Resistencia de los Materiales Clase 4: Torsi´ on y Transmisi´ on de Potencia
Dr.Ing. Luis P´erez Pozo
[email protected]
Pontificia Universidad Cat´ olica de Valpara´ıso Escuela de Ingenier´ıa Industrial
Primer Semestre 2012
Objetivo de esta Clase Estudiar los esfuerzos y las deformaciones en elementos de secci´on transversal circular sometidos a cargas torsionales. Determinar la potencia transmitida mediante un eje.
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Torsi´ on Esfuerzos Cortantes por Torsi´ on Esfuerzos en Planos Oblicuos Problemas
´ Angulo de Torsi´ on Transmisi´ on de Potencia Rotacional Problemas
Torsi´ on
Esfuerzos Cortantes por Torsi´ on
Introducci´on
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Torsi´ on
Esfuerzos Cortantes por Torsi´ on
Introducci´on
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Esfuerzos Cortantes por Torsi´ on
Introducci´on
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Torsi´ on
Esfuerzos Cortantes por Torsi´ on
Esfuerzos Cortantes por Torsi´on
tan γc
=
tan γ
=
BB 0 c·θ = L L DD0 ρ·θ = L L θ := ´ angulo de torsi´ on.
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Torsi´ on
Esfuerzos Cortantes por Torsi´ on
Esfuerzos Cortantes por Torsi´on
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Torsi´ on
Esfuerzos Cortantes por Torsi´ on
Esfuerzos Cortantes por Torsi´on Por otro lado: tan γc ≈ γc tan γ ≈ γ (Peque˜ nas Deformaciones) Adem´as, θc = θ
γc γ = c ρ
γc · L γ·L = c ρ Aplicando la ley de Hooke se tiene, τc τ τ = γ= c · Gc ρ·G G
τc τ = = cte c ρ
Materiales Homog´eneos e Isotr´ opicos Prof. Luis P´ erez Pozo (PUCV)
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Torsi´ on
Esfuerzos Cortantes por Torsi´ on
Esfuerzos Cortantes por Torsi´on
Los esfuerzos cortantes son proporcionales a su distancia al centro geom´etrico del eje.
τ=
ρ · τc c
Variaci´ on del τ en el plano transversal.
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Torsi´ on
Esfuerzos Cortantes por Torsi´ on
Esfuerzos Cortantes por Torsi´on T
= = = =
R RA ρτc· τ ·2A ·ρ ·A AR c τ 2 ρ ·A ρ A τ · J ρ J := Momento Polar de Inercia con respecto al eje geom´ etrico longitudinal.
F´ ormula de Torsi´on τ=
T ·ρ J
τ := Esfuerzo cortante a una distancia ρ del centro geom´ etrico del eje. T := Momento Torsor.
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Torsi´ on
Esfuerzos Cortantes por Torsi´ on
Momento Polar de Inercia para secciones circulares
Eje macizo 4
J=
Eje hueco 4
π·d π·c = 32 2
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J= EII-342: RM
π · (d42 − d41 ) π · (c42 − c41 ) = 32 2 Primer Semestre 2012
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Esfuerzos Cortantes por Torsi´ on
Esfuerzos en Planos Oblicuos
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Torsi´ on
Esfuerzos Cortantes por Torsi´ on
Esfuerzos en Planos Oblicuos Se deduce que: 1
2
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Los esfuerzos cortantes son m´ aximos en los planos transversales y longitudinales diametrales, y corresponden a los entregados por la f´ormula de torsi´ on. Los esfuerzos principales ocurren en los planos cuya normal est´a a 45◦ con el eje longitudinal del eje. El esfuerzo normal m´ aximo es de tracci´ on y el esfuerzo normal m´ınimo es de compresi´ on, y ambos son de igual magnitud que el esfuerzo cortante m´ aximo.
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Esfuerzos en Planos Oblicuos
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Esfuerzos en Planos Oblicuos
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Problemas
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Torsi´ on
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Problema 1 Determine el m´ aximo esfuerzo de corte en el eje de 30 mm de di´ametro.
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Torsi´ on
Esfuerzos Cortantes por Torsi´ on
Problema 2
Si el torque aplicado al eje CD es T 0 = 75 N · m, determine el m´aximo esfuerzo de corte en cada eje. Los apoyos B, C y D no generan roce.
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Torsi´ on
´ Angulo de Torsi´ on
´ Angulo de Torsi´on
Recordar!!! γ=
ρ·θ L
τ=
T ·ρ J
τ =G·γ
G·ρ·θ T ·ρ = L J ´ Angulo de Torsi´ on θ=
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T ·L J ·G
L:
Largo del Eje o del tramo en que act´ ua T
G:
M´ odulo de Rigidez
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Torsi´ on
Transmisi´ on de Potencia Rotacional
Transmisi´on de Potencia Rotacional Considerando el torque T constante, el trabajo de torsi´ on es ´ θ : Angulo de Torsi´ on
W =T ·θ
Por tanto, la potencia puede expresarse como W t = N = T · θt N =T ·ω N:
Potencia a Transmitir
T:
Torque Aplicado
ω:
Velocidad Angular
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F ·L T [F · L] 1 T
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Torsi´ on
Transmisi´ on de Potencia Rotacional
Transmisi´on de Potencia Rotacional
Unidades: 1 [hp] ≈ 1 [cv] ≈ 746 [Watt] ≈ 33000 [lb · pie/min] 2π [rad] = 1 [rev] Se obtiene: 33000 N · [lb · pie] 2π n N [Kp · cm] T = 71620 · n T =
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n
Velocidad de Rotaci´on (RPM)
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Problemas
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Torsi´ on
Transmisi´ on de Potencia Rotacional
Problema 3
The 304 stainless solid steel shaft is 3 m long and has a diameter of 50 mm. It is requiered to transmit 40 kW of power from the engine E to the generator G. Determine the smallest angular velocity the shaft can have if it is restricted not to twist more than 1,5 o .
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Torsi´ on
Transmisi´ on de Potencia Rotacional
Problema 4 El sistema mostrado en la figura transmite 3 kW del punto A al punto D. Los radios de las poleas B y C son 30 mm y 120 mm, respectivamente. Usando un esfuerzo de corte admisible τadm = 65 M P a, determine la velocidad angular ω rad aceptable del eje AB. seg
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