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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 1
PÁGINA 213 EJERCICIOS DE LA UNIDAD Operaciones con ángulos y tiempos
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Efectúa las siguientes operaciones: a) 27° 31' 15" 43° 42' 57"
b) 163° 15' 43"96° 37' 51"
c) (37° 42' 19") × 4
d) (143° 11' 56") : 11
a)
27° 31' 15" 43° 42' 57" 70° 73' 72" → 71° 14' 12"
b)
163° 15' 43" 162° 74' 103" 96° 37' 51" → 96° 37' 51" 66° 37' 52"
c) 37° × 4 148° 42' × 4168'2° 48' 19" × 4 76" 1' 16" d) 143° 11' 56" 033 00 01" 00
→ (37° 42' 19") × 4150° 49' 16"
11 13° 1' 5"
Cociente → 13° 1' 5"
Solución:
Resto → 1"
2
∧ En el ángulo A 80° 42' 56", trazamos su bisectriz. ¿Cuánto mide cada ángulo resultante? Cada uno mide:
3
80° 42' 56"
2
00 00 00
40° 21' 28"
Halla el cuarto ángulo de un cuadrilátero sabiendo que los otros tres miden: ∧ ∧ ∧ A 47° 11' 15", B 96° 51' 33", C 68° 3" ∧ D360°(47° 11' 15" 96° 51' 33" 68° 3")147° 57' 9"
Unidad 10. Rectas y ángulos
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
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Halla en grados, minutos y segundos el ángulo interior de un heptágono regular. El ángulo interior de un heptágono regular mide: (72)180° 128° 34' 17" 7
Construcciones
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Traza, con el transportador, los ángulos de 30°, 45°, 60° y 75°. Construye sus complementarios y calcula sus medidas.
15° 30° 60°
6
45° 45°
30°
Traza con el transportador los ángulos de 120°, 135°, 150° y 165°. Construye sus suplementarios y calcula sus medidas.
60°
30°
7
75°
60°
120°
45°
150°
15°
135°
165°
Utilizando exclusivamente el lápiz, la regla y el compás, dibuja los siguientes ángulos: a) 60°
b) 30°
a)
c) 45°
d) 150° b)
Trazando una bisectriz al anterior.
d)
e)
180°30°
Unidad 10. Rectas y ángulos
e) 75° c)
Bisectriz a un ángulo recto.
Bisectriz al anterior.
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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 3
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Dibuja un ángulo de 120°. Traza tres rectas de forma que dividan al ángulo en cuatro partes iguales. 120°180°60°
Primero se traza la bisectriz del ángulo de 120° (verde) y luego las dos bisectrices de los ángulos de 60° (azul y rojo).
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r
Dibuja en tu cuaderno una recta r y un punto P exterior a ella. ¿Cuántas rectas paralelas a r que pasen por P puedes trazar?
P
Haz los trazados con regla y escuadra. Solo puede trazarse una recta paralela.
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Dibuja en tu cuaderno un itinerario como este con las siguientes medidas: — — — — B AB 6 cm, BC 3 cm, CD 4 cm, DE 4 cm A B
C
E
C D
D
B
C A
E
D
Unidad 10. Rectas y ángulos
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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 4
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Construye un triángulo como este con las siguientes medidas: ^
a
^
E
B
^
^
A
^
C
D
a4 cm ∧ A 30°
∧ B 100°
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ Halla los ángulos D y E . ¿Cómo son los ángulos B y E ? ¿Y D y C ? ∧ C 180°(30°100°)50° ∧ 80° D180°50°130° 4 cm 100° ∧ E180°100°80° 130° ∧ ∧ 50° 30° B y E son suplementarios (y adyacentes). ∧ ∧ D y C son suplementarios (y adyacentes).
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Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Qué propiedad tiene cada punto de la mediatriz de un segmento? b) ¿En qué punto de la vía férrea hay que situar una estación de modo que se encuentre a la misma distancia de los pueblos A y B ? A Vía
a férre
B
Copia en tu cuaderno el dibujo y resuélvelo gráficamente. a) Que equidista de cada uno de los dos extremos del segmento. b) La estación E hay que situarla en el punto en que la mediatriz de AB corta a la vía férrea. De ese modo, equidista de A y de B. A Vía
B E
Unidad 10. Rectas y ángulos
a
férre
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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 5
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Contesta y construye: a) ¿Qué propiedad tiene cada punto de la bisectriz de un ángulo? b) Copia en tu cuaderno un ángulo como este, alargando sus lados varios centímetros. Sitúa una circunferencia de 4 cm de radio, que sea tangente a los dos lados del ángulo (es decir, que la circunferencia toque en un solo punto a cada lado del ángulo). a) Que equidista de los lados del ángulo. b)
4 cm
(No construido a su tamaño.)
Trazamos un segmento de 4 cm perpendicular a un lado. Por su extremo trazamos una paralela a este, hasta que corte a la bisectriz. Ahí está el centro de la circunferencia buscada. Relaciones angulares
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Calcula el valor del ángulo o de los ángulos que se piden en cada figura: a
b ^
125°
A
125°
^
^
P
63°
c
N
d 28°
^
A
^
32°
Unidad 10. Rectas y ángulos
P
^
Q
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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 6
e
f
^
M ^
B
^
A
^
N
g
h 40°
^ ^
A
B
^
^
M
N
^
C
130°
∧ a) A180°63°117° ∧ ∧ 360°(125°125°) b) PN 55° 2 ∧ c) A90°32°58° ∧ ∧ 180° 28° d) PQ 76° 2 ∧ 360° ∧ 180°3 e) A 108°; B 72° 5 5 ∧ ∧ 180°3 90°3 f ) MN 135° 2 ∧ ∧ ∧ g) B C40°; A180°40°140° ∧ ∧ h) N130°; M180°130°50°
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Averigua cuánto mide el ángulo de un pentágono regular contestando a las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto mide el ángulo central? b) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo señalado en rojo? c) Por tanto, ¿cuánto mide el ángulo del pentágono? 360° a) Ángulo central72° 5
Unidad 10. Rectas y ángulos
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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 7
180° 72° b) Ángulo señalado 54° 2 c) Ángulo del pentágono54°2108°
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Calcula el valor del ángulo o de los ángulos que se piden en cada figura: a)
b) ^
^
^ B
^
A
C
N
25°
^
M
40°
^
P
d)
c)
^
B 100°
40°
A^
e) ^
C
^
D
f)
^
B ^
^
C
g)
60° ^
A
E 150°
^
D
∧ ∧ ∧ a) B25°; AC180°25°155° ∧ ∧ 180° 140° ∧ b) M180°40°140°; N 20°; P90°20°70° 2 ∧ 100° c) A50° 2 ∧ 40° d) B20° 2 ∧ ∧ e) CD90° ∧ ∧ ∧ f ) AB C150° : 2 75° ∧ ∧ g) E60°; D260°120°
Unidad 10. Rectas y ángulos
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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 8
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a
El triángulo I es equilátero. Los triángulos II son isósceles. ∧ ∧ ∧ Halla la medida de los ángulos A , B y C .
I a a
a
a
II ^
II A^
^
B
C
I
a
a a
II
a
II
60° 75°
a
150°
15°
a
a
∧ 180° 30° A 75° 2 ∧ B360°(60°75°2) 150° ∧ C(180°150°) : 2 15°
PÁGINA 215 Simetrías
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Observa las letras del abecedario: Di cuáles no tienen ejes de simetría (hay 10), cuáles tienen un eje de simetría (hay 13), cuáles tienen dos (hay 3) y cuál tiene infinitos ejes de simetría. Dibuja cada una de ellas en tu cuaderno señalando los ejes que tenga.
No tienen eje de simetría: F, G, J, N, Ñ, P, Q, R, S, Z. Tienen un eje de simetría: A, B, C, D, E, K, L (inclinado), M, T, U, V, W, Y.
Unidad 10. Rectas y ángulos
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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 9
Tienen dos ejes de simetría: H, I, X. La O tiene infinitos. Son simétricas respecto a un punto, además de H, I, X, O, las siguientes: N, S, Z.
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Completa en tu cuaderno cada figura para que sea simétrica respecto al eje señalado:
20 Completa la siguiente figura para que tenga los dos ejes de simetría que se indican: Comprueba el resultado con un espejo. e2
e1
PROBLEMAS DE ESTRATEGIA
21 Imagina que pones un espejo sobre la línea de puntos de las siguientes figuras:
a
b
c
d
Dibuja en tu cuaderno lo que crees que se verá mirando por cada una de sus dos caras.
Unidad 10. Rectas y ángulos
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
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¿Cómo hay que situar el espejo en cada figura para que se vea lo mismo por las dos caras? 1 ↑1 ↓2
a
2
se verá
↑1 ↓2
2
1 se verá
b
1 se verá
c
2
↑1 ↓2
2
1 ↑1 ↓2
d
se verá
Para que se vea lo mismo por las dos caras hay que situar los espejos así: a
c
b
d
22 Vamos a obtener figuras mirando un trozo de esta figura F con un espejo: F
Unidad 10. Rectas y ángulos
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SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Pág. 11
Por ejemplo, para obtener esta
hemos de situar el espejo así:
F
Pero ¡atención!, no tenemos un espejo a mano. Tienes que imaginártelo. Indica cómo hay que situar el espejo sobre F para visualizar cada una de las siguientes figuras:
A
B
C
D
M
N
E P
B
A
D
C
E
N P
Unidad 10. Rectas y ángulos
M
