Tema 2 Movimiento Ondulatorio 2.1 Movimiento ondulatorio: ondas. 2.2 Magnitudes caranterísticas de las ondas. 2.3 Ecuación de ondas armónicas. 2.4 Fenómenos ondulatorios.

2.1 Movimiento ondulatorio: ondas Es bien conocido el efecto de arrojar una piedra en un estanque; se produce una alteración circular en el agua que se va propagando por toda la superficie. Un fenómeno similar ocurre cuando se agita una cuerda por un extremo y se transmite el movimiento a lo largo de la misma. Ambos fenómenos tienen una característica común; se transmite energía y cantidad de movimiento sin que haya una transmisión de masa. Una hoja en el agua se moverá arriba y abajo con las ondas pero no se desplazará lateralmente, por lo tanto el agua bajo la hoja tampoco lo hará. En el caso de la cuerda es más sencillo, los puntos de la misma se mueven arriba y abajo pero tampoco se desplazan lateralmente. Otros ejemplos de ondas son el sonido a través del aire, las fichas de un dominó cayendo en cadena, la luz, las señales que emiten las emisoras de radio, etc. Las ondas, al igual que las partículas, pueden transmitir energía pero hay dos características fundamentales que diferencian a unas de otras: 1. las ondas no transportan materia y las partículas sí; 2. las partículas están perfectamente localizadas y las ondas no. Una onda está completamente deslocalizada, se encuentra a lo largo de todo el espacio pero no en un punto concreto. El origen de las ondas son movimientos oscilatorios que se producen en un punto concreto del medio, denominado foco, y que se transmiten al espacio que lo rodea. Para ello es necesario que el medio sea capaz de propagar la perturbación ya que, en el vacío por ejemplo, no se puede transmitir el sonido.

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2.1.1 Fenómenos ondulatorios. Clasificación. Existen diferentes formas de clasificar los fenómenos ondulatorios; se pueden clasificar en función a su naturaleza, forma de propagarse, lugares por los que se propaga, dirección de vibración, etc. A) Clasificación por tipo de fenómeno ondulatorio. Se pueden diferenciar dos tipos de fenómenos ondulatorios: •

los pulsos son perturbaciones que pasan por cada punto una sola vez;

•

las ondas son perturbaciones que suceden de forma permanente y están distribuidas por todo el espacio. Idealmente una onda va desde −∞ hasta +∞.

Pulso

Onda

Figura 2.1. Comparación entre pulsos y ondas

B) Clasificación por la naturaleza de la perturbación. Si se atiende a la naturaleza de la perturbación se distinguen: •

ondas mecánicas, son las que necesitan de un medio material para propagarse como por ejemplo el sonido;

•

ondas electromagnéticas, son las que no necesitan de un medio para propagarse como la luz o las ondas de radio.

Las ondas mecánicas se propagan porque las partículas que forman un medio están ligadas entre sí mediante interacciones de algún tipo de manera que una deformación o una compresión en un punto se transmite al siguiente y así sucesivamente. Las ondas electromagnéticas se propagan debido a la relación existente entre el campo magnético y el campo eléctrico. En el siguiente tema se verá cómo un campo eléctrico variable genera un campo magnético también variable y viceversa, de modo que los campos eléctricos y magnéticos se van generando mutuamente propagandose por el medio. C) Clasificación por la dirección de vibración. Por la dirección de vibración se tienen: •

ondas transversales; son aquellas en las que la dirección de vibración es perpendicular a la dirección de propagación, como en una cuerda, las olas o la luz;

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•

ondas longitudinales; son las que ambas direcciones son paralelas, como en un muelle o el sonido.

Onda

Onda transversal

Onda longitudinal

Figura 2.2. Comparación entre ondas transversales y longitudinales

D) Clasificación por el frente de onda. Se define el frente de onda como el lugar geométrico de los puntos adyacentes del espacio que están en el mismo estado de vibración. Por ejemplo, en el caso de la piedra arrojada en el estanque cada una de las crestas de las circunferencias que se forman es un frente de onda. Se define el rayo como un vector con la dirección perpendicular al frente de onda y el sentido de propagación de la perturbación. El rayo, por lo tanto, indica la dirección y sentido de propagación de la perturbación. Atendiendo al frente de onda las ondas también se pueden clasificar en: −

ondas esféricas; en las que el frente de onda es una esfera;

−

ondas planas; aquellas cuyo frente de onda es plano.

Figura 2.3. Frentes de onda y rayos

A largas distancias las ondas esféricas se aproximan a ondas planas, tal y como ocurre con el Sol, cuyos frentes de onda se pueden considerar planos en su llegada a la Tierra.

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Cuando las ondas se propagan por un medio real van perdiendo energía de manera de manera que el alcance de las ondas es es limitado. Las ondas se debilitan debido a dos efectos diferentes: la absorción y la atenuación. El medio absorbe parte de la energía de la onda debido al rozamiento de las partículas en las ondas mecánicas y a la dispersión de los campos electromanéticos, de modo que la energía de la perturbación va disminuyendo; este fenómeno se conoce como absorción. Por otro lado, en frentes de onda esféricos la energía de la onda se debe repartir en superficies cada vez mayores por lo que a cada punto le corresponde cada vez una energía menor, este efecto se denomina atenuación.

2.1.2 Periodicidad espacial y temporal de las ondas Un fenómeno es periódico cuando ocurre de modo repetitivo, como por ejemplo las estaciones del año o las farolas de una calle. Sin embargo entre los dos ejemplos anteriores existe una diferencia fundamental; las estaciones se repiten a lo largo del tiempo y las farolas lo hacen a lo largo del espacio. Se puede diferenciar, por lo tanto, entre periodicidad temporal y periodicidad espacial. Las ondas presentan periodicidad espacial y temporal. En el ejemplo de la cuerda que es agitada por uno de sus extremos: - un punto cualquiera describe siempre el mismo movimiento arriba y abajo a lo largo del tiempo (x es fijo y t varía), lo que supone una periodicidad temporal; el tiempo en describir ese movimiento ha sido definido como periodo T; - si en un momento se le hace una fotografía a toda la cuerda (se fija t y varía x) se puede apreciar cómo toda la cuerda tiene una forma que es la repetición del mismo perfil (~). La longitud del perfil que se repite se define como la longitud de onda λ.

2.2 Magnitudes características de las ondas A continuación se enumeran las principales magnitudes que se pueden definir en las ondas transversales. −

Elongación (y(x,t)); es el valor de separación de un punto de la onda respecto de la posición de equilibrio. Se mide en m.

−

Amplitud (A); es el valor máximo de la elongación, la máxima separación desde la posición de equilibrio. El valor de la elongación siempre estará comprendido entre −A y +A. Su unidad es el m.

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−

Periodo (T); es el tiempo que tarda un punto de la onda en realizar una oscilación completa. Como es un tiempo su unidad es el segundo.

−

Frecuencia lineal (f o ν); representa el número de veces que un punto realiza una oscilación completa en la unidad de tiempo. La frecuencia lineal se mide en hercios Hz.

−

Frecuencia angular o pulsación ω que representa los radianes que se barren en un segundo. Se mide en rad/s. La relación con la frecuencia lineal es: ω = 2π f Periodo y frecuencia se relacionan según las expresiones siguientes ω=

−

2π T

f=

1 T

Longitud de onda (λ); es la distancia que hay entre dos puntos que están en el mismo estado de vibración. Esto significa que tanto las elongaciones como los sentidos de vibración han de ser los mismos. Se mide en m.

−

Número de onda (k) representa el número de radianes contenidos en un metro y se miden en rad/m. El número de onda se relaciona con la longitud de onda mediante la expresión: k=

−

2π λ

Fase inicial (ϕ0) representa el estado inicial de oscilación del origen. Se mide en rad.

y

y

A x

λ Figura 2.4. Representación de algunas magnitudes características de las ondas

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−

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Velocidad de propagación (vp); es la velocidad a la que la perturbación viaja por el medio. Se puede calcular como el cociente entre la distancia recorrida (λ) entre el tiempo en recorrerla (T). Se mide en m/s. vp =

λ ω = T k

La velocidad de propagación depende de las características del medio. La tabla siguiente muestra, a modo de ejemplo, la expresión de la velocidad de propagación de algunas ondas.

Tipo de onda

Velocidad de propagación

Onda propagándose por una cuerda

vp =

T λ

T es la tensión y λ es la densidad lineal de la cuerda (kg/m).

Onda longitudinal en un sólido

vp =

E ρ

E es el módulo de elasticidad y ρ es la densidad del medio.

Onda electromagnética

vp =

1 με

ε es la permitividad y μ es la permeabilidad magnética del medio.

2.3 Ecuación de ondas armónicas Cuando una perturbación se propaga por un medio lo hace con una determinada velocidad de propagación. Esto significa que lo que ocurrirá en un punto alejado una distancia ‘x’ del origen de coordenadas es exactamente lo mismo que ocurre en el origen pero retrasado el tiempo ‘tR’ necesario para que la perturbación se propague hasta dicho punto. Un ejemplo cotidiano es el eco; el sonido que se hace se oye igual transcurrido un determinado tiempo, que es el necesario para que la perturbación llegue hasta el obstáculo y retorne. Cuando ocurre un relámpago simultáneamente se producen la luz y el sonido; sin embargo, se ve prácticamente de modo instantáneo (vluz=300.000.000 m/s), pero se oye transcurrido el tiempo apreciable (vsonido=340m/s), el necesario para que la onda sonora se propague desde el lugar donde se produjo el rayo. Teniendo en cuenta lo anterior, si la expresión que representa la elongación en el origen es:

y(0, t ) = A sen(ω t ) la elongación del punto x se puede expresar como:

y(x, t ) = A sen(ω (t − t R )) es decir exactamente la misma expresión retardada un tiempo tR.

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Figura 2.5. Propagación de un pulso con tR=7s

Como la onda se propaga con velocidad constante ‘v’: v=

x tR

⇒

tR =

x v

Sustituyendo y operando se obtiene: x⎞ ⎛ y (x, t ) = A sen ⎜ ωt - ω ⎟ v ⎠ ⎝ y (x, t ) = A sen (ωt - kx )

Si se incluye la fase inicial, la expresión resultante es la más general posible y recibe el nombre de ecuación de ondas armónicas. y(x, t) = Asen(ωt − kx + ϕ 0 )

Consideraciones: 1. Esta ecuación permite calcular el valor de la elongación en cualquier punto del medio (ya que depende de x) y en cualquier instante (ya que depende de t). 2. El signo negativo indica el sentido de la propagación de la onda, de izquierda a derecha. Una onda propagándose en el sentido contrario tendría velocidad negativa y el signo que aparecería en la ecuación de ondas sería positivo. 3. La periodicidad temporal está contenida en el término ω (que depende de T) y la periodicidad espacial en k (que depende de λ).

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4. Un punto cualquiera del medio (x0) oscila con una ecuación: y(x 0 , t) = Asen(ωt − kx 0 + ϕ 0 )

teniendo en cuenta que el término [β0=–kx0 + ϕ0] es constante, se puede expresar: y(t) = Asen(ωt + β 0 )

que es la expresión típica de un MAS. Se puede comprobar como la onda en realidad consiste en que un oscilador armónico propaga la perturbación a los puntos que lo rodean, convirtiéndose éstos a su vez en otros osciladores armónicos. 5. Un punto cualquiera del medio oscila con una velocidad: v (x, t ) =

dy(x, t) = A ω cos(ωt − kx + ϕ 0 ) dt

que es la velocidad de vibración del punto, que nada tiene que ver con la velocidad de propagación de la onda. 6. De la misma manera que el MAS se puede describir indistintamente con la función seno o coseno, sin más que cambiar la fase inicial, la ecuación de onda se puede expresar también mediante cualquiera de esas dos funciones trigonométricas.

2.4 Fenómenos ondulatorios. Se han definido las ondas como la propagación de una perturbación a través de un medio. En lo sucesivo se va a suponer que las ondas son transversales aunque la mayoría de estos fenómenos pueden ocurrir también a las ondas longitudinales. La reflexión, la refracción y la difracción ocurren cuando la onda interacciona con la materia; las interferencias y las ondas estacionarias ocurren cuando las ondas interaccionan entre sí, y la polarización es una característica exclusiva de las ondas transversales.

2.4.1 Reflexión y refracción Ambos fenómenos ocurren cuando una onda llega a la superficie de separación de dos medios. La refracción consiste en que la onda atraviesa dicha superficie y pasa al otro medio, mientras que en la reflexión la onda ‘rebota’ en la superficie y no la atraviesa, sino que vuelve propagándose por el mismo medio que llegó.

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Se define la normal como la línea perpendicular a la superficie en el punto de incidencia. El ángulo de incidencia (ϕi) es el que forma el rayo incidente con la normal, y el ángulo de reflexión (refracción) (ϕr) es el que forman el rayo reflejado (refractado) con la normal. Estos ángulos se expresan siempre en grados.

Figura 2.6. Fenómenos de la reflexión a) y la refracción b)

El estudio experimental de ambos fenómenos ondulatorios permite establecer las siguientes leyes: 1. Leyes de la reflexión: a)

el ángulo de incidencia es igual que el ángulo de reflexión ϕi=ϕr

b)

el rayo incidente, el reflejado y la normal están en el mismo plano.

2. Leyes de la refracción: a)

el ángulo de incidencia y el de refracción se relacionan con las velocidades de propagación de la siguiente manera: senϕ i v i = senϕ r v r

b)

el rayo incidente, el refractado y la normal están en el mismo plano.

Según la primera ley de la refracción y teniendo en cuenta que la función seno es creciente entre 0º y 90º, para una onda que pase de un medio a otro donde la velocidad de propagación sea menor (aire→agua, por ejemplo) el rayo refractado se acerca a la normal; en cambio si la velocidad de propagación es mayor (agua→aire) el rayo se aleja de la normal.

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En el fenómeno de la reflexión las ondas incidente y reflejada se propagan por el mismo medio y, como consecuencia, la frecuencia y la longitud de onda de ambas es la misma. En la refracción la frecuencia permanece constante y, como la velocidad varía al cambiar de medio, debe cambiar la longitud de onda. Observando la expresión de la velocidad de propagación de una onda se puede ver con facilidad que, cuando una onda pasa de un medio a otro en donde la velocidad de propagación sea mayor, la longitud de onda aumenta. v=

λ = λ·f T

En los casos reales cuando una onda llega a una frontera entre medios se produce una combinación de ambos efectos, parte de la onda se refleja (vuelve al medio) y parte se refracta (pasa al otro medio). Las amplitudes de las ondas varían dependiendo de cada caso, pero siempre se debe verificar la ley de la conservación de la energía.

2.4.1.1 Ángulo límite y reflexión total Supongamos una onda que pasa de un medio a otro de modo que viv2. Amplitud, frecuencia, longitud de onda, fase inicial, periodo, número de onda. 24. Calcula el ángulo límite de una onda que pasa de un medio con vp1=1.200m/s a otro con vp2=2.300m/s Sol. ϕL = 31.45º 25. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando las respuestas: a) La velocidad de propagación de una onda armónica es proporcional a su longitud de onda. b) Cuando una onda incide en la superficie de separación de dos medios, las ondas reflejada y refractada tienen igual frecuencia e igual longitud de onda que la onda incidente. 26. Explicar por qué durante el día se puede ver el exterior a través del cristal de una ventana pero no el interior y por la noche se invierte la situación. Suponer una casa sin luz en el exterior. 27. a) Explique qué son una onda transversal y una onda longitudinal. ¿Qué quiere decir que una onda está polarizada linealmente? b) ¿Por qué se dice que en un fenómeno ondulatorio se da una doble periodicidad? ¿Qué magnitudes físicas la caracterizan? 28.

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a) Comente la siguiente afirmación: “las ondas estacionarias no son ondas propiamente dichas” y razone si una onda estacionaria transporta energía. b) Al arrojar una piedra a un estanque con agua y al pulsar la cuerda de una guitarra se producen fenómenos ondulatorios. Razone qué tipo de onda se ha producido en cada caso y comente las diferencias entre ambas. 29. Una onda de vp=200.000m/s y T=10–8s llega a una ranura. ¿De qué anchura debe ser la ranura para que se aprecie el fenómeno de la difracción? Sol. d = 0.002m. 30. a) Explique los fenómenos de reflexión y refracción de una onda. b) ¿Tienen igual frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación la onda incidente, la reflejada y la refractada? 31. ¿Se puede polarizar el sonido? 32. La cuerda de una guitarra vibra de acuerdo con la ecuación y(x,t)=0.01sen(10πx)cos(200πt) (en unidades S.I.) a) Indicar de qué tipo de onda de trata y calcular la amplitud y la velocidad de propagación de las ondas cuya superposición puede dar lugar a dicha onda. b) ¿Cuál es la energía de una partícula de la cuerda situada en el punto x=10cm? Razonar la respuesta. Sol. a) A = 0.005m, vp = 20m/s; b) E = 0J. 33. La ecuación de una onda en una cuerda tensa es: y (x, t) = 4·10–3 sen (8πx) cos (30πt)

(S.I.)

a) Indique qué tipo de onda es y calcule su período y su longitud de onda. b) Explique cuál es la velocidad de propagación de la onda y cuál es la velocidad de los puntos de la cuerda. Calcule la velocidad máxima del punto x = 0,5 m. Sol. a) T=0.067s, λ=0.25m; b) vp=0m/s, v(x,t)= –0.12π sen (8πx) sen (30πt), v(0.5,t)=0m/s 34. La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda tensa es: y(x, t) = 4 sen π(50t–4x) (S.I.). a) Calcular la amplitud, la longitud de onda y el periodo de dicha onda. ¿Qué significado físico tiene el menos que aparece dentro del paréntesis? b) Determinar la velocidad de propagación de la onda. ¿Se mueven los puntos del medio con esa velocidad? Sol. a) A = 4m, λ = 0.5m, T = 0.04s; b) vp = 12.5m/s 35. Se hace vibrar una cuerda de guitarra de 0,4m de longitud, sujeta por los dos extremos. a) Calcule la frecuencia fundamental de vibración, suponiendo que la velocidad de propagación de la onda en la cuerda es de 352ms–1. b) Explique por qué, si se acorta la longitud de una cuerda en una guitarra, el sonido resulta más agudo. Sol. a) ffund = 440Hz. 36. La ecuación de una onda en una cuerda es: y( x, t ) = 0,2 sen (6πx) cos( 20πt )

( S.I.)

a) Explique las características de la onda y calcule su periodo, longitud de onda y velocidad de propagación. b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos con amplitud cero e indique el nombre y las características de dichos puntos. Sol. a) T =0.1s, λ = 0.33m, vp = 0m/s; b) d = 0.17m 37. La ecuación de una onda transversal que se propaga por una cuerda es: y(x, t) = 0.06 cos2π(4t-2x) (S.I.)

Tema 2-22

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a) Calcular la diferencia de fase entre los estados de vibración de una partícula de la cuerda en los instantes t=0s y t=0.5s. b) Calcula la diferencia de fase entre dos puntos separados 3m. Sol. a) Δθ = 4πrad., b) Δθ = 12πrad 38. La ecuación de una onda en una cuerda es: y (x, t ) = 0.4 sen (12πx) cos(40πt) (S.I.) a) Explique las características de la onda y calcule su periodo, longitud de onda y velocidad de propagación. b) Determine la distancia entre dos puntos consecutivos con amplitud cero. Sol. a) T = 0.05s, λ = 0.17m, vp = 0m/s; b) d = 0.083m 39. a) ¿Cuáles son las longitudes de onda posibles de las ondas estacionarias producidas en una cuerda tensa, de longitud L, sujeta por ambos extremos? Razone la respuesta. b) ¿En qué lugares de la cuerda se encuentran los puntos de amplitud máxima? ¿Y los de amplitud nula? Razone la respuesta.

Tema 2-23