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Wissensverarbeitungssysteme

Wir betrachten die Grundlagen von Wissenverarbeitungssystemen

Logikbasierte Systeme der Wissensverarbeitung

Kernkomponenten: Wissenbasis zur Wissensrepr¨asentation

Konzeptbeschreibungssprachen

Darstellung von Fakten und Beziehungen Maschinell verarbeitbar Daten einf¨ ugen und l¨oschen

Prof. Dr M. Schmidt-Schauß

Inferenzsystem Neue Schl¨ usse ziehen aus der Wissensbasis Konsistenztest Redundanztest

SoSe 2016

Stand der Folien: 14. Juli 2016

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Semantische Netze, Frames, Beschreibungslogik

Semantische Netze (1)

Wir betrachten im Wesentlichen: Semantische Netze: Gerichtete Graphen zur Darstellung von

Beschreibungslogik (Description Logics)

Konzepten (Begriffen) und Beziehungen zwischen den Konzepten

Vorg¨anger“: Semantische Netze und Frames ” Vorteil von DL: Eindeutige Syntax und Semantik

im Wesentlichen: Unterbeziehungen, Enthaltenseinsbeziehungen

Viele moderne Systeme basieren auf Beschreibungslogiken Z.B. OWL = Web Ontology Language basiert auf DL

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Semantische Netze (2)

Beispiel: Semantisches Netz zu Tieren schwarz

IS-A

has-prop Farbe

Tier

Semantisches Netz: Gerichteter Graph mit AKO

Knoten: markiert mit Konzepten, Eigenschaften, Individuen Gerichtete Kanten (Links): geben Beziehungen (Relationen) zwischen Konzepten an.

Individuum“ ”

Hund

Menge“ ”

Wesentliche Kanten: Instanzbeziehungen (IS-A) Unterkonzeptbeziehungen (A-KIND-OF, AKO) Eigenschaften (PROP), PART-OF ...

Pferd

AKO

IS-A Fury

Collie

IS-A entspricht ∈ AKO entspricht ⊆

AKO

IS-A Lassie

IS-A IS-A Fernsehstar

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Semantische Netze (3)

Operationen auf semantischen Netzen

Es gibt viele verschiedene Notationen, M¨oglichkeiten je nach Formalismus

Anfragen der Form Was kann fliegen?“ ” k¨ onnen mittels Matching von Teilgraphen beantwortet werden ¨ Ver¨anderung: Eintragung, Entfernen, Andern von Kanten und Knoten.

Besonderheiten der Semantischen Netze: Repr¨asentieren von Beziehungen und Eigenschaften ist m¨oglich. Vererbung von Eigenschaften u ¨ber AKO-Links und u ¨ber IS-A-Links

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Operation: Suche nach Verbindungswegen im Netz.

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Probleme der semantischen Netze

Frames

Frames (Marvin Minsky): Die Semantik war nur ungenau definiert.

Ansatz innerhalb von Repr¨asentationssprachen Analogie Frame-Sprachen und Objektorientierte Programmierung:

Jedes Programm arbeitete auf (s)einer anderen semantischen Basis.

Frames entsprechen ungef¨ahr Klassen und Objekten in objektorientierten Programmiersprachen Aber: Anstatt Programme zu strukturieren, wird ein Wissensbereich strukturiert dargestellt und: Frames haben keine Methoden nur Eigenschaften

Z.B.: Was bedeuten jeweils zirkul¨are Links? Darstellung als Graph wird sehr un¨ ubersichtlich f¨ ur große Netze.

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Frames (2)

Beispiel

Frame: beschreibt Klasse oder Instanz Namen Oberklasse(e) Eigenschaften, Attribute: werden Slots genannt Vogel

Vererbung von Eigenschaften (Slot-Werten) von Oberklassen auf Unterklassen Slot:

gr¨ une-V¨ogel

Klasse (Wertebereich)

(Oberklasse: Wirbeltiere) (Farbe: Farbe , Gewicht: Zahl, kann-fliegen: Bool, . . . #Beine: 2) (Oberklasse: Vogel) (Farbe:gr¨ un)

Defaultwerte Bedingungen (z.B. Wertebereichseinschr¨ankungen) Prozedurale Zus¨atze (z.B. D¨amonen, die bei Eintragung eines Slotwertes aktiv werden) Dies ergibt eine implizite Klassenhierarchie M. Schmidt-Schauß · KI · SoSe 2016 · Konzeptbeschreibungssprachen

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Frames (4)

Attributive Konzeptbeschreibungssprachen

Description Logics

Probleme

Stellt eine Sprachfamilie dar, je nach Operatoren

multiple Vererbung

Kann als Nachfolger von KL-ONE gesehen werden

semantische Unterscheidung: Prototyp / individuelles Objekt

KL-ONE: Wissensverarbeitungssystem basierend auf semantischen Netzen und Frames, zur Repr¨asentation und Verarbeitung der Semantik von nat¨ urlichsprachlichen Ausdr¨ ucken

logische Operatoren Semantik von Defaults und u ¨berschriebenen Defaults

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Attributive Konzeptbeschreibungssprachen (2)

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Wissensverarbeitungssystem

Komponenten eines Wissenverarbeitungssystems basierend auf DL:

Literaturempfehlung:

T-Box: Legt die Terminologie des Anwendungsbereichsfest, das Vokabular

Baader, Calvanese, McGuinness, Nardi, Patel-Schneider: The Description Logic Handbook: Theory, Implementation and Applications

A-Box: Annahmen (Assertions) u ¨ber die Individuen Analog zu Datenbanken:

Insbesondere: Kapitel 2: Baader, Nutt: Basic Description Logics

T-Box entspricht Datenbankschema

¨ E-Book: Uber UB-Lizenz (Link auf der Webseite)

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A-Box entpricht den Daten

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T-Box

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Abw¨agungen

T-Box besteht aus Konzepten: Repr¨asentieren Mengen von Individuen

Viele / M¨achtige Sprachkonstrukte

Rollen: Repr¨asentieren bin¨are Relationen zwischen Individuen

Vorteile:

Atomar / Komplex

Wissen l¨asst sich einfacher ausdr¨ ucken

Atomare Konzepte und Rollen: Nur Bezeichner / Namen

Evtl. sogar: Mehr Wissen l¨asst sich ausdr¨ ucken

Komplexe Beschreibungen von Konzepten und Rollen: Formeln, die als Atome atomare Konzepte und Rollen verwenden

Nachteile: Effiziente Berechenbarkeit geht tlw. verloren Sogar die Entscheidbarkeit kann verloren gehen

In der T-Box: Definition von Konzepten / Rollen aus atomaren Bezeichnern Daher: Definierte Namen und atomare Namen

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Daher: Stets ein Kompromiss!

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Typische Anfragen / Fragestellungen

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Vorgehen im Folgenden

Bzgl. der T-Box Sind die Beschreibungen erf¨ ullbar (also nicht widerspr¨ uchlich)?

Wir konzentrieren uns auf die Syntax und Semantik der DL

Sind Beschreibungen in anderen Beschreibungen enthalten (Subsumption)?

T-Box und A-Box: lassen wir erstmal weg Stattdessen betrachten wir: Konstruktion von komplexen Beschreibungen

Bzgl. der A-Box Sind die Daten konsistent? D.h. gibt es ein Modell, dass die Annahmen u ¨ber die Individuen einh¨alt.

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Danach: Inferenzen, T-Box, A-Box, etc.

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Die Basissprache AL

Syntax von AL Komplexe Konzeptbeschreibungen werden durch Konzept-Terme gebildet:

AL = Attributive Language Artikel mit Gert Smolka, 1991

C, D ∈ AL ::= | | | | | |

Standard-Beschreibungs-Sprache von praktischem Interesse; und mit vollst¨andigem Schlussfolgerungs-Verfahren Notation im Folgenden: A, B atomare Konzepte C, D komplexe Konzepte R (atomare) Rollen

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A > ⊥ ¬A C uD ∀R.C ∃R.>

atomares Konzept universelles Konzept leeres Konzept atomares Komplement Schnitt Wert-Einschr¨ankung beschr¨ankte existentielle Einschr¨ankung

Beachte: ∃R.C nicht erlaubt, nur ∃R.> Und: ¬A aber nicht ¬C!

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Semantik von AL

Beispiele

Eine Interpretation I einer AL-Formel legt fest: Eine nichtleere Menge ∆ von Objekten.

Seien Person und Weiblich atomare Konzepte, hatKind eine atomare Rolle.

F¨ ur jedes atomare Konzept A: I(A) als Teilmenge von ∆, d.h. I(A) ⊆ ∆.

Weibliche Personen: Person u Weiblich

F¨ ur jede atomare Rolle R: I(R) als bin¨ are Relation u ¨ber ∆, d.h. I(R) ⊆ ∆ × ∆. Erweiterung von I auf komplexe Konzeptbeschreibungen:

Nicht-weibliche Personen: Person u ¬Weiblich Alle Personen, die Kinder haben (Eltern): Person u ∃hatKind.> Genauer: Person u ∃hatKind.> u ∀hatKind.Person

I(C1 u C2 ) I(⊥) I(>) I(¬A) I(∃R.>) I(∀R.C)

Alle Personen, die nur T¨ ochter (oder keine Kinder) haben: Person u ∀hatKind.Weiblich Alle Personen, die keine Kinder haben: Person u ∀hatKind.⊥

= = = = = =

I(C1 ) ∩ I(C2 ) ∅ ∆ ∆ \ I(A) {x ∈ ∆ | ∃y.(x, y) ∈ I(R)} {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ I(R) ⇒ y ∈ I(C)}

C, D sind ¨aquivalent (C ≡ D) gdw. I(C) = I(D) f¨ ur alle I. D subsumiert C (Notation: C ⊆ D) gdw. I(C) ⊆ I(D) f¨ ur alle I M. Schmidt-Schauß · KI · SoSe 2016 · Konzeptbeschreibungssprachen

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Beispiele: Interpretationen

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Beispiele: Interpretationen (2)

Sei I:

I(Person u ∀hatKind.Weiblich) = I(Person) ∩ I(∀hatKind.Weiblich) = I(Person) ∩ {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ I(hatKind) ⇒ y ∈ I(Weiblich)} = I(Person) ∩ {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ {(Fritz, Susi), (Marie, Susi), (Fritz, Horst)} ⇒ y ∈ {Marie, Susi, Lassie}} = I(Person) ∩ {Marie, Horst, Susi, Lassie} = {Marie, Horst, Susi}

∆ = {Marie, Horst, Susi, Fritz, Lassie}, I(Person) = ∆ \ {Lassie} I(Weiblich) = {Marie, Susi, Lassie} I(hatKind) = {(Fritz, Susi), (Marie, Susi), (Fritz, Horst)}. I(Person u Weiblich) = I(Person) ∩ I(Weiblich) = {Marie, Susi}

= = = = =

I(Person u ∃hatKind.>) I(Person) ∩ I(∃hatKind.>) I(Person) ∩ {x ∈ ∆ | ∃y.(x, y) ∈ I(hatKind)} I(Person) ∩ {x ∈ ∆ | ∃y.(x, y) ∈ {(Fritz, Susi), (Marie, Susi), (Fritz, Horst)}} I(Person) ∩ {Fritz, Marie} {Fritz, Marie}

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¨ Beispiel: Aquivalenz

I(Person u ∀hatKind.⊥) I(Person) ∩ I(∀hatKind.⊥) I(Person) ∩ {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ I(hatKind) ⇒ y ∈ I(⊥)} I(Person) ∩ {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ {(Fritz, Susi), (Marie, Susi), (Fritz, Horst)} ⇒ y ∈ ∅} I(Person) ∩ {Horst, Susi, Lassie} {Horst, Susi}

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Erweiterungen der Basisprache AL (1)

Die Konzepte

Atomare Funktionen

(∀hatKind.Weiblich) u (∀hatKind.Student) und

weitere Bezeichnungen: Attribute, Features, Attributsbezeichner, funktionale Rollen

∀hatKind.(Weiblich u Student) (wobei Student ein neues atomares Konzept ist), sind ¨aquivalente Konzepte:

Werden wie Rollen verwendet Aber: In Semantik werden sie auf partielle einstellige Funktionen f : ∆ → ∆ abgebildet.

I(∀hatKind.Weiblich u ∀hatKind.Student) = I(∀hatKind.Weiblich) ∩ I(∀hatKind.Student) = {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ I(hatKind) ⇒ y ∈ I(Weiblich)} ∩{x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ I(hatKind) ⇒ y ∈ I(Student)} = {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ I(hatKind) ⇒ (y ∈ I(Weiblich) ∧ y ∈ I(Student))} = {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ I(hatKind) ⇒ y ∈ (I(Weiblich) ∩ I(Student))} = {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ I(hatKind) ⇒ y ∈ (I(Weiblich u Student))} = I(∀hatKind.(Weiblich u Student))

D.h. semantisch sind es rechtseindeutige bin¨are Relationen (f¨ ur alle x, y, z ∈ ∆: Wenn (x, y) ∈ f und (x, z) ∈ f muss gelten y = z)

¨ Syntaktisch: Keine Anderung außer Trennung der Namen in: Konzepte, Rollen, Funktionen Beispiele: istMutterVon (totale Funktion)

Beweis ist unabh¨angig von den atomaren Konzepten und Rollen, allgemein gilt: (∀R.C) u (∀R.D) ≡ ∀R.(C u D) M. Schmidt-Schauß · KI · SoSe 2016 · Konzeptbeschreibungssprachen

= = = = =

istEhepartner (partielle Funktion, wenn Polygamie verboten) 27/133

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Erweiterungen (2)

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Erweiterungen (3)

M¨ ogliche weitere Konstrukte zur Konstruktion komplexer Konzeptbeschreibungen: C ::= . . . | ¬C

Konstrukte, um komplexe Rollen zu konstruieren (es gibt noch weitere):

Komplement

| (C1 t C2 )

Vereinigung

| (∃R.C)

existenzielle Einschr¨ ankung

| (≤ n R), (≥ n R)

Anzahlbeschr¨ ankung, number restrictions

| (≤ n R.C), (≥ n R.C)

qualifizierte Anzahlbeschr¨ ankung

(RESTRICT R C)

Rolleneinschr¨ankung

0 ) Pfadgleichung, Attributs¨ | (R1 ; R2 ; . . . ; Rn = R10 ; R20 ; . . . ; Rm ubereinstimmung

R, Ri dabei Rolle oder atomare Funktion

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Symbole

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Beispiele (1)

In der Literatur werden teilweise andere Symbole verwendet, z.B.: AND OR NOT SOME ALL ...

entspricht entspricht entspricht entspricht entspricht

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Atomar: Mensch, Frau, Mann, hatKind und studiertFach Man h¨atte gerne als Axiome:

u t ¬ ∃ ∀

Frau u Mann = ⊥ Mensch ≡ Frau t Mann

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Beispiele (2)

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Beispiele (3)

Eltern := Mensch u (∃hatKind.Mensch)

Beispiel mit Anzahlbeschr¨ ankungen:

Genauer: Bigamist := Mann u (≥ 2 verheiratetMit) u (≤ 2 verheiratetMit) u (∀verheiratetMit.Frau)

Eltern := Mensch u (∃hatKind.Mensch) u (∀hatKind.Mensch) Weitere Konzepte:

Beachte: Ist verheiratetMit eine atomare Funktion, dann liefert die Semantik I(Bigamist) = ∅ f¨ ur jede Interpretation I.

Mutter := Frau u Eltern Studentin := Frau u (∃studiertFach.>) M¨ogliche Inferenz: I(Mutter) ⊆ I(Frau).

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Beispiele (4)

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Semantik der erweiterten Sprachen (1)

Beispiele mit Pfadgleichungen: Rolle isstGerne, dann beschreibt:

Interpretation legt fest: Grundmenge ∆,

Mensch u (verheiratetMit; isstGerne = isstGerne)

F¨ ur jedes atomare Konzept I(A) ⊆ ∆, alle Menschen deren Ehepartner das gleiche Essen m¨ogen, wie sie selbst

F¨ ur jede atomare Rolle I(R) ⊆ ∆ × ∆ F¨ ur jede atomare Funktion I(R) : ∆ → ∆ (einstellige partielle Funktion)

Atomare Funktionen hatNachnamen und hatMutter, dann beschreibt:

Da Funktionen auch Relationen sind, braucht man diese ansonsten nicht extra beachten.

Mann u (hatNachnamen = hatMutter; hatNachnamen) alle M¨anner, die den selben Nachnamen wie ihre Mutter haben

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Semantik der erweiterten Sprachen (2)

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Semantik der erweiterten Sprachen (3) Erweiterung von I auf die neuen Konstrukte (Fortsetzung):

Erweiterung von I auf die neuen Konstrukte:

0 ) I(R1 ; R2 ; . . . ; Rn = R10 ; R20 ; . . . ; Rm

I(C1 t C2 ) = I(C1 ) ∪ I(C2 ) I(∃R.C)

= {x ∈ ∆ | ∃y.(x, y) ∈ I(R) und y ∈ I(C)}

I(≤ n R)

= {x ∈ ∆ | |{y ∈ ∆ | (x, y) ∈ I(R)}| ≤ n}

I(≥ n R)

= {x ∈ ∆ | |{y ∈ ∆ | (x, y) ∈ I(R)}| ≥ n}

 =

 {y ∈ ∆ | (x, y) ∈ (I(R1 ) ◦ . . . ◦ I(Rn ))} x∈∆ 0 ))} = {y ∈ ∆ | (x, y) ∈ (I(R10 ) ◦ . . . ◦ I(Rm

wobei ◦ die Komposition von Relationen ist (D.h. R1 ◦ R2 = {(x, z) | (x, y) ∈ R1 ∧ (y, z) ∈ R2 })

I(≤ n R.C) = {x ∈ ∆ | |{y ∈ ∆ | (x, y) ∈ I(R) ∧ y ∈ I(C)}| ≤ n} I(≥ n R.C) = {x ∈ ∆ | |{y ∈ ∆ | (x, y) ∈ I(R) ∧ y ∈ I(C)}| ≥ n}

I(RESTRICT R C) = {(x, y) ∈ ∆ × ∆ | (x, y) ∈ I(R) und y ∈ I(C)}

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Namensgebung der AL-Sprachen

Beispiel Zeige (∃R.C) ≡ (∃(RESTRICT R C).>) Linke Seite:

AL[U][E][N ][C]

I(∃R.C) = {x | ∃y.(x, y) ∈ I(R) ∧ y ∈ I(C)} wobei Rechte Seite: U E N C

{x | ∃y.(x, y) ∈ I(RESTRICT R C)} = {x | ∃y.(x, y) ∈ {(a, b) | (a, b) ∈ I(R) ∧ b ∈ I(C)} = {x | ∃y.(x, y) ∈ {(a, b) ∈ I(R) | b ∈ I(C)} = {x | ∃y.(x, y) ∈ I(R) ∧ y ∈ I(C)}

Union: Vereinigung (t) Volle existenzielle Beschr¨ankung (∃R.C) number restriction: Anzahlbeschr¨ankung. ((≤ n R), (≥ n R)) Volles Komplement (¬C)

Z.B. ALEN : AL + ∃R.C + number restrictions.

Das zeigt: ∃R.C unn¨ otig, wenn man RESTRICT und ∃R.> hat. Es gilt auch umgekehrt, dass man andersherum auf RESTRICT verzichten kann. M. Schmidt-Schauß · KI · SoSe 2016 · Konzeptbeschreibungssprachen

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Familie der AL-Sprachen

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Familie der AL-Sprachen (2) Insgesamt erh¨alt man 8 verschiedene Sprachen:

Nicht alle Sprachen sind (semantisch) verschieden. Z.B. ALUE = ALC, denn es gilt

AL, ALC, ALCN , ALN , ALU, ALE, ALUN , ALEN

C t D ≡ ¬(¬C u ¬D) und ∃R.C ≡ ¬(∀R.¬C). Beweis f¨ ur die letzte Gleichung: I(¬(∀R.¬C)) = ∆ \ {a ∈ ∆ | ∀b.(a, b) ∈ I(R) ⇒ y ∈ I(¬C)} = ∆ \ {a ∈ ∆ | ∀b.(a, b) ∈ I(R) ⇒ b ∈ (∆ \ I(C))} = {a ∈ ∆ | ¬(∀b.(a, b) ∈ I(R) ⇒ b ∈ (∆ \ I(C)))} = {a ∈ ∆ | ∃b.¬((a, b) ∈ I(R) ⇒ b ∈ (∆ \ I(C)))} = {a ∈ ∆ | ∃b.(a, b) ∈ I(R) ∧ ¬(b ∈ (∆ \ I(C)))} = {a ∈ ∆ | ∃b.(a, b) ∈ I(R) ∧ (b ∈ I(C))} = I(∃R.C) M. Schmidt-Schauß · KI · SoSe 2016 · Konzeptbeschreibungssprachen

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Weitere Sprachen: Die FL-Familie

Konstrukte u, ⊥, >, ¬A, ∀R.C, ∃R.> AL, ¬C AL, ¬C, (≤ n R) AL, (≤ n R) (≥ n R) AL, t AL, ∃R.C AL, t, (≤ n R), (≥ n R) AL, ∃R.C, (≤ n R), (≥ n R)

implizite Konstrukte t,∃R.C t, ∃R.C, (≥ n R)

ALC und ALCN sind sehr allgemein! Z.B. kann Aussagenlogik kodiert werden: ¬ ↔ ¬, ∧ ↔ u, ∨ ↔ t M. Schmidt-Schauß · KI · SoSe 2016 · Konzeptbeschreibungssprachen

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Schnitt von Rollen

FL = frame-based description language Drei Varianten Name FL0 FL− FL

Name AL ALC ALCN ALN ALU ALE ALUN ALEN

Erweiterung um Schnitt von Rollen (Buchstabe R)

Konstrukte u, ∀R.C u, ∀R.C, ∃R.> u, ∀R.C, ∃R.C

R : R1 u R2

Schnitt von Rollen

Namensgebung dann: AL[U][E][N ][C][R]

Beziehungen zwischen FL-Sprachen und AL-Sprachen: AL ALC ALC

≡ ≡ ≡

Ergibt 8 weitere Sprachen in Erweiterung der ALUEN -Sprachen

FL− ∪ {¬A, >} FL− ∪ {¬C} FL ∪ {¬C}

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Aber z.B. ALUCR = ALCR = ALECR

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¨ Aquivalenz der Eigenschaften

Interessierende Eigenschaften Definition Seien C, D (evtl. komplexe) Konzepte

Je nach Sprache kann gelten:

Ein Konzept D subsumiert ein Konzept C (geschrieben als C v D), gdw. f¨ ur alle Interpretationen I gilt: I(C) ⊆ I(D).

C ist inkonsistent, gdw. C ≡ ⊥.

Ein Konzept C ist konsistent gdw. es eine Interpretation I gibt, so dass gilt: I(C) 6= ∅. Gibt es keine solche Interpretation, so nennt man C inkonsistent.

C ist disjunkt zu D gdw. C u D inkonsistent.

C ≡ D gdw. C v D und D v C. C inkonsistent, gdw. C wird von ⊥ subsumiert (C v ⊥) Wenn allgemeine Komplemente erlaubt, dann gilt: C v D gdw. C u ¬D inkonsistent ist.

Zwei Konzepte C und D sind disjunkt, gdw. f¨ ur alle Interpretationen I gilt: I(C) ∩ I(D) = ∅.

Wenn allgemeine Komplemente erlaubt, dann gilt: C v D gdw. C und ¬D disjunkt sind.

Zwei Konzepte C und D sind ¨ aquivalent (C ≡ D) gdw. f¨ ur alle Interpretationen I gilt: I(C) = I(D). Beachte: F¨ ur Konsistenz gen¨ ugt eine Interpretation. M. Schmidt-Schauß · KI · SoSe 2016 · Konzeptbeschreibungssprachen

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¨ Aquivalenz der Eigenschaften (2)

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Anwendung der DL (Auswahl)

Ontologien der Life-Sciences (Medizin, Biologie) Satz Wenn die Sprache allgemeine Komplemente erlaubt, dann sind Subsumtion, Disjunktheitstest und Konsistenztest ¨aquivalent und haben auch gleiche Komplexit¨at. Dies gilt z.B. in der Sprache ALC.

SNOMED CT (ein Akronym f¨ ur Systematized Nomenclature of Medicine – Clinical Terms) ist eine medizinische Nomenklatur, die ca. 500.000 Konzepte umfasst

Aber: In der Sprache FL sind das aber verschiedene Fragestellungen.

GO: gene ontology: ca. 20.000 Konzepte

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The National Cancer Institute Thesaurus , 45.000 Konzepte GALEN was concerned with the computerisation of clinical ” terminologies.“

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Anwendung der DL (Auswahl) (2)

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Terminologien

Ausdrucksschwache Beschreibungslogik EL: C ::= > | A | C u D | ∃R.C

Terminologie = Vereinbarung von Namen f¨ ur Konzepte

Fragestellung: ¨ Uberpr¨ ufung der Konsistenz einer Menge von Konzepten ¨ Uberpr¨ ufung der Erweiterbarkeit einer Menge von Konzepten.

In der allgemeinsten Form in AL: Menge von terminologischen Axiomen der Formen

Die Subsumption in EL ist polynomiell und damit anwendungsgeeignet. Beispiel (das so nicht gewollt war, aber stimmte):

Wenn es Rollenterme gibt, dann auch Axiome der Form

C v D oder C ≡ D

wobei C, D Konzepte sind.

R v S oder R ≡ S

wobei R, D Rollen

Finger-Amputation v Arm-Amputation“, ”

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Modelle

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T-Box Menge von terminologischen Axiomen ist eine Menge von Definitionen wenn alle Axiome von der Form sind:

Definition Eine Interpretation I erf¨ ullt eine Menge T von terminologischen Axiomen wenn:

A = C (bzw. (R = S)), wobei A (bzw. R) atomares Konzept (atomare Rolle) ist.

f¨ ur alle C v D (bzw. R v S) ∈ T gilt: I(C) ⊆ I(D) (bzw. I(R) ⊆ I(S))

T-Box Eine Menge von Definitionen, wobei jeder Name h¨ochstens einmal links vorkommt, nennt man T-Box

f¨ ur alle C ≡ D (bzw. R ≡ S) gilt: I(C) = I(D) (bzw. I(R) = I(S) ) In diesem Fall sagen wir: I ist ein Modell f¨ ur T .

Eine T-Box ist zyklisch, wenn Namen durch sich selbst definiert sind (evtl. implizit) Anderenfalls ist T-Box azyklisch

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T-Box (2)

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Beispiel f¨ur eine T-Box

Frau Mann Mutter Vater Eltern Grossmutter MutterMitVielenKindern MutterMitTochter Ehefrau

Bei azyklischen T-Boxen kann man alle definierten Namen durch Definitionseinsetzung eliminieren! Evtl.: exponentielle Vergr¨ oßerung der Konzeptterme Interpretation bei azyklischen T-Boxen: Starte mit I0 der nicht-definierten Symbole Dann ist die Erweiterung I von I0 auf die definierten Namen eindeutig und ein Modell Bei zyklischen Definitionen: geht nur unter Einschr¨ankungen!

≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡

Person u Weiblich Person u ¬Frau Frau u ∃hatKind.Person Mann u ∃hatKind.Person Vater t Mutter Mutter u ∃hatKind.Eltern Mutter u (≥ 3 hatKind) Mutter u (∀hatKind.Frau) Frau u (∃hatEhemann.Mann)

Diese T-Box ist azyklisch Nicht definierte Namen und Definierte Namen

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Beispiel: Interpretation

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Beispiele f¨ur zyklische T-Boxen Menschen sind alle Tiere, deren Eltern nur Menschen sind:

Basisinterpretation I0 legt nur fest Mensch’ ≡ Tier u ∀HatEltern.Mensch’

∆, I0 (Person), I0 (Weiblich), I0 (hatKind), I0 (hatEhemann)

Gibt es ein Modell?

Modell I f¨ ur die T-Box erh¨alt man nun durch: I(Person) I(Weiblich) I(hatKind) I(hatEhemann) I(Frau) I(Mann) usw.

:= := := := := :=

Sei ∆, I0 (Tier), I0 (HatEltern) festgelegt

I0 (Person) I0 (Weiblich I0 (hatKind) I0 (hatEhemann) I0 (Person) ∩ I0 (Weiblich) I0 (Person) ∩ (∆ \ (I0 (Person) ∩ I0 (Weiblich)))

Idee von vorher: I(Mensch’) := I0 (Tier) ∩ {x | ∀y.(x, y) ∈ I0 (HatEltern) =⇒ y ∈ I(Mensch’)}

Das ist eine rekursiv definierte Menge! Man ben¨otigt eine Interpretation (als Menge) I(Mensch’) ⊆ ∆, die ein Fixpunkt der rekursiven Gleichung ist Solch ein Fixpunkt muss nicht existieren und ist nicht immer eindeutig!

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Weitere Beispiele

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Beispiel: Kein Fixpunkt

Mann, der nur S¨ ohne hat, und f¨ ur dessen S¨ohne das gleiche gilt“. ” T-Box:

MnurS ≡ Mann u ∀hatKind.MnurS

A ≡ ¬A

Datenstruktur: Bin¨arer Baum:

Es gibt keine Interpretation: ∆ 6= ∅ ist Voraussetzung der Semantik

BinBaum ≡ Baum u (≤ 2 hatAst) u ∀hatAst.BinBaum

I(A) = ∆ \ I(A) ist daher nie erf¨ ullt.

Bei den B¨aumen muss man den kleinsten Fixpunkt nehmen (sonst sind unendliche B¨aume dabei)

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Fixpunktsemantik f¨ur zyklische T-Boxen

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Fixpunktsemantik f¨ur zyklische T-Boxen (2)

Basisinterpretation IB der nicht-definierten Namen.

Basisinterpretation IB der nicht-definierten Namen.

Kleinster Fixpunkt: Folge von Interpretationen Ii , i = 0, 1, 2, . . ., die IB auf die definierten Namen erweitert:

Gr¨ oßter Fixpunkt: Folge von Interpretationen Ii , i = 0, 1, 2, . . ., die IB auf die definierten Namen erweitert:

1

I0 (A) = ∅ f¨ ur alle definierten Namen A.

1

I0 (A) = ∆ f¨ ur alle definierten Namen A.

2

Ii+1 (A) := Ii (CA ) f¨ ur alle i und jede Definition A ≡ CA .

2

Ii+1 (A) := Ii (CA ) f¨ ur alle i und jede Definition A ≡ CA .

3

Wenn die Folge monoton steigend ist:

3

Wenn die Folge monoton fallend ist:

Ii (A) ⊆ Ii+1 (A) f¨ ur alle Namen A, S dann kann man I∞ (A) = Ii (A) definieren.

Ii+1 (A) ⊆ Ii (A) f¨ ur alle Namen A, T dann kann man I∞ (A) = Ii (A) definieren.

i

i

Das ergibt einen kleinsten Fixpunkt.

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Das ergibt einen gr¨oßten Fixpunkt.

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Beispiele

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Beispiele (2) T-Box: MnurS ≡ Mann u ∀hatKind.MnurS

T-Box: A ≡ ¬A. Kleinster Fixpunkt:

IB sei:

I0 (A) = ∅ I1 (A) = I0 (¬A) = ∆ \ I0 (A) = ∆ I2 (A) = I1 (¬A) = ∆ \ I1 (A) = ∅ Nichtmonotonie: da ∆ = I1 (A) 6⊆ I2 (A) = ∅. Gr¨oßter Fixpunkt: I0 (A) = ∆ I1 (A) = I0 (¬A) = ∆ \ I0 (A) = ∅ I2 (A) = I0 (¬A) = ∆ \ I1 (A) = ∆

= {Hans i | i ∈ N} ∪{Horst i | i ∈ N} ∪{Heike i | i ∈ N} ∪{Fritz i | i ∈ {1, 2, 3}}

IB (Mann)

= {Hans i | i ∈ N} ∪{Horst i | i ∈ N} ∪{Fritz i | i ∈ {1, 2, 3}}

IB (hatKind) = {(Hans i , Hans i+1 ) | i ∈ N} ∪{(Horst i , Horst i+1 ) | i ∈ N} ∪{(Horst i , Heike i+1 ) | i ∈ N} ∪{(Fritz i , Fritz i+1 ) | i ∈ {1, 2}}

Da I2 (A) 6⊆ I1 (A) ist die Monotonie verletzt. M. Schmidt-Schauß · KI · SoSe 2016 · Konzeptbeschreibungssprachen

∆

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Beispiele (3)

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Beispiele (4)

Als Graph (gerichtete Kante = hatKind“) ”

Kleinster Fixpunkt:

Hans 1

Horst 1

Heike 1

Fritz 1

I0 (MnurS) = ∅

Hans 2

Horst 2

Heike 2

Fritz 2

I1 (MnurS) = IB (Mann) ∩ {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ IB (hatKind) ⇒ y ∈ I0 (MnurS)} = IB (Mann) ∩ ({Heike i | i ∈ N} ∪ {Fritz 3 }) = {Fritz 3 }

Hans 3

Horst 3

Heike 3

Fritz 3

I2 (MnurS) = IB (Mann) ∩ {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ IB (hatKind) ⇒ y ∈ I1 (MnurS)} = IB (Mann) ∩ ({Heike i | i ∈ N} ∪ {Fritz 2 , Fritz 3 }) = {Fritz 2 , Fritz 3 }

Hans 4

Horst 4

Heike 4

...

...

...

Hans i Hans i+1 ...

Horst i

I3 (MnurS) = IB (Mann) ∩ {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ IB (hatKind) ⇒ y ∈ I2 (MnurS)} = IB (Mann) ∩ ({Heike i | i ∈ N} ∪ {Fritz 1 , Fritz 2 , Fritz 3 }) = {Fritz 1 , Fritz 2 , Fritz 3 } I4 (MnurS) = IB (Mann) ∩ {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ IB (hatKind) ⇒ y ∈ I3 (MnurS)} = IB (Mann) ∩ ({Heike i | i ∈ N} ∪ {Fritz 1 , Fritz 2 , Fritz 3 }) = {Fritz 1 , Fritz 2 , Fritz 3 }

Heike i

Ij (MnurS) = {Fritz 1 , Fritz 2 , Fritz 3 } f¨ ur alle weiteren i

Horst i+1 Heike i+1 ...

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Das ergibt

... 63/133

S

i Ii (MnurS)

= {Fritz 1 , Fritz 2 , Fritz 3 }.

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Beispiele (5)

Fixpunktsemantik

Gr¨oßter Fixpunkt: I0 (MnurS) = ∆ I1 (MnurS) = IB (Mann) ∩ {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ IB (hatKind) ⇒ y ∈ I0 (MnurS)} = IB (Mann) ∩ (∆) = IB (Mann) I2 (MnurS) = = = =

IB (Mann) ∩ {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ IB (hatKind) ⇒ y ∈ I1 (MnurS)} IB (Mann) ∩ {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ IB (hatKind) ⇒ y ∈ IB (Mann)} IB (Mann) ∩ ({Heike i , Hans i | i ∈ N} ∪ {Fritz i | i ∈ {1, 2, 3}) {Hans i | i ∈ N} ∪ {Fritz i | i ∈ {1, 2, 3}}

I3 (MnurS) = IB (Mann) ∩ {x ∈ ∆ | ∀y.(x, y) ∈ IB (hatKind) ⇒ y ∈ I2 (MnurS)} = IB (Mann) ∩ ({Heike i , Hans i | i ∈ N} ∪ {Fritz i | i ∈ {1, 2, 3}) = {Hans i | i ∈ N} ∪ {Fritz i | i ∈ {1, 2, 3}} Ij (MnurS) = {Hans i | i ∈ N} ∪ {Fritz i | i ∈ {1, 2, 3}} f¨ ur alle weiteren i

Das ergibt

T

i Ii (MnurS)

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Fixpunktsemantik (2)

I ⊆ I 0 ⇒ I(C) ⊆ I 0 (C) wobei I ⊆ I 0 : ∀atomare Konzepte A : I(A) ⊆ I 0 (A). Die Monotonie gilt, da u, t, ∀R.C, ∃R.C, (≥ n R) alle monoton im Konzept-Argument sind.

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Beispiel

Jedes Huhn kommt aus einem Ei. Jedes Ei wurde von einem Huhn ” gelegt.“

Theorem Ist die Terminologie so definiert, dass jeder zyklische Pfad durch die Terme durch eine gerade Anzahl Negationen geht, denn kann man sowohl einen kleinsten als auch einen gr¨oßten Fixpunkt der Interpretationen als Erweiterung einer Basisinterpretation definieren.

kommt aus Huhn

Ei gelegt von

Begr¨ undung: Montonie, da Doppelnegation“ ”

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Begr¨ undung: Es gilt die Monotonie:

Beachte: Wenn man u ¨ber ALCN hinausgeht, ist das Konstrukt (≥ n R.C) monoton, w¨ahrend (≤ n R.C) nicht monoton ist.

= {Hans i | i ∈ N} ∪ {Fritz i | i ∈ {1, 2, 3}}.

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Theorem Ist die Terminologie ohne Komplemente definiert, dann kann man sowohl einen kleinsten als auch einen gr¨oßten Fixpunkt der Interpretationen als Erweiterung einer Basisinterpretation definieren.

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Beispiel (2)

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T-Box mit Inklusionen

T-Box dazu: Huhn v (∃kommtAus.Ei) Ei v (∃gelegtVon.Huhn)

Erweiterung der T-Box: Axiome der Form A v C, mit A Konzeptname.

Versuche ein Modell zu finden, so dass Clarissa ∈ I(Huhn): 1

Annahme Clarissa ∈ I(Huhn), dann muss gelten: Es gibt Objekt ClarissaEi mit (Clarissa, ClarissaEi) ∈ I(kommtAus).

2

Jetzt muss wiederum gelten ClarissaEi ∈ I(Ei), daher: Es gibt ClarissaEi mit (ClarissaEi, ClarissaMutter ) ∈ I(gelegtVon). Jetzt muss wiederum gelten ClarissaMutter ∈ I(Huhn) usw.

Zur¨ uckf¨ uhren auf normale T-Boxen: Bedingung: Jeder Name kommt h¨ochstens einmal links vor ˆ Zu jeder Inklusion A v CA erfinde einen neuen Namen A. Ersetze die Inklusion A v CA durch die Definition A ≡ Aˆ u CA .

Fazit: In allen endlichen Modellen mit I(Huhn) 6= ∅ gibt es nur H¨ uhner, die ihre eigene Vorfahren sind. Wenn das Modell unendlich sein darf, dann kann es auch H¨ uhner geben, die nicht ihre eigenen Vorfahren sind.

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Beispiele

Satz: Die Modelle vorher und nachher sind die gleichen, bzgl. der gemeinsamen Namen

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A-Boxen

T-Box

A-Box = Assertions Mann v Person

Konkrete Annahmen u ¨ber Individuuen T-Box ≈ Datenbankschema

wird zu \ u Person Mann ≡ Mann

A-Box ≈ Daten

Bei:

Definition Gegeben eine T-Box T . Eine A-Box A zu T ist definiert als Menge von Annahmen u ¨ber Individuen (Objekte) der Formen

Mann ≡ Person u ¬Frau Mann v Tier Gen¨ ugt das nicht: Mann ≡ Person u ¬Frau \ u Tier Mann ≡ Mann

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C(a) wobei C ein Konzeptterm ist und a ein Individuenname. R(a, b) wobei R eine Rolle ist (evtl. ein Rollenterm) und a, b sind Individuennamen.

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¨ Ahnlichkeiten zu Datenbank

Beispiele: A-Box

MutterMitTochter(Maria) Vater(Peter) hatKind(Maria, Paul) hatKind(Maria, Peter) hatKind(Peter, Harry)

Eine A-Box ist ¨ahnlich zu Fakten in Prolog. Aber es ist mehr erlaubt, z.B. (∃hatKind.Person)(Michael)

Dabei sind Peter, Harry, Maria und Paul Konstanten.

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Semantik der A-Box

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Terminologische Beschreibung

Definition Sei I eine Interpretation zur T-Box T . Die Interpretation kann auf die A-Box A erweitert werden:

Eine terminologische Beschreibung besteht aus

Jedem Individuennamen a wird ein Objekt I(a) ∈ ∆ zugeordnet. Dabei wird die unique names assumption beachtet: Verschiedenen Individuennamen werden verschiedenen Objekte zugeordnet, d.h. I(a) = I(b) gdw. a = b.

Menge von terminologischen Axiomen und Mengen von Annahmen u ¨ber Existenz und Eigenschaft von Objekten (A-Box)

F¨ ur C(a) ∈ A, ist I(C(a)) = 1 gdw. I(a) ∈ I(C). F¨ ur R(a, b) ∈ A ist I(R(a, b)) = 1 gdw. (I(a), I(b)) ∈ I(R).

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Beispiel

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Konsistenz der A-Box

T-Box: Motor Lampe Stecker Ger¨ at ElektroGer¨ at

v v v v ≡

Komponente Komponente u (¬Motor) Komponente u (¬Lampe) u (¬Motor) (∀hatTeil.Komponente) u (¬Komponente) Ger¨ at u (∃hatTeil.Stecker)

A-Box:

Dann ist A konsistent, wenn es ein Modell I von T gibt, das alle Eintr¨age in der A-Box wahr macht. Wir schreiben A |= C(a) gdw. f¨ ur alle Modelle I von T , die alle Eintr¨age der A-Box wahr machen, auch I(C(a)) gilt.

Motor(Motor1234) Komponente(Lichtmaschine320) hatTeil(Motor1234, Lichtmaschine320) ...

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Definition Gegeben eine T-Box T und eine A-Box A.

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Inferenzen und Anfragen

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Inferenzen und Anfragen (2)

Konsistenztest: Sind definierte Konzepte konsistent? Z.B. Motor u (¬Motor) ist inkonsistent Damit kann man auch f¨ ur die A-Box entscheiden: Enth¨alt eine A-Box widerspr¨ uchliche Annahmen?

Pinpointing (bzw. Realization Problem): Einordnung von Objekten in Konzepte.

Z.B. (Motor u ¬Motor)(Motor123) ist nicht erf¨ ullbar.

Z.B. Ist Staubsauger1 ein ElektroGer¨ at?“ ” Formal: Gegeben ein Individuum a, finde das spezifischste Konzept C, so dass A |= C(a) gilt. D.h. finde das kleinste Konzept in der Subsumtionsordnung.

Subsumtionstest: Ist ein Konzept Untermenge eines anderen? Retrieval Problem Finde alle Instanzen eines Konzepts, wobei nur auf die Konstanten in der A-Box zugegriffen wird Z.B. Welche Motoren gibt es ?“ ” Formal: Zu gegebenem Konzept C, finde alle a mitA |= C(a). M. Schmidt-Schauß · KI · SoSe 2016 · Konzeptbeschreibungssprachen

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Zusammenh¨ange

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Individuen in der T-Box

Erweiterung: Aufz¨ahlungskonzepte Satz A |= C(a) gdw. A ∪ {¬C(a)} ist inkonsistent.

A ≡ {a1 , . . . .an } wobei ai Individuennamen sind Semantik:

C ist konsistent gdw. C(a) konsistent ist f¨ ur einen neuen Namen a.

I({a1 , . . . , an }) = {I(a1 ), . . . , I(an )} Beispiel: Grundfarben ≡ {rot, blau, gelb}

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Open-World- vs. Closed-World-Semantik

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Beispiel

Datenbanken: Closed-World-Semantik

Datenbank / A-Box enth¨alt nur:

Nur das was in der DB steht ist wahr hatKind(Maria, Peter)

Alles andere ist falsch DLs: Open-World-Semantik

Closed-World-Semantik: Es gilt: Peter hat keine Geschwister

Was nicht in der A-Box steht, ist nicht automatisch falsch

Open-World-Semantik: Unbekannt, ob Peter Geschwister hat

Fehlende Eintr¨age = Unvollst¨andiges Wissen

Durch (≤ 1 hatKind)(Maria) kann sichergestellt werden, dass Peter keine Geschwister hat

Man kann neue Fakten hinzuf¨ ugen, ohne dass alte Schl¨ usse ung¨ ultig werden, d.h. Schlussfolgern ist konservativ.

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¨ Vorg¨ anger DLs T/A-Box Subsumtion Weiteres Ubersetzungen T-Box OWL Zyklische T-Boxen Huhn/Ei Inklusionen A-Box Open-World Semantik

Beispiel

¨ Vorg¨ anger DLs T/A-Box Subsumtion Weiteres Ubersetzungen T-Box OWL Zyklische T-Boxen Huhn/Ei Inklusionen A-Box Open-World Sem

Beispiel (2)

¨ A-Box Aoed zum Problem des Odipus: hatKind(Iokaste, ¨ Odipus) hatKind(Iokaste, Polyneikes) hatKind(¨ Odipus, Polyneikes) hatKind(Polyneikes, Thersandros) Vaterm¨ order(¨ Odipus) ¬Vaterm¨ order(Thersandros)

hatKind(Iokaste, ¨ Odipus) hatKind(¨ Odipus, Polyneikes) Vaterm¨ order(¨ Odipus)

hatKind(Iokaste, Polyneikes) hatKind(Polyneikes, Thersandros) ¬Vaterm¨ order(Thersandros)

Kann man aus dieser A-Box schließen?

Iokaste

Aoed |= (∃hatKind.(Vaterm¨ order u (∃hatKind.¬Vaterm¨ order)))(Iokaste) hatKind hatKind

¨ Odipus

¨dipus und Polyneikes. Iokaste hat zwei Kinder, O ¨ Odipus erf¨ ullt Vaterm¨ order,

Vaterm¨ order

kein Wissen u order(Polyneikes). ¨ber Vaterm¨

hatKind

Trotzdem kann man schließen (wegen OWA): Fallunterscheidung u ¨ber Polyneikes: entweder Vaterm¨ order oder nicht.

Polyneikes

Erster Fall: Polyneikes erf¨ ullt hatKind von Iokaste Zweiter Fall: ¨ Odipus erf¨ ullt hatKind von Iokaste

hatKind Thersandros

¬Vaterm¨ order

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Erinnerung: FL-Familie

Inferenzen in Beschreibungslogiken: Subsumtion

FL = frame-based description language Drei Varianten Wir betrachten Verfahren f¨ ur den Subsumtionstest, d.h. ob gilt:

Name FL0 FL− FL

CvD Wir betrachten nur Konzepte, keine T-Box (diese muss eliminiert werden)

Beziehungen zwischen FL-Sprachen und AL-Sprachen:

Schwierigkeit des Problems: H¨angt von der Sprache ab!

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Konstrukte u, ∀R.C u, ∀R.C, ∃R.> u, ∀R.C, ∃R.C

AL ALC ALC

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≡ ≡ ≡

FL− ∪ {¬A, >} F L− ∪ {¬C} F L ∪ {¬C}

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Subsumtion und Konsistenz in FL0

Struktureller Subsumtionstest FL0 (2)

FL0 : C u D, ∀R.C Lemma Alle Konzepte in FL0 sind konsistent.

Konsistenz ist daher trivial, aber Subsumtion nicht, z.B.

Beweis: Es gibt immer eine Interpretation mit I(C) 6= ∅:

Z.B. A u B v A, aber A 6v A u B

I(A) = ∆ f¨ ur alle atomaren Konzepte A I(R) = ∆ × ∆ f¨ ur alle Rollen R Es gilt sogar f¨ ur alle C: I(C) = ∆.

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Normalform in FL0

Allgemein (nicht nur in FL0 ): Test f¨ ur C v D Bringe C und D in eine Normalform

2

Vergleiche C 0 und D0 syntaktisch.

C0

bzw.

Normalform in FL0 : D0 . A1 u . . . u Am u ∀R1 .C1 u . . . u ∀Rn .Cn wobei Ai atomare Konzepte, Ai 6= Aj und Ci in Normalform sind

Beide Teilalgorithmen variieren von Sprache zu Sprache.

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Struktureller Subsumtionstest

1

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Normalformalgorithmus f¨ur FL0

Vergleich der Normalformen in FL0

assoziativ Ausklammern, dann Umsortieren, und dann gleiche Ai in Konjunktionen eliminieren.

Sei D ≡ A1 u . . . u Am u ∀R1 .C1 u . . . u ∀Rn .Cn

∀R.C u ∀R.D → ∀R.C u D und

Rekursiv in den rechten Seiten C aller Ausdr¨ ucke ∀R.C anwenden.

D0 ≡ A01 u . . . u A0m0 u ∀R10 .C10 u . . . u ∀Rn0 0 .Cn0 0 Dann ist D v D0 gdw:

Begr¨ undung:

= = = = =

Jedes atomare Konzept A0i kommt unter den Aj vor und

I(∀ R.(C1 u C2 )) {x | ∀y.xI(R)y ⇒ y ∈ I(C1 ) ∩ I(C2 )} {x|∀y.¬(x I(R) y ∨ y ∈ I(C1 ) ∩ I(C2 )} {x|∀y.(¬(x I(R) y) ∨ y ∈ I(C1 ) ∧ (¬(x I(R) y) ∨ y ∈ I(C2 )} {x|∀y.(¬(x I(R) y) ∨ y ∈ I(C1 )) ∧ ∀y.¬(x I(R) y) ∨ y ∈ I(C2 )} I((∀ R.C1 ) u (∀ R.C2 ))

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zu jedem Ausdruck ∀Ri0 .Ci0 gibt es einen Ausdruck ∀Rj .Cj , so dass Ri0 = Rj und Cj v Ci0 . Dieser Test wird rekursiv durchgef¨ uhrt.

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Eigenschaften

Beispiel

Der strukturelle Subsumtionstest in FL0 ist: korrekt: Bei Antwort ja“gilt I(D) ⊆ I(D0 ) in allen Modellen ” I

Seien C1 ≡ (∀R1 .A1 ) u A2 u (∀R2 .A5 ) u (∀R2 .∀R1 .(A2 u A3 u A4 )) C2 ≡ ((∀R2 .∀R1 .A4 ) u A2 u (∀R2 .∀R1 .(A3 u A4 ))

vollst¨ andig: Bei Antwort nein“ , gibt es ein Modell I mit ” I(D) 6⊆ I(D0 ) Komplexit¨ at:

Pr¨ ufe ob C1 v C2 und ob C2 v C1 .

Normalformherstellung: Sortieren O(n ∗ log(n)) Vergleichen: O(n ∗ log(n)) oder sogar O(n)

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Beispiel (2)

Beispiel (3) Vergleich der Normalformen:

Normalformberechnung f¨ ur C1 : C1 ≡ (∀R1 .A1 ) u A2 u (∀R2 .A5 ) u (∀R2 .∀R1 .(A2 u A3 u A4 )) → A2 u (∀R1 .A1 ) u (∀R2 .A5 ) u (∀R2 .∀R1 .(A2 u A3 u A4 )) → A2 u (∀R1 .A1 ) u (∀R2 .A5 u (∀R1 .(A2 u A3 u A4 ))) = N F (C1 ) Normalformberechnung f¨ ur C2 : C2 ≡ → → → →

((∀R2 .∀R1 .A4 ) u A2 u (∀R2 .∀R1 .(A3 u A4 )) A2 u ((∀R2 .∀R1 .A4 ) u (∀R2 .∀R1 .(A3 u A4 )) A2 u (∀R2 .((∀R1 .A4 ) u ∀R1 .(A3 u A4 ))) A2 u (∀R2 .(∀R1 .(A4 u A3 u A4 )) A2 u (∀R2 .(∀R1 .(A3 u A4 )) = N F (C2 )

N F (C1 ) = A2 u (∀R1 .A1 ) u (∀R2 .A5 u (∀R1 .(A2 u A3 u A4 ))) N F (C2 ) = A2 u (∀R2 .(∀R1 .(A3 u A4 )) Atomare Konzepte: beide gleich Werteinschr¨ankungen: ∀R1 . . . . kommt nur in N F (C1 ) vor. Daraus folgt sofort: C2 6v C1 . F¨ ur C1 v C2 : F¨ ur ∀R2 . . . . rekursiver Vergleich A5 u (∀R1 .(A2 u A3 u A4 ))) v (∀R1 .(A3 u A4 )) A5 nur links: ok. F¨ ur ∀R1 . . . . rekursiver Vergleich (A2 u A3 u A4 ) v (A3 u A4 ) Daher gilt: C1 v C2 .

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Subsumtionstest f¨ur FL

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−

Struktureller Subsumtionstest f¨ur weitere DL-Sprachen

FL− : u, ∀R.C, (∃R.>) Anpassung des Subsumtionsalgorithmus f¨ ur FL− 1

Bringe die Konzeptterme in eine FL− -Normalform:

u u 2

FL0 + ⊥: Geht immer noch, beachte ⊥ u . . . → ⊥ und ⊥ v C f¨ ur alle C. FL0 + ⊥ + ¬A: Geht auch noch:

A1 u . . . u Am ∀R1 .C1 u . . . u ∀Rn .Cn ∃R10 .> u . . . u ∃Rk0 .>

bei NF-Berechnung: A u ¬A → ⊥ Vor dem Vergleich: ¬A → NOTA, wobei NOTA neuer Konzeptname

Vergleich der Normalformen: Wie bei FL0 nur: Behandele ∃R.>-Ausdr¨ ucke wie atomare Konzepte.

Auch der FL− -Subsumtions-Algorithmus ist korrekt und vollst¨andig. Der Zeitaufwand des Algorithmus ist O(n ∗ log(n)).

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Subsumtions-Algorithmus f¨ur AL

Konflikte bei Anzahlbeschr¨ankungen

AL: Neue Konzepte: > und ∃R.>. Insgesamt: A, >, ⊥, ¬A, C u D, ∀R.C, ∃R.>

Hat man Anzahlbeschr¨ankungen, muss man mehr Konflikte beachten. Z.B.

NF-Berechnung: >uC →C ∀R.> → > ¬> → ⊥ ¬⊥ → >

∀R.⊥ u (≥ 1 R) ist ¨aquivalent zu ⊥. (≥ n R) v (≥ m R) gdw. n ≥ m.

Vergleich: Beachte C v > f¨ ur alle C

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Weitere Sprachen mit strukturellem Subsumtionsalgorithmus

ALE ALU ALN

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AL erweitert um ∃R.C. AL erweitert um t. AL erweitert um Anzahlbeschr¨ankungen (≤ n R).

Grenzen des strukturellen Subsumtionsalgorithmus

Hat man Disjunktion (Vereinigung) oder volle Negation, dann funktioniert der strukturelle Subsumtionsalgorithmus nicht. Z.B. gibt es f¨ ur ALC keinen strukturellen Subsumtionsalgorithmus!

ALN hat einen polynomiellen und strukturellen Subsumtionsalgorithmus. FL hingegen hat ein PSPACE-vollst¨andiges Subsumtionsproblem.

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¨ Subsumtion und Aquivalenzen in ALC

Beispiel In ALC gilt nicht: (∀R.(C1 t C2 )) = (∀R.C1 ) t (∀R.C2 ) Beweis: Gegenbeispiel: Sei I die Interpretation mit

ALC: u, t, ¬, ⊥, >, ∀R.C, ∃R.C In ALC gilt: ¬(C1 u C2 ) ¬(C1 t C2 ) ¬(¬ C) ¬(∀R.C) ¬ (∃R.C) ¬⊥ ¬>

≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡

a

(¬ C1 ) (¬ C1 ) C (∃R.(¬ (∀R.(¬ > ⊥

∆ I(C1 ) I(C2 ) I(R)

t (¬ C2 ) u (¬ C2 )

= = = =

{a, b, c, d} {a, b} d {b, c} {(d, b), (d, a), (d, c)}

b

c

C)) C))

C1

C2

I(∀R.(C1 t C2 )) = {x ∈ {a, b, c, d} | ∀y.(x, y) ∈ {(d, b), (d, a), (d, c)} ⇒ y ∈ {a, b, c}} = {a, b, c, d} I((∀R.C1 ) t (∀R.C2 )) = {x ∈ {a, b, c, d} | ∀y.(x, y) ∈ {(d, b), (d, a), (d, c)} ⇒ y ∈ {a, b}} ∪ {x ∈ {a, b, c, d} | ∀y.(x, y) ∈ {(d, b), (d, a), (d, c)} ⇒ y ∈ {b, c}} = {a, b, c}

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Konsistenz und Subsumtion in ALC

Subsumtionsalgorithmus f¨ur ALC

Tableauverfahren, das pr¨ uft: Ist C konsistent? Lemma Der Subsumtionstest in ALC l¨asst sich als Konsistenztest formulieren und umgekehrt: C1 v C2 gilt gdw. (C1 u ¬C2 ) ≡ ⊥

Idee: Versuche I zu konstruieren mit I(C) 6= ∅ M¨ ogliche Ausg¨ange: Modell exisitiert → C konsistent Es gibt kein Modell: C inkonsistent

Und statt C 6≡ ⊥ kann man C 6v ⊥ testen. Aber Komplexit¨at ist dann co- bzgl Subsumtion.

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Neue Datenstruktur: Constraint-Systeme, um Anforderungen an I zu beschreiben

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Subsumtionsalgorithmus f¨ur ALC (2)

Subsumtionsalgorithmus f¨ur ALC (3)

Definition Ein Constraint ist eine Folge von Ausdr¨ ucken der Form: x:X

xRy

XvC

X vY tZ

X(∀R)Y

X(∃R)Y

Subsumtionsalgorithmus: F¨ ur C Konsistent?

wobei x, y, z Elemente (von ∆), X, Y, Z Konzeptnamen und C (auch komplexe) Konzepte sind.

1

Beginne mit x : X, X v C

2

Entfalte das Constraintsystem

Bedeutung (informell):

3

Baue Tableau auf mit allen Vervollst¨andigungen

4

Pr¨ ufe alle Pfade

x : X entspricht der Bedingung x ∈ I(X), xRy entspricht der Bedingung (x, y) ∈ I(R), X v C entspricht der Bedingung I(X) ⊆ I(C), X v Y t Z entspricht der Bedingung I(X) ⊆ I(Y ) ∪ I(Z), X(∀R)Y entspricht der Bedingung ∀a ∈ I(X) : ∀b : (a, b) ∈ I(R) : b ∈ I(Y ) X(∃R)Y entspricht der der Bedingung ∀a ∈ I(X) : ∃b.(a, b) ∈ I(R) : b ∈ I(Y ) M. Schmidt-Schauß · KI · SoSe 2016 · Konzeptbeschreibungssprachen

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v (∀R.C) v (∃R.C) vC uD vC tD

Xv>

Vervollst¨andigung (Tableauregeln)

→ → → →

X(∀R)Y, Y v C, wobei Y ein neuer Name X(∃R)Y, Y v C, wobei Y ein neuer Name X v C, X v D X v Y t Z, Y v C, Z v D, wenn C oder D kein atomares Konzept ist, und Y, Z sind neue Namen sind. → nichts zu tun

1

Wenn x : X und X(∃R)Y da sind, aber keine Variable y mit xRy und y : Y , dann f¨ uge eine neue Variable y mit den Constraints xRy und y : Y ein.

2

Wenn x : X, X(∀R)Y, xRy da ist, dann f¨ uge y : Y hinzu.

3

Wenn x : X, X v Y t Z da sind, aber weder x : Y noch x : Z, dann f¨ uge x : Y oder x : Z hinzu.

Letzte Regel: Verzweigung im Tableau

Ausgabe: Constraint-System, das nur Konzeptnamen und negierte Konzeptnamen f¨ ur C in X v C enth¨alt.

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Entfaltungsregeln

X X X X

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Bl¨atter: Vervollst¨andigte Systeme

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Pr¨ufen der Pfade

Algorithmus zur Konsistenzpr¨ufung

Starte mit dem Constraint x : X, X v C

Pr¨ ufe ob, Bl¨atter widerspr¨ uchliche Constraintsysteme sind:

Falte x : X, X v C auf

Definition Ein Constraint-System ist widerspr¨ uchlich, wenn eine der folgenden Konstellationen vorkommt:

Baue Tableau auf, indem alle M¨oglichkeiten zur Vervollst¨andigung betrachtet werden Sind alle Bl¨atter widerspr¨ uchliche Constraintsysteme, gebe inkonsistent aus

x : X, X v A, x : Y, Y v ¬A, oder x : X, X v ¬>, oder

Gibt es ein nicht-widerspr¨ uchliches Blatt, gebe konsistent aus In diesem Fall kann man aus dem Constraintsystem das Modell konstruieren

x : X, X v ⊥

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Beispiel

Beispiel (2) Vervollst¨andigung ergibt das Tableau:

Seien Mann und hatKind atomare Konzepte. Wir pr¨ ufen Konsistenz von:

x : X, X v Mann, X(∃hatKind)Y, Y v (X1 t X2 ), X1 v Mann, X2 v ¬Mann

Mann u ∃hatKind.(Mann t ¬Mann) Erster Schritt: Starte mit x : X, X v Mann u ∃hatKind.(Mann t ¬Mann).

x : X, X v Mann, X(∃hatKind)Y, xhatKindy, y : Y, Y v (X1 t X2 ), X1 v Mann, X2 v ¬Mann

Zweiter Schritt: Entfalten: x : X, X v Mann u ∃hatKind.(Mann t ¬Mann) → x : X, X v Mann, X v ∃hatKind.(Mann t ¬Mann) → x : X, X v Mann, X(∃hatKind)Y, Y v (Mann t ¬Mann) → x : X, X v Mann, X(∃hatKind)Y, Y v (X1 t X2 ), X1 v Mann, X2 v ¬Mann

x : X, X v Mann, X(∃hatKind)Y, xhatKindy, y : Y, Y v (X1 t X2 ), y : X1 , X1 v Mann, X2 v ¬Mann

x : X, X v Mann, X(∃hatKind)Y, xhatKindy, y : Y, Y v (X1 t X2 ), y : X2 , X1 v Mann, X2 v ¬Mann

Beide Bl¨atter: nicht widerspr¨ uchlich. M. Schmidt-Schauß · KI · SoSe 2016 · Konzeptbeschreibungssprachen

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Beispiel (3)

Eigenschaften

Modelle: an den Bl¨ attern:

Der Algorithmus terminiert und ist korrekt und vollst¨andig, daher gilt:

F¨ ur x : X, X v Mann, X(∃hatKind)Y, xhatKindy, y : Y, Y v (X1 t X2 ), y : X1 , X1 v Mann, X2 v ¬Mann kann man ablesen ∆ = {x, y}, I(X) = {x}, I(Y ) = {y}, I(X1 ) = {x, y}, I(hatKind) = {(x, y)} und I(Mann) = {x, y}, I(X2 ) = ∅.

Theorem Subsumtion und Konsistenz in ALC sind entscheidbar. Der Algorithmus kann in polynomiellem Platz durchgef¨ uhrt werden. Aber es gilt:

F¨ ur

Theorem Konsistenz in ALC ist PSPACE-hart. D.h Konsistenz in ALC ist PSPACE-vollst¨andig.

x : X, X v Mann, X(∃hatKind)Y, xhatKindy, y : Y, Y v (X1 t X2 ), y : X2 , X1 v Mann, X2 v ¬Mann kann man ablesen ∆ = {x, y}, I(X) = {x}, I(Y ) = {y}, I(X2 ) = {y}, I(hatKind) = {(x, y)}, I(Mann) = {x}, I(X1 ) = {x} .

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Beweis der H¨arte: Reduktion von QBFs in ALC.

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Erweiterungen f¨ur ALCN

Konsistenztest von A-Boxen

ALCN : ALC + number restrictions (≥ n R.C) und (≤ n R.C). Neue Constraints: X(≤ n R)Y und X(≥ n R)Y .

Klar: F¨ uge Constraint entsprechend der A-Box hinzu.

Auffalten

Es gilt: X v (≥ n R.C) → X(≥ n R)Y, Y v C X v (≤ n R.C) → X(≤ n R)Y, Y v C

Theorem Konsistenz von ALCN -A-Boxen ist entscheidbar und PSPACE-complete.

Vervollst¨andigung: Bei x : X, X(≤ n R)Y muss man die Variablen y z¨ahlen und hinzuf¨ ugen, evtl. gleichsetzen. Kodierung der Zahlen n!? Es gilt: In ALCN bleibt das Problem P SP ACE-vollst¨andig

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Komplexit¨at der Subsumtions-Inferenzen

Erweiterungen: Rollenterme

FL− (u, ∀ und (∃R)) hat einen polynomiellen Subsumtionstest FL (u, ∀R.C, (∃R.C)) hat ein PSPACE-vollst¨andiges Subsumtionproblem, Konsistenz ist trivial. Erlaubt man nur u, t, ¬, dann ist der Subsumtionstest co-NP-vollst¨andig, da dies gerade das Komplement von SAT ist. In ALC (u, ¬, t, ∀, (∃R.C)) sind Konsistenztest und Subsumtionstest PSPACE-complete.

RuS RtS ¬R (R−1 ) (R ◦ S)

Schnitt von Rollen Vereinigung von Rollen Komplement einer Rolle Rolleninversion Rollenkomposition

(R+ )

transitiver Abschluss

Einige Eigenschaften: ALCN mit Rollenschnitt hat ein PSPACE-vollst¨andiges Subsumtionsproblem, wenn man Zahlen in Strichcode schreibt.

ALC + Pfadgleichungen f¨ ur bel. Rollen (z.B. (hatKind; studiertFach) = studiertFach): Subsumtion ist unentscheidbar.

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ALC trans : ALC + transitive Rollen hat entscheidbares Subsumtionsproblem. Beziehungen zu propositional dynamic logic 121/133

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OWL

Atomare Konzepte A werden in einstellige Pr¨adikate PA u ¨bersetzt. Rollen R werden zweistellige Pr¨adikate PR u bersetzt. ¨ ¨ J·Kα : Ubersetzung von ALC-Formeln in Pr¨adikatenlogische Formel mit freier Variable α = = = = =

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¨ Ubersetzung ALC in Pr¨adikatenlogik

JAKx JC u DKx JC t DKx J∃R.CKx J∀R.CKx

I(R u S) = I(R) ∩ I(S) I(R t S) = I(R) ∪ I(S) I(¬R) = ∆ × ∆ \ I(R) I(R−1 ) = {(b, a) | (a, b) ∈ I(R)} I(R ◦ S) = {(a, c) | ∃b.(a, b) ∈ I(R), (b, c) ∈ I(S)} I(R+ ) = trans. Abschluss von I(R).

PA (x) JCKx ∧ JDKx JCKx ∨ JDKx ∃y.PR (x, y) ∧ JCKy ∀y.PR (x, y) =⇒ JCKy

Web Ontology Language = OWL (nicht WOL, in Analogie zu owl“ (Eule)) ” Vom W3C standardisierte formale Beschreibungssprache zur Erstellung von Ontologien Bedeutsame Beziehung zum Semantischen Web Baut syntaktisch auf RDF (Resource Description Framework) auf

¨ Ubersetzung der Subsumtion:

inbesondere: XML-Notation, zur maschinellen Verarbeitung

JC v DK = ∀x.(JCKx =⇒ JDKx ) Satz C v D genau dann, wenn JC v DK eine Tautologie ist. M. Schmidt-Schauß · KI · SoSe 2016 · Konzeptbeschreibungssprachen

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¨ Vorg¨ anger DLs T/A-Box Subsumtion Weiteres Ubersetzungen OWL

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Varianten von OWL

Beschreibungslogiken dazu OWL Lite entspricht der Beschreibungslogik SHIN (D) OWL DL entspricht der Beschreibungslogik SHOIN (D)

1

OWL Lite

2

OWL DL

3

OWL Full

S steht f¨ ur ALC + transitive Rollen Namensgebung: Bezug zur Modallogik S 4 .

OWL Lite ⊂ OWL DL ⊂ OWL Full“ ” OWL Lite und OWL DL entsprechen Beschreibungslogiken

H steht f¨ ur Rollenhierarchien, R v S

OWL Full nicht mehr!

N : number restrictions (≤ n R), (≥ n R)

wobei

I steht f¨ ur inverse Rollen, R− O steht f¨ ur “nominal”: {o} (mit o Individuenname) D bedeutet konkrete Datentypen (Variante sog. concrete domains)). In OWL d¨ urfen die XML Schema Datentypen (Integer, Strings, Float, . . . ) verwendet werden.

Standards unterscheiden jetzt nur noch zwei Varianten.

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Bezeichnungen

OWL Konstruktoren Konstruktor owl:Thing owl:Nothing intersectionOf unionOf complementOf oneOf allValuesFrom someValuesFrom hasValue minCardinality maxCardinality inverseOf

OWL Lite oder DL-Ontolgie: T-Box + Rollenhierachie Statt Konzept sagt man in OWL Class Statt Rolle sagt man in OWL Property

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Syntax in DL > ⊥ C1 u . . . u Cn C1 t . . . t Cn ¬C {a1 , . . . , am } ∀R.C ∃R.C ∃R.{a} ≥ nR ≤ nR R−

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RDF/XML-Darstellung

OWL-Syntax f¨ur Axiome:

Mensch u Weiblich in XML-Notation

≤ 2hatKind> in XML-Notation: 2

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Syntax in DL C1 v C2 C1 ≡ C2 R1 v R2 R1 ≡ R2 C1 u C2 ≡ ⊥ bzw. C1 u ¬C2 {a1 } ≡ {a2 } {a1 } ≡ ¬{a2 } definiert e. transitive Rolle definiert e. funktionale Rolle definiert e. inverse funktionale Rolle definiert e. symmetrische Rolle

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Reasoner f¨ur OWL-Ontologie (Auswahl)

Komplexit¨at

Racer (http://www.racer-systems.com/),

OWL-Variante OWL Lite OWL DL

FaCT++ (http://owl.man.ac.uk/factplusplus/) Pellet (http://pellet.owldl.com/).

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Konstruktor subClassOf equivalentClass subPropertyOf equivalentProperty disjointWith sameAs differentFrom TransitiveProperty FunctionalProperty InverseFunctionalProperty SymmetricProperty

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passende DL SHIN (D) SHOIN (D)

Subsumption- und Konsistenztest EXPTIME-vollst¨andig NEXPTIME-vollst¨andig

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Nochmal: Anwendung der DL Ausdrucksschwache Beschreibungslogik EL: C ::= > | A | C u D | ∃R.C Fragestellung: ¨ Uberpr¨ ufung der Konsistenz einer Menge von Konzepten ¨ Uberpr¨ ufung der Erweiterbarkeit einer Menge von Konzepten. Die Subsumption in EL ist polynomiell und damit anwendungsgeeignet. Passt zu: SNOMED CT (ein Akronym f¨ ur Systematized Nomenclature of Medicine – Clinical Terms)

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