Seminar SoSe 2010: Warum wir falsch liegen und trotzdem weitermachen

Stochastic Volatility and Jumps Anja Kipke

28. Mai 2010

Betreuung: Rupert Hughes-Brandl, Ulrich N¨ ogel

Grundlagen Black-Scholes-Merton-Modell (BSM) Heston-Modell Bates-Modell Zusammenfassung

Gliederung

1 Grundlagen 2 Black-Scholes-Merton-Modell (BSM) 3 Heston-Modell 4 Bates-Modell 5 Zusammenfassung

Stochastic Volatility and Jumps

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Grundlagen Black-Scholes-Merton-Modell (BSM) Heston-Modell Bates-Modell Zusammenfassung

Optionen Volatilit¨ at Prozesse

Optionen Als Plain Vanilla Optionen bezeichnet man klassisch strukturierte Optionen, die keinerlei zus¨atzliche Eigenschaften haben. Exotische Optionen sind von Vanilla Optionen abgeleitet und haben meist eine kompliziertere Auszahlungsstruktur. Oft sind darunter auch pfadabh¨angige Optionen, d.h. die Auszahlungsh¨ ohe h¨angt nicht nur von dem Wert am Ende der Laufzeit ab, sondern vom gesamten Kursverlauf. (Beispiele: Barrier Options, Forward Start Options, Cliquet Options) Moneyness: ITM (in-the-money): wenn durch Verkauf oder Aus¨ ubung der Option ein (positiver) Profit erzielt wird ATM (at-the-money): ... ein nullwertiger Cash Flow erzielt wird OTM (out-of-the-money): ... ein Verlust erzielt wird

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Optionen Volatilit¨ at Prozesse

Volatilit¨at

Volatilit¨ at bezeichnet im Allgemeinen ein Maß f¨ ur die Preisvariabilit¨at u ¨ber eine bestimmte Zeitspanne Sch¨atzung der (historischen) Volatilit¨ at (¨ ublicher Standardfehler): v u T u 1 X t ¯ (Rt − R) σ ˆ= T − 1 t=t 0

mit

¯= R

1 T

PT

t=t0

Rt

und

Rt =

St −St−1 St−1

implizite Volatilit¨ at wird von den Marktteilnehmern impliziert durch Beobachtung der Call und Put-Preise, die gehandelt wurden

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Optionen Volatilit¨ at Prozesse

stochastische Volatilit¨at

stochastische Volatilit¨ at wird nicht als konstant angesehen, sondern als stochastischer Prozess ein sog. Volatilit¨atscluster ist m¨ oglich, d.h. großen Bewegungen folgen große und kleinen Bewegungen kleine → die Volatilit¨aten sind autokorreliert

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Optionen Volatilit¨ at Prozesse

Wiener Prozess (WP) n o f= W f (t), t ∈ R+ , S = R, heißt Ein stochastischer Prozess W Wiener-Prozess, wenn gilt: Zuw¨achse sind normalverteilt und station¨ar: f (s + t) − W f (s) ∼ N(0, σ 2 t) W

f¨ ur alle s,t ≥ 0

F¨ ur alle 0 ≤ t1 < t2 < ... < tn , n ≥ 3 sind die Zuw¨achse f (t2 ) − W f (t1 ), ..., W f (tn ) − W f (tn−1 ) W unabh¨angig f (0) = 0 W Pfade sind stetig

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Optionen Volatilit¨ at Prozesse

Itˆo-Prozess

Ein Itˆ o-Prozess ist gegeben durch dSt = µ(St , t)dt + σ(St , t)dWt D.h. ein standardnormaler WP Wt mit additivem µ und multiplikativem σ.

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Annahmen zugrunde liegender Prozess Optionsbewertung Kritik

Annahmen

Im BSM werden folgende Annahmen getroffen: gleicher risikiofreier Zinssatz f¨ ur alle Laufzeiten keine Transaktionskosten oder Steuern, perfekte Teilbarkeit der Derivate keine risikofreien Arbitragem¨ oglichkeiten fortw¨ahrendes Handeln mit Derivaten konstante Driftrate/erwartete Rendite und Volatilit¨at Normalverteilungsannahme f¨ ur die diskreten Renditen

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Annahmen zugrunde liegender Prozess Optionsbewertung Kritik

zugrunde liegender Prozess

dSt = µSt dt + σSt dWt wobei σ Volatilit¨at µ Driftrate Wt standardisierter Wiener Prozess St Kurs des Underlyings zum Zeitpunkt t

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Annahmen zugrunde liegender Prozess Optionsbewertung Kritik

Optionsbewertung PDE:

∂Vt ∂Vt 1 ∂ 2 Vt + rSt + σ 2 St2 = rVt ∂t ∂St 2 ∂St2

europ¨aische Optionen: Call: Ct0 ,T (St0 ) = St0 Φ(d1 ) − Ke −r τ Φ(d2 ) Put: Pt0 ,T (St0 ) = Ke −r τ Φ(−d2 ) − St0 Φ(−d1 ) mit d1 =

ln(

St 0 K

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2

)+(r + σ2 )τ √ σ τ

und

√ d2 = d1 − σ τ

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Annahmen zugrunde liegender Prozess Optionsbewertung Kritik

Volatilit¨ats-Smile

⇒ Annahme der konstanten Volatilit¨at eher unrealistisch Stochastic Volatility and Jumps

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Annahmen zugrunde liegender Prozess Optionsbewertung Kritik

Normalverteilungsannahme kritisch QQ−Plot der Renditen des DAX

50

Histogramm der Renditen des DAX im Zeitraum 1.1.1981−31.12.1993

0.05

● ●●

−0.05

Sample Quantiles

0.00

40 30 Dichte

● ● ● ● ● ●● ● ● ●

−0.10

20 10

●

●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ●● ● ● ●● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

●

0

●

−0.06

−0.04

−0.02

0.00 Renditen

0.02

0.04

0.06

−2

0

2

N(0,1) Quantiles

⇒ Normalverteilungsannahme f¨ ur Renditen unrealistisch

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Optionsbewertung Eigenschaften

Heston-Modell

Erweiterung des BSM durch Verwendung einer stochastischen Volatilit¨at Zulassen einer Korrelation zwischen den Renditen und der Volatilit¨at Das Heston-Modell folgt einem Cox-Ingersoll-Ross-Prozess (CIR), auch Wurzeldiffusionsprozess genannt

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Optionsbewertung Eigenschaften

zugrunde liegender Prozess

p

Vt St dWtS p dVt = κ(Vt − η)dt + θ Vt dWtV dSt = µSt dt +

mit Corr (dWtS , dWtV ) = ρdt wobei Vt augenblickliche Volatilit¨at; positiv, stetig und mean-reversed κ Rate der mean-reversion η langfristiger Mittelwert von Vt θ Volatilit¨at der Volatilit¨at ρ Korrelation zwischen Renditen und Volatilit¨at

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Optionsbewertung Eigenschaften

Optionsbewertung C (St0 , Vt0 , x, v , τ ) = St0 P1 − Ke −r τ P2 mit τ = T − t und Pj (x, Vt0 , T , K ) =

1 2

+

1 π

R∞ 0

Re

n

e −iϕ ln(K ) fj (x,Vt0 ,T ,ϕ) iϕ

o

dϕ

x = ln(S) fj (x, Vt0 , T , ϕ) = exp(Cj (τ, h ϕ) + Dj (τ, ϕ)Vt0 + iϕx)

1−gj e dj r κη θ 2 (bj − ρθϕi + dj )τ − 2 ln 1−gj dj r b −ρθϕi+d Dj (τ, ϕ) = j θ2 j ( 1−e dj r ) 1−gj e b −ρθϕi+d gj = bjj −ρθϕi−djj p dj = (ρθϕi − bj )2 − θ2 (2uj ϕi − ϕ2 )

Cj (τ, ϕ) = r ϕir +

i

u1 = 12 , u2 = − 21 b1 = κ + λ − ρθ, b2 = κ + λ Stochastic Volatility and Jumps

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Optionsbewertung Eigenschaften

Eigenschaften

keine konstante Volatilit¨at Volatilit¨ats-Clustering Abh¨angigkeit der Zuw¨achse langfristige Smiles und Schr¨agen keine realistischen Muster der kurzfristigen implizierten Volatilit¨at schnell und einfach implementierbare geschlossene L¨osung f¨ ur europ¨aische Optionen f¨ ur jedes ρ erweiterbar auf Modelle mit Jumps

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Optionsbewertung Eigenschaften

Erweiterung des Heston-Modells um additive, unabh¨angige, proportional log-normale Sprungkomponente zu den Renditen dadurch Verbesserung des Verhaltens der kurzfristigen impliziten Volatilit¨at (ohne Verschlechterung der langfristigen)

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Optionsbewertung Eigenschaften

zugrunde liegender Prozess

p

Vt St dWtS +St dZt p dVt = κ(Vt − η)dt + θ Vt dWTV

dSt = µSt dt +

mit Corr (dWtS , dWtV ) = ρdt wobei Vt augenblickliche Volatilit¨at; positiv, stetig und mean-reversed κ Rate der mean-reversion η langfristiger Mittelwert von Vt θ Volatilit¨at der Volatilit¨at ρ Korrelation zwischen den log-Renditen und der Volatilit¨at Zt Poisson-Prozess mit Intensit¨at λ

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Optionsbewertung Eigenschaften

Optionsbewertung Weite der Spr¨ unge (hier Jt ) log-normalverteilt: ln(1 + Jt ) ∼ N(ln(1 + µJ ) −

σJ2 2 ,σ ) 2 J

Bewertung des log-Preises Xt = ln St : p 1 dXt = (r − λµJ − Vt )dt + Vt dWtS + d Zet | {z } 2 µ

wobei Zet Poisson-Prozess mit Intensit¨at λ und einer NV der Sprungweiten Jt prozentuale Sprungweite µJ Mittelwert des prozentualen Sprungweiten σJ2 Varianz der prozentualen Sprungweiten Stochastic Volatility and Jumps

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Optionsbewertung Eigenschaften

Eigenschaften

f¨ ur pfadabh¨angige Optionen Bewertung schwierig (→ numerische Methoden wie z.B. Monte Carlo zur L¨ osung n¨ otig) bessere Performance bei kurzfristigen impliziten Volatilit¨aten als BSM oder Heston-Modell

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Vergleich der drei Modelle Literatur

Zusammenfassung Black-Scholes-Merton-Modell: kritische Annahmen: konstante Volatilit¨at, Normalverteilungsannahme f¨ ur Renditen f¨ ur Plain Vanilla Optionen durchaus anwendbar, f¨ ur exotische Optionen schlechte Ergebnisse Heston-Modell: Erweiterung des BSM um stochastische Volatilit¨at und Korrelation zwischen Renditen und der Volatilit¨at kurzfristige implizite Volatilit¨at schlecht modellierbar, geschlossene L¨ osung f¨ ur Optionspreise Bates-Modell: Erweiterung des Heston-Modells um log-normale Jumps, um kurzfristige implizite Volatilit¨at besser zu modellieren Stochastic Volatility and Jumps

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Vergleich der drei Modelle Literatur

Vergleich der drei Modelle

Eigenschaft Jumps Volatilit¨atscluster symmetrische Smiles Schr¨age bei kurzfristigen Laufzeiten Schr¨age bei langfristigen Laufzeiten flexible Terminstruktur Bewertung europ¨aischer Optionen

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BSM

Heston X f¨ ur ρ = 0

X

f¨ ur ρ 6= 0 X X

Bates X X X X X X

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Vergleich der drei Modelle Literatur

Literatur J. Gatheral, 2006, The Volatility Surface - A Practitioner‘s Guide, John Wiley & Sons Inc. R. Cont, P. Tankov, 2004, Financial Modelling With Jump Processes, Chapman & Hall/CRC R. Hughes-Brandl, 2010, On the Valuation Of Foreign Exchange Options Using Stochastic Volatility Models, Kap. 1-4 Skript zur Vorlesung Stochastische Prozesse, URL: http://www. statistik.lmu.de/~semwiso/stochastische-prozesse/material [Stand: 23.05.2010] The Heston-Modell: A Practical Approach, URL: http://math.nyu.edu/ ~atm262/fall06/compmethods/a1/nimalinmoodley.pdf [Stand: 24.05.2010] Sergei Mikhailov, Ulrich N¨ ogel, Hestons Stochastic Volatility Model Implementation, Calibration and Some Extensions, URL: http://www.wilmott.com/pdfs/051111_mikh.pdf [Stand: 24.05.2010] Stochastic Volatility and Jumps

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