Seminario de problemas-ESO. Curso 2011-12. Hoja 10 52. Dado un tri´angulo cualquiera, demuestra que es posible recubrir el plano con infinitos tri´angulos iguales al dado, de forma que estos tri´angulos no se solapen. Prueba lo mismo para un cuadril´atero cualquiera. Soluci´on. En el caso del tri´angulo, notar que por un giro de 180◦ en torno al punto medio de uno de sus lados (figura) se forma un paralelogramo, y cualquier paralelogramo tesela (recubre el plano sin solapamientos) mediante las traslaciones mu + nv donde u y v son los vectores de los lados del paralelogramo y m, n ∈ Z.
Con cualquier cuadril´atero, ya sea c´oncavo o convexo, es tambi´en posible recubrir el plano sin solapamientos. Se puede utilizar lo que se denomina el M´etodo de la Malla Invisible: los puntos medios de todo cuadril´atero forman un paralelogramo (este resultado se denomina teorema de Varignon. Para demostrarlo, basta trazar las diagonales del cuadril´atero y considerar las paralelas medias de los dos tri´angulos que se forman sobre cada una de las dos diagonales). La teselaci´on del plano por traslaciones de este paralelogramo genera una teselaci´on del plano con cuadril´ateros congruentes al dado, en la que las copias sucesivas del cuadril´atero se pueden obtener por giros de 180◦ de uno de ellos en torno a los puntos de la malla auxiliar de paralelogramos (figura).
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Tanto el mosaico generado por un tri´angulo como el mosaico generado por un cuadril´atero son realizaciones de un mismo tipo (el grupo de simetr´ıas p2, generado por dos traslaciones no paralelas y un semigiro) de embaldosamiento peri´odico del plano. Hay 17 tipos diferentes, y de todos ellos puede encontrarse alguna muestra en los alicatados que recubren las paredes de las estancias de la Alhambra de Granada. Ver tambi´en: http://iesextremadura.blogspot.com/2011/10/teselados-metodo-de-la-malla-invisible.html 53. Construye un paralelogramo que tenga la misma a´rea que un tri´angulo dado y que tenga un ´angulo igual a uno de los a´ngulos del tri´angulo dado. Soluci´on. M y N son los puntos medios del lado del tri´angulo correspondiente.
54. Dados 7 enteros positivos distintos, cuya suma es mayor que 100, demostrar que existen tres de ellos cuya suma es mayor o igual que 50. Soluci´on. Sean a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 < a7 los siete enteros positivos distintos, ordenados de manera creciente. Tenemos que a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 > 100. Vamos a demostrar lo que se nos pide por reducci´on al absurdo. Supongamos que a5 + a6 + a7 < 50. De este modo, a1 + a2 + a3 + a4 > 100 − (a5 + a6 + a7 ) > 50, de donde se deduce que a4 > 14, ya que 11 + 12 + 13 + 14 = 50. Por tanto, a4 ≥ 15, pero entonces a5 + a6 + a7 ≥ 16 + 17 + 18 = 51, contradicci´on. 55. Dentro de un cuadrado se dibuja un tri´angulo de manera que el centro del cuadrado caiga fuera del tri´angulo. Prueba que la longitud de al menos uno de los lados del tri´angulo es menor o igual que la longitud del lado del cuadrado. Soluci´on. Por el centro O del cuadrado, trazamos una recta r paralela al lado m´as cercano del tri´angulo y una perpendicular s a la recta r que pasa por O. Las rectas r y s dividen el cuadrado en cuatro cuadril´ateros congruentes. Dado que O se encuentra fuera del tri´angulo, ´este tendra puntos en, como mucho, dos cuadril´ateros adyacentes. Por el principio del palomar, dos de los v´ertices del tri´angulo pertenecen al mismo cuadril´atero. Su distancia, por tanto, es m´as peque˜ na que la mayor diagonal del cuadril´atero, la cual, a su vez, es m´as peque˜ na o igual que el lado del cuadrado. 2
En efecto, si observamos la figura resulta que el cuadril´atero donde caen dos de los v´ertices del tri´angulo tiene dos diagonales d1 = OB, d2 = P Q. Para simplificar los c´alculos, hacemos el lado del cuadrado igual a 1. Entonces √ Ç å2 Ç å2 1 1 2 1 + = −→ d1 =
