Processos politrópicos N moles de um gás ideal sofrem um processo reversível, segundo a equação

T = a P 2, entre os pontos 1 e 2. a) Represente o processo em coordenadas (P,V), (P,T) e (V,T). b) Calcule o trabalho entre os pontos 1 e 2.

c) Determine o calor específico cX no processo, mostrando que é politrópico.

Aula 5

1

N moles de um gás ideal sofrem um processo reversível, segundo a equação T = a P 2, entre os pontos 1 e 2. a) Represente o processo em coordenadas (P,V), (P,T) e (V,T). b) Calcule o trabalho entre os pontos 1 e 2. c) Determine o calor específico cX no processo, mostrando que é politrópico.

T  a P2

P T

.

P

P, V

P V

.

2

p2 V2

2

p2

p1

V  nRa P

PV  n R a P 2

a)

T2

p1

.

.

1

V1

1

T1

V1

V2

V

T1 Aula 5

T2

T 2

N moles de um gás ideal sofrem um processo reversível, segundo a equação T = a P 2, entre os pontos 1 e 2. a) Represente o processo em coordenadas (P,V), (P,T) e (V,T). b) Calcule o trabalho entre os pontos 1 e 2. c) Determine o calor específico cX no processo, mostrando que é politrópico.

b)

O trabalho pode ser calculado a partir da área no diagrama P,V:

.

P

2

p2

p1

P1  P2 W12  V2  V1   2 P1  P2 nRa 2  n R a  P2  P1   P2  P12 2 2

T2



.

1

T1

V1

Como

V2

P12

V

nR W12  T2  T1  2

T1 2 T2  , P2  a a Aula 5

3



N moles de um gás ideal sofrem um processo reversível, segundo a equação T = a P 2, entre os pontos 1 e 2. a) Represente o processo em coordenadas (P,V), (P,T) e (V,T). b) Calcule o trabalho entre os pontos 1 e 2. c) Determine o calor específico cX no processo, mostrando que é politrópico.

c)

R   c X   cV   1   Primeira lei:

Q12  U12  W12  n cV T  W12

Processo politrópico:

Q12  n c X T

Da alínea anterior:

nR W12  T2  T1  2

nR n c X T  n cV T  T 2

R c X  cV  2

  1 Aula 5

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Processos politrópicos Um gás ideal monoatómico (CV=3/2 R) sofre uma expansão politrópica do estado 1 para o estado 2 (ver figura), realizando o trabalho W12. Volta depois à temperatura inicial T1 por absorção de calor Q23 a volume constante, com Q23 = x W12. Determine a capacidade calorífica molar CX em função de x.

P

p1

T1

.

1

isotérmica

..

T1

V2

V

3

p2

2

V1

T2

Aula 5

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Um gás ideal monoatómico (CV=3/2 R) sofre uma expansão politrópica do estado 1 para o estado 2 (ver figura), realizando o trabalho W12. Volta depois à temperatura inicial T1 por absorção de calor Q23 a volume constante, com Q23 = x W12. Determine a a capacidade calorífica molar CX em função de x. P

T1

p1

.

1

1→2  Primeira lei:

isotérmica

..

T1

V2

V

3

p2

2 T2

V1

Como

Q12  U12  W12   CV T2  T1   W12  CV T  W12 2→3  Calor a volume constante:

Q23  CV (T31  T2 )   CV T

Q23  CV T  xW12

CV T W12   x

CV T 1  Q12  CV T   CV T  1   x x  Aula 5

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Um gás ideal monoatómico (CV=3/2 R) sofre uma expansão politrópica do estado 1 para o estado 2 (ver figura), realizando o trabalho W12. Volta depois à temperatura inicial T1 por absorção de calor Q23 a volume constante, com Q23 = x W12. Determine a a capacidade calorífica molar CX em função de x. P

p1

T1

.

CV T 1  Q12  CV T   CV T  1   x x 

isotérmica

1

..

T1

V2

V

3

p2

Como o processo é politrópico:

2 T2

V1

Igualando

Q12  Cx T2  T1   Cx T

 1 Cx  CV  1   x 

Nota: para x=1 obtém-se Cx = 0 (processo adiabático). Aula 5

7

Condução de calor Os cubos da figura têm 3 cm de aresta. Determine: a)

a resistência térmica de cada cubo;

b)

a resistência térmica do sistema;

c)

a corrente térmica;

d)

a temperatura na interface dos cubos.

k Cu  401W / m  K k Al  237W / m  K

Aula 5

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Os cubos da figura têm 3 cm de aresta. Determine: a) a resistência térmica de cada cubo; b) a resistência térmica do sistema; c) a corrente térmica; d) a temperatura na interface dos cubos.

R

a)

k Cu  401W / m  K k Al  237W / m  K

b)

Elementos em série:

RCu 

x kA 0,03 m



0,0831K/W



0,141K/W

 0,0831K/W  0,141K/W 

0,224 K/W

RAl 

 401W/m  K 0,03 m 

2

0,03 m

 237W/m  K 0,03 m 

2

R  RCu  RAl 

Aula 5

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Os cubos da figura têm 3 cm de aresta. Determine: a) a resistência térmica de cada cubo; b) a resistência térmica do sistema; c) a corrente térmica; d) a temperatura na interface dos cubos.

I

c)

k Cu  401W / m  K

I

T R



T R

373 K  293 K  0,224 K/W

357W

k Al  237W / m  K d)

Tinterface  373 K  TCu

 TCu  ICu RCu  I RCu

Tinterface  373 K  I RCu   373 K   357W 0,0831K/W   343,3 K  Aula 5

70,3C 10

Condução de calor Os cubos da figura têm 3 cm de aresta. Determine: a)

a corrente térmica que atravessa cada cubo;

b)

a corrente térmica total;

c)

a resistência térmica equivalente do sistema.

k Cu  401W / m  K k Al  237W / m  K

Aula 5

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Os cubos da figura têm 3 cm de aresta. Determine: a) a corrente térmica que atravessa cada cubo; c) a resistência térmica equivalente do sistema. a)

k Cu  401W / m  K k Al  237W / m  K I Al b) c)

R ICu 

x kA

b) a corrente térmica total;

I

T

kAT I x

R

 401W/m  K 0,03 m 

2

0,03 m



 373 K  293 K  

962W

2 237W/m  K 0,03 m   373 K  293 K    

0,03 m

569W

I  ICu  I Al  962W  569W   T 373 K  293 K Req    0,0523 K/W I 1,53 kW

Elementos em paralelo:

Aula 5

1,53 kW

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Um campista possui uma tenda que tem o tecto interior em plástico transparente. Numa noite de Verão, num vale da Serra da Estrela, decidiu não montar o tecto exterior e adormeceu a ver as estrelas (o tecto interior é transparente). Além disso, como estava uma temperatura agradável de 22ºC, deitou-se em calções. A sua área de pele voltada para cima é 0,9 m2 e a emissividade da pele é 0,9. a) Sabendo que a superfície da pele do campista estava a uma temperatura de 35 ºC, calcule o comprimento de onda a que corresponde a intensidade máxima de radiação emitida pelo campista b) Calcule a energia perdida pelo campista por unidade de tempo devido às trocas de calor por radiação entre este e o céu. Admita que o efeito do céu se traduz por uma fonte a - 5 ºC (se não houvesse atmosfera seria  3 K), que actua na superfície da pele do campista c) O metabolismo duma pessoa deitada fornece ao corpo uma potência de 50W. Calcule a temperatura de equilíbrio da pele do campista se se desprezarem as trocas de calor com o ar ambiente e com o solo d) O campista acorda a meio da noite (enregelado) e puxa um cobertor que tem a mesma emissividade da pele e uma espessura de 2cm. Que valor de condutividade térmica k tem de ter o cobertor para que o campista não sinta frio? (lembre-se que o metabolismo fornece 50W e que a temperatura da superfície exterior do cobertor tem que ser igual ao da alínea c)). 13

a) Lei de Wien :

λmáx

B 2,898.10 -3 m  K 2,898.10 -3 m  K     9400 nm T T 273,15  35

(corresponde à radiação do infravermelho longínquo).

b) Fluxo de energia radiada/absorvida pelo corpo humano:

Pradiada  e σ AT 4 Energia perdida por unidade de tempo pelo campista:

4 4  Pperdida  Pradiada  Pabsorvida  e σ Acorpo Tcorpo  Tcéu



 0,9  5,67.10 8  0,9  308,15

4

 268,15

4



 177 W 14

c) Para manter os 35 ºC, o campista necessitaria de receber 177 W. No entanto, como só dispõe de 50 W, a sua temperatura vai diminuir para um novo valor de equilíbrio. Assim,



4 50 = 0,9 × 0,9 × 5,67.10 -8 × T eq - 268,15 4

donde resulta que



T eq = 281,3 K 8º C . .

d) A potência que atravessa o cobertor, meio condutor de calor, é dada por Q = k A

dT dx

Na hipótese de o cobertor ter aproximadamente a mesma emissividade e a mesma área que o corpo humano, a sua temperatura exterior de equilíbrio vai ser igual. Substituindo os valores da temperatura de 8,3ºC no exterior e de 35ºC junto ao corpo, vem

50 = k × 0,9 ×

 35 - 8,3  2.10 -2

 k = 4,16.10 -2 W K 1 m1

Note-se que o cobertor não diminui a potência dissipada pelo corpo humano, mas apenas ajudou a criar uma diferença de temperatura, aumentando o nível de conforto.

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