Estadística para la Administración Tarea: Intervalo de Confianza
Salazar Rosales Leandro Julián
INTERVALO DE CONFIANZA Intervalo de Confianza: Rango de valores situados alrededor del parámetro muestral entre los cuales se situará el parámetro poblacional que estamos estimando, con una probabilidad 1- (nivel de confianza), donde es el error aleatorio que queremos cometer.
Un intervalo de confianza es, pues, una expresión del tipo [ 1, 2] ó 1 2, donde es el parámetro a estimar. Este intervalo contiene al parámetro estimado con una determinada certeza o nivel de confianza 1- . Dicho de otra forma, es el intervalo dentro del que se encuentra la verdadera magnitud del efecto (nunca conocida exactamente) con un grado prefijado de seguridad, suponiendo que el estudio sea válido. A menudo se habla de "intervalo de confianza al 95%" (o "límites de confianza al 95%"). Quiere decir que dentro de ese intervalo se encontraría el verdadero valor en el 95% los casos. Al ofrecer un intervalo de confianza se da por supuesto que los datos poblacionales se distribuyen de un modo determinado. Es habitual que lo hagan mediante la distribución normal.
2006
-1-
Estadística para la Administración Tarea: Intervalo de Confianza
1. Intervalo de confianza para conoce .
Salazar Rosales Leandro Julián
de poblaciones con distribución normal, cuando se
σ σ x − zα < µ < x + zα n n 2 2
El departamento de confiabilidad desea determinar el intervalo de confianza del Tiempo Medio Entre Fallas (MTBF) de todas las IDG´s (Integrated Drive Generator) de la flota B737, considerando un nivel de confianza del 95%, que se comporta como una distribución normal y sabiendo que el fabricante de dicho equipo reporta que la desviación estándar de la población es de 320 horas de vuelo y que el departamento de confiabilidad sabe que el MTBF de las 13 IDG´s removidas es de 167,000 horas vuelo.
x = 167,000 horas vuelo = 320 horas vuelo n = 13 IDG´s zα/2 = 1.96 (95%)
320 320 167,000 − 1.96 < µ < 167,000 + 1.96 13 13
166,826 < µ < 167,174
2006
-2-
Estadística para la Administración Tarea: Intervalo de Confianza 2. Intervalo de confianza para grandes.
Salazar Rosales Leandro Julián
de poblaciones cuando se desconoce
, muestras
s s x − zα < µ < x + zα n n 2 2 Un grupo de criadores de truchas de estanque desea conocer el intervalo de 99% de confianza para estimar el peso medio poblacional. Tomando como base una muestra de 250 truchas se obtuvo un peso medio de 5.2 Kilogramos, siendo la desviación estándar de 0.232 Kilogramos.
x = 5.2 Kilogramos s = 0.232 Kilogramos n = 250 truchas zα/2 = 2.5758 (99%)
0.320 0.320 5.2 − 2.5758 < µ < 5.2 + 2.5758 250 250 5.1478 < µ < 5.2521
2006
-3-
Estadística para la Administración Tarea: Intervalo de Confianza
3. Intervalo de confianza para pequeñas.
Salazar Rosales Leandro Julián
de poblaciones cuando se desconoce
, muestras
s s x − tα < µ < x + tα n n 2 2 Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15 estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534, 523, 452, 464, 562, 584, 507, 461. Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine un intervalo de confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.
x = 505.353 s = 43.8448 n = 17 tα/2 = 2.12 (con 16 gl y 0.025α/2)
43.8448 43.8448 505.353 − 2.12 < µ < 505.353 + 2.12 17 17 482.809 < µ < 527.897
2006
-4-
Estadística para la Administración Tarea: Intervalo de Confianza 4. Intervalo de confianza para 2 2 cuando se conocen 1 y 2 .
(x
1
1
-
Salazar Rosales Leandro Julián de poblaciones con distribuciones normales,
2
σ 2 σ 2 − x 2 ) − z α 1 + 2 < µ1 − µ 2 < (x1 − x 2 ) + z α n1 n 2 2 2
σ 12 σ 22 + n1 n 2
Se desea conocer el intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales a un nivel de confianza del 95% de la vida útil de dos aceites lubricantes para motores a diesel. Se asume que estos datos provienen de poblaciones con distribuciones normales y se conocen los siguientes datos:
x1 = 12 miles de Km
x 2 = 11 miles de Km
σ 1 = 0.50 miles de Km
σ 2 = 0.23 miles de Km
n1 = 215
n2 = 215
zα / 2 = 1.96
zα / 2 = 1.96
(12 − 11) − 1.96
0.50 0.23 0.50 0.23 + + < µ1 − µ2 < (12 − 11) + 1.96 250 250 250 250
0.8940 < µ1 − µ 2 < 1.1059
2006
-5-
Estadística para la Administración Tarea: Intervalo de Confianza 5. Intervalo de confianza para muestras grandes.
(x
1
1
-
2
Salazar Rosales Leandro Julián de poblaciones, cuando se desconocen
s2 s2 − x 2 ) − z α 1 + 2 < µ1 − µ 2 < (x1 − x 2 ) + z α n1 n2 2 2
12 y 22,
s12 s 22 + n1 n2
Una compañía que fabrica productos de plástico está investigando la eficiencia de dos máquinas de inyección diferentes, pero con capacidades muy similares, para mejorar la productividad de producción. Se producen 125 piezas idénticas y con el mismo tipo de plástico en los dos tipos de máquinas, y se anota el tiempo que tardan, produciendo los siguientes resultados en minutos:
x1 = 2.31
x 2 = 2.28
s1 = 0.24
s2 = 0.43
n1 = 125
n2 = 125
zα / 2 = 2.5758
zα / 2 = 2.5758
Se asume que estos datos provienen de poblaciones con distribuciones normales de medias y varianzas desconocidas y diferentes entre si. Calcular el intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales a un nivel de confianza del 99%.
(2.31 − 2.28) − 2.575
0.24 0.43 0.24 0.43 + + < µ1 − µ 2 < (2.31 − 2.28) + 2.575 125 125 125 125
− 0.15858 < µ1 − µ2 < 0.21858
2006
-6-
Estadística para la Administración Tarea: Intervalo de Confianza 6. Intervalo de confianza para 1 12 y 22, pero se sabe que 12 =
(x
1
2
Salazar Rosales Leandro Julián de poblaciones normales, cuando se desconocen
22, muestras pequeñas.
1 1 − x 2 ) − t α (s p ) + < µ1 − µ 2 < (x1 − x 2 ) + t α (s p ) n1 n2 2 2
1 1 + n1 n2
Queremos estudiar la influencia que puede tener el tabaco con el peso de los niños al nacer. Para ello se consideran dos grupos de mujeres embarazadas (unas que fuman un paquete al día y otras que no) y se obtienen los siguientes datos sobre el peso X, de sus hijos:
En ambos grupos los pesos de los recién nacidos provienen de sendas distribuciones normales de medias desconocidas, y con varianzas que si bien son desconocidas, podemos suponer que son las mismas. Calcular en cuanto influye el que la madre sea fumadora en el peso de su hijo, considerando un nivel de confianza de 95%.
sp =
s1 (n1 − 1) + s2 (n2 − 1) 0.52 (35 − 1) + 0.82 (27 − 1) = = 0.6473 n1 + n2 − 2 35 + 27 − 2 2
2
(3.6 − 3.2) − 2(0.6473)
1 1 1 1 + < µ1 − µ 2 < (3.6 − 3.2 ) + 2(0.6473) + 35 27 35 27
0.06839 < µ1 − µ2 < 0.7316
2006
-7-
Estadística para la Administración Tarea: Intervalo de Confianza 7. Intervalo de confianza para 1 12 y 22, pero se sabe que 12 ≠
(x
1
2
Salazar Rosales Leandro Julián de poblaciones normales, cuando se desconocen
22, muestras pequeñas.
s2 s2 − x 2 ) − t α 1 + 2 < µ1 − µ 2 < (x1 − x 2 ) + t α n1 n 2 2 2
s12 s 22 + n1 n2
PPG fabricante de pinturas automotrices está desarrollando dos tipos diferentes de pintura con pigmentos, solventes y aditivos de última generación que le dan a la pintura más brillo, dureza y son más resistentes a la abrasión y decoloración que las pinturas convencionales, y desea saber la eficiencia en el secado para mejorar la productividad de las armadoras de autos. Para ello realiza doce pruebas de secado a cada uno de los compuestos, produciendo los siguientes datos en minutos: Pintura 1
68
64
84
56
72
96
64
56
84
92
52
72
Pintura 2
72
56
76
54
92
84
55
52
76
96
63
80
Se asume que estos datos provienen de poblaciones con distribuciones normales de medias y varianzas desconocidas y diferentes entre si. Calcular el intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales a un nivel de confianza del 99%.
x1 = 71.6667
x 2 = 71.3333
s1 = 14.5185
s2 = 15.2574
n1 = 12
n2 = 12
tα / 2 = 2.718
tα / 2 = 2.718
(71.66 − 71.33) − 2.718
14.51 15.25 14.51 15.25 + + < µ1 − µ 2 < (71.66 − 71.33) + 2.718 12 12 12 12
− 3.94812 < µ1 − µ 2 < 4.61479
2006
-8-
Estadística para la Administración Tarea: Intervalo de Confianza
Salazar Rosales Leandro Julián
8. Intervalo de confianza para d = 1 - 2 de poblaciones normales, cuando se 2 2 desconocen 1 y 2 , pero se sabe que son observaciones pareadas, muestras pequeñas.
s s x d − tα d < µd < x d + tα d n 2 n 2 Se hizo un estudio para definirse si los ejercicios aeróbicos reducen el ritmo cardiaco de una persona durante el descanso, y al examinar a diez voluntarios antes y después de seguir un programa de ese tipo durante seis meses, sus pulsaciones, en latidos por minuto, dieron los siguientes registros: Voluntario
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Antes
73
77
68
62
72
80
76
64
70
72
68
72
64
60
71
77
74
60
64
68
Después
Se asume que estos datos provienen de poblaciones con distribuciones normales de medias y varianzas desconocidas. Calcular el intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales a un nivel de confianza del 95%.
x d = 3.6 sd = 1.5776 n = 10 tα / 2 = 2.262
1.5776 1.5776 3.6 − 2.262 < µd < 3.6 + 2.262 10 10 2.4715 < µ d < 4.7284
2006
-9-
Estadística para la Administración Tarea: Intervalo de Confianza 9. Intervalo de confianza para
(n − 1)s 2 < σ 2 < (n − 1)s 2 2 2 χα / 2
Salazar Rosales Leandro Julián
2 de poblaciones normales, muestras pequeñas.
χ 1−α / 2
Se quiere estimar un intervalo de confianza al nivel de significación del 95%, para la varianza de la altura de los individuos de una ciudad. En principio sólo sabemos que la distribución de las alturas se comporta como una distribución normal. Para ello se toma una muestra de n=25 personas y se obtiene:
x = 170metros s = 10centimetros n = 25
χα2 / 2 = 39.3641 χ12−α / 2 = 12.4011
(25 − 1)102 < σ 2 < (25 − 1)102 39.3641
12.4011
60.9693 < σ 2 < 193.531
2006
- 10 -
Estadística para la Administración Tarea: Intervalo de Confianza 10. Intervalo de confianza para
s12 2 s2
Salazar Rosales Leandro Julián
12 / 22 de poblaciones normales, muestras pequeñas.
σ 2 s2 1 < 12 < 12 f α / 2 (ν 2 ,ν 1 ) f α / 2 (ν 1 ,ν 2 ) σ 2 s 2
Una compañía fabrica propulsores para uso en motores de turbina. Al ingeniero de manufactura le gustaría seleccionar el proceso que tenga la menor variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una muestra de 16 partes del primer proceso, la cual tiene una desviación estándar de 4.7 micropulgadas; y una muestra aleatoria de 12 partes del segundo proceso, la cual tiene una desviación estándar de 5.1 micropulgadas. Se desea encontrar un intervalo de confianza del 90% para el cociente de las dos varianzas. Suponga que los dos procesos son independientes y que la rugosidad de la superficie está distribuida de manera normal.
s1 = 4.7
s2 = 5.1
n1 = 16
n2 = 12
fα / 2 (ν 1 ,ν 2 ) = 2.719
fα / 2 (ν 2 ,ν 1 ) = 2.507
4. 7 2 1 σ 12 4.7 2 2 < 2 < 2 2.507 5 . 1 2 . 719 σ 2 5.1 0.31235
