Profesor: Rafa González Jiménez

Instituto “Santa Eulalia”

TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

ÍNDICE 2.1.- Sistemas de Ecuaciones Lineales. Generalidades. 2.2.- Sistemas equivalentes. 2.3.- Resolución de S.E.L. por matriz inversa. 2.4.- Matrices escalonadas. Método de Gauss. 2.5.= Discusión de un S.E.L. por le método de Gauss. 2.6.- Regla de Cramer. 2.7.- Sistemas Lineales Homogéneos.

2.1.- Sistemas de ecuaciones lineales. Generalidades. El objetivo de este tema es estudiar los sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de m ecuaciones lineales en las n incógnitas x 1 , x2 , ... , xn es un conjunto de igualdades de la forma:  a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 + ... + a1n ⋅ xn = b1  a ⋅ x + a ⋅ x + ... + a ⋅ x = b  21 1 22 2 2n n 2   ..............................................  a m1 ⋅ x1 + a m 2 ⋅ x2 + ... + amn ⋅ xn = bn NOTA: (1) Los aij ∈ ℜ , son los coeficientes del sistema y los bi ∈ ℜ son los términos independientes. Los elementos x1 , x2 , ... , xn representan números reales desconocidos, números que pueden o no existir como veremos más adelante; reciben el nombre de incógnitas. (2) En este curso nos vamos a interesar, básicamente, pro los sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y los sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas (en especial éstos últimos). ∈ℜ

Llamaremos solución del sistema anterior a todo conjunto de valores reales s1 , s2 , ... , sn que verifique simultáneamente las n igualdades del sistema, es decir, tal que:  a11 ⋅ s1 + a12 ⋅ s2 + ... + a1n ⋅ s n = b1  a ⋅ s + a ⋅ s + ... + a ⋅ s = b  21 1 22 2 2n n 2   ..............................................  a m1 ⋅ s1 + am 2 ⋅ s2 + ... + a mn ⋅ sn = bn

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Tema 6, 1

Profesor: Rafa González Jiménez

Instituto “Santa Eulalia”

CLASIFICACIÓN DE LOS S.E.L.: Los sistemas de ecuaciones lineales, según el número de soluciones, se clasifican en sistemas incompatibles, sistemas compatibles indeterminados y sistemas compatibles determinados atendiendo al siguiente esquema:

  DETERMINADOS ( S.C.D.)  COMPATIBLES  Tienen una única solución  Tienen solución ADOS ( S.C.I.) S .E.L.   INDETERMIN Tienen infinitas soluciones  LES ( S.I.)  INCOMPATIB No tienen solución EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN S.E.L.: Un sistema de ecuaciones lineales de la forma  a11 ⋅ x + a12 ⋅ y + a13 ⋅ z = b1   a21 ⋅ x + a22 ⋅ y + a23 ⋅ z = b2 a ⋅ x+ a ⋅ y+ a ⋅ z = b 32 33 3  31 Se puede expresar en forma matricial de la forma A ⋅ X = B , donde la matriz A recibe el nombre de matriz de los coeficientes (o matriz del sistema), X es la matriz de las incógnitas y B es la matriz de los términos independientes. Son las siguientes:  a11  A =  a21 a  31

a12 a22 a32

a13   a23  a33 

Si realizamos el producto A ⋅ X matrices del tema anterior …  a11   a21 a  31

  X=   

x  y z 

 b1    B =  b2  b   3

= B utilizando los conocimientos sobre operaciones con a12 a22 a32

a13   x   b1       a23  ·  y  =  b2  b  a33   z   3

… obtendremos el sistema de ecuaciones lineales de partida. Eso quiere decir que a partir de ahora nos podrán presentar un S.E.L. en forma de matrices, por ejemplo:  1 0 − 1  x   0         − 1 1 0  ⋅  y  =  − 2  0 1 1   z  0       

 x− z = 0  es el S.E.L.  − x + y = − 2  y+ z = 0 

Otra matriz que se puede definir a partir de ese sistema de ecuaciones lineales es la denominada matriz ampliada, que se denota por A* y es la siguiente:

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Tema 6, 2

Profesor: Rafa González Jiménez

Instituto “Santa Eulalia”

2.2.- Sistemas equivalentes. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen las mismas soluciones, es decir, si toda solución de uno lo es del otro y viceversa. OBSERVACION: Si en un sistema de ecuaciones se suprime una ecuación que sea combinación lineal de las restantes, el sistema obtenido es equivalente al dado. EJEMPLO: En el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas:  x− z = 0 − x+ y = −2    y+ z = 0  2 x − y − z = 2 La ecuación 4ª es el resultado de restarle la ecuación 2ª a la 1ª. Se podría por tanto eliminar, es decir, resolver ese sistema sería lo mismo que resolver el sistema:  x− z = 0  − x+ y = −2  y+ z = 0  TRANSFORMACIONES ELEMENTALES: Se llaman transformaciones elementales a aquellas que permiten pasar de un sistema de ecuaciones a otro equivalente. Son las siguientes:  Permutar dos ecuaciones entre si. Se simbolizará Fi ↔ Fj  Multiplicar una ecuación del sistema por un número distinto de cero. Se simbolizará Fi → k ⋅ Fi  Sustituir una ecuación por la que resulta de sumarla, previamente multiplicada por un número no nulo, a otra cualquiera. Se simbolizará Fi → λ ⋅ Fi + µ ⋅ Fj . Estas transformaciones no son nuevas, ya aparecieron en el tema anterior al estudiar el método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa de una matriz. Además, también se puede:  Intercambiar dos columnas entre sí, siempre que éstas correspondan a las incógnitas. En ningún se podrá intercambiar la columna correspondiente a los términos independientes.  Eliminar del sistema la ecuación 0 x + 0 y + 0 z = 0  Eliminar cualquier ecuación del sistema que se encuentre repetida en el mismo.  Eliminar cualquier ecuación del sistema que sea combinación lineal de las restantes. 2.3.- Resolución de S.E.L. por matriz inversa. Ya conoces por 1º de Bachillerato que dispones de 3 métodos distintos para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas (también evidentemente para 2 ecuaciones con 2 incógnitas): Reducción, sustitución e igualación. Este curso aprenderás otros 2 métodos más potentes; este es uno de ellos.

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Tema 6, 3

Profesor: Rafa González Jiménez

Instituto “Santa Eulalia”

La expresión matricial de un S.E.L. es A ⋅ X = B . Esto quiere decir que un sistema de ecuaciones puede ser entendido como una ecuación matricial dentro del mundo de las matrices. Si intentamos resolver esa ecuación matricial: A⋅ X = B A− 1 ⋅ A ⋅ X = A− 1 ⋅ B X = A− 1 ⋅ B Luego la solución del sistema es X = A − 1 ⋅ B . Este método de resolución recibe el nombre de método de la matriz inversa o método directo. 2.4.- Matrices escalonadas. Método de Gauss. Los sistemas de la forma: 2 x + y − z = 1  2y + z = 1  2z = 3  Resultan muy fáciles de resolver, basta con despejar z de la última ecuación. Después sustituir este valor en la 2ª ecuación y despejar así y para, por último, sustituir los valores de z e y en la 1ª ecuación y obtener así x. Este método se conoce con el nombre de aguas arriba. Llamaremos sistema de ecuaciones lineales escalonado a aquél cuya matriz de coeficientes sea una matriz escalonada. Sirva como ejemplo el anterior. Gauss observó que este tipo de sistemas era muy sencillo de resolver, de abajo a arriba, y diseñó un método que lleva su nombre para la resolución de los S.E.L. MÉTODO DE GAUSS: Partiendo de la matriz ampliada del S.E.L. a resolver y utilizando las transformaciones elementales descritas en el apartado anterior, pasaremos a un nuevo S.E.L. con la matriz de coeficientes del tipo escalonado, mucho mas fácil de resolver. Las soluciones de este último sistema serán las que buscábamos para el de partida. En forma de esquema:

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Tema 6, 4

Profesor: Rafa González Jiménez

Instituto “Santa Eulalia”

EJEMPLO:

2.5.-

S.E.L. con parámetros. Discusión de un S.E.L. por le método de Gauss.

Acabamos de estudiar el método de Gauss para la resolución de un S.E.L., pero hay ejercicios en los que la resolución no es tan inmediata; fíjate en este ejemplo: x+ y− z =1   2x − λ ⋅ y + z = 1  − λ ⋅ x + y − z = 0 Este tipo de S.E.L. tienen la peculiaridad de que alguno de los coeficientes no son números, sino letras (λ, δ, α, k, …) que reciben el nombre de parámetros. En los S.E.L. con parámetros es muy interesante conocer cómo se comporta para los distintos valores del parámetro: para qué valores es compatible determinado, para cuales será compatible indeterminado y para los que será incompatible. A esto se le conoce con el nombre de discusión del sistema. DISCUSIÓN DE UN S.E.L. CON PARÁMETROS POR GAUSS: Para utilizar el método de Gauss en la discusión de S.E.L. hay que seguir los siguientes pasos: 1º. Aplicar Gauss hasta conseguir un sistema escalonado, eliminando para ellos todas las filas nulas o que sean C.L. de las anteriores. 2º- Atender al siguiente esquema: Si n es el número de incógnitas y k es el número de ecuaciones que quedan no nulas:   Si la última fila es de la forma (0 0 0 b) (con b ≠ 0) ⇒ S.I.  Si n = k    Si la última fila es de la forma (0 0 a b) (con a ≠ 0) ⇒ S.C.D.  Si n > k, será necesario tomar n - k incógnitas como parámetros para resolver ⇒ S.C.I.  EJEMPLO DE RESOLUCIÓN DE UN S.C.I.:

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Tema 6, 5

Profesor: Rafa González Jiménez

Instituto “Santa Eulalia”

2.6.- Regla de Cramer. Existen unos S.E.L. que admiten otra forma de resolución. Lo que veremos a continuación sólo es válido para sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas… Un sistema se dice que es de Cramer si A ≠ 0 , siendo A la matriz de los coeficientes del sistema. Las soluciones de un sistema de Cramer se obtienen fácilmente mediante las expresiones que aparecen a continuación. Dado el S.E.L.:  a11 ⋅ x + a12 ⋅ y + a13 ⋅ z = b1   a21 ⋅ x + a22 ⋅ y + a23 ⋅ z = b2 a ⋅ x+ a ⋅ y+ a ⋅ z = b 32 33 3  31 La solución de dicho sistema es: x=

A1

y=

A

A2 A

z=

A3 A

Donde A es el determinante de la matriz de coeficientes del sistema y Ai denota al determinante de la matriz que se obtiene al cambiar la columna “i” de A por la columna de los términos independientes del sistema. 2.7.- Sistemas Lineales Homogéneos. Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si los términos independientes de todas las ecuaciones del sistema son nulos. Será pues, de la forma:  a11 ⋅ x + a12 ⋅ y + a13 ⋅ z = 0   a 21 ⋅ x + a 22 ⋅ y + a23 ⋅ z = 0 a ⋅ x+ a ⋅ y+ a ⋅ z = 0 32 33  31 IMPORTANTE: un sistema homogéneo siempre tiene solución, es decir, siempre es compatible. Suelen ser los mas fáciles de resolver. FIN TEMA

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Tema 6, 6