Sesión 1: El concepto de función y sus diferentes representaciones Objetivos Al terminar esta sesión deberás serás capaz de: “Las leyes de la naturaleza sólo son pensamientos matemáticos de Dios” Kepler

¿Cómo minimizar el costo de la edición de un libro? Planteamiento del problema. Para la siguiente situación te pedimos que consideres la información que se te proporciona sobre el libro “PRECÁLCULO”, editado por Pearson, 2006. Cada página tiene una zona de impresión de 335.78 cm2. Cada página tiene márgenes superior de 3.1, inferior de 1.81 y laterales de 1.6 cada uno. Supongamos que cada una de las 332 hojas impresas (dos páginas) le cuesta a la editorial 0.52 pesos. Si: La primera edición contó con un tiraje de 3000 libros. Las hojas utilizadas para esta edición son de 20 por 25.5 cm. Se puede modificar el tamaño de la hoja con la condicionante de respetar el área de la zona de impresión Figura 1. Un libro de la editorial Pearson así como los márgenes indicados. Educación. Determina: a) El costo de la edición. b) Las variables involucradas en esta situación. c) Las relaciones que pueden establecerse entre las variables del inciso anterior. d) La restricción y la función objetivo asociadas al problema. e) La función de área en términos del ancho de la zona de impresión y la función de costo de la edición en términos de la misma variable: ancho de la zona de impresión. f) La gráfica de la función utilizando Excel. g) Una aproximación a la condición óptima para la edición descrita. ¿A qué se refiere la condición óptima de este problema? Solución: a) El costo de la edición se obtiene multiplicando el número de hojas, por el costo unitario de cada hoja por el número de libros del tiraje. Por lo tanto, si denotamos con C el costo de la edición: C 3000 0.52 332 517,920.00 pesos

1

b) Las variables de este problema son: el ancho de la zona de impresión “ x ”, el largo de la zona de impresión “ y ”, el área total de la hoja “ A ” y finalmente el costo “ C ” de la edición. Algunas de estas variables pueden observarse en la siguiente figura 2:

Figura 2. Constitución de cada página del libro Precálculo, Pearson Educación, 2006.

c) Algunas de las relaciones inmediatas que pueden observarse en esta situación son: A x 1.6 1.6 y 1.81 3.1 x 3.2 y 4.91 xy

335.78

C f A donde la lectura del símbolo es: C es una función de A . d) Llamamos restricción de un problema de modelación a una condición que permita relacionar a algunas de las variables involucradas, en este caso x y 335.78 . Llamamos función objetivo, a la variable que determina el fin último del problema, en esta situación la función objetivo es el costo total de la edición. e) De la restricción x y 335.78 , despejamos y y sustituimos en la expresión del área. Obtenemos: 335.78 x y 335.78 , entonces y x 335.78 A x x 3.2 4.91 x Dado que modificaremos el área de la hoja, para hallar el costo total de edición tendremos que determinar primero el costo unitario por cm2 de cada hoja, éste es de: 0.52 c0 0.00101961 20 25.5 Por lo tanto, adaptando ligeramente la idea del inciso a), determinamos el costo de la edición en función del ancho de la zona de impresión obteniendo: C x

3000

x 3.2

1015.53 4.91+

335.78 4.91 0.00101961 332 x

335.78 x

356951 4986.26 x

x 3.2

109118 106 pesos x

2

f) Podemos utilizar Excel para obtener la gráfica de la función anterior, la siguiente figura muestra la tabla de valores y la gráfica obtenida con este paquete.

Figura 3. Gráfica de la función de costo para el libro de Precálculo de Pearson.

g) A partir de la hoja de cálculo intuimos de la columna B, que el mínimo se encuentra aproximadamente en 14.8 cm. De acuerdo con esto, para obtener el menor costo de la edición (situación óptima), la hoja debería tener un tamaño de x 3.2 14.8 3.2 18 por 335.78 y 4.91 4.91 27.6 (aproximadamente). Con estas dimensiones el costo de la edición sería: 14.8 C 14.8 504, 477.00 pesos Si se optara por la modificación en el tamaño de la hoja, esto representaría para la editorial un ahorro de: C 16.8 C 14.8 100% 0.2% C 16.8 Deducimos entonces que el diseño de la edición actual es muy cercano al que permite el costo mínimo. Un modelo matemático establece una relación funcional entre dos o más variables. Por ejemplo, en el problema anterior el costo de la edición se expresó en términos del ancho de la zona de impresión. Del problema discutido se puede decir que para una situación dada, podemos obtener conclusiones que a priori simplemente resultaría imposible determinar.

El concepto de función, diversas formas de describirla. En general tenemos las siguientes definiciones. Definición de función. Una función f es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento “ x ” de un conjunto llamado dominio, un único valor “ y ” de otro conjunto llamado imagen o rango. Si “ x ” es asignado a “ y ” mediante la regla de correspondencia f se escribe ( x, y ) f , o simplemente y f x . A “ x ” se le llama variable independiente mientras que a “ y ” se le llama variable dependiente. 3

Definición de dominio e imagen (o rango) Si f es una función, el dominio de f es el conjunto de todos los “ x ” para los que existe algún “ y ” tal que ( x, y ) f , denotaremos al dominio de la función por D f . La imagen o rango de f es el conjunto I f

{ y | existe ( x, y)

f}

Definición del plano cartesiano y de la gráfica de una función . El plano cartesiano 2 es el conjunto x, y | x, y . Sea y

f ( x) una función. Su gráfica es el conjunto de parejas ordenadas: Gr ( f )

2

x, y

|y

Df .

f ( x) con x

En general, la gráfica de una función se representará mediante una curva en el plano cartesiano xy . Sin embargo, no todas las curvas representan una función. En efecto, por la definición de función, no puede haber dos elementos ( x, y1 ) y ( x, y2 ) con y1 y2 . Por lo tanto, tenemos el siguiente criterio gráfico para determinar si una curva puede representar una función. Criterio de la recta vertical Una curva es la gráfica de una función y punto.

f ( x) si cada recta vertical corta a la curva a lo más en un

De acuerdo con el criterio anterior, la curva de la figura (4.a) representa la gráfica de una función y f (x) , mientras que la curva de la figura (4.b) no representa una función, pues cualquier recta vertical, por ejemplo, la recta x 2 , corta la gráfica en dos puntos. y

y

1.5

5

1

4

0.5

3

x 1

2

3

4

5

6

7

0.5

2 1

1

x 2

1.5

4

6

8

10

1

a) Figura 4. ¿Qué gráfica representa a una función de la forma

b) y

f ( x) ?

En conclusión, existen diversas formas de representar a una función, entre ellas tenemos las descripciones verbales, las algebraicas, las numéricas y las gráficas.

Planteamiento matemático de relaciones funcionales Aunque existen diferentes formas de establecer un modelo matemático, por el momento te orientaremos a aquella en la cual la relación entre las variables en un enunciado se expresa mediante una relación algebraica. La siguiente guía, tomada de manera muy sintética de las ideas del matemático George Polya, te dará una pauta para abordar este tipo de problemas. 1. Identifica las variables. Lee y analiza la situación para identificar a la variable independiente, a la dependiente, y a las cantidades constantes. 4

2. Introduce notación. Asigna un símbolo a la cantidad buscada y a las demás variables. 3. Relaciona cantidades. Emplea la información proporcionada para obtener ecuaciones que las relacionen. En ocasiones es muy valioso emplear un diagrama. 4. Elimina variables innecesarias. Utiliza las relaciones existentes entre las variables y manipúlalas con el fin de eliminar a varias de ellas, deberás conservar a aquellas que deseas relacionar. 5. Determina el dominio de tu función. En los problemas se necesitará restringir el dominio de la función obtenida a un dominio donde tenga sentido la situación tratada. Considera, por ejemplo, la 109118 106 función C x 356951 4986.26 x del problema inicial, donde x representa el ancho x de la zona de impresión. Entonces, aunque matemáticamente x podría tomar cualquier valor real diferente de cero, x se debe restringir a x 0 , pues de otra forma se violaría el contexto natural de la situación. Nosotros llamaremos a este dominio restringido el dominio implícito de f .

Ejemplos. El uso de las funciones en la modelación Ejemplo 1. Un vendedor recibe un salario mensual base de $10,000 más una comisión de $300 por cada artículo que vende. Determina las variables dependiente e independiente, encuentra una función que describa el salario del vendedor en términos del número de unidades que venda al mes, y especifica el dominio y el dominio implícito de esta función. Solución: Denotemos con S al salario del vendedor, el cual depende del número de unidades n que venda al mes. Así, la variable independiente es n, mientras que la variable dependiente es S. Con esta notación, 300n es la cantidad que recibe el vendedor por comisión así, su salario es 10000 300n . Es decir, S f (n) 10000 300n . Si consideramos sólo la fórmula para S , es perfectamente posible sustituir valores negativos para n y obtener un número real. Por ejemplo, f ( 10) 10,000 300( 10) 7,000 , por lo que D f . Sin embargo, en el contexto del problema, no es posible que se venda una cantidad negativa de artículos, el peor de los panoramas es que no venda nada en algún mes, por lo tanto D f [0, ) . NOTA: Por el contexto del problema, es muy probable que n pertenezca al conjunto de los enteros no negativos, sin embargo, para poder utilizar las herramientas del cálculo es necesario ampliar este dominio a un intervalo tal y como lo hemos hecho. En la práctica se sigue esta estrategia, después se interpretan los resultados de forma que los valores de la variable tengan el sentido de la situación. Ejemplo 2. Una empresa se dedica a construir tiendas de campaña a partir de lonas cuadradas de 20 pies de lado. Para la construcción de las tiendas, puedes cortar partes de las cuatro esquinas como se ve en la figura 7 de modo que las cuatro partes restantes se puedan doblar y formar así la tienda con la forma de una pirámide con base cuadrada. 5

Figura 5. Lonas cuadradas para la construcción de tiendas de campaña

a) Si la base es cuadrada determina el volumen V de la tienda como una función de x . b) Usa algún apoyo de graficación para construir una gráfica de la función V(x). Explica lo que observes de ella. Solución: a) El volumen de una pirámide de base A y altura h es “un tercio del área de la base por la altura”. Ahora bien, como la base es cuadrada y su lado es 2x , resulta que el área de la base es 4x 2 . En cuanto a la altura “ h ”, ésta podrá obtenerse como el valor de un cateto del triángulo rectángulo que se muestra en la figura 6.

Figura 6. Figura auxiliar para la determinación de la altura de la casa de campaña

Como puedes observar: (10 x) 2

h

x2

100 20 x ;

Luego,

V

V ( x)

4 2 x 100 20 x . 3

Donde DV [0,5] b) La función V ( x) no tiene una estructura simple, así que elaboramos una tabla para conocer algo más de ella. En la tabla (1) se muestran los resultados obtenidos y en la figura (7) un bosquejo de la gráfica del volumen. Observando la tabla y la gráfica puede intuirse que con el valor de x 4 se obtendrá el máximo valor para el volumen.

6

x 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Vx 100

V(x) 0.0 3.16228 11.9257 25.0998 41.3118 58.9256 75.8947 89.4614 95.4056 85.3815 0.0

80 60 40 20 1

Tabla 1. Resultados obtenidos al calcular el volumen para varios valores de x.

20

Figura 7. La gráfica de la función

1 V

2 V ( x)

3

4

5

obtenida en el paquete

Mathematica con la instrucción Plot[(4/3)x^2*Sqrt[100-20x],{x,0,5}].

Nota: Una tabla de valores es un paso previo para construir la gráfica de la función. En realidad, debemos señalar que, a menos que uses un paquete computacional, este método de graficación tiene grandes carencias. Posteriormente desarrollaremos en el libro herramientas poderosas para construir gráficas.

Ejercicios 1) El diámetro d de un cubo es la distancia entre dos de sus vértices opuestos. Expresa a d como una función del lado x del cubo. 2) Un despacho de abogados fue construido sobre un área de 46 m 2 y distribuido en dos salas, una de espera y una oficina de acuerdo a la siguiente figura.

Figura 8. El despacho del ejercicio 2.

Si cada puerta tiene una extensión de 90 centímetros, y las paredes tienen una altura de 3 metros, determina: a) La expresión que proporciona a la longitud y como una función del ancho x . b) El costo que tuvo la construcción del despacho como una función de x , si el costo del piso fue de 70 pesos el metro cuadrado, el del techo fue de 350 pesos el metro cuadrado y el de las paredes fue de 230 pesos el metro cuadrado. Desprecia la porción de pared en el espacio de las puertas. 3) Desde un punto exterior P que se encuentra a h unidades de una circunferencia de radio r0 , se traza una recta tangente a la circunferencia como muestra la figura 9. Sea y la distancia del punto P al punto de tangencia T. a) Expresa a y como una función de h .

7

6

x

b) Sea r el radio de la Tierra y h la altitud de un transbordador espacial. Observa que en este contexto, y representa la distancia máxima (desde la Tierra) a la que un astronauta puede ver desde el transbordador. Calcula y aproximadamente suponiendo que h 200 millas.

Figura 9. La imagen del ejercicio 3.

4) Un depósito con forma de cono invertido se llena con agua como se muestra en la figura 10. Expresa el volumen del agua del depósito en función de la altura alcanzada.

Figura 10. El cono del ejercicio 13

5) De un tronco circular de diámetro d se corta una viga rectangular de ancho x , observa la figura 11. Expresa el área de la sección de la viga en función de x e indica el dominio implícito de la función.

Figura 11. La sección transversal del tronco del ejercicio 14

6) El triángulo rectángulo de la figura 12 se hace girar alrededor del cateto AC a fin de formar un cono. Expresa el volumen del cono en función de la longitud x del otro cateto. Calcula el domino implícito de la función encontrada.

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Figura 12. El triángulo del ejercicio 6.

7) Un camión debe recorrer 360 kilómetros en una carretera plana a velocidad constante de v kilómetros por hora. Supón que el combustible cuesta 6.50 pesos por litro y que el consumo es de v2 litros por hora. Si el conductor cobra P0 (constante) pesos por hora, determina el costo del 10 120 viaje en función de v . 8) Un cilindro se obtiene haciendo girar alrededor del eje x a un rectángulo tal que su base está en el x eje horizontal y queda contenido en la región comprendida entre la curva y y el eje x 2 x 1 como se muestra en la figura 13. Determina el volumen de este cilindro como una función de x .

Figura 13. La gráfica del ejercicio 8.

Autoevaluación 1) Una estación meteorológica suelta un globo para observación a una distancia de 200 m de la estación. El globo se eleva a razón de 1.5 m/s. Determina la opción que contiene la distancia D del globo a la estación en función del tiempo t transcurrido desde el lanzamiento. a) D b) D

40000 1.5t 2 200 1.5 t

c) D d) D

40000 2.25t 2

40000 2.25 t

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