´ Algebra lineal. Curso 2087-2009.

Tema 3. Hoja 1

Tema 3. GEOMETRIA ANALITICA.

´ de la recta: 1. Hallar la ecuacion a) que pase por (−4, 3) y tenga pendiente 21 . b) que pase por (0, 5) y tenga pendiente −2. c) que pase por (2, 0) y tenga pendiente 34 . d) que pase por los puntos (−2, −3) y (4, 2). e) que pase por los puntos (−3, 5) y (3, −4). f ) cuya abcisa y ordenada en el origen sean 5 y -3. Expresarlas en forma general, expl´ıcita y normal. ´ de la recta que pasa por (−2, 3) y es perpendicular a la recta 2. Hallar la ecuacion 2x − 3y + 6 = 0. ´ de la recta que pasa por (2, −3) y es paralela a la recta que une 3. Hallar la ecuacion los puntos (4, 1) y (−2, 2). ´ α de la recta que unen los pares de 4. Hallar la pendiente m y el a´ ngulo de inclinacion puntos siguientes: a) (−8, −4) y (5, 9)

b) (−11, 4) y (−11, 10)

c)(8, 6) y (14, 6).

5. Hallar el valor del par´ametro k de forma que: a) 3kx + 5y + k − 2 = 0 pase por el punto (−1, 4). b) 4x − ky − 7 = 0 tenga pendiente 3. c) kx − y = 3k − 6 tenga de abcisa en el origen 5. 6. Demostrar que los puntos A(−3, 4), B(3, 2) y C(6, 1) son colineales. 7. Demostrar, aplicando el concepto de pendiente, que los puntos A(8, 6), B(4, 8) y C(2, 4) son los v´ertices de un tri´angulo rect´angulo. 8. Demostrar que los puntos A(-1,2), B(0,1), C(-3,2) y D(-4,1) son los v´ertices de un paralelogramo. 9. Hallar los a´ ngulos interiores del tri´angulo cuyos v´ertices son A(−3, −2), B(2, 5) y C(4, 2). 10. Sabiendo que el a´ ngulo formado por las rectas r1 y r2 es de 45o , y que la pendiente 2 m1 de r1 es , hallar la pendiente m2 de r2 . 3 1

11. Hallar las coordenadas de los v´ertices de un tri´angulo sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son (−2, 1), (5, 2) y (2, −3). 12. Hallar la distancia desde: a) 8x + 15y − 24 = 0 al punto (−2 − 3) b) 6x − 8y + 5 = 0 al punto (−1, 7) c) y − 8 = 0 al punto (5, 6)

d) x + 4 = 0 al punto (0, 6)

3 e) 2x + 8y − 1 = 0 al punto (2, − ) 8

f ) 3x − 5y = 0 al punto (−4, 3).

13. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (4, −2) y distan 2 unidades del origen. 14. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los a´ ngulos formados por las rectas: r1 = 3x + 4y + 8 = 0 y r2 = 5x + 12y − 15 = 0. 15. Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta 12x − 5y − 15 = 0 que disten de ella 4 unidades. 16. Hallar el valor de k para que la distancia desde la recta 8x + 15y + k = 0 al punto (2,3) sea igual a 5 unidades. 3 17. Hallar las ecuaciones de las rectas de pendiente − que formen con los ejes coorde4 nados un tri´angulo de a´ rea 24 unidades de superficie. 18. Reducir a forma normal las ecuaciones siguientes y hallar p y ω: √ a) 3x + y − 9 = 0, b) 12x − 5y = 0, c) 4y − 7 = 0, d) x + 5 = 0. 19. Trazar las rectas para los valores de p y ω que se indican y escribir sus ecuaciones respectivas: a) p = 5, ω = 30o ,

b) p = 6, ω = 120o ,

c) p = 4, ω = 240o ,

d) p = 5, ω = 315o .

´ de la mediatriz del segmento determinado por los puntos (7, 4) y 20. Hallar la ecuacion (−1, −2). 21. El extremo de un di´ametro de una circunferencia de centro P1 (−4, 1) es P2 (2, 6). Hallar las coordenadas del otro extremo. 22. Dado el tri´angulo de v´ertices A(-2,1), B(5,4) y C(2,-3), hallar la longitud de la altura correspondiente al v´ertice A. ´ de la circunferencia de centro (-2,3) y radio 4. 23. Hallar la ecuacion 2

24. Hallar las coordenadas del centro y radio de la circunferencia x2 +y 2 −3x+5y −14 = 0. ´ de la circunferencia de centro (5,-2) y que pase por el punto (-1,5). 25. Hallar la ecuacion ´ de una circunferencia sabiendo que uno de sus di´ametros es el 26. Hallar la ecuacion segmento que une los puntos (5,-1) y (-3,7). ´ de la circunferencia que pasa por los puntos (2,3) y (-1,1) y cuyo 27. Hallar la ecuacion centro est´a situado en la recta x − 3y − 11 = 0. ´ de la circunferencia inscrita en el tri´angulo cuyos lados est´an 28. Hallar la ecuacion sobre las rectas L1 ≡ 2x − 3y + 21 = 0 L2 ≡ 3x − 2y − 6 = 0 L3 ≡ 2x + 3y + 9 = 0. ´ de la circunferencia circunscrita al tri´angulo cuyos lados est´an 29. Hallar la ecuacion sobre las rectas L1 ≡ x + y = 8; L2 ≡ 2x + y = 14 y L3 ≡ 3x + y = 22. ´ de la circunferencia de centro (-4,2) y que sea tangente a la recta 30. Hallar la ecuacion 3x + 4y − 16 = 0 31. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasen por los puntos A(1,2), B(3,4) y sean tangentes a la recta 3x + y − 3 = 0. ´ 32. Hallar las ecuaciones de las circunferencias tangentes a las rectas x + y + 4 = 0 y 7x − y + 4 = 0 y que tengan su centro en la recta 4x + 3y − 2 = 0 ´ de la circunferencia conc´entrica a la circunferencia x2 + y 2 − 4x + 33. Hallar la ecuacion 6y − 17 = 0 que sea tangente a la recta 3x − 4y + 7 = 0. 34. Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a las circunferencias siguientes en los puntos dados: a) x2 + y 2 = 5; (2,1) b) x2 + y 2 = 25; (3,4). c) 2x2 + 2y 2 − 3x + 5y − 2 = 0; (2,0). d) x2 + y 2 − 6x + 8y − 25 = 0; (-2,1). 35. Demostrar que las ecuaciones de las tangentes de pendiente m a la circunferencia x2 + y 2 = a2 son √ y = mx ± a m2 + 1. 36. Hallar el lugar geom´etrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a los puntos (-2,0) y (2,0) es igual a 6. 3

´ de elipse, hallar la ecuacion ´ de la que tiene como focos F(0,0) 37. Utilizando la definicion y F’(1,1) y su eje mayor es igual a 2. ´ de la elipse cuyos focos est´an en el eje OX y su centro coincide 38. Hallar la ecuacion con el origen de coordenadas, sabiendo adem´as: a) Sus semiejes son iguales a 5 y a 2. b) Su eje mayor es 10 y la distancia entre los focos es 8. c) Su eje menor es 24 y la distancia focal es 10. d) La distancia focal es 6 y la excentridad es e) Su eje mayor es 20 y la excentricidad es f ) Su eje menor es 10 y la excentricidad es

3 5

3 5 12 13

´ de la elipse cuyos focos est´an en el eje OY y su centro es el origen 39. Hallar la ecuacion de coordenadas, sabiendo adem´as: a) Sus semiejes son iguales a 7 y a 2. b) Su eje mayor es 10 y la distancia focal es 8. c) La distancia focal es 24 y la excentricidad es

12 13

d) Su eje menor es 10 y la excentricidad 35 . 40. Dadas las elipses 9x2 + 25y 2 = 225 y 9x2 + 5y 2 = 45, hallar: a) Sus semiejes. b) Sus focos. c) Su excentricidad. 41. Verificar que cada una de las ecuaciones siguientes es una elipse y hallar las coordenadas del centro, los semiejes y la excentricidad: a) 5x2 + 9y 2 − 30x + 18y + 9 = 0;

b) 16x2 + 25y 2 + 32x − 100y − 284 = 0.

´ de las tangentes a la elipse x2 + 4y 2 = 10, que son paralelas a la 42. Hallar la ecuacion recta 3x + 2y + 7 = 0. 43. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse x2 + 4y 2 = 20, que son perpendiculares a la recta 2x − 2y − 13 = 0 ´ de la recta y = x − 1 con la elipse x2 + 4y 2 = 8. 44. Hallar los puntos de interseccion Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse en estos puntos. Hallar los a´ ngulos que forman las tangentes con la recta dada y el que forman entre s´ı las tangentes. 45. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la elipse punto P de abcisa 2 y ordenada positiva.

4

x2 16

+

y2 9

= 1, en el

2

2

46. Hallar las intersecciones de la recta y = 2x + 1 con la elipse x25 + y9 = 1. Hallar las ´ Hallar los a´ ngulos que ecuaciones de las tangentes en los puntos de interseccion. forman dichas tangentes con la recta dada y el que forma entre s´ı las tangentes. , 5 ) se han trazado tangentes a la elipse x2 + 4y 2 = 20, hallar sus 47. Desde el punto A( 10 3 3 ecuaciones. 48. Dos elipses pasan por el punto A(4, −1) y son tangentes a la recta x + 4y − 10 = 0. ´ Hallar la ecuaciones de estas elipses si sus ejes coinciden con los ejes coordenados. ´ de la elipse que es tangente a las dos rectas 3x − 2y − 20 = 0 y 49. Hallar la ecuacion x + 6y − 20 = 0, si sus ejes coinciden con los ejes coordenados. 50. En la elipse igual 32/5.

x2 25

2

+ y9 = 1, hallar el punto cuya diferencia de radios vectores focales es

´ de una elipse de excentricidad 51. Hallar la ecuacion

3 y que pasa por el punto M(1,1). 5

52. Hallar un punto de la recta x + 5 = 0 que equidiste del foco izquierdo y del v´ertice x2 y 2 superior de la elipse + = 1. 25 4 ´ de la hip´erbola cuyos focos est´an situados en el eje OX y su centro 53. Hallar la ecuacion coincide con el origen de coordenadas, sabiendo adem´as que a) Sus ejes son 10 y 8. b) La distancia focal es 10 y el eje imaginario 8. c) La distancia focal es 6 y la excentricidad es 23 . d) El eje real es 16 y la excentricidad

5 4

4 e) Las ecuaciones de las as´ıntotas son y = ± x y la distancia focal 20. 3 ´ de la hip´erbola igual que el ejercicio anterior pero con los focos 54. Hallar la ecuacion sobre el eje OY, sabiendo adem´as que a) Sus semiejes son 6 y 18. b) La distancia focal es 10 y la excentricidad es 35 . c) Las ecuaciones de las as´ıntotas son y = ± 12 x y la distancia entre v´ertices es 48. 5 55. Dadas las siguientes hip´erbolas calcular el centro, los semiejes, los focos, la excentricidad y las ecuaciones de las as´ıntotas: a) 16x2 − 9y 2 = 144

b) 16x2 − 9y 2 − 64x − 54y − 161 = 0

c) 4y 2 − 9x2 + 16y + 18x = 29 d) 9x2 − 16y 2 + 90x + 32y − 367 = 0 e) x2 − 9y 2 + 4x − 5 = 0 5

56. Determinar la excentricidad de la hip´erbola equil´atera. 57. Calcular el a´ rea del tri´angulo formado por las as´ıntotas a la hip´erbola 9x2 − 4y 2 = 36 y la recta 9x + 2y − 24 = 0. ´ de la tangente a la hip´erbola bx2 − ay 2 = a2 b2 , en uno de sus 58. Hallar la ecuacion puntos M (x1 , y1 ) ´ de las tangentes: 59. Hallar la ecuacion a) A la hip´erbola x2 − 4y 2 = 20 perpendiculares a la recta 4x + 3y − 7 = 0 b) A la hip´erbola 4x2 − y 2 = 64 perpendiculares a la recta 10x + 3y + 9 = 0. 60. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hip´erbola x2 − y 2 = 16, trazadas desde el punto A(-1,-7). ´ de la par´abola cuyo v´ertice est´a en el origen de coordenadas, 61. Hallar la ecuacion sabiendo adem´as: a) La p´arabola est´a situada en el semiplano derecho, es sim´etrica respecto al eje OX y su par´ametro es 3. b) Est´a situada en el semiplano izquierdo, es sim´etrica respecto al eje OX y su par´ametro es 0,5. c) Est´a situada en el semiplano superior, es sim´etrica respecto al eje OY y su 1 par´ametro es . 4 d) Est´a situada en el semiplano inferior, es sim´etrica respecto al eje OY y su par´ametro es 3. ´ de las par´abolas siguientes con 62. Determinar el valor del par´ametro y la situacion respecto a los ejes coordenados. a) y 2 = 6x; b) x2 = 5y;

c) y 2 = −4x; c) x2 = −y.

´ de la par´abola cuyo v´ertice est´a en el origen de coordenadas, 63. Hallar la ecuacion sabiendo que a) Es sim´etrica respecto al eje OX y pasa por el punto A(9,6). b) Es sim´etrica respecto al eje OX y pasa por el punto B(-1,3). c) Es sim´etrica respecto al eje OY y pasa por el punto C(1,1). d) Es sim´etrica respecto al eje OY y pasa por el punto D(4,-8). ´ de la par´abola cuyo foco es el punto F (−7, 0) y la ecuacion ´ de su 64. Hallar la ecuacion directriz es x − 7 = 0. ´ de la tangente a la par´abola y = 2px2 en uno de sus puntos. 65. Hallar la ecuacion 6

´ de la recta que es tangente a la par´abola x2 = 16y y perpendicular 66. Hallar la ecuacion a la recta 2x + 4y + 7 = 0. ´ de la recta que es tangente a la p´arabola x2 = 8y y paralela a la 67. Hallar la ecuacion recta 2x + 2y − 3 = 0. 68. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la par´abola y 2 = 36x trazadas desde el punto A(2,9). ´ 69. Clasificar las conicas siguientes: a) x2 + y 2 − 2xy + 2x − 2y + 1 = 0 b) x2 − y 2 + x + 1 = 0 c) x2 + 3x − y 2 + 3y = 0 d) 2x2 − 10xy + 3y 2 − 6x + 2y − 4 = 0 e) x2 + 2xy + y 2 − 6x + 2y + 4 = 0 f ) 3y 2 − xy + x − 4y + 1 = 0 g) 1/2x2 + xy + y 2 − 2x − 2y + 1/2 = 0 h) 2x2 − y 2 + 4y − 1 = 0 i) 2x2 − y 2 + 5x − 4xy − 7y − 3 = 0 j) 2x2 + y 2 + 4y + 2 = 0 70. Una recta r pasa por A(5,-5,7) y por el origen. Hallar las ecuaciones de una recta paralela a ella por el punto P(1,1,-1). ´ relativa de las rectas: 71. Estudiar la posicion r:

x−2 1

=

y 6

  x = −2λ z+1 0 y = −12 + λ = 2 ; r :  z = −5 + 4λ

72. Sea el tri´angulo A(1,0,1); B(1,1,0) y C(0,1,1). Hallar las ecuaciones de los tres lados y ´ del plano que determinan. la ecuacion ´ relativa de las rectas r y s, segun ´ los valores de b: 73. Estudiar la posicion r: s:

x−2 3 x+1 −6

= =

y−1 2 y−1 b+2

= =

z+6 −1 z−3 2

74. Hallar las ecuaciones param´etricas de un plano que pasa por el punto P(3,2,1) y contiene a la recta x = y = z + 6. ´ de un plano paralelo a π : 5x − y + 3z = 0 que pase por el punto 75. Hallar la ecuacion Q(-12, 1,4). 7

´ relativa de los planos: 76. Estudiar la posicion π : x − y + z − 1 = 0 y π 0 : 2x − 2y + 2z = 3 ´ relativa de la recta r y el plano π: 77. Hallar la posicion  x−y+z =1 : π : 4x − 7y + 5z = 0 x+y−z =0 78. Considera las rectas:

y+1 z+m r : x−2 2 = −1 = 2  x = 1 − 3α y = −1 + 4α r0 :  z =5−α

Determinar m de manera que las rectas se corten. Hallar el punto de corte. ´ continua de una recta es 79. La ecuacion x−3 y−1 z+2 = = 2 4 3 ´ las ecuaciones param´etricas y un punto de ella Determinar el vector de direccion, cuya primera coordenada sea 7. 80. Calcula a y b de forma que sean paralelas las rectas: r:

y−3 z−5 x−1 = = 2 a 4 s:

x y z = = b 3 −1

´ relativa del plano 3x-2y+z-3=0 y la recta de ecuacion ´ 81. Determinar la posicion x−1 y = =z+3 3 2 82. Consideremos la recta r, el plano π y el punto P (1, 0, 4), siendo: r:

x−1 y+8 z−2 = = 2 3 5 π : 2x − y + 3z = 1

a) Halla una recta s paralela a r que pase por el punto P. ´ de r y π. b) Calcula el punto de interseccion

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