Mathematik | Klasse 8 | Recker | Gleichungen und Ungleichungen

Teil 1 – Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen Eine mathematische Gleichung ist eine logische Aussage über die Gleichheit von Termen. Das, was links vom Gleichheitszeichen (=) steht, hat den gleichen Wert wie das, was rechts steht. Eine Gleichung kann entweder wahr (5 = 5) oder falsch (1 = 2 ↯ ) sein. Wenn wir im Unterricht von Gleichungen sprechen, dann enthalten sie in der Regel Unbekannte (z.B. 𝑥 oder 𝑦). Streng genommen spricht man dann nicht von Gleichungen, sondern von Aussageformen, da erst durch konkrete Werte bestimmt wird, ob die Gleichung wahr oder falsch ist. 5

Bsp.: 4𝑥 = 5 ist dann und nur dann wahr, wenn 𝑥 = 4 ist. Je nach dem, was wir einsetzen, ist die 5

Gleichung wahr oder falsch: Setzen wir 𝑥 = 4 ein, ist sie wahr, ansonsten falsch.

Warum beschäftigen wir uns mit Gleichungen? Wir sind stets daran interessiert, alle möglichen Zahlen 𝑥, für die die Gleichung erfüllt ist, zu finden. Das heißt: Erst durch Ermitteln derjenigen Zahl(en) 𝑥, für die die Gleichung erfüllt ist, machen wir den Ausdruck zu einer Gleichung.

Was macht eine lineare Gleichung aus bzw. woran erkenne ich sie? Lineare Gleichungen sind dadurch charakterisiert, dass sie in der maximal vereinfachten Form Terme zweier unterschiedlicher Ordnungen enthalten: • •

Terme 0. Ordnung, die wir Konstanten nennen (Jede Zahl 𝑎 lässt sich als Term 0. Ordnung darstellen, 𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑥 0 ) Terme 1. Ordnung, die wir lineare Terme (Unbekannte 𝑥 = 𝑥 1 ) nennen.

Dabei können Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von Termen auftreten. Wir betrachten momentan Gleichungen mit genau einer Unbekannten, etwa 𝑥 oder 𝑦. Eine Gleichung mit einer Unbekannten ist immer lösbar (Achtung: Das heißt nicht, dass die Lösungsmenge nicht leer sein kann, sondern meint, dass wir durch Umformungen stets eine eindeutige Aussage über die Lösungsmenge treffen können!)

Was war das nochmal…? Summen → „Plusrechnen“ Differenzen → „Minusrechnen“ Produkte → „Malrechnen“ Quotienten → „Geteilt-durch-Rechnen

Sind quadratische oder höhere Ordnungen enthalten, die sich nicht eliminieren („wegrechnen“) lassen, so sprechen wir nicht von linearen Gleichungen.

Wie löse ich eine lineare Gleichung? Wenn wir eine lineare Gleichung lösen wollen, müssen wir die linearen Terme zusammenfassen und sie von den konstanten Termen (den Zahlen) trennen. Kurz gesagt: Alle "𝑥" auf die eine, alle Zahlen auf die andere Seite. Wir beschäftigen uns mit Gleichungen, weil wir an dem Wert (oder den Werten) der Variable interessiert sind, für den (oder die) die Gleichung erfüllt ist. Ziel ist es also immer, in der letzten Zeile von Umformungen folgendes stehen zu haben: 1

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…Umformungen… ⇔ 𝑥 = ⋯ Das, was rechts vom Gleichheitszeichen steht, gibt uns den Wert (oder die Werte) für 𝑥 an, für den (oder die) die Gleichung erfüllt ist. Achtung: Sei achtsam beim Zusammenfassen von Termen und Umformen der Gleichung. Zahlen darfst du nicht mit den Variablen verrechnen. FALSCH ist z.B. 3𝑥 = 2𝑥 − 12 ⇔ 15𝑥 = 2𝑥 (Hier wurde die Zahl 12 mit dem 𝑥 −wertigen Term auf der linken Seite verrechnet.)

Wie viele Lösungen kann eine lineare Gleichung haben? Eine lineare Gleichung hat grundsätzlich ENTWEDER o o o

genau eine Lösung keine Lösung beliebig viele Lösungen

Bsp.: 𝑥 + 7 = 12 Bsp.: 2𝑥 + 5 = 2𝑥 + 7 Bsp.: 2𝑥 + 3 = 2(𝑥 + 2) − 1

ODER ODER

Äquivalenzumformungen Wenn ich an einer Gleichung elementare Rechenoperationen durchführe, also addiere, subtrahiere, multipliziere oder dividiere, dann spreche ich von Äquivalenzumformungen (Zusammensetzung aus den lateinischen Wörtern „aequus“ → gleich und „valere“ → bedeuten). Äquivalenzumformungen verändern den Wert der Gleichung nicht. Die Gleichung nach der Umformung ist also gleichbedeutend (äquivalent) mit der Gleichung vor der Umformung, auch wenn vorher und nachher nicht exakt dasselbe dasteht. Merke: •

•

Wenn ich Äquivalenzumformungen an einer Gleichung vornehme, dann muss ich dies auf beiden Seiten der Gleichung tun. Ziehe ich links eine Zahl ab, so muss ich dies unbedingt auch rechts tun. Ansonsten verändere ich den Wert der Gleichung! Ich stelle jede Äquivalenzumformung durch einen Doppelpfeil (⇔) dar. Damit verbinde ich die gleichwertigen Gleichungen miteinander.

Lösungsmenge Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung enthält die Zahlen (mengentheoretisch: Elemente), die ich für 𝑥 einsetzen darf (muss), damit die Gleichung erfüllt ist. Da eine lineare Gleichung genau eine oder keine oder beliebig viele Lösungen haben kann, folgt für die Lösungsmenge 𝐿: • •

genau eine Lösung: 𝐿 = { Zahl, die die Gleichung löst}, bspw. 𝐿 = {5} → Es gilt dann für die Mächtigkeit der Lösungsmenge: |𝐿| = 1. keine Lösung: 𝐿 = { } = Φ. Hat die Gleichung keine Lösung, ist die Lösungsmenge leer (leere Menge). 2

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•

Beliebig viele Lösungen: Hat die Gleichung beliebig viele Lösungen, dann ist auch die Lösungsmenge beliebig groß (sie enthält ja alle möglichen Zahlen, die die Gleichung lösen, und das sind unendlich viele). Die Lösungsmenge ist dann eine Teilmenge der rationalen Zahlen ℚ, wenn ℚ die zugrunde gelegte Zahlenmenge ist.

Beispiele

Aufgabe 1 Bestimme die Lösungsmenge 𝐿 durch explizites Lösen der Gleichung. Gib auch die Mächtigkeit von 𝐿 an: 𝑥 + 7 = 12

Arbeitsanweisung: • Was ist die Aufgabe, das Problem? • Was muss ich tun? Nicht mehr, nicht weniger!

Was war nochmal die grundsätzliche Frage? … Wir wollen die Zahl(en) 𝑥 finden, für die die Gleichung erfüllt ist. Deshalb müssen wir die Gleichung nach 𝑥 umformen. Für dieses einfache Beispiel kann man die gesuchte Zahl natürlich schon direkt ablesen, aber wir wollen sie einmal mathematisch korrekt berechnen. Man erhält bereits nach einer Umformung: 𝑥 + 7 = 12 | − 7 ⇔𝑥=5

Äquivalenzumformung!

Diese Gleichung hat offenbar genau eine Lösung. Für die Lösungsmenge gilt dann 𝐿 = {5} und für die Mächtigkeit |𝐿| = 1.

Aufgabe 2 Bestimme die Lösungsmenge 𝐿 durch explizites Lösen der Gleichung. Gib auch die Mächtigkeit von 𝐿 an:

8 − 3𝑥 = −1

Arbeitsanweisung: • Was ist die Aufgabe, das Problem? • Was muss ich tun? Nicht mehr, nicht weniger! Nun ist die Gleichung ein wenig schwieriger – schwieriger in dem Sinn, dass sie einen weiteren Term auf der linken Seite hat. Links vom Gleichheitszeichen stehen zwei Terme unterschiedlicher Qualität, eine Konstante (die 8) und ein linearer Term (−3𝑥). Rechts steht eine Konstante (−1). Wir haben gelernt, dass wir die Terme unterschiedlicher Ordnung trennen müssen, also alle 𝑥 −wertigen Terme auf die eine, alle Zahlen auf die andere Seite! 8 − 3𝑥 = −1 | + 3𝑥 ⇔ 8 = 3𝑥 − 1 | + 1 ⇔ 9 = 3𝑥 ⇔𝑥=3

Die Frage ist immer: Was ist ein x?

Für die Lösungsmenge gilt 𝐿 = {3} und für ihre Mächtigkeit |𝐿| = 1. Alle denkbaren Aufgaben dieser Art lassen sich prinzipiell auf ähnliche Weise lösen. Die Terme sehen unter Umständen ein wenig komplizierter aus und man muss die bekannten Rechengesetze anwenden, z.B. die Binomischen Formeln. Deshalb ist es wichtig, die Standard-Rechenregeln sehr gut zu beherrschen.

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Ungleichungen Bei einer Ungleichung stimmt der Wert links vom Gleichheitszeichen nicht mit dem Wert rechts überein, er ist entweder größer oder kleiner bzw. größer gleich oder kleiner gleich (zu dieser Unterscheidung später mehr). Dies hat Auswirkungen auf die Lösungsmenge. Betrachte die folgende Ungleichung: 4𝑥 + 3 < 5 Dieser Ausdruck sagt, dass links jeder Zahlenwert 𝑥 möglich ist, solange er nicht größer oder gleich 5 ist. Es sollte nicht verwundern, dass es hier nicht nur eine einzige Lösung gibt. Wie wir noch sehen werden, gibt es beliebig viele Lösungen. Erinnern wir uns: Wir dürfen (und sollten) die Ungleichung nach 𝑥 umformen, um die Lösungsmenge der Ungleichung zu bestimmen. Wie auch bei den Gleichungen führt jede elementare Rechenoperation zu einer Äquivalenzumformung. 4𝑥 + 3 < 5 ⇔ 4𝑥 < 2 ⇔ 𝑥
6 Bsp.: 6 > 5

•

gibt es auch noch die Bedingungen • •

kleiner-gleich, formal: „≤“ größer-gleich, formal: “≥“

„Der kleinere Wert ist immer auf der Seite der Spitze, der größere auf der weit geöffneten Seite.“ Setze an die Spitze des Symbols einen senkrechten Strich. Wenn du dann ein „k“ für „kleiner“ erkennen kannst, liest du einfach den Ausdruck in Gedanken ab.

Die letzten beiden Bedingungen unterscheiden sich von den ersten beiden lediglich dadurch, dass sie die Gleichheit auch (aber eben nicht nur) zulassen. Formal wird dies durch den waagerechten Strich unter dem Symbol angedeutet. Wir können zum bspw. das Beispiel von S. 4 auch leicht verändern und die folgende Ungleichung betrachten: 4𝑥 + 3 ≤ 5 Wenn man die Ungleichung nach 𝑥 umformt, erhält man fast dasselbe Ergebnis wir zuvor auch, aber 1

die Lösungsmenge ist jetzt größer, nämlich um ein Element: 𝐿 = {𝑥 |𝑥 ≤ 2 }. Die Ungleichung ist auch 1

dann erfüllt, wenn 𝑥 = 2 ist. Streng genommen handelt es sich dann ja nicht mehr um eine 1

Ungleichung, sondern um eine Gleichung, aber da 𝑥 = 2 nicht die einzig mögliche Zahl ist und für alle anderen (unendlich vielen) Fälle die Gleichheit nicht gilt, nennen die den Ausdruck Ungleichung.

Was unterscheidet denn nun rechnerisch Ungleichungen von Gleichungen? Eine gute Nachricht vorab: Nicht viel! Rechnerisch funktioniert im Prinzip alles genauso wie bei den Gleichungen – fast alles. Eine wichtige Besonderheit gibt es nämlich:

Merkregel: Multipliziert oder dividiert man beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl, so tauschen sich "" bzw. "≤" und "≥" gegeneinander aus.

Wieso ist das so? Betrachte die (ahre) Ungleichung 4 < 5. Wenn du die Ungleichung nun mit −1 multiplizierst (nicht vergessen: elementare Rechenoperationen immer auf beiden Seiten der (Un)Gleichung), dann muss sich offensichtlich das „kleiner-als-Zeichen“ in ein „größer-als-Zeichen“ umkehren, denn −4 > −5 Das liegt daran, dass im Negativen, also für alle Zahlen kleiner als Null, der tatsächliche Wert mit zunehmendem Betrag (Zahl ohne Vorzeichen) abnimmt. Stell dir vor: Ein Mitschüler leiht dir eine Woche lang jeden Tag einen Euro für die Mensa, d.h. du machst jeden Tag einen Euro Schulden („negative“ Euros). Am ersten Tag hast du dann −1€, am zweiten Tag −2€, usw. Der Betrag (die Zahl ohne Vorzeichen) nimmt zwar zu, aber der eigentliche Wert, dein Guthaben, der wird immer kleiner. (Interessanterweise wird er bei deinem Mitschüler immer größer…) Wenn du die Regeln zum Lösen von Gleichungen verstanden und parat hast und du dir jetzt die obige Merkregel verinnerlichst, dann kann dir mit Ungleichungen nichts mehr passieren! 5

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Auf einen Blick

Gleichung =

(logisches) Symbol Mögliche Lösungen

genau eine

keine

beliebig viele (immer lösbar)

Lösungsmenge

𝐿 = {𝑥𝐿 }

𝐿={ }

𝐿=ℚ

(𝑥𝐿 sei die Lösung)

Ungleichung < 𝑜𝑑𝑒𝑟 > 𝑜𝑑𝑒𝑟 ≤ 𝑜𝑑𝑒𝑟 ≥ Lösungen sind Intervalle (Abschnitte): nach links beschränkt, nach rechts beschränkt, nach links und rechts beschränkt. 𝐿 = { 𝑥 | 𝑥 erfüllt Bedingung }

Weitere Hilfen • •

• •

Eine ausführliche Erklärung zur Frage: Was ist eine Gleichung? Findest du hier: http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Lineare_Gleichungen/Gleichungen_loesen.pdf Zahlreiche Übungsaufgaben zu linearen Gleichungen kannst du interaktiv hier lösen (Lösungen vorhanden): http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Lineare_Gleichungen/Aufgabensammlung.htm oder aber hier: http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_lin_gl_02/p0_lin_gl_02.htm Im Schroedel-Mathebuch findest du zahlreiche Aufgaben zu linearen Gleichungen auf den Seiten 27-31 Aufgaben zu linearen Ungleichungen kannst du hier lösen (Lösungen vorhanden): http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Lineare_Ungleichungen/Aufgabensammlung.htm

Teste dein Können 1. Wiederholung: Binomische Formeln a) Wie lauten die drei Binomischen Formeln? b) Wende die Binomischen Formeln an: (i) (2 + 𝑎)2 ,

(ii) (4𝑥 − 2)2 , (iii) 4𝑎2 − 9𝑏2

2. Lineare Gleichungen lösen und Lösungsmenge angeben Bestimme die Lösungsmenge 𝐿 durch explizites Lösen der Gleichung. Gib |𝐿| an. a) 2𝑥 = 14 b) 17 − 4𝑥 = 1 − 12𝑥 c) 3(𝑥 − 2) = 5(𝑥 − 4) d) (𝑥 − 5)2 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) 3𝑥+5 e) 2(𝑥 − 1) = 2 3. Äquivalenzumformungen a) Nenne die elementaren Rechenoperationen. b) Was bedeutet „Äquivalenzumformung“? Was bedeutet das bezüglich der Gleichung? c) Worauf muss ich achten, wenn ich an einer Gleichung eine Rechenoperation durchführe? d) Was schreibe ich an den Anfang einer jeden Zeile nach einer Rechenoperation und warum? Re / 13.11.17 6