TEMA 5. CAPACIDAD Y CONDENSADORES. 5.1.- CAPACIDAD. Uno de los usos más antiguos de los conductores en la electrostática fue para el almacenamiento de la carga eléctrica; el conductor puede ser cargado, por ejemplo, al proporcionarle un potencial definido por medio de un agente externo. Para tal aplicación, resulta de interés encontrar la capacidad del conductor para almacenar carga. Considerando un conductor aislado y en el vacío con una carga Q, dicho conductor tendrá un potencial V que será proporcional a la carga. La relación Q/V es una cantidad constante independiente de la carga, ya que si aumentamos la carga en un factor  , aumentará en el mismo factor el potencial eléctrico, manteniendose constante la relación Q/V. Esto es válido para todo conductor cargado cualquiera que sea su forma geométrica. En consecuencia, se define la capacidad C de un conductor como el cociente entre su carga y su potencial C

Q V

(5.1)

que será una propiedad definida del conductor y relacionada con su geometría. Por ejemplo, la capacidad de un conductor esférico de radio R y carga Q rodeado de vacio es Q Q C   4 o R Q V K R La unidad de la capacidad en el SI es el faradio que se define como “la capacidad de un conductor que con la carga de un culombio adquiere el potencial de un voltio”. 1F 

1C 1V

El faradio es una unidad muy grande (la Tierra tiene una capacidad de unos 700 microfaradios), por lo que en la práctica se utilizan más sus submultiplos: microfaradio, nanofaradio y picofaradio. El concepto de capacidad puede extenderse a un sistema de conductores. Considerese dos conductores que están afectados por fenómenos de influencia total, o sea, dos conductores con cargas +Q y Q (Fig.5.1). Si sus potenciales son V1 y V2 respectivamente, la capacidad del sistema vale C

104

Q V1  V2

(5.2)

A cualesquiera dos conductores con la disposición anteriormente expresada se denomina condensador y a los conductores que lo forman láminas o armaduras. Los condensadores se usan comunmente en una gran variedad de circuitos eléctricos; por ejemplo, para sintonizar las frecuencias de los receptores de radio, como filtros en las fuentes, para eliminar el chisporroteo en los sistemas de ignición de los automóviles, como dispositivos de almacenamiento de energía en las unidades electrónicas de destello, etc. 5.2.- CALCULO DE CONDENSADORES.

LA

CAPACIDAD

DE

ALGUNOS

TIPOS

DE

A) CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR DE LAMINAS PARALELAS. Un condensador de láminas paralelas o condensador plano está formado por dos placas paralelas, de igual área, separadas una distancia l, en donde una de las placas tiene una carga +Q y la otra tiene una carga  Q (Fig.5.2), siendo los potenciales eléctricos V1 y V2 respectivamente. La carga por unidad de área, en cualquiera de las dos placas es   Q/S. Si las placas están muy próximas entre si (en comparación con su longitud y anchura) se pueden despreciar los efectos en los extremos y suponer que el campo eléctrico es uniforme entre ellas y cero en todos los demas puntos. Así el módulo del campo eléctrico entre las placas según (3.49) es

E

 Q   o  oS

y la diferencia de potencial entre las placas según (3.50) vale V1  V2  El 

Ql  oS

sustituyendo la diferencia de potencial en (5.2) resulta C

Q S  o Ql l oS

(5.3)

Esto significa que la capacidad de un condensador de láminas paralelas es proporcional al área de estas e inversamente proporcional a la separación entre las placas.

105

En la práctica, resulta imposible construir un condensador plano con placas de dimesiones infinitas (condición necesaria para que la influencia sea total). No obstante, la expresión (5.3) constituye una buena aproximación en el caso de un condensador plano y de un condensador de forma cualquiera con armaduras de superficie S, siempre que las dimensiones de las armaduras sean muy superiores a la distancia constante l que las separa. B) CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR CILINDRICO. Un condensador cilíndrico esta formado por un conductor cilíndrico de radio "a", densidad de carga uniforme  y carga Q , que es concéntrico con un cascarón cilíndrico más grande de radio "b" y carga  Q también uniformente cargado (Fig.5.3), estando cada conductor a los potenciales eléctricos V1 y V2 respectivamente.

Si se supone que l es grande en comparación con a y b, pueden despreciarse los efectos en los extremos. En este caso el campo es perpendicular al eje de los cilindros y está confinado en la región entre ellas. Primero se calcula la diferencia de potencial entre los dos cilindros aplicando (3.10), en donde el campo eléctrico es el de la región a1. En los condensadores cilindricos y esfericos también su capacidad aumentará en un factor  cuando se introduce un dielectrico entre sus armaduras. Con base a (5.12), parecería que la capacidad podría hacerse muy grande si disminuye l. En la práctica, el valor mas bajo de l queda limitado por la descarga eléctrica que podría ocurrir a través del dieléctrico y que daría lugar a su ruptura. Veamos ahora que es lo que ocurre cuando se intercalan en serie varios dieléctricos de permitividades relativas (  1 ,  2 , ...,  i ,...  n ) en un condensador (Fig.5.9). En este caso la diferencia de potencial entre placas será la suma de las diferencias de potencial entre las caras extremas de cada dieléctrico

Va  Vb  V1  V2  ...  Vn

(5.13)

Se sabe por (4.20) que Ei 

D     0  i

(5.14)

y por (3.51) Vi li

(5.15)

l i  o  i

(5.16)

Ei 

De (5.15) y (5.16) se deduce

Vi 

sustituyendo (5.16) en (5.13) se obtiene para la diferencia de potencial entre las láminas del condensador

111

Va  Vb 

en donde, a la expresión

ln    l1 l 2   ...   o   1  2  n 

(5.17)

l1 l2 l  ... n  le se denomina espesor equivalente. Luego  1  2  n

(5.17) se puede expresar como

Va  Vb 

 l o e

(5.18)

con lo cual la capacidad es aplicando (5.2) C

Q S S   o   le l l o e o e

(5.19)

es decir, igual que un condensador con vacio entre sus laminas, sustituyendo la separación entre laminas por el espesor equivalente. Ahora se considera el caso en que los dieléctricos de permitividades relativas (

 1 ,  2 , ...,  i ,...  n ) se intercalan en paralelo (Fig.5.10) entre las placas del condensador.

En este caso entre los extremos de cada dieléctrico habrá la misma diferencia de potencial.

Va  Vb  V1  V2  ......  Vn

y por tanto por (3.42) el mismo campo eléctrico a traves de cada dieléctrico, así de (5.14) se obtiene i  i o E  i  o

Va  Vb l

(5.20)

La carga libre total sobre las placas del condensador será Q  Q1  Q 2  ...  Q n  1S1  2S2  ...  nSn

(5.21)

sustituyendo en (5.21) los valores de las densidades superficiales de carga libre dadas por (5.20), la carga libre total será igual a

112

Q  o

Va  Vb  1S1  2S2  ...  nSn  l

Al valor  1S1   2 S 2 ... n S n (5.22) se expresará como

 Se

(5.22)

se le denomina superficie equivalente. Luego

Va  Vb Se l

Q  o

(5.23)

sustituyendo en (5.2) el valor dado por (5.23)  o  Va  Vb  l

C

Se

Va  Vb

 o

Se l

(5.24)

es decir, igual que un condensador con vacio entre sus laminas, sustituyendo la superficie de las láminas por la superficie equivalente. 5.5. ENERGIA ELECTROSTATICA. Para cargar un conductor es necesario gastar energía, porque, para suministrarle más carga debe vencerse la repulsión de las cargas ya presentes. Así, para incrementar en dq la carga del conductor que ya se encuentra a un potencial eléctrico V será preciso realizar un trabajo dW correspondiente al desplazamiento de dq desde el infinito hasta el conductor. Este trabajo quedará almacenado como energía en el conductor. Dicho trabajo es dW = V dq que teniendo en cuenta (5.1) dW 

q dq C

el trabajo necesario para cargar el conductor con una carga total Q es W=



0

Q

q 1 Q2 dq  C 2 C

y por tanto la energía almacenada en el conductor considerando (5.1) 1 Q2 1 Ee   QV 2 C 2

(5.25)

De igual modo para un sistema de conductores Ee 

1 i n  Qi Vi 2 i 1

y para el caso concreto de un condensador (sistema formado por dos conductores) 113

(5.26)

Ee 

1 1 QVa  QVb   Q Va  Vb   2 2

y teniendo en cuenta (5.2), la energía electrica almacenada por un condensador se puede expresar Ee 

1 1 Q2 1 2 Q Va  Vb    C Va  Vb  2 2 C 2

(5.27)

Este resultado se aplica a cualquier condensador independientemente de su geometría. Existe un límite para la energía (o carga) máxima que puede ser almacenada, que viene condicionado por la diferencia de potencial máxima que se puede alcanzar sin que se produzca la destrucción del condensador. La energía almacenada en un condensador puede considerarse como si estuviera almacenada en el campo eléctrico creado entre las placas a medida que aquel se carga. Esta descripción resulta razonable en virtud del hecho de que el campo eléctrico es proporcional a la carga en el condensador. Para un condensador de láminas paralelas con dieléctrico, la diferencia de potencial está relacionada con el campo eléctrico a través de (3.42) y la capacidad por (5.12). Si se sustituyen estas expresiones en (5.27) se tiene Ee 

1 1 S 1 1 2 2 C  Va  Vb   o   El     o Sl  E 2   Sl  E 2 2 2 l 2 2

o también, teniendo en cuenta (4.20), se puede expresar como Ee 

1  Sl  D  E 2

(5.28)

que indica, que la energía electrostática esta distribuida en forma continua a través del espacio donde E  0 con una densidad de energía u e (energía eléctrica almacenada por unidad de volumen) 1 1 2 D2 u e  D  E  E = 2 2 2

(5.29)

5.6.- FUERZA ENTRE LAS ARMADURAS. Sea un condensador plano aislado de carga Q cuyas armaduras, de superficie S, están separadas en el vacío una distancia x (Fig. 5.11). Al estar las armaduras cargadas con cargas de signo opuesto se atraerán con una fuerza F que se calcula a continuación.

114

Considerando un elemento de superficie dS sobre la armadura 1, dicho elemento estará sometido a una fuerza dF  E dq  E dS i La fuerza que actúa sobre la armadura 1 de la (Fig. 5.11) es la resultante del sistema de fuerzas paralelas distribuidas uniformemente sobre dicha armadura, por lo que la fuerza sobre toda la armadura será F



E dS i  E

S



dS i  E S i

(5.30)

S

y teniendo en cuenta la relación entre el campo eléctrico, la densidad superficial de carga y la carga en (5.30)  2S Q2 F i i (5.31) 2o 2oS El mismo resultado podría haberse obtenido por consideraciones energéticas sin más que tener en cuenta que el trabajo que realiza la fuerza para aproximar las armaduras es equivalente a la disminución de la energía almacenada  dE e  i  dx  Q

F

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