Copyright reserved/Kopiereg voorbehou UNIVERSITY OF PRETORIA/UNIVERSITEIT VAN PRETORIA DEPARTMENT OF STATISTICS/DEPARTEMENT STATISTIEK

STATISTICS/STATISTIEK 123(A) JUNE EXAMINATION/EKSAMEN JUNIE 2008 INTERNAL EXAMINERS/INTERNE EKSAMINATORE: A SWANEPOEL LE BODENSTEIN EXTERNAL EXAMINER/EKSTERNE EKSAMINATOR: SM MILLARD TIME/TYD:120 min

TOTAL/TOTAAL:104 MARKS/PUNTE

SURNAME/ VAN INITIALS/ VOORLETTERS STUDENT NUMBER/ STUDENTENOMMER SIGNATURE/ HANDTEKENING INSRUCTIONS/INSTRUKSIES 1. Answer all questions in the relevant space provided. / Beantwoord al die vrae in die ruimtes daarvoor gelaat. 2. Where applicable, always write down the formula that you use. / Waar van toepassing skryf altyd die formule wat u gebruik neer. 3. A list of formulae and tables will be provided. /`n Lys van formules en tabelle sal voorsien word. 4. The paper counts 104 marks but 100 is full marks. / Die vraestel tel uit 104 punte, maar 100 is volpunte. 5. Always work to three decimals unless otherwise stated. / Werk telkens tot drie desimale tensy andersins vermeld. 4) 5) 1) 2) 3) TOTAL/ TOTAAL

SIGNATURE/ HANDTEKENING INTERNAL/ EXTERNAL/ INTERN EKSTERN

6) 7) 8) TOTAL/ TOTAAL

%

2

(Section A/Afdeling A) QUESTION 1/VRAAG 1: a) A company has two departments, machining and finishing. The company makes two products, A and B, each of which requires processing in each of the two departments. There are 10 000 hours of machine capacity and 600 hours of finishing capacity available per day. Product A requires 12.5 hours of machining time and 30 minutes of finishing time per unit. Product B requires 10 hours of machining time and one hour of finishing time per unit. Severe material shortages for the two products will limit their production to a maximum of 700 units of product A and 400 units of product B per day. On product A the profit is R4 per unit and on product B it is R6 per unit. Write the above as a linear programming problem if a units of product A and b units of product B are manufactured daily./ ‘n Maatskappy bestaan uit twee departemente, masjienering en afwerking. Die maatskappy vervaardig twee produkte, A en B, wat verwerking in elkeen van die twee departemente benodig. Daar is 10 000 ure masjieneringstyd en 600 ure afwerkingstyd beskikbaar per dag. Produk A benodig 12.5 ure masjieneringstyd en 30 minute afwerkingstyd per eenheid. Produk B benodig 10 ure masjieneringstyd en een uur afwerkingstyd per eenheid. Ernstige materiaaltekorte vir die twee produkte beperk produksie tot ‘n maksimum van 700 eenhede van produk A en 400 eenhede van Produk B per dag. Die wins op produk A is R4 per eenheid en op produk B is dit R6 per eenheid. Skryf bostaande as ‘n liniêre programmeringsprobleem indien die maatskappy beplan om a eenhede van produk A en b eenhede van produk B te vervaardig

(5)

3 b) Given the following LP-problem, use the extreme point method to find the optimal solution of the objective function:/Gegewe die volgende LP-probleem, maak van die hoekpuntmetode gebruik om die optimale oplossing van die doelfunksies te vind: Maximize profit:/ Maksimeer wins: P = 2x + 3y Subject to / Onderhewig aan 10 ≤ x ≤ 40 0 ≤ y ≤ 30 100 x + 300 y ≥ 3000 100 x + 100 y ≤ 4500

(6) [11]

4 QUESTION 2/VRAAG 2: a) Test if the function /Bepaal of die funksie ⎧10 − 4 x for/vir f ( x) = ⎨ ⎩ 4 + 2 x for/vir

x 1.96 c. z > 1.65 d. z < 2.33 l)

(2)

The following hypothesis is tested:/Die volgende hipotese word getoets: H 0 : µ ≥ 75

H A : µ < 75 If the value of the test statistic equals –2.42, then the p-value is:/Indien die waarde van die toetsstatistiek gelyk is aan -2.42, dan sal die p-waarde gelyk wees aan: a. 0.5078 b. 2.4200 c. 0.9922 d. 0.0078 (2) [24]

10 QUESTION 5/VRAAG 5: An investment firm has classified its clients according to their gender and the composition of their investment portfolio (primarily bonds, primarily stocks, or a balanced mix of bonds and stocks). The proportions of clients falling into the various categories are shown in the following table: /’n Beleggingsfirma klassifiseer hulle kliënte in terme van geslag en die samestelling van hulle beleggingsportefeuljes (hoofsaaklik verbande, hoofsaaklik aandele of ‘n gebalanseerde vermenging van verbande en aandele). Die verhouding van kliënte wat in die verskillende kategorieë val word in die volgende tabel uiteengesit:

Gender/ Geslag Male/Manlik Female/Vroulik Total/Totaal

Portfolio Composition/Portefeuljesamestelling Bonds/ Stocks/ Balanced/ Verbande Aandele Gebalanseerd 0.18 0.20 0.25 0.12 0.10 0.15 0.30 0.30 0.40

Total/ Totaal 0.63 0.37 1.00

One client is selected at random and two events A and B are defined as follows:/Een kliënt word ewekansig gekies en twee gebeurtenisse A en B word soos volg gedefinieër: A: B:

The client selected is male/Die gekose kliënt is manlik The client selected has a balanced portfolio/Die gekose kliënt besit ‘n gebalanseerde portefeulje

Use the probablitity rules to determine the following probabilities:/Gebruik die waarskynlikheidsreëls om die volgende waarskynlikhede te bereken: a)

P ( A)

b)

P(A U B)

(2)

(2)

11 c)

P(B/A)

(3) d)

Are A and B independent events? Explain by using probabilities./Is A en B onafhanklike gebeurtenisse? Verduidelik deur gebruik te maak van waarskynlikhede.

(2) [9] QUESTION 6/VRAAG 6: Consider the probability distribution of X and use it to find the following probabilities:/ Beskou die volgende waarskynlikheidsverdeling van X en gebruik dit om die volgende waarskynlikhede te bepaal: x p(x)

2 0.10

3 0.15

4 0.20

5 0.25

6 0.30

a) P(X ≥ 4)

(3)

12

b) P(2 < X ≤ 4)

(2) [5] QUESTION 7/VRAAG 7: A random sample of 10 university students was surveyed to determine the amount of time spent weekly using a personal computer. The times are:/’n Ewekansige steekproef van 10 universiteitstudente word geneem om te bepaal hoeveel tyd weekliks gespandeer word aan die gebruik van ‘n persoonlike rekenaar. Die tye is soos volg: 13

14

5

6

8

10

7

12

15

3

If the times are normally distributed with a standard deviation of 5.2 hours, estimate with 90% confidence the mean weekly time spent using a personal computer by all university students./Indien die tye normaal verdeel is met ‘n standaardafwyking van 5.2 ure, beraam met 90% vertroue die gemiddelde weeklikse tyd gespanddeer aan die gebruik van ‘n persoonlike rekenaar deur alle universiteitstudente.

[6]

13 QUESTION 8/VRAAG 8: A random sample of 10 observations was drawn from a large population. These are:/’n Ewekansige steekproef van 10 waarnemings word getrek uit ‘n groot populasie. Hulle is: 22

17

27

20

23

19

24

18

19

24

Test to determine if we can infer at the 5% significance level that the population mean is not equal to 20./Toets op ‘n 5% peil van betekenis of ons kan aanvaar dat die populasiegemiddelde nie gelyk aan 20 is nie.

a) H 0 :

HA :

b) Level of Significance/Peil van betekenis

c) Rejection region:/Verwerpingsgebied:

d) Test statistic:/Toetsgrootheid:

e) Conclusion:/Gevolgtrekking:.

[8]