TEIL I: Analoge Filter

TEIL I: Analoge Filter Version vom 1. April 2014 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 1 Literatur: L. D. Paar...
Author: David Hertz
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TEIL I: Analoge Filter Version vom 1. April 2014

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

1

Literatur:

L. D. Paarmann, Design And Analysis of Analog Filters: A Signal Processing Perspective. Kluwer Academic Publishers, 2001. D. Kreß and D. Irmer, Angewandte Systemtheorie. Oldenbourg Verlag, Mu ¨nchen und Wien, 1990. O. Mildenberger, Entwurf analoger und digitaler Filter. Vieweg, 1992. R. Schaumann and Mac E. Van Valkenburg, Design of Analog Filters. Oxford University Press, 2001.

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2

Kapitel 1

Grundlagen

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1.1 Phasen- und Gruppenlaufzeit, D¨ ampfung

¨ Annahme: Ubertragungsfunktion G (f ) = |G (f )|ejϕ(f ) D¨ampfung:

a(f ) = −10 · log10 |G (f )|2 = −20 · log10 |G (f )| dB Phasenlaufzeit: tph (f ) = −

1 ϕ(f ) · 2π f

Gruppenlaufzeit: tg (f ) = −

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1 dϕ(f ) · 2π df

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1.2 Paley-Wiener-Theorem ist |G (f )| quadratisch integrierbar, d.h, gilt Z ∞ |G (f )|2 df < ∞, −∞

dann (und nur dann) ist die Bedingung Z ∞ | ln |G (f )|| df < ∞ 2 1 + (2πf ) −∞ notwendig und hinreichend fu ¨r die Existenz einer kausalen Impulsantwort g (t) Hinweis 1: die quadratische Integrierbarkeit ist z.B. bei Hochpassfiltern oder Bandsperren nicht erfu ¨llt Hinweis 2: auch wenn zu einem vorgegebenen |G (f )|2 bzw. a(f ) eine kausale Impulsantwort existiert, ist das Filter nicht notwendigerweise auch realisierbar Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

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1.3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung ein (lineares, zeitinvariantes) Netzwerk mit N unabh¨angigen Speicherelementen kann durch eine Differentialgleichung N-ter Ordnung beschrieben werden ¨ entsprechend ergibt sich fu Gp (p) ¨r die Ubertragungsfunktion eine gebrochen rationale Funktion gem¨aß Gp (p) =

PM

µ µ=0 αµ p PN ν ν=0 βν p

α0 + α1 p + · · · + αM p M . = β0 + β1 p + · · · + βN p N

in Pol-Nullstellenform gilt Gp (p) = kp

(p − p01 ) (p − p02 ) . . . (p − p0M ) (p − p1 ) (p − p2 ) . . . (p − pN )

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mit

kp =

αM . βN

6

1.3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung

Netzwerkmodell fu ¨r Analogfilter: U1 (p) α0

αM

α1

1 p

1 p

−β0

−β1

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1 p

−βM

U2 (p)

1 p

−βN−1

1−βN

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1.3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung

wichtige Randbedingungen: alle Filterkoeffizienten αµ und βν sind reell die Nullstellen p0,µ , µ = 1, 2, . . . , M, und die Polstellen pν , ν = 1, 2, . . . , N, sind entweder reell oder sie treten in konjugiert komplexen Paaren auf f¨ur BIBO-Stabilit¨at wird gefordert: M≤N der Realteil aller Polstellen ist negativ / das Nennenpolynom ist ein Hurwitzpolynom (fu ¨r βN = 1 muss fu ¨r alle Koeffizienten des Nennerpolynoms gelten: βν > 0, ν = 0, 1, 2, . . . , N.)

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1.3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung Kettenschaltung von Teilsystemen 1. und 2. Ordnung: ¨ die Ubertragungsfunktion Gp (p) kann als Produkt von Gliedern erster und zweiter Ordnung ausgedru ¨ckt werden

Gp (p) = kp

M Q1

µ=1

(p − p˜0µ ) ·

N1 Q

ν=1

(p − p˜ν ) ·

M Q2

(p 2 + γµ p + δµ )

µ=1 N2 Q

p 2 + ǫν p + ην )

ν=1

p˜0µ und p˜ν sind dabei reelle Null- und Polstellen die Nullstellen (Polstellen) der Ausdru ¨cke p 2 + γµ p + δµ (p 2 + ǫν p + ην ) sind entweder konjugiert komplex oder reell es gilt also : M = M1 + 2M2 ; N = N1 + 2N2 damit kann jedes Filter N-ter Ordnung durch Filter 1. und 2. Ordnung kaskadiert werden Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

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1.4 Minimalphasen- und Allpasskonfiguration: Allpasskonfiguration: ein (fiktives) Teilsystem Gp (p) = Amplitudengang

p+p1∗ p−p1

hat einen konstanten

⇒ bei einem Allpass liegen allen Polstellen spiegelbildlich zur jω-Achse Nullstellen gegenu ¨ber da komplexe Pole als konjugiert komplexe Paare auftreten mu ¨ssen, gilt demnach: Gp (p) =

(p + p1 ) (p + p2 ) . . . (p + pN ) (p − p1 ) (p − p2 ) . . . (p − pN )

die Gruppenlaufzeit eines Allpasses ist niemals negativ

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1.4 Minimalphasen- und Allpasskonfiguration:

Minimalphasenkonfiguration: bei einem Minimalphasensystem liegen alle Nullstellen in der linken Halbebene oder auf der jω-Achse jedes Nicht-Minimalphasensystem kann in ein Allpass-Teilsystem und ein Minimalphasen-Teilsystem zerlegt werden da die Gruppenlaufzeit eines Allpasses niemals negativ ist, besitzt ein Minimalphasensystem von allen m¨ oglichen Systemen mit identischem D¨ampfungsverlauf die kleinste Gruppenlaufzeit

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1.5 Randbedingungen fu ampfungsverlauf ¨r den D¨ h¨aufig wird beim Filterentwurf ein bestimmter D¨ampfungsverlauf a(f ) bzw. |G (f )|2 angestrebt

Frage: Welche Kriterien muss der D¨ampfungsverlauf erfu ¨llen, damit damit das Filter realisierbar ist? Ausgangspunkt: Y (f ) = |G (f )2 | = G (f ) · G (f )∗ = G (f )G (−f ) mit G (f ) = Gp (p)|p=j2πf und Y (f ) = Yp (p)|p=j2πf folgt auch Yp (p) = Gp (p) · Gp (−p)

Yp (p) muss in Gp (p) und Gp (−p) faktorisiert werden k¨ onnen und ist ebenfalls eine gebrochen rationale Funktion Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

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1.5 Randbedingungen fu ampfungsverlauf ¨r den D¨

|G (f )|2 ist nur dann ein geeigneter D¨ampfungsverlauf — mit zugeh¨origem Gp (p) —, wenn |G (f )|2 nur geradzahlige Potenzen von f enth¨alt (f 0 , f 2 , . . . ) die Ordnung des Z¨ahlerpolynoms nicht gr¨ oßer als die Ordnung des Nennerpolynoms ist |G (f )|2 keine reellen Polstellen hat (entspricht der Bedingung, dass Yp (p) keine Polstellen auf der jω-Achse hat) |G (f )|2 keine reellen Nullstellen hat, die mit ungerader Anzahl vorkommen das zugeh¨orige Yp (p) in Gp (p) und Gp (−p) faktorisiert werden kann

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Kapitel 2

Filter 1. Ordnung

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14

2.1 Tiefpass

Realisierung und PN-Diagramm

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15

2.1 Tiefpass D¨ ampfungsverlauf 0

10 log10 |G (f )|2 dB

−5

−10

−15

−20

−25 −2 10

−1

10

0

10

normierte Frequenz f /fg

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1

10

16

2.1 Tiefpass Phasenverlauf 0 −10

ϕ(f ) in Grad

−20 −30 −40 −50 −60 −70 −80 −90 −2 10

−1

10

0

10

normierte Frequenz f /fg

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1

10

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17

2.1 Tiefpass Verlauf der Gruppenlaufzeit 1 0.9 0.8

tg (f )/T

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 −2 10

−1

10

0

10

normierte Frequenz f /fg

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1

10

18

2.2 Hochpass

Realisierung und PN-Diagramm

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19

2.2 Hochpass D¨ ampfungsverlauf 0 −2

10 log10 |G (f )|2 dB

−4 −6 −8

−10 −12 −14 −16 −18 −20 −1 10

0

10

1

10

normierte Frequenz f /fg

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2

10

20

2.2 Hochpass Phasenverlauf 90 80

ϕ(f ) in Grad

70 60 50 40 30 20 10 0 −2 10

−1

10

0

10

1

10

normierte Frequenz f /fg

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2

10

Analoge und digitale Filter

21

2.2 Hochpass Verlauf der Gruppenlaufzeit 1 0.9 0.8

tg (f )/T

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 −2 10

−1

10

0

10

1

10

normierte Frequenz f /fg

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2

10

22

2.3 Shelving-Tiefpass Passive Realisierung und PN-Diagramm

¨ Ubertragungsfunktion G (f ) =

1 + jf /fgz 1 + j2πfTz = mit 1 + j2πfTp 1 + jf /fgp

fgz =

1 1 , fgp = 2πTz 2πTp

⇒ ϕ(f ) = arctan(f /fgz ) − arctan(f /fgp ), wobei fgz > fgp Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

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23

2.3 Shelving-Tiefpass Impulsantwort (passive Realisierung) ¨ aus der Ubertragungsfunktion G (f ) =

j2πfTz 1 + 1 + j2πfTp 1 + j2πfTp

folgt mit Hilfe des Differentationssatzes zun¨achst   1 − Ttp d Tz − Ttp e e g (t) = · s(t) + · s(t) Tp dt Tp und damit   1 − Ttp Tz Tz δ(t) + e · s(t) · 1− g (t) = Tp Tp Tp dabei ist s(t) der Einheitssprung Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

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2.3 Shelving-Tiefpass

Aktive Realisierung und PN-Diagramm

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25

2.3 Shelving-Tiefpass D¨ ampfungsverlauf (passive Realisierung) √ Darstellung fu ¨r fgz = 10fgp (passives Filter) 0 −1

10 log10 |G (f )|2 dB

−2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9

−10 −2 10

−1

10

0

10

1

10

normierte Frequenz f /fgp

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2

10

26

2.3 Shelving-Tiefpass Phasenverlauf

Darstellung fu ¨r fgz =



10fgp

0

ϕ(f ) in Grad

−5 −10 −15 −20 −25 −30 −35 −2 10

−1

10

0

10

1

10

normierte Frequenz f /fgp

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2

10

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27

2.3 Shelving-Tiefpass Verlauf der Gruppenlaufzeit √ Darstellung fu ¨r fgz = 10fgp 1.2

tg (f )/(Tp − Tz )

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −2 10

−1

10

0

10

1

10

normierte Frequenz f /fgp

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2

10

28

2.4 Shelving-Hochpass Passive Realisierung und PN-Diagramm

¨ Ubertragungsfunktion G (f ) =

Tp 1 + j2πfTz fgz 1 + jf /fgz 1 1 · = · mit fgz = , fgp = Tz 1 + j2πfTp fgp 1 + jf /fgp 2πTz 2πTp

⇒ ϕ(f ) = arctan(f /fgz ) − arctan(f /fgp ), wobei fgp > fgz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

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29

2.4 Shelving-Hochpass Impulsantwort (passive Realisierung) ¨ aus der Ubertragungsfunktion G (f ) =

1 j2πfTp Tp · + Tz 1 + j2πfTp 1 + j2πfTp

folgt mit Hilfe des Differentationssatzes zun¨achst  1 − Ttp d  − Ttp e e g (t) = · s(t) + · s(t) Tz dt und damit − Tt

g (t) = δ(t) − e

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p

·



1 1 − Tp Tz

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· s(t)

30

2.4 Shelving-Hochpass

Aktive Realisierung und PN-Diagramm

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31

2.4 Shelving-Hochpass D¨ ampfungsverlauf (passive Realisierung) √ Darstellung fu ¨r fgp = 10fgz (passives Filter) 0 −1

10 log10 |G (f )|2 dB

−2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9

−10 −2 10

−1

10

0

10

1

10

normierte Frequenz f /fgz

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2

10

32

2.4 Shelving-Hochpass Phasenverlauf Darstellung fu ¨r fgp =

√ 10fgz

35 30

ϕ(f ) in Grad

25 20 15 10 5 0 −2 10

−1

10

0

1

10

10

normierte Frequenz f /fgz

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2

10

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33

2.4 Shelving-Hochpass Verlauf der Gruppenlaufzeit √ Darstellung fu ¨r fgp = 10fgz 0.4

tg (f )/(Tz − Tp )

0.2 0

−0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −2 10

−1

10

0

10

1

10

normierte Frequenz f /fgz

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2

10

34

2.4 Shelving-Hochpass Antwort auf einen (schmalbandigen) Raised-Kosinus Impuls √ Darstellung fu ¨r fgp = 10fgz 1

Ausgangsimpuls Eingangsimpuls

Amplitude

0.8

0.6

0.4

0.2

0

−0.2 −100

−50

0

50

normierte Zeit t/tg (0)

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100

35

2.5 Allpass

Aktive Realisierung (1) und PN-Diagramm

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36

2.5 Allpass

¨ Ubertragungsfunktion (aktive Variante (1) ) G (f ) =

1 − j2πfT 1 j2πfT = − 1 + j2πfT 1 + j2πfT 1 + j2πfT

zugeh¨ orige Impulsantwort g (t) = −δ(t) +

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2 −t e T · s(t) T

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37

2.5 Allpass

Aktive Realisierung (2) und PN-Diagramm

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38

2.5 Allpass Phasenverlauf (Variante (1)) 0 −20

ϕ(f ) in Grad

−40 −60 −80 −100 −120 −140 −160 −180 −2 10

−1

10

0

10

1

10

normierte Frequenz f /fg

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2

10

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39

2.5 Allpass Verlauf der Gruppenlaufzeit 2 1.8 1.6

tg (f )/T

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −2 10

−1

10

0

10

1

10

normierte Frequenz f /fg

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

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2

10

40

Kapitel 3

Filter 2. Ordnung

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41

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Realisierung und PN-Diagramm

¨ Ubertragungsfunktion Gp (p) =

p2 +

ω02 p ωQ0

+ ω02

mit ω02 =

1 1 ,Q = · LC R

r

L C

⇒ |G (f )|−2 = [1 − (f /f0 )2 ]2 + (f /f0 )2 /Q 2 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

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42

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Amplitudengang in Abh¨ angigkeit der Gu ¨te 20 15

10 log10 |G (f )|2 dB

10 5 0

−5

Q=10 Q=2

−10

Q=0.71

−15

Q=0.5

−20 −25 −2 10

−1

0

10

1

10

10

normierte Frequenz f /f0 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

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43

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)

normierter Amplitudengang in dB

Amplitudengang: 3 dB-Breite der Resonanzu ohung ¨berh¨ 0

−0.5

Q=20 Q=10 Q=5

−1

−1.5

−2

−2.5

−3 0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

normierte Frequenz f /f0 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

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44

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) √ Amplitudengang: maximal flacher Verlauf fu ¨r Q = 1/ 2 0.02

10 log10 |G (f )|2 dB

0.01 0

−0.01 −0.02 −0.03

√ √ Q = 1/ 2 = 18/6 √ Q = √19/6 Q = 17/6

−0.04 −0.05 −2 10

−1

10

normierte Frequenz f /f0 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

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45

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Gruppenlaufzeit in Abh¨ angigkeit der Gu ¨te 5 4.5 4 3.5

Q=5 Q=2

tg (f ) · πf0

Q=0.71 3

Q=0.5

2.5 2

1.5 1 0.5 0 −2 10

−1

10

0

10

1

10

normierte Frequenz f /f0 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

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46

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) √ Gruppenlaufzeit: maximal flacher Verlauf fu ¨r Q = 1/ 3 1.04

√ √ Q = 1/√3 = 3/ 27 Q = 3/√28 Q = 3/ 26

1.03

tg (f )/tg (0)

1.02 1.01 1 0.99 0.98 0.97 0.96 −2 10

−1

10

normierte Frequenz f /f0 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

47

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Impuls- und Sprungantwort 6 Q=5

4

Q=2

g (t)/f0

2

0

−2

−4

−6 0

1

2

3

4

5

6

7

8

normierte Zeit t · f0 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

48

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Impuls- und Sprungantwort 1.8 1.6 Q=5 1.4

Q=2

h(t)

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

normierte Zeit t · f0 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

49

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Impuls- und Sprungantwort 3 2.5

Q=0.71 Q=0.5 Q=0.25

g (t)/f0

2 1.5 1 0.5 0 −0.5 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

normierte Zeit t · f0 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

50

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Impuls- und Sprungantwort 1

0.8 Q=0.71

h(t)

Q=0.5 0.6

Q=0.25

0.4

0.2

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

normierte Zeit t · f0 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

51

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)

Realisierungsvariante: Sallen-Key Tiefpassfilter

q

fu ¨r R1 = R2 = R gilt: ω0 = R √C1 C , Q = 21 CC21 1 2 (Bild aus: ”Active Filter Design Techniques”, Texas Instruments)

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

52

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)

Realisierungsvariante: Tow-Thomson Biquad (1)

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

53

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Realisierungsvariante: Tow-Thomson Biquad (2)

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

54

3.2 Hochpass (zus¨ atzliche doppelte Nullstelle) Realisierung und PN-Diagramm

¨ Ubertragungsfunktion 1 1 p2 2 , Q = · mit ω = Gp (p) = 2 0 LC R p + p ωQ0 + ω02

r

L C

⇒ Gp,HP (p/w0 ) = Gp,TP (w0 /p) aktive Realisierungsvariante im Sallen-Key Tiefpassfilter Cs und Rs vertauschen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

55

3.2 Hochpass (zus¨ atzliche doppelte Nullstelle) vom Tiefpass zum Hochpass (Amplitudengang) 10 Tiefpass, Q=2 Hochpass, Q=2

8

10 log10 |G (f )|2 dB

6 4 2 0

−2 −4 −6 −8

−10

−1

0

10

10

1

10

normierte Frequenz f /f0 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

56

3.2 Hochpass (zus¨ atzliche doppelte Nullstelle) Beispiel: Linkwitz-Riley-Frequenzweiche 2. Ordnung (1)

die folgenden 2 Folien zeigen den Amplitudengang, die Gruppenlaufzeit und die Sprungantwort fu ¨r f0 = 200 Hz Gruppenlaufzeitverzerrungen sind bis ca. 1500 Hz h¨ orbar Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

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57

3.2 Hochpass (zus¨ atzliche doppelte Nullstelle)

10 log10 |G (f )|2 dB

Beispiel: Linkwitz-Riley-Frequenzweiche 2. Ordnung (2) 0 Summe −5

Tiefton Hochton

−10 1

10

2

10

3

10

4

10

Frequenz f in Hz

tg (f ) in ms

2 Summe

1.5 1 0.5 0 1 10

2

10

3

10

4

10

Frequenz f in Hz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

58

3.2 Hochpass (zus¨ atzliche doppelte Nullstelle) Beispiel: Linkwitz-Riley-Frequenzweiche 2. Ordnung (3) 1

Sprungantwort h(t)

0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Zeit t in ms Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

59

3.3 Bandpass (zus¨ atzliche einfache Nullstelle) Realisierung und PN-Diagramm

¨ Ubertragungsfunktion Gp (p) =

p ωQ0 p 2 + p ωQ0 + ω02

mit ω02 =

1 1 ,Q = · LC R

r

L C

⇒ fu ¨r Q ≤ 0.5 wie Kettenschaltung aus TP und HP erster Ordnung Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

60

3.3 Bandpass (zus¨ atzliche einfache Nullstelle) 3 dB Breite bei Q ≫ 1 0

Q=20 Q=10 Q=5 Q=3

10 log10 |G (f )|2 dB

−0.5

−1

−1.5

−2

−2.5

−3 0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

normierte Frequenz f /f0 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

61

3.3 Bandpass (zus¨ atzliche einfache Nullstelle) aktive Realisierungsvariante (1): Sallen-Key Bandpassfilter

mit G0 = 1 +

R2 R1 ,

ω0 =

Gp (p) =

1 RC

und Q =

Q 3−1/Q

·

1 3−G0

gilt hier:

ω p Q0 ω p 2 +p Q0 +ω02

(Bild aus: ”Active Filter Design Techniques”, Texas Instruments) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

62

3.3 Bandpass (zus¨ atzliche einfache Nullstelle) aktive Realisierungsvariante (2): “Multiple Feedback” Filter

mit ω0 =

1 C

·

q

R1 +R3 R1 R2 R3

und Q =

R2 Gp (p) = − 2R · 1

ω0 2 ω0 pQ

p 2 +p

· CR2 gilt hier:

ω0 +ω02 Q

(Bild aus: ”Active Filter Design Techniques”, Texas Instruments)

aktive Realisierungsvariante (3): Tow-Thomson-Biquad Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

63

3.4 Notch-Filter Realisierung und PN-Diagramm

¨ Ubertragungsfunktion

Gp (p) =

p 2 + p ωQ0 + ω02 p2 +

ω0 p Q·k

+ ω02

mit ω02 =

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

r

1 1 ,Q= · LC R2

Analoge und digitale Filter

L R2 ,k= C R1 + R2 64

3.4 Notch-Filter Amplitudengang und 3 dB Breite

10 log10 |G (f )|2 dB

0

−3

−6

−9

−12 0.2

Q=20, k=1/2 Q=10, k=1/2 Q=20, k=1/4 Q=10, k=1/4

0.4

0.6

0.8

0.951.05

1.2

1.4

1.6

1.8

normierte Frequenz f /f0 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

65

3.5 Notch-Tiefpass PN-Diagramm und mo ¨glicher Ansatz zur Umsetzung

¨ Ubertragungsfunktion Gp (p) =

0 ·k1 + (ω0 · k1 )2 p 2 + p ωQ·k 2

p 2 + p ωQ0 + ω02

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

mit k1 > 1

Analoge und digitale Filter

66

3.5 Notch-Tiefpass Amplitudengang und Anwendungsbeispiel Beispiel mit k =2, k =4 1

2

10 log10 |G (f )|2 dB

10

5

0

−5

−10 Notch−Tiefpass (Entzerrer) Hochpass mit Boost (Q=2)

−15

Hochpass entzerrt (Q=1/2) −20

−1

0

10

10

1

10

normierte Frequenz f /f0 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

67

3.6 Allpass PN-Diagramm und m¨ ogliche Realisierung

(Bild aus: ”Active Filter Design Techniques”, Texas Instruments)

¨ Ubertragungsfunktion Gp (p) = kp ·

(p + p1 )(p + p2 ) ω0 mit p1/2 = − ± ω0 (p − p1 )(p − p2 ) 2Q

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

s

1 −1 (2Q)2

68

3.6 Allpass Gruppenlaufzeit in Abh¨ angigkeit der Gu ¨te 4.5 4

tg (f ) · π · f0

3.5 3 Q=2

2.5

Q=1 Q=.577

2

Q=1/2

1.5 1 0.5 0 −2 10

−1

10

0

10

1

10

2

10

normierte Frequenz f /f0 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

69

Kapitel 4

Standard TiefpassApproximationen

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

70

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Ausgangspunkt: Amplitudengang |G (f )|2 =

1+

1  2N f fc

Merkmal: maximal flache Charakteristik im Durchlassbereich (Phasengang wird erkauft) Polstellen mit |G (ω)|2 = G (ω)G (−ω) = Gp (p)Gp (−p)|p=jω folgt zun¨achst fu ¨r die 2N verschiedenen Pole pν , ν = 0, 1, . . . , 2N − 1, von Yp (p) = Gp (p)Gp (−p): π + ν · Nπ fu pν = ωc ·ejϕν mit ϕν = 2N ¨r N gerade, π jϕν pν = ωc ·e mit ϕν = ν · N fu ¨r N ungerade

Gp (p) werden genau die N verschiedenen Pole von Yp (p) zugeordnet, die in der linken Halbebene liegen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

71

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)

PN-Diagramme fu ¨r verschiedene Filterordnungen (1) N=3 1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

jω/ωc

jω/ωc

N=2 1

0.2 0 −0.2

0.2 0 −0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8

−1

−1 −1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

σ/ωc

0

0.5

1

σ/ωc

Anmerkung: kp = ωcN

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

72

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)

PN-Diagramme fu ¨r verschiedene Filterordnungen (2) N=5 1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

jω/ωc

jω/ωc

N=4 1

0.2 0 −0.2

0.2 0 −0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8

−1

−1 −1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

σ/ωc

0

0.5

1

σ/ωc

Anmerkung: kp = ωcN

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

73

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Amplitudengang in Abh¨ angigkeit des Filtergrads 0 −2

10 log10 |G (f )|2 dB

−4 −6 −8 N=1

−10

N=2

−12

N=3

−14 −16

N=4 N=5 N=10

−18 −20 −1 10

0

10

1

10

normierte Frequenz f /fc Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

74

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Kaskadierung eines Filters 5. Ordnung

10 log10 |G (f )|2 dB

5

0 1 0.8

−5

0.6

−10

jω/ωc

0.4

gesamt reelle Polstelle Polpaar 1

−15

0.2 0 −0.2 −0.4

Polpaar 2

−0.6 −0.8 −1

−20 −1 10

0

1

10

10

normierte Frequenz f /fc

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

−1

−0.5

σ/ωc

Analoge und digitale Filter

0

75

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Gruppenlaufzeit in Abh¨ angigkeit des Filtergrads 3

N=1

2.5

N=2 N=3

tg (f ) · πfc

2

N=4 N=5

1.5

1

0.5

0 −1 10

0

10

1

10

normierte Frequenz f /fc Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

76

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Sprungantwort 1.2

1

h(t)

0.8 N=2

0.6

N=3 N=4 N=5

0.4

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

normierte Zeit t · fc Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

77

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)

D¨ ampfungstoleranzschema und notwendige Filterordnung (1)

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

78

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) D¨ ampfungstoleranzschema und notwendige Filterordnung (2) notwendige Filterordnung: q   a /10 10 min −1 log 10amax /10 −1       N=    log ffds   zugeh¨orige 3 dB Grenzfrequenz fc fd

≤ fc ≤

1 10amax /10 − 1 2N Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

fs

1 10amin /10 − 1 2N

Analoge und digitale Filter

79

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) D¨ ampfungstoleranzschema: Beispiel fd = 20 kHz, amax = 0.25 dB, fs = 156.4 kHz, amin = 80 dB ergibt: N = 6, 25.3 kHz≤ fc ≤ 33.7 kHz N=6

80 70

fc=25.3 kHz fc=33.7 kHz

a(f ) dB

60 50 40 30 20 10 0 10

20

30

50

80

100

normierte Frequenz f in KHz

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

156

80

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)

Normierte Reaktanzen, Widerst¨ ande und Frequenzen Bezugs-Kreisfrequenz: ωB (in rad/s) Bezugs-Widerstand: RB (in Ω) e= normierter Widerstand: R

R RB

e = C · ω B · RB normierte Kapazit¨at: C normierte Induktivit¨at: e L = L · ωB · R1B

normierte Kreisfrequenz bzw. Bildvariable: ω e=

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

ω ωB ;

Analoge und digitale Filter

e p=

p ωB

81

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Dimensionierung eines passiven Polynomfilters

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

82

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) e2 = 1 Normierte Reaktanzwerte fu ¨r r2 = R

(Tabelle aus: Fritzsche ”Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik”) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

83

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) e2 = ∞ Normierte Reaktanzwerte fu ¨r r2 = R

(Tabelle aus: Fritzsche ”Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik”)

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

84

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Tschebyscheff Polynome erster Art Polynome fu ¨r die Ordnungen 0 bis 5: T0 (x) = 1 T1 (x) = x T2 (x) = 2x 2 − 1 T3 (x) = 4x 3 − 3x T4 (x) = 8x 4 − 8x 2 + 1 T5 (x) = 16x 5 − 20x 3 + 5x

rekursive Berechnung:

Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x)

Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen: Tn (x) =



cos (n · arccos(x) ) cosh (n · arccosh(x) )

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

fu ¨r − 1 ≤ x ≤ 1 sonst

Analoge und digitale Filter

85

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Tschebyscheff Polynome — Verlauf fu ¨r n = 3 und n = 5 1

Tn (x)

0.5 0

−0.5 −1 −1

−0.5

0

0.5

1

0.5

1

x Tn2 (x)

1

0.5

0 −1

−0.5

0

x Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

86

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Ausgangspunkt: Amplitudengang |G (f )|2 =

1 1+

δ2 ·TN2

  f fd

Merkmal: Restwelligkeit von amax = 10 · log10 (1 + δ2 ) dB im Durchlassbereich ⇒ “Equal Ripple Filter” Phase wird erkauft

die Frequenz fd bestimmt die Grenze des Durchlassbereichs (mit TN2 (1) = 1 gilt auch 10 · log10 |G (fd )|2 = amax )  2N   f 2 enth¨alt, steigt die D¨ampfung im da TN fd den Term ffd Sperrbereich mit N×20 dB pro Dekade.

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

87

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Polstellen zun¨achst werden wieder die Pole von Yp (p) = Gp (p)Gp (−p) bestimmt fu ¨r die Pole pY ,ν , ν = 1, . . . , 2N, von Yp (p) muss gelten     p p Y ,ν Y ,ν δ2 · TN2 = −1 bzw. δ · TN = ±j jωd jωd ¨ der Ubertragungsfunktion Gp (p) werden die Pole in der linken Halbebene zugeordnet; es gilt (ν = 1, . . . , N)     (2ν − 1)π (2ν − 1)π +jωHA ·cos , wobei pν = −σHA ·sin 2N 2N     1 1 1 1 σHA = sinh arcsinh ωHA = cosh arcsinh N δ N δ Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

88

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Polstellen

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

89

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

jω/ωd

jω/ωd

PN-Bilder fu ¨r verschiedene Filterord., 1.25 dB Ripple (1) N = 2 (Q = 1) N=3

0.2 0 −0.2 −0.4

0.2 0 −0.2 −0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8

−1

−1 −1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

σ/ωd

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

0

0.5

1

σ/ωd

Analoge und digitale Filter

90

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass

PN-Bilder fu ¨r verschiedene Filterord., 1.25 dB Ripple (2) N=5 1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

jω/ωd

jω/ωd

N=4 1

0.2 0 −0.2 −0.4

0.2 0 −0.2 −0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8

−1

−1 −1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

σ/ωd

0

0.5

1

σ/ωd

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

91

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Amplitudengang in Abh¨ ang. des Filtergrads (1.25 dB Ripple) 0 −2

10 log10 |G (f )|2 dB

−4 −6 −8

N=1

−10

N=2 N=3

−12

N=4

−14

N=5

−16 −18 −20 −2 10

−1

10

0

10

1

10

normierte Frequenz f /fd Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

92

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Amplitudengang im Durchlassbereich (1.25 dB Ripple) 2

10 log10 |G (f )|2 dB

1.5

N=2 N=3

1

N=4 N=5

0.5 0

−0.5 −1

−1.5 −2 0

0.2

0.4

0.6

normierte Frequenz f /fd

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

0.8

1

Analoge und digitale Filter

93

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Potenztiefpass vs. T1 Tiefpass (N = 5, 1.25 dB Ripple) 1

10 log10 |G (f )|2 dB

0

−1

−2

−3

Tscheby1 (N=5) Butterworth (N=5)

−4

−5 −2 10

−1

10

0

10

normierte Frequenz f /fd Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

94

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Potenztiefpass vs. T1 Tiefpass (N = 5, 1.25 dB Ripple) 0

10 log10 |G (f )|2 dB

−10 −20 −30 −40 −50 −60

Tscheby1 (N=5) Butterworth (N=5)

−70 −80 −1 10

0

10

normierte Frequenz f /fd Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

95

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Gruppenlaufzeit in Abh¨ ang. des Filtergrads (1.25 dB Ripple) 7 6

N=1 N=3

tg (f ) · πfd

N=2 5

N=4

4

N=5

3 2 1 0 0

0.5

1

1.5

2

normierte Frequenz f /fd Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

96

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Sprungantwort in Abh¨ ang. des Filtergrads (1.25 dB Ripple) 1.2

1

h(t)

0.8 N=1

0.6

N=2 N=3 0.4

N=4 N=5

0.2

0

0

1

2

3

4

5

6

normierte Zeit t · fd Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

97

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass D¨ ampfungstoleranzschema und notwendige Filterordnung



notwendiger Filtergrad: N =   

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

arccosh

„r

10amin /10 −1 10amax /10 −1

“ ” arccosh ffs

Analoge und digitale Filter

d

«

  

98

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass D¨ ampfungstoleranzschema: Beispiel (1) fd = 20 kHz, amax = 0.25 dB, fs = 156.4 kHz, amin = 80 dB ergibt: N = 5 N = 5 genu ¨gt aber sogar fu ¨r einen Ripple von nur 0.0025 dB 80 amax=0.25 dB 70

a

=0.0025 dB

max

a(f ) dB

60 50 40 30 20 10 0 10

20

30

50

80

100

normierte Frequenz f in KHz

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

156

Analoge und digitale Filter

99

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass D¨ ampfungstoleranzschema: Beispiel (2) D¨ampfungsverlauf im Durchlassbereich fu ¨r amax = 0.25 dB und amax = 0.0025 dB 0.25

a(f ) dB

0.2

0.15

0.1 amax=0.25 dB 0.05

amax=0.0025 dB

0 0

5

10

15

normierte Frequenz f in KHz

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

20

100

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass D¨ ampfungstoleranzschema: Beispiel (3) Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich fu ¨r amax = 0.25 dB und amax = 0.0025 dB 0.08 0.07

tg (f ) in ms

0.06

a

=0.25 dB

a

=0.0025 dB

max max

0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0

5

10

15

normierte Frequenz f in KHz

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

20

Analoge und digitale Filter

101

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass

Dimensionierung eines passiven Polynomfilters

bzgl. der folgenden Tabellen wurde angenommen: e2 = u normierter Widerstand r2 = R ¨ normierte Grenzkreisfrequenz Durchlassbereich: ω ed = 2πe fd = 1 es ist gleichgu ¨ltig, ob das erste Element s1 ein Querelement (Kapazit¨at) oder ein L¨angselement ist (Spule)

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

102

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass

Normierte Reaktanzwerte fu ¨r amax = 0.18 dB

(Tabelle aus: Fritzsche ”Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik”)

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

103

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass

Normierte Reaktanzwerte fu ¨r amax = 1.25 dB

(Tabelle aus: Fritzsche ”Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik”)

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

104

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass

Ausgangspunkt: Amplitudengang 1 |G (f )|2 = 1 − 1 + δ2 ·TN2

fs f

=

1+



fs f  δ2 ·TN2 ffs

δ2 ·TN2

Merkmal: Restwelligkeit im Sperrbereich; die Minimald¨ampfung betr¨agt von amin = 10 · log10 (1 +

1 ) δ2

dB

Phase wird erkauft

die Frequenz fs bestimmt die Grenze des Sperrbereichs (mit TN2 (1) = 1 gilt auch 10 · log10 |G (fs )|2 = amin )

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

105

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Polstellen zun¨achst werden wieder die Pole von Yp (p) = Gp (p)Gp (−p) bestimmt bei identischem Parameter δ, der beim Typ 1 die Maximald¨ampfung amax im Durchlassbereich und beim Typ 2 die Minimald¨ampfung amin im Sperrbereich bestimmt, gilt fu ¨r die normierten Pole p˜Y ,ν , ν = 1, . . . , 2N, von Yp (p) offensichtlich p˜Y ,ν = j · j

1 p˜Y ,T1,ν

=−

1 p˜Y ,T1,ν

dabei sind p˜Y ,T1,ν die normierten Polstellen von Yp,T1 (p) fu ¨r den Fall eines Typ 1 Filters

¨ der Ubertragungsfunktion Gp (p) werden die Pole in der linken Halbebene zugeordnet; es gilt (ν = 1, . . . , N) p˜ν = 1/˜ pT1,ν Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

106

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass

Nullstellen der Amplitudengang |G (f )|2 besitzt Nullstellen bei den Frequenzen   N 1  , |k| = 1, 2, . . . , f0,k = fs · π 2 cos (2k − 1) · 2N die Nullstellen von Gp (p) sind demnach: j · 2πf0,k

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

107

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass

Pole und Nullstellen im Vergleich zum Typ 1 Tiefpass (N=3)

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

108

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Pole und Nullstellen im Vergleich zum Typ 1 Tiefpass (N=5) N=5

2 1.5 1

j˜ ω

0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

σ ˜ Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

109

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Amplitudengang in Abh¨ ang. des Filtergrads (amin = 20 dB) 0.025

0.02 N=2 N=3

|G (f )|2

0.015

N=5

0.01

0.005

0 0

2

4

6

normierte Frequenz f /fs

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

8

10

110

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Amplitudengang in Abh¨ ang. des Filtergrads (amin = 20 dB) 1

10 log10 |G (f )|2 dB

0.5 0

−0.5 −1 N=2 N=3

−1.5

N=5 −2

−2.5 −3 −2 10

−1

0

10

10

normierte Frequenz f /fs Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

111

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Amplitudengang im Vgl. zum Potenztiefpass (amin = 80 dB) ¨ Darstellung incl. Ubergangsbereich 10

10 log10 |G (f )|2 dB

0 −10 −20 −30 −40 −50 −60

Butterworth, N=2 Tscheby T2, N=2 Butterworth, N=5 Tscheby T2, N=5,

−70 −80 −3 10

−2

10

−1

10

normierte Frequenz f /fs

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

0

10

112

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Amplitudengang im Vgl. zum Potenztiefpass (amin = 80 dB) Darstellung des Durchlassbereichs 0.5

10 log10 |G (f )|2 dB

0 −0.5 −1

−1.5 −2

Butterworth, N=2 Tscheby T2, N=2 Butterworth, N=5 Tscheby T2, N=5,

−2.5 −3 −3 10

−2

−1

10

0

10

normierte Frequenz f /fs

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

10

Analoge und digitale Filter

113

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Gruppenlaufzeit im Vgl. zum Potenztiefpass (amin = 80 dB) 1.8 1.6

tg (f )/tg (0)

1.4 1.2 1 0.8 0.6

Butterworth, N=2 Tscheby T2, N=2

0.4

Butterworth, N=5 Tscheby T2, N=5,

0.2 0 −4 10

−3

10

−2

10

−1

10

normierte Frequenz f /fs

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

0

10

114

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Sprungantwort im Vgl. zum Potenztiefpass (amin = 80 dB)

1.2

h(t)

1 0.8 0.6

Butterworth, N=5 Tscheby T2, N=5,

0.4 0.2 0 0

5

10

15

20

normierte Zeit t · fs

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

115

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass

Notwendige Filterordnung 

notwendiger Filtergrad: N =   

arccosh

„r

10amin /10 −1 10amax /10 −1

“ ” arccosh ffs

gleiches Ergebnis wie beim Typ 1 Filter

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

d

«

  

116

4.4 Cauer Tiefpass Ausgangspunkt: Amplitudengang |G (f )|2 =

1 1+

δ2 ·R2N





f fd , L

Restwelligkeit im Durchlass- und Sperrbereich geringste notwendige Filterordnung bei vorgegebenen Parametern amin , amax , ffds die Maximald¨ampfung im Durchlassbereich betr p¨agt amax = 10 · log10 (1 + δ2 ) dB; es gilt also δ = 10amax /10 − 1

die Minimald¨ampfung im Sperrbereich betr¨agt 10amin /10 −1 amin = 10 · log10 (1 + δ2 · L2 ) dB; es gilt also L2 = 10 amax /10 −1   RN ffd , L ist eine rationale elliptische Funktion vom Grad N Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

117

4.4 Cauer Tiefpass Verlauf der rationalen elliptischen Funktion R2 (x, 10) 20 15

R2 (x, 10)

10 5

1 −1 −5

−10 −15 −20 −10

−8

−6

−4

−2 −1 0 1 2

4

6

8

10

x Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

118

4.4 Cauer Tiefpass Verlauf der rationalen elliptischen Funktion R4 (x, 10) 20 15

R4 (x, 10)

10 5

1 −1 −5

−10 −15 −20 −8

−6

−4

−2 −1

0

1

2

4

6

8

x Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

119

4.4 Cauer Tiefpass

PN-Bilder fu ¨r verschiedene Filterordnungen (1) Annahmen: amax = 0.5 dB, amin = 30 dB N=2

N=3

6

2

4

1.5

jω/ωd

jω/ωd

1

2 0 −2

0.5 0 −0.5 −1

−4 −1.5

−6

−2

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

−3

−2

−1

σ/ωd

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

0

1

2

3

σ/ωd

Analoge und digitale Filter

120

4.4 Cauer Tiefpass

PN-Bilder fu ¨r verschiedene Filterordnungen (2) Annahmen: amax = 0.5 dB, amin = 30 dB N=4

N=5

3 1.5

2

1

jω/ωd

jω/ωd

1

0

−1

0 −0.5

−1

−2

−1.5

−3 −4

0.5

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

−2

−1.5

−1

−0.5

σ/ωd

0

0.5

1

1.5

2

σ/ωd

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

121

4.4 Cauer Tiefpass Amplitudengang fu ¨r N = 5 amax = 1 dB, amin = 30 dB 0

10 · log10 |G (f )|2 dB

−10 −20 −30 −40 −50 −60 −70 −80

1

2

3

4

5

6

7

normierte Frequenz f /fd

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

8

9

10

122

4.4 Cauer Tiefpass Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich amax = 0.5 dB, amin = 50 dB 4.5 4

tg (f )/tg (0)

3.5 3 2.5

N=2 N=3 N=4 N=5

2 1.5 1 0.5 0 −2 10

−1

0

10

normierte Frequenz f /fd

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

10

Analoge und digitale Filter

123

4.4 Cauer Tiefpass Sprungantwort fu ¨r N = 5 N=5, amin=50 dB 1.5

h(t)

1

a

=1 dB

a

=0.5 dB

max max

0.5

amax=0.1 dB amax=0.001 dB

0 0

1

2

3

normierte Zeit t · fd

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

4

Analoge und digitale Filter

5

124

4.4 Cauer Tiefpass Notwendige Filterordnung n¨aherungsweise gilt: amin + 20 log10 (1/δ) ≈ 20 · log10 (RN (fs /fd , L))

aus dem folgenden Diagramm kann fu ¨r jede Parameterkonstellation fs /fd , amin und δ p (δ = 10amax /10 − 1) der notwendige Filtergrad abgelesen werden Beispiel: fu ¨r fs /fd = 1.5, amin = 50 dB und amax = 0.5 dB bzw. amin + 20 log10 (1/δ) ≈ 59.1 dB folgt N = 5

das gleiche Verfahren kann auch fu ¨r den Potenztiefpass und den Tschebyscheff-Tiefpass angewendet werden; in diesen F¨allen gilt amin + 20 log10 (1/δ) ≈ 20 · N · log10 (fs /fd ) bzw. amin + 20 log10 (1/δ) ≈ 20 · log10 (cosh(N · acosh(fs /fd ))) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

125

4.4 Cauer Tiefpass

Notwendige Filterordnung eines Cauer Tiefpasses amin + 20 log10 (1/δ) dB

140 N=10 120

N=9 N=8

100

N=7 N=6

80 N=5 60

N=4 N=3

40

20 1.05

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

1.8

fs /fd

2

2.2

2.5

Analoge und digitale Filter

2.8 3.0

126

4.4 Cauer Tiefpass

Notwendige Filterordnung eines Tschebyscheff-Tiefpasses amin + 20 log10 (1/δ) dB

140

120

100

N=10 N=9 N=8

80 N=7 N=6 60 N=5 N=4

40

N=3 20 1.05

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

1.8

fs /fd

2

2.2

2.5

2.8 3.0

Analoge und digitale Filter

127

4.4 Cauer Tiefpass

Notwendige Filterordnung eines Potenz-Tiefpasses amin + 20 log10 (1/δ) dB

120 110 100

N=17

90 N=15 80

N=13 N=11

70

N=9

60

N=7 50 N=5

40 30

N=3 20

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

1.8

fs /fd

2

2.2

2.5

Analoge und digitale Filter

2.8

128

4.5 Besseltiefpass Entwurfsziel Polynomfilter mit maximal flacher Gruppenlaufzeit (Amplitudengang wird erkauft) m¨oglicher Ansatz: Storch-Methode Besselpolynome Polynome fu ¨r die Ordnungen 0 bis 4: B0 (x) = 1 B1 (x) = x + 1 B2 (x) = x 2 + 3x + 3 B3 (x) = x 3 + 6x 2 + 15x + 15 B4 (x) = x 4 + 10x 3 + 45x 2 + 105x + 105

rekursive Berechnung:

Bn (x) = (2n − 1)Bn−1 (x) + x 2 Bn−2 (x) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

129

4.5 Besseltiefpass Storch-Methode ideale Verz¨ogerung (normiert): Gp (˜ p ) = e−˜p =

1 ep˜

ep˜ = sinh(˜ p ) + cosh(˜ p) Taylor-Reihe: cosh(˜ p) = 1 + Taylor-Reihe: sinh(˜ p ) = p˜ +

p ˜2 2! p ˜3 3!

+ +

p ˜4 p ˜6 + 4! 6! p ˜5 5! . . .

...

Kettenbruch: coth(˜ p) =

1 cosh(˜ p) = + sinh(˜ p) p˜

1 3 p ˜

+

1

5 1 p ˜ + 7 +... p ˜

Kettenbruch nach N Gliedern abbrechen und als gebrochen rationale Funktion darstellen; Z¨ahlerpolynom wird mit cosh(˜ p) identifiziert, Nennerpolynom mit sinh(˜ p) Z¨ahler- und Nennerpolynom addieren (ergibt Besselpolynom) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

130

4.5 Besseltiefpass ¨ Ubertragungsfunktion fu ¨r die normierte Bildvariable soll gelten p˜ = p · tg (0)

dabei ist tg (0) die Gruppenlaufzeit bei der Frequenz f = 0 ¨ in diesem Fall gilt fu als Funktion ¨r die Ubertragungsfunktion der normierten Bildvariablen: Gp (˜ p) =

BN (0) BN (˜ p)

es gilt demnach G (f = 0) = 1 außerdem gilt fu ¨r die normierte Gruppenlaufzeit: ˜tg (0) = 1 fu ¨r die Grafiken wurde außerdem f˜ = f · tg (0) angenommen, also ausnahmsweise p˜ = 2π f˜ (und nicht p˜ = f˜)

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

131

4.5 Besseltiefpass Gruppenlaufzeit als Funktion der normierten Frequenz

norm. Gruppenlaufzeit

1 N=2

0.95

N=5 0.9

N=10

0.8

0.7

0.6

0.5 0

0.5

1

1.5

2

normierte Frequenz f˜ Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

132

4.5 Besseltiefpass D¨ ampfung als Funktion der normierten Frequenz 1 0

10 log10 |G (f˜)|2 dB

N=2 N=5

−1

N=10

−2 −3 −4 −5 −6 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

normierte Frequenz f˜ Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

133

4.5 Besseltiefpass

relative Laufzeitabweichung in %

relative Laufzeitabweichung als Funktion der D¨ ampfung 10 9 8 7

N=2

6

N=5 N=10

5 4 3 2 1 0 −12

−10

−8

−6

−4

−2

0

10 log10 |G (f )|2 dB Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

134

4.5 Besseltiefpass Gruppenlaufzeit als Funktion der Frequenz 0.6

0.5

tg (f ) · f3dB

0.4

0.3

0.2 N=2 N=5

0.1

N=10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

normierte Frequenz f /f3dB Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

135

4.5 Besseltiefpass D¨ ampfung als Funktion der Frequenz 0 N=2 N=5 N=10

10 log10 |G (f )|2 dB

−10 −20 −30 −40 −50 −60 −70 −1 10

0

10

1

10

2

10

normierte Frequenz f /f3dB Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

136

4.5 Besseltiefpass

PN-Diagramm fu ¨r verschiedene Filterordnungen 6

N=8

4

jω · tg (0)

N=5

2 N=3

0

−2 −4 −6 −6

−4

−2

0

2

4

6

σ · tg (0)

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

137

4.5 Besseltiefpass Impulsantwort 4 3.5 N=2

3

N=5 N=10

g (t)/f3dB

2.5 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

normierte Zeit t · f3dB Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

138

4.5 Besseltiefpass Sprungantwort 1

0.8 N=2 N=5

h(t)

0.6

N=10

0.4

0.2

0

−0.2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

normierte Zeit t · f3dB Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

139

Kapitel 5

Transformationen

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

140

5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation ¨ Ziel: aus gegebener Tiefpass-Ubertragungsfunktion GpTP (p) ¨ GpHP (p) ¨aquivalente Hochpass-Ubertragungsfunktion gewinnen schaltungstechnischer Ansatz: Kapazit¨aten im Querzweig des passiven Netzwerks (siehe S. 80) durch Induktivit¨aten ersetzen; Induktivit¨aten im L¨angszweig durch Kapazit¨aten die Transformationsvorschrift lautet demnach: ˜ p′ = 1/˜ p dabei ist p˜′ die normierte Bildvariable im TP-Bereich p˜ ist die normierte Bildvariable im HP-Bereich eine Normierung von p ′ bzw. p mit der Kreisfrequenz ωc fu ¨hrt — bei logarithmischer Frequenzachse — zu einer Spieglung des TP-Amplituden(betrags)gangs an der Frequenz ωc , denn es gilt log(ωc /ω) = − log(ω/ωc ) die Normierung kann beispielsweise mit der Grenzfrequenz ωD = 2πfD des Durchlassbereichs erfolgen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

141

5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation Beispiel: Tschebyscheff Typ 1 HP- und TP-Filter 5. Ordnung 0

10 log10 |G (˜ ω )|2 dB

−5 −10 −15 −20 Tiefpass Hochpass (transformiert)

−25

Hochpass (Matlab)

−30 −35 −40 −1 10

0

10

1

10

ω ˜ Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

142

5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation Entwurf eines Hochpass-Filters bei gegebenem D¨ ampfungstoleranzschema 1

2

HP-D¨ampfungstoleranzschema in normierte Form ¨ uberfu ¨hren (z. B. Normierung mit ωD ) durch Frequenztransformation ω ′ = 1/ω (das Vorzeichen spielt beim D¨ampfungsverlauf keine Rolle) ¨aquivalentes TP-Toleranzschema entwickeln

4

fu ¨r gegebenen Filtertyp (Butterworth, Tschebyscheff, . . . ) ¨ Filtergrad und TP-Ubertragungsfunktion GpTP (˜ p ′ ) ermitteln ¨ GpTP (˜ p ′ ) in HP-Ubertragungsfunktion GpHP (˜ p) u ¨berfu ¨hren gem¨aß GpHP (˜ p ) = GpTP (˜ p ′ )|p˜′ =1/˜p

5

GpHP (˜ p ) entnormieren

3

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

143

5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation

Entwurf eines Hochpass-Filters bei gegebenem D¨ ampfungstoleranzschema

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

144

5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation

Transformierte Pole und Nullstellen betrachtet wird der Beitrag einer einzelnen Polstelle p˜ν′ im TP-Bereich, ν ∈ {1, 2, . . . , N ′ } 1 1 = − p˜1′ · p˜−p˜ 1 es gilt: p˜′ −˜ p ′ = 1 −˜ p′ ν

p ˜

ν

ν

′ p ˜ν

fu ¨r die Pole im HP-Bereich gilt also mit N = N ′ : p˜ν = ν = 1, . . . , N

1 p ˜ν′ ,

es entstehen (N − M ′ ) Nullstellen im Ursprung sowie M ′ Nullstellen gem¨aß: p˜µ =

1 ′ , p ˜µ

µ = 1, . . . , M ′

fu ¨r die Konstante kp folgt: ′ Q 1 QM ′ kp = kp′ · (−1)N+M N ˜µ′ ν=1 p µ=1 p ˜′ · ν

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

145

5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation Beispiel: Pole und Nullst. vor und nach der Transformation rot: TP, blau: HP, Tscheby II−Filter

rot: TP, blau: HP, Tscheby I−Filter 3 4 2

3 2

1 j⋅ Im{p}

j⋅ Im{p}

1 7

0

0 −1

−1 −2 −3

−2

−4 −3 −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

−4

Re{p}

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

−2

0 Re{p}

2

4

146

5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation

¨ Ziel: aus gegebener Tiefpass-Ubertragungsfunktion GpTP (p) ¨ GpBP (p) ¨aquivalente Bandpass-Ubertragungsfunktion gewinnen das Amplitudenbetragsspektrum sei — bei logarithmischer Frequenzachse — symmetrisch zur Mittenfrequenz ω0 = 2πf0 fu ¨r die Mittenfrequenz gilt also ω0 =

√ √ ωD · ω−D = ωS · ω−S

und demnach

ωD ω0

=

ω0 ω−D

bzw.

(geometrischer Mittelwert) ωS ω0

=

ω0 ω−S

sowie

log(ω0 ) = 12 [log(ωD ) + log(ω−D )] (linearer Mittelwert) bzw. log(ω0 ) = 21 [log(ωS ) + log(ω−S )]

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

147

5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation Beispiel: Tschebyscheff Typ 1 BP-Filter 5. Ordnung 0

10 log10 |G (ω)|2 dB

−5

B = ωD − ω−D

−10 −15 −20 −25 −30 −35 −40

ω−S ω−D

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

ω0

ωD ωS

Analoge und digitale Filter

148

5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation schaltungstechnischer Ansatz: Kapazit¨aten im Querzweig des passiven Netzwerks (siehe S. 80) durch Parallelschwingkreise (Induktivit¨at und Kapazit¨at) ersetzen; Induktivit¨aten im L¨angszweig durch Serienschwingkreise ˜ Transformationsvorschrift: p ˜′ = (˜ p + 1/˜ p)/B p˜′ ist wieder die normierte Bildvariable im TP-Bereich p˜ = p/ω0 ist die normierte Bildvariable im BP-Bereich; normiert wird demnach mit ω0 es ist vorteilhaft, den Ausdruck p˜ + 1/˜ p zus¨atzlich mit der ω D ˜ = B/ω0 = −ω−D zu normieren normierten Bandbreite B ω0 dadurch korrespondiert die Frequenz ω ˜ D im BP-Bereich mit ′ der Frequenz ω ˜ D = 1 im TP-Bereich fu ˜ S′ folgt demnach: ω ˜ S′ = ¨r ω

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

ω ˜ S −1/ω ˜S ˜ B

Analoge und digitale Filter

149

5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation Entwurf eines Bandpass-Filters bei gegebenem D¨ ampfungstoleranzschema 1

2

BP-D¨ampfungstoleranzschema in normierte Form ¨ uberfu ¨hren, (Normierung mit ω0 ) durch Frequenztransformation ω ˜′ = TP-Toleranzschema entwickeln

ω ˜ −1/˜ ω ˜ B

¨aquivalentes

4

fu ¨r gegebenen Filtertyp (Butterworth, Tschebyscheff, . . . ) ¨ Filtergrad und TP-Ubertragungsfunktion GpTP (˜ p ′ ) ermitteln ¨ GpBP (˜ p ′ ) in BP-Ubertragungsfunktion GpBP (˜ p) u ¨berfu ¨hren gem¨aß GpBP (˜ p ) = GpTP (˜ p ′ )|p˜′ =(˜p +1/˜p)/B˜ ′

5

GpBP (˜ p ) entnormieren

3

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

150

5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation Entwurf eines BP-Filters bei gegebenem D.-toleranzschema

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

151

5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation Transformierte Pole und Nullstellen betrachtet wird der Beitrag einer einzelnen Polstelle p˜ν′ im TP-Bereich, ν ∈ {1, 2, . . . , N ′ } p ˜ 1 ˜· “ ”1 es gilt: p˜′ −˜ = B 2 ˜ )+1 pν′ = p 1 ′ ˜ pν p ˜ −˜ p (p ˜ν′ B ˜ + p˜ /B−˜ fu ¨r die N = 2N ′ Pole im BP-Bereich gilt also: r 2 ′ ˜ p˜ν B ′ ˜ p˜ν B/2 − 1 ± p˜ν1,2 = 2

es entstehen (N ′ − M ′ ) Nullstellen im Ursprung sowie r 2 ′ ˜ p ˜µ B ′ ′ ˜ 2M Nullstellen gem¨aß: p˜µ1,2 = 2 ± p˜µ B/2 − 1 ′

fu ¨r die Konstante kp folgt: kp = kp′ · B N −M Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter



152

5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation Beispiel: Transformation eines Tschebyscheff I-Filters rot: TP, blau: BP, Tscheby I−Filter

Amplitudengang Bandpass und Tiefpass (normierte Frequenzachse)

2

0

1.5

−10 Tiefpass

1

Bandpass −20 |G(f)| in dB

j⋅ Im{p}

0.5 7

0

−30

−0.5

−40 −1

−50 −1.5 −2 −2

−60 −1

0 Re{p}

1

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

2

−1

0

10

10 normierte Frequenz

Analoge und digitale Filter

153

TEIL II: Digitale Filter

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

154

Literatur:

A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Zeitdiskrete Signalverarbeitung. R. Oldenbourg Verlag, 1999. D. Kreß and D. Irmer, Angewandte Systemtheorie. Oldenbourg Verlag, Mu ¨nchen und Wien, 1990. K.D. Kammeyer and Kristian Kroschel, Digitale Signalverarbeitung. Vieweg + Teubner, 2009.

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

155

Kapitel 6

Rekursive zeitdiskrete Filter

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

156

6.1 Bilinear-Transformation ¨ Ziel: aus gegebenen Ubertragungsfunktion Gp (p) eines ¨ zeitkontinuierlichen Filters Ubertragungsfunktion Gz (z) eines rekursiven diskreten Filters gewinnen Ansatz: p1 (idealer Integrator) als “Elementarbaustein” des z+1 kontinuierlichen Filters durch t20 z−1 ersetzen (diskreter idealer Integrator, Stu ¨tzstellenabstand t0 = 1/fp ) die Transformationsvorschrift lautet demnach: Gz (z) = Gp (p ′ )|p′ = 2

z−1 t0 z+1

(1)

der exakte Zusammenhang zwischen p und z w¨are durch p = t10 ln(z) gegeben (Gz (z) w¨are dann aber keine gebrochen rationale Funktion mehr) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

157

6.1 Bilinear-Transformation die Bilineartransformation fu ¨hrt also zu einer Verzerrung der ¨ Ubertragungsfunktion in Frequenzrichtung der Zusammenhang zwischen f (unverzerrt) und f ′ (verzerrt durch Bilineartransformation) lautet: f′ =

1 1 · tan (πft0 ) t0 π

(2)

ist das D¨ampfungstoleranzschema eines Digitalfilters gegeben, dann werden die Eckfrequenzen fD und fS zun¨achst vorverzerrt; das auf die vorverzerrten Eckfrequenzen fD′ und fS′ zugeschnittene Analogfilter wird dann per Bilineartransformation in ein Digitalfilter u ¨berfu ¨hrt entf¨allt der Vorfaktor 1/t0 in (2), kann auch der Vorfaktor 1/t0 in (1) entfallen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

158

6.1 Bilinear-Transformation Verzerrung der Frequenz durch die Bilinear-Transformation

1

f ′ · t0

0.5

0.1

0.05

0.01 0.01

0.02

0.04

0.06

0.1

0.2

0.3 0.4

f · t0 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

159

6.1 Bilinear-Transformation Transformierte Pole und Nullstellen betrachtet wird der Beitrag einer einzelnen Polstelle pν′ , ν ∈ {1, 2, . . . , N ′ }, des Analogfilters; es gilt 1 z +1 1 1 = · = ′ 2fp +pν′ ′ p ′ − pν′ 2f − p 2fp z−1 − p p z − ν ν z+1 2fp −p ′ ν

fu ¨r die N Polstellen des rekursiven Digitalfilters gilt demnach in Abh¨angigkeit der N ′ = N Polstellen des Analogfilters zν = (2fp + pν′ )/(2fp − pν′ ), ν = 1, . . . , N besitzt das Z¨ahlerpolynom des Analogfilters den Grad M ′ , ergeben sich fu ¨r das Digitalfilter N − M ′ Nullstellen zµ bei −1 sowie M ′ Nullstellen gem¨aß zµ = (2fp + pµ′ )/(2fp − pµ′ ), µ = 1, . . . , M ′ Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

160

6.1 Bilinear-Transformation Beispiel: Transformation eines Cauer-Tiefpasses 9. Ordnung analoges Cauer Filter 9. Ordnung

digitales Cauer Filter 9. Ordnung 1

4

0.8

3

0.6

2

0.4 0.2 j⋅ Im{z}

j⋅ Im{p}

1 0

0

−1

−0.2

−2

−0.4

−3

−0.6

−4

−0.8 −4

−2

0 Re{p}

2

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

−1 −1

4

−0.5

0 Re{z}

0.5

1

Analoge und digitale Filter

161

6.1 Bilinear-Transformation Beispiel: digitaler Tschebyscheff I-HP 5. Ordnung digitaler Tschebyscheff I−HP, N=5, fD/(fp/2)=0.083

digitaler Tschebyscheff I−HP, N=5, fD/(fp/2)=0.083

1 1

0

0.8

−1

0.6

−2

0.4 0.2

−4

j⋅ Im{z}

|G(f)| in dB

−3

−5

−0.2

−6

−0.4

−7

−0.6

−8

−0.8

−9 −10 −2 10

5

0

−1 −1

10 normierte Frequenz f/(fp/2)

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

0

10

−1

Analoge und digitale Filter

−0.5

0 Re{z}

0.5

1

162

6.2 Impulsinvariant-Methode Grundidee: Impulsantwort des Analogfilters durch Partialbruchzerlegung ¨ der Ubertragungsfunktion (und anschließende Transformation in den Zeitbereich) analytisch bestimmen Impulsantwort abtasten und Einzelterme in den z-Bereich transformieren u.U. großer Fehler durch Aliasing (Verletzung des Abtastth.) Partialbruchdarstellung von Gp (p): Gp (p) = a0 +

nP X rν X ν=1 k=1

aν,k , wobei a0 = (p − pν )k



0 αM βN

fu ¨rM < N fu ¨rM = N

pν sind die nP unterschiedlichen Polstellen (Nullstellen des Nennerpolynoms) mit den Vielfachheiten rν Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

163

6.2 Impulsinvariant-Methode Impulsantwort des Analogfilters: gc (t) = a0 δ(t) +

nP X rν X ν=1 k=1

aν,k · t k−1 · epν t · s(t) (k − 1)!

s(t) ist der Einheitssprung, wobei s(0) = 1/2 gilt a0 δ(t) ist der ‘direct feed-through term’ (nur fu ¨r M = N vorhanden) Impulsantwort des zeitdiskreten Filters: nP X rν X t0 aν,k g [n] = a0 δ[n] + · (n · t0 )k−1 · epν nt0 · s[n] (k − 1)! ν=1 k=1

Hinweis: der ‘direct feed-through term’ darf nicht mit t0 bewertet werden Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

164

6.2 Impulsinvariant-Methode ¨ Ubertragungsfunktion des zeitdiskreten Filters: Annahme: nur einfache Pole, d.h., nP = N Gz (z) = a0 +

N X t0 · a ν

2

ν=1

·

z + zν , z − zν

wobei zν = epν t0

zus¨ atzl. Beitrag eines Pols pν mit der Vielfachheit 2: t0 · aν,1 z + zν z · zν + t02 · aν,2 · · 2 z − zν (z − zν )2 zus¨ atzl. Beitrag eines Pols pν mit der Vielfachheit 3: t0 · aν,1 z + zν z · zν z · zν · (z + zν ) 3 · + t02 · aν,2 · + t · a · ν,2 0 2 z − zν (z − zν )2 (z − zν )3 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

165

6.2 Impulsinvariant-Methode Beispiel: Zielvorgaben: amin = 70 dB, amax = 0.005 dB, fd = 20 kHz, fs = 24 kHz, Cauer-Tiefpass Charakteristik Cauer−Filter 10. Ordnung, Impulsinvariantmethode 0 −10 −20

Analogfilter f =96 kHz

−30

f =192 kHz

|G(f)| in dB

p

−40

p

fp=384 kHz f =768 kHz p

−50 −60 −70 −80

10

20 Frequenz f in kHz

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

24

30

Analoge und digitale Filter

40

48

166

6.2 Impulsinvariant-Methode Beispiel (Forts.): Darstellung des Durchlassbereichs Cauer−Filter 10. Ordnung, Impulsinvariantmethode 0.02 0.015

Analogfilter f =96 kHz

0.01

f =192 kHz

p p

|G(f)| in dB

f =384 kHz 0.005

p

f =768 kHz p

0 −0.005 −0.01 −0.015 −0.02

10

20

Frequenz f in kHz

⇒ durch die Welligkeit im Sperrbereich tritt starkes Aliasing auf Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

167

6.2 Impulsinvariant-Methode

Beispiel (Forts.): Vergleich Bilinear-Tr. / Impulsinvariant-M. Cauer−Filter 10. Ordnung, Impulsinvariantmethode, fp=768 kHz

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2 j⋅ Im{z}

j⋅ Im{z}

Cauer−Filter 10. Ordnung, Bilineartransformation, fp=768 kHz

0

0

−0.2

−0.2

−0.4

−0.4

−0.6

−0.6

−0.8

−0.8

−1

−1 −1

−0.5

0 Re{z}

0.5

1

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

−1

Analoge und digitale Filter

−0.5

0 Re{z}

0.5

1

168

6.2 Impulsinvariant-Methode weiteres Beispiel: Zielvorgaben: amin = 70 dB, amax = 0.5 dB, fd = 20 kHz, fs = 24 kHz, Tschebyscheff I-Tiefpass Charakteristik Tschebyscheff I−Filter 16. Ordnung, Impulsinvariantmethode 1

−10

0.8

−30

0.6

Analogfilter fp=96 kHz

0.4 |G(f)| in dB

−20

|G(f)| in dB

Tschebyscheff I−Filter 16. Ordnung, Impulsinvariantmethode

0

−40 −50 −60

0.2 0 −0.2 −0.4

−70

−0.6

−80

−0.8

−90 1

Analogfilter fp=96 kHz

10 Frequenz f in kHz

−1 1

20 24 30

10 Frequenz f in kHz

20 24 30

⇒ hier gibt es keine Aliasing-Probleme Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

169

6.2 Impulsinvariant-Methode Anmerkungen zur Matlab-Implementierung ’impinvar’: der ‘direct feed-through term’ des Analogfilters darf NICHT mit t0 gewichtet werden; die MATLAB-Funktion impinvar ist in dieser Hinsicht falsch implementiert bei der MATLAB-Implementierung wird den kausalen Expontentialimpulsen an der Sprungstelle t = 0 der rechtsseitige Grenzwert zugewiesen; dadurch folgt (fu ¨r den Fall ausschließlich einfacher Pole) die etwas ungenauere Zuordnung nP X z t0 · a ν · Gz (z) = a0 + , wobei zν = epν t0 z − zν ν=1

⇒ der gr¨oßte Fehler entsteht dabei bei f = 0 die Impulsinvariant Methode eignet sich hervorragend, um die Impuls- oder Sprungantwort von Analogfiltern zu bestimmen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

170

6.3 Kanonische rekursive Filterstrukturen Direktform 1:

Darstellung als Signalflussgraph

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

171

6.3 Kanonische rekursive Filterstrukturen Direktform 2:

ergibt sich, wenn die vorherige Struktur (Direktform 1) transponiert wird Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

172

6.3 Kanonische rekursive Filterstrukturen Kaskaden- und Parallelstruktur:

die Parallelstruktur folgt unmittelbar aus der Partialbruchzerlegung Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

173

6.4 Auswirkung der Koeffizientenquantisierung Annahme: quantisierter Koeffizient (Ru ¨ckkoppelzweig): βˆν = βν + ∆βν ,

ν = 0, . . . , N − 1 (βN = 1)

∆βν ist der Quantisierungsfehler Polstellen ohne Quantisierung: zi , i = 1, 2, . . . , N (Annahme: nur einfache Pole) Positionsfehler der i -ten Polstelle fu ¨r die Direktform 1: ∆zi =

N−1 X ν=0

N−1

X ∂zi · ∆βν = − ∂βν ν=0

ziν N Q

k=1,k6=i

(zi − zk )

· ∆βν

der Positionsfehler w¨achst mit sinkendem Abstand |zi − zk | zwischen den (als verschieden vorausgesetzten) Polen der Fehler w¨achst u ¨berproportional mit der Anzahl der Pole (Produktterm beachten) ⇒ Kaskadenstruktur verwenden Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

174

6.4 Auswirkung der Koeffizientenquantisierung Beispiel: 16 bit Quant. (Festkomma, fD =20 kHz, N = 10) 10 0

20 log10 |G (f )| dB

−10 −20 −30

ideal Direktform 1, f =96 kHz s

−40 −50 −60 −70 −80 −90

−100 10

20

40

f in kHz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

175

6.4 Auswirkung der Koeffizientenquantisierung Beispiel: 16 bit Quant. (Festkomma, fD =20 kHz, N = 10) 10 0

20 log10 |G (f )| dB

−10 −20 −30 −40 −50 −60 −70 −80

ideal Direktform 1, f =192 kHz s

Kaskade, fs=192 kHz

−90 −100 10

20

40

f in kHz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

176

6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens Beispiel: 3 Bit Quantisierung Festkommadarstellung mit Matlab 1 0.8

Ausgangsamplitude Q(x)

0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4

RoundMode: nearest RoundMode: ceil

−0.6

RoundMode: floor

−0.8 −1

−1

−0.5

0 0.5 Eingangsamplitude x

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

1

Analoge und digitale Filter

177

6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens Lineares Ersatzmodell eines Quantisierers • hier: Runden zum n¨achsten Nachbarn x[n]

Q(x[n])

bei einem (B+1) Bit Quantisierer gilt fu ¨r die Quantisierungsstufenbreite: ∆ = Xmax /2B

e[n]

Φee (f )

fe (x) 1/∆

∆2 /(12 · fp )

∆2 /12 −∆ 2

∆ 2

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

x

f

− 2p Analoge und digitale Filter

fp 2

f 178

6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens IIR-Struktur der direkten Form 1 (Bsp. mit N = 2) x1 [n] Q B1

yˆ[n]

α2

xˆ1 [n]

QB

z −1 α1

−β 1

z −1 α0

−β 0

z −1 z −1

Annahmen: (B+1) Bit Schieberegister (2B+1) Bit Addierer (also keine Rundung nach der Multiplikation der (B+1) Bit Festkommazahlen) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

179

6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens IIR-Struktur der direkten Form 1: Lineares Ersatzschaltbild e1 [n] x1 [n]

xˆ1 [n]

e2 [n] yˆ[n]

α2 z −1 α1 z −1 α0

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

−β 1 −β 0

Analoge und digitale Filter

z −1

z −1

180

6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens IIR-Struktur der direkten Form 1: Rauschvarianz σ12 von yˆ[n] infolge der Rauschquelle e1 [n]: Z fp /2 ∞ ∆2B1 X ∆2B1 1 2 2 g 2 [n], · · · |G (f )| df = σ1 = 12 fp −fp /2 12 n=0

Rauschvarianz σ22 von yˆ [n] infolge der Rauschquelle e2 [n], also infolge des internen Rundens: Z fp /2 ∞ ∆2B X 2 ∆2B 1 2 2 gR [n], · · · |GR (f )| df = σ2 = 12 fp −fp /2 12 n=0

¨ wobei GR (z) die Ubertragungsfunktion des Ru ¨ckkoppelzweigs ist: zN GR (z) = PN mit βN = 1 ν β z ν=0 ν

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

181

6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens IIR-Struktur der direkten Form 1: wird hingegen nach jeder Multiplikation gerundet, werden also (B + 1) Bit Addierer verwendet, dann k¨ onnen insgesamt (M + 1 + N) Rauschquellen (Anzahl der Multiplizierer) zur Rauschquelle e2 [n] zusammengefasst werden fu ¨r die Rauschvarianz σ22 von yˆ [n] infolge des internen Rundens gilt dann ∆2B 1 2 σ2 = (M + 1 + N) · · · 12 fp

Z

fp /2

−fp /2

|GR (f )|2 df

bei der Kaskadierung von Filtern muss beru ¨cksichtigt werden, dass jedes ausgangsseitige Rauschen durch die nachfolgenden Stufen gefiltert wird Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

182

6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens Rauschvarianz durch Rundung innerhalb der Schaltung • hier: Filter 2. Ordnung mit (2B+1) Bit Addierern Hinweis: dargestellt wird σ22 · 12/∆2B IIR−Filter 2. Ordnung: Rauschbeitrag durch e [n] 2

2

normierte Rauschvarianz am Ausgang

10

1

10

analytische Schaetzung Simulation

0

10

0

5

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

10 15 quality factor Q Analoge und digitale Filter

20 183

6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens Grenzzyklus als Folge von Rundung • hier: Filter 2. Ordnung, 16 Bit Quantisierung Antwort auf einen Rechteckimpuls

−4

1

1

x 10

Antwort auf einen Rechteckimpuls

0.8 0.8 0.6 0.6

0.4 0.2 y[n]

y[n]

0.4 0.2

0 −0.2 −0.4

0

−0.6 −0.2 −0.8 −0.4 0

20

40

60 n

80

100

120

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

−1 200

250

300

350

n

Analoge und digitale Filter

184

Kapitel 7

Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

185

7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode H¨ aufig verwendete Fensterfunktionen M=48 1

w[n]

0.8

0.6 Rechteck

0.4

Barlett Hann Hamming

0.2

Blackman 0

0

10

20

30

40

50

n

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

186

7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode H¨ aufig verwendete Fensterfunktionen (Spektrum) Rechteck−Fenster, M=48 0

20 · log10 (W (f )/W (0)) dB

−10 −20 −30 −40 −50 −60 −70 −80 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

f /fp

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

187

7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode H¨ aufig verwendete Fensterfunktionen (Fouriertransformierte) Bartlett−Fenster, M=48 0

20 · log10 (W (f )/W (0)) dB

−10 −20 −30 −40 −50 −60 −70 −80 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

f /fp

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

188

7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode H¨ aufig verwendete Fensterfunktionen (Fouriertransformierte) Hann−Fenster, M=48 0

10

20⋅ log ( W(f)/ W(0) ) dB

−10 −20 −30 −40 −50 −60 −70 −80 0

0.1

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

0.2

f/fp

0.3

0.4

0.5

Analoge und digitale Filter

189

7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode H¨ aufig verwendete Fensterfunktionen (Fouriertransformierte) Hamming−Fenster, M=48 0

10

20⋅ log ( W(f)/ W(0) ) dB

−10 −20 −30 −40 −50 −60 −70 −80 0

0.1

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

0.2

f/fp

0.3

0.4

Analoge und digitale Filter

0.5

190

7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode H¨ aufig verwendete Fensterfunktionen (Fouriertransformierte) Blackman−Fenster, M=48 0

10

20⋅ log ( W(f)/ W(0) ) dB

−10 −20 −30 −40 −50 −60 −70 −80 0

0.1

0.2

f/f

0.3

0.4

0.5

p

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

191

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Amplitudengang bei verallgemeinerter linearer Phase (1) Fensterfunktion: w [n], n = 0, 1, . . . , M vorausgesetzte Symmetrie: w [n] = w [M − n] damit gilt fu ¨r das Spektrum: W (f ) = Wg (f ) · e−j2πft0 M/2 Wg (f ) ist eine gerade (Index ’g’) reelle Funktion der Phasenterm korrespondiert mit der Zeitverschiebung M2 · t0

Symmetrie der zu approximierenden Impulsantwort: Fall (a): g˜i [n] = g˜i [M − n] Fall (b): g˜i [n] = −˜ gi [M − n]

¨ Symmetrie der zu approximierenden Ubertragungsfunktion: ˜i (f ) = Gi,g (f ) · e−j2πft0 M/2 Fall (a): G

Gi,g (f ) ist eine gerade reelle Funktion

˜i (f ) = jGi,u (f ) · e−j2πft0 M/2 Fall (b): G

Gi,u (f ) ist eine ungerade reelle Funktion

˜i (f ) besitzt eine konstante Gruppenlaufzeit ⇒ G Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

192

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Amplitudengang bei verallgemeinerter linearer Phase (2) Gesamtu ¨bertragungsfunktion: fp /2 Z a ˜i (f ) = 1 G (f ) = W (f ) ∗ G Wg (ν)·Gi (f −ν) dν · e−j2πft0 M/2 , fp −fp /2

wobei Gi (f ) = Gi,g (f ) bzw. Gi (f ) = jGi,u(f ) das Verhalten der Gesamtu ¨bertragungsfunktion G (f ) in der ¨ Umgebung einer Sprungsstelle (hier: Ubergang vom Durchlass in den Sperrbereich) kann damit mit Hilfe des laufenden Zf Integrals 1 G (f ) ≈ 1 − Wg (ν) dν fp −fp /2

untersucht werden (Sprungstelle bei f = 0, siehe Grafiken) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

193

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode ¨ zum Verhalten der Ubertragungsfunktion an Sprungstellen

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

194

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode ¨ Verhalten der Ubertragungsfunktion an Sprungstellen Rechteck−Fenster, M=48 0

δ

−10

dB

≈ −21 dB

20⋅ log

10

|G(f)| dB

−20 −30 −40 −50 −60 −70 −80

−0.1

−0.05

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

0 f/fp

0.05

0.1

Analoge und digitale Filter

195

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode ¨ Verhalten der Ubertragungsfunktion an Sprungstellen Bartlett−Fenster, M=48 0 −10

20⋅ log

10

|G(f)| dB

−20 −30 −40 −50 −60 −70 −80

−0.1

−0.05

0 f/f

0.05

0.1

p

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

196

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode ¨ Verhalten der Ubertragungsfunktion an Sprungstellen Hann−Fenster, M=48 0 −10 −20

δ

−30

dB

≈ −44 dB

Gg(f)

−40 −50 −60 −70 −80 −90 −100

−0.1

−0.05

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

0 f/fp

0.05

0.1

Analoge und digitale Filter

197

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode ¨ Verhalten der Ubertragungsfunktion an Sprungstellen Hamming−Fenster, M=48 0 −10 −20 −30

δdB ≈ −54 dB

Gg(f)

−40 −50 −60 −70 −80 −90 −100

−0.1

−0.05

0 f/f

0.05

0.1

p

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

198

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode ¨ Verhalten der Ubertragungsfunktion an Sprungstellen Blackman−Fenster, M=48 0 −10

20⋅ log10 |G(f)| dB

−20 −30 −40 −50

δ

dB

−60

≈ −75 dB

−70 −80 −90 −100

−0.1

−0.05

0 f/f

0.05

0.1

p

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

199

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Zusammenfassender Vergleich (1) Rechteck-Fenster:



1, 0 ≤ n ≤ M, 0, sonst D¨ampfung Nebenkeule: ≈ 13 dB relative Breite der Hauptkeule: BHK fp ≈ 2/M Approximationsfehler (Sprung): δdB ≈ −21 dB ¨ relative Ubergangsbreite (Sprung): ∆f fp ≈ 0.9/M Fensterfunktion: w [n] =

Bartlett-Fenster:

Fensterfunktion:  0 ≤ n ≤ M/2, M gerade  2n/M, 2 − 2n/M, M/2 < n ≤ M, w [n] =  0, sonst D¨ampfung Nebenkeule: ≈ 26.5 dB relative Breite der Hauptkeule: BHK fp ≈ 4/M Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

200

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Zusammenfassender Vergleich (2) Hann-Fenster: Fensterfunktion:  0.5 − 0.5 · cos(2πn/M), 0 ≤ n ≤ M, w [n] = 0, sonst D¨ampfung Nebenkeule: ≈ 31.5 dB relative Breite der Hauptkeule: BHK fp ≈ 4/M Approximationsfehler (Sprung): δdB ≈ −44 dB ¨ relative Ubergangsbreite (Sprung): ∆f fp ≈ 3/M

Hamming-Fenster:

Fensterfunktion:  0.54 − 0.46 · cos(2πn/M), 0 ≤ n ≤ M, w [n] = 0, sonst D¨ampfung Nebenkeule: ≈ 42.5 dB relative Breite der Hauptkeule: BHK fp ≈ 4/M Approximationsfehler (Sprung): δdB ≈ −54 dB ¨ relative Ubergangsbreite (Sprung): ∆f fp ≈ 3.3/M Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

201

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Zusammenfassender Vergleich (3) Blackman-Fenster: Fensterfunktion: w [n] =  0.42 − 0.5 · cos(2πn/M) + 0.08 · cos(4πn/M), 0, sonst D¨ampfung Nebenkeule: ≈ 58 dB relative Breite der Hauptkeule: BHK fp ≈ 6/M Approximationsfehler (Sprung): δdB ≈ −75 dB ¨ relative Ubergangsbreite (Sprung): ∆f fp ≈ 5.5/M

0 ≤ n ≤ M,

⇒ bei Standardapproximationen (Tiefpass, Hochpass, etc.) richtet sich die Wahl des Fensters nach dem zul¨assigen Approximationsfehler ⇒ ein parametrisches Fenster, bei dem der Approximationsfehler einstellbar ist, w¨ are vorteilhaft Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

202

7.3 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Typen linearphasiger FIR-Filter: Typ 1: fu ¨r die Impulsantwort gilt: g [n] = g [M − n] M ist eine gerade ganze Zahl M fu ¨r G (f ) gilt damit G (f ) = Gg (f ) · e−j2πf 2 t0 , wobei



 M/2  X  M M Gg (f ) = g + 2g n + cos(2πfnt0 ) 2 2 n=1

3 1 2.5 0.8 2

g

g[n]

G (f)

0.6 1.5

0.4 1 0.2 0.5 0 0 −0.2

0

2

4

6

−1

n

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

0 f⋅t0

1

Analoge und digitale Filter

203

7.3 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Typen linearphasiger FIR-Filter: Typ 2: fu ¨r die Impulsantwort gilt: g [n] = g [M − n] M ist eine ungerade ganze Zahl M fu ¨r G (f ) gilt damit G (f ) = Gg (f ) · e−j2πf 2 t0 , wobei (M+1)/2

Gg (f ) =

X n=1



   M −1 2n − 1 2g n + cos 2πf t0 2 2 4 3

1

2

0.8

1 g

g[n]

G (f)

0.6 0

0.4 −1 0.2

−2

0 −0.2

−3

0

2

4 n

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

6

8

−4 −1

0 f⋅t0

1

Analoge und digitale Filter

204

7.3 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Typen linearphasiger FIR-Filter: Typ 3: fu ¨r die Impulsantwort gilt: g [n] = −g [M − n] M ist eine gerade ganze Zahl M fu ¨r G (f ) gilt damit G (f ) = jGu (f ) · e−j2πf 2 t0 , wobei M/2

Gu (f ) = −

X n=1

  M 2g n + sin(2πfnt0 ) 2 2

1 1.5 0.8 0.6

1

0.4 0.5 Gu(f)

g[n]

0.2 0

0

−0.2 −0.5 −0.4 −0.6

−1

−0.8 −1.5 −1 0

2

4

−2 −1

6

n

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

0 f⋅t0

1

Analoge und digitale Filter

205

7.3 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Typen linearphasiger FIR-Filter: Typ 4: fu ¨r die Impulsantwort gilt: g [n] = −g [M − n] M ist eine ungerade ganze Zahl M fu ¨r G (f ) gilt damit G (f ) = jGu (f ) · e−j2πf 2 t0 , wobei (M+1)/2

Gu (f ) = −

X n=1



   M −1 2n − 1 2g n + t0 sin 2πf 2 2 2.5

1

2

0.8

1.5

0.6 1

0.4

0.5 Gu(f)

g[n]

0.2 0 −0.2

0 −0.5

−0.4

−1

−0.6 −1.5

−0.8

−2

−1 0

2

4 n

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

6

8

−2.5 −1

0 f⋅t0

1

Analoge und digitale Filter

206

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Fensterverlauf als Funktion von β Kaiser−Fenster, M=48 1

0.8

w[n]

0.6

0.4

β=0 β=3 β=6

0.2

β=9 0 0

10

20

30

40

n Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

207

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Fouriertransformierte als Funktion von β Kaiser−Fenster, M=48 0 β=0

−10 20⋅ log10( W(f)/ W(0) ) dB

β=3 β=6

−20

β=9

−30 −40 −50 −60 −70 −80 0

0.05

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

0.1

f/fp

0.15

Analoge und digitale Filter

0.2

0.25

208

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Verhalten an spektraler Sprungstelle Kaiser−Fenster, M=48 0 −10

20⋅ log

10

|G(f)| dB

−20 −30 β=0

−40

β=3

−50

β=6

−60

β=9

−70 −80 −90 −100

−0.1

−0.05

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

0 f/fp

0.05

0.1

Analoge und digitale Filter

209

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode ¨ Kaiserfenster: Approx.-fehler und Breite Ubergangsbereich

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

210

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode

¨ Kaiserfenster: Approx.-fehler und Breite Ubergangsbereich Parameter β in Abh¨angigkeit des Approximationsfehlers: a0 = −20 log10 (δ) dB

β = a0 > 50  0.1102(a0 − 8.7) 0.4 0.5842(a0 − 21) + 0.07886(a0 − 21) 21 ≤ a0 ≤ 50  0 a0 < 21

notwendige Fensterbreite (M + 1) in Abh¨angigkeit von β und ¨ der spektralen Breite ∆f˜ des Ubergangsbereichs: M +1=

l

a0 −8 2.285·2π·∆˜ f

m

,

wobei ∆f˜ eine mit fp normierte Breite ist

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

211

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Tiefpass-Filters (1) Zielparameter: konstante Gruppenlaufzeit Minimald¨ampfung im Sperrbereich: amin = 60 dB Eckfrequenz Durchlassbereich: f˜D = fD /fp = 0.2 Eckfrequenz Sperrbereich: f˜S = fS /fp = 0.3

abgeleitete Entwurfsparameter: Grenzfrequenz fc des zu approximierenden idealen Tiefpass-Filters: f˜c = 0.25 (folgt aus der Symmetrie der Filterflanke, siehe Seite 211) ¨ Breite Ubergangsbereich: ∆f˜ = 0.1 (Approximationsfehler von 0.001 im Durchlassbereich wird erkauft) β = 0.1102(a0 − 8.7) = 5.653 Filterordnung: ⌈(a0 − 8)/(2.285 · 2π · 0.1)⌉ − 1 = 36 Impulsantwort: g [n] = 2f˜c si(π2f˜c (n − M/2)) · w [n], 0 ≤ n ≤ 36 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

212

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Tiefpass-Filters (2) M=36, β=5.653, fD=0.2, fS=0.3, fc=0.25, amin=a0=60 dB 0 −10

−30

10

20⋅ log ( G(f) ) dB

−20

−40 −50 −60 −70 −80 0

0.1

0.2

f⋅t

0.3

0.4

0.5

0

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Analoge und digitale Filter

213

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Tiefpass-Filters (3) −3

Approximationsfehler ggb. idealem TP

1

x 10

0.5

0

−0.5

−1

−1.5 0

0.1

0.2

f⋅t

0.3

0.4

0.5

0

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Analoge und digitale Filter

214

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Hochpass-Filters (1) Zielparameter: konstante Gruppenlaufzeit Minimald¨ampfung im Sperrbereich: amin = 60 dB Eckfrequenz Durchlassbereich: f˜D = fD /fp = 0.3 Eckfrequenz Sperrbereich: f˜S = fS /fp = 0.2

abgeleitete Entwurfsparameter: fu ¨r die Impulsantwort des Hochpassfilters gilt:   ˜ ˜ g [n] = si(π(n − M/2)) − 2fc si(π2fc (n − M/2)) · w [n], 0 ≤ n ≤ M,

wobei der Subtrahend mit der Impulsantwort des ¨aquivalenten Tiefpass-Filters korrespondiert fu ¨r ein gerades M “entartet” si(π(n − M/2) zu δ(n − M/2)

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215

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Hochpass-Filters (2) abgeleitete Entwurfsparameter (Fortsetzung): fu ¨r den ¨aquivalenten Tiefpass ergeben sich die Parameter aus dem vorherigen Beispiel, also β = 5.653 und M = 36; allerdings wird der zul¨assige Approximationsfehler bei diesen Parametern im Sperrbereich u ¨berschritten; dieser Effekt ist auch aus der Abb. auf Seite 215 ersichtlich eine Erho¨hung von β = 5.653 auf β = 5.8 sichert die geforderte Approximationsgu ¨te (Minimald¨ampfung) im Sperrbereich, allerdings muss auch M erh¨oht werden bei M = 37 (ungerade Zahl) handelt es sich um ein FIR-Filter vom Typ 2, das immer eine Nullstelle bei z = −1 aufweist; dieser Sachverhalt ist fu ¨r die Approximationsgu ¨te im Durchlassbereich eines Hochpass-Filters ungu ¨nstig (unendliche D¨ampfung bei f = fp /2) eine Erh¨ohung auf M = 38 (FIR-Filter Typ 1) bringt die gewu ¨nschte Approximationsgu ¨te Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

Analoge und digitale Filter

216

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Hochpass-Filters (3) 0 −10 −20 −30 M=37, β=5.652

−40

M=38, β=5.8

−50 −60 −70 −80 0

0.1

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik

0.2

0.3

0.4

Analoge und digitale Filter

0.5

217