Skriptum zur Vorlesung:

PHYSIKALISCHE MESSTECHNIK A (Signale/Systeme) Kapitel E: Digitale Signalverarbeitung Wintersemester 1998 / 99 Universität Paderborn Fachbereich 6 - Physik -

Dozent:

Prof.Dr.H.Ziegler

Protokoll:

Dr.H.Aulfes / C.H.

Grundlagen

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E. DIGITALE SIGNALVERARBEITUNG.....................................................................4 I. GRUNDLAGEN .................................................................................................................................................4 1. Ziel ...................................................................................................................................................................4 2. A-D-Wandlungsblock ......................................................................................................................................4 a) Anti-Aliasing Vorfilter .................................................................................................................................4 b) Track- and Hold-Kreis .................................................................................................................................4 c) A/D-Wandler................................................................................................................................................4 3. Diskrete numerische Signalverarbeitung..........................................................................................................6 4. D-A-Wandlungsblock ......................................................................................................................................6 a) D/A-Wandler-Baustein.................................................................................................................................6 b) Track- and Hold...........................................................................................................................................6 5. Postfilter...........................................................................................................................................................6 6. Zeitverzögerung ...............................................................................................................................................6 a) Minimale Zeitverzögerung ...........................................................................................................................6 b) Große Zeitverzögerung ................................................................................................................................6 c) Pseudo-Kausalität.........................................................................................................................................6 7. Digitale Teilsysteme.........................................................................................................................................6 II. DIGITALE FILTER .........................................................................................................................................7 1. Grundgleichung nichtrekursiver Filter .............................................................................................................7 a) Diskrete Faltung...........................................................................................................................................7 b) Filterkoeffizienten........................................................................................................................................7 c) Lineare zeitinvariante Systeme.....................................................................................................................7 2. Realisierung......................................................................................................................................................8 a) Programm-Algorithmus................................................................................................................................8 b) Multiply-Add-Unit .......................................................................................................................................8 c) Spezialisierte Einheiten................................................................................................................................8 d) Numerischer Aufwand, Rechenzeit..............................................................................................................8 e) Rundungsfehler ............................................................................................................................................9 f) Darstellungsfehler.........................................................................................................................................9 3. Beispiele...........................................................................................................................................................9 a) Mischpult .....................................................................................................................................................9 b) Lautsprecherkorrektur..................................................................................................................................9 c) Echolöschung ...............................................................................................................................................9 d) Akustische Thermometrie ..........................................................................................................................10 e) Modem .......................................................................................................................................................10 4. Nachteile digitaler Filter.................................................................................................................................10 a) Schaltungsaufwand.....................................................................................................................................10 b) Rechneraufwand ........................................................................................................................................10 c) Entwurfsmethoden .....................................................................................................................................10 d) Anwendungsvoraussetzungen ....................................................................................................................11 e) Quantisierungsrauschen..............................................................................................................................11 5. Vorteile digitaler Filter...................................................................................................................................11 a) Exakte Reproduzierbarkeit.........................................................................................................................11 b) Abgleichfrei ...............................................................................................................................................11 c) Driftfrei ......................................................................................................................................................11 d) Beliebige Impulsantworten ........................................................................................................................11 e) Änderbarkeit, Adaption..............................................................................................................................11 f) Linearphasige (Nichtkausale) Filter............................................................................................................11 g) Verbilligung durch Halbleiterfortschritte...................................................................................................12 6. Finite Filter (FIR)...........................................................................................................................................12 a) Vergangenheitsfilter ...................................................................................................................................12 b) Symmetrische Filter ...................................................................................................................................12 c) Frequenzgang .............................................................................................................................................12 7. Rekursive Filter (IIR) .....................................................................................................................................12 a) Definition ...................................................................................................................................................12 b) Beispiel RC-Glied......................................................................................................................................13 Kapitel E des Skriptums zur Vorlesung „Physikalische Messtechnik A“ WS 1998 / 99

Grundlagen

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c) Vorteile ......................................................................................................................................................13 d) Probleme....................................................................................................................................................14 III. DISKRETE FOURIERTRANSFORMATION (DFT) ...............................................................................14 1. Spektrum diskreter Funktionen ......................................................................................................................14 2. Spektrum zeitbegrenzter Funktionen..............................................................................................................14 3. Fensterfunktionen zur Zeitbegrenzung ...........................................................................................................15 a) Rechteck-Fenster........................................................................................................................................17 b) Bartlett-Fenster (Dreieck) ..........................................................................................................................17 c) Hanning-Fenster.........................................................................................................................................18 d) Hamming-Fenster.......................................................................................................................................19 e) Blackmann-Fenster.....................................................................................................................................20 4. Zahl der Informationselemente.......................................................................................................................20 a) Zeitbereich .................................................................................................................................................20 b) Frequenzbereich.........................................................................................................................................21 5. Formeln diskreter Fouriertransformation .......................................................................................................21 6. Numerische Implementierung der DFT..........................................................................................................21 a) Trigonometrische Tabelle ..........................................................................................................................21 b) Komplexe Arithmetik ................................................................................................................................22 c) Tabellenzugriff...........................................................................................................................................22 7. Schnelle Fouriertransformation (FFT) ...........................................................................................................23 a) Cooley-Tukey-Algorithmus........................................................................................................................23 b) Rechenaufwand..........................................................................................................................................23 c) Weitere Optimierungen..............................................................................................................................23

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Grundlagen

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E. DIGITALE SIGNALVERARBEITUNG I.

GRUNDLAGEN

1.

Ziel

Das Ziel dieses Kapitels ist die Beschreibung digitaler Systeme als Systemtheorie digitaler zeitdiskreter Systeme. Wie bei dem Samplingtheorem bleibt auch bei dem Signalverarbeitungstheorem die Information vollständig erhalten. 2.

A-D-Wandlungsblock

Für die digitale Signalverarbeitung müssen sowohl die Zeit als auch die Amplituden des Signals diskretisiert werden. Die Zeitdiskretisierung haben wir schon beim Sampling kennengelernt. a)

Anti-Aliasing Vorfilter

Der Anti-Aliasing-Filter ist ein Tiefpassfilter, der sicherstellt, dass in dem zu wandelnden Signal keine Frequenzen höher als die doppelte Abtastfrequenz vorhanden ist. b)

Track- and Hold-Kreis

Der Track- and Hold Kreis "erledigt" die Zeitdiskretisierung des Signals (s.a. Kapitel "Sampling"). c)

A/D-Wandler

Der eigentliche A/D- Wandler übernimmt die Amplitudendisketretisierung. Der Signalfluss sieht folgendermaßen aus:

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Grundlagen

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Abbildung E-1

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Grundlagen 3.

Diskrete numerische Signalverarbeitung

Von dem Prozessor werden die digitalen Daten nach einem vorgegebenen Algorithmus abgearbeitet. 4.

D/A-Wandlungsblock

a)

D/A-Wandler-Baustein

Der Digital-Analog-Wandler setzt die aufbereiteten Daten in eine stufenförmige Ausgangsspannung um. b)

Track- and Hold

Aus Gründen der genaueren Signalkonstruktion liegt am Ausgang des D/A-Wandlers ein zweiter Sample-and-Holdkreis. 5.

Postfilter

Zur Unterdrückung der in der Ausgangsspannung enthaltenen unerwünschten höheren Frequenzanteile wird ein Postfilter (Tiefpass) nachgeschaltet. 6.

Zeitverzögerung

a)

Minimale Zeitverzögerung

Die Zeitverzögerung des gesamten Blockes ist minimal 1-2 Takte T. b)

Große Zeitverzögerung

Der Rechner kann eine große Zeitverzögerung am Ausgang verursachen, indem er die Werte zwischenspeichert. c)

Pseudo-Kausalität

Wenn das Ausgangssignal zwischengespeichert und erst später ausgegeben wird, dann lässt sich eine Pseudo-Kausalität definieren, da man von dem Signal ja schon seine "Zukunft" kennt. 7.

Digitale Teilsysteme

Unter diesen Begriff fallen Systeme, die zur Signalverarbeitung nicht den ganzen oben beschriebenen Wandlungsblock brauchen. Als Beispiel sind zu nennen: a) Für die Wiedergabe digitaler Informationen: CD-Player, DVD-Player etc. b) Für die Aufnahme digitaler Informationen: Festplattenrecorder, Mini-Disk etc. Kapitel E des Skriptums zur Vorlesung „Physikalische Messtechnik A“ WS 1998 / 99

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Digitale Filter

II. 1.

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DIGITALE FILTER Grundgleichung nichtrekursiver Filter

Die Grundgleichung ist - wie überall in der digitalen Signalverarbeitung- das diskrete Äquivalent zum analogen System. Bei der analogen Systemtheorie war das Ausgangssignal die Faltung des Eingangssignals mit der Impulsantwort des Systems. Das ist der Kern aller analogen Systeme (incl. Filter). In der digitalen Welt gilt Analoges. a)

Diskrete Faltung

Die diskrete Faltung hat die Form einer Produktsumme: N

y[ k ] = ∑ x[ k − i ] ⋅ a[i ] i =0

In der eckigen Klammer steht jetzt ein ganzzahliger Index. a[i ] soll die Impulsantwort des Systems sein. Wobei k der momentane und k-i ein vergangener Zeitpunkt sein soll. Dies ist die allgemeine Form eines digitalen Filters. b)

Filterkoeffizienten

Die Filterkoeffizienten a[i ] stellen eine diskrete endliche Menge von Zahlen dar, die die zeitdiskretisierte Impulsantwort des Filters sind:

Abbildung E-2

c)

Lineare zeitinvariante Systeme

Diese diskrete Faltung von Eingang mit Impulsantwort ist allgemein gültig für lineare, zeitinvariante Systeme. Man kann also mit dieser einen Sorte von Gleichung jedes System mit diesen Eigenschaften so behandeln.

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Digitale Filter

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2.

Realisierung

a)

Programm-Algorithmus

Für die Realisierung sind zwei Teile notwendig. Zum einen die Hardware (s.o.) und einen Algorithmus. Den erste Sorte von Algorithmen ist die diskrete Faltung wie sie Oben steht. Dieser Algorithmus heißt auch Offline-Algorithmus, weil dieser nur dann anwendbar ist, wenn alle Daten gespeicher zur Verfügung stehen. In einem Digitalfilter wird i.a. eine Echtzeitverarbeitung der Daten gefordert. Dazu wird ein etwas anderer Algorithmus, der Online-Algorithmus, verwendet: N

y = ∑ x[ −i ] ⋅ a[i ] i =0

Dieser Algorithmus liefert immer nur einen Ausgangswert y. Der Speicherwert k fällt hier weg. b)

Multiply-Add-Unit

Der ganze Algorithmus besteht im wesentlichen aus Multiplikationen und Additionen (Multiply-Add). Die Programmzeilen sehen etwa so aus: 1. Schritt: S = 0 2.Schritt: S = S + x[ −i ] ⋅ a[i ] 3. Schritt: Wiederhole 2. Schritt N - mal (i = 0 L N ) 4.Schritt: y = S Der Rechner muss also nicht kompliziert programmiert werden, sondern es können jede Art von linearen, zeitinvarianten Systemen mit den oben beschriebenen Programmzeilen gefiltert werden. c)

Spezialisierte Einheiten

Wegen der extremen Einfachheit der Rechenoperationen werden Spezialsysteme, sogenannte DSP (Digitale Signal Prozessoren), eingesetzt, die ultraschnell hauptsächlich einen einzigen Befehl ausführen: Multiply-Add. d)

Numerischer Aufwand, Rechenzeit

Der numerische Aufwand ist proportional zu der Maximalzahl N. Diese Zahl wird von der Dauer bzw. dem Charakter (kleine Amplituden bleiben unberücksichtigt) der Impulsantwort abhängen. Beispiel Audiobereich: N Schleifen in 22 µs (44 kHz).

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Digitale Filter e)

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Rundungsfehler

Würde nach jedem Multiplikationsschritt das Ergebnis gerundet, so wäre der Fehler des Endergebnis nach sehr vielen Summenbildungen durch die Kumulation sehr groß. Deshalb werden in den DSP´s extra Summenregister mit 32-bit Wortbreite geführt, die es ermöglichen erst ganz zum Schluss eine einzige Rundung durchzuführen. f)

Darstellungsfehler

Da auch die Filterkoeffizienten a[i ] nur mit endlicher Genauigkeit (z.B. 16-bit) dargestellt werden können, können auch daher (kleine) Fehlerbeiträge entstehen. Allerdings sind diese Fehler i.a. zu vernachlässigen. 3.

Beispiele

a)

Mischpult

Mit einem Mischpult können bei einer Audio-Übertragungsanlage beliebige Frequenzbereiche eingestellt werden. Diese Aufgabe wird heutzutage vornehmlich mit digitalen Filtern realisiert. Dabei braucht für jeden Frequenzbereich nur die Impulsantwort, also die Filterkoeffizienten a[i ] , geändert zu werden. D.h., dass die Software nicht geändert werden braucht. b)

Lautsprecherkorrektur

Eine ganz aktuelle Anwendung ist die Lautsprecher- oder Mikrophonkorrektur. Diese elektroakustischen Komponenten haben stets die signalverfälschende Eigenschaft, dass sie eine Übertragungsfunktion haben, die nicht für alle Frequenzen konstant ist. Dies gilt sowohl für den Amplituden- als auch für den Phasengang. Diese nichtideale Übertragungsfunktion kann - wenn man sie kennt- durch ein digitales Filter korrigiert werden. Dazu wird das Signal vor den Lautsprechern durch deren inverse Übertragungsfunktion gerade so vorverzerrt, dass es durch die Lautsprecher-Übertragungsfunktion wieder richtig gebogen wird. Dieses Vorgehen ermöglicht es, einen schlechten Lautsprecher zu einem idealen Lautsprecher mit perfektem Klangbild zu machen. c)

Echolöschung

In einer akustischen Situation mit einem oder mehreren störenden Echos (Beispiel: Audioanlage im Wohnzimmer) können digitale Filter u.U. Abhilfe schaffen. Dazu nimmt am Hörort ein sehr gutes Mikrofon ein kurzes, breitbandiges Testsignal auf, welches von den Lautsprechern abgesandt wurde. Durch Vergleich des Anwortsignales mit dem Eingangssignal ist dem digitalen System die gesamte Übertragungsfunktion der elektroakustischen Strecke (Verstärker, Lautsprecher, Echos, Nebengeräusche etc.) bekannt. Mit dieser Kenntnis kann dann analog zu der oben beschriebenen Lautsprecherkorrektur das Musiksignal vorverzerrt werden. Kapitel E des Skriptums zur Vorlesung „Physikalische Messtechnik A“ WS 1998 / 99

Digitale Filter

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Das Ergebnis ist die Musik an dem Hörort echofrei, raum- und lautsprecherkorrigiert zu geniessen. d)

Akustische Thermometrie

In der akustischen Thermometrie wird die temperaturabhängige Schallgeschwindigkeit in Stoffen ausgenutzt. Bei akustischen Gasthermometrie kann z.B. ein Schallpuls in ein Gas emittiert werden, welcher dann nach einer gewissen Laufstrecke (z.B. in einem Rohr bekannter Länge) wieder mit einem Mikrophon aufgenommen wird. Da dieser Puls aber durch eine Vielzahl physikalischer Effekte verzerrt wird, muss er vorbehandelt werden. Dazu wird zunächst wieder die elektroakustische Übertragungsfunktion (Lautsprecher, Übertragungsweg, Mikrophon) ausgemessen. Mit Kenntnis dieser Funktion kann der Eingangspuls so vorverzerrt werden, dass er nach der Übertragung richtig schön und ideal erscheint. e)

Modem

Eine weitere sehr aktuelle Anwendung ist die Übertragung von Daten über Telefonleitung mit einem Modem. Die spektrale Übertragungsfunktionen der (alten Post-) Leitungen ist sehr problematisch und variiert von Anschluss zu Anschluss. Da sich aber moderne Modems der digitalen Filterung bedienen, funktionieren sie einwandfrei. Dazu wird bei jedem Anwahlvorgang in die Leitung "hineingehört" und die so die spektrale Übertragungsfunktion jedesmal neu ausgemessen. Mit Kenntnis dieser Übertragungsfunktion kann durch das oben schon beschriebene Verfahren eine einwandfreie Übertragung gewährleistet werden. 4.

Nachteile digitaler Filter

a)

Schaltungsaufwand

Verglichen mit analogen Filter ist der Schaltungsaufwand sehr hoch. Jeder Mikroprozessor beinhaltet heutzutage beispielsweise mehrere Millionen Transistoren, ein RC-Filter kommt dagegen mit minimal zwei Bausteinen aus. b)

Rechneraufwand

Auch der Rechenaufwand ist erheblich (s.oben). c)

Entwurfsmethoden

Es gibt gewisse Probleme bei dem Entwurf von digitalen Filtern. Es ist z.B. nicht so einfach möglich aus einer realen Impulsantwort und der idealen Impulsantwort die "Wunsch"Impulsantwort des Filters zu generieren. Dies geht z.B. nur über die Fouriertransformation. Der Entwicklungsaufwand für die Filterkoeffizienten ist daher erheblich Kapitel E des Skriptums zur Vorlesung „Physikalische Messtechnik A“ WS 1998 / 99

Digitale Filter d)

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Anwendungsvoraussetzungen

Anwendungsvorausetzung ist zum einen die Einhaltung des Samplingtheorems und zu anderen die Digitalisierung (Quantisierung) der Amplitude. e)

Quantisierungsrauschen

Der Fehlerbeitrag durch die Quantisierung der Amplituden wirkt sich auf das Signal aus wie ein kleiner Rauschenbeitrag. Die Größe dieses Beitrages ist aber bekannt und bei guten Wandlern ein Hunderttausendstel und weniger, also i.a. zu vernachlässigen. 5.

Vorteile digitaler Filter

a)

Exakte Reproduzierbarkeit

Wenn die Filterkoeffizienten festliegen, so ist das Filterergebnis im Gegensatz zu den mit Fertigungstoleranzen behafteten analogen Filtern immer exakt reproduzierbar. b)

Abgleichfrei

Aus dem oben gesagten folgt direkt, dass digitale Filter keinen Abgleich benötigen. c)

Driftfrei

Die exakte Reproduzierbarkeit und die Abgleichfreiheit bleiben auch zeitlich vorhanden, so dass digitale Filter auch Driftfrei sind. d)

Beliebige Impulsantworten

Analoge Filter kann man nicht für beliebige Impulsantworten entwerfen. So ist es beispielsweise sehr schwierig mit analoger Technik ein Zeitverzögerungs-Filter zu entwerfen. Dieses ist aber mit digitalen Filtern sehr einfach möglich. e)

Änderbarkeit, Adaption

Digitale Filter können ihre Filterkoeffizienten ändern oder an gegebene Situationen anpassen (adaptieren). Diese Eigenschaft ist den analogen Filtern völlig fremd. f)

Linearphasige (Nichtkausale) Filter

Diese Linearphasigkeit wird beispielsweise für den Entwurf von idealen Verstärkern gebraucht, bei denen der Zeitverschiebungsatz ja einen perfekten linearen Anstieg der Phase fordert.

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Digitale Filter

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Wir haben schon bei der Diskussion des idealen Tiefpass - Filters festgestellt, dass dieser nicht real nicht existieren kann, weil die Impulsantworten auf der linken Seite der y-Achse immer Null sein müssen (Kausalität). Gerade diese Forderung können wir durch Speicherung der Messdaten und späteres Analysieren umgehen: Jetzt kennen wir nämlich schon die gesamte Pulsantwort zum Zeitpunkt t = 0. Die Menge der Daten beschränkt sich also nicht mehr bloß auf den positiven Teil i = 0... N , sondern bei der Berechnung eines Ausgangswertes kennen wir schon L zukünftige Werte : i = − L ... N . g)

Verbilligung durch Halbleiterfortschritte

Das Preisleistungsverhältnis bei Halbleitern verbessert sich derzeit pro Jahr etwa um den Faktor 2. Wobei sich dies zu einen Hälfte auf den Preis und zur anderen Hälfte auf die Leistungsverbesserung bezieht. Dadurch werden Anwendungen der digitalen Filter immer verbreiteter. 6.

Finite Filter (FIR)

FIR kommt von Finite Impulse Response (endliche Impuls Antwort). a)

Vergangenheitsfilter

Die (klassischen) Vergangenheitsfilter sind die Filter, für die gilt: i = 0... N . Die längste darstellbare Impulsantwort wird durch N vorgegeben. Wenn N vergrößert werden soll, benötigt man einen größeren Speicher und einen schnelleren Rechner, weil die gesamt zur Verfügung stehende Zeit konstant ist. b)

Symmetrische Filter

Durch entsprechende Zeitverzögerung können symmetrische Filter realisiert werden. c)

Frequenzgang

Es lassen sich alle Frequenzgänge realisieren. 7.

Rekursive Filter (IIR)

IIR kommt von Infinite Impulse Response (unendliche Impuls Antwort). Häufig hat man das Problem, mit digitalen Filtern Impulsantworten von analogen Filtern nachzubilden. Dieses versprechen mit endlichem Aufwand eben diese Art von Filtern. a)

Definition

Die Grundgleichung sieht etwas anders aus: y[ k ] =

N

M

i =− L

i =1

∑ x[ k − i ] ⋅ a[i ] + ∑ y[ k − i ] ⋅ b[i ]

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Digitale Filter

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Die erste Summe sieht aus wie bei den bisherigen Filtern. Es kommt aber noch eine zweite Summe dazu, in der als Eingangsfunktion (y) das vorher berechnete Ausgangssignal mit der Gewichtung b[i] verwendet wird. b)

Beispiel RC-Glied

Gegeben sei ein RC-Filter mit großer Zeitkonstante τ verglichen mit dem Eingangssignal, welches ein kurzer Rechteckpuls mit der Breite eines Zeittaktes T sein soll:

Abbildung E-3

Das RC-Glied wird daraufhin in seinem linearen Bereich eine Spannung erzeugen, die ein Bruchteil der Gesamtspannung ausmacht. Man kann zeigen, dass gilt: Ausgangswert ≈ 0,1⋅ Eingangswert + 0,9 ⋅ Altwert Wenn kein Eingangssignal anliegt, dann beträgt das Ausgangssignal nach einem Zeittakt 0,9 Altwert. Nach dem Zweiten: 0,9·0,9 Altwert usw. Wenn das auf die rekursive Gleichung abgebildet wird, so erhalten wir: a[0] = 0,1 und b[1] = 0,9 (alle anderen Null) d.h. es wird nur der momentane Eingang betrachtet. Das ist die Nachbildung des RC-Gliedes mit unendlicher Pulsantwort. c)

Vorteile

Die Vorteile sind: • Nachbildung aller analogen Filter möglich. • Oft viel geringerer Rechenaufwand erforderlich.

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Diskrete Fouriertransformation (DFT) d)

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Probleme

− Unendliche Nachwirkungen. Wird ein Fehlsignal auf dieses Rekursivfilter gegeben, so dauert es exponentiell lange bis der Fehler "rausgearbeitet" worden ist. Bei finiten Filtern ist jede Störung dagegen nach N-Takten verschwunden. − Begrenzte Mathematik: i.a. ist es schwierig, einen eindeutigen Weg anzugeben, wie die Gewichtungsfaktoren (a[i], b[i]) für eine vorgegebene Impulsantwort berechnet werden können. − Numerische Stabilität: Wegen der Rückführung des Ausgangssignals sind Instabilitäten vom Prinzip her möglich.

III. 1.

DISKRETE FOURIERTRANSFORMATION (DFT) Spektrum diskreter Funktionen

Ein Signal sei korrekt, d.h. unter Beachtung des Samplingtheorems, abgetastet worden. Das Spektrum einer solchen zeitdiskreten Funktion ist ja dadurch gekennzeichnet (s.Kap. über Sampling), dass neben dem eigentlichen Spektrum (um ω 0 ) noch eine Vielzahl von Repliken existieren:

Abbildung E-4

Dieses Spektrum ist periodisch und die gesamte Information über das Spektrum ist in einer Periode enthalten. Da das Spektrum konjugiert komplex ist, ist die Information sogar in dem Bereich (0 …

ω0 ) 2

enthalten bei reellen Funktionen.

Der Rechner braucht also nur einen kleinen Teil des gesamtem Spektrums ausrechnen. Aus dem Fourierintegral wird eine diskrete Summe ohne Informationsverlust. 2.

Spektrum zeitbegrenzter Funktionen

Bisher sind wir immer stillschweigend davon ausgegangen, dass das Zeitfenster der Datenentnahme keinen Einfluss auf das Spektrum hat. Dies ist allerdings keinesfalls so, denn in Wirklichkeit wird nicht die Fouriertransformierte der realen Funktion, sondern die Fouriertransformierte einer zeitbegrenzten Funktion, berechnet:

Kapitel E des Skriptums zur Vorlesung „Physikalische Messtechnik A“ WS 1998 / 99

Diskrete Fouriertransformation (DFT)

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Abbildung E-5

Diese zeitbegrenzte Funktion beschreibt also nur ein Zeitfenster der Breite N ⋅ ∆T der realen Funktion. Ein Lösungsansatz haben wir schon diskutiert: die periodische Fortsetzung. Dies führt zu einer Betrachtung wie bei der Fouriertransformationen periodischer Funktionen, die ja ein diskretes Spektrum liefern. Die Spektrallinien haben einen Abstand ω o = 2Tπ = N2⋅π∆T . D.h. je breiter das Zeitfenster ist, desto enger werden die Spektrallinien aneinander liegen. Zusammenfassung: Die Transformierte einer periodischen Funktion kann nur durch ein Integral gelöst werden. Das Ergebnis ist diskret aber mit sehr vielen Elementen. Die Transformierte eines zeitdiskreten Signals wird über eine Summe berechnet. Durch Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften von reellen Signalen braucht nur der Frequenzbereich (0 …

ω0 ) 2

berechnet zu werden.

Fazit: Die Kombination von Zeitbegrenzung und Diskretisierung führt zu einem endlichen (reduzierten) Rechenaufwand. 3.

Fensterfunktionen zur Zeitbegrenzung

Leider hat die Zeitbegrenzung von Signalen Konsequenzen auf das Ergebnis der Fouriertransformierten. Das Zeitfenster bedeutet mathematisch nichts anderes, als dass das Signal mit einer Rechteckfunktion im Zeitbereich multipliziert wird. Wir wissen ja schon, dass die Multiplikation zweier Zeitsignale eine Faltung im Spektralbereich bedeutet. Die Fouriertransformierte einer Rechteckfunktion ist aber die (berühmte)

sin x

x -Funktion:

Kapitel E des Skriptums zur Vorlesung „Physikalische Messtechnik A“ WS 1998 / 99

Diskrete Fouriertransformation (DFT)

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Abbildung E-6

Das Zeitsignal wird also mit dieser sin x x -Funktion gefaltet. Angenommen, das Zeitsignal wäre ein perfekter Sinus mit der Frequenz ω x der durch die Rechteck-Fensterfunktion abgeschnitten wurde. Die Fouriertransformierte des perfekten Sinus ist ein Delta-Peak bei ω x . Das durch die Fensterung entstandene Spektrum hat aber eine viel kompliziertere Form:

Abbildung E-7

Diesem Spektrum kann man nicht mehr ansehen, dass es sich um einen reinen Sinus handelt. Fazit: Die Fouriertransformierte eines zeitbegrenzten Signals ist anders, als die Fouriertransformierte eines nicht zeitbegrenzten Signals. Die Rechteckfunktion erscheint unter diesen Gesichtspunkten sogar ungünstig als Fensterfunktion, da sie scharfe Kanten hat, die im Spektrum viele Frequenzen verursachen. Es gibt eine Reihe anderer Fensterfunktionen, die von Fall zu Fall günstiger erscheinen. Bei der folgenden Auflistung dieser Fensterfunktion ist der Vollständigkeitwegen das Rechteckeckfenster nochmal mit aufgeführt. Dies ist auch deshalb sinnvoll, weil die Fouriertransformierten der Fensterfunktionen im logarithmischen Maßstab aufgezeichnet sind:

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Diskrete Fouriertransformation (DFT) a)

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Rechteck-Fenster

Fensterfunktion:

f ( n) =

RS1, T0,

0 ≤ n ≤ M, sonst

Abbildung E-8

Abbildung E-9

b)

Bartlett-Fenster (Dreieck)

Fensterfunktion:

R|2n/ M , f (n) = S2 − 2n/ M , |T0,

0 ≤ n ≤ M /2, M /2 < n ≤ M , sonst

Kapitel E des Skriptums zur Vorlesung „Physikalische Messtechnik A“ WS 1998 / 99

Diskrete Fouriertransformation (DFT)

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Abbildung E-10

Abbildung E-11

c)

Hanning-Fenster

Fensterfunktion:

f ( n) =

RS0.5 − 0.5 cos(2πn/ M ), T0,

0≤n≤ M sonst

Abbildung E-12

Kapitel E des Skriptums zur Vorlesung „Physikalische Messtechnik A“ WS 1998 / 99

Diskrete Fouriertransformation (DFT)

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Abbildung E-13

d)

Hamming-Fenster

Fensterfunktion: f (n) =

RS0.54 − 0.46 cos(2πn/ M ), T0,

0≤n≤ M sonst

Abbildung E-14

Abbildung E-15

Kapitel E des Skriptums zur Vorlesung „Physikalische Messtechnik A“ WS 1998 / 99

Diskrete Fouriertransformation (DFT) e)

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Blackmann-Fenster

Fensterfunktion:

f ( n) =

RS0.42 − 0.5 cos(2πn/ M ) + 0.08 cos(4πn/ M ), T0,

0≤n≤ M sonst

Abbildung E-16

Abbildung E-17

Wir sehen, dass die Breite der Hauptlinie mit der Güte des Fensters (=Dämpfung des ersten Nebenmaximums) ansteigt. Das ist quasi der Preis für die Güte. Man kann also nicht sagen, welches Fenster das Beste ist. Dieses wird man von Fall zu Fall individuell entscheiden müssen. 4.

Zahl der Informationselemente

a)

Zeitbereich

Die Anzahl der Informationselemente N ist bestimmt durch die Zeitdauer T und dem Zeittakt ∆t : N=

T ∆t

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Diskrete Fouriertransformation (DFT) b)

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Frequenzbereich

Im Frequenzbereich ist die Anzahl der Informationselemente bestimmt durch den Abstand der Spektrallinien ( ω 0 = 2Tπ ) und der maximal benötigten Frequenz ( ω m = 21 2∆πt ): N=

ωm 1 T = ω o 2 ∆t

d.h. N ist hier halb so groß wie im Zeitbereich. Dies kommt dadurch, dass im Frequenzbereich die Elemente komplex sind. 5.

Formeln diskreter Fouriertransformation

Die diskrete äquivalente Formel der Fouriertransformation ist: F[ k ] =

N −1

∑ f [ n] ⋅ e

−2π j⋅ nN⋅k

n=0

und für die Rücktransformation entsprechend: f [ n] =

1 N

N −1

∑ F[ k ] ⋅ e

+2π j⋅ nN⋅k

k =0

Diese Darstellungen sind die Basis zur Berechnung bzw. Programmierung der DFT. 6.

Numerische Implementierung der DFT

a)

Trigonometrische Tabelle

Will man die DFT programmieren, so muss zunächst anhand der Euler´schen Relation Teile der Gleichungen äquivalent in eine einfachere Form gebracht werden: e

−2π j⋅ nN⋅k

n⋅k n⋅k ) + j sin( −2π ⋅ ) N N n⋅k n⋅k ) − j sin(2π ⋅ ) = cos(2π ⋅ N N = cos( −2π ⋅

Implementiert man dies nun in die obere Gleichung, so kann man sich leicht klarmachen, dass für jede DFT N 2 -Cosinusterme und N 2 -Sinusterme berechnet werden müssen. Die Berechnung von diesen Trigonometrischen Funktionen werden im Rechner standardmäßig über Reihenentwicklungen durchgeführt. Grundsätzlich einfacher ist die Realisierung der Idee, auf vorher gespeicherte Tabellenwerte von Sinus und Cosinus zurückzugreifen, allerdings wäre die Tabelle ziemlich lang, weil die Zahl N durchaus 1000 ... 10.000 betragen kann, und die Länge der Tabelle ja durch N 2 bestimmt wird. Kapitel E des Skriptums zur Vorlesung „Physikalische Messtechnik A“ WS 1998 / 99

Diskrete Fouriertransformation (DFT)

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Eine Reduzierung können wir erreichen, wenn wir die Tatsache ausnutzen, dass Sinus und Cosinus Modulus 2π sind, d.h. für ein Argument größer als 2π existiert schon eine Lösung. Für unsere Gleichung bedeutet das, dass nur der ganzzahlige Rest von nN⋅k berücksichtigt werden braucht. Die notwendige Tabellenlänge hat sich dadurch auf 2N reduziert. Eine weitere Reduzierung wird erreicht durch die Ausnutzung des Additionstheorems:

π cos(α ) = sin(α − ) 2 Jetzt brauchen nicht mehr für Cosinus und Sinus eigene Werte in die Tabelle abgelegt zu werden. Die notwendige Tabellenlänge hat sich dadurch auf N reduziert. Eine weitere Reduzierung wird erreicht durch die Ausnutzung des Additionstheorems: cos(α + π ) = − cos(α ) Durch die Symmetrie brauchen nur die Werte einer Halbwelle des Cosinus in die Tabelle abgelegt zu werden. Die notwendige Tabellenlänge hat sich dadurch auf N/2 reduziert. b)

Komplexe Arithmetik

Der Gesamtaufwand der Multiplikationen und Additionen beträgt dadurch, dass es sich um komplexe Funktionen handelt:

Abbildung E-18

Die Gesamtzahl der Arithmetischen Operationen beträgt ≈ N 2 (Multiplikationen, Additionen, Tabellenzugriffe). Wegen dem Quadrat wird dieses auch Polynomes Problem genannt. c)

Tabellenzugriff

In der Tabelle sind nun alle benötigten Werte für Cosinus und Sinus abgelegt. Der inkrementale Abstand zweier Werte in der Tabelle beträgt k. Wenn wir uns die Gleichung anschauen, stellen wir fest, dass nicht jedesmal die Multiplikation n ⋅ k durchgeführt werden muss, denn wir brauchen nur immer einen inkrementalen Tabellenwert weiter nach unten zu gehen um den momentanen Wert zu erhalten. Ist das Ende der Tabelle erreicht, so geht es im nächsten Schritt wieder von vorne los. Das ganze nennt man einen inkrementalen zyklischen Tabellenzugriff.

Kapitel E des Skriptums zur Vorlesung „Physikalische Messtechnik A“ WS 1998 / 99

Diskrete Fouriertransformation (DFT) 7.

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Schnelle Fouriertransformation (FFT)

FFT = Fast Fourier Transformation. Der oben diskutierte Rechenaufwand ist trotz beschriebener Reduzierungen immer noch gewaltig. So würden selbst ultra-schnelle Rechensysteme für Problemstellungen z.B. der Spracherkennung sehr lange brauchen. Schon in der "Urzeit" der Computermathematik wurden diese Probleme erkannt und andere Algorithmen entwickelt. a)

Cooley-Tukey-Algorithmus

Die beiden Wissenschaftler Cooley und Tukey hatten den Grundgedanken die mathematischen Formeln der DFT nicht einfach nur auf dem Rechner zu programmieren, sondern neue Formeln zu finden, die dasselbe mathematische Problem so darstellen, dass der Rechenaufwand klein bleibt. So stellten sie fest, dass bei diesem Problem innere Symmetrien existieren, die sich u.a. dadurch häufiges Auftreten der gleichen Multiplikatoren bemerkbar machen. Durch herausfinden dieser gleichen Multiplikatoren und geschicktes Ausnutzen dieser Tatsache kann der Rechenaufwand erheblich reduziert werden. Sie erreichten dies durch eine Zeitzerlegung der Eingangsfolge in mehrere kleinere Teilfolgen, die dann getrennt voneinander transformiert werden. Besonders effizient ist diese Aufteilung, wenn N eine Potenz zur Basis 2 ist. Die Eingangsfolge wird dabei zunächst in zwei Teilfolgen zerlegt, die den zeitlichen Abstand 2∆t haben. Diese Teilfolgen werden wieder aufgespalten, bis jede Folge nur noch aus zwei Elementen besteht, auf die dann der DFT - Algorithmus angewandt wird. b)

Rechenaufwand

Man kann zeigen, dass der Rechenaufwand bei der FFT in der Größenordnung ≈ L ⋅ N liegt, wobei L die Potenz zur Basis 2 ist: N = 2 L . Durch die FFT ist aus dem Problem 2.Ordnung ein Problem 1.Ordnung geworden. Das Ergebnis ist keine Rundung oder Näherung, sondern exakt identisch der DFT. Die Einsparungen an Rechenzeit sind: • bei L=10 (N=1024) ≈ Faktor 100 • bei L=13 (N=8192) ≈ Faktor 1000 c)

Weitere Optimierungen

Der klassische FFT-Algorithmus von Cooley-Tukey war eine allgemeine Fouriertransformation komplexer Eingangsgrößen. Bergland hat den als Bergland-Algorithmus bekannte Abwandlung für reelle Eingangsgrößen entwickelt. Dieser Algorithmus kommt mit der Hälfte der Frequenzelemente aus und braucht deshalb weniger Rechenzeit. In einem weiteren Schritt wurde von mir ein Algorithmus für reelle symmetrische Eingangssignale entwickelt. Dieser behandelt Eingangsfunktionen, die symmetrisch in der Zeit sind und damit ein reelles Ergebnis (ohne den komplexen Teil) besitzen. Bei Kenntnis der Eingangssymmetrien kann dieser Algorithmus also eine erhebliche Rechenzeitoptimierung bringen. Kapitel E des Skriptums zur Vorlesung „Physikalische Messtechnik A“ WS 1998 / 99