Stochastics in the Interplay between Intuitions and Mathematics Teaching of stochastics is characterised by an attempt to reach a precise language and clear and clear-cut concepts already at very early stages in order to stabilise learners‘ conceptions. Intuitive preconceptions are excluded from considerations too readily and too fast; yet these intuitions are the true origin of creative thinking. Just as the axiomatic theory of probability fails to clarify the nature of the probability concepts, teaching without an adequate integration of intuitive conceptions is doomed to fail. The author enfolds the mathematics via leading through the bizarre world of intuitions around randomness. Hereby, the interplay between intuitions and mathematics becomes a key factor to develop a deeper understanding of mathematical concepts and methods. The book is published in German. The source is: Borovcnik, M. (1992). Stochastik im Wechselspiel von Intuitionen und Mathematik. Mannheim: Bibliographisches Institut, 453 pp.

Stochastik im Wechselspiel von Intuitionen und Mathematik Im Stochastik-Unterricht versucht man, möglichst schnell durch eine präzise Sprache und klare Begriffe festen Boden unter den Füßen zu bekommen. Intuitive Vorstellungen werden aber allzu rasch ausgeblendet; aber gerade sie sind wirklich die Urquelle kreativen Denkens. So wenig wie die axiomatische Theorie die Natur des Wahrscheinlichkeitsbegriffs klären kann, ebenso wenig kann ein Unterricht ohne die Berücksichtigung der intuitiven Vorstellungen der Lernenden erfolgreich sein. Im vorliegenden Buch wird die Mathematik durch die bizarre Welt der Vorstellungen rund um den Zufall entfaltet. Das Wechselspiel von Intuitionen und Mathematik wird zum Schlüssel für ein vertieftes Verständnis mathematischer Begriffe und Methoden. Borovcnik, M. (1992). Stochastik im Wechselspiel von Intuitionen und Mathematik. Mannheim: Bibliographisches Institut, 453 pp.

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Contents of Stochastik im Wechselspiel von Intuitionen und Mathematik Intuitions and Mathematics Perspectives on Didactics and Teaching Relations between Subject, Theory, and Reality Fischer’s Open Mathematics Fischbein’s Interplay between Intuitions and Mathematics Freudenthal’s Didactical Phenomenology Bauersfeld’s Subjective Areas of Experience Network of Relations for Stochastics Axiomatic Clarification of Concepts Understanding of a Theory via the Problem of Application Justification of Theories in the Light of the Problem of Application Understanding a Theory via Intuitions Understanding the Subject with Respect to its Intuitions Intuitions and Mathematics as Key to Understand Mathematics Indications for the Vital Role of the Interplay Simple Coin Tossing Simple Probability Statements Overlap of Probabilistic with Logical Conclusions Overlap of Probabilistic with Causal Ways of Thinking History of the Ideas and their Mathematisation Prelude First Progress Foundation and Backlackes Axiomatisation of Probability Perspectives The Usual Teaching Approach to Probability and its Deficiencies Innovative Approaches to Probability Intuitive Ideas in the Classical Approach to Statistics Conceptions of Probability Probability in Symmetric Situations Probability in Repeated Experiments Random Selection Arguments for Generalising Conclusions Representativity as an Intuitive Idea Quota Sampling and its Relation to Representativity Random Selection and the Idea of Representativity Expected Value Mean and Expected Value Averaging of Errors of Repeated Measurements Ways to Empirically Establish Differences for the Average Standard Deviation Variability and its Measurement Errors of the Arithmetic Mean Theoretical Justification of the Standard Deviation

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Intuitive ideas of the Bayesian approach Odds and Degrees of Confidence Odds and the Value of a Bet Odds and Conditional Probabilities Odds and the Multiplication Rule The Favour Concept and Thinking in Terms of Informations Favouring and Conditional Probabilities The Structure of Favouring A Paradigmatic Example for the Use of the Favour Concept Favouring and the Interplay of Intuitions and Mathematics Bayes Formula Structures Thinking Favouring and Bayes’ Formula Bayes’ Formula Represented by Odds Thinking in Probabilities Bayes’ Formula Structures Applications Quality Control with the Three Machines Indirect Disclosure of Information The Quality of Weather Predictions The Consequences of Installing Fire-Alarm Systems

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Intuitive Conceptions of Persons Framework and Restrictions of Research Value of Intuitive Conceptions in Stochastics Empirical Research in Psychology and Didactics Symmetry and Sample Space Tossing a Coin-Like Token Hat Lottery Relative Frequencies and Probability The Six Children Snowfall Causal Connections and Stochastic Dependence Dependent Urns Independent Urns Statistical Inference Coin tossing Drawing from a Sack Implications for Empirical Research and Teaching Empirical Research Teaching

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Understanding a Theory via its Applications Any Application of a Theory is Subjective The Paradigm of Applications of the Sciences A Case Study to Overcome the Scientific Paradigm Application Influence and Change the Understanding of the Theory Differences in Classical and Bayesian Theory of Inference Justification of Classical and Bayesian Theory of Inference Comparison of the Methods in the Context of Medical Diagnosis Representation of Classical and Bayesian Methods of Inference

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Estimation of Unknown Percentages Estimation of Mean Values Method of Confidence Intervals Tests of Hypotheses A Critical Comparison of the Methods Reconstruction of Classical Solutions for Estimation within the Bayesian Theory Attempts to Reconstruct Classical Tests by Bayes Tests Interpretation of the Methods – Look back and forward

References Index of Authors Index of Subjects

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Inhalt Stochastik im Wechselspiel von Intuitionen und Mathematik 1. 1.1

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Intuitionen und Mathematik Sichtweisen zur Didaktik Beziehungen zwischen Subjekt, Theorie und Realität Offene Mathematik von Fischer Wechselspiel zwischen Intuitionen und Mathematik von Fischbein Didaktische Phänomenologie von Freudenthal Subjektive Erfahrungsbereiche von Bauersfeld Beziehungsnetze zur Stochastik Axiomatische Klärung der Begriffe Verständnis der Theorie via Anwendungsproblematik Rechtfertigung von Theorien via Anwendungsproblematik Verständnis der Theorie via Intuitionen Verständnis des Subjekts hinsichtlich seiner Intuitionen Intuitionen und Mathematik als Schlüssel zum Verständnis Indizien für die Bedeutung des Wechselspiels Der einfache Münzwurf Einfache Wahrscheinlichkeitsaussagen Überschneidungen mit logischen Schlüssen Überschneidungen mit kausalen Denkweisen Geschichte der Ideen und ihrer Mathematisierung Die Vorgeschichte Erste Höhepunkte Grundlegung und Rückschläge Axiomatisierung von Wahrscheinlichkeit Ausblick Üblicher Zugang und seine Mängel Innovative Zugänge Intuitive Ideen in der klassischen Statistik Deutungen von Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit in symmetrischen Situationen Wahrscheinlichkeit in wiederholten Versuchen Zufällige Auswahl Argumente zur Verallgemeinerung von Schlüssen Repräsentativität als intuitive Idee Quotenstichproben und Repräsentativität Zufällige Auswahl und die Idee der Repräsentativität Erwartungswert Mittelwert und Erwartungswert Ausmitteln von Fehlern bei wiederholter Messung Absicherung von Unterschieden im Mittelwert Standardabweichung Variabilität und ihre Erfassung Fehler des arithmetischen Mittelwerts

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Theoretische Rechtfertigung der Standardabweichung Intuitive Ideen im Bayes-Ansatz Chancenverhältnisse und Grad des Vertrauens Chancenverhältnis und Wert einer Wette Chancen und bedingte Wahrscheinlichkeit Chancen und die Multiplikationsregel Begünstigen und Denken in Informationen Begünstigen und bedingte Wahrscheinlichkeit Struktur des Begünstigens Ein Beispiel zum Begünstigen Begünstigen und das Wechselspiel von Intuitionen und Mathematik Bayes-Formel strukturiert Denken Begünstigen und Bayes-Formel Bayes-Formel mit Chancen Denken in Wahrscheinlichkeiten Bayes-Formel strukturiert Anwendungen Drei-Maschinen-Beispiel Indirektes Erschließen von Information Güte von Wettervorhersagen Wirkung von Feuer-Warnanlagen

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Intuitive Vorstellungen von Personen Rahmenbedingungen der Forschung Stellung der intuitiven Vorstellungen in der Stochastik Empirische Forschung in Psychologie und Didaktik Symmetrie und Grundraum Werfen eines Plättchens Hutlotterie Relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeit Die sechs Kinder Schneefall Kausale Zusammenhänge und stochastische Abhängigkeit Abhängige Urnen Unabhängige Urnen Statistische Beurteilung Münzwerfen Ziehen aus einem Sack Folgerungen für empirische Forschung und Unterricht Empirische Forschung Unterricht

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Verständnis der Theorie über ihre Anwendungen Jede Anwendung einer Theorie ist subjektiv Das naturwissenschaftliche Bild von Anwendungen Eine Fallstudie zur Überwindung des naturwissenschaftlichen Paradigmas Anwendungen verändern das Verständnis der Theorie Unterschiede in klassischer und Bayesscher Theorie Rechtfertigung von klassischer und Bayesscher Theorie

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Vergleich der Vorgangsweise am Beispiel der Diagnosetests Darstellung klassischer und Bayesscher Methoden Schätzung von Anteilen Schätzung von Mittelwerten Methode der Vertrauensintervalle Testen von Hypothesen Ein kritischer Vergleich der Methoden Rekonstruktion der klassischen Lösungen beim Schätzen Versuche, klassische Tests durch Bayes-Tests zu rekonstruieren Interpretation der Methoden – Vorausblick und Rückblick

Literatur Autorenregister Sachverzeichnis

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Vorwort

Im vorliegenden Buch werden enge Beziehungen zwischen der mathematischen Theorie des Zufalls und den intuitiven Vorstellungen dazu entwickelt, was letztlich das Verständnis für die Stochastik vertiefen soll. Intuitionen und Mathematik stehen nämlich in einem schillernden Verhältnis zueinander. Man braucht die begleitenden intuitiven Vorstellungen, um die Theorie zu verstehen. Ebenso bedarf man der theoretischen Begriffe, um über diese Vorstellungen zu sprechen. Intuitionen und Mathematik fließen ineinander über, sodaß beide Ebenen sich verändern, wenn man sie voneinander trennt. Es ist daher wichtig, daß man auch die vagen und teilweise wirren intuitiven Vorstellungen der Lernenden ernst nimmt und sie nicht zu rasch durch eine klare Sprache und präzise Begriffe übergeht. Eine Theorie logisch aufzubauen und lückenlos zu rechtfertigen ist nämlich etwas ganz anderes als individuelles Verständnis aufzubauen, das oft sehr lokal beginnt. Pendelt man ständig zwischen intuitiven Vorstellungen und formalen Begriffen hin und her, so wird es den Lernenden möglich einzusehen, wie die Begriffe zunehmend ihre Vorstellungswelt gestalten und verändern und warum manche ihrer Auffassungen nicht tragfähig waren. Es stimmt schon, daß erst die axiomatische Grundlegung viele falsche Vorstellungen aufklären konnte. Gerade in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es ja eine Fülle von Puzzles und Paradoxa. Die axiomatische Begründung durch Kolmogorow 1933 sollte daher endlich frei machen von den unsicheren Vorstellungen und klären, was denn Wahrscheinlichkeit eigentlich ist. Kurz danach aber hat man für eine andere Deutung von Wahrscheinlichkeit auch eine axiomatische Rechtfertigung gegeben, womit der Grundlagenstreit zwischen klassischen Statistikern und Bayesianern erneut entflammt ist. Die Wahrscheinlichkeitstheorie kann zwar als gemeinsame Sprache zwischen den beiden Positionen angesehen werden, da aber die Begriffe und Worte je anders interpretiert werden, führt das zu anderen statistischen Methoden. Diese Kontroverse ist eigentlich ein Streit zwischen rivalisierenden intuitiven Vorstellungen. Heute sucht man mehr denn je die Gemeinsamkeiten der beiden Ansätze. In Kapitel 1 werden Grundpositionen zur Didaktik der Mathematik referiert. Fischers Offene Mathematik sieht das modellbildende Subjekt zentral. Freudenthals Didaktische Phänomenologie geht davon aus, daß mathematische Begriffe Realität organisieren. Bei Bauersfeld konstruiert das Subjekt die Begriffe eigenständig je nach seinen Erfahrungsbereichen. Fischbeins Ansatz, wonach sich Mathematik und Intuitionen wechselseitig beeinflussen, wird zur Leitlinie für das ganze Buch. Beispiele zeigen auf, wie Stochastisches Denken sich von logischen und kausalen Denkweisen unterscheidet. Die Geschichte der Ideen und ihrer Mathematisierung zeigt die Entstehung der Ideen. In Kapitel 2 werden diejenigen intuitiven Vorstellungen behandelt, die im klassischen Zugang, das ist die objektivistische Konzeption von Stochastik, eine wesentliche Rolle spielen. Heuristiken und fundamentale Ideen werden in einer Form dargeboten, die über die reine Illustration vorgefaßter Begriffe hinausgeht. Tragfähige Analogien machen die Deutungen von Wahrscheinlichkeit als Anteil und als relative Häufigkeit intuitiv zugänglicher. Ideen rund um die zufällige Auswahl sowie zum Erwartungswert und zur Variabilität erschließen insbesondere auch eine Deutung von Wahrscheinlichkeit, die ohne den Grenzwert relativer Häufigkeiten auskommt. In Kapitel 3 werden dann intuitive Ideen behandelt, die dem Bayes-Ansatz zugeordnet werden, das ist die subjektivistische Konzeption von Wahrscheinlichkeit. Dabei tritt eine neue Deutung von Wahrscheinlichkeit als Grad des Vertrauens in eine unsichere Sache auf. Diese wird in der Analogie des Wettens eingeführt. Damit ergibt sich eine einfache Deutung von Erwartungswert, der bedingten Wahrscheinlichkeit und der Bayes-Formel. Das dargestellte Begünstigen-Konzept spielt im

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traditionellen Theorieaufbau keine Rolle, es liefert jedoch einen intuitiv leichten Zugang zu sonst schwierigen Begriffen und kann die Unterschiede zu kausalem und logischem Denken erhellen. In Kapitel 4 werden die intuitiven Vorstellungen von Personen selbst behandelt. Dazu werden Items aus der empirischen Forschung reanalysiert. Die Ergebnisse bestätigen die Bedeutung der intuitiven Ebene im Unterricht. Auch einfache Aufgaben sind im Hinblick auf das Wechselspiel von Intuitionen und Mathematik sehr komplex. Es kommt ferner zu einer Überlagerung von intuitiven Vorstellungen, die dem Bayes-Ansatz zugeordnet werden können und die das Verständnis klassischer Methoden behindert, und umgekehrt. Kausale und logische Assoziationen sind intuitiv zugänglicher als die stochastische Denkweise. Es ist wichtig, die Unterschiede im Unterricht direkt anzusprechen. In Kapitel 5 wird dann ein allgemeines Bild von den Anwendungen anhand der Analyse des berühmten Teilungsproblems entwickelt. Das Selbstverständnis jeder Theorie wird danach unter Berücksichtigung ihrer Anwendungen subjektiv. Ein Vergleich der statistischen Methoden im klassischen und im Bayesschen Ansatz schließt an. Sieht man einmal von den Unterschieden in der Interpretation der Methoden und Ergebnisse zwischen den Ansätzen ab, so kann man festhalten, daß ein Statistiker im klassischen Sinne sich etwa so verhält, als ob er einen Teil der Information verschenkt. Das erklärt den Erfolg der klassischen Methoden und die Renaissance Bayesscher Methoden in jüngerer Zeit, weil man in den Anwendungen immer häufiger auf ganz kleine Stichproben zurückgreifen muß. Abschließend bleibt noch die gerne erfüllte Pflicht, einigen Personen meinen Dank auszusprechen. Ich hatte an verschiedenen Orten ein anregendes Diskussionsklima, das mich in die Lage versetzte, an meinen Ideen weiterzufeilen. Mit Herrn H.-J. Bentz verbinden mich gemeinsame Forschungsarbeiten nun schon über Jahre hinweg. Ganz besonders möchte ich Herrn G. Malle, nunmehr in Wien, danken. Er war ein sehr kritischer, aber auch ein sehr ergiebiger Gesprächspartner. Herr H. Dirnböck hat in schon bewährter Weise, interaktiv in der Auseinandersetzung mit mir, für eine ansprechende Gestaltung der Figuren gesorgt. Herr G. Kadunz hat diesmal mit einigen Computergraphiken nachgeholfen, auch ihm sei dafür gedankt. Die Herausgeber der Reihe, die Herren Professoren N. Knoche und H. Scheid haben eine wahre Engelsgeduld mit mir bewiesen. Das Manuskript war schon lange versprochen und längst überfällig. Ich versuchte zu erklären, warum: “Gut Ding braucht lange Weile.” Ich hoffe, daß Sie, geneigter Leser und geneigte Leserin nach der Lektüre des Buches mein Hauptargument den Herausgebern gegenüber stützen werden. In diesem Sinne wünsche ich Ihnen viel Spaß und Anregungen beim Lesen. Manfred Borovcnik

Klagenfurt, im März 1992