Teil IV-A: Signal- und Bildverarbeitung Methoden

Teil IV-A: Signal- und Bildverarbeitung – Methoden 1. Aufgaben der Signal- / Bildverarbeitung 2. Elementare Verarbeitungsmethoden 3. 2D Fourier-Transf...
Author: Maximilian Feld
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Teil IV-A: Signal- und Bildverarbeitung – Methoden 1. Aufgaben der Signal- / Bildverarbeitung 2. Elementare Verarbeitungsmethoden 3. 2D Fourier-Transformation und Faltung

Aufgaben der Signal- / Bildverarbeitung Signalveränderung / -transformation

§

Verbesserung Rauschunterdrückung, Verbesserung des Signal-Rausch-Verhältnis, Kontrast, ...

§

Anpassung Registrierung mehrerer Signale zwecks Vergleich, ...

Aufgaben der Signal- / Bildverarbeitung Signalveränderung / -transformation

§

Verbesserung Rauschunterdrückung, Verbesserung des Signal-Rausch-Verhältnis, Kontrast, ...

§

Anpassung Registrierung mehrerer Signale zwecks Vergleich, ...

Signalverarbeitung

§

Detektion von Kontrasten Bestimmung von Randkonturen, ...

§

Segmentierung und Extraktion von Merkmalen Regionenbestimmung, Merkmale für Klassifikation, ...

Elementare Verarbeitungsmethoden Punktoperationen zur Grauwertransformation Transformation von Intensitätswerten auf der Basis individueller Bildpunkte

T(g) = g* Invertierung, Streckung, Stauchung, globale Schwellwerte Schema:

direkte Zuordnung von Ein-/Ausgabe-Wertepaaren hier: Grauwerte ~ Intensitäten

Invertierung

gout

gout

255

T(gin)

Streckung, Stauchung

Schwellwert

gout

255

255

g*2 T(g in )

0 0

255

gin

g*

1 0 0

g1 g2

255

gin

T(g in ) 0 0

gT

255

gin

Bsp. 1:

Invertierung Röntgenbild

(J.C. Rush. The image processing handbook, 3rd ed. CRC Press, 1999)

Bsp. 2:

Bild „Tomo1451.jpg“, Streckung mittlerer Grauwerte (mittels ‚xv‘, UNIX)

Beobachtung:

Struktur im mittleren Grauwertbereich wird besser sichtbar; Details in dunklen und sehr hellen Bereichen gehen verloren

Bsp. 3:

Bild „Cell.jpg“, Binarisierung (mittels ‚xv‘, UNIX)

Beobachtung:

Die Bildstruktur wird in zwei Klassen eingeteilt: schwarz - Zellkerne weiss - Rest

Eigenschaften:

i.

Plazierung von ( g1, g1* ) und ( g2 , g2* ) legt die Form der Streckung Stauchung

ii.

T‘( . ) > 1 bzw. T‘( . ) < 1 fest

Lineare Abschnitte der Transformation T( . ) mit T‘([ga .. ge]) > 0

è Erhaltung der Ordnung der Funktionswerte iii.

mit g1 = g2

und g1* = 0, g2* = Imax

è T( . ) definiert Schwellwertfunktion mit globaler Schwelle T = gl zur Erzeugung von Binärbildern

Histogramm-Linearisierung (für diskretes Grauwertspektrum) Diskrete Intensitätswerte mit relativen Häufigkeiten:

, g k = 0,1,K ,255 Histogramm:

ρ g (g k )

relative Summenhäufigkeit

gk relative Summenhäufigkeit (~ Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, pdf)

g

Bsp. :

(aus R.C. Gonzalez, P. Wintz. Digital image processing, Addison-Wesley, 1977)

geg. :

64 x 64 Bild, mit b = 3 : G = {0, 1, ..., 23 - 1 = 7} Grauwertverteilung (normiert : [0, 1]) :

g g0 = 0 g1 = 1/7 g2 = 2/7 g3 = 3/7 g4 = 4/7 g5 = 5/7 g6 = 6/7 g7 = 1

anz( gk ) 790 1023 850 656 329 245 122 81

ρg

( gk ) = anz( gk ) / ( 642 ) 0.19 0.25 0.21 0.16 0.08 0.06 0.03 0.02

Transformationsfunktion mittels relativer Summenhäufigkeit und Abbildung auf normierte Funktionswerte Gnorm = {0, 1/7, 2/7, ..., 1} :

. .

Anmerkung :

k

sk

0 1 2 3 4 5 6 7

0.19 0.44 0.65 0.81 0.89 0.95 0.98 1.00

norm

gk (1/7 ~ 0.14)

diskretes Histogramm ~ Approximation einer pdf à perfekte lineare Histogramme sind eher selten ... !

1/7 3/7 5/7 6/7 6/7 1 1 1

≈ ≈ ≈ ≈ ≈

0.143 0.429 0.714 0.857 0.857

Grauwertabbildung :

Abbildung : gk g0 = 0 g1 = 1/7 g2 = 2/7 g3 = 3/7 g4 = 4/7 g5 = 5/7 g6 = 6/7 g7 = 1

: 790 : 1023 : 850 : 656 : 329 : 245 : 122 : 81

sk s0 = 1/7 : 790 s1 = 3/7 : 1023 s2 = 5/7 : 850 s3 = 6/7 : 985 s4 = 1

: 448 (R.C. Gonzalez, R.E. Woods. Digital image processing. Addison-Wesley, 1993)

Anwendungsbeispiel :

(J.C. Rush. The image processing handbook, 3rd ed. CRC Press, 1999)

(Lineare) Filterung Primäre Zielsetzung bei der Bildfilterung

Filterverfahren

Bildverbesserung

Merkmale

Bildglättung

Kontrastdetektion

meist linear auch nicht-linear

meist linear auch nicht-linear

Verfahren / Methoden

Lineare Filter und ihre Eigenschaften Aufgabe :

Abschwächung oder Betonung bestimmter Bereiche des Frequenzspektrums einer Signal- / Bildfunktion

Generelles Ziel (der ersten Verarbeitungsschritte) :

Extraktion relevanter Bildinhalte

Lineare Filterung und (diskrete) Faltung zur Rauschunterdrückung §

Problem:

Elimination von Störungen (~ hochfrequentes (additives) Rauschen)

§

Ansatz:

Beseitigung der lokalen Variationen („Ausreisser“) durch Mittelung benachbarter Funktionswerte

Konzept:

• diskrete (numerische) Maske benachbarter Funktionswerte • Maske wird zeilenweise in allen Spalten, d.h. an jedem Bildpunkt, angewendet (à Behandlung der Ränder)

§

Box-Filter (3 x 3 Maske) Koeffizienten :

g*(x, y) diskrete Faltung ( Bild : f(x, y) ) :

x = 0, 1, ..., M-1; y = 0, 1, ..., N-1

Verallgemeinerung (m x m Matrix) :

m

m = 2k + 1 Diskrete Faltung (für beliebige Maskengrössen) :

Box-Tiefpass Filter unterschiedlicher Grössen – Beispielanwendung

N x N Maske, N = {3, 5, 7, 15, 25}

(R.C. Gonzalez, R.E. Woods. Digital image processing. Addison-Wesley, 1993)

2D Fourier-Transformation und Faltung 2D Transformationspaar Kontinuierlicher Fall geg. : 2D Signalfunktion (Ortsbereich) f(x, y) à

entsprechend der 1D Fourier-Transformation gelten die Transformationspaare (hier: balancierte Notation durch Aufteilung der Skalierungsfaktoren !):

Transformation vom Orts- in den Frequenzraum

mit

u = fx , v = fy ; ω x = 2 π / Tx = 2 π u , ω y = 2 π / Ty = 2 π v mit

λ

2D Cosinus-Welle

y

Ψ

Ψ

x

λ = Tx cos Ψ

Tx = l / cos Ψ

λ = Ty cos(90 – Ψ )

Ty = l / sin Ψ

sin Ψ

Ty

λ

Ψ

Tx

Diskreter Fall 1.

Transformation vom Orts- in den Frequenzraum: i.

Matrix mit N x M Bildpunkten

Zeilen Transformation Spalten für u = 0, 1, ..., M-1 und v = 0, 1, ..., N-1 Abtastabstände: ii.

∆u

= 1 / (M ∆x) und ∆v = 1 / (N ∆y)

2 quadratische Matrix mit N Bildpunkten (M = N)

2.

Rücktransformation i.

für N x M Matrix

ii.

für quadratische Matrix (N

2

Bildpunkte)

Fourier- / Amplituden-Spektrum Bildbeispiele von Amplitudenspektren verschiedener Eingangssignale

Isotropie: Frequenzen in alle Richtungen

Unschärfeprinzip: Frequenzen orthogonal zum Strukturverlauf

(R.C. Gonzalez, R.E. Woods. Digital image processing. Addison-Wesley, 1993)

Eigenschaften Visualisierung von Fourier-Spektren

à

Häufig hoher Dynamikbereich in Fourier- (Amplituden-) Spektren durch Dominanz des Gleichanteils, (u, v) = (0, 0)

„Trick“ für Visualisierung:

D(u , v ) = c ⋅ log[1 + F (u , v ) ]

(R.C. Gonzalez, R.E. Woods. Digital image processing. Addison-Wesley, 1993)

Parameter der Fourier-Transformation Signalparameter §

§

Für 1-dimensionale Signale s(t) •

Mittels Fourier-Analyse wird deren Darstellung in Form eines trigonometrischen Polynoms gezeigt



Die einzelnen harmonischen Komponenten werden durch 3 Parameter eindeutig repräsentiert: i.

Amplitude (~ Fourier-Koeffizienten)

ii.

Frequenz

iii.

Phase (~ Phasenverschiebung)

Für 2-dimensionale Signale f(x, y) à weiterer Parameter: iv.

§

Richtung (~ Richtung einer Wellenfront in der Bildebene)

Spektren: a)

Amplituden- oder Magnitudenspektrum

b)

Phasenspektrum

| F(u) |

bzw.

Φ (u)

bzw.

| F(u, v) | Φ (u,

v)

Bestimmung der Parameter aus F(u, v) ∈ C – Spektral-Eigenschaften 1.

Frequenz

Repräsentiert eine Schwingung, die mit 4 Parametern eindeutig bestimmt ist !

v tiefe mittlere

vi

u ui

(aus den Koordinaten !)

hohe

Frequenzen

Charakteristische Filtereigenschaften a)

Tiefpass :

Unterdrückung hoher Frequenzanteile, niederfrequente Anteile passieren weitgehend ungehindert

Funktion: Bildstörungen (~ Rauschen) sind hochfrequent, daher dienen Tiefpassfilter zur Rausch-Unterdrückung (~ Bildglättung)

b)

Hochpass :

Unterdrückung niedriger Frequenzanteile, hohe Frequenzen passieren weitgehend ungehindert

Funktion: Hervorhebung von Kontrasten (Kanten) der Signalfunktion; Nachteil: Störungen erscheinen wesentlich verstärkt

c)

Bandpass :

Kombination von Hoch- und Tiefpassfilter

Funktion: Hervorhebung bestimmter Frequenzanteile; Betonung von Kontrasten (Kanten) in verrauschten Daten

2.

Amplitude

|F(u, v)|

vi

Im Re

|F(.)| ui Länge des Vektors (= Skalar) der komplexen Zahl an (ui, vi)

è Amplitudenspektrum (~ Magnituden- / Leistungsspektrum) : Beträge (~ Längen) der Vektoren für (alle) Frequenzen des Fourier-Spektrums

3.

Phase

code{ Φ } vi

Im Re

ui

Φ

Phasenlage (Phasenwinkel) des (komplexen) Funktionswertes

è Phasenspektrum : Phasenwinkel (ε [- π, π]) für das gesamte Fourier-Spektrum (in geeigneter Codierung zur Darstellung)

4.

Richtung

v vi

u ui

Ψ

Richtungswinkel des Ortsvektors in Polarkoordinaten-Darstellung

Beispiel :

a) b) c)

Transformation einer verschobenen Box-Funktion

2D Signalfunktion Betrag des Fourier-Spektrums |F(u, v)| helligkeits-codierte Betragsfunktion (R.C. Gonzalez, R.E. Woods. Digital image processing. Addison-Wesley, 1993)

Eigenschaften Linearität a)

Superposition

:

b)

Homogenität

:

Ähnlichkeit (Dehnung, Stauchung)

Translation im Orts- und Frequenzbereich 1.

Verschiebung im Frequenzbereich

2.

Verschiebung im Ortsbereich

è

Verschiebung der Funktion im „Ziel“-Raum bewirkt lineare Phasendrehung im Komplementär-Raum !

Periodizität und konjugierte Symmetrie (diskrete Fourier-Transformation) diskrete Bildfunktion mit homogener Abtastung, ∆ x, ∆ y, und rechteckiger Fensterfunktion

geg.:

§

diskrete Fourier-Transformation und ihre Inverse sind periodisch mit den achsenspezifischen Periodenlängen N bzw. M

v

§

für reelle f(x, y) gilt (* : komplex Konjugierte) :

M

u

bzw.

N

§

Periodenverschiebung bei diskreter Transformation Formulierung der diskreten Fourier-Transformation für Werte

u ε [0, N-1] Ergebnis :

è

§

und

v ε [0, M-1]

v

Transformierte erscheint mit jeweils 2 aneinandergrenzenden Halbperioden

Zur Darstellung einer vollen Periode können die jeweils diagonal gegenüberliegenden Quadranten (mit je einer Halbperiode) vertauscht werden !

0

u

1D Fall :

0

(R.C. Gonzalez, R.E. Woods. Digital image processing. Addison-Wesley, 1993)

Rotation §

Rotation eines Bildsignals f(x, y) um θ 0 bewirkt eine entsprechende Rotation des Spektrum F(u, v)

§

Beispiele:

(R.C. Gonzalez, R.E. Woods. Digital image processing. Addison-Wesley, 1993)

Differentiation §

Allgemein

§

Beispiele: a) Ableitung 1. Ordnung

b) Ableitung 2. Ordnung

c) Laplace-Operator

Kreis-Funktion r 2

2D Faltung (Konvolution) und Korrelation Faltung geg. : 2 analoge / diskrete 2D Signalfunktionen f(x, y) und g(x, y)

§

Faltungsintegral

2D Faltung (Konvolution) und Korrelation Faltung geg. : 2 analoge / diskrete 2D Signalfunktionen f(x, y) und g(x, y)

§

Faltungsintegral

§

Faltungssumme (sequentielle Faltung) geg.: diskrete begrenzte Bildfunktionen und Masken Problem:

Was passiert an den Rändern ?

?

?



Periodenanpassung („extended sequences“)

B AxB

D CxD

A N M

und

( à Dirichlet‘sche vs. Neumann‘sche Randbedingungen )

Maske, g(x, y) •

Diskretes Faltungsprodukt

für x = 0, 1, ..., M-1 und y = 0, 1, ..., N-1

C

Faltungstheorem Es gilt:

a) für analoge Funktionen

F{f(x, y) * g(x, y)} = F{f(x, y)} . F{g(x, y)} b) für diskrete Funktionen („extended sequences“)

F{fe[x, y] * ge[x, y]} = F{fe[x, y]} . F{ge[x, y]}

F{.} f(x, y)

F(u, v) g(x, y)

OrtsBereich

G(u, v)

.

*

FrequenzBereich

F -1{.} f(x, y) * g(x, y)

F(u, v)

. G(u, v)

Korrelation §

Korrelationsintegral

§

Korrelationssumme („extended sequences“)

für x = 0, 1, ..., M-1 und y = 0, 1, ..., N-1

è für

Autokorrelation Kreuzkorrelation

§

Zusammenhang mit Faltung und Fourier-Transformation i.

Beziehung zur Faltung

ii.

Beziehung zur Fourier-Transformation

f*(x, y) (komplex Konjugierte) Hinweis:

Beziehungen gelten sowohl für analoge als auch für diskrete Funktionen („extended sequences“) !

Separierte Faltung geg. :

§

f (und x, y )

g ( x , y ) = k ( x ) ⋅ h( y )

Faltungsintegral

1D-Faltung è Zwischenergebnis

§

Faltungssumme (mit

f e [x, y ], g e [x, y ] = k e [x ]⋅ )he [ y ]

1D-Faltung è N Zeilenvektoren

Berechnungsaufwand (Zeitkomplexität) Faltung und Fourier-Transformation §

2D Faltung



M Spalten, N Zeilen



für jeden Punkt (x, y): M x N

(komplexe) Multiplikationen (M x N) 2 ~

§

O (N 4 )

2D Fourier-Transformation • •

Transformation Filterung

(M x N) 2 . M 2N M 2N M 2N

.(M x N) 2 2 2

4 . M 2N 2 ~

§

O (M 2 N ,2 ) für N = M :

komplexe Multiplikationen F.T. für f(.) und g(.) Multiplikation der Spektren F und G Rücktransformation

O (M 2 N ,2 )für N = M :

O (N 4 )

Separierte Faltung

• •

M Spalten, N Zeilen in N Zeilen, für jede Spalte x in M Spalten, für jede Zeile y

M Mult. N Mult.

2

= M N Multiplikationen = M N 2 Multiplikationen

2 2 M N + M N ~ O (MN

2

) für N > M ,

für N = M :

O (N 3 )

§

Schnelle Fourier-Transformation („Fast Fourier Transform“, FFT) n

à M = N, N = 2 („Radix-2“)

Zeitkomplexität: à

Master-Theorem für Rekursionsgleichungen (siehe T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest. Introduction to algorithms. MIT Press, 1990, p.61ff)

aus der asymptotischen Abschätzung von T(n) folgt:

O (N 2 log N 2 ) = O(N 2 log N ) Hinweis :

Durch Ausnutzung der Struktur 2-dimensionaler Signale kann mittels weiterer Zerlegung der Aufwand auf

3 2 N log N 4 reduziert werden!

Unschärferelation und Gauss-Filter Unschärferelation zwischen Orts- und Frequenzbereich gewünscht :

Möglichst begrenzte, d.h. auf einen lokalen Wirkungsbereich beschränkte, (Filter-) Funktion bei gleichzeitiger Wirkung auf ähnliche, d.h. benachbarte, Frequenzen ! Minimierung der Unschärfe zw. der Lokalisation von Ort und Frequenz

Paare von Fourier-Transformationen (ausgewählte Beispiele) :

(R.N. Bracewell. The Fourier transform and its applications, 2. edition. McGraw-Hill, 1978)

Gauss-Funktion Fourier-Transformation der Gauss-Funktion (1D und 2D)

Ähnlichkeit zwischen Orts-Funktion und Spektrum der Gauss-Funktion

à

wg. der Form des Transformationskerns (exp[-j ω x]) und der Integralbeziehung ergibt sich für Exponentialfunktionen ein ähnlicher Funktionsverlauf zwischen der Funktion im Ort und ihrer Transformierten !