Sestao Sestao ,, 26 26 de de Febrero Febrero de de 2010 2010 Juan ía Jimé énez & é Luí ís ÁÁlvarez lvarez Garc Jim Jos Lu Juan Emilio Emilio Garcí García Jiménez & José José Luís Garcí ía Garc García

"Los problemas son oportunidades para demostrar lo que se sabe”. Duke Ellington (1899-1974); compositor y músico de jazz estadounidense.

“Tengo un dilema: acabo de resolver un proble científico, así que necesito buscar otro” Marcial Moreno Mañas

En el libro de Hofstadter “Gödel, Escher y Bach” podemos encontrar la siguiente lista de capacidades de la inteligencia: Responder a situaciones con flexibilidad. Sacar partido de circunstancias fortuitas. Encontrar semejanzas entre situaciones a pesar de las diferencias que puedan separarlas. Encontrar diferencias entre situaciones a pesar de las semejanzas que las unan. Sintetizar nuevos conceptos considerando viejos conceptos y uniéndolos de manera nueva. Proponer ideas nuevas. Modificar hipótesis. En el campo de las matemáticas, estas capacidades pueden desarrollarse mejor que de ningún otro modo por medio de la resolución de problemas.

Informe Informe COCKROFT COCKROFT Resolución de problemas 249: La resolución de problemas es consustancial a las matemáticas. Las matemáticas sólo son «útiles» en la medida en que puedan aplicarse a una situación concreta; precisamente la aplicación a las diversas situaciones posibles es lo que se denomina «resolución de problemas». En todo caso, antes de resolver estos problemas, es preciso traducirlos a los términos matemáticos apropiados. Este paso, primero y esencial, plantea serias dificultades a numerosos alumnos, hecho que con frecuencia se pasa por alto. El profesor ha de ayudar a los alumnos a entender, en cada etapa del curso, como deben aplicar los conceptos y destrezas que estén aprendiendo y cómo han de hacer uso de los mismos en la resolución de problemas. Estos problemas, por su parte, han de guardar relación con la aplicación de las matemáticas a las situaciones cotidianas de la experiencia de los alumnos y a otras situaciones menos familiares. Muchos alumnos necesitarán mucho tiempo de discusión y trabajo oral, antes de poder abordar por escrito los problemas más sencillos.

PROBLEMAS Y EJERCICIOS Según Weatley “resolver un problema es lo que haces cuando no sabes qué hay que hacer”. Un problema matemático implica un propósito con dificultad a conseguir, que hay obstáculos y requiere deliberación, ya que quien lo afronta no conoce ningún algoritmo para resolverlo. Los buenos problemas matemáticos representan un desafío a las capacidades deseables de un matemático, tienen interés en sí mismos y estimulan en quienes lo resuelven el deseo de proponerlo a otras personas. La resolución de problemas es sobre todo un proceso y no un procedimiento paso a paso aunque se enseñen todas las técnicas heurísticas, es como ha dicho alguien más un viaje que un destino.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ESTÁNDARES USA MERECE MERECE MÁS MÁS ATENCIÓN ATENCIÓN ••Dedicarse Dedicarse aa problemas problemas abiertos abiertos yy tareas tareas amplias amplias de de resolución resolución de de problemas. problemas. ••Investigar Investigar yy formular formular preguntas preguntas aa partir partir de de situaciones situaciones problema. problema. ••Representar Representar situaciones situaciones de de forma forma verbal, verbal, numérica, numérica, gráfica, gráfica, geométrica geométrica oo simbólica. simbólica.

MERECE MERECE MENOS MENOS ATENCIÓN ATENCIÓN ••Practicar Practicar con con problemas problemas rutinarios rutinarios de de un un solo solo paso. paso. ••Practicar Practicar con con problemas problemas categorizados categorizados por por tipos tipos (p.ej. (p.ej. Problemas Problemas con con monedas, monedas, problemas problemas sobre sobre la la edad). edad).

Estandar Estandar de de resolución resolución de de problemas problemas

Construir nuevos conocimientos a través de la resolución de problemas. Resolver problemas que surjan de las matemáticas y de otros contextos. Aplicar y adaptar diversas estrategias para resolver problemas. Controlar el proceso de resolución de los problemas matemáticos y reflexionar sobre él.

ESTÁ ESTÁNDARES 55-8 Usar la resolución de problemas para investigar y entender los contenidos matemáticos. Formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las Matemáticas. Desarrollar y aplicar diversas estrategias para resolver problemas haciendo hincapié en problemas no rutinarios y de pasos múltiples. Verificar e interpretar resultados en relación con la situación del problema original. Generalizar soluciones y estrategias para situaciones de problema nuevas. Adquirir confianza en el uso significativo de las matemáticas.

Enseñ Enseñanzas mí mínimas Currí Currículo Educació Educación Primaria

6. Matemá Matemáticas Bloque Bloque 5. 5. Resolución Resolución de de problemas problemas

Anticipación de una solución razonable y búsqueda de los procedimientos matemáticos más adecuados para abordar el proceso de resolución problemas. Valoración de las diferentes estrategias a seguir. Perseverancia en la búsqueda de datos y soluciones precisas, tanto en la formulación como en la resolución de un problema. Interés por la presentación ordenada y clara los datos y las operaciones realizadas. Resolver problemas matemáticos explicando oralmente y por escrito el proceso seguido.

Competencia para aprender a aprender Adquisición de estrategias y técnicas heurísticas apropiadas para el cálculo inteligente y la resolución de problemas matemáticos. Perseverancia a la hora de abordar situaciones problemáticas de creciente complejidad. Reconocimiento de las condiciones de ser ordenados y sistemáticos a lo hora de expresar los trabajos matemáticos, como medio para expresar de manera adecuada el pensamiento y posibilidad de análisis una vez concluido el trabajo. Fomento del interés y la curiosidad por dedicarse a pequeñas investigaciones y enfrentarse a situaciones problemáticas.

Autonomía e iniciativa personal

™ Incidir desde el área en los contenidos relacionados con la autonomía, la perseverancia y el esfuerzo para abordar situaciones de creciente complejidad. ™ La sistematización, la mirada crítica y la habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo. ™ La verbalización del proceso seguido en el aprendizaje, contenido que aparece con frecuencia en este currículo, ayuda a la reflexión sobre qué se ha aprendido, qué falta por aprender, cómo y para qué, lo que potencia el desarrollo de estrategias que facilitan el aprender a aprender.

Planificar estrategias, asumir retos. Técnicas heurísticas como modelos para el tratamiento de la información y el razonamiento. Recurso frecuente a la toma de decisiones en procedimientos matemáticos diversos, en particular a la hora de afrontar y resolver situaciones problemáticas abiertas, como las que se suelen presentar en la vida cotidiana. Destrezas individuales: „ „ „ „ „

Autonomía Perseverancia Sistematización Reflexión crítica Habilidad para comunicar con eficacia los resultados

Autonomía e iniciativa personal La resolución de problemas:

Autonomía e Iniciativa personal

la planificación

la gestión de los recursos

la valoración de los resultados.

¿Qué ¿Qué necesita necesita saber saber una una persona persona para para resolver resolver un un problema?. problema?. Conocimiento lingüistico. Términos en los que está redactado el problema. Comprensión del enunciado. Conocimiento semántico. Hechos. Por ejemplo:1 ha=10.000m2 . Comprensión de la lengua y del “lenguaje específico” matemático. Conocimiento esquemático. Ser consciente del tipo de problema a resolver. Por ejemplo: algorítmico o de enunciado abierto. Conocimiento operativo. Dominio de “herramientas”. Por ejemplo: cómo despejar una incógnita, cómo determinar la ecuación de una recta, cómo manejar el compás, etc. Conocimiento estratégico. Uso de líneas de pensamiento que se ponen en juego al resolver problemas, en forma de elección de heurísticos, procedimientos o métodos.

Estrategias heurísticas.

PASOS PARA LA RESOLUCIÓ RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA Leo el enunciado. Busco las palabras que no entiendo.

Resolver primeramente un problema más simple. Codificar los datos buscando notaciones adecuadas para representar el problema. Emplear dibujos o diagramas. Hacer tablas y buscar pautas. Descomponer el problema en subproblemas. Realizar experimentos. Empezar el problema desde atrás o dar el problema por resuelto. Generalizar la solución para tener un modelo de resolución de todos los problemas análogos.

Separo los datos conocidos y los desconocidos Pienso una estrategia adecuada: ¿Conozco algún problema similar, particularizo, busco regularidades, dibujos, etc.

La pongo en practica. ¿Funciona?

Compruebo el resultado en la historia del problema ¿Es correcto?

¿Puede hacerse de otra manera? ¿Me sugiere otros problemas?

SUGERENCIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Lectura del enunciado y comentarios con compañeros próximos. Tapar el problema y expresar oralmente con propias palabras y a “grosso modo” lo que expresa el enunciado. Oír las diferentes versiones y discutirlas. Expresar por escrito un Plan de resolución en términos parecidos a los siguientes: “ Yo haría esto y con lo que me salga haré esto otro para obtener.... Luego haré... y me saldrá tal cosa ... que es la solución”. También pueden hacerse esquemas : Ejecutar el plan discutiendo el procedimiento con los compañeros. Expresar continuamente lo que se hace y para qué se hace. Expresar la solución mediante una frase. En su caso “ajustar” la respuesta a la/s preguntas del problema. Plantearse la pregunta ¿Hay otro modo de resolver el problema?. Planificar y ejecutar otros modos de resolución. Utilizar cuando el caso lo requiera diferentes estrategias como: plantearse casos más sencillos, hacer dibujos, representar los datos en tablas y buscar pautas, etc.

Sestao, 26 de Febrero de 2010

CHICOS Y CHICAS z

z z z

Los alumnos de 2º nivel quieren averiguar si hay más chicos que chicas en 4º nivel.

Recoger información. Anotar los datos. Hacer sumas de varios números con seguridad.

Jardines en el patio tres clases de 1º de un colegio se les ha ofrecido la posibilidad de poner un jardín en el patio.

Monedas en el bolsillo

zA

z

Tengo en mi bolsillo monedas de 10, 20 y 50 céntimos de €. Si saco

z z z

¿Cómo puede ser el jardín de grande?. ¿Las tres partes tienen que ser de la misma forma?. ¿Cómo asegurarnos de que cada clase tiene la misma cantidad de espacio?.

tres monedas del bolsillo, ¿cuánto dinero puedo haber sacado?

Dados 10 Céntimos

20 Céntimos

50 Céntimos

TOTAL

0

0

3

1´50

0

1

2

1´20

1

0

2

1´10

0

2

1

0´90

1

1

1

0´80

2

0

1

0´70

0

3

0

0´60

1

2

0

0´50

2

1

0

0´40

3

0

0

0´30

Si tiras dos dados (ambos numerados del 1 al 6) y restas el número menor del mayor, ¿cuáles son los resultados posibles?. z Si haces esto 20 veces y elaboras una tabla y un diagrama de puntos de los resultados, ¿cómo crees que sería el diagrama?. z ¿Es más probable una diferencia que las otras? z

Rectángulos z

Muestra en una trama de puntos todas las regiones rectangulares que pueden hacerse con 24 cuadraditos de 1 cm2.

Cuadrado de puntos z

Halla varias maneras de contar el número de puntos de este cuadrado, y representa las soluciones mediante igualdades.

Cuadriláteros z

Colocad estos cuadriláteros en alguno de los círculos.

Super cucuruchos

Cruzar el rio

-"Sucedió -"Sucedió -dijo -dijo SanchoSancho- que que el el pastor pastor puso puso por por obra obra su su determinación, determinación, y, y, antecogiendo antecogiendo sus sus cabras, cabras, se se encaminó encaminó por por los los campos campos de de Extremadura, Extremadura, para para pasarse pasarse aa los los reinos reinos de de Portugal. Portugal. La La Torralba, que lo supo, se fue tras él, y (…) diré que dicen que el el Torralba, que lo supo, se fue tras él, y (…) diré que dicen que pastor pastor llegó llegó con con su su ganado ganado aa pasar pasar el el río río Guadiana, Guadiana, yy en en aquella aquella sazón sazón iba iba crecido crecido yy casi casi fuera fuera de de madre, madre, (…) (…) de de lo lo que que se se congojó congojó mucho, mas, mucho, porque porque veía veía que que la la Torralba Torralba venía venía ya ya muy muy cerca cerca yy (…); (…); mas, tanto tanto anduvo anduvo mirando, mirando, que que vio vio un un pescador pescador que que tenía tenía junto junto aa sísí un un barco, barco, tan tan pequeño pequeño que que solamente solamente podían podían caber caber en en él él una una persona persona yy una una cabra; cabra; y, y, con con todo todo esto, esto, le le habló habló yy concertó concertó con con él él que que le le pasase pasase aa él él yy aa trecientas trecientas cabras cabras que que llevaba. llevaba. Entró Entró el el pescador pescador en en el el barco, barco, yy pasó pasó una una cabra; cabra; volvió, volvió, yy pasó pasó otra; otra; tornó tornó aa volver, volver, yy tornó tornó aa pasar pasar otra." otra." Un campesino realiza un viaje a pie con un lobo, una cabra y una lechuga; en un punto de su trayecto debe cruzar un río, para lo que dispone de un bote que sólo es capaz de transportar al campesino y a uno de sus tres tesoros. Como es lógico, el campesino no puede dejar a la cabra con el lobo, ni tampoco la cabra con la lechuga. ¿Cuál será el mínimo número de viajes que ha de hacer el campesino para cruzar el río con sus animales y su lechuga?

Jumbo y los bollos

z

“Un barquero tiene que hacer cruzar el río a un lobo, una cabra y una col, y en la barca sólo puede llevar a uno cada vez.

z

¿Cómo puede cruzarlos sin que la cabra se coma a la col, ni el lobo a la cabra?. http://www.plastelina.net/examples/games/i

Márcalo

Triángulos en el geoplano z z

Dibuja triángulos en un geoplano de 5 x 5. ¿Cuántos puntos toca la goma?

z

Forma triángulos de forma que la goma toque 3 puntos, 4 puntos y 5 puntos.¿Se puede hacer un triángulo en el que la goma toque más puntos?.

z

¿Es posible formar un triángulo tocando sólo dos puntos?.

Plantearse problemas z

¿Cuanto se tardará en contar hasta un millón?

Formular problemas z

Tienes todo este cambio: z z z z

z

¿Cuántas latas de refresco harán falta para llenar el aula?.

z

Los artículos siguientes están a la venta: Paquete de cereales a 1’15 € Botella de 1 litro de leche a 0’90 € z Tableta de chocolate a 1’20 € z Tarro de mermelada a 1’50 € Usa toda esta información para plantear un problema. z z

z

8 monedas de 20 céntimos. 5 monedas de 50 céntimos. 11 monedas de 1 € 5 monedas de 2 €

EL HENO Unos granjeros almacenaron heno para 57 días. Sin embargo, el heno almacenado era de mejor calidad de lo que pensaban. Por lo que ahorraron 113 kg. por día y tuvieron para 73 días. ¿Cuántos kilos de heno almacenaron?. UN PROBLEMA MÁS SENCILLO. En una casa compran pan para 6 días. Sin embargo, esa semana tuvieron menos apetito de lo normal y ahorraron una barra de pan diaria, por lo que tuvieron pan para 9 días. ¿Cuantas barras de pan compraron?.

PLAN: Saber las barras de pan que ahorran. Como la diferencia debida al ahorro es de 3 días, las barras de pan ahorradas se reparten entre 3 y así descubriré el consumo de pan diario. Por último multiplicaré por 9, puesto que este es el número de días que estuvieron consumiendo pan.

EJECUCIÓN: 6 días ahorrando 1 barra por día: 6 x 1 = 6. Ahorran 6 barras. 9-6=3. Por ahorrar una barra diaria tienen pan para 3 días más. 6:3 = 2. Consumen 2 barras diarias. 1. 9x2=18. Así pues, compran 18 barras. 2. Si no hubiesen ahorrado 1 barra por día, el consumo sería de 3 barras diarias: 3x6=18. En cualquier caso consumen 18 barras de pan.

Plan de resolución. Averiguar el número total de kilos de heno ahorrados. Calcular la diferencia entre el nº de días para los que hay heno si se ahorra y el nº de días para los que se preveía que hubiera sin ahorrar. Si repartimos los kilos de heno ahorrados entre los días que hay (ahorrando y sin ahorrar), descubriremos el consumo de heno diario. Multiplicaré el consumo de heno diario por 73. Es de esperar que el resultado sea el mismo que si multiplico el consumo diario más 113 por 57 (CONJETURA). Ejecución del plan. 113 x 57 = 6.441. Multiplico 113 kg. de ahorro diario por 57 días que duraría el ahorro. Obtenemos 6.441 kg. de heno ahorrados. 73-57=16. Lo ahorrado duraría 16 días. 6441/16= 402’56. Al repartir el heno ahorrado entre los días que dura el ahorro, se obtienen 402’56 kg. de heno por día., puesto que es lo que toman los animales desde el día 57 hasta el 73. 402’56 x 73 = 29.386’88

Luego almacenaron 29.386’88 kilos de heno.

TRABAJAR LOS PROBLEMAS EN CLASE

Con la cabeza. Con materiales. Simbólicamente (Dibujos y esquemas). Usando algoritmos de lápiz y papel. Usando la calculadora.

¿Para qué los problemas?

Para obligar a los niños a razonar. Para

desarrollar

su

capacidad

¿Cómo deben resolverse los problemas?.

Susi está juntando revistas usadas para luego

de

llevarlas a vender. Quería juntar 70 y apenas tiene

pensamiento.

34. ¿Cuántas revistas necesita para completar las

Para que apliquen las operaciones.

70?.

Se necesitan dos ollas con agua de sabores para preparar un refresco: una olla debe tener 27 litros de agua de limón y la otra 31 litros de agua de tamarindo. ¿De qué manera podríamos llenar estas ollas con la medida exacta si sólo contamos con dos recipientes, uno de 7 litros y otro de 5 litros?

EJEMPLOS EJEMPLOS PARADÓJICOS PARADÓJICOS ACERCA ACERCA DEL DEL USO USO DE DE LAS LAS OPERACIONES OPERACIONES EN EN LA LA RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN DE DE PROBLEMAS PROBLEMAS

1ª 1ª olla: olla: (4x5)+(1x7) (4x5)+(1x7) 2ª 2ª olla: olla: (2x5)+(3x7) (2x5)+(3x7)

Puesto que estudias geometría y trigonometría voy a proponerte un problema: Un barco navega en el océano. Salió de Boston con un cargamento de lana. Desplaza 200 toneladas. Se dirige hacia Le Havre. El palo mayor se quebró; el camarero de la cabina está en el puente; a bordo hay doce pasajeros. El viento sopla en la dirección ENE. El reloj marca las tres y cuarto. Es el mes de Mayo. ¿Qué edad tiene el capitán?. (De Flaubert a su hermana Carolina)

En un barco hay 26 corderos y 10 cabras. ¿Cuál es la edad del capitán?. (IREM de Grenoble - 1) Un pastor tiene 360 borregos y 10 perros. ¿Cuál es la edad del pastor?. (IREM de Grenoble - 2) En una clase hay 7 filas de 4 mesas. ¿Cuántos años tiene la maestra?. (IREM de Grenoble - 3)

ENUNCIADOS ENUNCIADOS Mary invitó a 5 chicas y 3 chicos a su fiesta de cumpleaños. ¿Cuántos años cumplía?. Cada día Olga guarda dinero en su hucha de cerdito y apunta cuánto tiene en ella. El lunes tenía 3 zlotys en su hucha de cerdito. El martes tenía 4 zlotys en ella. El miércoles tenía 8 zlotys en su hucha de cerdito. ¿Cuánto dinero acumuló?. Un granjero tenía 12 cerdos. Fue al mercado y vendió 8 gallinas. ¿Cuántos cerdos le quedan?. Ana tiene 7 años y Bob 10. ¿Cuántos años más vieja es Ana?. En el mercado un huevo costaba ayer 15 zlotys. Hoy un huevo cuesta 14 zlotys. ¿Cuál será el precio de un huevo mañana?. Jonny y Mike están sentados en clase. Hay chicas de pie en la pizarra . Jonny ve tres chicas y Mike ve tres chicas. ¿Cuántas chicas hay de pie en la pizarra?. Mike tiene una bicicleta. Joan tiene una bicicleta. Tom tiene una bicicleta. ¿Cuántas bicicletas tienen?. Mike escribió una carta a su tío. Joan escribió una carta a su tío. Tom escribió una carta a su tío. ¿Cuántos tíos recibieron cartas?. Mike va a una escuela. Joan va a una escuela. Tom va a una escuela. ¿A cuántas escuelas van?.

ACCIONES A LA HORA DE RESOLVER PROBLEMAS. PROBLEMAS.

Lectura del problema. La importancia de cada palabra y cómo ésta puede cambiar el sentido del problema. Pausas en la lectura y cómo éstas ayudan a descomponer el problema en partes. Una entonación especial en la pregunta del problema.

Problemas aritméticos Un día el padre de Raúl se da cuenta de que el cuentakilómetros marca 4.320 km. ¿Cuántos kilómetros le faltan para hacer la revisión del coche que es a los 5.000 km?. El señor Ferrer desea hacer una valla alrededor de su piscina. El metro de valla vale 12 €. En unos grandes almacenes hacen un 20% de descuento, pero hay que pagar el 12% de IVA. Cuando hagas una compra, ¿Qué prefieres que te calculen primero, el descuento o el IVA?.

ANÁLISIS ANÁLISIS DEL DEL ENUNCIADO ENUNCIADO DE DE LOS LOS PROBLEMAS PROBLEMAS ARITMÉTICOS. ARITMÉTICOS.

CATEGORÍ ÍAS SEMÁ ÁNTICAS DE ÉTICOS CATEGOR SEM ARITM CATEGORÍAS SEMÁNTICAS DE LOS LOS PROBLEMAS PROBLEMAS ARITMÉ ARITMÉTICOS

CAMBIO

Juan tenía 5 canicas. Ganó 3 canicas. ¿Cuántas tiene ahora?. Juan tenía 5 canicas, perdió 3 canicas. ¿Cuántas tiene ahora?. Juan tenía 5 canicas. Pedro tiene 3 canicas. ¿Cuántas canicas tienen los dos juntos?.

Juan tenía a. Le dan b. ¿Cuántos tiene ahora? Juan tiene a. Da b. ¿Cuántos le quedan? Juan tenía a. Pedro le dio algunos. Ahora tiene c. ¿Cuántos le dio Pedro?. Juan tenía a. Dio algunos a Pedro. Ahora tiene c. ¿Cuántos dio a Pedro?. Juan tenía algunos. Pedro le dio b. Ahora tiene c. ¿Cuántos tenía?. Juan tenía algunos. Dio b a Pedro. Ahora tiene c. ¿Cuántos tenía?.

COMBINAR

COMPARAR.

(parte - parte – todo)

cantidad referencia, cantidad comparada y diferencia.

1.- Hay a hombres. Hay b mujeres. ¿Cuántas personas hay?. 2.- Hay a hombres. Hay b personas. ¿Cuántas mujeres hay?.

Juan tiene a. Pedro tiene b. ¿Cuántos tiene Pedro más que Juan?. Juan tiene a. Pedro tiene b. ¿Cuántos tiene Pedro menos que Juan?. Juan tiene a. Pedro tiene c más que Juan. ¿Cuántos tiene Pedro?. Juan tiene a. Pedro tiene c menos que Juan. ¿Cuántos tiene Pedro?. Pedro tiene b. Pedro tiene c más que Juan. ¿Cuántos tiene Juan?. Pedro tiene b. Pedro tiene c menos que Juan. ¿Cuántos tiene Juan?.

ACTUACIÓN ACTUACIÓN CENTRADA CENTRADA EN EN LA LA OPERACIÓN OPERACIÓN RESTA RESTA Secuencia Secuencia de de problemas problemas graduados graduados en en dificultad dificultad

Juan tiene 10 años. ¿Cuánto tardará en tener 16?. Juan tiene 16 años. ¿Cuántos años han pasado desde que tuvo 10?. Juan tiene 10 años y Pedro 16. ¿Cuántos años le lleva Pedro a Juan?. Juan tiene 10 años y Pedro 16. ¿Cuántos años tardará Juan en tener la edad que tiene ahora Pedro?. Juan tiene 10 años y Pedro 16. ¿Cuántos años es Juan más joven que Pedro?. Juan tiene 10 años y Pedro 16. ¿Cuántos años han pasado desde que Pedro tuvo la edad de Juan?.

PROBLEMA. Un tren lleva 5 coches de pasajeros. En el primero van 32 personas, en el segundo van 13 viajeros más que en el primero, en el tercero van tantos viajeros como en el primero y en el segundo. El cuarto y quinto coche llevan cada uno 43 viajeros. ¿Cuantos viajeros lleva el tren?. PLAN DE RESOLUCIÓN: Para determinar los viajeros que lleva el tren (esto es, la incógnita del problema) hemos de determinar los viajeros que lleva cada uno de los vagones. Sabemos cuántos viajeros llevan los vagones 1º, 4º, y 5º, porque son datos del problema. No sabemos los pasajeros que llevan los vagones 2º y 3º, luego hemos de determinar los viajeros que llevan estos vagones. Para determinar los viajeros del 2º vagón, hemos de saber los que lleva el primer vagón (lo sabemos) y añadir 13 (una condición del problema). Para determinar los viajeros del tercer vagón, hemos de saber los que llevan el primer vagón y el segundo (lo sabemos).

Todos los días se gastan en casa 3 litros de leche. Todos los días se gastan en una casa 3 litros de leche. Si un litro de leche vale 0’60 euros, ¿qué dinero le devuelven a mi madre en el supermercado si le paga con 60 euros la leche consumida en el mes de Marzo?.

AVERIGUAR: ¿Cuántos litros se gastan en el mes de Marzo?. Si un litro cuesta 0’60 euros, ¿cuánto costará la leche consumida en Marzo?. Si mi madre pagó con 60 euros, ¿cuánto le tuvieron que devolver?.

PROBLEMAS PROBLEMAS YY MODOS MODOS DE DE RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN

Averigua el perímetro y el área de la región sombreada en esta figura:

PROCESO DE RESOLUCIÓN:

LAS AGENDAS En una tienda de papelería compran 12 docenas de agendas a 100 euros cada docena. Por cada docena les dan 14 agendas. ¿A qué precio deben vender cada docena de agendas si quedándose ellos con 8 agendas, quieren ganar 200 euros con las restantes?

12 x 100 = 1.200 ; Las agendas cuestan 1.200 euros. Le dan dos agendas más por docena; esto es al final le dan dos docenas más o 24 agendas. Así pues se junta con 168 agendas o 14 docenas (12x14=168). Si se quedan con 8, reservan para vender 160 agendas: (168-8=160). 160 agendas son 13 docenas y 1/3 de docena. (13x12+4=160) Repartimos lo que se quieren ganar (200 euros) entre las agendas que venden (13 docenas y 1/3). 200 : (13+1/3) = 200:40/3 = 600:40 = 15. Por cada docena de agendas vendidas ganan 15 euros. Por lo tanto el precio de venta de cada docena de agendas es de 105 euros. Explicación: No serían 100 + 15 = 115 euros por agenda porque a la librería las agendas que compran y luego venden (160) una vez descontadas las 8 que se quedan les salen a 90 euros por docena. (1200 : 13 1/3 = 1.200 : 40/3 = 3.600 : 40 = 90. 90 + 15 = 105 Comprobación: el importe de la compra más lo que quieren ganar (1.200 +200) son 1.400 euros. El importe de la venta (1.400 euros) repartido entre las agendas que venden (13 1/3 docenas) sale... 1.400 :13 1/3 = 1.400 : 40/3 = 4.200 : 40 = 105.

JUEGO JUEGO DEL DEL 31 31 Dos Dos personas personas van van eligiendo eligiendo por por turnos turnos números números entre entre el el 11 yy el el 5, 5, ambos ambos inclusive inclusive yy lo lo van van sumando sumando al al número número que que ha ha dicho dicho el el anterior. anterior. El El primer primer jugador jugador que que consigue consigue llegar llegar exactamente exactamente aa 31 31 es es el el ganador. ganador. PROBLEMAS DE LÓ LÓGICA Y ESTRATÉ ESTRATÉGIA

¿Tiene ¿Tiene ventaja ventaja el el que que dice dice el el primer primer número o el que dice el segundo?. número o el que dice el segundo?. Trata Trata de de encontrar encontrar la la estrategia estrategia ganadora. ganadora.

JUEGO CON CERILLAS Es un juego para dos jugadores. Sobre una mesa hay dos montones de cerillas, con cinco cerillas en cada uno. Cada jugador, por turno, puede coger una cerilla de un montón o una cerilla de cada montón. Pierde el que coge la última cerilla.

¿Tiene ventaja alguno de los jugadores?. Si es así, ¿cómo debe jugar para ganar siempre?.