencia media del año. Por ejemplo un índice de variación estacional del 86% significa una disminución del 14% respecto del valor de la tendencia. En el modelo aditivo, para cada estación, la componente estacional indica en términos absolutos la cantidad en que se ha superado o no se ha alcanzado el valor de la tendencia media anual. En este caso la componente estacional se expresa en las mismas unidades que las observaciones. Trabajaremos bajo el supuesto de estacionalidad constante o estable, esto es, el valor de la componente estacional para cada estación permanece igual de año en año. La determinación de la variación estacional, es un aspecto fundamental en el análisis de una serie, principalmente para estudios comparativos y efectuar predicciones. En ocasiones interesa conocer las variaciones estacionales y eliminarlas del comportamiento global de la serie para poder observar mejor el comportamiento de esta ajeno a causas estacionales. La eliminación de la componente estacional (desestacionalizacion de laserie) de las observaciones hace comparables cantidades observadas en estaciones distintas y que se pueden presuponer influidas por este hecho. Ejemplo 1.- supongamos una empresa dedicada a la fabricación de juguetes de la que disponemos de la siguiente información: El valor medio de las ventas mensuales durante los últimos 7 años ha sido de 25.000 unidades. En el mes de marzo se sabe que la componente estacional esta dada por un índice de variación estacional del 48% y en el mes de diciembre la componente estacional es del orden del 156%(modelo multiplicativo). Ahora supongamos que las ventas reales en marzo y diciembre del último año fueron de 13.500 y 41.500 y deseamos compararlas eliminando la influencia estacional sobre las ventas. A los cocientes de las observaciones por el índice de variación estacional se le denomina componente extraestacional y recogen los valores que presentaría la serie si esta no se viera afectada por los periodos estacionales: Así para los meses de marzo y diciembre esta componente extraestacional presenta los valores: DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS E INFORMÁTICOS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EMPRESA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA 10-19

TEMA 5: SERIES TEMPORALES. Marzo = 13.500 x 100 / 48 = 28.125 diciemb= 41.500 x 100 /156= 26.602 Por tanto se observa que el mes de marzo tuvo un mejor comportamiento que el mes de diciembre. A continuación se presentan 2 procedimientos para la obtención de la variación estacional. En todos ellos un aspecto común es la eliminación de la tendencia, para ello es necesario disponer de una estimación de la misma. 5.5.1.-Método de la razón(o diferencia) a la media móvil Dado que en el área económica la mayor parte de las series siguen un esquema multiplicativo, estudiaremos el método de la razón a la media móvil, si el esquema fuera aditivo operaríamos de modo análogo pero en lugar de con cocientes (razones) con diferencias (método de la diferencia a la media móvil). Partiremos pues de un esquema multiplicativo: yt= tt •ct •et •rt Donde consideraremos conjuntamente la tendencia y el ciclo tct = tt •ct: Yt= tct •et •rt Yt Entonces, el cociente, -------- = et •rt tct Aísla la componente estacional de la serie (luego veremos como eliminamos la componente irregular rt. Este procedimiento, utiliza el suavizamiento de la serie proporcionado por las medias móviles: Veamos el procedimiento, aplicándolo a nuestro ejemplo (denuncias en oficinas del consumidor): Ver cuadro de datos. Disponemos de observaciones de 4 años y dentro de cada año disponemos de 3 observaciones (3 cuatrimestres). Paso 1. Calculamos las medias móviles de amplitud 3 (en cada media interviene un dato de cada estación, que en nuestro caso son cuatrimestres). Si colocamos nuestros datos en una sola fila: 5

3,5 1986

7

8

5 1987

9

10

7 1988

10,5

11,5

10

13

1989

La primera media móvil se calcula sobre 5, 3,5 y 7 (datos del primer, segundo y tercer cuatrimestre de 1.986). Su valor es 5,16 (suma de los tres datos dividida por 3) y la asignamos al punto medio que es el segundo cuatrimestre de 1.986. La segunda media móvil se calcula sobre 3,5 , 7 y 8 (datos del segundo y tercer cuatrimestre de 1.986 y primero de 1.987). Su valor es 6,16 (suma de los tres datos dividida por 3) y la asignamos al punto medio que es el tercer cuatrimestre de 1.986. Y así sucesivamente. DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS E INFORMÁTICOS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EMPRESA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA 11-19

TEMA 5: SERIES TEMPORALES. Podemos trasladar a una tabla los valores obtenidos: Medias móviles de amplitud 3 Año Cuatrim. 1º Cuatrim. 2º Cuatrim. 3º 1986 5,16 6,16 1987 6,66 7,33 8 1988 8,66 9,16 9,66 1989 10,66 11,5 Estos valores son los que consideramos como nuestra componente tct. En el caso general, si nuestras observaciones se extienden a n años y de cada año disponemos de observaciones de s estaciones, calcularemos las medias móviles de amplitud s. Paso 2.- se dividen los valores originales de la serie por las medias móviles obtenidas (razones a las medias móviles) y se calculan las medias sobre dichos cocientes (razones) para cada una de las estaciones: Razones de la serie a las medias móviles Año Cuatrim. 1º Cuatrim. 2º 1986 0,67 1987 1,2 0,68 1988 1,15 0,76 1989 1,07 0,86 Medias 1,14 0,74 Los cocientes se obtienen: 1,2 = 8 / 6,66 0,68 = 5 / 7,33 Las medias se obtienen: 1,14 = (1,2 + 1,15 +1,07) / 3 …

Cuatrim. 3º 1,13 1,12 1,08 1,11 ….

Si llamamos yit a la observacion en el año t y la estación i, estos cocientes no son otra cosa que yit / tcit Yit Y recordemos que -------- = eit •rit tcit Y las medias de cada columna representan la variación estacional subperiodo ya que los residuos suponemos que se compensan unos con otros. Es decir fijamos una estación i y realizamos el promedio de los cocientes variando t: 1 yit Media de la estación i = ----- Σ ------ = e i N-1 tcit Donde n es el numero de años que estemos considerando (4 en nustro ejemplo) y i variando entre 1 y s, siendo s el numero de estaciones de las que disponemos de observaciones (3 en nuestro ejemplo).

Una vez obtenidos los ei que en nuestro caso son 3: e1 = 1,14 e 2 = 0,74 e 3 = 1,11 Por ultimo podemos obtener los índices de variación estacional (i.v.e): Para ello en primer lugar promediamos las variaciones estacionales ei , es decir: Promedio de las variaciones estacionales = 1/s Σ e i En nuestro ejemplo(s=3) valdrá:

1,14 + 0,74 + 1,11 = 2,99/3=1,002 3

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TEMA 5: SERIES TEMPORALES. Y los i.v.e valdrán:

ei i En nuestro ejemplo:

I.v.e.(estación i) = -------------------------- x 100 Promedio e i

1,14 I.v.e(cuatrim.1º) = ---------- x 100 = 114,112 1,002 0,74 I.v.e(cuatrim.2º) = ---------- x 100 = 74,62 1,002 1,11 I.v.e(cuatrim.3º) = ---------- x 100 = 111,26 1,002

5.5.2- Método de las relaciones de las medias mensuales respecto a la tendencia (método de las medias simples). Este procedimiento supone una aproximación sencilla e intuitiva donde la estimación de la tendencia secular se hace por una línea recta, T(t) = a + bt Se observa que T(t+1) –T(t) = b ; De ello se deduce que el coeficiente b da una estimación de la variación de la tendencia por unidad de tiempo. Los principales pasos del procedimiento son: 1) ajuste a una recta de los valores medios anuales, y t . :

y t . = (1/s) Σyit con i =1,2, s. 2) determinación de los valores medios de cada estación y.i :

y .i = (1/n) Σyit con t =1,2, n. 3) modificación de las medias de cada estación (eliminando la tendencia): para ello utilizamos la pendiente b de la recta ajustada. Si la tendencia varía b unidades por año, variara b/s por cada estación(s = numero de estaciones): Llamemos e i a las medias corregidas de la tendencia:

e i = y .i

i-1 - --------- b con i =1,2,

s.

s 4) determinación de la variación estacional a través de la comparación de las medias corregidas con su promedio. s

e IVE i = i , donde e = e

∑e i =1

i i

n

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TEMA 5: SERIES TEMPORALES. Vamos a aplicar los dos procedimientos en otro ejemplo 3: Supongamos los siguientes datos de actividad de un determinado sector industrial (en de millones de euros) Durante los últimos 5 años: Año/est. Primavera Verano Otoño Invierno 1986 7 5 1,4 1,1 1987 10 7,1 3,6 1,4 1988 13,5 8,9 4,5 1,6 1989 17 11,2 5,3 2 1990 18,1 12,7 6,6 2,4 Supondremos modelo multiplicativo y que cada año va desde el primer DIA de primavera al ultimo día del invierno (no coincide con el año natural). A)

Método de las relaciones de las medias estacionales respecto a la tendencia:

A-1) calculamos las medias anuales y ajustamos a una recta: las medias anuales son: Medias 7 5 1,4 1,1 3,625 1986 1987 10 7,1 3,6 1,4 5,525 1988 13,5 8,9 4,5 1,6 7,125 1989 17 11,2 5,3 2 8,875 1990 18,1 12,7 6,6 2,4 9,95 Ajustamos ahora nuestros puntos (año, media) a una recta: t' 2 Y Y t' t t' = t-1985 1986 1 1 3,625 3,625 1987 2 4 5,525 11,05 1988 3 9 7,125 21,375 1989 4 16 8,875 35,5 1990 5 25 9,95 49,75 Medias

3

11

7,02

24,26

Con estos datos obtendríamos los coeficientes de regresión de la recta y = a + b t’ que serian: St’y b = ------------- = 1,60 y a = y − bt ' = 2,22 S2t’ Por tanto nuestra recta (tendencia) es y = 2,22 + 1,60 t’ ; y deshaciendo el cambio t’ = t – 1985 tendríamos: Y = 2,22 + 1,60 (t – 1985) = 1,60 t –3.173,78 A-2) determinaríamos los valores medio de cada estación: 1986 1987 1988 1989 1990 Medias

7 10 13,5 17 18,1

5 7,1 8,9 11,2 12,7

1,4 3,6 4,5 5,3 6,6

1,1 1,4 1,6 2 2,4

13,12

8,98

4,28

1,7

Una de ellas: 13,12 =(7+10+13,5+17+18,1)/5

....

A-3) modificación de las medias de cada estación: DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS E INFORMÁTICOS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EMPRESA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA 14-19

TEMA 5: SERIES TEMPORALES. El coeficiente de nuestra recta de regresión b = 1,60, eso se traduce en que la tendencia experimenta una variación de 1,60 unidades por año, de donde se deduce que experimentara una variación de 1,60/4 = 0,4 en cada estación (ya que tenemos cuatro estaciones). Las medias de cada estación corregidas de la tendencia, e i , serán: Primavera 13,12

verano 8,98

otoño 4,28

invierno 1,7

13,12

8,58

3,48

0,5

A-4) determinación de la variación estacional: Primav verano otoño 8,98 4,28 Medias 13,12

invierno 1,7

Medias Medias Corregidas

Una de ellas: 8,58 = 8,98 – 1,60 x (1/4). Otra de ellas: 3,48 = 4,28 – 1,60 x (2/4).

Medias Corregidas I.v.e.

13,12

8,58

3,48

0,5

204,36

133,64

54,21

7,79

Promedio 6,42

Uno de ellos: 54,21 = (3,48/6,42) x 100 Otro de ellos: 204,36 = (13,12/6,42) x 100 B)

Método de la razón a las medias móviles.

En primer lugar calcularemos las medias móviles de amplitud (orden) 4 (ya que tenemos cuatro estaciones): Primav 1986 1987 1988 1989 1990

| 5,8 7,075 8,775 9,85

verano | otoño | invierno | año sig. 3,625 4,375 4,9 5,525 6,4 6,85 7,125 8 8,575 8,875 9,15 9,525 9,95

Al calcular las medias móviles y ser par el numero de estaciones, nos encontramos con que las medias móviles no están centradas en los mismos instantes de tiempo donde se han tomado las observaciones. Así la primera media móvil de orden 4 se calcula sobre los cuatro primeros datos (primavera, verano otoño e invierno de 1.986) y se asigna al punto medio del intervalo (entre verano y otoño de 1.986). La segunda media móvil se calcula sobre los datos de verano, otoño e invierno de 1.986 y primavera de 1.987, y se asigna al punto medio (entre otoño e invierno de 1.986). La tercera media móvil se calcula sobre los datos de otoño e invierno de 1.986 y primavera y verano de 1.987, y se asigna al punto medio (entre invierno de 1.986 y primavera de 1.987).... DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS E INFORMÁTICOS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EMPRESA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA 15-19

TEMA 5: SERIES TEMPORALES. Para centrar las medias móviles sobre instantes de tiempo en que se han tomado las observaciones originales, volvemos a tomar medias móviles de orden 2: Primavera Verano Otoño Invierno 1986 4 4,6375 1987 5,35 5,6625 5,9625 6,625 1988 6,9625 7,1 7,5625 8,2875 1989 8,675 8,825 9,0125 9,3375 1990 9,6875 9,9 Una de ellas: 4 = (3,625 + 4,375) / 2 = 4(se asigna al punto medio que es otoño de 1.986). Ahora calcularíamos los cocientes entre los datos de las observaciones originales y las medias móviles (las ultimas que hemos obtenido): Razones a las medias móviles Primavera

Verano

1986

Otoño

Invierno

0,350

0,237

1987

1,869

1,254

0,604

0,211

1988

1,939

1,254

0,595

0,193

1989

1,960

1,269

0,588

0,214

1990

1,868

1,283

Medias

1,909

1,265

0,534

0,213

Alguna de ellas; 0,350 = 1,4 / 4 ; 0,588 = 5,3 / 9,012

....

El promedio de las medias estacionales seria: Promedio de medias estacionales = (1,909+1,265+0,534+0,213)/4= 0,980 Los i.v.e. Los obtenemos como cocientes de las medias estacionales por su promedio y multiplicadas por 100: I.v.e(primavera)= (1,909/0,980) x 100 = 194.79 I.v.e(verano )= (1,265/0,980) x 100 = 129,08 I.v.e(otoño )= (0,534/0,980) x 100 = 54,489 I.v.e(invierno )= (0,213/0,980) x 100 = 21,734 5.6.- Predicción. Conociendo las cuatro componentes de una serie, así como el modelo según el cual se relacionan, podríamos conocer el valor de la serie en cualquier momento. La componente irregular (residuos) es desconocida por naturaleza, del resto de las componentes tenemos a lo sumo una estimación, y el modelo es un tipo de esquema que imponemos artificialmente para facilitar la aproximación al estudio de la serie. Por lo tanto no se podrá conocer exactamente el valor de la serie en un momento futuro y nos conformaremos con poder hacer una predicción lo mejor posible. Por motivos expuestos anteriormente no hemos estudiado la componente cíclica, por lo que la predicción se hará en base al tipo de modelo (aditivo o multiplicativo) y a las componentes tendencia y variación estacional.

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TEMA 5: SERIES TEMPORALES. En un esquema aditivo y(t) = t(t) + e(t) +c(t) + r(t), la estimación de valor de la serie en un momento futuro estará dada por: Y(t) = t(t) +e(t) En un esquema multiplicativo y(t) = t(t) x e(t) x c(t) x r(t), la estimación de valor de la serie en un momento futuro estará dada por: Y(t) = t(t) x e(t) Vamos a aplicar lo anterior, para predecir el valor de la serie en el tercer cuatrimestre de 1.990(datos del ejemplo 2 de las denuncia en oficinas del consumidor): La recta de tendencia ajustada era: T(t) = 2,08 t – 4125,72 El comportamiento medio de la serie para los cuatrimestres de 1.990 es: T(1990) = 2,08 x 1990 – 4125,72 = 13,48 El comportamiento de la serie para el tercer cuatrimestre de 1.990 diferirá del valor medio, según la variación estacional para dicho cuatrimestre (111,26): Y(t) = 13,48 x 111,26 /100 = 14,99 En el ejemplo 3 se pide predecir el valor de la serie para el otoño de 1.991: A)

Método de las relaciones a la tendencia(medias simples):

La tendencia la habíamos ajustado a la recta: T(t) = 1,60 t –3.173,78 El comportamiento medio de la serie para las cuatro estaciones de 1.991 es: T(1991) = 1,60 x 1.991 –3173,78 = 11,82 Y para el otoño de 1.991 diferirá del valor medio de acuerdo con el índice de variación estacional de otoño obtenido por el método de medias simples (54,21): 54,21 Y(t) = 11,82 ----------- = 6,40 100 B)

Método de la razón a la media móvil.

En realidad, la tendencia se estimaría ajustando a una recta, no las observaciones, sino las medias móviles. No obstante en la practica el resultado no difiere mucho, por lo que tomaremos como estimación de la tendencia la recta de ajuste que proporcionan las observaciones y que ya hemos obtenido por el método de las medias simples: t(t) = 1,60 t –3.173,78. El comportamiento medio de la serie para las cuatro estaciones de 1.991 es: T(1991) = 1,60 x 1.991 –3173,78 = 11,82 DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS E INFORMÁTICOS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EMPRESA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA 17-19

TEMA 5: SERIES TEMPORALES. Y para el otoño de 1.991 diferirá del valor medio de acuerdo con el índice de variación estacional de otoño obtenido por el método de la razón (54,48): 54,48 Y(t) = 11,82 ----------- = 6,43 100 Apéndice. Resumen -

En general supondremos para las series temporales, esquemas de tipo multiplicativo, ya que el comportamiento de la mayor parte de las variables económicas se ajustará mejor a este tipo de esquema.

-

Por motivos expuestos solo analizaremos las componentes tendencia y variación estacional.

-

Para el análisis de la tendencia aplicaremos dos procedimientos: A)

Global: ajustaremos nuestras observaciones (medias anuales de las observaciones) a una función (recta...) Local: calcularemos medias móviles de amplitud h, donde la amplitud, en general dependerá de la periodicidad de las fluctuaciones. Ajustaremos las medias móviles a una función.

B)

-

Para el análisis de la variación estacional, dos procedimientos: A) Método de la razón a las medias móviles: Calcularemos las medias móviles de amplitud s, siendo s el número de estaciones de que disponemos datos. Calcularemos los cocientes (razones) de los datos originales y las medias móviles. Calcularemos las medias estacionales de los cocientes anteriores. Los i.v.e. Serán las medias anteriores normalizadas (divididas por su promedio y multiplicadas por 100) B) Método de las relaciones a la tendencia. Ajustaremos a una recta los valores medios anuales. Determinaremos los valores medios de cada estación. Modificaremos las medias anteriores eliminando la tendencia. Determinaremos los i.v.e. Como cocientes de las medias corregidas y su promedio multiplicadas por 100. Predicción: El valor estimado de la serie para un instante futuro, será el valor medio estimado de la tendencia, corregido por el i.v.e. De la estación para la que tratemos de hacer predicción.

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TEMA 5: SERIES TEMPORALES. Bibliografía básica * Mª Angeles palacios, Fernando A. López Hernández , José García Córdoba y Manuel Ruiz Marín. “INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA PARA LA EMPRESA”. Librería Escarabajal * Martín-Pliego López, Fco. “Introducción a la estadística económica y empresarial”. Ed. Thomson * Casas, J. M., Callealta, J., Núñez, J., Toledo, M. y Ureña, C. (1986). Curso Básico de Estadística Descriptiva. I.N.A.P. * Hermoso Gutiérrez, J. A. y Hernández Bastida, A. (1997). Curso Básico de Estadística Descriptiva y Probabilidad. Ed. Némesis. * Brocklebank, J.C. , Dickey, D.A. (2003). SAS for forecasting Time Series. Wiley Inter-Science. * Abraham B., Ledolter, J. (1983). "Statistical Methods for Forecasting". Wiley. * Aznar, A., Trívez, F.J. (1993). "Métodos de Predicción en Economía II. Análisis de Series Temporales". Ariel Economía. * Brockwell, P.J., Davis, R.A. (2002). "Introduction to Time Series and Forecasting". Springer texts in Statistics. * Peña Sánchez de Rivera, D. (2005). Análisis de series temporales. Alianza Editorial. * Peña, D., Tiao, G. C.,- Tsay, R. S. (2001). "A course in time series analysis". John wiley & Sons. * Uriel, E., Peiró, A. (2000). "Introducción al Análisis de Series Temporales". Editorial AC. Para saber más o aclarar dudas: http://www.eumed.net/cursecon/libreria/2004/jsf/4.pdf http://www.seh-lelha.org/pdf/tseries.pdf http://bellman.ciencias.uniovi.es/estadeuitio/archivos/curso0506/practicas/Practica4_ 0506.pdf http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2001/estadistica/indices.pdf http://arantxa.ii.uam.es/~asuarez/docencia/doctorado/TS2001.html#Apuntes

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