Risikoarme Kapitalanlage am Deutschen Aktienmarkt von Dr. Hans Uhlig ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Zusammenfassung: DAX-Kurse enthalten Informationen über die nahe Zukunft, im Bereich weniger Wochen, jedoch nicht über lange Zeiträume von einem halben Jahr oder länger. Die Informationen lassen sich für Trendschätzungen nutzen und ermöglichen dadurch risikoarme und dennoch ertragreiche Kapitalanlagen am Aktienmarkt. Der Informationsgehalt der Kurse wurde durch Vergleich mit Surrogatdaten ermittelt und mit Hilfe etablierter Verfahren aus der Informationswissenschaft (Chi²-Test auf Unabhängigkeit, Informationsentropietest und Transinformationstest) quantifiziert. Geeignete Bewertungsfaktoren zur Bestimmung robuster Trends wurden mit Hilfe genetischer Algorithmen gefunden. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Die lange Phase der Kursverluste an den internationalen Aktienmärkten nähren bestehende Zweifel an der Eignung von Aktien als sicherer Kapitalanlage. Die Märkte scheinen sich auf niedrigem Niveau wieder gefangen zu haben, doch wie wird es weitergehen? Setzt der Aufwärtstrend wieder ein, etwa wie nach dem Crash 1987 oder werden wir Verhältnisse wie in Japan erleben, wo der Aktienmarkt sich seit mehr als zehn Jahren nicht stabilisieren konnte? - Ich weiß es nicht. Und ich bin überzeugt, auch niemand sonst weiß es. Mittlerweile häufen sich die Anzeichen dafür, daß Aktienmärkte chaotische Systeme sind. Und eine der wichtigsten Eigenschaften chaotischer Systeme ist ihre Unvorhersagbarkeit über längere Zeiträume. Kaufen und Behalten von Aktien im Glauben an den ewigen Aufwärtstrend ist jedenfalls keine verantwortungsbewußte Anlagestrategie. Risikobewußte Kapitalanlage in Aktien ist möglich, doch dazu müsste man die Engagements dem tatsächlichen Informationsstand anpassen und nicht allein den Hoffnungen und Wünschen über die künftige Kursentwicklung. Die Theorie der „effizienten Märkte“ geht davon aus, dass der Marktpreis zu jeder Zeit alle verfügbare Information über den jeweils aktuellen Zustand und die zu erwartende Entwicklung widerspiegelt. Nur neue, unerwartete Ereignisse sollen demnach den Kurs verändern. Diese Ereignisse träfen aber zufällig ein und darum sei eine Vorhersage unmöglich. Dank der Informationswissenschaft und der mathematischen Theorie der nichtlinearen Statistik ist man nicht auf Vermutungen angewiesen, um zu entscheiden, ob und wieviel Information in Daten steckt. Die nichtlineare Statistik führte lange ein Schattendasein, bis Chaosforscher erkannten, dass sie zum Unterscheiden zwischen komplexen, d.h. geordneten, aber nichtperiodischen dynamischen Systemen einerseits und zufällig eintretenden Ereignissen auf der anderen Seite, unverzichtbar ist. Mit Hilfe etablierter Verfahren, wie: dem Chi²-Test auf Unabhängigkeit, dem Test zur Bestimmung der Informationsentropie und dem Transinformationstest Iässt sich festellen, ob überhaupt Information in Daten enthalten ist und falls ja, wieviel. Es lässt sich sogar zeigen, wie schnell und mit welcher Dynamik die Information mit der Zeit abnimmt. Hier soll die Nullhypothese, d.h. die DAX-Daten enthalten keine Information über künftige Entwicklungen, mit den oben angesprochenen Tests durch Vergleich von Originaldaten des DAX mit jeweils fünf Surrogatdatenreihen geprüft werden. In der ersten Abbildung ist der Verlauf des DAX in linearer und logarithmischer Darstellung zu sehen. Man erkennt, dass in logarithmischer Darstellung der Langzeittrend durch eine Gerade gut angenähert werden kann.

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Wie sieht eine DAX-Kurve ohne den Trend aus? Eine einfache Methode, die Daten ohne Trend darzustellen, ist die Bildung der Quotienten (der Differenzen bei logarithmischer Darstellung) zwischen aufeinander folgenden Daten und das Auftragen dieser Werte gegen die Zeit. Der Trend ist natürlich enthalten, doch er bewirkt nur eine Verschiebung der ganzen Kurve nach oben. Sieht die Abfolge der Änderungen nicht wie zufällig aus?

Nehmen wir an, die Bewegungen seien zufällig. Wenn dies so wäre, könnte man die Reihenfolge der einzelnen Ereignisse nochmals (pseudo-)zufällig mischen, ohne die Vorhersagbarkeit zu verschlechtern. Mittelwert, Standardabweichung, Streubreite bleiben durch Austausche der Reihenfolge unberührt. Auf diese Weise erhaltene Daten nennt 2

man Surrogatdaten. In den folgenden Abbildungen werden jeweils Originaldaten und Surrogatdaten gegenübergestellt, um zu zeigen ob und wenn ja, wie sich der echte DAX von einem Zufalls-DAX unterscheidet. In der nächsten Abbildung sind der Original-DAX und fünf Surrogatversionen des DAX in logarithmischer Darstellung zu sehen. Man sieht, dass auch Surrogatdaten zu ähnlichen Indexverläufen führen können, wie die Originaldaten. Das ist natürlich kein Beweis für die „random-walk“ Hypothese.

Testet man auf Autokorrelation z.B mit dem Rangkorrelationstest nach Spearman, so misst man nicht nur lineare, sondern auch monotone Abhängigkeit. Dieser Test ist breiter anwendbar. als der bekanntere Produkt-Moment-Korrelationstest nach Pearson, da er keine normalverteilten Daten voraussetzt. Mit Spearmans Test wurde der echte 3

Indexverlauf mit den rekonstruierten Surrogatindizes verglichen. Die Grafik zeigt, dass in den ersten paar Wochen praktisch keine Unterschiede zwischen Original und Surrogaten erkennbar sind. Längerfristig betrachtet scheinen die zufällig getauschten Daten sogar etwas besser mit sich selbst korrelieren, als die Originaldaten. Der Rangkorrelationstest kann zwar auch nichtlineare Abhängigkeiten zwischen Daten erkennen, aber nur monotone. Die folgenden Tests unterliegen dieser Einschränkung nicht.

Das Gegenteil von Information wird (Informations-)Entropie genannt. Sie drückt aus, wie unsicher wir über den Ausgang eines erwarteten Ereignisses sind. Hier zeigt die EntropieGrafik, wie unsicher unsere Vorhersagen im Durchschnitt sind, wenn wir DAX-Prognosen für eine Woche bis zu einem halben Jahr abgeben. Deutlich wird: Unsere Unsicherheit nimmt mit der Prognosezeit zu. Offenbar kann man nicht einmal für ein halbes Jahr eine Vorhersage abgeben, die diesen Namen verdient, also genauer ist als der Zufall. Aber für einen kurzen Zeitabschnitt ist unsere Unsicherheit geringer, als für einen Zufallsprozess zu erwarten wäre und für diese kurze Zeit sind bessere Vorhersagen möglich. In der Informationswissenschaft ist der Chi² - Test auf Unabhängigkeit einer der wichtigsten. Er mißt jede Art von Assoziation oder Abhängigkeit, seien sie linear oder nichtlinear. Er wird z.B. eingesetzt, um die Güte von Zufallszahlengeneratoren zu prüfen. Hohe Chi²-Werte zeigen starke Abhängigkeit an. Mit diesem Test wurden die Änderungen des DAX von Woche zu Woche daraufhin untersucht, ob diese einzelnen Änderungen untereinander in irgendeiner Weise abhängig sind. Die Surrogatdaten sollten keine Abhängigkeiten zeigen. Dies ist ein anderer Vergleich als bei der Rangkorrelation und dem Entropieprofil über die Zeit, denn dort wurde die Summe der Bewegungen über mehrere Wochen betrachtet. Dieser Test zeigt die größten Unterschiede in den ersten drei Wochen und noch einmal ein kleines Fenster nach etwa zwölf bis dreizehn Wochen. Bei den Surrogatdaten kann gelegentlich einmal ein Zufallsausreißer dabei sein, aber es ist immer nur ein isolierter Einzelwert. Doch nach etwa sechzehn Wochen sind Surrogatdaten und Originaldaten nicht mehr zu unterscheiden. Auch dieser Test zeigt, dass Vorhersagen, die über die statistischen Aussagen hinausgehen, zeitlich eng begrenzt sind.

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Ein weiterer Test, der Aufschluss darüber geben kann, ob die Änderungen des DAX von Woche zu Woche zufällig sind, oder eine innere Ordnung besitzen, ist der Test auf Transinformation. Die Transinformation ist grob gesagt die Differenz zwischen bedingter und unbedingter Entropie. Der Test gibt Auskunft darüber, wieviel Information im Mittel in den Daten enthalten ist. Das heißt, wie stark die Unsicherheit über künftige Ereignisse abnimmt, wenn wir diese Daten kennen. Man sieht, dass die Information über künftige Änderungen des DAX mit der zeitlichen Entfernung schnell abnimmt.

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Die Transinformation der Surrogatdaten verharrt etwa auf einem Niveau. Einzelne Ausreißer bleiben isoliert. Nun, was sagt uns das alles und was haben wir davon? Die eine Erkenntnis ist, dass langfristige Vorhersagen sehr unsicher sind. Wenn wir wissen wollen, wie der Index in einem halben Jahr steht, können wir dies den heutigen Daten nicht entnehmen. Wir könnten eine gleich gute Vorhersage durch Würfeln erhalten. Und das gilt nicht nur für unsere Vorhersagen, sondern auch für die Vorhersagen anderer, z.B. die der Berater. Auch sie können den Daten nicht mehr entnehmen, als darin steckt. Zwar wurden diese Untersuchungen hier auf der Basis von Wochenkursen vorgenommen und darin sind nicht alle verfügbaren Informationen enthalten. Tageskurse würden etwas bessere Prognosen zulassen, aber grundsätzlich ändern Tageskurse nichts am zeitlichen Rahmen der Vorhersagbarkeit. Doch die Vergleiche mit den Surrogatdaten zeigen auch, dass die echten Marktdaten Informationen über wahrscheinliche Ereignisse in der nahen Zukunft enthalten. Wenn die Daten also Informationen über die nahe Zukunft enthalten, dann können diese vielleicht helfen, den Trend zu identifizieren. Die Trendanzeige sollte robust sein, d.h. kleine Schwankungen ignorieren, aber sie sollte nicht zu träge sein, um rechtzeitig auf bevorstehende wesentliche Änderungen reagieren zu können. Da gilt es, einen geeigneten Kompromiß zu finden. Dass es geeignete Kompromisse gibt, zeigt die folgende Abbildung.

Aus den Daten der ersten Hälfte der Zeitreihe, bis Ende April 1990, wurde eine geeignete Trenderkennungsformel bestimmt, die den kurzfistigen Trend für eine Woche schätzt. Jede Woche wird danach entschieden, ob ein DAX-Anteil gekauft (gehalten), oder verkauft (nicht gekauft) werden soll. Die Grundlage für eine Entscheidung ist einfach: Gekauft bzw. gehalten wird, wenn der Trend positiv ist, man kauft nicht, bzw. verkauft, wenn der Trend negativ ist. Die Methode wurde in den darauffolgenden etwa elf Jahren auf ihre Brauchbarkeit hin geprüft und mit der Methode „Kaufen und Halten“ verglichen. In der Abbildung sehen Sie den DAX in logarithmischer Darstellung. Beginnend mit dem 5. Mai 1990 teilt sich die Kurve. Die Kurve des DAX wird in schwarz weitergeführt bis 24. August 2001. Die graue und die weiße Kurve zeigen die Erträge, die durch hypothetische Handelssysteme erzeugt würden. Der Unterschied zwischen der grauen und der weißen 6

Kurve ist der, dass „weiß“ einmal aussetzt, d.h. verkauft und einen positiven Trend ignoriert, falls in den beiden Wochen davor Verluste erlitten wurden. Beide Handelssysteme haben am 8. Juni 2001 verkauft und sind seit diesem Zeitpunkt aus dem Markt, bei einem starken Abwärtstrend. Die DAX-Verluste nach den Anschlägen in New York hätten Nutzer dieser Systeme nicht erleiden müssen. In der nachfolgenden „Performance“-Tabelle sind einige Kennzahlen der beiden hypothetischen Handelssysteme im Vergleich zur Methode „Kaufen und Halten“ angeführt, wie sie für seriöse Handelssysteme gefordert werden müssen. Kriterium

Kaufen und Halten

System „grau“

System „weiß“

Gewinnzuwachs Varianz

104,1 % 7,63 (%²)

117,1 % 3,63 (%²)

134,8 % 3,25 (%²)

Gewinnvergleich Varianzvergleich Gewinne varianzgleich

100% 100% 100%

109,6% 47,6% 230%

129,5% 42,6% 304%

investierte Zeit Transaktionen Kauf/Verkaufzyklen mittlere Zykluslänge

591 Wo. = 100% 2 1 591 Wochen

353 Wo. = 59,5% 100 50 7 Wochen

334 Wo. = 56,5% 110 55 6 Wochen

Gewinnwochen Verlustwochen Gewinn/Verlust = 0 Wochengewinn (Mittel) Wochenverlust (Mittel)

328 = 55,5 % 261 = 44,2 % 2 Wochen 2.09% -2.23%

201 = 56,9 % 151 = 42,8 % 1 Woche 1.99% -1.87%

193 = 57,8 % 140 = 41,9 % 1 Woche 2.00% -1.80%

Größter Einzelverlust kumul. Verlust 5 Wo. kumul. Verlust 10 Wo. kumul. Verlust 20 Wo. kumul. Verlust 40 Wo. kumul. Verlust 60 Wo. kumul. Verlust 80 Wo. kumul. Verlust 100 Wo

- 14,1% - 23,1% - 42,2% - 33,4% - 28,8% - 30,7% - 37,7% - 9,9%

- 9,5% -13,7% -14,1% -16,4% -21,2% -22,8% -18,7% - 5,9%

- 8,4% -12,1% -11,8% -14,7% -16,2% -17,8% -13,7% - 5,7%

Handelssysteme müssen Gewinne einbringen, aber sie sollen auch das Risiko mindern. Das Gewinnkriterium ist leicht einzusehen, doch bei den Risikokriterien gehen die Meinungen etwas auseinander. Manchmal wird die Varianz als Risikokriterium herangezogen, doch sie bewertet Verluste und Gewinne gleichermaßen als Risiko, was nicht besonders überzeugend wirkt. Sie ist aber ein gebräuchliches Kriterium und darum ist sie hier aufgeführt. Wichtige Risikomaße sind der größte Einzelverlust, hier der größte Verlust in einer Woche und der größte kumulative Verlust. Dafür addiert man nacheinander entstandene Verluste zusammen mit eventuell eingestreuten kleinen Gewinnen. Wenn die Verluste größer sind, als die Gewinne, dann wächst der Gesamtverlust mit der Zeit immer mehr an. Die Tabellenangaben zu kumulativen Verlusten besagen beispielsweise, dass der höchste angehäufte Verlust innerhalb jedes beliebigen Fünf-Wochen-Zeitraumes -23% war. D. h. es gab einen 5-Wochenzeitraum in den elf Jahren, in welchem zumindest für eine Woche der angehäufte Verlust bei -23% lag. Ähnliches gilt für die anderen Zeiträume. Dazu ist zu sagen, dass die kumulativen Verluste hier eher stichprobenartig und nicht lückenlos geprüft wurden. Es kann also sein, daß es irgendeinen Zeitraum gibt, in dem noch ein höherer kumulativer Verlust entstand. Für ein echtes Handelssystem müsste man die Zeiträume lückenlos prüfen.

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Die hier vorgestellten Handelssysteme sind, was Gewinne und Risiko angeht, in jedem Fall besser als „Kaufen und Halten“. Doch bei dieser Methode gibt es nur einen Zyklus und somit nur zwei Mal Transaktionskosten, während bei den Handelssystemen mehr als hundert Mal diese Kosten entstehen. Dem lässt sich entgegenhalten, dass die Systeme nur zu knapp 60% der Zeit investiert sind. Die restliche Zeit könnte das Kapital z.B. in Festgeld angelegt werden. Es ist kein Problem, auch die Transaktionskosten mit zu berücksichtigen. Doch da diese, je nach Broker bzw. Bank, verschieden sein können, wurde hier darauf verzichtet. Auch ein gutes Marktmodell kann zeitweilig versagen. Dies liegt nur zum Teil daran, dass Märkte keine abgeschlossenen Systeme sind, sondern auch äußeren Einflüssen unterliegen. Entscheidender ist, das Märkte keine mathematischen oder physikalischen Systeme sind, die nur der mathematischen Logik oder den Naturgesetzen gehorchen. Sie sind soziale Systeme, bei denen die Wechselwirkung unter den Teilnehmern über Informationsaustausch erfolgt. Und weil der Mensch nur in sehr begrenztem Umfang Information aufnehmen und verarbeiten kann, sind Fehler und Irrtümer häufig. Auch wenn diese Fehler oft später eingesehen und die Irrtümer dann bald wieder korrigiert werden, ist es ratsam, sich gegen unvorhersehbare Ereignisse abzusichern. Wie vorteilhaft es sein kann, seinen Verlust systematisch zu begrenzen, wird bei Methode „weiß“ deutlich, die vor allem bei Strukturbrüchen, d.h. wenn der Trend abrupt kippt, überlegen ist. Um den Trend zu schätzen, nutzt man hier nur die begrenzte Information in den Marktdaten und versucht daher auch nur kurzfristige Vorhersagen für eine Woche. Weil aber ein Trend anzudauern pflegt, erstrecken sich die Engagements am bzw. das Fernbleiben vom Markt in der Regel über mehrere Wochen, im Durchschnitt über 6-7 Wochen, je nach Handelssystem. So entstehen Transaktionskosten nicht jede Woche. Die Methode ist robust in mehrfacher Hinsicht: Sie funktioniert in Zeiten unterschiedlicher Volatilität. Sie kann auch mit Datenreihen arbeiten, die nicht durchgehend Wochenschlusskurse enthalten, sondern gelegentlich auch Kurse aus der Wochenmitte. Es ist kein teures Programm nötig und auch die Hilfe von „Analysten“ muss man nicht bemühen. Und die Methode funktioniert über viele Jahre unverändert, was für ein adaptives (lernfähiges) dynamisches System, wie einen Markt, etwas überrascht. Auch mit anderen internationalen Indizes (jedoch mit unterschiedlichen Parametern) ist die Methode profitabel und sie sollte auch auf einzelne Aktien oder Marktsektoren anwendbar sein. Wer mehr darüber erfahren möchte, kann sich an den Autor wenden. Er ist unter http://www.hans-uhlig.de oder unter den email-Adressen [email protected] bzw. [email protected] zu erreichen. Dr. rer. nat. Hans Uhlig ist Wissenschaftsautor aus Hamburg. Von ihm sind unter anderem folgende Bücher erschienen: „Finanzprognosen mit Neuronalen Netzen“, Verlag Franz Vahlen, 1995 und „Finanzmarktanalyse - Neue Ansätze aus der Chaosforschung“, Verlag Franz Vahlen, 1999.

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