T3. PATRONES, RELACIONES Y ECUACIONES _____________________________________________________

MATEMÁTICAS PARA 4º ESO MATH GRADE 10 (=1º BACHILLERATO EN ATLANTIC CANADA) ____________________________________________________ CURRÍCULUM MATEMÁTICAS NOVA SCOTIA ATLANTIC CANADA ____________________________________________________ TRADUCCIÓN: MAURICIO CONTRERAS

T3. PATRONES, RELACIONES Y ECUACIONES

MAURICIO CONTRERAS

PATRONES, RELACIONES Y ECUACIONES    

Describir relaciones del mundo real representadas por grafos, tablas de valores y descripciones escritas Identificar, generalizar y aplicar patrones Expresar problemas en términos de ecuaciones y viceversa Modelizar fenómenos de la vida real con ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y potenciales y con inecuaciones lineales

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UN TREN DE CUBOS

a)

Comenzamos con un cubo que representa un vagón de tren. ¿Cuántas caras visibles tiene? (ten en cuenta que no vemos la cara de abajo, ya que está apoyada en la vía del tren). Construye un tren usando seis cubos y completa esta tabla:

b)

Número de cubos 1 2 3 4 5 6 Número de caras visibles 5 8 11 14 17 20 c)

l)

Describe algunos patrones que veas en la tabla y describe cómo esos patrones son visibles en los cubos. Añade cinco vagones más al tren y predice el nuevo número de caras visibles para añadirlo a la tabla. Completa la siguiente frase: “Si me dices cuántos vagones tiene el tren, te puedo decir el número de caras visibles por…” Predice el número de caras visibles cuando el tren tenga 100 vagones. Describe y explica tus patrones con palabras, si hay “c” vagones. Cambia las palabras por símbolos matemáticos, describiendo el patrón con una frase algebraica. Explica el significado de “2” y de “3” en la ecuación Dibuja la gráfica a partir de la tabla de valores Describe dónde están el “2” y el “3” en el gráfico y su significado en el gráfico, en relación con el contexto del problema. ¿Se pueden unir los puntos de la gráfica?

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A VISTA DE PÁJARO

d) e) f) g) h) i) j) k)

Mira tu tren de cubos “a vista de pájaro”. Si cada cubo tiene un perímetro de 4 unidades, ¿cuál es el perímetro de un tren completo de seis cubos? Usando lo que has aprendido en la actividad anterior, expresa el perímetro con una fórmula que contenga “c”, el número de vagones. Dibuja la gráfica de la relación entre el perímetro del tren y el número de vagones. Compara las pendientes de las dos gráficas y discute sus diferencias.

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Esbozar gráficos a partir de palabras, tablas y colecciones de datos Construir y analizar gráficos y tablas que relacionan dos variables Explorar y describir las dinámicas de cambio representadas en tablas y gráficos Determinar si un gráfico es lineal dibujando puntos en una situación dada Interpretar soluciones de ecuaciones basadas en el contexto Demostrar una comprensión de, y aplicar un uso apropiado de sistemas numéricos discretos y continuos Recoger datos, dibujar los datos usando escalas apropiadas, y demostrar una comprensión de las variables dependiente e independiente y del dominio y rango

PISCINAS CUADRADAS

En el diseño de un tipo particular de piscinas (que se pueden llamar “piscinas cuadradas”) y patios circundantes, la superficie del agua de cada piscina tiene la forma de cuadrado. Alrededor de la piscina hay un borde con baldosas de forma cuadrada. Las piscinas se hacen en distintos tamaños. En la siguiente figura se muestran las tres más pequeñas:

a)

Usando dos colores para las baldosas, construye modelos de piscinas (usando el color rojo para la superficie del agua y blanco para las baldosas del patio). i) Organiza los datos en una tabla como la siguiente: Longitud del Nº de baldosas rojas Nº de baldosas blancas Nº total de baldosas lado de la piscina

ii) Dibuja gráficas de: a) baldosas de color rojo → baldosas de la piscina; b) baldosas de color blanco → baldosas de la piscina. iii) Describe la forma de los dos gráficos. ¿Son iguales? ¿Son diferentes? Discute sobre los dominios de dichas gráficas. b)

Usa policubos para construir torres para modelizar el crecimiento de las columnas 2 y 3 de la tabla.

c)

¿Cuándo serán iguales el número de baldosas rojas y el número de baldosas blancas? Explica tu respuesta. Interpreta en contexto este problema.

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Describir relaciones del mundo real representadas por grafos, tablas de valores y descripciones escritas Resolver problema por modelización de fenómenos de la vida real Construir y analizar gráficos y tablas que relacionan dos variables Identificar, generalizar y aplicar patrones Expresar problemas en términos de ecuaciones y viceversa Esbozar gráficos a partir de palabras, tablas y colecciones de datos Modelizar fenómenos de la vida real con ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y potenciales y con inecuaciones lineales Interpretar soluciones de ecuaciones basadas en el contexto Resolver ecuaciones usando gráficos Usar interpolación, extrapolación y ecuaciones para predecir y resolver problemas Demostrar una comprensión de, y aplicar un uso apropiado de sistemas numéricos discretos y continuos Desarrollar y aplicar estrategias para resolver problemas

SNOWBOARD

Ralph alquila snowboards a 3,50 euros por hora, pero requiere un depósito no retornable de 2 euros. ¿Cuánto dinero costará alquilar un snowboard de Ralph y usarlo por 2 horas? ¿Y por 3 horas? ¿Y por 6 horas? ¿Y por 10 horas? Construye una tabla y haz el gráfico correspondiente para contestar estas preguntas. ¿Tiene sentido unir los puntos de la gráfica? ¿Cuántas horas habrá que alquilar un snowboard para tener un coste de 20 euros? 

GIMNASIA

Mary está poniéndose en forma. El primer día hace 9 flexiones, el segundo día hace 13, el tercer día 17, el cuarto día 21. Si continua este ritmo, ¿cuántas flexiones hará el quinto día? ¿Y el sexto día? ¿Y el décimo día? ¿Y el día 20? ¿Y el día 50? ¿Y el día 60? ¿Qué restricciones entran en juego si este patrón continua? 

CARRERA

La siguiente gráfica representa la relación entre tiempo y distancia a la línea de meta en una carrera para una atleta, desde el momento en que ésta comienza a divisar la meta.

a)

¿A qué distancia está de la línea de meta cuando comienza a divisar la meta? Explica cómo lo haces.

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T3. PATRONES, RELACIONES Y ECUACIONES b) c) d) e) f) 

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¿Ha incrementado su velocidad cerca del final (ha hecho un “sprint”)? Explica cómo lo haces. ¿Cuánto tiempo ha empleado la atleta para completar los últimos 100 m de carrera? Explica. Con cinco segundos menos, ¿a qué distancia de la meta estaba corriendo? ¿Cuánto tiempo necesita la atleta para hacer los últimos 60 m? Explica cómo lo haces. Suponiendo que ella no cambia su velocidad, ¿cuánto tiempo necesitará para completar los últimos 150 m? Explica cómo lo haces. GASOLINA

Una gasolinera atrae a clientes ofreciéndoles cupones por valor de 0,04 euros por cada euro de compra de gasolina. a) b) c)

Copia y completa la tabla Expresa en palabras la relación entre el valor de los cupones y el valor de la gasolina comprada. Escribe la ecuación correspondiente. ► 10 ► Valor de la compra de gasolina, v(€) 1 2 ► ► 0,24 ► 0,60 Valor del cupón, c(€)

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ECUACIÓN

a) b)

1 x 5, 2 Describe esta relación con palabras Inventa un problema que pueda ser resuelto usando esta ecuación.

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TAXI

Dada la ecuación y 

Un taxímetro carga las tasas que se muestran en la tabla. Longitud del viaje (km) 5 10 15 Coste total (€) 9,25 15,50 21,75 a) b) c) d) e) f) g)

Dibuja estos puntos en un sistema de coordenadas Discute si estos puntos deben o no unirse Determina la ecuación correspondiente. Explica por qué el gráfico no empieza en el origen de coordenadas. Basándote en la ecuación, predice cuánto costarán viajes de 7 km y de 30 km. Explica el significado de la pendiente de la recta. Usando el gráfico, halla la distancia recorrida en un viaje que cuesta 25,50 euros.

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UNA ECUACIÓN PARA MANNY

Manny no fue a clase el viernes. Escribe una carta a Manny, explicándole como resolver la ecuación -5n+3=13 usando gráficos.

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Modelizar (con materiales concretos y representaciones pictóricas) y expresar relaciones entre operaciones aritméticas y operaciones con expresiones algebraicas y ecuaciones. Usar materiales concretos, representaciones pictóricas, y simbolismo algebraico para desarrollar operaciones con polinomios Aplicar propiedades de los números cuando se opera con expresiones y ecuaciones Interpretar soluciones de ecuaciones basadas en el contexto Resolver ecuaciones lineales, radicales sencillas y exponenciales e inecuaciones lineales

ECUACIONES CON BALDOSAS

Para ayudarte a comprender la manipulación simbólica, utilizaremos un modelo para la ecuación 38=3n+2 con baldosas (colocadas en los platos de una balanza). El resultado final se alcanza cuando queda la barra larga en un lado de la balanza, porque esa barra representa la variable “n”. Cualquier resultado que quede en el otro lado representa el valor de la variable n.

Primero, vamos a eliminar los dos cuadritos negros del lado derecho. Esto se puede hacer usando el principio del cero (sumando el opuesto en ambos lados)

A continuación, desarrollamos la simplificación.

Separamos en tres filas iguales

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Leemos una de las tres filas iguales

a)

Manny dice que ha comprendido como usar gráficos para resolver ecuaciones, pero necesita ayuda para hacerlo algebraicamente Usa dibujos y materiales manipulativos para ayudar a Manny a resolver las siguientes ecuaciones: i) -5n+3=13 ii) 2(x+3)=-2

b)

Tricia dice que no comprende como modelizar “dividir por 3” en la ecuación 3x=6. Dice que comprendió que 3x=6 se puede modelizar asï:

Ayúdale a continuar haciéndole ver la conexión entre el paso

3x 6  y la manipulación 3 3

de las baldosas. 

¿DÓNDE ESTÁ EL ERROR?

a)

¿Dónde está el error en la solución que se muestra a continuación? Se supone que se quiere resolver la ecuación 2(x-1)=4

b)

Inventa un problema de la vida real que se pueda modelizar con la ecuación anterior y explica qué significa la solución de la ecuación con respecto al contexto.

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Desarrollar y aplicar estrategias de resolución de problemas Resolver ecuaciones lineales, radicales sencillas y exponenciales e inecuaciones lineales Recoger datos, dibujar los datos usando escalas apropiadas, y demostrar una comprensión de las variables dependiente e independiente y del dominio y el rango. Interpretar soluciones de ecuaciones basadas en el contexto

PERÍMETRO 18

Dibuja seis rectángulos con un perímetro de 18 cm y construye una tabla con las variables “longitud” y “anchura”. Explica cómo usar tus tablas para: a) b) c) d) e)

Hacer un gráfico que muestre cómo la altura depende de la longitud de la base. Escribe la ecuación que representa esta relación. Usa la ecuación para hallar la anchura si la longitud es de 5 cm. Usa la ecuación para hallar la longitud si la anchura es de 6 cm. Usa la ecuación para hallar la longitud si la anchura es: 1) dos veces la longitud; 2) tres más que el doble de la longitud; 3) dos tercios de la mitad de la longitud menos dos quintos de cm

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ALQUILER DE COCHES

La familia Griswald ha llegado a Europa para sus vacaciones. En la agencia de coches de alquiler, les ofertan dos opciones: Opción 1: 45 € / día más 0,12 € por kilómetro Opción 2: 39,95 € / día más 0,15 € por kilómetro a) b) c)

Escribe ambas opciones como ecuaciones. ¿Cuál de las opciones será más barata para un viaje de 50 km? ¿Y para un viaje de 150 km? ¿Y para uno de 300 km? ¿Cuál de las opciones permite a los Griswald viajar más lejos si disponen cada uno de 80 €? ¿Y si disponen cada uno de 150 €? ¿Y si disponen cada uno de 50 €?     

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Investigar y hallar la solución de un problema dibujando las gráficas de dos ecuaciones lineales con y sin tecnología. Resolver ecuaciones usando gráficos Desarrollar y aplicar estrategias para resolver problemas Interpretar soluciones de ecuaciones basadas en el contexto Resolver problemas usando tecnología gráfica

EL MÉTODO GRÁFICO

Resuelve la ecuación 3(x+1)=5(x-1)+3 usando el método gráfico. Es decir, dibuja las gráficas de las funciones lineales y=3(x+1), y=5(x-1)+3 y halla el punto de intersección de las rectas. También puedes usar la calculadora gráfica.

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NEGOCIOS

Ralph tiene un negocio de alquiler de snowboards en el que el coste de alquilar h snowboards viene dado por c=2+3,50h. Si Rachel ha abierto un negocio similar con un coste de c=8+1,50h, dibuja las gráficas de las dos ecuaciones e interpreta el punto de intersección para ayudarte a decidir qué negocio de los dos es más económico para el cliente. 

COMPAÑÍAS DE TAXI

Dos compañías de taxi cargan sus tarifas de diferentes maneras: Taxi A: 2 € de bajada de bandera y 1,5 € por kilómetro recorrido Taxi B: 2,5 € de bajada de bandera y 1,4 € por kilómetro recorrido Cada uno de estos métodos se puede expresar por medio de una ecuación. a) b) c)

Escribe la ecuación de cada una Dibuja el gráfico de cada una Responde las siguientes cuestiones: i) ¿Cuál de los dos taxis cogerías para una carrera de 6,5 km? Explica. ii) ¿Cuál de los dos taxis cogerías para una carrera de 4 km? Explica. iii) ¿Cuál de los dos taxis cogerías para una carrera de 5 km? Explica.

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SNOWBOARDS

Ralph alquila snowboards a 2,75 € por hora, más 20 € de cuota fija. Rachel alquila su snowboards por solo 1,50 € por hora, pero con una cuota fija de 50 €. Zeno alquila su snowboard por 10 € por hora, pero con una cuota fija de 5 €. a) b) c)

Interpreta el valor de la intersección de los gráficos de Ralph y Rachel. ¿Alquilarías el snowboard de Ralph o de Rachel si tuvieras que hacer ese deporte este fin de semana? Explica por qué. Bajo qué condiciones preferirías alquilar el snowboard de Zeno y explica por qué.

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CALCULADORA GRÁFICA

Resuelve las siguientes ecuaciones usando tecnología gráfica y explicando cómo usas la tecnología: a) b) c)

22 x  1  5  3x  2  1 3  23x  2  5  34 x  1 2 x  6  1 2 x  3  4 2 x  3 3 5 5

Expresa tus respuestas como fracciones, cuando sea apropiado.

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Aplicar propiedades de los números cuando se opera a la vez con expresiones y ecuaciones. Modelizar (con materiales concretos y representaciones pictóricas) y expresar las relaciones entre operaciones aritméticas y operaciones con expresiones algebraicas y ecuaciones. Resolver ecuaciones lineales, radicales sencillas y exponenciales e inecuaciones lineales.

ECUACIONES

Explica los pasos que se muestran a continuación, que sirven para resolver la ecuación 5x+3=3x-1, y aplica el mismo procedimiento para resolver la ecuación 8x-5=6x+3.

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EL PRIMER PASO

1)

En el siguiente ejemplo, Sheikla y Rita empiezan de diferente manera para resolver el siguiente problema. ¿Son aceptables ambos métodos? Explica tu respuesta.

2)

En la cuestión anterior, Rita y Sheila han resuelto la ecuación 3(x+1)=5+x. Usa materiales o dibujos y símbolos para completar la solución de Rita (usando el paso de Sheila) y completa la respuesta de Rita (usando el paso de Sheila).

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ECUACIONES CON PARÉNTESIS

Este diagrama muestra una situación de resolución de ecuaciones similar, donde la ecuación contiene expresiones entre paréntesis.

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a)

Resuelve las siguientes ecuaciones:

b)

Resuelve las siguientes ecuaciones usando materiales o dibujos y símbolos mostrando todos y cada uno de los pasos: 1) 3x  1  6x  1 2) 2x  2  4x  1 3) 22 x  5  32  x  4) 35  2 x   2x  2  1

c)

Explica, usando dibujos, por qué 3(2x-1) es lo mismo que 6x-3

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COGER UN TAXI

Sadie quiere coger un taxi pero no está segura de qué compañía llamar. Un folleto describe la tarifa para Yellow Taxi como 2,50 € a la bajada de bandera y 5 céntimos por cada 15 segundos de uso. Green Taxi carga 3 € a la bajada de bandera y 3 céntimos por cada 10 segundos que se usa el taxi. a) b)

¿Cuál de las dos compañías tiene el mejor trato si Sadie tiene un viaje de alrededor de 15 minutos? ¿Y si tiene un viaje de alrededor de 390 minutos? ¿Hay un número de minutos para el cual ambos taxis cargan la misma tarifa? Explica.

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COMO ACABAR

Explica cómo tienes que acabar de resolver una ecuación cuando el paso que tienes que seguir es el que se muestra a continuación: a) b) c) d)

7  1  5x 2 3 x 3 1  3x   4 2 2  5   3  x 5

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Analizar gráficos o diagramas de situaciones dadas para identificar información específica. Dibujar gráficas construyendo una tabla de valores, usando tecnología gráfica y, cuando sea apropiado, por el método de pendiente / ordenada en el origen Explorar y describir las dinámicas de cambio representadas en tablas y gráficos Usar razonamiento inductivo y deductivo cuando se observan patrones, se desarrollan propiedades y se formulan conjeturas Determinar e interpretar la pendiente y la ordenada en el origen de una recta a partir de una tabla de valores o de un gráfico Determinar la ecuación de una recta, usando la pendiente y la ordenada en el origen.

TREN DE CUBOS

En un tren de cubos, el número de caras visibles, f, depende del número de vagones del tren, c, mediante la fórmula f=3c+2; y el perímetro, p, del techo del tren depende del número de vagones del tren, c, mediante la fórmula p=2c+2. a) b) c) 

Dibuja las gráficas de las funciones c → f y c → p en los mismos ejes de coordenadas. ¿Qué significan los coeficientes de c en las dos ecuaciones? Interprétalos geométricamente y en el contexto de vagones del tren. ¿Qué significa el +2 que aparece en cada ecuación? Interpreta su significado geométricamente y en el contexto de vagones del tren. MOTOS DE NIEVE

Para alquilar una moto de nieve hay que pagar una couta de 2 € y 3,50 € por hora. ¿Cómo puedes representar gráficamente el hecho de que hay que pagar una cuota inicial de 2 €? ¿Cómo puedes representar gráficamente el hecho de que hay que pagar 3,50 € cada hora? ¿Cuál sería la fórmula de la función que da el importe a pagar conocido el número de horas de alquiler? ¿Qué significan el coeficiente de la variable independiente y el término independiente? La pendiente de una gráfica es la razón entre la elevación y el avance y es el coeficiente m de la variable independiente en la función y=mx+b. El valor de b, llamado intersección con OY u ordenada en el origen es el valor de y cuando x=0 y algunas veces es el valor inicial en la situación. 

ORDENADA EN EL ORIGEN

Usa la pendiente y la ordenada en el origen para dibujar las siguientes gráficas y después comprueba el resultado usando tecnología gráfica: a) b) c)

y=3x+2 y=5x+2 y=-1x+2

1) 2) 3)

Mira las tres gráficas. Describe qué tienen igual y qué tienen diferente. Mira las tres ecuaciones. Describe qué tienen igual y qué tienen diferente. ¿Cuál es la conexión entre las ecuaciones y los gráficos? ¿Qué afecta a la inclinación de los gráficos? ¿Cuál es la ordenada en el origen en cada gráfica? Explica.

4)

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PENDIENTE

Usa la pendiente y la ordenada en el origen para dibujar los siguientes gráficos y después comprueba el resultado usando tecnología gráfica: a) b) c)

Y=2x-5 Y=2x-1 Y=2x+3

1) 2) 3) 4) 5)

Mira las tres gráficas. Describe qué tienen igual y qué tienen diferente. Mira las tres ecuaciones. Describe qué tienen igual y qué tienen diferente. ¿Qué conjetura puedes hacer? Escribe una ecuación para comprobar tu conjetura. Si los valores de m son todos iguales, ¿qué conjetura puedes hacer sobre las gráficas que tienen la misma pendiente?

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EMPAREJA

Cada tabla de valores para x e y describe una relación. Cada ecuación define una relación. Empareja cada tabla con su correspondiente ecuación, si ello es posible:



DE LA TABLA A LA ECUACIÓN

Después de recoger estos datos, Michael debe usar la tabla para determinar la ecuación de la recta que los representa. Explica a Michael cómo debe hacerlo. X 12 14 16 18 20 Y 35 41 47 53 59

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Determinar si un gráfico es lineal mediante el dibujo de puntos en una situación dada. Investigar, hacer y probar conjeturas relativas a la pendiente y la dirección de una recta Cambiar ecuaciones Modelizar (con materiales concretos y representaciones pictóricas) y expresar las relaciones entre operaciones aritméticas y operaciones con expresiones algebraicas y ecuaciones.

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DIBUJA RECTAS

a) Dibuja las gráficas de las siguientes funciones y describe sus características, relacionándolas con sus ecuaciones: 1) 2) 3) 4) 5)

Y=3x+5 Y=3x-4 Y=-3x+5 Y=2 X=-4 3 6) Y= x 4 3 7) Y=- x 4 Si dos rectas tienen la misma pendiente, m, tienen la misma inclinación y son paralelas Si dos rectas tienen pendientes opuestas, son simétricas respecto del eje de ordenadas OY. Las rectas horizontales tienen por ecuación y=k, siendo k constante. La ecuación del eje de abcisas OX es y=0 Las rectas verticales tienen por ecuación x=h, siendo h constante. La ecuación del eje de ordenadas OY es x=0 La ecuación explícita de la recta es de la forma y=mx+b, siendo m=pendiente (mide la inclinación de la recta y la variación media de y respecto de x) y b=ordenada en el origen (es la ordenada del punto de la recta en el que x=0, es decir la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje OY) La ecuación implícita de la recta es de la forma Ax+By+C=0. Es posible transformar la ecuación implícita en la explícita y viceversa, mediante manipulaciones algebraicas. b) c) 

Halla la ecuación explícita de la recta 3x-2y-5=0. Represéntala gráficamente hallando su pendiente y su ordenada en el origen. 2 1 Halla la ecuación implícita de la recta y  x  . Represéntala gráficamente. 3 2 ¿SON LINEALES?

Determina tres pares ordenadas para cada ecuación (con ello puedes saber si la función es lineal o no, viendo si los puntos están o no alineados), dibuja los tres pares ordenados, conjetura si son funciones lineales o no y comprueba tus conjeturas usando tecnología gráfica.

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a) b) c) d)

y  x2  2 2x=y 3x 2  2 x  1  y 1 5 y x 2 2

j)

y  2  x3 Y=4x-2 2 y x Y+3=0 1 y x 2 y 2x



EMPAREJA 2

e) f) g) h) i)

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Empareja cada recta de la gráfica con las expresiones dadas:

a) b) c) d)

Tasa de crecimiento positiva, valor inicial positivo Tasa de crecimiento negativa, valor inicial más pequeño Tasa de crecimiento positiva, valor inicial negativo Tasa de crecimiento negativa, valor inicial positivo



LOS AHORROS DE ERICA

Erica guarda 2 € en una semana, 4 € la siguiente semana, 6 € la siguiente semana, y así sucesivamente. a)

Completa la tabla: Semana, s 1 2 3 4 5 6 7 Ahorro total, A (€) 2 6

b) c)

Dibuja el gráfico Determina si la gráfica es lineal y explica por qué si o por qué no.



CAMBIOS

a) b)

Describe qué le ocurre a la gráfica de la función y=mx+1 cuando cambia el valor de m. ¿Cómo crees que es la pendiente de una recta vertical? ¿Y la de una horizontal? Explica cada caso.

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Resolver ecuaciones usando gráficos Representar gráficamente ecuaciones e inecuaciones y analizar gráficos, usando tecnología gráfica Resolver ecuaciones lineales, radicales simples y exponenciales e inecuaciones lineales Construir y analizar gráficos y tablas relacionando dos variables Resolver problemas usando tecnología gráfica Desarrollar y aplicar estrategias para resolver problemas Para hallar el punto de corte de la recta y=mx+b con el eje de ordenadas OY, basta hallar el punto (0, b), que se obtiene al hacer x=0 en la ecuación de la recta. La ordenada del punto de corte es, precisamente, la ordenada en el origen de la recta. Por tanto, basta leer la gráfica de la función y=mx+b. Para hallar los puntos de corte de la recta y=mx+b con el eje de abcisas OX, basta resolver la ecuación que resulta al hacer y=0 Para resolver la ecuación ax+b=cx+d, basta dibujar las gráficas de las dos rectas y=ax+b, y=cx+d y mirar en el gráfico las coordenadas del punto de corte. También puedes resolver ecuaciones usando tecnología gráfica, como la ClassPad 330.

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EL PERIÓDICO DEL INSTITUTO

El coste de imprimir el periódico del instituto se puede representar por la ecuación c=23+0,25p, donde p es el número de páginas y c el coste en euros. a) b) c) d) e) f) g)

¿Cuál es la variable independiente? ¿Por qué? Dibuja la gráfica de la función A partir del gráfico, lee el valor de la ordenada en el origen e interpreta su significado A partir del gráfico, halla el número de páginas usadas si el coste es de 28 € Resuelve la ecuación 0,25p+23=32,5 usando el gráfico. Interpreta la solución. Redacta una frase sobre los valores del dominio de esta función. Inventa una ecuación o una situación, y propón una pregunta o dos, para que tu compañero las resuelva usando su conocimiento sobre la ordenada en el origen.

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MÉTODO GRÁFICO

Utiliza un gráfico para resolver las siguientes ecuaciones: a)

1,32m  1  2,73m  5  5,1 2m  1,3

b)

2 2 3 1 21  10x     6 x     x  2  5 3 4 3 3 4 

¿Cuántas maneras hay de resolver estas ecuaciones? Usa un método simbólico o tecnología gráfica para comprobar tus respuestas. 

ECUACIONES GRÁFICAS

Dibuja las gráficas de las siguientes funciones: a) b)

3 y x6 4 2 y x2 3

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Usa las gráficas para resolver cada una de las ecuaciones cuando: 1) y=0; 2) y=-2; 3) y=4.

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Expresar problemas en términos de ecuaciones y viceversa Modelizar fenómenos de la vida real con ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y potenciales y con inecuaciones lineales Identificar, generalizar y aplicar patrones Construir y analizar gráficos y tablas relacionando dos variables Describir relaciones del mundo real representadas por gráficos, tablas de valores y descripciones escritas Interpretar soluciones a preguntas basadas en el contexto Explorar y describir las dinámicas de cambio representadas en tablas y gráficos.

PISCINAS CUADRADAS 2

En un tipo especial de piscinas, la superficie del agua tiene forma de cuadrado. Alrededor de la piscina hay un borde con baldosas de forma cuadrada. Las piscinas se hacen en distintos tamaños. En la siguiente figura se muestran las tres más pequeñas:

a)

Suponiendo que el agua está representada por baldosas azules y el contorno exterior por baldosas blancas, completa la siguiente tabla: Longitud del Nº de baldosas azules Nº de baldosas blancas lado de la piscina (n) (a) (b) 1 1 8 2 4 12 3 9 16

b) c)

d) e)

Dibuja las gráficas de: a) longitud lado piscina → baldosas azules; b) longitud lado piscina → baldosas blancas. Determina la razón de cambio cuando se toma como variable independiente el lado de la piscina y como variable dependiente el número de baldosas azules. ¿Es constante? Haz lo mismo cuando tomamos como variable dependiente el número de baldosas blancas. ¿Son lineales las funciones n→a y n→b? ¿Cuál es la fórmula de cada una de estas funciones? Busca otras ecuaciones en las que la variable independiente esté elevada al cuadrado. Intenta dibujar sus gráficas y decide si se trata o no de funciones lineales.

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RESTAURANTE HEXAGONAL

Un restaurante tiene mesas hexagonales cada una para 6 personas cuando está sola. Cuando dos mesas se juntan, se pueden sentar 10 personas.

a) b) c) d) e) f)

Construye una tabla relacionando el número de mesas con el número de asientos. Usando la tabla, predice cuántos asientos hay cuando se juntan 5 mesas y cuando se juntan 10 mesas. Describe el patrón usando una expresión algebraica Construye un gráfico que muestre la relación entre el número de mesas unidas y el número de asientos en las mesas. Predice cuántas mesas unidas se usarán para 30 asientos y explica como deben distribuirse las mesas. Inventa un problema relativo a esta situación para que lo resuelva tu compañero de manera razonada. Mesas Asientos 1 6 2 10



RESTAURANTE CUADRADO

Un restaurante usa mesas cuadradas dispuestas como se muestra en la siguiente figura.

a) b)

Determina la ecuación que relaciona el número de mesas cuadradas y el número de asientos en un lado. Predice cuántas mesas serán necesarias para que se puedan sentar 36 personas y explícalo. Asientos en un lado Número de mesas 1 1 2 4 3 9

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T3. PATRONES, RELACIONES Y ECUACIONES

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MAURICIO CONTRERAS

Resolver ecuaciones usando gráficos Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización Demostrar una comprensión de la propiedad del producto nulo y su relación con la resolución de ecuaciones por factorización Expandir y factorizar expresiones polinómicas usando modelos de perímetro y área Usar materiales concretos, representaciones pictóricas y simbolismo algebraico para efectuar operaciones con polinomios Evaluar e interpretar ecuaciones no lineales usando tecnología gráfica ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Para dibujar la gráfica de la función y  x 2  4 x  3 es útil hallar primero los puntos de corte con los ejes. El corte con OY se determina haciendo x=0, es decir, resulta el punto (0, 3). Para hallar el corte con el eje OX hay que resolver la ecuación x 2  4 x  3  0 . ¿Cómo resolver esta ecuación? Un procedimiento que podemos seguir consiste en factorizar el polinomio de segundo grado, es decir convertirlo en un producto de factores de primer grado. ¿Cómo hacerlo? Para factorizar podemos usar baldosas como las que usábamos con las ecuaciones de primer grado. El cuadrado grande representa x2, los cuadrados pequeños son unidades y los rectángulos representan x. Si son de color negro son positivos, si son de color blanco, son negativos. Así, el primer diagrama representa x 2  4 x  3 , ya que consta de un cuadrado negro grande (x2), cuatro rectángulos blancos (-4x) y tres cuadrados negros pequeños (+3). Pero vemos que los lados del rectángulo que se forma son (x-1) y (x-3). Por tanto, se cumple que x 2  4 x  3  x  1  x  3 .

Por tanto, para resolver la ecuación procedemos así:  x 1 0  x 1 x 2  4 x  3  0 → x  1  x  3  0 →  x  3  0  x  3 ya que para que un producto sea nulo, debe ser nulo al menos uno de los factores.

Por tanto, la función y  x 2  4 x  3 corta al eje OX en los puntos (1, 0) y (3, 0). Los valores x=1 y x=3 se llaman raíces del polinomio y  x 2  4 x  3 . Por lo tanto, la gráfica de la función será la siguiente:

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a)

Completa la siguiente tabla:

b)

Describe el patrón entre los factores de una expresión dada y los puntos de corte con el eje OX de la gráfica correspondiente. ¿Piensas que será siempre cierto? Inventa un expresión y dibuja su gráfica, e iguala a cero la expresión para comprobar tu conjetura. Haz una conjetura sobre la manera de identificar el punto de corte con el eje OY mirando la ecuación cuadrática. Comprueba tu conjetura. Usando los resultados de los apartados b) y c), halla los puntos de corte con OX y con OY para cada una de las siguientes funciones (si es posible). Si no es posible, explica por qué.

c) d)

i) x 2  1  0 ii) x 2  4  0 iii) x 2  1  0

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MAURICIO CONTRERAS

Modelizar (con materiales concretos y representaciones pictóricas) y expresar las relaciones entre operaciones aritméticas y operaciones con expresiones algebraicas y ecuaciones. Usar materiales concretos, representaciones pictóricas y simbolismo algebraico para efectuar operaciones con polinomios Expandir y factorizar expresiones polinómicas usando modelos de perímetro y área

MÁS ECUACIONES CON BALDOSAS

Utilizando modelos de baldosas, resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado, obteniendo primero la factorización correspondiente: a)

x 2  8x  12  0

b)

x2  2x  8  0

c)

x2  4x  0

d) e)

x2  4  0 Inventa un trinomio de segundo grado sencillo y proponlo a tus compañeros de clase.

Para factorizar un trinomio de segundo grado de la forma ax2  bx  c con a>0, debes empezar descomponiendo en factores el término independiente c. Por ejemplo, en el trinomio x 2  8x  12 , se cumple que 12=4x3=6x2=12x1. De entre todas las descomposiciones de c hay que elegir aquella con la que sea posible construir el trinomio dado uniendo baldosas. Por ejemplo, en este caso, sólo es posible la combinación 12=6x2, ya que da origen a 8 baldosas de tamaño x, tal como se señala en la figura: Si el coeficiente de x es negativo, se puede buscar una solución en la que aparezcan baldosas de tamaño x tanto positivas como negativas, para que el resultado global coincida con el dado por el coeficiente negativo de x. Por ejemplo, en el caso del apartado b) podemos usar un diagrama como el siguiente:

Por último, la manipulación de las baldosas permite comprobar gráficamente la operación de “sacar factor común” que es, al fin y al cabo, una forma de factorizar de manera rápida. 

EMPAREJA 3

Empareja las expresiones de la izquierda con las expresiones equivalentes de la derecha y, para cada una, explica cómo has determinado el emparejamiento (tablas, gráficos, baldosas, etc)

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EMPAREJA 4

Amber está jugando a emparejar. Para cada una de las siguientes expresiones debe dibujar una representación de área (o construirla con baldosas) para hallar los pares equivalentes. ¿Cuántos pares equivalentes hay? Explícale con dibujos o baldosas cuáles son equivalentes.

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

Modelizar (con materiales concretos y representaciones pictóricas) y expresar las relaciones entre operaciones aritméticas y operaciones con expresiones algebraicas y ecuaciones. Aplicar propiedades de los números cuando se opera a la vez cono expresiones y ecuaciones. Demostrar una comprensión de la propiedad del producto nulo y su relación con la resolución de ecuaciones por factorización. Usar materiales concretos, representaciones pictóricas y simbolismo algebraico para efectuar operaciones con polinomios.

RESUELVE ECUACIONES CON BALDOSAS

Usando baldosas y una balanza podemos resolver ecuaciones. Por ejemplo, para resolver la ecuación x 2  5x  6  0 , podemos poner cada miembro en un plato de la balanza:

Hacemos un rectángulo en la parte izquierda:

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Aplicamos la propiedad del producto nulo usando que las dimensiones del rectángulo son x+2 y x+3:

También podemos usar las baldosas para multiplicar los monomios, revirtiendo el proceso, hasta alcanzar el trinomio de segundo grado original, tal como muestran las figuras siguientes:

Resuelve las siguientes ecuaciones usando baldosas. Comprueba las soluciones usando gráficas o métodos algebraicos:

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BEISVOL

Un golpe de beisvol es lanzado en suficiente territorio. La altura, h (en metros) de la bola se describe por la fórmula h  30x  6 x 2 , donde x es el tiempo, en segundos. a) b) c)

¿Cuánto tiempo transcurre después de haber cogido la pelota? ¿Qué jugador crees que coge la pelota? Explica. ¿Qué altura aproximada alcanza el balón? Explica.

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GRÁFICAS Y ECUACIONES

Dibuja las gráficas de las siguientes funciones: y  x 2  5x

a)

b) y  3x 2  2 x  1 Usa las gráficas para estimar la respuesta a cada una de las siguientes ecuaciones y discute tus aproximaciones con tus compañeros de clase. 

CUESTIÓN DE MÉTODO

Dadas las siguientes ecuaciones para resolver, predice cuál será el mejor método a usar en cada una y explícalo en cada caso:

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Expresar problemas en términos de ecuaciones y viceversa Explorar y describir las dinámicas de cambio representadas en tablas y gráficos Esbozar gráficos a partir de palabras, tablas y colecciones de datos Identificar, generalizar y aplicar patrones Construir y analizar gráficos y tablas que relacionan dos variables Modelizar fenómenos del mundo real con ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y potenciales y con inecuaciones lineales Evaluar e interpretar ecuaciones no lineales usando tecnología gráfica Resolver ecuaciones lineales, radicales simples y exponenciales e inecuaciones lineales.

EL GROSOR DE UNA HOJA DE PAPEL

¿Cómo puedes medir el grosor de una hoja de papel? (Un método puede ser medir con la regla el grosor de un paquete de 500 folios y después dividir entre 500 para hallar el grosor de una hoja. Si lo haces, verás que sale aproximadamente 0,01 cm) Dobla una hoja de papel por la mitad y anota su grosor. Dobla el papel por la mitad de nuevo y anota su grosor. Continua este proceso para completar la siguiente tabla. Observando el patrón, predice el grosor después de 10, 20 y 30 dobleces. Doblez nº 0 1 2 3 4 5… 30 Grosor (cm) 0,01 0,02 0,04 0,08 Grosor (cm) 1.(0,01 2.(0,01) 4.(0,01) 8.(0,01)

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T3. PATRONES, RELACIONES Y ECUACIONES

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MAURICIO CONTRERAS

GRÁFICAS EXPONENCIALES

Dibuja las gráficas de las funciones y  2 x ; y  3 x ; y  10x . Discute con tus compañeros las semejanzas y diferencias entre las tres gráficas. 

DOBLANDO PAPEL

Dibuja un gráfico que muestre la relación entre el área de la hoja de papel y el número de dobleces cuando doblamos el papel por la mitad cada vez. Este gráfico corresponde a la 1 función y  o bien y  2  x . Fíjate que doblar repetidas veces un objeto es un proceso que x 2 necesariamente termina; por lo tanto, el gráfico se aproxima al eje y=0, pero nunca lo alcanza. Comenta con tus compañeros las características de la gráfica. 

ECUACIONES EXPONENCIALES

a)

Halla el valor de x en y  2 x para y=8.

b)

Halla el valor de x en y  1  3 x para y=8

c)

Resuelve la ecuación y  10x  2 para y=8



MÁS GRÁFICAS EXPONENCIALES

Dadas las gráficas de las funciones y  2 x , y  3 x , responde las siguientes cuestiones: a)

Halla y para los siguientes valores de x: i) x=4 ii) x=2,5 1 iii) x= 2 1 iv) x= 3 3

b)

Describe cómo podrías estimar los valores de x, dados los siguientes valores de y: i) Y=9 ii) y=25 iii) Y=36 iv) Y=0,5 v) Y=0,3

c)

Comprueba cada una de las respuestas de apartados anteriores por resolución algebraica.



CUENTAS BANCARIAS

a)

Si un céntimo se coloca en una cuenta bancaria durante 1 día, y cada día se dobla el capital que tenías el día anterior, ¿Cuánto dinero tendrás después de un mes de 31 días? Si en vez de doblar, se triplicase la cuenta cada día, pero solo los últimos 10 días, ¿qué cantidad de dinero tendrías ahora? ¿Después de cuántos días la modalidad de ahorro del apartado b) será mejor que la modalidad de ahorro del apartado a)?. Muestra esto gráficamente.

b) c)

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MAURICIO CONTRERAS

Diseño y construcción de modelos de fenómenos de la vida real mediante ecuaciones (lineales, cuadráticas, exponenciales y potenciales) y mediante inecuaciones lineales Construcción, análisis e interpretación de tablas y gráficas que relacionan variables contextualizadas Uso apropiado de escalas en las representaciones gráficas Descripción y análisis del cambio representado en tablas y gráficos Interpretación de soluciones de ecuaciones basadas en el contexto Ecuación, pendiente y ordenada en el origen de una recta. Construcción de modelos de fenómenos reales con ecuaciones lineales, cuadráticas, radicales sencillas, exponenciales y potenciales y con inecuaciones lineales. Resolución gráfica, pictórica y algebraica de ecuaciones Operaciones con polinomios mediante materiales concretos, representaciones pictóricas y símbolos matemáticos Expansión y factorización de expresiones polinómicas cuadráticas usando materiales concretos y modelos Resolución de ecuaciones mediante tecnología gráfica Construcción de patrones

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