Repaso Superficies. Conceptos generales Dpto. Matem´atica Aplicada I E.T.S. de Arquitectura Universidad de Sevilla Curso 2005 – 2006

REPASO: Superficies. Conceptos generales 1.

Conceptos generales

Definici´ on 1.1 Una superficie es el lugar geom´etrico de los puntos del plano que satisfacen una ecuaci´on del tipo F (x, y, z) = 0. A dicha identidad se le llama ecuaci´ on impl´ıcita de la superficie. Definici´ on 1.2 Se definen las ecuaciones param´etricas de una superficie como {x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)}, con u ∈ [a, b], v ∈ [c, d]. Por su parte, a la → expresi´on − r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) se le conoce como ecuaci´ on vectorial de la superficie. Se dice que la superficie as´ı definida es regular si las funciones x(u, v), y(u, v), z(u, v) son continuas y derivables parcialmente hasta el cuarto orden. N´otese que para cada par de valores, u = u0 , v = v0 , obtenemos un punto de la super→ ficie, − r (u0 , v0 ) = (x(u0 , v0 ), y(u0 , v0 ), z(u0 , v0 )) = (x0 , y0 , z0 ). Al par (u0 , v0 ) se le llama coordenadas curvil´ıneas del punto (x0 , y0 , z0 ). Observaci´ on 1.3 Una curva sobre la superficie se puede determinar por cualquiera de los siguientes procedimientos: (a) Cuando fijamos uno de los par´ametros y dejamos variable el otro: − Fijado u = u0 =⇒ → r u0 (v) = (x(u0 , v), y(u0 , v), z(u0 , v)) → Fijado v = v0 =⇒ − r v (u) = (x(u, v0 ), y(u, v0 ), z(u, v0 )) 0

A dichas curvas se les conocen con el nombre de curvas coordenadas o l´ıneas coordenadas. (b) Cuando expresamos los par´ametros u y v como funciones de un tercer par´ ametro t, u = u(t), v = v(t), de modo que obtenemos: − → r (t) = (x (u(t), v(t)) , y (u(t), v(t)) , z (u(t), v(t))) = (x∗ (t), y ∗ (t), z ∗ (t)) 2

(c) Como intersecci´on de dos superficies, {F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0}. Obs´ervese tambi´en que cuando definimos una superficie mediante sus ecuaciones → param´etricas, − r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), estamos suponiendo que los par´ametros u y v son independientes, ya que en caso contrario, es decir, si v = h(u), aplicando el punto (b) de la Observaci´on 1.3, mediante el cambio u = u, v = h(u), nos quedar´ıa la ecuaci´on − → r (u, h(u)) = (x(u, h(u)), y(u, h(u)), z(u, h(u))) = (x∗ (u), y ∗ (u), z ∗ (u)) que es la ecuaci´on vectorial de una curva. As´ı que debido a que en una superficie los par´ametros u y v son independientes, → → se cumple que los vectores − r u = (x0u , yu0 , zu0 ) y − r v = (x0v , yv0 , zv0 ) son linealmente indepen→ − → → dientes y, por consiguiente, − ru∧− r v 6= 0 . Por ello, estos dos vectores nos sirven para definir el plano tangente a la superficie por un punto cualquiera de ella.

Definici´ on 1.4 Dados una superficie S y un punto P de ella, se define el plano tangente a la superficie S por el punto P como el plano que contienen a las rectas tangentes de todas las curvas contenidas en S y que pasan por P .

(1) Plano tangente a una superficie dada en param´ etricas. Sean S una superficie → de ecuaci´on vectorial − r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) y P = (x0 , y0 , z0 ) un punto → de ella. Entonces existen dos valores u0 , v0 tales que P = (x0 , y0 , z0 ) = − r (u0 , v0 ). (1.a) Ecuaci´ on vectorial del plano tangente a S por P . Teniendo en cuenta la → → Definici´on 1.4, las curvas coordenadas, − r u0 (v) y − r v0 (u), citadas en la Observaci´on 1.3, son curvas contenidas en S que pasan por P . Luego, sus vectores → → tangentes en P , − r u (u0 , v0 ) y − r v (u0 , v0 ), est´an contenidos en el plano tangente. Como dichos vectores son independientes, deducimos que la ecuaci´on vectorial del plano tangente a S por el punto P es − → → → → r (λ, µ) = − r (u0 , v0 ) + λ− r u (u0 , v0 ) + µ− r v (u0 , v0 ) 3

(1.b) Ecuaci´ on impl´ıcita del plano tangente a S por P . Como los vectores − → → r u (u0 , v0 ) y − r v (u0 , v0 ) son independientes y est´an contenidos en el plano → → tangente, entonces el vector − r u (u0 , v0 ) ∧ − r v (u0 , v0 ) es perpendicular a dicho plano. Por otra parte, dado un punto cualquiera Q = (x, y, z) del plano, −→ el vector P Q = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) est´a contenido en ´el y, por tanto, −→ − → P Q · (→ r u (u0 , v0 ) ∧ − r v (u0 , v0 )) = 0. Luego, la ecuaci´on impl´ıcita del plano tangente a S por el punto P viene dada por x − x0 y − y0 z − z0   −→ − → → − P Q, r u (u0 , v0 ), r v (u0 , v0 ) = 0 ⇐⇒ x0u zu0 yu0 x0v zv0 yv0

=0

(2) Plano tangente a una superficie dada en param´ etricas. Sea S una superficie de ecuaci´on F (x, y, z) = 0 y consideremos un punto cualquiera P = (x0 , y0 , z0 ) de S. El vector
−−→ ∇F (x0 , y0 , z0 ) = Fx0 (x0 , y0 , z0 ), Fy0 (x0 , y0 , z0 ), Fz0 (x0 , y0 , z0 ) es perpendicular al plano tangente. Por otra parte, dado un punto cualquiera −→ Q = (x, y, z) del plano tangente, el vector P Q = (x−x0 , y −y0 , z −z0 ) est´a contenido −→ −−→ en dicho plano y, por tanto, P Q · ∇F (x0 , y0 , z0 ) = 0, es decir, Fx0 (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy0 (x0 , y0 , z0 )(y − y0 ) + Fz0 (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0 Definici´ on 1.5 Dada una superficie S de ecuaci´on vectorial → − r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), se define la recta normal a S por uno de sus pun→ → tos, como la recta que pasa por P y tiene vector director − r u∧− r v.

2.

Superficies regladas

Definici´ on 2.1 Un superficie reglada es aquella formada por rectas, llamadas generatrices, que se apoyan en una curva, llamada directriz, y que cumplen una condici´on adicional, llamada “condici´on de reglada”. 4

Dependiendo de la condici´on de reglada, distinguimos varios tipos: (a) Superficie cil´ındrica. Las generatrices se apoyan en la curva directriz y son paralelas a una direcci´on fija del espacio. (b) Superficie c´ onica (cono). Las generatrices se apoyan en la curva directriz y pasan todas por un punto fijo, llamado v´ertice. (c) Superficie conoide. Las generatrices se apoyan en la curva directriz y en una recta, llamada eje, y son paralelas a un plano. Cuando el eje y el plano son perpendiculares, se dice que el conoide es recto. (d) Superficie desarrollable tangencial. Por cada punto de la directriz pasa una de las generatrices, cuya direcci´on es la de la recta tangente a la propia curva directriz por ese punto.

2.1.

M´ etodos de obtenci´ on de las ecuaciones de una superficie reglada

• Superficie cil´ındrica. Sea Γ una curva definida por las ecuaciones impl´ıcitas → Γ ≡ {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}, y denotemos por − e = (a, b, c) a un vector fijo en el espacio. (a) Ecuaciones param´etricas del cilindro de directriz la curva Γ y generatrices paralelas → al vector − e. Para encontrar tales ecuaciones, procedemos a parametrizar una recta (generatriz) gen´erica de la superficie. Pasos: − (1o ) Parametrizar la directriz Γ: → r (t) = (x(t), y(t), z(t)). (2o ) Cada generatriz pasa por un punto P = (x(t), y(t), z(t)) de la curva directriz → y tiene vector director − e . As´ı que su ecuaci´on vectorial ser´a − → → r (t, λ) = P + λ− e 5

y sus ecuaciones param´etricas,   x = x(t) + λa    y = y(t) + λb    z = z(t) + λc  (b) Ecuaci´on impl´ıcita del cilindro de directriz la curva Γ y generatrices paralelas al → vector − e. Procedemos del siguiente modo: (1o ) Sea P = (x0 , y0 , z0 ) un punto cualquiera del cilindro. Por ese punto pasa una de las generatrices del cilindro. → (2o ) La generatriz que pasa por P tiene vector director − e , por lo que sus ecuaciones param´etricas son   x = x0 + λa    y = y0 + λb    z = z0 + λc  (3o ) Por u ´ltimo, dicha generatriz se apoya en alg´ un punto de la curva directriz. As´ı que imponemos que el punto (x0 +λa, y0 +λb, z0 +λc) cumpla las ecuaciones de la directriz {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}. Obtenemos as´ı un sistema de dos ecuaciones. Despejando λ de una de ellas y sustituyendo en la otra, obtenemos la ecuaci´on impl´ıcita del cilindro. • Superficie c´ onica. Sea Γ una curva definida por las ecuaciones impl´ıcitas Γ ≡ {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}, y denotemos por V = (a, b, c) a un punto fijo en el espacio. (a) Ecuaciones param´etricas del cono de v´ertice V y directriz la curva Γ. Como para todos los casos de superficies regladas, encontrar las ecuaciones param´etricas de dicha superficie equivale a parametrizar una recta (generatriz) gen´erica de ella. Pasos: − (1o ) Parametrizar la directriz Γ: → r (t) = (x(t), y(t), z(t)). 6

(2o ) Cada generatriz pasa por el punto V

=

(a, b, c) y por otro punto

P = (x(t), y(t), z(t)) de la curva directriz. As´ı que su vector director ser´a −→ V P = (x(t) − a, y(t) − b, z(t) − c), con lo que su ecuaci´on vectorial viene dada por −→ − → r (t, λ) = V + λV P mientras que sus ecuaciones param´etricas son   x = a + λ(x(t) − a)    y = b + λ(y(t) − b)    z = c + λ(z(t) − c)  (b) Ecuaci´on impl´ıcita del cono de v´ertice V y directriz la curva Γ. Procedemos del siguiente modo: (1o ) Sea P = (x0 , y0 , z0 ) un punto cualquiera del cono. Por ese punto pasa una de las generatrices del cono que, a su vez, tambi´en pasa por el v´ertice V . (2o ) La generatriz que pasa por P y por V tiene vector director −→ V P = (x0 − a, y0 − b, z0 − c), por lo que sus ecuaciones param´etricas son   x = a + λ(x0 − a)    y = b + λ(y0 − b)    z = c + λ(z − c)  0

(3o ) Por u ´ltimo, dicha generatriz se apoya en alg´ un punto de la curva directriz. As´ı que (a + λ(x0 − a), b + λ(y0 − b), c + λ(z0 − c)) debe cumplir las ecuaciones de la directriz {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}. Obtenemos as´ı un sistema de dos ecuaciones. Despejando λ de una de ellas y sustituyendo en la otra, obtenemos la ecuaci´on impl´ıcita del cono. • Superficie conoide. Sean Γ una curva definida por las ecuaciones impl´ıcitas Γ ≡ {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}, E una recta y π un plano. (a) Ecuaciones param´etricas de la superficie conoide de eje E y directriz Γ, cuyas rectas son paralelas al plano π. 7

Buscamos las ecuaciones param´etricas de una recta (generatriz) gen´erica del conoide. Pasos: − (1o ) Parametrizar la directriz Γ, → r (t) − →∗ r (u) = (x∗ (u), y ∗ (u), z ∗ (u)).

=

(x(t), y(t), z(t)), y el eje E,

(2o ) Cada generatriz pasa por un punto P = (x∗ (u), y ∗ (u), z ∗ (u)) del eje y por otro punto Q = (x(t), y(t), z(t)) de la curva directriz. As´ı que su vector director −→ ser´a P Q = (x(t) − x∗ (u), y(t) − y ∗ (u), z(t) − z ∗ (u)). (3o ) Como las generatrices han de ser paralelas al plano π, imponemos que el vector −→ → director P Q sea perpendicular al vector normal del plano π, − n , y por tanto, −→ − PQ · → n =0

(1)

De la ecuaci´on (1) obtenemos una relaci´on entre t y u del tipo u = h(t). As´ı, −→ P Q = (x(t) − x∗ (h(t)), y(t) − y ∗ (h(t)), z(t) − z ∗ (h(t))) s´olo depende de t. (4o ) Por u ´ltimo, la ecuaci´on vectorial del conoide ser´a −→ − → r (t, λ) = Q + λP Q y sus ecuaciones param´etricas   x = x(t) + λ(x(t) − x (h(t)))    ∗ y = y(t) + λ(y(t) − y (h(t)))    ∗ z = z(t) + λ(z(t) − z (h(t)))  ∗

(b) Ecuaci´on impl´ıcita del conoide de eje E y directriz Γ, cuyas generatrices son paralelas al plano π. Procedemos del siguiente modo: − (1o ) Parametrizar el eje E: → r (u) = (x(u), y(u), z(u)). (2o ) Sea P = (x0 , y0 , z0 ) un punto cualquiera del conoide. Por ese punto pasa una de las generatrices del conoide que, a su vez, se apoya en un punto Q

=

(x(u), y(u), z(u)) del eje. Por tanto, su vector director ser´a 8

−→ P Q = (x(u) − x0 , y(u) − y0 , z(u) − z0 ). Como las generatrices han de ser parale−→ → las al plano π, debe cumplirse de nuevo la ecuaci´on (1), es decir, P Q · − n = 0. De dicha ecuaci´on despejamos el valor de u como funci´on de x0 , y0 y z0 , es decir, u = h(x0 , y0 , z0 ). As´ı, el vector −→ P Q = (x (h(x0 , y0 , z0 )) − x0 , y (h(x0 , y0 , z0 )) − y0 , z (h(x0 , y0 , z0 )) − z0 ) −→ s´olo depende de x0 , y0 y z0 . Lo denotamos por P Q = (x∗0 , y0∗ , z0∗ ). −→ (3o ) La generatriz que pasa por P y por Q y tiene vector director P Q, viene dada por las ecuaciones x = x0 +

λx∗0

y = y0 + λy0∗ z = z0 +

λz0∗

        

(4o ) Por u ´ltimo, dicha generatriz se apoya en alg´ un punto de la curva directriz. As´ı que imponemos que el punto (x0 + λx∗0 , y0 + λy0∗ , z0 + λz0∗ ) cumpla las ecuaciones de la directriz {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}. Obtenemos as´ı un sistema de dos ecuaciones. Despejando λ de una de ellas y sustituyendo en la otra, obtenemos la ecuaci´on impl´ıcita del conoide.

Ejemplo 2.2 Hallar las ecuaciones param´etricas del cilindro de generatrices paralelas al eje OZ y que se apoyan en la curva {x2 + y 2 = 4, z = y}.

Resoluci´ on. Parametrizamos la directriz: {x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 2 sin t}, con t ∈ [0, 2π]. El eje OZ tiene direcci´on (0, 0, 1). As´ı que cada generatriz es una recta que → pasa por un punto P = (2 cos t, 2 sin t, 2 sin t) y tiene vector director − v = (0, 0, 1). Por tanto, basta parametrizar    x   y     z

la generatriz gen´erica para obtener las ecuaciones del cilindro:    = 2 cos t   , con t ∈ [0, 2π], λ ∈ < = 2 sin t    = 2 sin t + λ  ⊗

9

Ejemplo 2.3 Hallar la ecuaci´on impl´ıcita del cilindro de generatrices paralelas a la recta {x + y = 0, x = z} y directriz la curva {x2 − z 2 = 1, 2y + z = 0}.

Resoluci´ on. Calculamos el vector director de la recta. Como dicha recta viene dada me− diante la intersecci´on de los planos π1 : x + y = 0 y π2 : x − z = 0, su vector director → v → debe ser perpendicular a los vectores normales de ambos planos, que son − n 1 = (1, 1, 0) y → − → → n 2 = (1, 0, −1). La u ´nica direcci´on en