TEMA 2: VIBRACIONES Y ONDAS PARTE 1 • • • • • •

Movimiento periódico: Periodo Movimiento Oscilatorio: Características Movimiento armónico simple Características cinemáticas del MAS Características dinámicas del MAS Energía del MAS

PARTE 2 • Fenómenos ondulatorios: Pulsos y ondas • Rasgos diferenciales de ondas y partículas: Deslocalización espacial, transporte de cantidad de movimiento y energía sin transporte de materia. • Ondas longitudinales y transversales. Descripción cualitativa de los fenómenos de polarización. • Magnitudes de una onda: Amplitud, frecuencia, periodo, longitud de onda y número de ondas. Relación entre ellas. • Velocidad de propagación: Descripción cualitativa de su dependencia de las propiedades del medio. • Ondas armónicas: Expresión matemática de la función de onda y descripción de sus características. • Periodicidad espacial y temporal de las ondas: su independencia. • Velocidad y aceleración con que vibran los puntos del medio. • Magnitudes asociadas a una onda: Energía, Intensidad y Absorción PARTE 3 • Superposición de ondas: Descripción cualitativa de los fenómenos de interferencia de dos ondas. • Ondas estacionarias: Ondas estacionarias en resortes y cuerdas. Ecuación de una onda estacionaria y análisis de sus características. Diferencias entre ondas estacionarias y ondas viajeras. • Principio de Huygens • Propagación de una onda: Reflexión y refracción en la superficie de separación de dos medios. • Difracción: Diferencias de comportamiento de la luz y del sonido en los fenómenos cotidianos. AMPLIACIÓN • Pulsaciones • Efecto Doppler • Ondas de choque

MOVIMIENTO PERIÓDICO Una partícula describe un movimiento periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, que llamamos periodo, repite sus valores cinemáticos (posición, velocidad y aceleración). Son movimientos periódicos el giro de la manecillas de un reloj, el movimiento circular uniforme, el bote elástico de una pelota, etc MOVIMIENTO OSCILATORIO. CARACTERÍSTICAS Un movimiento oscilatorio es el de una partícula que se desplaza sucesivamente de un lado a otro de un punto central, o de equilibrio, a intervalos regulares de tiempo, que llamamos periodo, y repite sus valores cinemáticos (posición, velocidad y aceleración). Si la trayectoria es rectilínea y el origen se encuentra en el centro se llama vibratorio. Son movimientos oscilatorios el de un muelle, un péndulo, una varilla sujeta por un extremo, una cuerda de guitarra, etc, siempre que en todos los casos se desplacen de la posición de equilibrio y se suelten. Las dos magnitudes que sirven para definir un movimiento oscilatorio son el periodo y la frecuencia: • • •

Se llama periodo al tiempo (T) comprendido entre dos posiciones sucesivas de las mismas características cinemáticas. Se llama frecuencia (ν) al número de oscilaciones que tienen lugar en la unidad de tiempo. (Se mide en seg−1 que recibe el nombre de Hercio) La frecuencia y el periodo son funciones inversas: T=

1 ν

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el movimiento armónico simple (MAS), debido a que además de ser el de más sencilla descripción matemática, es una aproximación muy buena de muchas oscilaciones presentes en la naturaleza. El MAS : • • •

es un movimiento vibratorio y periódico es rectilíneo es acelerado, y en todo momento su aceleración es proporcional y de sentido contrario al desplazamiento de la posición de equilibrio: a = −ω 2 x donde ω es una constante de proporcionalidad y el signo menos indica que la aceleración se opone a la deformación, es decir, que cuando x está en el lado positivo del SR, a apunta hacia el negativo y viceversa.

El movimiento armónico simple puede ser representado como la proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro. Imagina una lápiz sobre el plato de un tocadiscos que gira con velocidad angular constante. Si lo proyectamos sobre la pared obtendríamos un MAS.

Supongamos un punto P que describe un movimiento circular uniforme con una velocidad angular ω y gira en sentido antihorario con un radio A. Según que lo proyectemos sobre un eje u otro obtendríamos el MAS de un resorte que oscila verticalmente o el MAS de un resorte oscila horizontalmente.

Como vemos, al proyectar sobre el eje X obtenemos una función coseno y si proyectamos sobre el eje Y obtenemos una función seno. Ambos resultados son equivalentes ya que el seno de un ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario, así que no habría más que sumarle o restarle π/2 al ángulo inicial ϕo para que las dos funciones sean la misma. Quiere decir que cos α = sen (α + π2 ) o bien que senα = cos(α − π2 ) (Precisamente π/2 es lo que ha variado nuestro punto de vista para obtener una u otra proyección.)

Para el describir el movimiento de una partícula que ejecuta un MAS utilizaremos la expresión: x = Asen(ω ⋅ t + ϕ o ) donde: •

• •

• •

x es elongación, es decir, la distancia en cada momento a la posición de equilibrio. Normalmente utilizamos la x, pero si el MAS tiene lugar en dirección vertical podríamos escribir y = Asen (ω ⋅ t + ϕ o ) A es la amplitud, es decir la elongación máxima ω se llama pulsación o frecuencia angular e indica el número de veces que el ciclo completo se repite en 2π segundos. 2π ω= = 2πν T ωt + ϕ o se llama fase e indica la situación del punto que vibra en relación a un ciclo completo ϕ o es la fase inicial, es decir la situación en referencia al ciclo completo que tiene la partícula en el momento t=0.

Si representamos la elongación en función del tiempo, obtendremos una sinusoide. Para eso le damos valores al tiempo cada cuarto de periodo:

(la representación en el caso de que ϕ o ≠ 0 sería igual, solo que desplazando el eje el valor correspondiente. El eje sería el de color verde.) Observa en la gráfica como el valor de la elongación va aumentando con el tiempo hasta llegar al valor máximo (amplitud) en el momento en que t=T/4 y luego comienza a disminuir hasta anularse para t=T/2. Luego sigue creciendo hasta llegar al máximo negativo para t=3T/4, etc

CINEMÁTICA DEL MAS Si la elongación del MAS viene dada por x = Asen(ωt + ϕ o ) entonces la velocidad vendrá dada por su derivada respecto al tiempo, así que: v=

dx = Aω ⋅ cos(ωt + ϕ o ) dt

si representamos la velocidad en función del tiempo, y para ello le damos valores de cuarto en cuarto de periodo, obtendremos:

• •

como es de suponer la gráfica de la función coseno está desfasada π/2 respecto de la función seno comparando la gráfica de la elongación con la velocidad se observa que cuando x=0, la velocidad es máxima y que cuando x=A, v=0. Eso es lo esperado, ya que si pensamos por ejemplo en el muelle, en los extremos, donde la elongación es máxima la velocidad es nula, porque allí se para, y luego empieza a crecer hasta llegar a su máximo en la posición de equilibrio, donde x=0.

Relación entre la velocidad y la elongación. Si elevamos la ecuación de la velocidad al cuadrado y tenemos en cuenta que sen 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 v 2 = A 2 ω 2 cos 2 ϕ = A 2 ω 2 (1 − sen 2 ϕ) = ω 2 (A 2 − A 2 sen 2 ϕ) = ω 2 (A 2 − x 2 ) sustituyendo x: v = ±ω A 2 − x 2 Observa como efectivamente, cuando x=0 la velocidad es máxima e igual a Aω. El signo positivo o negativo es la consecuencia de resolver la raíz cuadrada, e indica que para cada valor de x hay dos velocidades una de cuando el móvil se acerca a la posición de equilibrio y otra para cuando está en el mismo sitio pero alejándose.

La aceleración se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación de la velocidad: a=

dv = − Aω 2 sen (ωt + ϕ 0 ) dt

teniendo en cuenta que x = Asen(ωt + ϕ o ) , podemos poner que : a = −ω 2 x que como ya dijimos anteriormente es la condición para que un movimiento sea MAS. Si representamos gráficamente la ecuación de la aceleración obtendremos:

• •

La aceleración está desfasada π respecto de la elongación La aceleración toma sus valores máximos absolutos en los mismos momentos que la elongación, lo que pasa es que como tienen un desfase de π, cuando una tiene su máximo positivo la otra tiene el máximo negativo y viceversa.

Resumen: Para mayor sencillez vamos a suponer que la fase inicial es φo=0, es decir, que en el momento t=0, x=0 Magnitudes cinemáticas

Valor máx

x = A sen ωt

x máx = A

Relación con x

v=

dx = Aω ⋅ cos ωt dt

v máx = Aω

v = ±ω A 2 − x 2

a=

dv = − Aω 2 sen ωt dt

a máx = Aω 2

a = −ω 2 x

gráfica (magnitud/t)

Si observas detenidamente las ecuaciones de x y v comprenderás que ambas magnitudes estén desfasadas un cuarto de periodo ya que una es función seno y la otra coseno. Ello significa que cuando una toma su valor máximo la otra toma su valor nulo. Puedes verlo también en las gráficas correspondientes. También puedes verlo muy claramente en la relación entre ambas, ya que si por ejemplo x=0 → v = ±ω A 2 − 0 2 = Aω = v máx

Por su parte x y a están desfasadas medio periodo, ya que ambas son función seno, pero una tiene el signo cambiado respecto a la otra,. Ello significa que cuando una toma el valor máximo positivo, la otra toma su máximo negativo. Puedes verlo claramente en la relación entre ambas magnitudes a = −ω 2 x , que además es la condición de MAS. Cuando x=0 → a=0 y cuando x=A → a = −Aω 2

En la figura hemos dibujando las tres gráficas “superpuestas“ correspondientes a masa que ejecuta un MAS sujeta a un resorte. Préstale atención a cada una de las gráficas hasta que las entiendas muy bien, en especial a los valores que cada una de las magnitudes cinemáticas toma cada cuarto de periodo y a cómo esos valores se corresponden con las curvas de la derecha. Imaginemos una masa sujeta a un resorte y que ejecuta un MAS. Supongamos que empezamos a contar el tiempo cuando la masa pasa por la posición de equilibrio moviéndose hacia la derecha. En tal caso: Durante el primer cuarto de periodo la masa se mueve desde la posición de equilibrio x=0 (donde la velocidad es máxima) hasta x=A. Durante ese tramo la aceleración tiene sentido opuesto a la velocidad (y por supuesto la Fuerza recuperadora del muelle que r r es quién la provoca FRe cup = − K x i ) por eso el cuerpo va frenando hasta pararse en x=A. En x=A la masa está parada, pero la fuerza recuperadora, que sigue apuntando hacia la posición de equilibrio (tiene sentido r − i ,) comienza a tirar de ella. Como ahora velocidad y aceleración tienen el mismo sentido el movimiento es acelerado. Cuando llega a la posición x=0 la velocidad vuelve a ser máxima, aunque ahora tiene sentido contrario al inicial. Por inercia rebasa la posición de equilibrio, pero inmediatamente que entra en x negativo la fuerza recuperadora cambia de sentido y, al tener aceleración en sentido contrario a la velocidad, empezará a frenar hasta pararse en x=‒A. (*) Al tomar x valores negativos, la fuerza recuperadora r r r FRe cup = − K x i tiene sentido + i , por eso siempre apunta hacia la posición de equilibrio. Una vez parado en x=‒A, la fuerza recuperadora (responsable de haberlo frenado) como mantiene el sentido hacia la posición de equilibrio comienza a acelerarlo conforme disminuye su distancia a x=0, donde llegará otra vez con la velocidad máxima. Al haberse empleado un periodo completo, la masa vuelve a tener exactamente los mismo valores cinemáticos

Ejemplo: Cuando la cuerda de una guitarra da la nota La vibra con una frecuencia de 440 Hz. Si se desplaza 5mm a ambos lados de la posición de equilibrio, y si en el momento inicial se encuentra a 2mm a la izquierda de la posición de equilibrio y moviéndose a la derecha, calcula: a) Ecuación de la elongación, velocidad y aceleración La pulsación será: ω=

2π = 2π ⋅ ν = 880π rad/s T

teniendo en cuenta que la amplitud es igual al máximo desplazamiento de la posición de equilibrio, A=0,005m, la ecuación de la elongación del MAS será: x = Asen(ωt + ϕ o ) = 0,005 ⋅ sen (880πt + ϕ o ) para completar la ecuación todavía nos queda calcular la fase inicial. Para ello tendremos en cuenta que tal como puede verse en la figura, en el momento inicial (t=0) la elongación es x=−0,002m. ¿Entiendes ahora el significado de la fase?

para el momento t=0, tenemos que:

− 0,002 = 0,005 ⋅ sen (ϕ o )

⇒

ϕ o = −0,41 rad

así que la ecuación de la elongación de un punto de la cuerda será: x = 0,005 ⋅ sen (880πt − 0,41) Su velocidad y aceleración serán la primera y segunda derivada respecto al tiempo, así:

v=

dx = 0,005 ⋅ 880π cos(880πt − 0,41) = 4,4π cos(880πt − 0,41) dt

a=

dv = −4,4π ⋅ 880πsen (880πt − 0,41) = −3872π 2 sen (880πt − 0,41) dt

DINAMICA DEL MAS Teniendo en cuenta que un MAS es un movimiento vibratorio en el que debe cumplirse que a = −ω 2 x . De acuerdo con la segunda ley de Newton, si la condición de MAS la multiplicamos por la masa del oscilador tendremos que la fuerza que provoca el MAS (llamara fuerza recuperadora por lo que ahora veremos) será:

Frecup = m a = − m ω 2 x = − k x quiere decir que:

• La fuerza es proporcional al desplazamiento de la posición de equilibrio y el “signo menos” indica que la fuerza (al igual que aceleración) se opone a la deformación, , es decir, que cuando x está en el lado positivo del SR, a apunta hacia el negativo y viceversa, por ese motivo se llama fuerza recuperadora porque siempre apunta hacia la posición de equilibrio. • La constante de proporcionalidad, llamada constante elástica, es k = m ω 2 y es una constante característica para cada sistema. • Para una masa determinada, la frecuencia angular es también una constante del sistema. Como ω = 2π = 2π ν quiere decir también que cada sistema vibra con T un periodo propio y una frecuencia propia y característica.

El oscilador armónico ideal no es más que una masa m sujeta a un muelle de constante elástica k. Como sabemos la fuerza recuperadora, que viene dada por la ley de Hooke es:

 2π  = − kx = ma = −m ω x = − m   x  T  2

Frecup

2

donde se ha tenido en cuenta que la condición para que un movimiento se pueda considerar un MAS es que en todo momento su aceleración sea proporcional y de sentido contrario al desplazamiento de la posición de equilibrio: a = −ω 2 x , así como que ω = 2π / T

Despejando k de la 2ª y 3ª k = m ω2

Despejando el periodo de la 2ª y última m T = 2π k

Observa que: • El periodo (y la frecuencia) no depende de la amplitud de las oscilaciones. Solo depende de la masa y de la constante del muelle (como ya apuntamos antes) • También es independiente de si el muelle oscila horizontal o verticalmente

El péndulo simple o matemático no es más que una masa m sujeta a un hilo de longitud L y masa despreciable que está sujeto por el otro extremo y ejecuta pequeñas oscilaciones de forma que prácticamente el arco que describe sea una recta. Como sabemos, en este caso, la fuerza recuperadora es debida a la componente del peso:

x  2π  = − mgsenα = − mg = ma = −m ω 2 x = − m   x L  T  2

Frecup

donde se ha tenido en cuenta que senα = x/L y que la condición para que un movimiento se pueda considerar un MAS es que en todo momento su aceleración sea proporcional y de sentido contrario al desplazamiento de la posición de equilibrio: a = −ω 2 x , así como que ω = 2π / T . Despejando el periodo de la 3º y última: T = 2π

L g

Observa que: • El periodo no depende de la amplitud de las oscilaciones, ni tampoco de la masa. Solo depende de la longitud del péndulo y del valor de la gravedad

Ejemplo: La lámpara de la iglesia de Atarfe está colgada de un hilo de 5 m de longitud. Si comienza a oscilar ligeramente como consecuencia de una corriente de aire, podemos contar que ejecuta 13 oscilaciones en un minuto. Calcular el valor de la aceleración de la gravedad. La frecuencia de las oscilaciones es:

ν=

13 = 0,22Hz 60

T=

⇒

1 1 = = 4,54seg ν 0,22

y como: T = 2π

L g

⇒

g=

4π 2 L 4π 2 ⋅ 5 = = 9,6m / s 2 2 T 4,54

E1A.S2014 1. a) Describa el movimiento armónico simple y comente sus características dinámicas. b) Un oscilador armónico simple está formado por un muelle de masa despreciable y una partícula de masa, m, unida a uno de sus extremos. Se construye un segundo oscilador con un muelle idéntico al del primero y una partícula de masa diferente, m’. ¿Qué relación debe existir entre m’ y m para que la frecuencia del segundo oscilador sea el doble que la del primero? b) Como los dos muelles son iguales, ambos tienen la misma constante elástica K. Escribimos la frecuencia (inversa al periodo) para ambos sistemas y dividimos miembro a miembro:

ν=

1 k 2π m

ν´= 2ν =

1 k 2π m´

1 m´ = 2 m

→

m´= m / 4

E1B.S2001 Un objeto de 0,2 kg, unido al extremo de un resorte, efectúa oscilaciones armónicas de 0,1 π s de período y su energía cinética máxima es de 0,5 J. a) Escriba la ecuación de movimiento del objeto y determine la constante elástica. b) Explique cómo cambiarían las características del movimiento si: i) se sustituye el resorte por otro de constante elástica doble; ii) se sustituye el objeto por otro de masa doble. a) x = A sen (ω ⋅ t + ϕ o ) 2π 2π ω= = = 20 rad / s T 0,1π 1 1 Ec máx = mv 2máx = m (Aω) 2 2 2 x = 0,11sen (20 t )

F = − K x = m a = m ( −ω 2 x ) b)

v=

dx = Aω ⋅ cos(ωt ) dt

→

→ a=

0,5 =

1 0,2 (A 20) 2 → 2

A=0,11m

K = m ω 2 = 0,2 ⋅ 20 2 = 80 N / m

dv = − Aω 2 sen (ωt ) dt

i) Si duplicamos la constante elástica, manteniendo la masa, debe variar la frecuencia angular, ya que K´= m ω´2 = 2 ⋅ K = 2 ⋅ m ω 2 → ω´= 2 ⋅ ω La velocidad máxima (vmáx=Aω) aumentará en 2 La aceleración máxima (amáx =Aω2) aumentará el doble. ii) Si duplicamos la masa, manteniendo K, igualmente debe variar la frecuencia ω angular, ya que K = m´ ω´2 = 2m ω´2 = m ω 2 → ω´= 2 La velocidad máxima disminuirá en 1 / 2 y la aceleración máxima se hará la mitad.

ENERGÍA EN UN MAS Energía potencial: Ya hemos dicho anteriormente, que las fuerzas recuperadoras elásticas son fuerzas centrales y por tanto conservativas, así que como consecuencia podemos definir el incremento de energía potencial entre dos puntos como el trabajo que hemos de realizar nosotros para llevarlo desde un punto a otro.

r r B r r B 1 = ∫ FRe cuperadora • d r = ∫ − kx ⋅ i • dx ⋅ i = ∫ − kx ⋅ dx = − kx 2 2 A resorte A A 1 1 = kx 2A − kx 2B = − ∆Ep = Ep A − Ep B 2 2 B

WA→B F.Conser .( F. Re cuperadora )

B A

Si asignamos cero a la Ep del resorte cuando está en la posición de equilibrio, podremos hablar de energía potencial absoluta, así la Ep de un punto que dista x del origen sería: 1 Ep = kx 2 2 • Como vemos la Ep es máxima en los extremos, donde x=±A , Ep max = 12 kA 2 y es nula en la posición de equilibrio, donde x=0. • A partir de esa expresión y teniendo en cuenta que para un oscilador k = m ω 2 , 1 1 podríamos escribirla como: Ep = kx 2 = mω 2 x 2 2 2 La representación gráfica de la Ep que tiene el punto en función de x, es decir, de la posición que ocupa respecto de la posición de equilibrio sería exactamente igual que si representásemos la función y=5x2, una parábola, solo que ahora en el eje de ordenadas estará la Ep y en el eje de abscisas la x que tomará valores desde −A hasta +A puesto que no puede tomar otros.

La Energía cinética de la masa que oscila ejecutando un MAS es: 1 Ec = mv 2 2 Si tenemos en cuenta que v = ± ω A 2 − x 2 , podemos escribir la Ec en función de la elongación como: 1 1 1 Ec = mv 2 = mω 2 (A 2 − x 2 ) = k (A 2 − x 2 ) 2 2 2

• Como puede verse en ambas formas de expresar a la Ec, en el caso de que el punto se encuentre en el origen, donde x=0 y la velocidad es máxima, Ec max = 12 mv 2max = 12 m ω 2 A 2 = 12 kA 2 (Recuerda que v = dx dt = Aω ⋅ cos(ωt + ϕ o ) y que por tanto la v max = Aω ) La representación gráfica de la Ec que tiene el punto en función de x, es decir, de la posición que ocupa respecto de la posición de equilibrio sería exactamente igual que si representásemos la función y=10−5x2, una parábola invertida. En el eje de ordenadas estará la Ec y en el eje de abscisas la x que tomará valores desde −A hasta +A puesto que no puede tomar otros.

Conservación de la energía mecánica en el MAS: Puesto que las fuerzas recuperadoras son centrales y por tanto conservativas, se tiene que cumplir el principio de conservación de la energía mecánica, de manera que en todo momento: E = Ec + Ep = cte. Al conservarse la energía mecánica será igual en todo momento a la suma de ambas, pero también será igual a la potencial máxima Ep max = 12 kA 2 y también a la cinética máxima Ec max = 12 mv 2max = 12 m ω 2 A 2 (Si te das cuenta verás que ambas expresiones son totalmente equivalente, ya que k = m ω 2 ) E = Ec + Ep =

1 1 1 1 1 1 mv 2 + kx 2 = mω 2 (A 2 − x 2 ) + mω 2 x 2 = mω 2 A 2 = kA 2 2 2 2 2 2 2 Ec + Ep Ec + Ep Ec máx Epmáx para x=0 para x=A

Como puede verse: • En los extremos, donde x=±A, la Ec=0 y la Ep es máxima. • En el origen la velocidad es máxima y también la energía Ec, mientras que Ep=0 • En cualquier otro punto se cumple que E = Ec + Ep = 12 mω 2 A 2 = 12 kA 2 = cte. como corresponde a un sistema conservativo. Representación gráfica • Si representamos la ecuación de la energía potencial Ep = 12 kx 2 en función de la elongación obtendremos una parábola (gráfica en rojo, que es exactamente igual que si representásemos una ecuación como y = 5x 2 ) • Si ahora representamos la energía cinética Ec = 12 m ω 2 (A 2 − x 2 ) en función de la elongación obtendremos una parábola invertida (gráfica en azul, que es exactamente igual que si representásemos una ecuación como y = 10 − 5x 2 , por cierto que en este caso 10 sería la energía total) • Si representamos a la energía mecánica obtendremos una recta ya que es constante. (Es como si representásemos y=10) • Observa como para cualquier valor de x, la suma de la Ec + Ep = E

Ejemplo: Si una lámpara tiene una masa de 20Kg y está colgada de un hilo de 5 metros, calcular su energía mecánica cuando está oscilando y forma un ángulo máximo de 2º respecto de la vertical. ¿Cuánto valdrá la Ec y la Ep en el momento en que forma 1º con la vertical? a) Si la cuerda de 5m se desplaza 2º de la vertical, la amplitud será: A = 5 ⋅ sen 2º = 0,174m

g por tanto, como la energía L mecánica es igual, por ejemplo, a la potencial máxima:

La pulsación del péndulo es ω =

E = Ep máxima =

1 1 g 1 10 mω 2 A 2 = m A 2 = 20 0,174 2 = 0,60J 2 2 L 2 5

o bien, teniendo en cuenta que Frecup = − mgsenα = − mg y como E = Ep máxima =

x mg = −Kx → K = L L

1 1 g KA 2 = m A 2 = 0,60J 2 2 L

b) En el momento en que forma 1º con la vertical, la elongación será x = 5 ⋅ sen1º = 0,087 m 1 1 1 g 1 10 mv 2 = mω 2 (A 2 − x 2 ) = m (A 2 − x 2 ) = 20 (0,174 2 − 0,087 2 ) = 0,45J 2 2 2 L 2 5 1 1 g 1 10 Ep = mω 2 x 2 = m x 2 = 20 0,087 2 = 0,15J 2 2 L 2 5 Ec =

Como puedes ver se cumple que E=Ec+Ep E4B.S2012 2. a) Energía mecánica de un oscilador armónico simple. Utilice una representación gráfica para explicar la variación de las energías cinética, potencial y mecánica en función de la posición. b) Dos partículas de masas m1 y m2 (m2 > m1), unidas a resortes de la misma constante k, describen movimientos armónicos simples de igual amplitud. ¿Cuál de las dos partículas tiene mayor energía cinética al pasar por su posición de equilibrio? ¿Cuál de las dos pasa por esa posición a mayor velocidad? Razone las respuestas. a) Teoría b1) Al pasar por la posición de equilibrio tendrá la energía cinética máxima (igual a la energía mecánica) viene dada por E = 12 mω 2 A 2 = 12 KA 2 . Aparentemente, de la primera forma de expresar la energía mecánica podría pensarse que es función de la masa, pero no es así ya que si cambia la masa también debe cambiar la frecuencia para mantener el valor de K. Así que donde se ve claramente que ambas masas tendrán la misma energía cinética es en la segunda forma de expresar la energía mecánica, ya que solo depende de K y de A y es independiente de la masa.

b2) Puesto que la energía cinética máxima es igual para las dos masas, es evidente que la de mayor masa deberá tener menor velocidad, ya que Ec = 12 m v 2 E3A.S2010 a) Explique qué es un movimiento armónico simple y cuáles son sus características dinámicas. b) Razone cómo cambiarían la amplitud y la frecuencia de un movimiento armónico simple si: i) aumentara la energía mecánica, ii) disminuyera la masa oscilante. a) Teoría b) Teniendo en cuenta que:

1 K A 2 por tanto,( 2 para un sistema concreto de constante elástica K), solo depende de la amplitud. • Por otro lado, la frecuencia del MAS de un oscilador viene dada por: m 1 T = 2π = que como vemos solamente depende de la masa oscilante y de K ν la constante elástica. Quiere decir que para un sistema concreto formado por un resorte y una masa fija, la frecuencia de oscilación es una característica del sistema. b1) Al aumentar la energía mecánica aumentará la amplitud, pero permanecerá inalterada la frecuencia de oscilación que es una característica del sistema. b2) Al disminuir la masa oscilante aumentará la frecuencia, pero permanecerá constante la amplitud, ya que no depende de la masa.

• La energía mecánica viene dada por E = Ec + Ep = Ep máx =

E2A.S2010 Un cuerpo, situado sobre una superficie horizontal lisa y unido al extremo de un resorte, efectúa un movimiento armónico simple y los valores máximos de su velocidad y aceleración son 0,6 m.s−1 y 7,2 m.s−2 respectivamente. a) Determine el período y la amplitud del movimiento. b) Razone cómo variaría la energía mecánica del cuerpo si se duplicara: i) la frecuencia; ii) la aceleración máxima. a) La ecuación general de un cuerpo que ejecuta un MAS es: x = Asen(ω ⋅ t + ϕ o ) . Derivándola respecto al tiempo obtenemos la velocidad y a su vez, derivando ésta obtenemos la aceleración, así que: dx v= = Aω ⋅ cos(ωt + ϕ o ) dt dv a= = − Aω 2 sen (ωt + ϕ 0 ) dt como vemos, los valores de la velocidad máxima y de la aceleración máxima son: v máx = Aω

0,6 = Aω

a máx = Aω

7,2 = Aω 2

2

de donde A = 0,05m y ω=12 rad/s

Teniendo en cuenta que ω=2π/T se deduce que T=π/6 seg y que la frecuencia es ν=6/π Hz

b1−a) La respuesta estricta a esta pregunta sería que un sistema concreto vibra con una frecuencia característica y por tanto no es posible cambiarla, ya que la frecuencia solamente depende de la constante del muelle (que es una característica del muelle) y de la masa que oscila. Sabemos que el periodo (y la frecuencia que es la inversa) viene dado por

T = 2π

m 1 = K ν

b1−b) Como puede verse, la frecuencia solo depende de la masa oscilante y de la constante. Si no podemos cambiar la masa del cuerpo y queremos cambiar la frecuencia de oscilación deberemos cambiar de muelle. Vamos a ver qué relación existe entre la energía de dos muelles que vibran con frecuencias ν y 2ν. Teniendo en cuenta que los resortes son sistemas conservativos, y que por tanto la suma de la energía cinética y potencial permanece constante, resulta que la energía mecánica será igual a la potencial máxima o bien a la cinética máxima, y como K=mω2 y ω=2π/T=2πν: E = Ec + Ep = Ep máx =

1 1 1 KA 2 = mω 2 A 2 = m 4π 2 ν 2 A 2 2 2 2

Como vemos, la energía de un sistema concreto solo es función de su amplitud (de su cuadrado) y de la constante. Por eso decíamos de cambiar de muelle para poder alterar la frecuencia del sistema, ya que la energía mecánica es proporcional al cuadrado de la frecuencia E=f(ν2) por tanto, si se duplica la frecuencia ("cambiando de resorte"), la energía mecánica se hará 4 veces mayor. Podríamos contestar a otra pregunta: “Qué relación guardan las constantes elásticas de dos resortes para que uno oscile con una frecuencia doble que el otro”. Despejando K tenemos: K = m ω 2 = 4π 2 m ν 2 K´= m ω´2 = 4π 2 m ν´2 = 4π 2 m (2ν) 2

div. miembro a miembro → K´= 4K

b2). Teniendo en cuenta que la a máx = Aω 2 (y puesto que para un sistema concreto la frecuencia con que oscila es una constante característica del mismo y por tanto también lo será la frecuencia angular ω = 2 π ν ), es evidente que, si se duplica la aceleración máxima se duplica la amplitud. Y como: 1 E = Ec + Ep = Ep máx = KA 2 2 Si la amplitud A se hace el doble, la energía mecánica se hará 4 veces mayor.

E2B.S2009 a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique el significado de cada una de las variables que aparecen en ella. b) ¿Cómo cambiarían las variables de dicha ecuación si se duplicaran el periodo de movimiento y la energía mecánica de la partícula? a) Teoría b) La ecuación de una partícula que ejecuta un MAS es x = Asen(ω ⋅ t + ϕ o ) En primer lugar, si se duplica el periodo de las oscilaciones variará la pulsación o frecuencia angular haciéndose la mitad ya que es inversamente proporcional al periodo: ω´=

2 π 2π ω = = T ' 2T 2

Por otro lado, si la energía mecánica se hace el doble variará la amplitud, puesto que depende del cuadrado: E= ½KA2 Lo que ocurre es que si la energía se hace el doble la amplitud no aumenta en A´= 4 A como parece a bote pronto, ya que si también hemos duplicado el periodo hemos necesitado cambiar la constante elástica (el periodo depende de la masa y de la constante: K=mω2 ). Así pues: 1 mω 2 A 2 2 1 E´= mω´2 A´2 2

E=

Div.miembro a miembro

E 1 ω2 A 2 ω2 A 2 = 2 2 = = 2 E´ ω´ A´ 2  ω 2   A´ 2

⇒ A´= 8A

FENÓMENOS ONDULATORIOS En éste capítulo nos referiremos solo a ondas mecánicas, que son aquellas que necesitan un medio elástico para propagarse. Imaginemos un medio compuesto por muchas partículas unidas por una sustancia elástica. Si uno de sus extremos se perturba, es decir sufre una deformación, la experiencia nos dice que ésta se propaga a través del medio, aunque no lo hace de manera instantánea. Cuando tiramos una piedra a un estanque la deformación se transmite de unos puntos a otros y así sucesivamente, pero lo hace con un cierto retraso que depende de las propiedades del medio. Cuando se enciende una bombilla, se da una palmada o tiramos una piedra al agua generamos fenómenos que tienen una cosa en común: En cada caso hay una propiedad que varía con el tiempo (la propagación de un campo electromagnético, la presión de los puntos del medio o el desplazamiento de las partículas de agua) y se transmite a través del medio de unos puntos a otros, pero de forma que el medio en sí no es transportado. Por tanto, en un movimiento ondulatorio hay un transporte de energía a través del medio, pero no de masa, ya que las partículas el medio oscilan alrededor de una posición de equilibrio y se transfieren la energía de unas a otras, pero no se desplazan en conjunto. Tipos de ondas: Las ondas se pueden clasificar atendiendo a varios aspectos. 1. Según el medio en que se propagan se clasifican en : •

Ondas mecánicas. Son aquellas en las que la perturbación producida en un punto se transmite a las demás debido a las propiedades elásticas del medio, es decir que la presencia del medio es indispensable para que tenga lugar la propagación y por tanto la onda. (No obstante insistimos que el medio en su conjunto no se desplaza, solo vibra. Piensa en una boya que al alcanzarla la ola sube y baja, pero no se desplaza en conjunto.) El sonido es una onda de este tipo y por tanto no puede propagarse en el vacío.

•

Ondas no mecánicas: Son las que pueden propagarse aun sin un medio soporte, es decir que pueden hacerlo en el vacío. A este tipo pertenecen todas las ondas electromagnéticas, como la luz, que son el objetivo de otro tema.

2. Atendiendo a la relación que existe entre la vibración de las partículas del medio y la dirección de propagación de la onda, se clasifican en : •

Ondas transversales: Son aquellas en las que las partículas del medio vibran en dirección perpendicular a la propagación de la onda.

En una onda transversal cada punto del medio ejecuta un MAS en dirección perpendicular a la de propagación de la onda. Las ondas transversales para propagarse necesitan un medio que presente fuerzas tangenciales que se opongan a la deformación, por esa razón solamente se propagan en sólidos y no pueden propagarse en el interior de líquidos ni gases, ya que sus moléculas carecen de este tipo de fuerza tangenciales. Las ondas longitudinales, por el contrario, pueden propagarse en cualquier medio. •

Ondas longitudinales: Son aquellas en las que las partículas del medio vibran en la misma dirección en que se propaga la onda.

En una onda longitudinal cada punto del medio ejecuta un MAS en la misma dirección en que se desplaza la onda. Este tipo de ondas se explica mediante una serie de comprensiones y enrarecimientos (expansiones) sucesivos en el medio. Para entenderlo mejor piensa en varias bolas todas iguales suspendidas a la misma altura.

Al dejar caer la primera bola, la energía que tiene es la que comunica a la segunda y esta a la siguiente y así sucesivamente hasta llegar a la última. En este caso, como en una onda, se transporta la energía de una bola a la siguiente pero no la masa y tiene lugar por las comprensiones y enrarecimientos mencionados:

El sonido es una onda longitudinal y su propagación se explica como en el caso de las bolas, así cuando se da una palmada la perturbación da lugar a una serie de comprensiones y enrarecimientos de la masa gaseosa que se encuentra a su alrededor. Polarización de las ondas transversales En una onda transversal la dirección de vibración de los puntos es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. quiere decir que, si por ejemplo la onda se propaga en dirección del eje X, los puntos podrán vibrar en cualquier dirección siempre que esté contenida en el plano YZ, como se muestra en la figura. Esta sería una onda no polarizada:

En el caso de que todos los puntos vibren en la misma línea si dice que la onda está polarizada linealmente o que tiene polarización plana (porque todos los puntos vibran en el plano formado por la línea de vibración y la dirección de propagación)

Una onda se puede polarizar de varias formas. Por ejemplo haciéndola pasar por una rendija, tras lo cual saldrá polarizada en el plano que forma la rendija con la dirección de propagación:

También se puede polarizar por reflexión, ya que siempre que una onda se refleja se polariza en mayor o menor medida, dependiendo del ángulo con que incide. (La polarización es total cuando el ángulo de incidencia es tal que el de reflexión + el de refracción suman 90º). La luz también se puede polarizar por absorción como ocurre en las hoja polaroid (está formada por moléculas largas ordenadas paralelamente que hacen de rendija). La polarización es un fenómeno exclusivo de las ondas transversales, incluida la luz. No tiene ningún sentido para las ondas longitudinales puesto que es ellas los puntos solamente tienen una única dirección de vibración que es la que coincide con la dirección de propagación de la onda.

MAGNITUDES DE UNA ONDA. Longitud de onda (λ) es la distancia que hay entre dos puntos consecutivos que están en fase, es decir que tienen los mismos valores de elongación, velocidad, aceleración, etc)

El número de onda (ν~ ) es una magnitud que indica el número de longitudes de onda que hay en 1 metro. Es la inversa de la longitud de onda, y por tanto se mide en m−1:

1 ~ ν= λ

Periodo (T) es el tiempo que tarda la onda en recorrer una longitud de onda, es decir el tiempo que tarda en pasar una longitud de onda por delante de un observador estacionario. El periodo coincide con el periodo de vibración de las partículas del medio, que como sabemos es el tiempo que tardan en dar una oscilación completa. Frecuencia (ν) es la inversa del periodo, es decir es el número de longitudes de onda que ve pasar un observador estacionario en la unidad de tiempo. T=

1 ν

Amplitud (ymáx) es la separación máxima de la posición de equilibrio que experimentan los puntos del medio cuando vibran. Como ya vimos en el MAS depende de la energía que lleve la onda: 1 E = K y 2máx 2 donde K era una constante elástica característica del medio.

VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS La velocidad de propagación de la onda (v) es la distancia recorrida por la onda en la unidad de tiempo. Todas las ondas tienen una velocidad de propagación constante que depende de las características del medio, ya que influyen las fuerzas recuperadoras elásticas del medio. (En la ampliación puedes ver esta dependencia de las características del medio con velocidad de propagación de las ondas transversales, longitudinales y electromagnéticas.) Puesto que el tiempo que la onda tarda en recorrer una longitud de onda es por definición el periodo, tenemos que:

v onda =

λ = λ⋅ν T

No debe confundirse la velocidad con que se propaga la onda (que es constante para cada medio) con la velocidad con que vibran los puntos del medio, que como sabemos ejecutan un MAS y su velocidad viene dada por v puntos = Aω ⋅ cos(ωt + ϕ o )

Ejemplo Sabiendo que las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de la luz (c=3.108 m/s) Calcular la longitud de onda en que emite Radio Ilíberis, si lo hace a una frecuencia de 101,5 MHz. v = λ⋅ν 3 ⋅ 10 8 = λ ⋅ 101,5 ⋅ 10 6

λ = 2,96m

ONDAS ARMÓNICAS. EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA ECUACIÓN DE ONDAS

En un movimiento vibratorio era suficiente con conocer la elongación del único punto que vibra en función del tiempo: y=f(t) En una onda (como hay muchos puntos ejecutando un movimiento vibratorio) es preciso conocer la elongación (y) de cada punto (x) y en cada momento (t), es decir que y=f(x,t). Es muy importante recordar que la ecuación de una onda depende de dos variables: x y t Supongamos una cuerda larga en dirección del eje X por la que avanza una onda transversal. Si en el instante t=0 le hacemos una foto, la forma de la cuerda se podría representar por una ecuación del tipo: t=0 Donde:

y = f (x )

• •

y es la elongación de cada uno de los puntos de la cuerda x es la distancia de cada punto x al origen o foco.

Supongamos que la onda avanza hacia la derecha con una velocidad v, entonces al cabo de un tiempo t habrá avanzado un espacio vt y la ecuación de la onda será: t=t

y = f ( x − vt )

Efectivamente esa es la ecuación de una onda que se propaga hacia la derecha, puesto que para que la fase se mantenga constante al aumentar t también aumenta x, de esta forma al restar se mantiene fijo el término (x–vt). Si representamos la ecuación de una onda que avanza hacia la izquierda su ecuación sería del tipo y = f ( x + vt ) . La función f puede tener cualquier expresión matemática, pero vamos a considerar solamente aquellas cuyo perfil es de tipo seno o coseno, por las razones que más adelante veremos. A estas ondas se les llama senoides u ondas armónicas, porque en ellas cada partícula del medio ejecuta un movimiento armónico simple. La ecuación de una onda armónica en el instante t=0 es: t=0

y = y max sen 2π

x λ

donde: • • • •

y es la elongación de los puntos x es la distancia del punto x al origen o al foco ymax es la amplitud de la sinusoide λ es la longitud de onda

Observa que, al tratarse de una función seno, el valor de y en un momento concreto será el mismo para los puntos que disten del foco las distancias: x, x+λ, x+2λ, x+3λ, ..., x+nλ

Supongamos que la onda se propaga hacia la derecha con una velocidad v. Al cabo de un tiempo t la ecuación de la onda será: x − vt t=t y = y max sen 2π λ λ o bien, si tenemos en cuenta que v = podríamos escribirla como: T x t  y = y max sen 2π  −  λ T

que es la ecuación de una onda armónica que se propaga hacia la derecha. Observa que, al tratarse de una función seno, el valor de y de un punto concreto (que dista x=x1 del foco) será el mismo en los instantes: t, t+T, t+2T, t+3T, ..., t+nT La ecuación de la onda también se suele escribir de la forma: y = y max sen (kx − ωt ) donde como puedes ver comparando:

• •

2π λ 2π ω= T k=

es el Número de onda: Nº de ondas que hay en una distancia de 2π es la Frecuencia angular

Recuerda que :


"y es la elongación del punto x en el momento t". (Deberías llamarla siempre así, con esa frase completa para ser consciente de que y depende de dos variables). Lógico, ya que en el medio hay muchos puntos y con la x nos referimos a uno en concreto [al que dista esa distancia del foco], pero ese punto ejecuta un MAS y para poder medir la distancia a la que se encuentra de su posición de equilibrio necesitamos indicar un momento t)


Los parámetros que caracterizan a la onda son: 1.La amplitud, 2.la longitud de la onda (o su número de onda) y 3.el periodo (o su frecuencia angular)

PERIODICIDAD ESPACIAL Y TEMPORAL DE LAS ONDAS Una onda es doblemente periódica. Ya hemos visto que la ecuación de una onda depende de dos variables: la posición y el tiempo, es decir que y = f ( x + vt ) Para un valor dado de t, es decir en un momento determinado, la ecuación de la onda nos da el desplazamiento de la posición de equilibrio de cada punto del medio. Es como si fuese una foto de la onda en ese instante:

el valor de y en ese instante concreto será el mismo para los puntos que disten del foco las distancias x, x+λ, x+2λ, x+3λ, ... , o en general que los puntos que distan x+nλ están en fase. Lo contrario puede decirse de los que distan λ/2 , o múltiplo impar, que están en oposición de fase. Para un valor dado de x, es decir para un punto determinado que dista una distancia x del foco, la ecuación de la onda nos da las distintas posiciones que ese punto ocupa conforme transcurre el tiempo. Como ya sabemos el punto ejecuta un MAS:

el valor de y de un punto concreto (que dista x=x1 del foco) será el mismo en los instantes t, t+T, t+2T, t+3T, ... o en general que el punto x en los momentos t+nT está vibrando en fase.

Ejemplo:

Dada la onda armónica y = sen 2π(0,25x − 0,5t ) donde y, x se expresan en cm y t en seg, calcular: a) El periodo y la frecuencia de la onda b) Longitud de onda y número de ondas c) Velocidad de propagación de la onda y su sentido d) Ecuación del foco e) Ecuación del punto que dista 6cm del foco f) Ecuación de la onda en los instantes t=0 y t=6 seg g) Cuanto ha avanzado la onda en 6 seg. h) Razona si la onda es longitudinal o transversal i) Razona si otra onda del doble de amplitud y mitad de frecuencia tiene la misma velocidad No hay más que comparar la ecuación general de una onda con la de esta onda concreta:

x t  y = 1 ⋅ sen 2π −   4 2 x t  y = y max sen 2π −  λ T a), b) Como vemos por comparación: y max = 1cm T = 2seg y la frecuencia que es su inversa: ν =

1 = 0,5Hz T

1 λ = 4cm y el número de ondas: ~ ν = = 0,25m −1 λ c) La onda debe propagarse hacia la derecha ya que al aumentar t debe aumentar x para mantener constante el argumento, y un aumento de x significa desplazarse hacia la parte positiva del eje X λ 4 v = = = 2cm / s T 2 d) El foco es el punto para el cual x=0, por tanto: y

t =0

 t = 1 ⋅ sen 2π −  = sen (− πt )  2

e) Un punto que dista x=6cm del foco tiene por ecuación: y

t =6

t 6 t   = 1 ⋅ sen 2π −  = sen 2π1,5 −  2 4 2 

vamos a representar estas dos ecuaciones, que como ves son las ecuaciones del MAS de esos puntos, ya que nos dan la elongación en función del tiempo de esos puntos concretos, pero aun antes de hacerlo nos damos cuenta de que ambos puntos están vibrando en oposición de fase ya que distan 6cm que es igual a 3(λ/2) Para representar estas funciones lo más sencillo es darles al tiempo valores de cuarto en cuarto de periodo, es decir, t=0, t=0,5, t=1, ... y vamos anotando los valores que va tomando y: y\t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 yx=0 0 −1 0 1 0 −1 0 1 yx=6 0 1 0 −1 0 1 0 −1

f) La ecuación de la onda en los momentos t=0 y t=6 es: x y t = 0 = senπ 2 x  y t =6 = sen 2π − 3  4  Estas ecuaciones no corresponden a un MAS (y no es una función del tiempo), sino que representan la forma que la onda tiene en esos instantes, es como si fuesen fotos de la onda en esos momentos: una foto en el momento t=0 y luego otra en el t=6seg Puesto que la diferencia de tiempo entre esos dos instantes es 6 seg = múltiplo entero del periodo, en ambos instantes la forma de la cuerda será la misma. Para representarlas vamos a darle a darle a x valores de cuarto en cuarto de longitud de onda, es decir x=1, x=2, x=3, ...: y\x yt=0 yt=6

0 0 0

1 1 1

2 0 0

3 −1 −1

4 0 0

5 1 1

6 0 0

7 −1 −1

g) Puesto que la onda se propaga a una velocidad constante de 2cm/s, en 6 seg habrá avanzado: s = v ⋅ t = 12cm . Obvio, ya que en 6 seg = 3 periodos, la onda habrá avanzado 3 longitudes de onda, es decir, 3*4 = 12 cm. h) La ecuación de la onda indica la forma en que cada uno de los puntos del medio vibran en función del tiempo, y tanto si vibran en la dirección de propagación (onda longitudinal) o perpendicularmente a la dirección de propagación (onda transversal) responden a una misma ecuación, salvo por las letras que utilicemos. Si nos fijamos en las letras utilizadas, podemos ver que los puntos del medio los hemos definido con la variable (x) lo que quiere decir que están sobre el eje X, mientras que el desplazamiento de esos puntos de la posición de equilibrio se mide con (y), es decir, vibran en el eje Y. En consecuencia la ecuación y = sen 2π(0,25x − 0,5t ) corresponde a una onda transversal

i) Si otra onda tiene doble amplitud y mitad de frecuencia tendrá distinta velocidad, ya que v=λ.ν (tendría la mitad de velocidad). La energía que transporta sería mayor, ya que E = 12 K y 2máx .

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN CON QUE VIBRAN LOS PUNTOS DEL MEDIO

Hay que distinguir claramente entre la velocidad con que se propaga la onda, que como sabemos es constante v = λ / T = λ ⋅ ν y la velocidad con que vibran los puntos del medio que como sabemos ejecutan un MAS y por tanto no es constante, ni tampoco su aceleración, puesto que proviene de una fuerza del tipo F = − ky . Como ya vinos en el MAS, la velocidad con que vibran los puntos es:

v=

dy  2π  x t  = y max  −  cos 2π −  dt  T  λ T

y la aceleración:

dv  2π  x t  a= = − y max  −  sen 2π −  dt  T  λ T 2

 t x podríamos haber partido de la ecuación de la onda escrita como y = y max sen 2π −  T λ con lo que al derivarla habríamos obtenido: v=

dy  2π   t x = y max   cos 2π −  dt T  T λ

dv  2π   t x a= = − y max   sen 2π −  dt  T  T λ 2

Ejemplo: d   t Dada la ecuación y = 8sen 2  −  donde las distancias se expresan en cm.  0,05 20  a) Indicar la amplitud del movimiento periódico, su periodo, su frecuencia y su longitud de onda. b) Al cabo de 0,15 seg y a una distancia de 40cm del foco determinar la elongación y velocidad c) Determine la velocidad máxima y la velocidad de propagación de la onda. i) Razona como sería la velocidad máxima con que vibran los puntos de otra onda del doble de amplitud y mitad de frecuencia a) Antes de comparar la ecuación con la ecuación general de una onda, fíjate que le falta el número π, así que la vamos a escribir como: d   t y = 8sen 2π  −   0,05π 20π  comparando con: y max = 8cm

 t x y = y max sen 2π  −  T λ

T = 0,05π seg y la frecuencia que es su inversa: ν =

1 20 = Hz T π

1 0,05 −1 λ = 20π cm y el número de ondas: ~ ν= = m λ π b) La elongación (y) del punto que dista x=40cm del foco en el instante t=0,15seg es: 40   0,15 y x = 40, t = 0,15 = 8sen 2π  −  = 7,27cm  0,05π 20π  dy 2 d   t v= =8 cos 2  −  dt 0,05  0,05 20 

la velocidad:

y sustituyendo para x=40cm y t=0,15seg, resulta que v=–133,17cm/s c) Una cosa es la velocidad con la que vibran los puntos del medio, que varía con el tiempo, puesto que cada uno ejecuta un MAS y otra cosa es la velocidad con que se propaga la onda, que es constante y solamente depende de las características del medio. La velocidad con que vibran los puntos del medio es: v puntos =

dy 2 d   t =8 cos 2  −  dt 0,05  0,05 20 

→

v máx = 8

2 = 320 cm / s 0,05

La velocidad de propagación de la onda es: v onda =

d) v puntos =

20 λ = λ ν = 20π ⋅ = 400 cm / s T π

dy  2π   t x = y max   cos 2π −  → v máx, puntos = y max (2π ν ) dt  T  T λ

Como vemos, si la amplitud es doble y la frecuencia la mitad la velocidad máxima con que vibran los puntos de las dos ondas será la misma. Sin embargo la velocidad de propagación de ambas ondas no es la misma ya que vonda=λ.ν (sería la mitad)

ENERGÍA QUE TRANSPORTA UNA ONDA

Sabemos que en una onda elástica que se propaga a través de un medio elástico cada partícula ejecuta un MAS y por tanto tiene una energía que se transmite a las siguientes y que es en parte cinética y en parte potencial debida a su posición respecto de la posición de equilibrio. A lo largo de un periodo una partícula cede toda su energía a la siguiente y a su vez la recibe de la anterior, de manera que como puede suponerse la energía que transportada por la onda es la total que posee la partícula. La energía total es igual a la suma de Ec+Ep o bien igual a la cinética máxima o a la potencial máxima, esta última igual a la que tiene cuando la partícula se encuentra en su desplazamiento máximo: 1 E = Ep max = k ⋅ y 2max 2 donde k es la constante elástica del medio e ymax es la amplitud. Teniendo en cuenta que 2 para un punto que ejecuta un MAS: k = mω 2 = m(2π / T ) = m 4π 2 ν 2 nos quedaría que: E = m ⋅ 2π 2 ν 2 ⋅ y 2max Lo que nos dice que la energía transportada por una onda es proporcional al cuadrado de su frecuencia y al cuadrado de la amplitud. Al mismo resultado habríamos llegado si tenemos en cuenta que la energía total es igual a la cinética máxima, ya que: 1 E = Ec max = mv 2max 2 2π 2π x t  = y max 2πν como la velocidad es v = y max cos 2π −  está claro que la v max = y max T T λ T y sustituyendo nos quedará el mismo resultado que obtuvimos anteriormente:

E = m ⋅ 2π 2 ν 2 ⋅ y 2max Cuando una onda se propaga en una sola dimensión, la energía de un punto se transmite íntegramente al siguiente y así sucesivamente, de manera que todos los puntos tienen la misma energía y vibran con la misma amplitud. Sin embargo, cuando se trata de ondas planas como las que se producen en la superficie de los líquidos o de ondas esféricas como el sonido, a medida que nos alejamos del foco hay más puntos vibrando y por lo tanto cada uno toca a menos energía (aun suponiendo que no haya absorción), por eso es mejor definir una magnitud nueva llama intensidad.

FENÓMENOS ASOCIADOS CON LA PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS INTERFERENCIAS Por experiencia sabemos que cuando dos o más odas se propagan en un mismo medio lo hacen de manera independiente y que la elongación de una partícula cualquiera es la suma debida a cada onda por separado. Al proceso de adición vectorial de la elongación se llama principio de superposición. Fourier demostró basándose en este principio que cualquier onda por rara que sea se puede obtener como suma de varias ondas armónicas, de tipo seno y coseno, por ello es por lo que el estudio de las ondas se suele reducir al estudio de ondas armónicas. Así pues, cuando un punto del medio es alcanzado por dos o más ondas se producen interferencias y, de acuerdo con el principio de superposición, la elongación del punto es la suma de la que tiene cada onda por separado. El punto vibrará con:

y = y1 + y 2 Consideremos el caso más sencillo, el de dos ondas iguales que se propagan en la misma dirección, solamente que tienen un desfase φ (es decir que si les tomásemos una foto las encontraríamos desplazadas una respecto a la otra). Sus ecuaciones serían: x t y1 = y m sen 2π( − ) λ T x t y 2 = y m sen 2π( − + φ) λ T el desfase entra ambas ondas lo podemos poner como que la distancia del punto a uno de los focos es distinta, ya que: y 2 = y m sen 2π(

x + λφ t − ) λ T

así que las ecuaciones podrían escribirse como: y1 = y m sen 2π(

x1 t − ) λ T

y 2 = y m sen 2π(

x2 t − ) λ T

teniendo en cuenta el principio de superposición, la onda resultante será y = y1 + y 2 y A+B A−B recordando que senA + senB = 2 ⋅ sen cos 2 2 y = 2 y m cos 2π(

x1 − x 2 x + x2 t ) ⋅ sen 2π( 1 − ) 2λ 2λ T

La onda resultante corresponde a una onda que tiene la misma frecuencia, pero que su amplitud vale: x − x2 A = 2 y m cos π( 1 ) λ lo que quiere decir que: •

Habrá refuerzo y la amplitud será máxima (igual a 2ym) cuando el coseno valga 1 o −1, es decir, para cos0, cosπ, cos2π, cos3π …. Ello ocurre en aquellos puntos en los que la diferencia de camino x1−x2 sea múltiplo entero de la longitud de onda: 0, λ, 2λ, 3λ, … Se produce una interferencia constructiva en los puntos donde la diferencia de camino recorrido por las dos ondas que interfieren es nλ cos π(

•

x1 − x 2 x − x2 ) = 1 → π( 1 ) = 0, π, 2π, 3π,.... es decir para x 1 − x 2 = nλ → A = 2 y m λ λ

La amplitud será nula cuando el coseno valga cero, es decir, para cosπ/2, cos3π/2, cos5π/2 . Ello ocurre en aquellos puntos en los que la diferencia de camino sea λ/2 o un múltiplo "impar", entonces A=0 y tendremos una interferencia destructiva. cos π(

x1 − x 2 x − x2 π 3π 5π λ ) = 0 → π( 1 ) = , , ,.... es decir para x 1 − x 2 = (2n − 1) → A=0 λ λ 2 2 2 2

Ejemplo: Un generador de ondas en la superficie del agua tiene forma de T de modo que actúa como dos focos que generan ondas de la misma frecuencia y amplitud. Si las ondas generadas tienen una amplitud de 0,6cm, una frecuencia de 60Hz y se propagan con una velocidad de 30cm/s. ¿Cuál es la ecuación que nos muestra el estado de vibración de un punto P que dista 15cm de un foco y 15,75cm del otro?

y m = 0,6cm ν = 60Hz

⇒

T=

1 = 0,016seg ν

λ T

⇒

λ=

30 = 0,5cm 60

v=

La ecuación de vibración del punto P debida a cada onda por separado es: t   15 y1 = 0,6sen 2π −   0,5 0,016  t   15,75 y 2 = 0,6sen 2π −  0,016   0,5

La interferencia debida a ambas ondas, de acuerdo con el principio de superposición es y = y1 + y 2 , pero no es necesario sumarlas para saber que ocurre al punto P, ya que: x 1 − x 2 = 0,75 = 3 ⋅

λ 2

es decir, que en el punto P las dos ondas interfieren destructivamente, y por tanto la amplitud de la onda es nula: y=0 y lo mismo le ocurrirá a todos los puntos en los que λ x 1 − x 2 = (2n − 1) ⋅ . El lugar geométrico de esos puntos es una familia de hipérbolas 2 con focos en F1 y F2.

De igual forma, en todos los puntos en los que x 1 − x 2 = nλ habrá una interferencia constructiva y los puntos vibrarán con una amplitud doble. Todos ellos definen otra familia de hipérbolas.

Ejemplo: Experimento de Young Dos fuentes coherentes de luz están separadas una distancia a=1mm. A una distancia d de ellas hay una pantalla en la que se recogen las interferencias. Calcular la longitud de onda de la luz empleada sabiendo que la distancia entre dos franjas brillantes consecutivas es de h=10−4m y que la distancia entre las fuentes y la pantalla es de 1m.

Para que haya una interferencia constructiva es necesario que la diferencia de camino sea igual λ o múltiplo entero, es decir que:

x 1 − x 2 = nλ En el centro hay interferencia constructiva, puesto que para ese punto x 1 − x 2 = 0 y el punto brillante más próximo es aquel para el que n=1, es decir aquel en el que ;

x 1 − x 2 = λ (*) por otro lado, de la figura podemos deducir lo que vale la diferencia de camino x 1 − x 2 ya que si trazamos una línea para construir un triángulo isósceles el ángulo que forma con la abertura es α, que es el mismo que forma la línea del centro (en rosa, que es la altura del triángulo) con la distancia de la abertura a la pantalla (los ángulos son iguales porque tienen sus lados perpendiculares). Así que:

x 1 − x 2 = a ⋅ senα (**) El ángulo α puede calcularse fácilmente, ya que de la figura se deduce que: h 10 −4 α = arctg = arctg = 10 −4 rad d 1 así que λ = a ⋅ senα = 10 −3 sen10 −4 = 10 −7 m La luz de longitud de onda igual a 10−7m, o bien de 3.1015Hz cae dentro del ultravioleta, aunque próximo al visible. En la pantalla habría que tener una película fotográfica porque el ojo no vería esa luz.

ONDAS ESTACIONARIAS Un caso particular de interferencias es el que tiene lugar cuando se dan dos condiciones: 1. En el medio concurran dos ondas iguales que avanzan en sentidos opuestos, como por ejemplo ocurre en una cuerda sujeta por uno de sus extremos (o los dos) o en un resorte, ya que en este caso tendremos la onda que va y la que se refleja, es decir dos ondas iguales propagándose en sentidos opuestos. 2. Que la frecuencia de las ondas que interfieren sea igual a la frecuencia fundamental de vibración de la cuerda o múltiplo de ella (frecuencias resonantes), aunque de este detalle nos ocuparemos después. Las ondas iguales que viajan en sentidos opuestos se pueden representar por las ecuaciones: (*) x t y1 = y m sen 2π( + ) Avanza hacia la izquierda λ T x t y 2 = y m sen 2π( − ) λ T

Avanza hacia la derecha

La superposición y = y1 + y 2 y recordando que senA + senB = 2 ⋅ sen x t y = 2 y m sen 2π cos 2π λ T

A+B A−B cos 2 2

Ec. onda estacionaria

Fíjate que: 1. la amplitud de la onda estacionaria no es la misma para todos los puntos, sino que depende de la distancia x de cada punto al foco: A = 2 y m sen 2π

x λ

2. la amplitud es máxima en todos aquellos puntos en los que se cumpla que seno = ±1 . A estos puntos donde la amplitud es máxima (igual a 2ym) se les llama vientres o antinodos. sen 2π

x x π 3π 5π λ 3λ 5λ = 1 → 2π = , , ,.... es decir para x = , , ,.... λ λ 2 2 2 4 4 4

Antinodos, A=2ym

3. la amplitud es "siempre nula” en aquellos puntos en los que seno=0 y se llaman nodos. Son aquellos en los que: sen 2π

x x λ 3λ = 0 → 2π = 0, π, 2π, 3π,.... es decir para x = 0, , λ, ,2λ,.... λ λ 2 2

Nodos, A=0

Si representamos la onda estacionaria en varios momentos, como si tomásemos fotos en varios instantes, podríamos tener las siguientes instantáneas, donde puede verse que los nodos, al igual que los antinodos, están separados media longitud de onda.

Generalmente la vibración es muy rápida de modo que solamente vemos la envolvente del movimiento, es decir que veríamos algo así como la siguiente figura:

Lo más importante de una onda estacionaria es: • •

No es una onda viajera, ya que su ecuación no es del tipo f(x,t). Su ecuación se parece más a la de un MAS, con la diferencia de que cada punto vibra x con una amplitud distinta que depende de su posición: A = 2 y m sen 2π λ

• •

Hay unos puntos que no vibran nunca (los nodos) y otros que vibran con una amplitud máxima igual al doble de la amplitud de las ondas que por superposición forman la onda estacionaria. Una onda estacionaria no puede transportar energía ni hacia un lado ni al otro, porque los nodos no vibran y en consecuencia no puede fluir más allá de un nodo.

(*) Por simplicidad, anteriormente hemos preferido superponer dos ondas iguales sin desfasar viajando en sentidos opuestos, como la que va y se refleja en una cuerda con el extremo libre. Podría pensarse que en el caso de una cuerda con el extremo fijo, el resultado podría ser diferente, ya que al tener el extremo fijo la onda que va invierte su fase al reflejarse, asi que las ecuaciones de las ondas originales serían: y1 = y m sen (

2π x 2 π t + ) T λ

y 2 = y m sen (

Avanza hacia la izquierda

2π x 2 π t − + π) Avanza hacia la derecha desfasada π T λ

La superposición y = y1 + y 2 y recordando que senA + senB = 2 ⋅ sen

A+B A−B cos 2 2

 2π x π   2π t π  y = 2 y m sen  +  cos −  2  T 2  λ teniendo en cuenta que

π sen (α + ) = cos α 2

π cos (α + ) = sen α 2

finalmente x t y = 2 y m cos 2π sen 2π T λ

Ec. onda estacionaria

Como hemos visto, esta expresión aparentemente distinta, solo difiere en la fase de las funciones y representa a la misma onda, aunque desfasada. Ahora el primer nodo está en x=λ/4 (obvio porque ahora en x=0 debe haber un vientre), y los siguientes nodos, como siempre, de media en media longitud de onda.

RESONANCIA Un péndulo o una masa unida a un resorte tienen una única frecuencia natural de 1 g 1 K vibración, la que viene dada por las conocidas expresiones ν = y ν= 2π L 2π m respectivamente, sin embargo muchos sistemas, como pasa en una cuerda, pueden vibrar con muchas frecuencias. A la más pequeña se le llama frecuencia fundamental o primer armónico y al resto, que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, se les llama frecuencias resonantes (2º armónico, 3º armónico, ..) o sobretonos (1º sobretono, 2º sobretono …) respectivamente. Empezaremos explicando la resonancia para el caso más sencillo de un péndulo o de un niño en un columpio. Si le empujamos una vez, empezará a oscilar con su frecuencia natural (con la única que tiene) pero debido a las pérdidas por rozamiento la oscilación se irá amortiguando, es decir, al perder energía su amplitud se hará cada vez menor ( E = 12 KA 2 ). Si queremos mantener el balanceo del niño tendremos que aportar energía al columpio, pero …. pero eso no basta como sabemos por experiencia, tenemos que aportarle esa energía empujándole con la misma frecuencia con la que oscila el columpio, o de lo contrario lo que haremos es frenarlo. De hecho si le empujamos adecuadamente y no hubiera pérdida de energía (o si en el empujón le aportamos un poco más de la que pierde) el sistema irá acumulando energía y cada vez oscilará con mayor amplitud. Cuando le comunicamos energía a un sistema a intervalos con una frecuencia distinta a su frecuencia natural termina oscilando con nuestra frecuencia y decimos que oscila forzado y en tal caso la energía aprovechada por el sistema es solo una pequeña parte de la que le suministramos. Por el contrario cuando le suministramos energía a un sistema con una frecuencia igual a su frecuencia natural decimos que oscila en resonancia y en tal caso el sistema absorbe íntegramente la energía que le aportamos. Dicho de otra forma, suministrando pequeñas cantidades de energía con la misma frecuencia con que oscila el sistema podemos conseguir oscilaciones de gran amplitud. Igual puede decirse para una cuerda sujeta por un extremo y a la que comunicamos energía por el otro extremo. Si la hacemos vibrar con una frecuencia distinta a su frecuencia natural (vibración forzada) la onda que va y la que vuelve interferirán destructivamente en mayor o menor medida dando lugar a una onda de poca energía. Cuando suministramos energía a la cuerda haciéndola vibrar en uno de sus extremos con una frecuencia igual a una de sus frecuencias naturales conseguimos una onda estacionaria. La diferencia con el péndulo o la masa unida a un resorte es que la cuerda tiene infinitas frecuencias de resonancia, todas ellas son múltiplo entero de la frecuencia más pequeña llamada fundamental. Supongamos una cuerda atada por un extremo y siempre sometida a la misma tensión (para que la velocidad de propagación de la onda sea la misma). Si por el otro extremo la hacemos oscilar a diferentes frecuencias obtendremos ondas estacionarias como las siguientes cuando la frecuencia de oscilación coincidan con ν1, 2ν1, 3ν1, 4ν1, … (donde ν1 es la frecuencia fundamental de vibración de la cuerda, para esa tensión y esa longitud):

Si te das cuenta hay una relación entre la longitud de la cuerda (L) y la longitud de onda (λ) de las ondas que por superposición dan lugar a la onda estacionaria. Siempre la cuerda debe λ 2L contener un número de veces media λ, es decir: L = n o lo que es igual λ = 2 n Puesto que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda ( v = λ ⋅ ν ) si en cada modo de vibración λ se hace la mitad, la tercera parte, la cuarta parte … la frecuencia será doble, triple, cuádruple …. Es decir que las frecuencias para las que se produce onda estacionaria son ν = n ν1 , donde ν1 es la frecuencia fundamental de vibración de la cuerda. Calculo de la frecuencia fundamental de vibración: (Ampliación) Como verás enseguida, la frecuencia fundamental de vibración de una cuerda depende de la tensión de la cuerda, de su longitud y de su masa. Quiere decir que cuando calculemos una frecuencia lo hacemos para determinados valores de esos tres parámetros. Otra advertencia antes de comenzar es que no confundas la frecuencia de vibración del foco que transmite la energía a la cuerda con la frecuencia de vibración de la cuerda, aunque ambas coincidan cuando la cuerda vibre en resonancia. Lo más sencillo sería disponer de un aparato capaz de vibrar a diferentes frecuencias. No hay más que colocarlo al otro extremo de la cuerda y tensarla. (ves? ahora tenemos valores concretos para T, L y masa de la cuerda). Ahora vamos variando la frecuencia de oscilación del vibrador hasta conseguir en la cuerda una onda estacionaria con un solo vientre. En tal caso, como la cuerda estaría resonando con el vibrador, la frecuencia de éste sería igual a la fundamental de la onda. (Ojo, que si variamos la tensión, o la longitud de la cuerda tendremos una frecuencia distinta). Como es bastante probable que no dispongamos de tal aparato, podemos hacer otra cosa: vamos a poner un vibrador de frecuencia única (un cronovibrador de los que hay en cualquier laboratorio que vibran a 60 Hz, igual que la corriente alterna) y, como no podemos variar su frecuencia, lo que haremos es variar la tensión de la cuerda hasta que la frecuencia de la onda iguale a la del cronovibrador. En tal caso resonarán y en la

cuerda obtendremos los distintos modos de vibración dependiendo de la tensión. (La tensión de la cuerda podemos medirla muy fácilmente con la ayuda de una polea y varias masas, como se indica en la figura de más abajo.) Teniendo en cuenta que la velocidad de propagación de una onda es v = λ ⋅ ν y que en el caso de ondas que se propagan por una cuerda la velocidad es v = T / µ , donde T es la tensión de la cuerda y µ es la densidad lineal de la cuerda (masa/longitud), tenemos: v=

T 2L = λν = ν µ n

→

ν=

n T 2L µ

L = longitud de la cuerda µ = densidad lineal = masa de la cuerda/longitud T = Tensión de la cuerda = mg = peso de la masa que tira de la cuerda, como se indica en el esquema siguiente, y que hace que en la cuerda se forme una onda estacionaria. Según el número de vientres le daremos a n el valor que corresponda: Cuando vibre con un solo vientre (n=1) obtenemos la frecuencia fundamental de vibración. Para n=2, 3, … obtenemos la frecuencia del resto de los armónicos.

Relación entre la longitud de la cuerda (L) y la longitud de la ondas que por superposición dan lugar a la onda estacionaria Ya hemos visto que en todos los modos de vibración de una onda estacionaria se cumple que la longitud de cuerda debe contener un número de veces media λ. El motivo es muy sencillo: Cuando en una punta de la cuerda generamos una onda, ésta viaja hacia la otra punta donde se refleja. Cuando llega al punto de partida vuelve a reflejarse por segunda vez. Como en cada reflexión invierte la fase en π, la onda ahora está como al principio después de recorrer un espacio 2L (suponiendo que no se perdió energía). Si en este momento el vibrador genera una onda nueva, ahora tendremos dos ondas que interferirán constructivamente, y la onda resultante tendrá una amplitud doble que las ondas que la producen, si la diferencia de camino es un múltiplo entero de λ, es decir, λ 2L cuando x1-x2 = nλ = 2L → L = n o lo que es igual λ = 2 n

Con este sencillo razonamiento se explica la relación que hay entre la longitud de la cuerda (L) y la longitud de la ondas que por superposición dan lugar a la onda estacionaria, pero además nos ayuda a entender porqué la amplitud de la onda estacionaria puede llegar a ser muy grande con respecto a la amplitud de las ondas que genera el vibrador. Es muy sencillo, porque cada vez que la onda que está viajando por la cuerda llega al punto de partida vuelve a interferir constructivamente con la nueva onda que generado el vibrador. Por eso cada nueva onda hace aumentar la amplitud más y más. Hasta el infinito si no hubiera pérdidas de energía.

Ondas estacionarias en una cuerda con un extremo libre. Cuando una onda que viaja por una cuerda llega al otro extremo puede ocurrir dos cosas: 1. Que el otro extremo esté fijo. En tal caso, al no poder vibrar se comporta como un nodo y al llegar a él la onda se refleja y consecuentemente invierte su fase, es decir, la onda que vuelve está desfasada π respecto de la que incide. Este es el caso correspondiente a los dibujos anteriores.

2. Que el otro extremo esté libre. En tal caso la onda al llegar al extremo se vuelve sin cambiar de fase, en consecuencia en se extremo siembre tendremos un vientre:

Obviamente todo lo anterior vale para esta situación, con la salvedad de que en este caso la longitud de la cuerda no contiene un número entero de λ/2, sino que ahora (como en el extremo debe haber un vientre) la longitud de la cuerda debe ser un número "impar" de λ/4.

Ejemplo: En una cuerda, con sus dos extremos fijos, se ha generado una onda estacionaria que tiene por ecuación y = 4 ⋅ cos 0,5πx ⋅ sen 20πt (S.I.). calcular: a) la amplitud, periodo, frecuencia y longitud de onda de las ondas que dan lugar a ella. b) la distancia entre dos nodos c) la velocidad con que se propaga d) la expresión de la velocidad de una partícula que dista 2m del foco, en función del tiempo e) la ecuación de las ondas que dan lugar a esa onda f) qué longitud mínima debe tener la cuerda para que pueda contener esa onda g) qué longitud debe tener la cuerda para que la onda estacionaria presente 3 nodos h) si la onda en cuestión presenta 1 vientre ¿qué podríamos hacer para que, en esa misma cuerda sin cambiar su longitud, presente 2 vientres? ¿cambiaría su frecuencia? a) Comparando la ecuación de la onda con la ecuación general de una onda estacionaria: (esta onda se ha obtenido superponiendo dos ondas armónicas desfasada π radianes respecto de las que nosotros hemos considerado, pero eso no cambia nada) y = 4 ⋅ cos 0,5πx ⋅ sen 20πt x t y = 2 y m sen 2π cos 2π λ T Amplitud de la OE: A = 4 ⋅ cos 0,5πx (es distinta para cada punto x) y máx .OE = 4 m

Amplitud de las ondas que generan la OE: y max = 2 m T = 0,1seg y la frecuencia que es su inversa: ν = 1 / T = 10Hz λ = 4m b) La distancia entre dos nodos (o antinodos) consecutivos es λ/2 = 2 m

c) la velocidad de propagación de las ondas que generan esta onda estacionaria es: v=

λ 4 = = 40 m / s T 0,1

d) La velocidad de cualquier partícula se obtiene derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo: dy v= = 4 ⋅ 20π ⋅ cos 0,5πx ⋅ cos 20πt dt el punto x=2 m v x =2 = −80π ⋅ cos 20πt e) Las ecuaciones de las ondas que por superposición dan lugar a esta onda estacionaria deben ser dos ondas iguales de amplitud 2cm y de la misma longitud de onda y periodo, solo que deben viajar en sentidos opuestos, por tanto:

x t y1 = 2sen 2π( + ) 4 0,1 x t y 2 = 2sen 2π( − + 0,5) 4 0,1 si sumamos: y = y1 + y 2 = 2 y máx sen (2π

Avanza hacia la izquierda Avanza hacia la derecha (Desf. π)

x π t π x t + ) cos(2π − ) = 2 y máx cos 2π sen 2π T 2 T λ 2 λ

π π donde se ha tenido en cuenta que sen (α + ) = cos α y que cos(α − ) = sen α 2 2 f) La longitud de la cuerda debe ser un múltiplo entero de media longitud de onda, ya λ que en cada extremo debe haber dos nodos: L = n . Por tanto, para una λ = 4 m la 2 cuerda debe, como mínimo, tener una longitud de 2 m:

g) Para que en la cuerda tenga lugar una onda estacionaria como y = 4 ⋅ cos 0,5πx ⋅ sen 20πt que λ contenga 3 nodos, la longitud de la cuerda debe ser L = n [donde n= 2 (nº de vientres)] = 4m 2

h) Si la onda estacionaria tiene 1 solo vientre y una λ = 4 m , quiere decir, como hemos razonado en el apartado f), que la longitud de la cuerda es L=2 m Si ahora queremos que en esos L=2 m haya dos vientres, la longitud de la nueva onda debe ser λ = 2 m como puede comprenderse observando la figura:

¿Cambiaría su frecuencia? Teniendo en cuenta que v = λ ν resulta obvio que al variar la longitud de onda pueden ocurrir dos cosas: 1. Si la velocidad no varía deberá cambiar la frecuencia de la onda. Como λ se hace la mitad es preciso que ν se haga el doble. La primera cuerda vibra con una frecuencia de 10 Hz llamada frecuencia fundamental o primer armónico. La segunda cuerda vibra con frecuencia de 20 Hz y corresponde al segundo armónico o primer sobretono. 2. Si queremos que la cuerda vibre con la misma frecuencia, deberá cambiar la velocidad de propagación de la onda por la cuerda. Como λ se hace la mitad es preciso que la velocidad se reduzca también a la mitad y eso se puede conseguir disminuyendo la tensión de la cuerda ya que v = T / µ , donde T es la tensión de la cuerda y µ es la densidad lineal de la cuerda (masa/longitud).

PRINCIPIO DE HUYGENS El principio de Huygens permite conocer cual es el nuevo frente de una onda dado el anterior. (Se llama frente de onda al lugar geométrico de todos los puntos que en un momento dado están en fase) El principio de Huygens dice que todos los puntos que son alcanzados por un frente de ondas se comportan como focos secundarios. Al cabo de un tiempo, el nuevo frente de ondas será la envolvente de todas las ondas elementales.

Supongamos que en un instante determinado el frente de ondas es (1). Según el principio de Huygens los puntos A, B, C, etc de éste frente de ondas se comportan como emisores de ondas secundarias. Al cabo de un tiempo t habrán avanzado vt y la tangente a todas ellas será el nuevo frente de ondas (2)

Los puntos A, B, C, etc en realidad no se comportan como verdaderos focos, ya que la intensidad de las ondas que emiten no es la misma en todas direcciones. Es máxima hacia delante y mínima hacia atrás, y precisamente por eso la onda avanza hacia delante. A continuación vamos a ver como el principio de Huygens puede explicar muchos fenómenos ondulatorios como la reflexión, refracción y difracción. REFLEXIÓN Cuando una onda llega a la superficie de separación de dos medios una parte de ella se refleja en el mismo medio y otra parte se difracta y viaja en el segundo medio. Las leyes de la reflexión de Snell son: • •

El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en el mismo plano El ángulo de incidencia (i) y el ángulo de reflexión (r) son iguales (rayo es la línea que corresponde a la dirección en que se propaga la onda, es decir es la perpendicular al frente de ondas) Ahora vamos a ver como se pueden explica estas leyes sin más que tener en cuenta el principio de Huygens. Supongamos un frente de ondas plano AB que choca contra un obstáculo:

Cuando el punto A del frente de ondas toca en el obstáculo, de acuerdo al principio de Huygens comienza a formar ondas y, puesto que viajan en el mismo medio, tardan en llegar a C lo mismo que B en llegar a D, es decir, AC = BD = v t . Según esto tenemos dos triángulos iguales (porque tienen dos lados y un ángulo iguales) y por tanto i = r

REFRACCIÓN Las leyes de la refracción son:

• •

El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en el mismo plano El seno del ángulo de incidencia dividido por el seno del ángulo de refracción es igual a la velocidad de la onda en el primer medio dividido por la que tiene en el

segundo. A esta relación se le llama índice de refracción del segundo medio respecto del primero (n21)

seni v1 = = n 21 senr v 2

Vamos a explicarlo haciendo uso del principio de Huygens. Supongamos un frente de ondas plano AB que viaja por el medio (1) e incide en el medio (2) donde se propaga con una velocidad menor.

Cuando A llegue a la superficie según Huygens se comportará como un nuevo foco, pero como en el medio (2) la onda viaja más despacio entonces la distancia AC = v 2 t será menor que la que en el mismo tiempo ha recorrido en el otro medio BD = v 1 t , es decir que:

v1 t seni AD v1 = = = n 21 senr v 2 t v 2 AD Resulta evidente, que como la velocidad de la onda varía al cambiar de medio y la frecuencia siempre permanece invariable, debe cambiar la longitud de onda, así que:

v λν λ seni = n 21 = 1 = 1 = 1 senr v 2 λ 2ν λ 2

Resulta muy ilustrativa la experiencia de Tyndal, en la que utilizó un modelo mecánico formado por un par de ruedas de un coche de juguete que se dejan caer por una rampa hasta

entrar en el agua. Naturalmente, como en el agua la velocidad es menor, al entrar en contacto la primera rueda disminuye su velocidad, mientras que la otra continúa moviéndose mas rápido y como consecuencia el rayo (la dirección del movimiento) se acerca a la normal. Si el rayo pasa de un medio en el que la velocidad es menor a uno en el que la velocidad es mayor se aleja de la normal. En la lección siguiente volveremos a estudiar estos conceptos aplicados a la naturaleza ondulatoria de la luz y además trataremos los conceptos de ángulo límite y reflexión total.

Ejemplo: Un rayo de luz blanca incide con un ángulo de 30º desde el aire sobre una lámina de vidrio. ¿Qué ángulos de refracción formarán el rojo y el azul? Datos: nrojo=1,612 nazul=1,671

sen30 = 1,612 senrrojo sen 30 = 1,671 senrazul

⇒

rrojo = 18,07 º

⇒

razul = 17,41º

Como se ve, al tener distinto índice de refracción, porque depende ligeramente de la longitud de onda, hace que los rayos que componen la luz blanca tengan distintas velocidades y que se separen una vez que atraviesan el cristal. Al fenómeno se le llama dispersión.

DIFRACCIÓN Supongamos que disparamos una escopeta de cartuchos sobre una pared y que interponemos un objeto. Es evidente que en lo que sería su sombra no recogeremos ni un solo impacto. De igual forma, si interponemos un objeto con un orificio solamente recogeríamos los impactos que pasan por el orificio. Este es el comportamiento de las partículas:

Sin embargo si lo que llega a los obstáculos es un tren de ondas “de longitud de onda comparable a la del tamaño del obstáculo o de la ranura” se produce un fenómeno curioso: las ondas bordean el obstáculo como si lo ignorasen:

En ambos casos, muy fáciles de ver en la cubeta de ondas, la onda parece bordear los objetos, en lugar de propagarse rectilíneamente. Además, estamos familiarizado con estos fenómenos, ya que debido a la difracción del sonido podemos oír detrás de una puerta. (En el caso del sonido la longitud de onda va de unos 17m, para los graves hasta 0,017m para los agudos. Como se sabe por experiencia a través de una puerta, en otra habitación, se escuchan muy bien los graves pero no los agudos al ser su longitud de onda muy pequeña comparada con las dimensiones de la puerta. Los mismos resultados se pueden observar para la luz, solo que en este caso como su longitud de onda es pequeñísima necesita rendijas muy pequeñas. De todas formas si casi cierras los ojos puedes notar la difracción de la luz entre las pestañas. Debido a la difracción de la luz es imposible obtener un rayo de luz mediante un diafragma, porque a medida que lo cerremos se va pareciendo aun rayo, pero llega un momento (cuando el diámetro es comparable a la longitud de onda de la luz) que se difracta y se abre. Cuando una luz monocromática pasa a través de una abertura circular, de diámetro a, y se recoge sobre una pantalla, situada una distancia d, se obtienen una serie de anilos concéntricos claros y oscuros.

• •

El disco central es brillante y en él se concentra la mayoría de la luz Al ángulo para el que se ve el primer anillo brillante puede obtenerse λ senα = a Estos hechos se explican suponiendo que todos los puntos de la abertura son focos elementales, de acuerdo al principio de Huygens, y que la figura no es más que la interferencia producida por todos ellos. En otras palabras, la difracción no es más que las interferencias producidas por un número elevado de focos. En efecto, teniendo en cuenta que las interferencias constructivas se producen para diferencias de recorrido múltiplos de la longitud de onda: x 1 − x 2 = nλ . El círculo central tiene lugar para n=0, el primer anillo claro se produce para n=1, el segundo para n=2, etc

fíjate en la figura que si trazamos una línea para construir un triángulo isósceles el ángulo que forma con la abertura es α, que es el mismo que forma la línea del centro (en rosa, que es la altura del triángulo) con la distancia de la abertura a la pantalla (los ángulos son iguales porque tienen sus lados perpendiculares). Así que para el primer anillo (n=1): λ λ que introduciendo un factor puede escribirse como α = 1,22 a a Además, como de la figura tgα = h / d es fácil calcular la distancia h a que estará el primer anillo con interferencia constructiva. senα =

AMPLIACION VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS EN ALGUNOS MEDIOS •

La velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda depende de la tensión de la cuerda y de la densidad lineal (µ=masa/longitud) v=

T µ

Por ejemplo, en el caso concreto de una cuerda que sujeta a una masa m como en la figura, su tensión será igual al peso de la masa. Por tanto si la longitud de la cuerda es L y su masa es mc

v=

•

T = µ

mg = mc L

mgL mc

La velocidad de propagación en las ondas longitudinales:


En los sólidos depende de la constante elástica del sólido (módulo de Young: Y=fuerza/deformación ) y de su densidad. v=

Y ρ


En los gases, como el sonido en el aire, la velocidad es proporcional a la temperatura absoluta del gas. Como depende de la densidad y de la presión, al ser los gases muy comprensibles, la densidad de las expansiones y enrarecimientos cambia al variar la presión. v=

γ⋅P = k Tª ρ

observa que, según la ecuación de los gases perfectos, PV = nRT y como el número de moles es igual a la masa dividido por el peso molecular n = m / Pm y la densidad es ρ = m / V PV = nRT

⇒

PV =

m RT Pm

⇒

ρ=

m P ⋅ Pm = V RT

v=

•

γ⋅P = ρ

γ⋅P =k T P ⋅ Pm RT

La velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas es una constante y es igual a la relación que existe entre el valor máximo de la intensidad del campo eléctrico y el valor máximo del campo magnético: v=

E max 1 = = 3 ⋅ 10 8 m / s B max µ⋅ε

La permeabilidad magnética (µ) es una constante que depende de las propiedades del medio y representa la capacidad del medio para ser atravesado por un campo magnético. Para el vacío µ o = 4π ⋅ 10 −7 N/A2 La constante dieléctrica (ε) también depende del medio e indica la forma en que el medio se afecta por un campo eléctrico. Para el vacío ε o = 8,85 ⋅ 10 −12 N.m2/C2

Ejemplo: a) Una cuerda de guitarra tiene una longitud de 70 cm y una masa de 6 g. Calcular la velocidad de propagación de la onda cuando se somete a una tensión de 203,3 N. b) Longitud de onda de la onda generada al pulsar la cuerda. c) frecuencia d) Cómo varía la frecuencia de la onda si aumentamos la tensión. e) Cómo varía la frecuencia de la onda si aumentamos la masa de la cuerda (Cambiamos la cuerda por otra cuerda más gruesa). a) La velocidad con la que se propaga la onda por la cuerda, que solo es función de la tensión y de densidad lineal es: T T 100 v= = = = 154 m / s mc 0,006 µ 0,70 L b) Al pulsar la cuerda se obtiene una onda estacionaria como consecuencia de la superposición de dos ondas exactamente iguales que viajan en sentidos opuestos. (La que va y la que se refleja.). La cuerda vibrará con su frecuencia natural, que es aquella que tiene dos nodos (uno en cada extremo).

Teniendo en cuenta que la distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, tenemos que λ=1,40m (el doble de la longitud de la cuerda)

c) La velocidad de propagación de la onda es v = λ / T = λ ⋅ ν → 154 = 1,4*ν → ν = 110 Hz (Esa frecuencia corresponde al LA de la quinta cuerda al aire) T = λ⋅ν mc L Puesto que la longitud de la cuerda no varía y tampoco la longitud de onda (que en su frecuencia natural es λ=2L) tenemos que: Teniendo en cuenta que v =

T = µ

d) Si aumentamos la tensión de la cuerda aumentará la frecuencia de la onda, ya que ν = f T . Lo que está de acuerdo con la experiencia, ya que sabemos que al apretar una cuerda suena más agudo, es decir, aumenta su frecuencia.

( )

e) Si aumentamos la masa de la cuerda disminuirá la frecuencia de la onda, ya que ν = f 1 / m . También confirma nuestra experiencia, ya que sabemos que las cuerdas más gordas producen frecuencias más bajas.

(

)

OTRAS MAGNITUDES ASOCIADAS A UNA ONDA:, INTENSIDAD y ABSORCIÓN Intensidad de una onda se define como la energía que transporta una onda por unidad de área y tiempo o, lo que es igual, la potencia que atraviesa la unidad de superficie colocada en dirección normal a la dirección de propagación: En el caso concreto de una onda esférica, a una distancia r del foco, si la potencia es P y teniendo en cuenta que el área de la espera es 4πr 2 la intensidad de la onda sería:

I=

P E/t = 2 4πr 4πr 2

Como ya suponíamos y ahora podemos comprobar, si el medio es isótropo, la energía radiada por el foco se irá repartiendo en ondas esféricas, con lo que la intensidad disminuirá con el cuadrado de la distancia. Sin embargo la potencia radiada por el foco, o lo que es igual la energía transmitida por segundo, permanecerá constante: P = 4πR 12 I1 = 4πR 22 I 2 de donde I1 R 22 = I 2 R 12

Como la intensidad es proporcional a la energía y ésta es proporcional al cuadrado de la amplitud ( E = m ⋅ 2π 2 ν 2 ⋅ y 2max ), podemos poner que:

2 I1 R 22 E1 y max,1 = = = I 2 R 12 E 2 y 2max, 2

Así que para el caso de una onda esférica la amplitud disminuye linealmente con la distancia a foco: y max,1 R 2 = y max, 2 R 1 Naturalmente estos resultados se han obtenido para el caso de una onda esférica y no valen para una plana, ya que en ella la energía no se reparte en esferas, sino en circunferencias, y por tanto la intensidad no disminuirá con tanta rapidez. En este caso la intensidad se define como la potencia que atraviesa la unidad de longitud, así que: I=

P 2πr

Como puedes demostrar siguiendo el mismo razonamiento, los cuadrados de las amplitudes son proporcionales a las distancias al foco. Por último, en el caso de una onda que se propaga en una dimensión, ahí si que todos los puntos tienen la misma energía, puesto que se la transmiten de uno al siguiente, y por tanto también todos ellos vibran con la misma amplitud. Absorción: Hemos quedado que en una onda (salvo que se propague en una dimensión), la amplitud va disminuyendo conforme nos alejamos del foco, pero en realidad como el medio absorbe energía la disminución de la intensidad es aún mas rápida. Como la disminución de intensidad (−dI) al atravesar un espesor recorrido (dx) es proporcional a la intensidad de la onda se puede poner que: (el signo menos indica que la intensidad disminuye al recorrer un espesor dx) −

dI = β⋅I dx

donde β es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de absorción del medio dI = −β ⋅ dx I Si integramos y tenemos en cuenta que inicialmente, cuando x=0, la intensidad es Io y cuando x=L la intensidad es I I L dI = ∫I I ∫0 − β ⋅ dx 0

[ln I]II

= [− βx ]o

L

o

ln I − ln I o = −β L

ln

I = −β L Io

I = I o e − βL Como puedes ver la intensidad de una onda decae exponencialmente a medida que se propaga. Si la representamos obtendremos: Al camino recorrido para que la intensidad se reduzca a la mitad se le llama espesor de semiabsorción (X). Sustituyendo tendremos que:

1 = e −β X 2 tomando logaritmos neperianos y espejando X: ln 1 − ln 2 = −β X

⇒

X=

ln 2 β

PULSACIONES Las pulsaciones son un caso especial de interferencias que tienen lugar cuando coinciden dos ondas de frecuencias distintas pero muy parecidas. Las pulsaciones se producen, por ejemplo, cuando se tocan dos notas próximas de un piano, o cuando dos instrumentos están a punto de afinarse.

Al tratarse de un sonido, nuestro sistema auditivo no es capaz de percibir separadamente las dos frecuencias presentes, sino que se percibe una frecuencia única promedio (ν1 + ν2) / 2, pero que cambia en amplitud, y puesto que la intensidad sonora es proporcional al cuadrado de la amplitud, el resultado es que percibios el sonido como si subiera y bajara.

EFECTO DOPPLER El efecto Doppler consiste en la variación de frecuencia con que un observador percibe una onda cuando éste y el foco tienen un movimiento relativo. Cuando el observador y el foco están en reposo no hay efecto Doppler y el observador percibe la onda con su frecuencia real con que la emite la fuente: v ν = onda (1) λ Sin embargo, si el observador y el foco se acercan la frecuencia aparente es mayor que la que emite el foco (en el caso del sonido se escucharía mas agudo) y si se alejan ocurriría lo contrario y el sonido se percibiría como más grave. A) Supongamos que el foco está en reposo (vF=0) y el observador se acerca con una velocidad vobs.

Si las ondas viajan con una velocidad vonda, el observador pensará que se le acercan con una velocidad vonda+vobs y en consecuencia las oirá con una frecuencia igual a : ν´=

v onda + v obs λ

(2)

eliminado la longitud de onda entre esta ecuación y la (1) que nos da la frecuencia real del foco, resultará que: v onda λ v + v obs ν´= onda λ

ν=

v + v obs ν´= ν onda  v onda

  

Observador que se acerca al foco

Como puede verse la frecuencia que se percibe al acercarse en mayor y el sonido es más agudo. De la misma se puede razonar para el caso de que el observador se aleje y resultaría: v − v obs   ν´ = ν onda Observador que se aleja del foco v onda  

B) Supongamos que el observador está en reposo (vobs=0) y el Foco se acerca con una velocidad vF.. Es evidente que para el observador la longitud de onda será más pequeña que la que en realidad emite la fuente, porque en un tiempo igual al periodo, la onda viaja un espacio igual a λ pero el foco se ha desplazado un espacio igual a v Foco t , donde si ha recorrido una λ el tiempo será igual al periodo, es decir que: λ´= λ − v Foco T

teniendo en cuenta que ν = v onda / λ y que ν´= v onda / λ´ y que T = 1 / ν podemos poner: v onda v onda v Foco λ´= λ − v Foco T → = − de donde: ν´ ν ν

 v onda ν´= ν  v onda − v Foco

  

El foco se acerca al observador

Como puede verse, cuando el foco se acerca al observador la frecuencia que éste percibe es mayor que la que realmente emite, y el sonido se escucharía más agudo. Un ejemplo bastante elocuente de un que cuando un foco se nos acerca la longitud de onda que percibios disminuye lo tenemos en el caso de un bicho que avanza hacia nosotros nadando y a medida que lo hace emite ondas en la superficie del agua (Observador B de la figura):

Razonando de manera parecida, cuando el foco se aleja del observador obtendríamos que la frecuencia es menor y el sonido más grave (Observador A de la figura):

 v onda ν´= ν  v onda + v Foco

  

El foco se aleja del observador

Resumiendo: • •

Cuando el observador y el foco se acercan uno respecto al otro la frecuencia aparente es mayor que la emitida por la fuente y viceversa Las anteriores expresiones se pueden resumir en:

v ± v obs ν´= ν onda  v onda ± v Foco

  

Donde “el signo + del numerador y el menos del denominador corresponden al caso de que el observador y el foco se acerquen”. Si el foco estuviera en reposo haríamos vFoco=0 y si el observador estuviera en reposo haríamos vobs=0. Recuerda que v es la velocidad de propagación de la onda en el medio.

Ejemplo: Una ambulancia se acerca con una velocidad de 20m/s tocando la sirena. Si la frecuencia del sonido que emite es de 1000Hz y la velocidad del sonido es de 340m/s: a) Cual es la longitud de onda delante de la ambulancia? b) Con qué frecuencia perciben el sonido de la sirena los sanitarios que están esperando? a) La longitud de onda que emite la sirena es: v 340 λ = sonido = = 0,34m ν 1000 Cuando la onda avanza 0,34m, en lo que invierte un tiempo igual al periodo, la ambulancia habrá avanzado un espacio igual a vFT es decir: 1 s = v Foco T = 20 ⋅ = 0,02m 1000 por tanto la longitud de onda de la sirena delante de la ambulancia será: λ´= λ − v Foco T = 0,34 − 0,02 = 0,32m b) Para los sanitarios que están en reposo la longitud de onda que perciben es λ´ y por tanto la frecuencia del sonido será: v 340 ν´= sonido = = 1062Hz λ´ 0,32 Al mismo resultado habríamos llegado aplicando la ecuación general y haciendo vobs=0:

v ± v obs ν´= ν onda  v onda ± v Foco

  v onda  = ν   v onda − v Foco

 340   = 1000  = 1062Hz  340 − 20  

Ejemplo: La longitud de onda de la luz que procede de las galaxias, tan alejadas de nosotros que pueden considerarse como puntos luminosos, presenta una desviación hacia el rojo. ¿Qué significa esto? Datos: El espectro visible va del azul al rojo: λ azul < λ rojo Puesto que la velocidad de la onda, en este caso la luz, es c = λ ⋅ ν un corrimiento hacia el rojo significa que la longitud de onda aumenta, o lo que es igual que la frecuencia de la luz que nos llega de la galaxia es más pequeña que la que en ella se origina. Por tanto, si la frecuencia que percibimos es menor de la que realmente se origina, eso quiere decir que la galaxia se aleja de la tierra a gran velocidad, lo que está de acuerdo con la teoría de expansión del universo del big−bang.

VELOCIDADES SUPERSÓNICAS. ONDAS DE CHOQUE Cuando la fuente viaja a una velocidad superior a la de propagación del sonido (vFoco>vonda) decimos que la velocidad es supersónica. En el caso contrario sería subsónica. Supongamos una fuente F que emite ondas y que vFoco>vonda. Al cabo de un cierto tiempo t la onda habrá avanzado un espacio vondat, pero en ese mismo tiempo el foco habrá avanzado vFoco .t con lo que siempre se encontrará por delante de la onda:

Si se representan las ondas que fue emitiendo por las distintas posiciones que pasó, la envolvente es un cono en cuyo vértice está el foco:

senα =

v onda t v onda = v Foco t v Foco

Al inverso de vonda/vFoco se le llama número de Mach.

Un ejemplo sencillo lo tenemos en una lancha que se mueve sobre el agua. El cono que forman las ondas que emite tiene esa forma porque la lancha viaja más deprisa que las ondas en la superficie del agua. Lo mismo ocurre con los aviones supersónicos. En este caso, habrás escuchado el estruendo que hacen algunas veces. Esto ocurre justamente en el momento en que se atraviesa la barrera del sonido. Literalmente se trata de una barrera de ondas, ya que justamente en el momento en que el avión vuela a la misma velocidad del sonido todos los frentes de ondas se encuentran delante justo de él reforzándose unas ondas a otras: