TEMA 4: El movimiento circular uniforme

Tema 4: El movimiento circular uniforme

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ESQUEMA DE LA UNIDAD 1.- Características del movimiento circular uniforme. 2.- Espacio recorrido y ángulo barrido. 2.1.- Espacio recorrido. 2.2.- Angulo barrido. 3.- Velocidad lineal y velocidad angular. 3.1.- Velocidad lineal. 3.2.- Velocidad angular. 4.- Relación entre la velocidad angular y la velocidad lineal. 5.- Aceleración normal o centrípeta. 6.- Frecuencia y periodo.

1.- CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Las características del movimiento circular uniforme son: -

La trayectoria que describe es una circunferencia (o una parte de ella).

-

El módulo de la velocidad es constante, es decir, recorre arcos iguales en tiempos iguales.

Ejemplos de movimientos circulares: el de las manecillas de un reloj, las aspas de un aerogenerador, las ruedas, el plato de un microondas, los tiovivos...

OBSERVACIÓN: -

El movimiento circular en el que el módulo de la velocidad no es constante pero aumenta o disminuye de manera uniforme se denomina movimiento circular uniformemente variado. Ahora veremos las magnitudes que podemos medir en el movimiento circular.

2.- ESPACIO RECORRIDO Y ÁNGULO BARRIDO 2.1.- Espacio recorrido Recordar que la distancia o espacio recorrido por un móvil es la longitud de su trayectoria.

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Como la trayectoria que sigue un móvil con m.c.u. es una circunferencia o una parte de ella (llamada arco de circunferencia), la distancia o espacio recorrido por el móvil se calculará aplicando las fórmulas matemáticas que conocemos para calcular la longitud de una circunferencia o de un arco de circunferencia: -

Longitud de una circunferencia = 2    R

-

Longitud de un arco de circunferencia =

-

Longitud de un arco de circunferencia = R   (si el ángulo  está en radianes)

2   R  (si el ángulo  está en grados) 360º

2.2.- Ángulo barrido



El ángulo barrido por un móvil con m.c.u. es el ángulo que forman los radios que unen el centro de la circunferencia que describe el móvil con las posiciones inicial y final respectivamente.

Lo representaremos con la letra  y su unidad en el sistema internacional es el radián (rad), aunque en la práctica también se utilizan otras dos unidades, el grado sexagesimal y la vuelta o revolución. Para hacer un cambio entre las unidades anteriores hay que tener presentes las siguientes equivalencias: 180 º =  rad 1 vuelta o revolución = 2  rad 1 vuelta o revolución = 360 º 3.- VELOCIDAD LINEAL Y VELOCIDAD ANGULAR 3.1.- Velocidad lineal

En el movimiento circular uniforme la velocidad lineal se define como el espacio recorrido por el móvil a través de la circunferencia en un tiempo determinado. Su unidad en el sistema internacional es el m/s. v

s t

OBSERVACIÓN: -

La velocidad lineal que lleva un móvil depende de la distancia que haya entre el móvil y el centro de la circunferencia que describe. Observar que cuanto más lejos esté el móvil del centro de la circunferencia, mayor será el espacio recorrido por el mismo y por lo tanto mayor será la velocidad lineal.

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3.2.- Velocidad angular La velocidad angular se define como el ángulo barrido por un móvil en un tiempo determinado:



 t

donde  es la velocidad angular,  el ángulo barrido y t el tiempo transcurrido. La unidad de  en el sistema internacional es el rad , aunque también se suele trabajar en r.p.m. ó rev s min (revoluciones por minuto). Ejemplo 1: Disponemos de una aguja indicadora que marca ángulos sobre una escala circular. Dicha aguja ha barrido un ángulo de 60º en los cinco primeros segundos. Calcula: a) El ángulo barrido por la aguja, expresado en radianes. b) La velocidad angular del movimiento de la aguja. c) El tiempo que tardará la aguja en dar una vuelta completa. OBSERVACIÓN: La velocidad angular que lleva un móvil NO depende de la distancia que lo separe del centro de la circunferencia que describe, ya que el ángulo que barre un móvil en un tiempo determinado (que es lo que determina la velocidad angular) es el mismo independientemente de si se encuentra cerca o lejos del centro de la circunferencia.

4.- RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR Y VELOCIDAD LINEAL La relación que existe entre la velocidad angular y la velocidad lineal viene dada por la siguiente expresión:

v R donde v es la velocidad lineal,  la velocidad angular y R el radio de la circunferencia descrita por el móvil. Demostración: Ya sabemos que el espacio recorrido por un móvil que describe un arco de circunferencia se puede calcular con la siguiente fórmula: s  R   (suponiendo que el ángulo barrido venga expresado en rad).

Despejando de esta fórmula el ángulo barrido tenemos que:



s R

Por otro lado sabemos que la velocidad angular se define así:  

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 t

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Si ahora sustituimos el ángulo barrido en esta última fórmula, nos queda lo siguiente:



 t



s

R  s :t  s  v t R R t R

el espacio recorrido en un tiempo determinado es la velocidad lineal

Así hemos llegado a esta fórmula:  

v R

Ahora solo falta despejar v:

 Es decir,

v  R

R R



v R v R

v    R como queríamos demostrar.

OBSERVACIÓN: A lo largo de la demostración ha salido otra fórmula que puede resultar útil a la hora de resolver problemas:



s R

5.- ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA Recordar que la magnitud que se encarga de medir los cambios que se producen en el módulo de la velocidad se llama aceleración tangencial, y la que mide los cambios que se producen en la dirección de la velocidad se llama aceleración normal o centrípeta. Recordar también que la dirección de la velocidad que lleva un móvil en un punto determinado es la recta tangente a la trayectoria en dicho punto. Así, como en el movimiento circular la dirección de la velocidad va cambiando a lo largo del tiempo, cualquier movimiento circular posee aceleración normal o centrípeta, la aceleración tangencial la poseerá o no dependiendo de si el módulo de la velocidad es constante o varía. La aceleración es una magnitud vectorial, se representa por tanto mediante un vector. En el m.c.u., la aceleración centrípeta es un vector que se dibuja apuntando siempre hacia el centro de la circunferencia que describe el móvil, de ahí su nombre (centrípeta). También se cumple que dicho vector va a ser siempre perpendicular al vector velocidad, por eso también se le llama aceleración normal (ya que cuando dos vectores son perpendiculares se dice que son vectores normales). Recordar que dos vectores o rectas son perpendiculares cuando forman ángulos de 90º. El módulo de la aceleración normal o centrípeta se calcula con las siguientes fórmulas:

an 

v2 R

an   2  R

Recordar que la unidad de la aceleración en el sistema internacional es el m

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s2

.

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6.- FRECUENCIA Y PERÍODO -

La frecuencia se representa por la letra f y es el número de vueltas que da el móvil en un segundo. Su unidad en el sistema internacional se llama Hertzio (Hz) y se puede calcular, por ejemplo, con la siguiente fórmula:   2  f

-

El período se representa por la letra T y es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa; es decir, en barrer un ángulo de 2π radianes. La unidad del periodo en el sistema 2 internacional es el segundo y se puede calcular con la siguiente fórmula:   . T

OBSERVACIÓN: -

Al ser magnitudes inversas, conociendo una de ellas se puede calcular la otra:

f 

1 T

T

1 f

En la práctica lo que se hace es darle la vuelta a los resultados obtenidos. Ejemplo 2: Un aro de 35 cm de diámetro gira a razón de 3 vueltas en cada minuto. Determina el periodo y la frecuencia del movimiento y la aceleración centrípeta.

FIN DEL TEMA

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