Taschenbuch Versuchsplanung Produkte und Prozesse optimieren

Wilhelm Kleppmann Taschenbuch Versuchsplanung Produkte und Prozesse optimieren ISBN-10: 3-446-41595-5 ISBN-13: 978-3-446-41595-9 Vorwort Weitere Info...
Author: Rosa Schneider
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Wilhelm Kleppmann

Taschenbuch Versuchsplanung Produkte und Prozesse optimieren ISBN-10: 3-446-41595-5 ISBN-13: 978-3-446-41595-9 Vorwort Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-41595-9 sowie im Buchhandel.

V

Vorwort Total Quality Management (TQM), Prozessorientierung in der DIN ISO 9001, SixSigma-Programme, Kontinuierliche Verbesserungsprogramme (KVP), Kaizen, ... – uns allen ist die Notwendigkeit der ständigen Verbesserung bewusst. Versuchsplanung ist eine Sammlung von Ideen und Verfahren, dabei systematisch vorzugehen, um mit möglichst geringem Aufwand möglichst viel zu lernen. Im Rahmen einer SixSigma-Strategie ist Versuchsplanung das Werkzeug zur eigentlichen Verbesserung und nimmt damit eine zentrale Stellung ein. Dadurch hat Versuchsplanung in den letzten Jahren wesentlich an Bedeutung und Verbreitung gewonnen, und so ist nun schon die 5. Auflage dieses Buches erforderlich. Diese Chance habe ich zur Aktualisierung und Erweiterung genutzt. Ziel ist es, Praktikern in Entwicklung, Konstruktion und Fertigung, sowie Studenten einen anwendungsorientierten Einstieg und Überblick zu geben. Die Methoden der klassischen Statistischen Versuchsplanung werden mit Ideen von Shainin, Taguchi u.a. zu einer neuen Kombination verbunden. SixSigma und Versuchsplanung sind Teamarbeit. Jedes Teammitglied muss über Ziele, Möglichkeiten und die prinzipielle Vorgehensweise Bescheid wissen. Aber nicht jedes Teammitglied muss alle Einzelheiten kennen. • Kapitel 1 bis 5 geben einen allgemeinen Überblick über die Versuchsplanung und behandeln einfache Verfahren, die bei der Vorbereitung weiterer Versuche nützlich sind. Sie sind für alle Teammitglieder gedacht. • Kapitel 6 bis 12 behandeln die statistischen Grundlagen und die wichtigsten Versuchspläne und ihre Auswertung. Sie wenden sich an das Teammitglied, das die Versuche plant und die Ergebnisse dann auswertet. Abschnitte, die mit einem Stern * gekennzeichnet sind und Ergänzungen in Fußnoten sind für das Verständnis der folgenden Kapitel nicht erforderlich und können zunächst ausgelassen werden. • Kapitel 13 bis 19 behandeln verschiedene weiterführende Themen. Sie können bei Bedarf und unabhängig voneinander gelesen werden. Die JAVA-Applets auf der CD-ROM sollen Ihnen dabei helfen, statistische Ideen besser zu begreifen. Erleben Sie selbst, wie Versuchsergebnisse streuen, was ein Vertrauensbereich ist, wie lineare Regression funktioniert und wie ein Fertigungsprozess immer besser wird. Um das Verständnis für die Bedeutung statistischer Aussagen zu fördern, werden die meisten Beispiele ausführlich vorgerechnet. Eingestreute Übungsaufgaben verdeutlichen und vertiefen die jeweiligen Inhalte. Nutzen Sie diese Übungsmöglichkeit − die folgende Lösung dient der Selbstkontrolle. Obwohl aus didaktischen Gründen die Beispiele und Aufgaben hier von Hand vorgerechnet werden, empfehle ich ab Kapitel 6 parallel den Einsatz einer Software. Sie vereinfacht die Auswertung wesentlich und erlaubt vielfältige grafische Darstellungen.

VI

Vorwort

Die Beschreibung der Versuchsplanung in diesem Buch ist unabhängig von einer speziellen Software. Viele gute Programme sind erhältlich. Kapitel 18 gibt Entscheidungshilfen zur Auswahl und einen Überblick über neun dieser Programme. Auf der begleitenden CD-ROM befinden sich Dateien mit Beispielen aus dem Taschenbuch in den Formaten dieser Programme. Somit können Sie die Programme anhand bekannter Beispiele testen, direkt vergleichen und das Programm auswählen, das Ihnen am besten gefällt. Die meisten Hersteller haben Testversionen ihrer Programme für die CD-ROM zur Verfügung gestellt, um Ihnen den Zugang zu erleichtern. Dafür möchte ich mich herzlich bedanken. Wenn Sie dann die Beispiele mit der gewählten Software nachvollziehen, werden Sie feststellen: • Das Aufstellen von Versuchsplänen und die Auswertung der Versuchsergebnisse sind nicht schwer. • Die Darstellung der Ergebnisse unterscheidet sich etwas von der Darstellung in diesem Buch. Jede Software ist anders, anhand der durchgerechneten Beispiele sollte es jedoch kein Problem sein, die Bedeutung der Ausgaben zu verstehen. • Mit etwas Übung erscheint dann alles plötzlich ganz einfach. Aber auch darin liegt ein gewisses Risiko. Vergewissern Sie sich immer, dass die Daten und die Ergebnisse sinnvoll sind. Verwenden Sie Ihren gesunden Menschenverstand. Versuchsplanung ist ein sehr wertvolles Hilfsmittel. Aber es soll den gesunden Menschenverstand nicht ersetzen, sondern schärfen. Als erste eigene Anwendung empfehle ich ein überschaubares Problem mit nur wenigen Faktoren und klar definierten Zielen. Bitte achten Sie auf die sorgfältige Vorbereitung Ihrer Versuche – sie ist entscheidend für den Erfolg. Ich möchte darauf hinweisen, dass wesentliche Teile dieses Buches (insbesondere in den Kapiteln 7 bis 12) ursprünglich den ebenfalls von mir erstellten Lehrgangsunterlagen „Grundlagen der Versuchsmethodik – DOE“ der Deutschen Gesellschaft für Qualität e.V. (DGQ), Frankfurt am Main, entnommen sind. Der Lehrgang wird durch dieses Buch vertieft und ergänzt. Daher kann das Buch als begleitende oder weiterführende Literatur zum Lehrgang verwendet werden. Umgekehrt bietet der Lehrgang eine gute Einführung bzw. Ergänzung zu diesem Buch. Interessierte Leser können sich unter www.dgq.de über das Weiterbildungsangebot der DGQ informieren. Zum Schluss möchte ich allen danken, die zu diesem Buch beigetragen haben, insbesondere der DGQ für die Genehmigung, Teile aus ihren Lehrgangsunterlagen zu verwenden, Herrn B. Schäfer von der Firma STATCON für seine vielen hilfreichen Anmerkungen, Kollegen und Studenten der HTW Aalen für ihre Anregungen und den Studienarbeitern für die JAVA-Applets. Allen Lesern bin ich dankbar für konstruktive Anregungen und Kritik. Ich wünsche Ihnen viel Erfolg bei der Anwendung der Versuchsplanung. Aalen, im Januar 2008

Wilhelm Kleppmann

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Taschenbuch Versuchsplanung Produkte und Prozesse optimieren ISBN-10: 3-446-41595-5 ISBN-13: 978-3-446-41595-9 Leseprobe Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-41595-9 sowie im Buchhandel.

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11 Versuchspläne für nichtlineare Zusammenhänge Häufig soll die quantitative Abhängigkeit einer (oder auch mehrerer) Zielgröße(n) von einigen wenigen Faktoren im Detail bestimmt werden. Dann begnügt man sich nicht mit der bisher behandelten linearen Näherung. Die Nichtlinearität ist entscheidend, wenn die Lage eines Maximums (z.B. der Ausbeute) oder eines Minimums (z.B. der Anzahl der Fehler) gesucht ist. Meist verwendet man dann ein quadratisches Modell zur empirischen Beschreibung der Abhängigkeit der Zielgröße y von den Faktoren. Bei zwei Faktoren x1 und x2 erhält man z.B.

y i = β 0 + β1 ⋅ x1i + β 2 ⋅ x 2i + β11 ⋅ x12i + β12 ⋅ x1i ⋅ x 2i + β 22 ⋅ x 22i + ε i .

(11.1)

Dieses Modell kann man auf k Faktoren verallgemeinern. Es enthält dann 1 Koeffizienten β 0 k Koeffizienten β 1, β 2, ..., β k (11.2) k(k+1)/2 Koeffizienten β 11, β 12, ..., β 1k, β 22, ..., β 2k, ..., β kk. Wenn in (11.1) normierte Stufenwerte verwendet werden, sind (abgesehen vom Umrechnungsfaktor ½) die Koeffizienten β der linearen Terme x1 und x2 die Effekte der Faktoren A und B, der Koeffizient von x1 ⋅ x2 ist der Effekt der Wechselwirkung AB, die Koeffizienten von x12 und x22 sind quadratische Effekte der Faktoren (AA und BB). Diese quadratischen Effekte sind hier neu. Um sie zu bestimmen, benötigt man Versuchspläne mit mehr als zwei Faktorstufen. Im Folgenden werden geeignete Versuchspläne behandelt (vgl. z.B. [1 – 4]).

11.1 Zentral zusammengesetzte Versuchspläne Ein zentral zusammengesetzter Versuchsplan besteht aus einem vollständigen k−p mit Mindestauflösung V („Würoder fraktionellen faktoriellen Versuchsplan 2 fel“), dem ein „Stern“ und ein „Zentrum“ hinzugefügt werden. Bild 11-1 zeigt als Beispiel die Anordnung der Einzelversuche für k = 3 Faktoren grafisch.

C

B A

Bild 11-1 Zentral zusammengesetzter Versuchsplan für 3 Faktoren A, B und C

199

11.1 Zentral zusammengesetzte Versuchspläne

Tabelle 11.1 zeigt eine Liste der Faktorstufenkombinationen für k = 3. Die Faktorstufen sind dabei in Analogie zur Darstellung in Kapitel 7 und 8 mit den normierten Werten ± 1, 0 und ± α bezeichnet. Je nach Zielsetzung können α und n0 in Tabelle 11.1 verschiedene Werte annehmen. Tabelle 11.1 Faktorstufenkombinationen eines zentral zusammengesetzten Versuchsplans für k = 3 Faktoren, das Zentrum wird hier z.B. viermal realisiert (systematische Reihenfolge, normierte Stufenwerte) syst. Nr.

Faktor A Faktor B Faktor C

Erläuterung

1 2 3 4 5 6 7 8

−1 1 −1 1 −1 1 −1 1

−1 −1 1 1 −1 −1 1 1

−1 −1 −1 −1 1 1 1 1

„Würfel“ vollständig faktoriell

9 10 11 12 13 14

−α α 0 0 0 0

0 0 −α α 0 0

0 0 0 0 −α α

„Stern“ jeder Faktor getrennt

15 16 17 18

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Zentrum n0-mal (hier viermal)

11.1.1 Orthogonaler Versuchsplan Ein zentral zusammengesetzter Versuchsplan wie in Tabelle 11.1 ist orthogonal bezüglich aller Terme im Modell (11.1), wenn orthogonal: α 2 = 21 ( N ⋅ N W − N W ) ,

wobei N W = 2k − p = N=2

k −p

(11.3)

Anzahl Einzelversuche im Würfel und

+ 2k + n0 = Gesamtzahl Einzelversuche.

Die Vorteile eines orthogonalen Versuchsplans sind: • Die Schätzwerte für die Koeffizienten β im Modell (11.1) sind unabhängig voneinander (d.h. sie beeinflussen sich nicht gegenseitig), und

200

11 Versuchspläne für nichtlineare Zusammenhänge

• bei vorgegebenen Stufenwerten für −1 und 1 und vorgegebener Anzahl der Einzelversuche erhält man möglichst schmale Vertrauensbereiche für die Koeffizienten β. Daher wird empfohlen, soweit möglich orthogonale Pläne zu verwenden. Beispiel In Tabelle 11.1 beträgt • die Anzahl der Realisierungen des Zentrums n0 = 4, • die Anzahl Faktoren k = 3, und • als Würfel wird ein vollständiger faktorieller Plan verwendet (p = 0). Damit erhält man

N W = 2 3 = 8 und N = 2 3 + 2 ⋅ 3 + 4 = 18 ⇒ α 2 =

1( 2

18 ⋅ 8 − 8) = 2

⇒ Wählt man für α = 2 = 1414 , , so ist der Versuchsplan orthogonal.

Einen konkreten Versuchsplan erhält man aus Tabelle 11.1, indem man • für jeden Faktor festlegt, welche natürlichen Stufenwerte −1 und 1 jeweils darstellen, • die zusätzlichen Stufenwerte 0 und ±α linear daraus errechnet und • die Reihenfolge der Einzelversuche randomisiert. Beispiel Das Beispiel aus der chemischen Industrie in Kapitel 3 soll zu einem zentral zusammengesetzten Versuch erweitert werden.

Faktor A Temperatur −1 = 120 °C +1 = 140 °C Faktor B Zeit −1 = 2 h +1 = 4 h Faktor C Katalysator −1 = 0,1 % +1 = 0,5 % Mit diesen Vorgaben erhält man durch lineare Umrechnung die Stufenwerte in Tabelle 11.2. Tabelle 11.2 Umrechnung der normierten Stufenwerte der Faktoren in die natürlichen Werte

normierter Wert

−1,414

−1

0

1

1,414

A Temperatur B Zeit C Katalysator

115,9 °C 1,59 h 0,017 %

120 °C 2h 0,1 %

130 °C 3h 0,3 %

140 °C 4h 0,5 %

144,1 °C 4,41 h 0,583 %

Die Auswertung erfolgt mit Regression, und zwar immer in den normierten Stufenwerten, da der Versuchsplan nur dann orthogonal ist und der einfache Zusammenhang Regressionskoeffizient = Effekt/2 gilt. Gute Versuchsplanungssoftware führt diese Umrechnung im Hintergrund durch, ohne dass sich der Anwender darum kümmern muss. Aber Achtung, umfassende Statistikpakete unterscheiden zwischen Versuchsplanung und „normaler“ Regression. Mit normaler Regression ist die Auswertung zwar im Prinzip ebenfalls möglich, die Umrechnung muss dann jedoch explizit vom Anwender vorgenom-

11.1 Zentral zusammengesetzte Versuchspläne

201

men werden. Daher wird empfohlen, Versuchspläne nur mit den speziell dafür vorgesehenen Routinen auszuwerten.

11.1.2 Technisch bedingte Abweichungen vom Versuchsplan Je nach weiteren Randbedingungen ist es manchmal erforderlich, vom idealen orthogonalen Versuchsplan abzuweichen. Dies gilt insbesondere, • wenn es technische oder andere Grenzen für die Stufenwerte der Faktoren gibt oder • wenn nur bestimmte Stufenwerte einstellbar sind. Ein solcher veränderter Versuchsplan kann mit entsprechender Software ohne Mehraufwand ausgewertet werden. Da jede Abweichung von der Orthogonalität aber zu einer Verbreiterung der Vertrauensbereiche für die Regressionskoeffizienten β führt, sollte man die Veränderung des Versuchsplans so gering wie technisch möglich halten. Beispiel (Fortsetzung) Die Maximaltemperatur der Anlage beträgt 140 °C. Es ist daher nicht möglich, den idealen Wert von 144,1 °C einzustellen. Andererseits erwartet man aus technischen Gründen bei der Maximaltemperatur auch die maximale Ausbeute. Daher ist es nicht sinnvoll, die Stufen so umzudefinieren, dass α = 1,414 dem Maximalwert von 140 °C entspricht, da dann nur ein Einzelversuch bei dieser vermutlich optimalen Temperatur durchgeführt würde (Nr. 10 in Tabelle 11.1). Es ist besser, auf die Orthogonalität zu verzichten und für den Faktor A als Stufenwerte z.B. 115,9 °C 120 °C 130 °C 140 °C 140 °C zu verwenden.

11.1.3 Bekannte nichtlineare Abhängigkeiten In manchen Anwendungen ist bereits von Anfang an ein bestimmtes, nichtlineares Verhalten der Zielgröße bekannt (z.B. Sättigung). Will man dieses nichtlineare Verhalten gezielt untersuchen, so kann es im Einzelfall sinnvoll sein, die Nichtlinearität bereits bei der Definition der Faktorstufen zu berücksichtigen. Dies erfolgt, indem man als Faktor im Versuchsplan eine geeignete Funktion der eigentlich eingestellten Größe verwendet (Transformation). Beispiel (Fortsetzung) Wenn bereits vor der Versuchsdurchführung bekannt ist, dass die Ausbeute der chemischen Reaktion bei langen Reaktionszeiten gegen einen Grenzwert strebt und bei einer weiteren Verlängerung immer langsamer zunimmt, so ist es sinnvoll, dies bereits bei der Planung des Versuchs zu berücksichtigen. Ist man speziell an diesem Langzeitverhalten interessiert, so ist es besser, als Faktor statt der Reaktionszeit z.B. den Kehrwert (1/Reaktionszeit) oder den Logarithmus ln (Reaktionszeit) zu verwenden. Aus der linearen Veränderung des Faktors ergibt sich dann eine nichtlineare Veränderung der eigentlich eingestellten Größe Reaktionszeit. Tabelle 11.3 zeigt diesen Zusammenhang an zwei Beispielen. Im Versuchsplan steht die Reaktionszeit, die Analyse erfolgt aber in der Größe (1 / Reaktionszeit) oder ln (Reaktionszeit).

202

11 Versuchspläne für nichtlineare Zusammenhänge

Tabelle 11.3 Beispiel für die Auswirkung nichtlinearer Faktoren: Aus der Vorgabe fester Zeiten 2 h und 4 h für die Würfeleckpunkte erhält man mit den Faktoren 1 / Zeit bzw. ln (Zeit) Stufen für die eingestellte Größe „Zeit“, die im erwarteten Sättigungsbereich weiter auseinander liegen als in Tabelle 11.2.

−1,414

−1

0

1

1,414

Faktor 1 / Zeit [h ] eingestellte Größe Zeit [h]

0,198

0,25

0,375

0,5

0,552

5,05

4

2,67

2

1,81

Faktor ln (Zeit) eingestellte Größe Zeit [h]

0,550 1,73

0,693 2

1,040 2,83

1,386 4

1,530 4,62

normierter Wert −1

11.1.4 Varianten von zentral zusammengesetzten Plänen Drehbare Pläne Die Regressionsgleichung (11.1) gibt für jeden Punkt (x1, x2, x3, ..., xk) einen Schätzwert für die Zielgröße. Für diesen Schätzwert kann ein Vertrauensbereich berechnet werden. Im Fall der einfachen linearen Regression ist dies der Trichter in Bild 10-9. Beim Modell (11.1) hängt die Breite des Vertrauensbereichs im Allgemeinen von den Werten aller Faktoren ab. Man nennt einen Versuchsplan drehbar, wenn die Breite des Vertrauensbereichs nur vom Abstand des betrachteten Punktes von Zentrum des Würfels abhängt und nicht auch von der Richtung. D.h. ein Versuchsplan ist drehbar, wenn die Breite des Vertrauensbereichs nur von

x12 + x22 +...+ xk2 abhängt (normierte Werte von x). Man kann zeigen, dass ein zentral zusammengesetzter Versuchsplan wie in Tabelle 11.1 drehbar ist, wenn drehbar: α 2 = 2k − p .

(11.4)

Beispiel 1 Versuchsplan in Tabelle 11.1: k = 3; p = 0; n0 = beliebig:

α 2 = 23−0 = 8 = 2,828

⇒ α = 1,682

Beispiel 2 k = 5; p = 1; n0 = beliebig:

α 2 = 2 5−1 = 16 = 4

⇒ α=2.

Orthogonal und drehbar Durch geeignete Wahl von n0 kann man erreichen, dass das α für Orthogonalität aus (11.3) näherungsweise mit dem α für Drehbarkeit aus (11.4) übereinstimmt. Dann ist der Versuchsplan drehbar und (näherungsweise) orthogonal. Tabelle 11.4 zeigt für 2 bis 8 Faktoren den Mindestversuchsumfang mit n0 = 1, den Wert α für drehbare Pläne und den Versuchsumfang für Pläne, die gleichzeitig drehbar und orthogonal sind.

203

11.1 Zentral zusammengesetzte Versuchspläne

Tabelle 11.4 Mindestversuchsumfang Nmin mit n0 = 1, α für drehbare Pläne und Versuchsumfang N für drehbare und (näherungsweise) orthogonale Pläne in Abhängigkeit von der Anzahl der Faktoren k

n0 (für drehbar und orthogonal)

N (für drehbar und orthogonal)

Würfel

2

2

2

9

1,414

8

16

3

2

3

15

1,682

9

23

4

2

4

25

2,000

12

36

27

2,000

10

36

45

2,378

15

59

79

2,828

22

100

81

2,828

20

100

5

2

6

2

7

2

8

2

5−1 6−1 7−1 8−2

Mindestwert Nmin

α (drehbar)

Anzahl Faktoren k

Flächenzentriert Für manche Faktoren sind aus technischen Gründen nur drei Faktorstufen möglich. Manchmal ist es auch nicht sinnvoll, mit den „Sternpunkten“ über den „Würfel“ hinauszugehen (vgl. Absatz 11.1.2).

In diesen Fällen verwendet man α = 1. Dann liegen die Sternpunkte in Bild 11-1 in der Mitte der Würfelflächen. Man nennt diesen Versuchsplan daher flächenzentriert. Er ist nicht orthogonal und sollte daher nur in Ausnahmefällen eingesetzt werden. Blockbildung und orthogonale Blöcke Ist es nicht möglich, die Versuchsbedingungen über alle Faktorstufenkombinationen eines zentral zusammengesetzten Versuchsplans homogen zu halten, so können Würfel und Stern (z.B. in Tabelle 11.1) als getrennte Blöcke behandelt werden. Falls erforderlich, kann der Würfel wie in Absatz 8.2.2 noch weiter unterteilt werden. Die n0 Punkte im Zentrum werden auf die verschiedenen Blöcke aufgeteilt, d.h. nW +nS=n0, wobei nW (bzw. nS) die Anzahl Zentrumspunkte im Würfel (bzw. Stern) ist.

Die linearen Terme und die Wechselwirkungsterme im Modell (11.1) sind immer orthogonal zum Blockfaktor und daher unabhängig von evtl. Unterschieden zwischen den Blöcken. Allerdings kann ein Unterschied zwischen dem Würfel- und dem Sternblock zu einer Verfälschung der quadratischen Terme in (11.1) führen. Durch eine geeignete Wahl von α kann diese Verfälschung vermieden werden – man erhält sog. orthogonale Blöcke, wenn orthogonale Blöcke: α 2 =

N W ⋅ (2k + n S ) 2 ⋅ (N W + n W )

(11.5)

wobei N W + n W = 2 k −p + n W = Anzahl Einzelversuche im Würfelblock und 2k + n S =

Anzahl Einzelversuche im Sternblock.