Tema 1. Movimiento ondulatorio

1.1. Introducción 1.2 Ecuación de ondas 1.3 Ondas armónicas

§ Velocidad de fase de la onda

1.4 Superposición de ondas § Superposición de ondas escalares de la misma frecuencia § Superposición de ondas: ondas estacionarias. § Superposición de ondas escalares de la diferente frecuencia. Velocidad del grupo de ondas.

1.5 Ondas anarmónicas. Series de Fourier § Ondas no periódicas. Transformada de Fourier

1.6 Ondas en tres dimensiones. 1.7 El efecto Doppler

A.1 Apéndice. Representación compleja de las ondas.

Miguel Antón Revilla Departamento de Óptica EUO

1.1. Introducción

Hay muchos fenómenos físicos, aparentemente muy diferentes entre sí, que pueden describirse mediante la propagación de ondas. El viento que mueve un campo de trigo determina un movimiento colectivo en forma de onda que se difunde a lo largo de toda su extensión. Podemos distinguir aquí dos clases de movimiento, el de la propagación de la onda y el de cada una de las espigas, las cuales ejecutan movimientos de vaivén en torno a su posición de equilibrio, pero no se trasladan. En el caso del golpe de una piedra sobre la superficie tranquila del agua de un estanque, se observa la propagación de ondas esféricas que se agrandan paulatinamente. De nuevo pueden observarse dos movimientos, el de avance de pequeños abultamientos que constituyen la onda y el movimiento de las partículas de agua que realizan movimientos hacia arriba y hacia abajo en dirección perpendicular al de la propagación de la onda. Se trata de una onda transversal. Este hecho se puede demostrar situando pequeños flotadores en la superficie del agua. Se observará su movimiento de vaivén pero no su desplazamiento en la dirección de avance de los abultamientos. El sonido es otro ejemplo de propagación de ondas. En efecto, si se produce un súbito cambio de presión en el emisor, las partículas de aire próximas se comprimen y se produce un cambio de presión que empuja más aire. a su vez este aire se comprime dando lugar a una presión adicional. El resultado es que este cambio de presión se propaga del emisor al receptor. También podríamos decir que lo que se propaga es un cambio de densidad. En este caso, las partículas de aire ejecutan pequeños desplazamientos en torno a su posición de equilibrio pero a lo largo de la dirección en la que se propaga la onda. Se trata de una onda longitudinal Ciertamente, en todos los casos comentados se trata de movimiento de partículas en torno a su posición de equilibrio, pero lo que se propaga no son las partículas sino un cierto estado de perturbación de la materia. De una manera genérica diremos que una onda representa la propagación de un estado de perturbación de la materia o del campo (eléctrico, magnético, gravitatorio). En el caso de una onda en el agua, las partículas de agua ejecutan movimientos en torno a su posición de equilibrio, pero no se trasladan. Lo que se transmite de un punto a otro es el estado de perturbación creado en un momento dado y en un punto. En este caso se trata de una onda transversal ya que la dirección de de la perturbación tiene lugar perpendicularmente a la dirección en la que vibran las partículas de agua. Como ya hemos dicho más arriba, las ondas del sonido son ondas longitudinales. En este caso un cambio brusco de presión o densidad en un punto hace que las partículas de aire se desplacen de su posición de

equilibrio empujando a las contiguas. De este modo se propaga ese cambio de presión de un punto a otro del espacio y en la misma dirección en la que vib ran las partículas. Tanto las ondas en el agua como las ondas de sonido son ondas mecánicas ya que en última instancia representan la propagación de estados de perturbación de la materia y son producidas por movimientos de partículas. De hecho, los que se transmite de un punto a otro es la energía mecánica de estas partículas que oscilan en torno a su posición de equilibrio. Pero existen también ondas de carácter electromagnético, tales como las ondas de radio, las ondas que produce un horno microondas o la propia luz visible que nos permite ver los objetos. En este caso lo que se propaga de un punto a otro del espacio es un estado de perturbación del campo electromagnético. Por ejemplo, si se hace oscilar cargas eléctricas mediante corrientes alternas, en las proximidades se perturba el campo eléctrico y magnético. Esta perturbación se puede propagar en el vac ío en forma de ondas. Las ondas así generadas tienen longitudes de ondas de metros o centímetros y se usan en transmisiones de radio y televisión. Estas ondas son captadas por antenas

Si hacemos oscilar a los electrones de los átomos o moléculas, también se producen ondas electromagnéticas , sólo que en este caso, su longitud de onda será mucho menos, del orden de décimas de micra.

De hecho, existe una gran variedad de ondas electromagnéticas que se diferencian por su longitud de onda. En la figura se muestra el espectro electromagnético. Dentro de él existe una pequeña porción, entre 340 y 780 nm que constituye el espectro visible capaz de producir estímulos visuales en el ojo humano.

1.2 Ecuación de ondas

Sería interesante obtener algún tipo de ecuación que describiera el movimiento de esta perturbación, una ecuación que fuera a la onda lo que la ley de Newton es al movimiento de una partícula. Esto es lo que haremos a continuación. Consideraremos el caso de una perturbación o pulso que se propaga sin deformarse tal como se indica en la figura. La amplitud del pulso se define en todos los puntos del espacio y en cada instante de tiempo. Podremos describirlo por una cierta función Ψ(x,t) = f(x,t)

Si el pulso viaja durante un cierto tiempo t a una velocidad v y no cambia de forma al propagarse, se cumplirá que la forma de la función Ψ(x) en el sistema en reposo, tomará los mismos valores referidos al sistema que se mueve con el pulso, esto es, donde

Ψ ( x, t ) = f ( x ' ) x' = x − v t

Por lo tanto, la función Ψ(x,t), representará el movimiento de un pulso que no se deforma siempre que su expresión funcional sea de la forma

Ψ ( x, t ) = f ( x − v t )

es decir, las variables x y t no entran en la función de cualquier manera sino en la forma x-vt. El mismo argumento se podría utilizar para analizar la propagación de pulsos en la dirección negativa del eje X. Basta con cambiar el signo de la velocidad, con lo que se obtendría una función del tipo

Ψ ( x, t ) = f ( x + v t ) Veamos esto con un ejemplo. Considérese q ue en t=0, el pulso está determinado por la función

Ψ ( x ,0 ) = 3 e − x

2

Si el pulso se propaga a la velocidad v=2 m/s sin deformarse, entonces, en otro instante se podrá expresar como se podrá expresar como

Ψ ( x, t ) = 3 e

−( x − vt )

2

= 3e

−( x − 2t )

2

En la figura se muestra el pulso en todos los puntos del espacio y en diferentes instantes de tiempo .

t=0

t=2 s

t=3 s

Ψ(x,t)

x Vamos a tratar de encontrar una ecuación diferencial de la función Ψ(x,t), cuya solución tenga la forma f(x-vt). Para ello, derivaremos dos veces la función Ψ(x,t) respecto del espacio y respecto del tiempo.

∂Ψ ∂f ∂u ∂f = = ∂x ∂u ∂x ∂u

∂ 2Ψ ∂x 2

⇒

Por otra parte, si derivamos respecto del tiempo

∂Ψ ∂f ∂u ∂f = = (− v) ⇒ ∂t ∂u ∂t ∂u

 ∂  ∂ f  ∂u ∂ u ∂2 f   = = ∂u ∂x ∂u 2

 ∂  ∂ f ∂ u  ∂ u ∂2 f 2  = = v ∂u ∂t ∂u 2

∂2Ψ 2 ∂t

Comparando ambas expresiones, se llega a

∂ 2 Ψ (x , t ∂ x2

)=

1

∂ 2 Ψ (x , t )

v2

∂ t2

Toda función que satisfaga esta ecuación, representa la propagación de una perturbación que se desplaza en el espacio a la velocidad v. Esta ecuación representa la ecuación diferencial de una onda.

1.3 Ondas armónicas

Un caso particularmente interesante lo constituyen las soluciones cuya forma de la perturbación función Ψ(x,t) es una función armónica. Por un lado sus propiedades matemáticas son sencillas y constituyen una primera aproximación a situaciones físicas reales. Por otro lado, como veremos más adelante, el teorema de Fourier permite expresar funciones más comp lejas como una suma de funciones armónicas de diferentes frecuencias por lo que el estudio de tales funciones se reduce al de sus componentes elementales. Consideremos que en t=0, la función f es una función sinusoidal,

Ψ ( x ,0 ) = A cos kx

donde k es una constante cuyo sig nificado especificaremos enseguida. Esta función caracteriza el estado de perturbación de todos los puntos del espacio en el instante t=0. En otro instante de tiempo la onda vendrá dada por

Ψ ( x , t ) = A cos k (x − v t )

Vamos a llevar a cabo dos representaciones, una espacial y otra temporal, que nos informarán de varios aspectos del movimiento ondulatorio armónico.

Ψ(x,0) A

λ

x A La constante A indica el valor máximo que puede alcanzar la perturbación Ψ(x,t) y se denomina amplitud de la onda. Además, se puede apreciar que existen puntos del espacio que se encuentran en el mismo estado de perturbación, esto es con la misma amplitud y la misma pendiente. En nuestro caso los máximos ocurren cuando

kx = 2 mπ

⇒ xm =

2 mπ k

La separación que existe entre dos puntos consecutivos que se encuentran en el mismo estado de perturbación recibe el nombre de longitud de onda, λ o período espacial.

λ=

2π k

La constante k recibe el nombre de número de onda o frecuencia espacial de la onda.

Podemos preguntarnos por la evolución temporal de un determinado punto del espacio, por ejemplo por el punto x=0. En esta caso, deberemos considerar la función Ψ(0,t) , esto es donde kv=ω.

Ψ ( 0, t )

Ψ ( 0, t ) = A cos kv t = A cos ω t

Τ

t Aunque las dos gráficas se parecen, representan dos aspectos muy distintos del movimiento ondulatorio. En este caso, la gráfica muestra el movimiento armónico simple que está ejecutando el punto del origen. La separación temporal entre dos estados contiguos de oscilación del punto equivalentes se denomina periodo temporal de la onda, T. Puede verse que en nuestro caso

T =

2π ω

La frecuencia ν del movimiento ondulatorio viene dada por el número de oscilaciones por unidad de tiempo que ejecuta el punto x=0, es decir,

ν =

1 ω = T 2π

Usualmente ν se mide en Hertzios, mientras que la frecuencia angular, ω se mide en radianes/segundo.

1.3.1 Velocidad de fase de la onda Dada la onda armónica Ψ ( x , t ) = A cos (kx − ω t ) se denomina fase de la onda a la cantidad

Φ ( x , t ) = kx − ω t Es evidente que los puntos en los cuales la fase vale lo mismo, se encuentran en el mismo estado de perturbación. Las superficies de fase constante representan el perfil de la onda. Así por ejemplo, las crestas de las ondas que se producen en el agua representan el lugar geométrico donde la fase toma el mismo valor. Podemos preguntarnos por la velocidad con la que se propagan estas superficies de fase constante. Para ello, considérese la figura. En ella se ha representado la función Ψ(x,t) en diferentes instantes de tiempo, t=0, t=T/4, t=T/2, t=3T/2 y t=T.

t = 0 t =T /4 t =T /2 t = 3T / 4

t = 4T / 4 Podemos ver que en t=0, el primer punto que alcanza el máximo valor de la perturbación Ψ(x,t) es el punto x=0. Aquí la fase de la onda toma un valor φ(0,0)=k0- ω 0= 0, tal que cos 0= 1. Un instante de tiempo después, t= T/4, el máximo de la perturbación se ha desplazado a otro punto de coordenada x1. En este punto la fase ha de vale r lo mismo que en el anterior. Por lo tanto

kx1 − ω

T =0 4

La velocidad con la que se desplaza la perturbación se puede calcular sin más que dividir el espacio que ha recorrido el máximo entre el tiempo que ha tardado en hacerlo, esto es

vf =

x1 ω = T k 4

Este valor representa la velocidad con la que se propagan las superficies de fase constante por lo que se denomina velocidad de fase de la onda. En nuestro caso, la velocidad de fase coincide con la velocidad con la que se propaga la onda. Ejemplo 1. Dada la onda armónica, calcular la frecuencia angular, la longitud de onda, la amplitud y la velocidad de fase. Las unidades están dadas en el sistema internacional.

Ψ ( x , t ) = 10 cos (20 x − 100 t ) Se trata de una onda armónica que se propaga en la dirección del eje X, tienen una amplitud A=10 m y tiene una frecuencia ω=100 rad/s. Por otra parte, el número de onda, k es

k = 20 = La velocidad de fase será

v=

2π λ

⇒λ=

2π = 0. 314 m 20

ω 100 = = 5 m −1 k 20

Ejemplo 2. Dar la expresión de una onda escalar de presión que se propaga en la dirección positiva del eje OX, tiene una amplitud de 5 Nw/m2, una frecuencia de 440 Hz y se propaga a una velocidad de 340 m/s. La expresión de la onda será de la forma Como

k=

Ψ ( x , t ) = A cos (kx − ω t )

ω 440 = = 1 .28 m − 1 se tendrá v 340

Ψ ( x , t ) = 5 cos (1 .28 x − 440 t )

1.4 Superposición de ondas

Unos de los fenómenos más interesantes de las ondas es que dos o más ondas pueden superponerse en una cierta región del espacio. En general, si se dan ciertas condiciones, que analizaremos enseguida, la superposición de dos ondas se manifiesta en una redistribución espacial de la energía, esto es, en bandas brillantes y oscuras denominadas franjas de interferencia. En la figura se puede apreciar lo que decimos: dos fuentes coherentes emiten ondas esféricas hacia delante. Existen zonas del espacio donde una cresta de una onda proveniente de una de las fuentes se superpone con un valle de una onda proveniente de la fuente inferior. En el punto donde ocurre esto, la perturbación total se cancela o es mínima.

Esto se debe al carácter lineal de la ecuación de onda. En efecto, sean dos ondas escalares Ψ 1(x,t) y Ψ 2(x,t). Cada una de ellas debe satisfacer la ecuación de onda, esto es

∂ 2 Ψ 1 (x , t ∂ x 2 ∂ 2 Ψ 2 (x , t ∂ x 2

)

=

)

1 v 2

∂ 2 Ψ 1 (x , t ∂ t 2

1

=

v 2

)

∂ 2 Ψ 2 (x , t ∂ t 2

)

Si sumamos las dos ecuaciones de arriba y tenemos en cuenta las propiedades de las derivadas se llega enseguida a que

∂ 2 [Ψ1 (x, t ) + Ψ2 (x, t )] ∂x

2

=

1 ∂ 2 [Ψ1( x, t ) + Ψ2 ( x, t )]

v2

∂ t2

Por lo tanto, la función Ψ(x,t) =Ψ1 (x,t) +Ψ2 (x,t) también satisface la ecuación de onda, por lo que la resultante de la superposición será una onda. Vamos a hora a calcular en algunos casos sencillos el valor de la amplitud de la onda resultante de la superposición.

1.4.1 Superposición de ondas escalares de la misma frecuencia Sean las dos ondas

Ψ1 ( x , t ) = A1 cos (kx − ωt ) Ψ2 ( x, t ) = A2 cos (kx − ωt + δ )

las cuales corresponden a dos ondas monocromática de la misma frecuencia y diferente amplitud que viajan en la misma dirección. Obsérvese que además difieren en la fase. Presentan un desfase dado por la cantidad δ.

La onda resultante será

Ψ ( x, t ) = Ψ1 ( x, t ) + Ψ2 ( x, t ) = A1 cos(kx − ωt ) + A2 cos(kx − ωt + δ )

Desarrollando los cosenos se llega fácilmente a que la perturbación resultante viene dada por

Ψ ( x , t ) = [ A1 + A2 cos δ ]cos (kx − ω t ) − A2 sen δ sen (kx − ω t ) = B cos (kx − ω t + φ )

donde

B=

( A1 + A2 cosδ )2 + A22 sen 2δ

tan φ =

=

A12 + A22 + 2 A1 A2 cosδ ,

A2 sen δ A1 + A2 cosδ

Se trata de una onda de la misma frecuencia que la dos ondas pero cuya amplitud resultante depende de las amplitudes de las ondas que se superponen y también de su fase relativa, δ. Dependiendo de la diferencia de fase tendremos diferentes situaciones que se esquematizan a continuación: En este caso las dos ondas están en fase y la superposición es constructiva:

δ = 2mπ

δ = ( 2m + 1)π A1 ≠ A2

B = A12 + A22 + 2 A12 A22

Ahora las dos ondas están en oposición de fase, cresta frente a vientre, por lo que la superposición es destructiva:

B = A12 + A22 − 2 A12 A22 La amplitud resultante es menor amplitudes parciales.

que la suma de la

Si además de que δ =(2m+1)π , las amplitudes de las ondas son iguales y por lo tanto, la irradiancia es nula:

δ = (2m +1)π I1 = I2

B=0 Las dos ondas se superponen destructivamente.

1.4.2 Superposición de ondas: ondas estacionarias.

Existen muchas situaciones físicas en las que se produce la superposición de ondas de la misma frecuencia pero que viajan en direcciones opuestas. Por ejemplo, cuando una onda se envía hacia un espejo. En el espacio comprendido entre la fuente y el espejo tiene lugar una superposición entre las ondas que van y las que vuelven reflejadas por este último. Existen muchos dispositivos ópticos, tales como los láseres, que contienen cavidades formadas por dos espejos enfrentados. En su interior la luz viaja en ambos sentidos a lo largo del eje de la cavidad, dando lugar a ondas estacionarias. Vamos a describir, mediante un ejemplo sencillo, en que consisten. Para simplificar el cálculo, supongamos que las ondas que se superponen tienen la misma amplitud:

Ψ1 ( x , t ) = Asen (kx − ωt )

Ψ2 ( x , t ) = Asen (kx + ωt ) La superposición vendrá dada por

Ψ ( x, t ) = Ψ1 ( x, t ) + Ψ2 ( x , t ) = Asen (kx − ωt ) + Asen (kx + ωt ) = 2 A sen kx cos ω t

Esta es la ecuación de una onda estacionaria. Al contrario de las ondas que venimos comentando, el perfil de esta onda no se mueve en el espacio. Por ejemplo existen puntos donde la perturbación resultante siempre es nula para cualquier instante de tiempo. En efecto, la perturbación resultante es nula si

sen kx = 0 ⇒ x = m

λ 2

m = 0,1,2,...

Estos puntos se conocen como nodos o puntos nodales. Entre medias de estos puntos, es decir en x= λ/4, 3λ/4, 5λ/4, ..., la amplitud tiene una valor ±2, y estos puntos se conocen como antinodos.

x λ

λ 2

3λ 2

Se puede ver que los antinodos están oscilando con el tiempo a la frecuencia ω, pero la onda no se desplaza. En un experimento donde se producen ondas estacionarias se puede usar la información de que la distancia entre dos nodos consecutivos representa la mitad de la longitud de onda de la radiación. De hecho fue así como Hertz midió por primera vez la longitud de onda de las ondas electromagnéticas de radio. La intensidad de las ondas es proporcional al cuadrado de la amplitud, por lo que en el caso de las ondas estacionarias, se tiene

I ( x, t ) ∝ 4 A 2 sen 2 kx cos 2 ω t ⇒ I M ( x ) ∝ 4 A 2 sen 2 kx donde IM (x) representa el promedio temporal de la intensidad que mediría un detector. Esta expresión nos dice que la intensidad es máxima en los puntos donde

sen kx = 1 ⇒ x m =

mπ k

⇒ ∆x m =

λ 2

es decir, la separación entre dos máximos de intensidad es igual a la mitad de la longitud de onda.

Utilizando este hecho podemos medir la velocidad de las ondas electromagnéticas en casa mediante un horno microondas. En efecto, el horno produce ondas electromagnéticas mediante un circuito electrónico. La frecuencia de estas ondas viene indicada en el horno y suele ser v= 2450 MHz, por razones que veremos más adelante. Dentro del horno las ondas se reflejan en las paredes metálicas del mismo y la interferencia forma un patrón de ondas estacionarias. Si colocamos dentro del horno (al que habremos retirado la plataforma giratoria) algún material que se ablande con el calor, por ejemplo, lonchas de queso, se quemarán apreciablemente las zonas donde se producen los máximos de intensidad de estas ondas. En la figura se pueden apreciar las zonas más quemadas. La distancia entre estas zonas será igual a la mitad de la longitud de onda de la radiación. En la foto se ve que esta distancia es del orden de 6 cm. Por lo tanto, la velocidad de las ondas será

2π ω = λ v

⇒v=

ωλ = νλ = ( 2450 x10 6 ) (12x10 -2 ) = 2.94 x10 8 m / s 2π

1.4.3 Superposición de ondas escalares de diferente frecuencia. Velocidad del grupo de ondas. Consideraremos ahora un caso de enorme interés en el que las ondas que interfieren tienen frecuencias diferentes aunque muy próximas, es decir k 1˜ k2 y ω1 ˜ ω2 . Como se puede ver en la gráfica adjunta, las dos ondas coinciden en x=0 pero al tener frecuencias ligeramente diferentes, los máximos no vuelven a coincidir hasta más adelante; y entre medias se producen situaciones en las que un máximo de una de las ondas coincide con un mínimo de la otra produciendo un valor nulo en ese punto.

Ψ1 ( x , t ) = A cos [k1 x − ω1t ]

Ψ 2 ( x , t ) = A cos [k 2 x − ω 2 t ]

Ψ1 ( x , t ) + Ψ2 ( x , t )

El resultado de la superposición se muestra en la gráfica y representa una onda una onda que no s monocromática y cuya amplitud está modulada. La velocidad de la onda será la velocidad con la que se propaga la envolvente. Veremos estos extremos con un poco de cálculo. Es claro que la suma de las dos ondas se podrá escribir como

Ψ ( x , t ) = Ψ1 ( x , t ) + Ψ 2 ( x , t ) = 2 A cos

(k1 x − ω1t ) + (k 2 x − ω 2 t ) cos (k1 x − ω1t ) − (k 2 x − ω 2 t ) 2

2

Como k 1˜ k 2 y ω1 ˜ ω2 , se podrá escribir k 1+ k 2=2k mientras que k 1- k 2 = ∆k, e igual para las frecuencias, es decir, ω 1+ ω2= 2ω y ω 1- ω2 = ∆ω. Con todo ello, la expresión para la onda resultante se podrá poner como

 ∆k x − ∆ω t Ψ ( x , t ) = 2 A cos  2 

  cos (kx − ω t ) 

La perturbación total se puede interpretar como una onda viajera de frecuencia media ω que tiene una amplitud modulada o variable en el tiempo A0(x,t) dada por

 ∆k x − ∆ω t  A0 ( x , t ) = 2 A cos   2  

Vemos que aunque cada una de las ondas componentes se mueve con una velocidad de fase v i= ωι/ki, el conjunto se desplaza como un todo a la velocidad con la que se mueve las crestas de la envolvente y que se denomina velocidad de grupo. Esta velocidad viene dada como la velocidad con la que se desplazan las superficies de fase constante de la envolvente:

Vg =

∆ω dω ≡ ∆k dk

Si tenemos en cuenta que la velocidad de fase se relaciona con la frecuencia como v=ω/k, la expresión anterior se puede escribir en función de la velocidad de fase como

Vg = v+ k

d v( k ) dk

En general la velocidad de grupo no coincidirá con la velocidad de fase a menos que el medio en el que se propaga la onda sea no dispersivo, esto es que la v no depend a de la frecuencia. Comentaremos este hecho con más detalle en el capítulo 3 al hablar de la propagación de ondas luminosas en medios materiales. Antes de terminar esta sección queremos indicar que la superposición de dos ondas de frecuencias muy próximas juega un importante papel en numerosas aplicaciones. La razón está en que la superposición permite medir la frecuencia de la modulación que es mucho más baja que las frecuencias de las ondas individuales. En general, en un detector se mide la irradiancia de la onda, la cual, es proporcional al cuadrado de la amplitud. En el caso de la superposición de dos ondas de frecuencias muy próximas vienen dada por

[

 ∆k x − ∆ωt  2 A02 ( x , t ) = 4 A 2 cos 2   = 2 A 1 + cos ( ∆ k x − ∆ ω t ) 2  

]

es decir, la irradiancia oscila a ∆ω=ω 1 −ω2 , que se conoce como frecuencia de batido. Esta frecuencia puede ser varios órdenes de magnitud más pequeña que la frecuencia de la onda portadora, y por ello, fácilmente medida. Veremos este punto más adelante, al comentar el efecto Doppler.

1.5 Ondas anarmónicas. Series de Fourier

El ejemplo anterior muestra una idea interesante, a saber: se puede obtener una onda no armónica a partir de la suma de dos ondas armónicas. Podríamos pensar que tal vez sea posible extender este ejemplo y concebir la idea de que la suma de una serie de funciones armónicas con amplitudes y frecuencias apropiadas nos permita sintetizar cualquier tipo de perturbación. Esto sería particularmente interesante ya que, de hecho, las ondas armónicas descritas anteriormente son idealizaciones que no se corresponden con los hechos de la naturaleza. Sin embargo podríamos usar estas funciones sencillas para describir situaciones más complejas. El Teorema de Fourier nos facilita llevar a cabo esta operación. Por ejemplo, consideremos una función periódica, pero no armónica, como la que se muestra en la figura f (x)

λ

....

.... = x

Esta función almena podríamos aproximarla por una función seno. En efecto, esta función trigonométrica representa una aproximación a la función original y capta algunas de sus propiedades, por ejemplo el periodo espacial de la función, los valores máximos y mínimos, la modulación, etc. Pero ciertamente no reproduce a la función, que es mucho más abrupta. Sin embargo, podemos pensar que si se le suma apropiadamente otra función armónica que no modifique el máximo y que retoque los laterales tal vez se mejore la aproximación. Obsérvese el resultado en la siguiente figura

sen kx

sen kx

+

1 sen 3kx 3

+

1 sen 3 kx 3

+

1 sen 5kx 5

Se puede apreciar claramente como la suma de ondas de frecuencia creciente y amplitud menor va mejorando el resultado.

La idea del teorema de Fourier descansa en el hecho de que bajo ciertas condiciones muy generales, que explicitaremos más adelante, una función periódica de frecuencia espacial k=2π/λ donde λ es el periodo espacial de la función, se puede expresar como una suma de funciones elementales armónicas, de frecuencias múltiplo s de la frecuencia fundamental. En general, la suma es infinita, pero en la práctica, basta un número reducido de términos para reproducir con suficiente aproximación la función periódica: f (x)

...

... = x

+ + Se puede demostrar que tal función se puede obtener como

f ( x ) = senx +

+ +...

1 1 1 sen 3 x + sen 5 x + sen 7 x + ... 3 5 7

Los términos de la serie determinan el contenido espectral de la función f(x), es decir, el conjunto de funciones armónicas de frecuencias diferentes a partir del cual, se puede sintetizar la función f(x). § El primer término tiene una frecuencia igual a la de la onda cuadrada y constituye la frecuencia fundamental. § El segundo término de la serie tiene una frecuencia que es el triple que la frecuencia fundamental y una amplitud 1/3 de veces menor. § El tercer término de la serie tiene una frecuencia que es cinco veces la frecuencia fundamental y una amplitud aún menor, lo cual es consistente con la idea de que estas componentes de alta frecuencia, al oscilar más rápidamente, reproducen las variaciones bruscas de la función f(x) pero se comprende que su amplitud debe ser pequeña.

Podemos ahora preguntarnos, cómo hemos elegido los términos necesarios para elaborar la síntesis de la función. El teorema de Fourier establece la manera de hacerlo y lo presentaremos aquí sin demostración. Este teorema establece que si f(x) es una función periódica de periodo λ tal que verifica las condiciones siguientes: § f(x) es univaluada sobre su periodo, λ. § f(x) tiene un número finito de máximos y mínimos. § f(x) tiene un número finito de discontinuidades. § ?|f(x)| dx es finita sobre un periodo, entonces existe una serie de Fourier que converge a f(x) dada por

A f ( x) = 0 + 2

∞

∞

∑A

m cos(mkx) +

1

∑B

m sen(mkx)

1

Donde las amplitudes Am y Bm de las funciones armónicas vienen dadas por λ

2 Am = λ

∫

f ( x ) cos( mkx ) dx

0

λ

2 Bm = λ

∫ 0

f ( x ) sen ( mkx ) dx

1.5.a Ondas no periódicas. Transformada de Fourier

Si el periodo de la onda es muy grande de tal manera que pudiera tomarse como infinito, la onda dejaría de ser periódica y se reduciría a un pulso tal como el que se muestra en la figura f0

x En este caso el espectro de tal onda en lugar de ser un espectro discreto como ocurriera en el ejemplo anterior, se convierte en un espectro continuo. Ello responde a la idea de que necesitamos muchos más componentes elementales para sintetizar tan brusca variación espacial: la función es nula en casi todo el espacio excepto en el intervalo [-a/2, a/2]. La suma infinita se convierte en una integral sobre todos los posible s valores de k. Así, la función no periódica f(x) se puede expresar como

f (x ) =

∞

∫

A ( k ) cos( kx ) dk +

0

∞

∫

∞

B ( k ) sen ( kx ) dk

0

o bien

f (x) =

donde las amplitudes F(k) de las ondas armónicas ahora vienen dadas por

∫ F ( k )e i kx dk

−∞

∞

F(k) =

∫ f (x)e-ikxdx

−∞ La función F(k) constituye el espectro de frecuencias espaciales que permiten sintetizar a la función f(x) y se denomina transformada de Fourier de la función f(x). Como ejemplo, calcularemos el espectro de frecuencias del pulso cuadrado del comienzo. En efecto, según la expresión anterior, se tiene ∞ a/2

F(k) =

∫

f ( x)

−∞

F(k)

e-ikxdx =

∫

f0

−a / 2

e-ikxdx = f 0 a senkaka/ 2/ 2

1.6 Ondas en el espacio

Muy pocas veces el modelo de onda unidimensional que acabamos de tratar describe situaciones físicas reales. Por ejemplo, las ondas en una cuerda pueden describirse mediante ondas unidimensionales. Pero lo usual es que la perturbación afecte a muchos puntos del espacio tridimensional. Ello implica que la magnitud física que se propaga sea una cierta función, Ψ(x,y,z; t). En este caso, la ecuación de onda unidimensional obtenida en la sección 1.2 se puede generalizar de la siguiente forma:

∂2Ψ( x, y, z,t ) ∂2Ψ(x, y, z,t ) ∂2Ψ( x, y, z,t ) 1 ∂2Ψ( x, y, z,t ) + + = 2 2 2 ∂x ∂y ∂z v2 ∂ t2 En este caso también se pueden obtener soluciones armónicas en tres dimensiones. Por ejemplo, podemos probar soluciones del tipo r

(

r Ψ( x, y, z, t ) = Acos k r −ωt

)

donde k es un vector cuyo significado estableceremos enseguida. Para empezar, si esta es una solución de la ecuación de onda, tendrá que satisfacerla para todo punto y en todo instante de tiempo. Por lo tanto se tendrá que cumplir que

2 2 2 2 ω kx + k y + kz = 2

v

Por otro lado, las superficies de fase constante que nos informan del perfil de la onda son planos perpendiculares al vector k. En efecto estas superficies vienen determinadas por la condición

rr k r = cte ⇒ kxx + ky y + kz z = cte

Esta superficie representa un plano en el que el vector k es perpendicular al mismo. Por ello, estas ondas se denominan, ondas armónicas planas.

k r r ro

En efecto, sea un punto de coordenadas r0. Los puntos de coordenadas r pertenecerán al plano que pasa por r0 y que es perpendicular al vector k si se cumple que el vector r-r0 están en el plano, y por lo tanto satisfacen

r r r k .(r − r0 ) = 0 ⇒ kx x + k y y + kz z = cte

En un instante dado, la perturbación en los diferentes puntos del espacio, estará caracterizada porque su amplitud toma el mismo valor a la vez en todos los puntos de un plano. Por ejemplo, en la figura se muestran cuatro planos en los que la perturbación toma los valores Ψ(x 1,y 1,z 1; t)=0, Ψ(x 2,y 2,z 2; t)=A, Ψ(x 3,y 3,z 3; t)=-A, Ψ(x4,y4,z4; t)=0. Vemos que el valor de la amplitud se repite, por lo que la distancia entre el primer y cuarto plano constituye la longitud de onda de esta onda plana que se propaga en la dirección del vector k. Estas superficies plana se denominan superficies o frentes de onda.

Ψ=0

Ψ=A

Ψ=-A

k Ψ=0

De la misma manera que en una dimensión. La velocidad con la que se propagan los frentes de onda planos en los que la fase de la onda toma un valor constante, constituye la velocidad de fase de la onda. Así, si tenemos la onda

(

rr Ψ( x, y, z, t ) = Acos k r −ωt

)

las superficies de fase constante en un instante de tiempo dado satisfarán

rr k r −ωt = cte

Existirán otros puntos del espacio ∆r y otro instante de tiempo en los que la fase vuelva a tomar el mismo valor, esto es,

rr r k (r + ∆r )− ω(t + ∆t ) = cte

r r ⇒ k∆r −ω∆t = 0

Por lo tanto, la velocidad con que se desplazan los frentes en la dirección de k es

v=

ω k

1.7 El efecto Doppler

Para finalizar este tema vamos a comentar el efecto Doppler por su influencia en la luz emitida por átomos y otras fuentes de luz en movimiento y por su importancia metrológica en la determinación de velocidades, entre otras aplicaciones. Todos hemos observado este efecto en las ondas de sonido en el andén de alguna estación. Cuando estamos en reposo y en tren se acerca a nosotros a gran velocidad, el sonido que emite se va haciendo cada vez más agudo, esto es la frecuencia que detectamos aumenta, respecto de la frecuencia de las ondas emitidas por el tren si éste estuviera en reposo relativo respecto de nosotros. Por el contrario, cuando el tren se aleja el sonido que percibimos es cada vez más grave. En el dibujo se muestra el efecto. La fuente emite ondas a frecuencia constante, esto es, las crestas abandonan la fuente de ondas (sonido o luz) a intervalos regulares de tiempo T. Si la fuente se aleja del observador de la izquierda a velocidad constante v, entonces durante el periodo de tiempo comprendido entre crestas sucesivas, la fuente se habrá desplazado una distancia vT. Esto aumenta el tiempo que necesita una cresta en llegar al observador en una cantidad vT/c, donde c es la velocidad con la que se propagan las ondas en el espacio. Por lo tanto, el tiempo transcurrido entre la llegada de la primera cresta y la siguiente será:

T' = T +

vT c

Teniendo en cuenta que λ=cT, la longitud de onda que medirá el observador de la izquierda será

 v λ' = λ1+   c Un razonamiento análogo demostraría que el observador de la derecha mediría una longitud de onda más corta. Basta con cambiar el signo de la velocidad. En general, el cambio en la longitud de onda se podrá poner

 v λ' = λ1±   c El efecto Doppler permite medir la velocidad a la que se mueve un objeto luminoso si podemos medir el corrimiento que experimenta el espectro de la radiación emitida por el mismo .

Una aplicación interesante del efecto Doppler es la determinación de la velocidad de un objeto mediante la detección de la frecuencia de batido entre la señal y la onda reflejada por el objeto en movimiento. Un ejemplo práctico es el

RADAR de tráfico. En efecto, considérese que desde un coche de policía en reposo se envía una onda electromagnética de frecuencia conocida, (típicamente en el rango de la banda X de radiofrecuencias, en torno a los 10 GHz). Esta onda se refleja en un vehiculo en movimiento a una velocidad v.

Debido al efecto Doppler, la frecuencia de la onda que llega al vehiculo vienen dada por

 v ν ' =ν 1+   c

Por la misma razón , la frecuencia de la onda reflejada por el vehículo en movimiento cambia a

 v   v  v   2 v v2  ν R =ν '1+  =ν 1+ 1+  =ν 1+ +  c   c  c   c c2 

Como v