14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1
PÁGINA 270 EJERCICIOS DE LA UNIDAD Áreas y perímetros de figuras sencillas Halla el área y el perímetro de las figuras coloreadas de los siguientes ejercicios:
1
a)
b) 3m
3m
4m
1,8 m 6m
a) S3 m 3 m 9 m2 P4 3 m 12 m
2
a)
6 m 1,8 m b) S5,4 m2 2 P3 4 613 m b)
3 dm
6 cm
10
,8
cm
9 cm
a) Sπ32 dm2 28,26 dm2
9 cm 6 cm b) S27 cm2 2
P2π3 dm 18,84 dm
3
a)
P6 cm9 cm10,8 cm25,8 cm b)
6 cm
17 m
7,2 cm
6 cm 10 cm
30 m
B b 10 6 a) Sh6 48 cm2 2 2
b) S30 m 17 m 510 m2
P6 610 7,229,2 cm
4
a)
26 cm
P(172) m(302) m94 m b) m
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
da
P23,9 4 cm 95,6 cm
18
D d 40 26 a) S 520 cm2 2 2
13,8 dam
40 cm
23,9 cm
23 dam
23 13,8 b) S158,7 dam2 2 P18 23 1859 dam
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 2
b)
42 m 27,8 m
32 m
4m
a)
2,8 m
5
74 m
74 42 a) S 27,81 612,4 m2 2
P a (54)2,8 b) S 28 m2 2 2
P74 42 (32 2)180 m
b) 2,5 km
m
a) 3 km
5c
6
P54 20 m
5 km
a) S 52,5 12,5 km2 P(25)(23) 16 km
a)
b)
15,3 m 5m
6 cm
4m
12 m
7,
2
cm
7
π r 2 π 52 b) S 39,25 cm2 2 2 2πr P2rπ51025,7 cm 2
7m
P a (86)7,2 a) S 172,8 cm2 2 2 P6 848 cm 15,3 7 b) S 444,6 m2 2 P5 15,3 12739,3 m
10 cm
6 cm
b)
10 m
m
a)
1
7,
m
5 3,
7,9
8
m
a) S πR 2 πr 2 π102 π62 64 π200,96 cm2 P2 π R 2 π r32 π100,48 cm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 3
14,27 b) SSCUADRADO SROMBO 10050,3 m2 2 PPCUADRADO PROMBO 1047,9471,6 m
b)
15 m
6m
120°
5,2 m
a)
6m
9
6m
π r 2 α π152 120° a) S 235,5 m2 360° 360° 2 π rα 2 π 15 120° P2r 3061,4 m 360° 360° 6 5,2 b) S15,6 m; P6 3 18 m 2 a)
b)
8m
17
8 dam
10
dam
15 dam
5m
πR 2 πr 2 64π 25π 39π a) S 61,23 m2 2 2 2 2πR 2πr P2 (Rr)8π5π613π646,82 m 2 2 15 8 b) S60 dam2; P8171540 dam 2 Medir y calcular En cada una de las siguientes figuras toma las medidas que creas necesarias y calcula su superficie y su perímetro.
11
a)
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
b)
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 4
a)
b) 1,2 cm
2,4 cm
12
S 2,42,4 5,76 cm2
Sπ1,22 4,52 cm2
P4 2,49,6 cm
P2π1,2 7,54 cm
a)
b)
a)
b)
2 cm
2 cm
2 cm
3,5 cm
2,4 cm
13
S 2,42 4,8 cm2
3,5 2 S3,5 cm2 2
P2 2,42 28,8 cm
P24 8 cm
a)
a)
b)
1,6 cm 2,3 cm
2 cm
2,7 cm
(2,7 1,6) 2 S 4,3 cm2 2 P2,7 3 1,629,3 cm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 5
b) 120° 1,8 cm
1,2 cm
(π1,82 π0,62)120° S 3,01 cm2 360° (2π1,8 2π0,6) 120° P 21,2 7,42 cm 360°
14
a)
a)
b)
1,8 cm
3 cm
1,7 60°
cm
1,8 cm
1,6
1,5 cm cm
3,2 cm
SATRIÁNGULO ATRAPECIO ASECTOR 1,8 3 (3,2 1,7) 1,5 π 1,82 60°2,73,6751,6956 2 2 360° 8,07 cm2 2π 1,8 P1,8 31,6 3,2609,61,884 11,481 cm 360° b) 2,2 cm 1,5 cm 1,6 cm
S2,21,5 3,3 cm2; P2,221,627,6 cm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 6
PÁGINA 271 Calcular el elemento que falta En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo, …). Si no es exacto, halla una cifra decimal.
15
b) 8 cm
5m
a)
13 m
15 cm
b)
13 m
5m
8 cm
a)
15 cm
82 152 17 cm l
c 132 52 12 m
8 15 S 60 cm2 2
12 5 S30 m2 2
P15 8 1740 cm
P125 13 30 m
16
a)
b) m
10 cm
30
22
cm
a)
m 2c
2
b) 30 a
b
m
10 cm
40 m
20 m
40 m
b 222 1 02 19,6 cm
a 302 2 02 22,4 m
S 10 19,6196 cm2
40 22,4 S448 m2 2
P10 219,6 259,2 cm
P3030 40100 m
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 7
17
a)
b) da m
20
m
18
26 m
9 9 12,7 dam l 2
l
S12,72 161,3 dam2
da
9
m
P4 12,750,8 dam
l
b)
NOTA:
En este ejercicio hemos de tener en cuenta que l92 y, por tanto, S(9 2)2 162
9
da 18 m d am
a)
2
0m
2
26 m
pero no se puede poner a los alumnos de este nivel.
D 202 1 32 15,2 m → 2 → D30,4 m 30,4 26 S395,2 m2 2
D
P420 80 m
18
a)
b) 3
m
4m
a)
b) 120° 4m
3
m
R
α360° : 3120°
2 32 4,2 m R 3
π42 120° S 16,7 m2 360°
Sπ4,22 π32 27,1 m2
2π 4 120° P4 4 16,4 m 360°
P2π4,22π345,2 m
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 8
19 39 m
28 m 32 m
34 m
24 m 47 m
8 18 39 m
28 m
32 m
34 m
24 m 47 m
S283281847 34 2 638 m2 P2832 24 4734391840262 m
20
a)
b)
2 cm
13 c m
8 cm 5 cm
a)
14 cm
b) 8 cm
b
5 cm
2 cm
a
13 c
m
12 cm 14 cm
b 82 52 6,2 cm
a 132 1 22 5 cm
S 5 6,231 cm2
12 5 S2540 cm2 2
P5 26,2 222,4 cm
P52 13 14 34 cm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 9
21
B
C
A
D
— — AB CD 41 m — BC 53 m — AD 71 m — — — AD BC18 m → AE 9 m
B
C a
A
a 412 92 40 m
a D
E
(7153) 40 S 2 480 m2 2 P41 41 5371206 m
A
22
— OB 13,6 cm O B
A
a 13,62 82 11 cm
a O
— AB 16 cm
8 cm B
S 80 · 11 = 440 cm2 2 P = 16 · 5 = 80 cm
23
N P
–— MN 6 dm — NP 4 dm
M
Q
N 2,4
a
M
P
Q
— PQ 3,6 dm a 42 2, 42 3,2 dm (63,6) 3,2 S 15,4 dm2 2 P6 43,63,216,8 dm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 10
24
Q
R
P
S
Q
d 6,52 62 2,5 cm → d5 cm 2 5 12 S30 cm2; P6,5426 cm 2
R d
P
S
25
— — — — PQ = QR = RS = SP = 6,5 cm — PR = 12 cm
B
∧ A 60° — AB 10 m
A
B
5 a
102 52 8,7 m a 10 8,7 ATRIÁNGULO 43,5 m2 2 π102 60° ASECTOR 52,3 m2 360° AASECTOR ATRIÁNGULO 8,8 m2
A
P = 10 + 2π · 10 · 60° = 20,5 m 360°
26
B
— — — AB AC BC 8 cm — — 1 BD DE BE 2
D
A
E
C
— 82 42 6,9 BE — — 6,9 BD DE 3,45 2 — DC 3,452 42 5,3 8 6,9 83,45 S27,613,813,8 cm2 2 2 P28 2 5,3 26,6 cm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 11
Problemas
27
Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio. Halla el área del recinto comprendido entre ambas figuras.
El lado del hexágono regular es igual al radio de su circunferencia circunscrita.
a 62 32 5,2 cm 6 cm a 3
28
SCÍRCULO π62 113,04 cm2 36 5,2 SHEXÁGONO 93,6 cm2 2 SSCÍRCULO SHEXÁGONO 19,44 cm2
Para cubrir un patio rectangular, se han usado 175 baldosas de 20 dm2 cada una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 50 cm de lado serán necesarias para cubrir el patio, idéntico, de la casa vecina? El área del patio es 175 203 500 dm2 El área de la baldosa cuadrada es 50 502 500 cm2 25 dm2 Por tanto, se necesitarán 3 500 : 25140 baldosas.
29
El área de un rombo es 24 cm2. Una de sus diagonales mide 8 cm. Halla su perímetro. 8 d 48 24 → d 6 cm l d 2 8 8 cm
42 32 5 cm l Por tanto, el perímetro es 4520 cm.
30
Sabiendo que el lado del cuadrado mide 30 cm, calcula el radio del círculo inscrito y el radio del círculo circunscrito. Calcula el área de la zona coloreada.
R r
El radio de la circunferencia inscrita es la mitad del lado del cuadrado, es decir, r15 cm.
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 12
15 15
El radio de la circunferencia circunscrita es:
R
R 152 1 52 21,2 cm
El área pedida es: AAC. CIRCUNSCRITA AC. INSCRITA π21,22 π152 704,7 cm2
31
Un cuadrado de 1 m de lado se divide en cuadraditos de 1 mm de lado. ¿Qué longitud se obtendría si colocáramos en fila todos esos cuadraditos? 1 mm 0,001 m. Así, en el cuadrado de 1 m de lado hay: 1 m2 : 1 mm2 1 m2 : (0,001)2 m2 1 000 000 de cuadraditos de 1 mm de lado Colocados en fila alcanzan una longitud de: 1 000 0001 mm1 000 000 mm1 000 m1 km
32
¿Es regular este octógono?
1 cm
Calcula su área y su perímetro. 1 cm
No es regular, porque los lados oblicuos son distintos a los otros cuatro. Miden: l 12 12 2 1
1
l 1
1 El área de cada triángulo es cm2. 2 1 Así, el área del polígono es: 5 4 7 cm2 2
1 cm
1 cm
Su perímetro es: 44 2 9,66 cm
33
Una habitación cuadrada tiene una superficie de 25 m2. Hemos de embaldosarla con losetas cuadradas de 20 cm de lado (se llaman losetas de 20 × 20). ¿Cuántas losetas se necesitan? La superficie de una loseta de 20 × 20 es: 2020400 cm2 0,04 m2 Por tanto, necesitaremos 25 : 0,004 625 losetas.
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 13
Calcula la superficie de la zona coloreada. El área pedida es:
5 cm
5(5 4 3) S 5 4 3 20 cm2 2 2
35
2
4 cm
3 cm
2
La figura azul no es un rombo, pero tiene las diagonales perpendiculares. Justifica que también puedes calcuD d lar su área mediante la fórmula: . 2
8m
15 m
34
El área del cuadrilátero azul es la mitad que la del rectángulo grande, pues el área de cada triángulo azul es la mitad que la del rectangulito que lo contiene.
36
Calcula las dimensiones y la superficie de las siguientes secciones de un cubo. 6 cm
6 cm l
3 cm
32 32 4,24 cm l Por tanto, es un rectángulo de 4,24 × 6, cuya área es:
3 cm 6 cm
S4,24625,44 cm2 6 cm
37
6c
3 cm
m
l'
l' 32 62 6,7 cm Por tanto, es un rectángulo de 6,7 × 6, cuya área es: 6,76 40,2 cm2
Los lados de un triángulo miden: a6 cm, b7 cm y c8 cm. La altura correspondiente al lado a mide ha 6,8 cm. Calcula la longitud de las otras dos alturas. Haz el dibujo con precisión, toma medidas y comprueba la solución obtenida.
a = 6 cm
b = 7 cm 6,8
hb hc c = 8 cm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
cm
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 14
6 6,8 El área del triángulo es 20,4 cm2 2 Por tanto: 40,8 7 h 20,4b → hb 5,8 cm 7 2 8 h 40,8 20,4 c → hc 5,1 cm 2 8
38
Halla la superficie de cada una de las piezas de este tangram. Después, súmalas y comprueba que equivalen al área del cuadrado que forman todas juntas:
12 cm
12 cm
12 6 S 36 cm2 2
S 63 18 cm2
6 6 S 18 cm2 2
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 15
6 3 S 9 cm2 2
6 6 S 18 cm2 2
12 6 S 36 cm2 2
6 3 S 9 cm2 2
S S S S S S S 361818918369144 cm2 STOTAL 1212 144 cm2
PÁGINA 273 PROBLEMAS DE ESTRATEGIA Las áreas o perímetros que se piden a continuación son, todos ellos, mucho más sencillos de lo que parecen. Se encuentran con algo de imaginación y muy pocos cálculos.
39 Todos los arcos con los que se ha trazado esta figura son iguales, pertenecen a circunferencias de radio 6 m. Calcula su área.
18 m
12 m
Por tanto, S1218216 m2
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 16
40 Halla el área de este dibujo de un jarro. Todos los arcos están hechos con un radio, r8 cm.
16 cm
16 cm
Observando la igualdad de las superficies marcadas con , , : S 162 256 cm2
41 Halla el área y el perímetro de toda la figura.
4c m
60°
Con esta figura podemos formar la siguiente:
4 cm 60°
Así, queda claro que el área es: π42 50,24 cm2 Los seis arcos completan una circunferencia. Por tanto, el perímetro de la figura es: 2 π42433,2 cm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 17
42 Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado.
40 cm
50 cm
El área del rectángulo rojo es 40 502 000 cm2
40 cm
50 cm
Dentro del rectángulo hay ocho losetas. Por tanto, el área de cada una de ellas es: 2 000 250 cm2 8
43 La base de este rectángulo mide 20 cm más que la altura. Su perímetro es de 100 cm. Calcula el área del cuadrilátero coloreado. El área de cada uno de los dos triángulos blancos es la cuarta parte del área del triángulo. Por tanto, el área del cuadrilátero coloreado es la mitad de la del rectángulo. b = 20 + a
a
a
b = 20 + a
404a100 → a15 cm → b35 cm
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
14
Pág. 18
Área del rectángulo1535525 cm2 525 Área del cuadrilátero coloreado 262,5 cm2 2
44 ¿Cuál de los tres triángulos tiene mayor área (azul, naranja o verde)? Justifica la respuesta.
Todos tienen la misma base y la misma altura. Por tanto, tienen igual área.
45
C
C
C
A y B son puntos fijos. El punto C puede estar situado en cualquier lugar de la circunferencia. ¿Dónde lo pondrás si quieres que el área del triángulo ABC sea la mayor posible?
A
C
B
C
C
A
B
C
La altura tiene que ser la mayor posible. Por tanto, el vértice hay que situarlo en el punto de la circunferencia más lejano a la cuerda. Está situado en la mediatriz del segmento AB.
46 El perímetro del cuadrado rojo interior es de 32 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado negro exterior? l5 l3 l2
l4
l1
l5 es cuatro veces l1. Por tanto el perímetro del cuadrado exterior es cuatro veces el del cuadrado interior, es decir, 128 cm.
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
14
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 19
47 Halla el área de la parte coloreada sabiendo que el diámetro de la circunferencia grande es de 6 cm.
SZONA SOMBREADA π32 7π12 (97) π6,28 cm2
Unidad 14. Mediciones: Longitudes y áreas
