WYKŁAD 6 RZUTOWANIE
Plan wykł wykładu: • Ukł Układ wspó współrzę rzędnych, ogó ogólne zasady rzutowania • Rzutowanie ró równoległ wnoległe • Rzutowanie perspektywiczne • Ogó Ogólny przypadek rzutowania Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
1. Ukł Układ wspó współrzę rzędnych, ogó ogólne zasady rzutowania Lewoskrętny układ współrzędnych i rzutnia: y z
Π
rzutnia (ekran)
x
oś x y → z oś y z → x oś z x → y
obserwator
Jeśli patrzymy z dodatniego kierunku osi w stronę środka układu współrzędnych, to obrót o 90° w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, przekształci jedną dodatnią oś w drugą. Wartości współrzędnej z są większe dla punktów leżących dalej od obserwatora. Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
1
Zadanie rzutowania: Dane: • opis obiektu w układzie współrzędnych •
płaszczyzna rzutowania (rzutnia
Π ).
xyz.
Jak uzyskać obraz obiektu na rzutni ? Stosuje się zwykle jeden z dwóch sposobów rzutowania. 1.
y
P2
Π
P1
rzutnia
P2 ’
z
x
P1 ’
obserwator
Rzutowanie równoległe Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
Punkty P1 i P2 zostały przeniesione na rzutnię, wzdłuż prostych równoległych. Punkty przecięcia prostych rzutowania z rzutnią są obrazami rzutowanych punktów. 2.
P2
y Π
P1
P2 ’
z
rzutnia
x
P1 ’ obserwator (środek projekcji)
Rzutowanie perspektywiczne Punkty P1 i P2 zostały przeniesione na rzutnię, wzdłuż prostych przecinających się w jednym punkcie (środku projekcji). Punkty przecięcia prostych rzutowania z rzutnią są obrazami rzutowanych punktów. Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
2
2. Rzutowanie równoległe Wyróżnia się zwykle dwa przypadki : • proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem prostym (rzut pionowy), • proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem innym niż kąt prosty (rzut ukośny). 2.1. Rzut pionowy Proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem prostym. y (1,2,2)
Przykład:
(2,2,2)
(1,2,1) (2,2,1)
Obiekt - sześcian jednostkowy Rzutnia Π - płaszczyzna (x-y)
(2,1,2) (1,1,1)
(2,1,1)
z x Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
Jeśli proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem prostym, to rzut obiektu wygląda następująco. y
x
Jeśli rzutnią Π jest płaszczyzna (x-y), to równania opisujące związek między współrzędnymi rzutowanego punktu (x,
y, z) a
współrzędnymi jego rzutu (xp, yp, zp) przyjmują postać
xp = x yp = y zp = 0 Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
3
Własności obrazów wykonanych techniką rzutu pionowego: • rzuty odcinków równoległych do rzutni mają taką samą długość jak te odcinki, • rzuty odcinków prostopadłych do rzutni są punktami. Zastosowanie rzutu pionowego - rysunek techniczny. Definiując rzutnie jako płaszczyzny (x-y), (x-z), (y-z) , bądź płaszczyzny do nich równoległe, można uzyskać rzuty z przodu, z boku, z góry itd. Dla przykładu: y
z
z
x
rzut z góry
rzut z boku
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
2.2. Rzut ukośny Proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem innym niż kąt prosty. Jak jednoznacznie zorientować proste rzutowania względem rzutni ? y
Π (xp, yp )
(x, y, z ) z
α
L Φ
x
(x, y)
Aby jednoznacznie zorientować prostą rzutowania względem rzutni, prócz kąta α trzeba zadać dodatkowy parametr np. kąt Φ . Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
4
Z rysunku widać, że
Π
y
x p = x + L cosΦ y p = y + L sinΦ
(xp, yp )
(x, y, z ) α
z
L Φ
(x, y)
podstawiając
tgα =
x
z 1 = L L1
i dalej
L = z L1
uzyskuje się równania
cosΦ x p = x + z ( L1 cosΦ ) = x + z tgα sinΦ y p = y + z( L1 sinΦ ) = y + z tgα Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
Parametrami definiującymi rzut ukośny są wiec kąt Φ i odległość
L1 = 1 / tg α
lub para kątów Φ i α.
Dla przykładu sześcianu jednostkowego, można pokazać interpretację parametrów rzutowania na utworzonym obrazie. y
Π
L1 Φ x Powyższy rysunek wyjaśnia także metodę konstrukcji rysunkowej rzutu ukośnego sześcianu. Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
5
Przykład: Wyprowadzone wcześniej równania pozwalają na wykonywanie rzutów ukośnych dla dowolnych zestawów parametrów L1 i Φ. W praktyce stosuje się jednak najczęściej pewne typowe zestawy parametrów rzutowania. Wykonane zostaną cztery rzuty ukośne sześcianu jednostkowego. y (1,2,2)
(2,2,2)
(1,2,1) (2,2,1) (2,1,2) (1,1,1)
(2,1,1)
z x
Sześcian, którego rzuty zostaną narysowane Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
1.
L1 = 1 / tgα = 1 , α = 45 o (rzut kawaleryjski) y
y
x
x
Φ = 45 Φ = 30 o 2. L1 = 1 / tgα = 1 / 2 , α ≈ 63 o (rzut gabinetowy) y
o
y
x
Φ = 30
o
x
Φ = 45
o
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
6
3. Rzutowanie perspektywiczne Jak na płaszczyźnie zobrazować obiekty trójwymiarowe, aby obserwator patrzący na taki obraz odniósł wrażenie, że widzi świat trójwymiarowy ? Niektóre czynniki jakie należy uwzględnić przy próbie osiągnięcia wrażenia „przestrzenności” na obrazie płaskim: • Geometria obrazu - obiekty, które są w rzeczywistości dalej, wydają się mniejsze, - linie, które są w rzeczywistości równoległe, wydają się zbieżne. • Wpływ oświetlenia sceny na to, co widzi obserwator - oświetlenie powierzchni obiektów sceny, - interakcje świetlne pomiędzy obiektami, cienie. Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
Przykład (miniatura średniowieczna):
La Somme le Roy (1290) British Museum, London Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
7
Filip Brunelleschi (1377-1446) - architekt, rzeźbiarz
Kopuła katedry we Florencji
Baptysterium św. Jana
Filip Brunelleschi jest uważany za odkrywcę świadomie stosowanej metody rzutu perspektywicznego. Narysował on obraz perspektywiczny baptysterium św. Jana posługując się systemem dwóch zwierciadeł. Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
Paweł Uccello (1397-1475) - malarz
P. Uccello – Bitwa pod san Romano Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
8
Masaccio (1401-1428) - malarz
Masaccio – Grosz czynszowy
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
Rafael Santi (1483-1520) - malarz
Rafael – Szkoła ateńska Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
9
Urządzenie do wykonywania rzutów perspektywicznych: Albrecht Dürer (1471- 1528)
Pouczenie o mierzeniu cyrklem i linią - 1525 r. Przy pomocy trzech nici możesz przenieść na obraz każdą rzecz, którą [tymi nićmi] można dosięgnąć i narysować na desce. Czyń tedy tak: jeśli jesteś w sali, wbij w ścianę dużą szpilę z dużym uchem i przyjmij, że to jest oko. Przez to [ucho] przeciągnij mocną nić i zawieś u dołu na niej ołowiany ciężarek: Potem postaw stół lub deskę tak daleko jak zechcesz od ucha szpili, w której jest nić. Ustaw na tym [stole] prostą [pionową] ramę poprzecznie do ucha szpili , wyżej lub niżej, w jaką zechcesz stronę, a w tej ramie niech będą drzwiczki, które można by otwierać i zamykać. Przybij do nich dwie nici, które by były tak długie jak pionowa rama jest szeroka i długa, u góry i pośrodku ramy i zostaw by tak wisiały. Potem zrób długi metalowy sztyft, który na przedzie, na ostrzu miałby uch igielne; przewlecz przezeń długą nić, która przeciągnięta jest przez ucho szpili w ścianie i przenieś igłę i długą nić przez ramę na zewnątrz. Daj ją komuś innemu do ręki i pilnuj dwóch innych nici, które wiszą przy ramie. A teraz używaj ich tak: połóż lutnię czy cokolwiek ci się podoba tak daleko od ramy, jak zechcesz byleby leżała bez zmiany tak długo jak będziesz jej potrzebował. Każ teraz pomocnikowi naciągać igłę z nicią do najbardziej istotnych punktów lutni. A ile razy zatrzyma się ona na którymś z tych punktów i napnie długą nić, naciągnij zawsze dwie nici przy ramie na krzyż, w miejscu [gdzie przechodzi] długa nić, i przylepiaj je w obu miejscach woskiem do ramy, a do pomocnika wołaj by popuścił długą nić. Wtedy zamykaj drzwiczki i wrysowuj na desce ten sam punkt w miejscu gdzie nici się krzyżują. Potem otwieraj znów drzwiczki i czyń tak samo z innym punktem - aż wypunktujesz całą zupełnie lutnię na desce. Potem połącz liniami wszystkie punkty lutni, które znajdują się na desce - wówczas zobaczysz, co z tego wyjdzie. Możesz w ten sposób odrysować i inne rzeczy. Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
10
drzwiczki
ucho
rama długa nić
(xp ,yp)
(x, y, z) krótkie nici ciężarek Jak wyrazić związek między współrzędnymi punktu (x,
y, z )
a współrzędnymi jego rzutu ( xp, yp ) przy pomocy równań ? Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
y (x, y, z ) z
x (xp, yp, 0) (x’, y’, z’) d
środek projekcji
Zależność pomiędzy współrzędnymi punktu (x,
(x’,
y’, z’
y, z ) a punktu
) opisuje układ równań parametrycznych
x′ = x − xu y′ = y − yu z′ = z − ( z + d )u
0≤u≤1
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
11
Aby wyznaczyć współrzędne punktu rzutu (xp, yp, obliczyć u, dla którego
0 ) należy więc
z′ = z − ( z + d )u = 0
Rozwiązaniem równania jest
u=
z z+d
Podstawiając obliczone u do układu równań parametrycznych opisujących współrzędne punktu (x’, równania,
y’, z’) otrzymuje się
d x p = x z+d d yp = y z+d Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
Jak wyglądają obrazy perspektywiczne ? Przykład: y
(1,2,2)
(1,2,1)
(2,2,2)
(2,2,1) (2,1,2)
(1,1,1)
(2,1,1)
z x
y
y
d=3 Gdy d
x
d = 20
x
→ ∞ rzut perspektywiczny staje się rzutem pionowym. Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
12
4. Ogó Ogólny przypadek rzutowania W poprzednich rozważaniach rzutnia leżała na płaszczyźnie
(x-y). Co zrobić gdy rzutnia jest usytuowana inaczej ? Jaki będzie w takim przypadku efekt rzutowania ? Sformułowanie problemu: 1. Dany jest układ prostokątny współrzędnych zewnętrznych (world coordinates) i opisany w tym układzie obiekt. 2. W układzie współrzędnych zewnętrznych opisany jest drugi układ współrzędnych prostokątnych zwany układem obserwatora (viewing coordinates). Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
Model syntetycznej kamery:
xw, yw, zw – układ zewnętrzny
yw yv
xv
obiekt
zv
xv, yv, zv – układ obserwatora
xw zw
Rozwiązanie:
1. Zapisać obiekt w układzie współrzędnych obserwatora (przeliczyć współrzędne obiektu z układu (xw, yw, zw ) na układ (xv, yv, zv
).
2. Wykonać rzutowanie (np. perspektywiczne) na płaszczyznę (xv - yv ) . Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
13
Aby wykonać krok 1 najlepiej jest określić transformacje złożoną (z transformacji elementarnych). Składanie transformacji elementarnych może odbywać się według następującej procedury: 1. Przesunięcie środka układu obserwatora do środka układu współrzędnych zewnętrznych. 2. Obrót przesuniętego układu obserwatora wokół osi xw , tak aby oś zv znalazła się na płaszczyźnie (xv-zv ). 3. Obrót układu obserwatora wokół osi yv , tak by oś zv pokryła się z osią zw . 4. Obrót układu obserwatora wokół osi zw , aby osie xv i pokryły się z osiami xw i yw.
yv
Pewnym problemem przy wykonaniu złożenia transformacji może być wyznaczenia kątów obrotu. Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
Zastosowanie dla rzutu perspektywicznego: Klasyfikacja rzutów perspektywicznych Kryterium klasyfikacji - liczba osi układu współrzędnych zewnętrznych ( xw, yw, zw ) , które przecinają rzutnię ( xv- yv). yw yw yv obiekt
obiekt
yv
zv xv
zw
xv
zv
xw
xw zw
jedna oś (zw) przecina rzutnię
trzy osie przecinają rzutnię
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
14
Jak wyglądają obrazy perspektywiczne dla różnych położeń rzutni ? 1. Perspektywa jednopunktowa (rzutnia (xv płaszczyźnie (xw-
yv ) leży na
yw) ). yv
Pozorny punkt zbieżności
xv Sześcian (z poprzednich przykładów) w perspektywie jednopunktowej Na obrazie perspektywicznym proste, na których leżą obrazy niektórych krawędzi sześcianu zbiegają się w jednym punkcie (pozorny punkt zbieżności, vanishing point). Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
Canaletto (1735 - 45) - Plac św. Marka w Wenecji Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
15
2. Perspektywa dwupunktowa. Dwie osie układu współrzędnych zewnętrznych ( xw, yw, zw ) przecinają rzutnię ( xv- yv )
P1
P2
yv
xv Sześcian jednostkowy w perspektywie dwupunktowej Na obrazie perspektywicznym sześcianu pojawiły się dwa pozorne punkty zbieżności. Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
E. Hopper (1923) - The Mansard Roof Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
16
3. Perspektywa trójpunktowa. Trzy osie układu współrzędnych zewnętrznych ( xw, yw, zw ) przecinają rzutnię ( xv- yv ) yv
xv Sześcian jednostkowy w perspektywie trójpunktowej Na obrazie perspektywicznym sześcianu można zaznaczyć trzy pozorne punkty zbieżności.
Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
G. O'Keefe (1926) - City Night Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
17
Przykład:
Pietro Lorenzetti (1432) - Birth of Mary Hans Memling (1490) - Flower still-life Jacek Jarnicki - Instytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocł Wrocławskiej
18
