• Differenzieren – Idee – Regeln zum Rechnen – Anwendung
• Integrieren – Siehe „Differenzieren“
Basiswissen - Funktionen • Abbildung von einer Menge X in eine Menge Y – Alle müssen abgebildet werden – Ein x darf nicht auf mehrere y abgebildet werden
• Funktionen können einen oder mehrere „Eingabewerte“ haben – Funktionen in mehreren Veränderlichen
• Bei ökonomischen Funktionen müssen die Einheiten beachtet werden!
Arten von Funktionen • Konstante Funktionen – Funktion bildet nur auf einen Wert ab – Der Graph ist eine waagrechte Gerade
• Reziprokfunktion – Umkehrfunktion von sich selbst – Zwei Hyperbeln im positiven Bereich
• Betragsfunktion – Gibt den Wert einer Zahl zurück, und ignoriert das Vorzeichen
• Potenzfunktion – Gibt Potenzen von x zurück
• Polynomfunktion – Summe von Potenzfunktionen
Arten von Funktion (2) • Exponentialfunktion – Basis wird vorgegeben – Diese Basis wird mit x potenziert
• Logarithmusfunktion – Umkehrfunktion von Exponentialfunktionen – Natürlicher Logarithmus: Basis e (eulersche Zahl)
Arten von Funktion (3) • Bisher nur betrachtet: – Funktionen in einer Veränderlichen – Dazugehörige Eigenschaften
• Funktion kann auch mehrere Eingabewerte haben, z.B. BMI benötigt Größe und Körpergewicht als Eingabe • Kann man im Rahmen der Funktionsuntersuchung genauso behandeln wie „normale“ Funktionen • Nur die Differenzierung & Integration ist etwas anders
Funktionsuntersuchung • Injektivität, Surjektivität, Bijektivität – Nicht zwei x werden auf ein y abgebildet (Injektivität) – Alle y werden „getroffen“ (Surjektivität) – Injektivität +Surjektivität= Bijektivität
• Umkehrfunktion – Funktion bijektiv, dann existiert Umkehrfunktion – Macht Funktion rückgängig, sodass wieder Ursprungswert entsteht – Tausche x und y, löse nach y auf.
Funktionsuntersuchung (2) • Monotonie – Schwankt die Funktion viel? Oder „hält sie ihr Level“? – Steigend: einmal erreichter Wert wird nicht mehr unterschritten – Sinkend: einmal erreichter Wert wird nicht mehr überschritten
• Beschränktheit – Gibt es eine Schranke für die Funktionswerte ? • Nach unten • Nach oben
• Stetigkeit – „Funktion malen, ohne den Stift abzusetzen“
• Differenzierbarkeit – „Funktion hat keinen Knick“
Funktionsuntersuchung (4) • Nullstellen – Funktionsvorschrift mit 0 gleichsetzen, nach x auflösen – Funktion ersten Gerades – Funktion zweiten Gerades • pq-Formel • Diskriminanten Formel/abc Formel
– Funktionen höheren Gerades • Eine Nullstelle „raten“, dann Polynomdivision
– (gebrochen rationale Funktionen) • Nullstelle im Zähler, aber nicht im Nenner
Funktionsuntersuchung (5) • Sinnvolle Funktionsuntersuchung erfordert Wissen über Extremstellen und Wendepunkte • Dafür neues Konzept benötigt • Schon aus der Schule bekannt • Differenzierung - Ableiten
Differenzierung • Bestimmt die Steigung an jedem Punkt der Funktion • Aber: Wie macht man das? • Beispiel: Geschwindigkeit beim Autofahren – 1 Stunde für 100 km gebraucht – durchschnittlich 100km/h – Aber vielleicht davon 30 min für 30 km und 30min für 70km? Dann 60km/h im ersten Abschnitt und 140 km/h im zweiten – wichtige Information!
Differenzierung (2) • Idee: Verkleinerung der betrachteten Intervalle • Grenzwert bilden • Erhält „Steigung in jedem Punkt“ • Können daraus allgemeine Regeln ableiten
Differenzierung(3) • Grundsätzliche Ableitung für verschiedene Funktionentypen – – – –
• Wichtige Ableitungen stehen auch hinten im Buch!
Differenzierung (4) • Zusätzliche Regeln für zusammengesetzte Funktionen – Konstanter Faktor Regel – Summenregel – Produktregel – Quotientenregel – Kettenregel
Extremstellen • Wichtig zu wissen, wo Maxima oder Minima auftreten (Pegelstände z.B.) • Wendepunkte (wann schlägt die Steigung um?) • Folgende Folie stellt Algorithmus vor
Algorithmus Extremstellen • • • •
Berechne erste Ableitung. Berechne Nullstelle. Berechne zweite Ableitung. Setze Nullstelle in zweite Ableitung ein. – Wert größer 0 -> Minimum – Wert kleiner 0 -> Maximum – Wert gleich 0-> Wende- oder Sattelpunkt
• Setze Nullstelle in Funktion ein, um y- Wert zu erhalten.
Algorithmus Wendepunkte/Sattelpunkte • • • •
Bestimme die erste und zweite Ableitung. Bestimme Nullstelle der zweiten Ableitung. Bestimme die dritte Ableitung Setze Nullstelle der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung ein. – Wert ungleich 0 -> Wendepunkt – Wert gleich 0 -> Sattelpunkt
• Setze Nullstelle der zweiten Ableitung in Funktion ein, Wert entspricht der y-Koordinate • Kommt GANZ selten vor!
Weitere Anwendungen • Elastizität – Maß für Veränderung der Funktionswerte bei Änderung von x – Zwei Varianten • Elastizität • Punktelastizität
– nun gegebene Werte einsetzen und Maß interpretieren:
Differenzierung für Funktionen in mehreren Veränderlichen • Erinnerung: Funktionen in mehreren Veränderlichen haben mehrere Eingabewerte • Daher: Differenzierung in Bezug auf jeden einzelnen Eingabewert möglich • Unterscheidung – Partielle Differenzierung • Differenzierung nach jedem Parameter
– Totales Differenzial • Differenzierung der „gesamten“ Funktion
Wähle eine Eingabevariable Interpretiere diese als die einzige Eingabevariable Differenziere nach bekannten Regeln. Wiederhole, bis jede Eingabevariable einmal die „einzige“ war
• Partielle Ableitung zweiter Ordnung – Für jede Ableitung erster Ordnung Algorithmus nochmal durchführen. – Kommt praktisch nicht vor.
Integration • „Umkehrfunktion“ der Differenzierung • Berechnet die Fläche unter der Kurve • Sinnvoll: – Einprägen einiger grundlegender Integrale – Einüben der Integrationsregeln
• Wichtig: – Ganz oft Üben! Ableiten ist ein Handwerk, Integrieren eine Kunst!
Bestimmte Integrale • Stammfunktion allein nicht immer von Interesse • Fläche unter der Kurve in bestimmtem Intervall • Dafür Beschränkung des Integrals • Berechnung:
