TEMA 1: VARIABLES ALEATORIAS. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. ESQUEMA

1.1. Concepto de variable aleatoria. Definición formal. Notaciones. 1.1.1. Tipos 1.1.2. Función de distribución. 1.2. Variables aleatorias de tipo discreto. 1.2.1. Características: 1.2.1.1. Función puntual de probabilidad. 1.2.1.2. Esperanza y varianza de v.a. discretas. Propiedades. 1.2.2. Distribuciones discretas especiales. 1.2.2.1. La distribución de Bernoulli. 1.2.2.2. La distribución de Bernoulli. 1.2.2.3. La distribución Binomial. 1.2.2.4. La distribución de Poisson. 1.3. Variables aleatorias de tipo continuo. 1.3.1. Características: 1.3.1.1. Función de densidad. 1.3.1.2. Esperanza y varianza de v.a. continuas. Propiedades. 1.3.2. Distribuciones continuas especiales. 1.3.2.1 La distribución Uniforme. 1.3.2.2 La distribución Normal. 1.3.2.3. Distribuciones relacionadas con la Normal: χ2 , t , F. 1.1.- VARIABLE ALEATORIA. Significado: Hasta ahora, se han estudiado características generales de los espacios probabilísticos (Ω,α,Ρ), donde Ω es el espacio muestral, α una σ-álgebra, y Ρ una función de probabilidad. Con frecuencia no interesará estudiar los sucesos de la σ-álgebra, sino una ó varias características numéricas ligadas con el resultado del experimento. Así podrá interesarnos al seleccionar un alumno de la Universidad, la probabilidad de que su nota sea superior ó igual a 5 (probabilidad de aprobar), ó con objeto de establecer un nuevo impuesto la probabilidad de que la renta anual de los individuos no sea superior a 20.000 euros. Estas características numéricas, a las que bajo determinadas condiciones podemos asociar una probabilidad, inducida por la probabilidad de los sucesos del experimento, reciben el nombre de variables aleatorias. Ejemplo 1: Si consideramos el experimento lanzar una moneda al aire tres veces, nuestro espacio muestral Ω estará formado por los ocho posibles resultados elementales del experimento, es decir Ω={(c,c,c),(c,c,+),(+,c,c), (+,c,+), (+,+,c),(c,+,c),(c,+,+), (+,+,+)}. Cada uno de estos sucesos (equiprobables) con una probabilidad de 1/8. Podemos definir una función que a cada uno de los resultados, le asigna el número de caras obtenidas: Χ Ω ℜ (c,c,c) 3 (c,c,+) 2 (+,c,c) 2 (+,c,+) 1 (+,+,c) 1 (c,+,c) 2 (c,+,+) 1 (+,+,+) 0 Es decir Χ((c,c,c))=3, Χ((c,c,+))=2, Χ((+,c,c))=2,...

García Córdoba Dpto. Métodos Cuantitativos e Informáticos

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TEMA 1: VARIABLES ALEATORIAS. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. Pues bien, la probabilidad de los sucesos elementales del experimento (1/8), induce una probabilidad sobre la característica numérica (número de caras) que es nuestra variable aleatoria. Así, la probabilidad nuestra variable aleatoria tome el valor 0, es: P(X=0)=P((+,+,+))=1/8 La probabilidad que nuestra variable X tome el valor 1, es: P(X=1)=P((+,c,+)U(+,+,c)U(c,+,+))=1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 Definición 1: Dado un fenómeno aleatorio con espacio probabilístico asociado (Ω,α,Ρ), entenderemos por variable aleatoria X, una función definida sobre el espacio muestral Ω y cuyos valores son números reales que verifica que el conjunto {ω∈Ω / X(ω)< x }∈ α ∀x ∈ ℜ . Ω ** ** x Se observa que el conjunto {ω∈Ω / X(ω)< x } lo podemos reescribir alternativamente como: {ω∈Ω / X(ω)< x }={ω∈Ω / X(ω)∈(-∞, x] }= X-1( (-∞, x]) Definición 2: Esto nos permite definir alternativamente la variable aleatoria como todo función definida sobre el espacio muestral, que toma valores en el campo de los números reales de tal manera que la imagen inversa de cada intervalo de la forma (-∞, x] es un suceso de la σálgebra α. Esta exigencia de que la imagen inversa sea un suceso, se fundamenta en la necesidad de poder asignarle una probabilidad. Así pues, una variable aleatoria es una función con base en el resultado de un experimento aleatorio, y por tanto el valor de una variable aleatoria es un fenómeno aleatorio, pero a diferencia del experimento aleatorio original que puede tener resultados no numéricos (cara ó cruz en una moneda), el valor de la variable aleatoria es un fenómeno aleatorio cuyos resultados son siempre numéricos. Intuitivamente una variable aleatoria es una cantidad medida en relación con un experimento aleatorio. Si ω es un resultado de una realización del experimento aleatorio, llevamos a cabo un proceso de medida y obtenemos un número que denotamos por X(ω). Notación:Por motivos históricos, se utiliza el nombre de variables aleatorias, en lugar del de funciones, que es lo que son realmente, y en lugar de representarse como es usual en estas últimas por letras minúsculas, se describen mediante las últimas letras del abecedario U, V, W, X, Y, Z, siempre en mayúsculas. El término aleatoria que acompaña a su denominación se utiliza para diferenciarlas de su antecedente histórico, que la variable estadística, objeto de estudio en Estadística Descriptiva. Las variables estadísticas recogían una característica numérica observada en los individuos de una población (se contabilizaban los valores observados en términos de frecuencia relativa. En Teoría de la Probabilidad, además de no ser objeto de preocupación la forma funcional de X( ), los posibles valores de la variable se estudiarán en términos de probabilidad. Ejercicio 1: Veamos que la función definida en el ejemplo 1 es una variable aleatoria: Consideremos sobre el espacio muestral Ω la σ-álgebra Α=ρ(Ω)(Partes de Ω= todos los subconjuntos extraíbles de Ω): ∅∈Α si x < 0 {(+,+,+)}∈Α si 0