Nr. 4

Probeklausur im Fach Technische Mechanik Universität Siegen; Department Maschinenbau Institut für Mechanik und Regelungstechnik - Mechatronik Prof. Dr.-Ing. C.-P. Fritzen

Probeklausur im Fach

TECHNISCHE MECHANIK A (STATIK) Nr. 4 Musterlösung

Matrikelnummer:

40 % der Punkte werden zum Bestehen benötigt

Vorname:

___________________________________

Nachname:

Ergebnis Klausur Aufgabe:

1

2

3

4

5

6

Summe

Punkte:

31

9

15

10

9

6

80

Davon erreicht

Gesamtergebnis Klausur

Testate

Summe

NOTE

Punkte:

Bearbeitungszeit: Hilfsmittel:

Hinweise:

120 Minuten -

Taschenrechner, programmierbar oder nicht programmierbar Vorlesungsmanuskript Statik - Technische Mechanik I eigene Vorlesungsmitschrift selbstgeschriebene, handschriftliche (nicht kopierte) Formelsammlung (2 DIN A4-Seiten, einseitig beschrieben).

In den Hilfsmitteln dürfen sich keine Lösungen von Übungs- oder Klausuraufgaben befinden. Beschriften Sie jedes Blatt mit Name und Matrikelnummer. Die Aufgaben sind nachvollziehbar zu lösen. Selbst eingeführte Variablen sind durch gegebene Größen zu definieren. Nur Ergebnisse in den dafür vorgesehenen Lösungsbereichen auf dem Aufgabenblatt werden bewertet und müssen in Abhängigkeit der gegebenen Größen bestimmt werden. Das Aufgabenblatt ist abzugeben. Diese Probeklausur wurde am 02.02.2012 als Prüfung gestellt.

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Name: ________________________________

Matrikel-Nr.:_______________

Aufgabe 1 (31 Punkte) Im unten dargestellten System (Bild 1) ist ein masseloser Balken durch die Seile I und II an einem senkrechten Stützpfeiler befestigt. Im Punkt K befinden sich Balken und Pfeiler im reibungsfreien Kontakt. Der Balken wird durch eine veränderliche Streckenlast beansprucht, die vom Balkenanfang (Punkt A) linear von Null auf den Maximalwert q0 bei Punkt B ansteigt und in die konstante Streckenlast q0 übergeht, die über die Länge 2a wirkt. a)

Berechnen Sie die Seilkräfte SI und SII sowie die Kontaktkraft K zwischen Balken und Pfeiler.

Für den Aufgabenteil b) sind SI, SII und K gegeben. Der Richtungssinn der Kräfte ergibt sich aus Bild 2. b) Ermitteln Sie die Schnittreaktionen im gesamten Balken zwischen den Punkten A und K. Verwenden Sie das gegebene Koordinatensystem. Gegeben: a, q0, nur im Aufgabenteil b) zusätzlich: SI, SII, K Lösung a) Freikörperbild(er):

y

SII x

z

SI q0

30° K

60° A

B

6a

2a

a

Lösung a) Gleichgewichtsbedingungen (selbst eingeführte Variablen sind durch gegebene Größen zu definieren):

ΣM A = 0 : ΣM B = 0 : ΣFx = 0 :

1 ⋅ q0 ⋅ 6a ⋅ 4a − q0 ⋅ 2a ⋅ 7 a 2 1 0 = S I ⋅ sin (30° ) ⋅ 6a + ⋅ q0 ⋅ 6a ⋅ 2a − q0 ⋅ 2a ⋅ a 2 0 = S I ⋅ cos(30°) + S II ⋅ cos(60°) − K

0 = S II ⋅ sin (60°) ⋅ 6a −

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Matrikel-Nr.:_______________

Lösung a) Ergebnisse (1,5 Punkte):

SI =

4 q0 ⋅ a ; 3

S II =

26 3 3

q0 ⋅ a ;

K=

19 3 3

q0 ⋅ a ;

Lösung b) Freikörperbild(er) mit Bereichs-/Gültigkeitsangabe(n): Bereich I:

0 < x < 6a

SI

30°

M(x) N(x)

A x

Q(x)

z

Bereich II:

6a < x < 8a

q0 Q(x)

K

N(x) M(x)

a x z

9a

Bereich III:

8a < x < 9 a

Q(x) K

N(x) M(x) z

x

9a

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Lösung b) Gleichgewichtsbedingungen für Schnittreaktionen (selbst eingeführte Variablen sind durch gegebene Größen zu definieren): Bereich I:

ΣFx = 0 :

0 = N (x ) + S I ⋅ cos(30°)

ΣFz = 0 :

0 = Q(x ) − S I ⋅ sin (30°) +

ΣM S = 0 :

1 ⋅ q (x ) ⋅ x 2 1 1 0 = M (x ) − S I ⋅ sin (30°) ⋅ x + q(x ) ⋅ x ⋅ x 2 3

q ( x ) = q0 ⋅

x 6a

Bereich II:

ΣFx = 0 :

0 = − N (x ) − K

ΣFz = 0 :

0 = −Q( x ) + q0 ⋅ (8a − x )

ΣM S = 0 :

0 = − M ( x ) − q0 ⋅

(8a − x )² 2

Bereich III:

ΣFx = 0 :

0 = − N (x ) − K

ΣFz = 0 :

0 = −Q ( x )

ΣM S = 0 :

0 = − M (x )

Lösung b) Ergebnisse der Schnittreaktionen (formelmäßig, keine graphische Darstellung erforderlich, 4,5 Punkte): Bereich I: 0 < x < 6a

3 SI 2 1 1 x² Q ( x ) = S I − q0 ⋅ 2 12 a N (x ) = −

M (x ) =

1 1 x³ S I ⋅ x − q0 ⋅ 2 36 a

Bereich II: 6a < x < 8a

Bereich III: 8a < x < 9a

N (x ) = − K

N (x ) = − K

x  Q ( x ) = q0 ⋅ a ⋅  8 −  a 

Q(x ) = 0

x  8 −  a M ( x ) = − q0 ⋅ a ² ⋅  2

2

M (x ) = 0

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Aufgabe 2 (9 Punkte) An einem geraden Balken wurde der folgende Momentenverlauf im Bereich 0 < x < 4a ermittelt:

M ( x) = a)

1  5 1  Fa − 4 + x − 2 x 2  3  a a 

Gegeben: F, a

Ermitteln Sie den Querkraftverlauf.

b) Skizzieren Sie den Momenten- und Querkraftverlauf in den gegebenen Diagrammen. c)

Bestimmen Sie rechnerisch(!) den Ort des Maximums des Momentenverlaufes im Gültigkeitsbereich 0 < x < 4a.

d) Berechnen Sie den Maximalwert des Momentenverlaufes. e)

Wodurch wurden die Schnittreaktionen verursacht?

Lösung a):

Q(x ) =

1 2   F ⋅ 5 − ⋅ x  3 a  

Lösung b):

Q(x)

M(x)

F

Fa

0 a

2a

3a

4a

x

-F

0 a

2a

3a

4a

x

-Fa

Lösung c):

x max =

5 a 2

Lösung d):

M max = Lösung e):

3 F ⋅a 4 Die Schnittreaktionen wurden verursacht von

□ einer Einzelkraft. einer konstanten Streckenlast.

□ einer linear veränderlichen Streckenlast.

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Aufgabe 3 (15 Punkte) Das unten dargestellte System besteht aus zwei mit dem Gelenk G verbundenen Stabtragwerken. Am linken Stabtragwerk, an dem die Kraft F angreift, ist ein starrer Körper angeschlossen. Das System wird durch die Stäbe I und II sowie durch die Loslager A und B im Gleichgewicht gehalten. a)

Berechnen Sie die Gelenkreaktionen im Gelenk G.

b) Bestimmen Sie alle Nullstäbe. Für den Aufgabenteil c) sind die Stabkräfte SI und SII gegeben. (Die Stäbe sind dabei auf Zug anzusetzen). c)

Ermitteln Sie die Stabkräfte in den Stäben 5, 6 und 7.

Gegeben: a, F, nur im Aufgabenteil c) zusätzlich: SI, SII Lösung a) Freikörperbild(er):

a

a

a

a

a

a

Gy

Gx

a

F

Gy

Gx

a

SI

A SII

B

Lösung a) Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Gelenkreaktionen:

ΣM I = 0 :

0 = − F ⋅ 2a − G y ⋅ 4 a − G x ⋅ a

ΣM B = 0 :

0 = G x ⋅ 2a − G y ⋅ a

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Lösung a) Ergebnisse (1 Punkt): Gx = −

2 F ; 9

Gy = −

4 F 9

Lösung b) Nullstäbe: 8, 13, 16, 17, 21 Lösung c) Freikörperbild(er):

a

a

a

a

III

S5 S6

a

S7

IV

F

a

SI

SII

Lösung c) Gleichgewichtsbedingungen zur Stabkraftermittlung:

ΣM III = 0 :

0 = S 7 ⋅ a − S I ⋅ 2a + S II ⋅ 2a

ΣM IV = 0 :

0 = F ⋅ a − S 5 ⋅ a − S I ⋅ a + S II ⋅ 3a

ΣFy = 0 :

0 = − S II − F −

1 2

S6

Lösung c) Ergebnisse (1,5 Punkte):

S 5 = F − S I + 3S II ;

S 6 = − 2 ⋅ (F + S II )

S7 = 2S I − 2S II

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Aufgabe 4 (10 Punkte) Die unten dargestellte Kreisscheibe mit der Gewichtskraft G ist an drei Seilen (I, II und III) aufgehängt, die im Punkt K über dem Schwerpunkt zusammenlaufen und mit dem Seil 0 verbunden sind. Das andere Ende des Seiles 0 ist an der Decke befestigt. a)

Ermitteln Sie die Seilkraft S0 im Seil 0.

Für die folgenden Aufgabenteile ist der Betrag der Seilkraft S0 gegeben. (Das Seil ist dabei auf Zug anzusetzen). b) Zeichnen Sie das / die zur Berechnung der Seilkräfte SI, SII und SIII erforderliche(n) Freikörperbild(er). c)

Bestimmen Sie die Vektoren der Seilkräfte S0, SI, SII und SIII aus dem Freikörperbild aus den gegebenen geometrischen Größen in Abhängigkeit der noch unbekannten Beträge der Seilkräfte S0, SI, SII und SIII (Einheitsvektor mal Kraftbetrag: S0 = e0 · S0, ...).

d) Stellen Sie das vektorielle Kräftegleichgewicht zur Bestimmung der Beträge der Seilkräfte SI, SII und SIII auf. e)

Berechnen Sie die Beträge der Seilkräfte SI, SII und SIII.

Gegeben: a, G, ab Aufgabenteil b) zusätzlich: S0 Lösung a) (1 Punkt):

S0 = G

Lösung b):

S0 K

SI

SII SIII

z y x

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Lösung c):

0   S0 =  0  S   0  4a   4      S SI SI =  0 ⋅ =  0 ⋅ I  − 3a  16 + 9 ⋅ a  − 3  5     − 2 a    −2      S S II =  2 3  ⋅ II S II =  2 3a  ⋅  − 3a  4 + 4 ⋅ 3 + 9 ⋅ a  − 3  5     S III

 − 2a   −2      S S III =  − 2 3a  ⋅ =  − 2 3  ⋅ III  − 3a  4 + 4 ⋅ 3 + 4 ⋅ a  − 3  5    

Lösung d):

 4   −2   −2  0   S   S   S   Σ F = 0 =  0  ⋅ I +  2 3  ⋅ II +  − 2 3  ⋅ III +  0   − 3 5  − 3  5  − 3  5  S         0

y-Richtung:

0=

2 3 2 3 S II − S III 5 5

⇒ S II = S III

x-Richtung:

0=

4 2 2 S I − S II − S III 5 5 5

⇒ S I = S II

z-Richtung:

3 3 3 0 = − S I − S II − S III + S 0 5 5 5

⇒ SI =

5 S0 9

Lösung e) Ergebnisse (1,5 Punkte): SI =

5 S0 ; 9

S II =

5 S0 ; 9

S III =

5 S0 9

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Aufgabe 5 (9 Punkte) Der auf einer Bank sitzende Sportler versucht durch Ziehen an einem Seil die am anderen Ende befestigte Masse m anzuheben. Das Seil ist dabei zunächst über die obere, frei drehbare Rolle geführt und dann über die untere Rolle, die sich verklemmt hat, so dass sie nicht drehbar ist. Im Kontakt zwischen Rolle und Seil liegt der Haftkoeffizient µ S vor. Zwischen Bank und Boden herrscht Reibung mit dem Haftkoeffizienten µ 0. Sportler und Bank weisen gemeinsam die Gewichtskraft GS auf. Der Sportler ist fest mit der Bank verbunden. Wie groß ist die Masse m, die der Sportler gerade noch anheben kann, ohne mit der Bank nach vorne zu rutschen?

Gegeben: α, GS, µ S, µ 0 Freikörperbild(er): (I)

(II)

SII

SI

GS mg

H N

Gleichgewichtsbedingungen: FKB I:

ΣFx = 0 :

0 = − H + S II ⋅ cos(α )

(1)

ΣFy = 0 :

0 = N + S II ⋅ sin (α ) − GS

(2)

FKB II:

SI = m ⋅ g

(3)

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Rechnung:

aus (1):

H = S II cos(α )

(1*)

aus (2):

N = GS − S II ⋅ sin (α )

(2*)

Seilreibung:

S II > S I

S II = S I ⋅ e

π  µS  −α  2

Haftreibung:

H ≤ µ0 ⋅ N

(3) in (4):

S II = m ⋅ g ⋅ e



(4) (5)

π  µS  −α  2



(4*)

(1*), (2*) in (5):

S II ⋅ cos(α ) ≤ µ0 ⋅ GS − µ0 ⋅ S II ⋅ sin (α ) S II ⋅ [cos(α ) + µ0 ⋅ sin (α )] ≤ µ0 ⋅ GS S II ≤

(4*) in (6):

m⋅ g ⋅e

π  µ S  − α  2 

≤

(6)

µ 0 ⋅ GS cos(α ) + µ0 ⋅ sin (α )

µ 0 ⋅ GS cos(α ) + µ0 ⋅ sin (α )

Ergebnisse (2 Punkte):   − µ  −α  GS µ0 ⋅ ⋅e  2  g cos(α ) + sin (α )µ 0

π

m=

S

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Aufgabe 6 (6 Punkte) In dem rechts dargestellten rechteckigen Blech befindet sich ein rechteckiger Ausschnitt. Berechnen Sie die Flächenschwerpunktkoordinaten xS und yS des gesamten Bleches.

Gegeben: a, b

Rechnung:

8a ⋅ 4b ⋅ 4a − 2a ⋅ 2b ⋅ 6a 32 − 6 = ⋅a 8a ⋅ 4b − 2a ⋅ 2b 8 −1 5 8a ⋅ 4b ⋅ 2b − 2a ⋅ 2b ⋅ b 2 = 32 − 5 b yS = 8a ⋅ 4b − 2a ⋅ 2b 16 − 2

xS =

Ergebnisse: (1 Punkt): xS =

26 a ; 7

yS =

27 b 14

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