Tema 5: Modelos Discretos de Canal
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Canales discretos Sistema de transmisión (según Shannon) Información transmitida Codificación de fuente
Señales [W, dBW]
bits
bits Codificación de canal
Transmisor
Modulación
Canal Discreto Información recibida
Medio de transmisión (atenuación)
Señales bits Descodificación de fuente
bits Descodificación de canal
Demodulación
Receptor
BER
(sensibilidad)
• Se introducen símbolos pertenecientes a un alfabeto de entrada (que supondremos finito y, típicamente, binario): A = {0,1} • Salen símbolos pertenecientes a un alfabeto de salida (no necesariamente igual al de entrada): B={0, 1, *} • Se relacionan las entradas y salidas de cada uso del canal de manera probabilística: Pr(B=0 | A=1)
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Motivación • Los modelos de canal discreto son
Canal Discreto
más sencillos porque − ... resultan más fáciles y eficientes a la hora de estimar y simular su bits comportamiento
• ... pero − Se pierde la capacidad de diseño del modem
señales
Transmisor
Modulación
Canal Discreto
• El objetivo fundamental al que responde este modelo es el de diseño de los “códigos de fuente y de canal”
bits
Medio de transmisión
señales
Demodulación
Receptor
− Para este objetivo, la información que proporcionan es completa.
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Motivación En muchos sistemas de comunicación, las capas física (OFDM), de acceso al medio (CDMA), la capa de red (IP)... dan poco (o ningún) margen a cambios o mejoras. Sin embargo, el diseñador tiene mucho más margen cuando se trata de diseñar aplicaciones, servicios... Ejemplo: diseño de un codificador de vídeo para sistemas 3G. − El 3G está fijado en cuanto al modem. − Sin embargo, es posible diseñar (u optimizar) un codificador de fuente (por ejemplo, MPEG-4) para adaptarlo a las características del canal (bajo retardo, alta probabilidad de error en paquetes, errores en ráfagas...) y seleccionar el codificador de canal adecuado al anterior − Trama MPEG Muy sensibles → codificación más potente
Bits de posición
Bits de Info. Brillo Color
Menos sensibles → codificación débil 4
Canales discretos sin memoria Alfabeto • entrada A: {a0, a1, ..., aK-1} (K-símbolos) an • salida B: {b0, b1, ..., bL-1} (L-símbolos) Canal discreto • Secuencia enviada: an = (a[0], ..., a[n-1])∈A • Secuencia recibida bn = (b[0], ..., b[n-1])∈B Discrete Memoryless Channel: no tienen memoria
bn
n −1
Pr(b n | an ) = ∏ Pr(b[m] | a[m]) m=0
• Ejemplo: Binary Symmetric Channel
A={0,1}
− Diagrama para A = B = { 0,1 }
0
Pr ( 0 | 0 )
Pr(0 |1)
1
0 Pr(0 | 0) = 1 − p, Pr(0 |1) = p,
Pr(1| 0)
Pr(1|1)
BSC
B={0,1}
Pr(1| 0) = p, Pr(1|1) = 1 − p.
1 Es simétrico porque Pr(0|1) = Pr(1|0)
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Canales con memoria En las aplicaciones reales, la clase más importante de canales de transmisión tiene memoria (debida a retardos, el medio) En los canales con memoria, además de los alfabetos de entrada y salida hace falta especificar... 1. cómo se representa la memoria zEn el modelo que vamos a considerar, supondremos que el canal puede estar en un conjunto FINITO de estados
2. y, los parámetros que se necesitan para el cálculo de la distorsión introducida por el canal z
Las probabilidades conjuntas de entrada salida
an
Canal discreto
bn
Pr(b n | an )
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Canales con memoria S0
S1
SM−1
1. Representación Memoria: Finite State Channel, FSC
• Número de estados finito: espacio de M-estados S={S0, ..., SM-1} − La probabilidad de estar en cada uno de los M-estados en el instante “n” está contenida T en el vector π[n] = [ Pr( S [n] = S0 ),… , Pr( S [n] = S M −1 ) ]
• Adicionalmente, hay que especificar cómo evolucionan los estados: − Cada uso del canal produce una transición especificada por un diagrama con unas probabilidades asociadas.
• Ejemplo: M=2 estados
PS0 → S0
PS0 → S1 S1
S0
PS1 →S1
PS1 → S0 − Por completitud
PS0 → S1 + PS0 → S1 = 1
PS1 → S0 + PS1 → S1 = 1
− PSi → S j puede depender del símbolo transmitido en ese uso del canal
ak
ISI Type 7
Canales con memoria Desvanecimiento Amplitud de la señal Umbral La probabilidad de estar en estado malo es menor que la de estar en estado bueno
Tb
Los periodos con amplitud de señal alta tienen una duración grande
Tiempo t 0.01
Malo
Bueno
0.99
0.7
(Fade)
(Non-fade)
0.3
0
0
1-10-5
0
1-10-2
10-5
Bits transmitidos
1
1-10-5
0
Tasa de errores más elevada cuando hay desvanecimiento
10-2
1
1
1-10-2
1
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Canales con memoria Código en Matlab para simular un canal con memoria function [bt,S]=FSC(at,P,p,pe0,pe1,pi00) % [bt,S]=FSC(at,P,p,pe0,pe1,pi00) % Parámetros de entrada % at -> Secuencia de Nbits % P -> Prob. de transición del estado 0 al 1 % p -> Prob. de transición del estado 1 al 0 % pe0 -> Prob. de error en el estado 0 % pe1 -> Prob. de error en el estado 1 % pi00-> Prob. de comenzar en el estado 0 Nbits=length(at); S=zeros(Nbits+1,1); S(1)=1-(rand(1,1) ρUmbral • Estado S1 “malo”: ρ < ρUmbral P ρUmbral es un dato conocido. 1 − P S 0
Desvanecimiento
ρUmbral
Tiempo t
1− p S1 Pr(e)=1-h
Pr(e)=0
p
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Ejemplo ρ (t ) =
Relación con el modelo de canal discreto • La probabilidad de estar en el
r (t ) RRMS
Desvanecimiento
ρUmbral
estado malo es igual a la probabilidad de que la envolvente caiga por debajo del umbral ρUmbral 2 P − ρUmbral π S1 = = 1− e P+ p
Tiempo t
1− p
P
1− P
S1 Pr(e)=1-h
S0 Pr(e)=0
1ª Ecuación, dos incógnitas
πS
0
p = P+ p
p
P π S1 = P+ p
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Ejemplo ρ (t ) =
La duración media de los desvanecimientos es τ1 =
Pr [ ρ (t ) ≤ ρUmbral ] N ( ρUmbral )
2
e ρUmbral − 1 = ρ Umbral f Doppler 2π
r (t ) RRMS
[seg.]
ρUmbral
El número medio de símbolos (bits) transmitidos durante un desvanecimiento es: 2 ρUmbral e −1 Rbτ 1 = Rb [ bits] ρ Umbral f Doppler 2π Modelo de Gilbert en el estado “malo”.
− El número medio de símbolos durante una ráfaga en el estado “malo” (⇔ desvanecimiento) es 1/p
τ0
τ1 1
N ( ρUmbral )
[segundos/cruce]
Tiempo t
1− p
P
1− P • Supongamos que acabamos de entrar
1 p= Rbτ 1
Desvanecimiento
S1 Pr(e)=1-h
S0 Pr(e)=0
p Si p = 10−2 , en media se necesitan 100 simbolos
2ª Ecuación
para que se produzca una transicion desde S1 a S0
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Cálculo de la probabilidad de error media Fórmula de Wang Moayeri • Constelación QPSK Imag
Eb + j Eb
Pr {error de bit}QPSK
⎛ 2d ⎞ ≈ Q ⎜ min ⎟ ⎝ σ ⎠ =Q
Real
Pbit error o BER
(
2Γ
10-2 Pr(e = 1| S1 )
)
10-4
P 1− P
S1
S0
1-10-5
0
p
0 pe0=Pr(e=1|S0)
1
1-10-5
1
Pr(e = 1| S1 ) = pe1 =
γk = e
−
Γk Γ
Q
(
2Γ k
)
0
1− p
10-6
0
10-8
pe1=Pr(e=1|S1)
1
1
10-10
γ 0 − γ TH
10 Γ Γ
