Renata Bednarz Matematyka od podstaw do matury czyli Everest w zasie,gu Twojej dÃloni Na portalu Matematyka.pl (http://www.matematyka.pl/225001,275.htm) rozwine,lÃa sie, jaki´s czas temu dyskusja na temat ksia,z˙ ki Renaty Bednarz ,,Matematyka od podstaw do matury”. Do wypowiedzenia sie, w tej sprawie zostaÃlem w zasadzie zmuszony przez swoich student´ ow zbulwersowanych tym, co zobaczyli. Ksia,z˙ ka dzie,ki dyskusji zdobyÃla pewna, popularno´s´c. Jeden z koleg´ ow sa,dziÃl, z˙ e ona w og´ole nie istnieje i z˙ e to tylko z˙ arty. Ot´oz˙ to nie sa, z˙ arty. MiaÃlem w re,kach wydrukowany i sprzedawany egzemplarz. Tekst poni˙zszy nie jest recenzja, w sensie wydawniczym — nie mam a˙z tyle wolnego czasu, by go po´swie,ci´c takiej ksia,z˙ ce. Zaczne, od stwierdzenia, kt´ore potem uzasadnie,: w ksia,z˙ ce powinna znale´ z´ c sie, informacja: nie nadaje sie, dla os´ ob zamierzaja,cych studiowa´ c w uniwersytetach jakiekolwiek kierunki oraz dla os´ ob my´ sla,cych, cho´ c mo˙ze przyda´ c sie, tym, kt´ orzy chca, zda´ c mature, najmniejszym kosztem i potem szybko zapomnie´ c o wszystkim, czego musieli sie, do niej nauczy´ c. Przestrzegam przed polecaniem ksia,z˙ ki komukolwiek, kto pragnie nauczy´c sie, matematyki lub nawet tylko uwa˙za, z˙ e powinien to zrobi´c. Jej lektura przyniesie znacznie wie,cej szkody ni˙z po˙zytku! Autorka nie usiÃluje nic wyja´snia´c, natomiast podaje jakie´s przepisy na rozwia,zywanie standardowych zada´ n zwracaja,c uwage, na mnemotechniczne kwestie (tu zreszta, wida´c pewna, inwencje,), zob. uwagi na temat str.192. Sprowadzanie nauczania matematyki do takiego poziomu jest szkodliwe. W tek´scie wywieszonym przez Autorke, na stronie internetowej rozr´oz˙ niano liczbe, i jej rozwinie,cie dziesie,tne: liczba

1 6

byÃla wymierna a liczba 1,1(6) byÃla niewymierna. To bÃla,d,

za kt´ory student zdaja,cy u mnie egzamin otrzymaÃlby z miejsca ocene, niedostateczna, i to niezale˙znie od innych wypowiedzi w czasie egzaminu. To samo dotyczyÃloby ucznia w LO im. Staszica w W-wie po miesia,cu nauki, wedÃlug znajomych nauczycieli to samo dotyczy gimnazjalist´ow. Takich bÃle,d´ ow nie wolno popeÃlnia´c! W egzemplarzu, kt´ory miaÃlem w re,kach co´s zostaÃlo poprawione w przedziwny spos´ob, zob. str. 61. Sa, te˙z pr´oby wia,zania niewymierno´sci z kalkulatorami, zob. str 15. Autorka twierdzi, z˙ e po wstawieniu liczby niewymiernej do kalkulatora oka˙ze sie,, z˙ e jej rozwinie,cie dziesie,tne jest niesko´ nczone (str. 15). Niby jakim cudem ma sie, to okaza´c. Przecie˙z kalkulator (i dowolny komputer) wy´swietla zawsze sko´ nczona, liczbe, znak´ow dziesie,tnych, wie,c nic takiego okaza´c sie, nie mo˙ze. Tu zn´ow mamy do czynienia z kardynalnym bÃle,dem merytorycznym. Pisza,c w ten spos´ob Autorka wprowadza swych czytelnik´ow w bÃla,d i nara˙za na oceny niedostateczne, oczywi´scie nie wsze,dzie, a tylko w tych miejscach, w kt´orych matematyka nauczana jest powa˙znie. W tym momencie moge, napisa´c, z˙ e ksia,z˙ ka nie uzyskaÃlaby mojej pozytywnej opinii jako 1

rzeczoznawcy MEN-u przed usunie,ciem tych i podobnych bÃle,d´ow. Poprawienie przez osobe,, kt´ ora je popeÃlniÃla wydaje sie, maÃlo prawdopodobne w kr´otkim czasie. Przy okazji (to ju˙z tzw. drobiazg), Autorka oznacza zbi´or liczb wymiernych litera, W, co od wielu lat jest wariactwem (60 lat temu jeszcze nie byÃlo), bo na caÃlym ´swiecie przyje,to stosowa´c w tym kontek´scie litere, Q . Jeszcze gorzej wygla,da litera C oznaczaja,ca liczby caÃlkowite — poza, niestety wieloma, polskimi szkoÃlami ta litera oznacza zbi´or liczb zespolonych. Oczywi´scie ka˙zdy mo˙ze oznacza´c wszystko jak chce, ale jako´s chemicy nie oznaczaja, we,gla ani przez W ani przez We,, cho´c niewa,tpliwie polscy uczniowie Ãlatwiej zapamie,taliby We, ni˙z C. Skutki oczywi´scie sa, na uczelniach, zwÃlaszcza na tych wydziaÃlach, na kt´ orych matematyka jest, ale w ograniczonej ilo´sci (np. ekonomia, chemia), bo tam czasu jest maÃlo, wie,c brakuje go na oduczanie. Oczywi´scie ten akapit stosuje sie, nie tylko do omawianych fragment´ ow ksia,z˙ ki, ale te˙z do wielu podre,cznik´ow, bo to sa, skutki dziaÃla´ n podejmowanych jeszcze w latach siedemdziesia,tych XX wieku, przez r´oz˙ ne osoby, kt´orym jako´s do gÃl´ ow nie przyszÃlo, z˙ e kiedy´s granice przestana, by´c takie wa˙zne, jak w latach pie,´cdziesia,tych XX wieku, z˙ e uczniowie be,da, zaczyna´c nauke, w jednym kraju a ko´ nczy´c w zupeÃlnie innym, bo rodzice be,da, zmienia´c miejsce zamieszkania. . Rysunek ostrosÃlupa na stronie 423 jest zrobiony bez podkre´slenia (przerywana, linia,, odpowiednio dobranym kolorem) tego, kt´ore linie sa, widoczne, a kt´orych nie wida´c z naszego punktu widzenia.

To bÃla,d dydaktyczny.

W ksia,z˙ ce adresowanej do os´ob, kt´ore maja,

trudno´sci z matematyka, jest nieakceptowalny — ci ludzie maja, ogromne kÃlopoty ze stereometria,. Z kolei tekst ze strony 153, cho´c jest poprawny, sugeruje, z˙ e warto zapamie,ta´c wzory na r´ ownanie prostej przechodza,cej przez dwa punkty. To by´c mo˙ze przyda sie, w jakim´s jednym zadaniu na maturze, ale przecie˙z jest w tablicach. Ucze´ n do takiego wzoru (niezale˙znie od jego formy) powinien dochodzi´c sam i nie powinien mie´c wra˙zenia, z˙ e rozwia,zaÃl trudny problem. Studenci (np. chemii) ucza, sie, tego po pewnym czasie i wtedy dziwia, sie,, z˙ e mieli wcze´sniej trudno´sci. Ksia,z˙ ka wygla,da na napisana, niedbale, bez gÃle,bszych przemy´sle´ n, poza kwestiami mnemotechnicznymi. Wprowadza te˙z swoja, terminologie, w miejscach, w kt´orych zwyczajowo, od wielu lat, jest przyje,ty spos´ob m´owienia i pisania, co oczywi´scie jest szkodliwe dla tych wszystkich, kt´orzy be,da, zagla,da´c do innych ksia,z˙ ek. ZdarzyÃlo mi sie, rozmawia´c z osoba, studiuja,ca, w UW, kt´ora zapisaÃla sie, na ambitniejszy wykÃlad z matematyki, potem przemie´sciÃla sie, na mniej ambitny i ledwo zdaÃla. Po egzaminie ustnym zapytaÃlem, dlaczego zapisaÃla sie, na ten ambitny (wida´c byÃlo braki ze szkoÃly). Odpowied´z byÃla absolutnie logiczna: w szkole byÃly pia,tki i sz´ostki, osoba ta byÃla najlepsza w swojej klasie, wie,c my´slaÃla, z˙ e co´s umie. Ot´oz˙ wprowadzono ja, w bÃla,d. W szkole. Nie licza,c sie, z ewentualnymi konsekwencjami. Tego nale˙zy unika´c i troche, my´sle´c o tym, z˙ e dziewie,tnastolatek ko´ ncza,cy LO ma przed soba, (na og´olÃ) jeszcze co najmniej 3 razy wie,cej 2

lat ni˙z prze˙zyÃl. Omawiana ksia,z˙ ka mo˙ze zwie,kszy´c liczbe, os´ob, kt´orym wydaje sie,, z˙ e czego´s sie, nauczyÃly, cho´c z˙ adnego zwia,zku z rzeczywisto´scia, mie´c to nie be,dzie. W dalszym cia,gu zamieszczam szereg uwag dotycza,cych konkretnych fragment´ ow ksia,z˙ ki. str. 15 Opr´ ocz liczb wymiernych sa, jeszcze niewymierne. Na kalkulatorze cia,gna, sie, one w niesko´ nczono´s´c, np 4,7138492 . . . — na kalkulatorze nic w niesko´ nczono´s´c cia,gna,´c sie, nie mo˙ze, dla kalkulatora liczby niewymierne nie istnieja,, bo wszystko przybli˙za liczbami wymiernymi — taka jego natura. str. 16 liczby niewymierne nie maja, nic wsp´ olnego z wymiernymi, to zupeÃlnie inna bajka. Ten pogla,d Autorki jest troche, dziwny, zapewne chodzi jej o to, z˙ e liczba nie mo˙ze by´c jednocze´snie wymierna i niewymierna str. 15 Wprowadzanie symbolu Nw to znana choroba. Oznaczenia zbior´ow liczbowych zÃle, cho´c w szkoÃlach w Polsce stosowane powszechnie. Dodam jeszcze, z˙ e nie widziaÃlem w z˙ adnej powa˙znej ksia,z˙ ce po´swie,conej teorii liczb oznaczenia zbioru liczb niewymiernych. Wida´c ich autorom jest ono do niczego niepotrzebne — po co jest wprowadzane w szkoÃlach?! str. 19 Jakimi zbiorami mo˙zna okre´sli´c liczbe, a) 3 12 . . . ? — pyta Autorka, odpowied´z a) 3 21 ; wymierna, rzeczywista — taka odpowied´z. O co mo˙ze chodzi´c trudno zgadna,´c. str. 20, 21 szukanie NWW i NWD przez rozkÃlad na czynniki pierwsze to poprawne gÃlupstewka. To przecie˙z wyja,tkowo nieefektywny spos´ob! str. 37 Dzielenie przez zero jest niewykonalne — brak wyja´snienia, przecie˙z bardzo prostego, dziwaczne zapisy, np. 547 : 0 = ∅ , symbol zbioru pustego oznacza´c ma niewykonalno´s´c dziaÃlania. str. 37 dziwny pomysÃl z kwadracikami +3 + (−5) = 3−5 = −2 — po co te kwadraciki wie zapewne Autorka, ale to nie jest przyje,ty spos´ob zapisywania, w zwia,zku z tym jest to szkodliwe. √ √ str. 60 6 + 3 6 to dziaÃlanie jest niewykonalne napisaÃla autorka. Chodzi jej o to, z˙ e tego nie da sie, bardziej upro´sci´c, ale jak mo˙zna twierdzi´c, z˙ e dodawanie liczb rzeczywistych jest niewykonalne?! str. 61 zamieszanie z tym, co jest wymierne, a co nie. W egzemplarzu, kt´ory mam w re,kach napisano: Liczba

1 6

jest wymierna, ale 0,1(6) niewymierna. Wygla,da na to, z˙ e wpro-

wadzono jaka,´s poprawke, skre´slaja,c jakie´s fragmenty sÃl´ow. Poprzednio zapewne byÃl wyra˙zony bardziej jednoznacznie zupeÃlnie nieakceptowalny pogla,d w tej sprawie: ,,Liczba

1 6

jest wymierna, ale 0,1(6) niewymierna.” Niestety ta forma poprawienia tekstu

jest caÃlkowicie niewystarczaja,ca i mo˙ze wprowadza´c czytelnika w bÃla,d, bo co miaÃlyby te skre´slenia oznacza´c, nie musi przecie˙z zgadna,´c. str. 63 Obliczamy dziaÃlania — dziaÃla´ n sie, nie oblicza, lecz wykonuje. 3

str. 63 Oto przykÃlad na stwierdzenie: Wykonujemy te (chodzi o pote,gowanie i pierwiastkowa√ nie) dziaÃlania jednocze´snie: ( 23 )2 + 25 = 49 + 5 = 5 94 str. 80 Sklej x i 7, ale zapisz wynik podw´ ojnie, czyli 14x — to ma oznacza´c podwojony iloczyn, jak wida´c. str. 83 Podczas takiej przeprowadzki nale˙zy przenoszonym skÃladnikom zmieni´c znaki. To co´s w rodzaju ,,prztyczka w nos” za to, z˙ e przeszÃly tam, gdzie nie ich miejsce. — to jest opis przenoszenia z jednej strony r´owno´sci na druga, i oczywi´scie nawet ´sladu wyja´snienia rzeczywistej przyczyny zmiany znaku. str. 99 Ile nale˙zy dola´c wody do 10 litr´ ow 5 % roztworu, aby otrzyma´c roztw´ or 3 %? — ciekawe jak to nale˙zy czyta´c i dlaczego Autorka tak lekcewa˙zy je,zyk. A dalej pisze tak: ,,Zapamie,taj, z˙ e woda procent´ ow nie ma, woda jest 0 %.” str. 105 ,, w r´ ownaniu otrzymujemy jedna, liczbe, x , a w nier´ owno´sci jest ich niesko´ nczona ilo´s´c.” — napisaÃla Autorka. Z kontekstu wynika, z˙ e chodzi o r´ownania i nier´owno´sci pierwszego stopnia, wie,c to niby prawda, ale nigdzie nie napisano, z˙ e chodzi tylko o ten przypadek. str. 109 TytuÃl ,,Obliczanie pierwiastk´ ow kwadratowych” jest myla,cy, bo tu w zasadzie w niejawny spos´ob przypomniana jest definicja pierwiastka kwadratowego oraz jego wÃlasno´sci √ √ √ ˙ algorytmu obliczania pierwiastk´ow w tym rozdziale w rodzaju ab = a· b . Zadnego nie ma. str. 119 ,,Takiego wyniku zostawi´c nie mo˙zna: nauczycieli.

2 √ 3 5

.” twierdzi Autorka, podobnie jak wielu

Ja zupeÃlnie nie wiem dlaczego.

Potem jest opowiadanie o usuwaniu

niewymierno´sci z mianownika, okoÃlo p´olà strony, a ostatni wiersz wygla,da z grubsza tak:

7 √ 3 5

= ... =

7

√ 3 25 5

gotowe. Jako´s z dw´ojki zrobiÃla sie, si´odemka, ale to akurat

mo˙zna uzna´c za liter´owke,. Wa˙zniejsze jednak jest to, z˙ e dawno temu przyczyna usuwania z mianownika niewymierno´sci byÃla jasna, bo chodziÃlo o ewentualne re,czne obliczanie przybli˙zonej warto´sci wyra˙zenia. Dzi´s jest zupeÃlnie nie do poje,cia, bo u˙zywaja,c kalkulatora zostajemy zmuszeni do naci´snie,cia wie,kszej liczby klawiszy, wie,c zostaje zwie,kszona szansa na bÃla,d. Warto jednak uczy´c usuwania z mianownika niewymierno´sci, bo to uczy przeksztaÃlcania wzor´ow, a ta umieje,tno´s´c jest wa˙zna dla ka˙zdego u˙zytkownika matematyki. str. 125 i naste,pne trzy. Opowiadanie o formalnym rachunku zda´ n bez sensownych przykÃlad´ ow, tabelki zero-jedynkowe — to niczemu nie sÃlu˙zy, z˙ adnych przykÃlad´ow rozumowa´ n tu nie ma, wie,c caÃla ta ,,logika” jest zbe,dna, a przykÃlady zda´ n typu ,,stycze´ n ma 65 dni lub trawa ma kolor zielony” moga, przekona´c czytelnika o caÃlkowitym braku sensu uczenia sie, tego. str. 129 ,,symetria do osi x” to termin u˙zywany w omawianej ksia,z˙ ce Dalej znajdujemy zadanie: ,,Obliczymy jakie jest m , je´sli punkty A = (m + 7, 9) i A0 = (5, 9) sa, symetryczne do 4

siebie wzgle,dem osi y .” Ot´oz˙ one sa, symetryczne (czasem) ale przecie˙z nie do siebie, lecz jeden do drugiego, ale to powszechny bÃla,d r´ownie˙z w innych podre,cznikach do matematyki, nie wspominaja,c o mowie potocznej. str. 132 W rozdziale ,,Zestaw wÃlasno´sci ka˙zdej funkcji” znajdujemy wiersz:

Monotoniczno´s´c

funkcji — przy kt´ orych iksach wykres wznosi sie, i przy kt´ orych opada. Nie ma z˙ adnej definicji monotoniczno´sci, wida´c Autorka uwa˙za cytowane wy˙zej zdanie za wystarczaja,ce wyja´snienie. To po prostu skandaliczny tekst. str. 133 ,,Dziedzine, odczytujesz z wykresu lub obliczasz z podanego wzoru funkcji.” Zar´owno je,zyk ,,Dziedzine, obliczasz. . . ” jak i tre´s´c tego zdania sa, nie do przyje,cia, przecie˙z rozpatrywane sa, wielokrotnie funkcje, kt´orych dziedzina jest dopasowana do rozpatrywanego zagadnienia, a nie do jakiego´s wzoru (maksymalizujemy pola, obje,to´sci itp.) str. 148 i 149 warunki na r´ownolegÃlo´s´c i prostopadÃlo´s´c prostych bez uzasadnienia, cho´c oba, zwÃlaszcza w wypadku r´ownolegÃlo´sci, sa, bardzo proste. str. 159 Teza o rozwia,zywaniu ukÃladu r´owna´ n za pomoca, wyznacznik´ow, w omawianej w ksia,z˙ ce sytuacji jest oboje,tna, a gdy wymiar ro´snie, staje sie, bezdyskusyjnie bÃle,dna, czym wie,kszy wymiar tym bardziej bezsensowna. str. 165 ,,Sa, jednak zadania, kt´ ore Ãlatwiej wyrazi´c przy u˙zyciu x i y .” — Autorka powinna napisa´c, z˙ e Ãlatwiej je sprowadzi´c do rozwia,zania ukÃladu dw´och r´owna´ n z dwiema niewiadomymi x i y , przecie˙z nie chodzi o wyra˙zanie zadania! str. 166 ,,Spinamy oba r´ ownania klamra, i rozwia,zujemy ukÃlad r´ owna´ n.” — kolejne podkre´slenie wa˙zno´sci formy zapisu, je,zyk udziwniony. str. 168 Autorka oznacza liczbe, dwucyfrowa,, kt´orej cyframi sa, x i y przez x|y . Ciekawe jak oznaczyÃlaby liczbe, trzycyfrowa,. Standardowe oznaczenie to przecie˙z xy . str. 180 ,,Wszystkie parabole postaci y = ax2 maja, ´srodek w (0, 0) i o´s y jest ich osia, symetrii.” Ciekawe w jakim celu zmienia Autorka zwyczajowa, terminologie,, wszyscy inni m´owia, o wierzchoÃlku paraboli, zreszta, ona p´o´zniej te˙z. str. 180 i naste,pne. Brak wyprowadzenia postaci kanonicznej, kt´ora pojawia sie, dopiero w ko´ ncowej cze,´sci tekstu po´swie,cowego funkcji kwadratowej i parabolom. str. 192 Wzory Vi`ete’a zaleca kojarzy´c z minus baca, bo napisaÃla jeden pod drugim: x1 + x2 = x1 x2 =

−b a c a

oczywi´scie nie udowodniwszy ich, jest opowiadanie o ich u˙zyciu, ale oczywi´scie nie wspomina o wielomianach symetrycznych . . . , cho´c a˙z sie, o to prosi. Nie sa, te˙z u˙zywane do ,,odgadywania” pierwiastk´ow w prostych sytuacjach, nie wspomina te˙z o tym, z˙ e moga, sÃlu˙zy´c do skontrolowania wyniku oblicze´ n, co akurat w kontek´scie matury miaÃloby sens. str. 217 ,,Be,dziesz te˙z rozwia,zywa´c r´ ownania wielomianowe i nier´ owno´sci, w kt´ orych x be,dzie wyste,powa´c w wysokich pote,gach. Wkr´ otce sie, tego nauczysz.” — napisaÃla Autorka. 5

A ja nie umiem rozwia,zywa´c r´owna´ n pia,tego i wy˙zszych stopni, cho´c akurat zaliczam sie, do mniejszo´sci matematyk´ ow pamie,taja,cej wzory Cardano. ,,Funkcja wielomianowa opiera sie, na wÃlasno´sciach funkcji kwadratowej i liniowej, utrwalaj sobie wiadomo´sci z tych funkcji.” — to naste,pny cytat. To przykÃlad stosowanego je,zyka. Uwa˙zam za niedopuszczalne wypowiadanie sie, nauczycieli matematyki w taki spos´ob. Przecie˙z jednym z gÃl´ownych cel´ow nauczania matematyki jest nauka precyzyjnego wypowiadania sie,. To dla os´ob, kt´ore z matematyka, po szkole sie, ju˙z nie spotkaja,, cel najwa˙zniejszy, cho´c na og´olà nawet nie formuÃlowany. str. 220 Opis algorytmu dzielenia wielomian´ow sztucznie skomplikowany wprowadzeniem znak´ ow ± i ∓ dla zaznaczenia, z˙ e je potem trzeba zmieni´c. To oczywi´scie bez sensu — przecie˙z nikt tak nie robi dziela,c liczby, wszyscy po podpisaniu odejmuja,. Jednak z odejmowaniem wyra˙ze´ n algebraicznych sa, jakie´s kÃlopoty spowodowane tym, z˙ e zamiast od razu np. odejmowa´c r´ownania stronami, w szkole dodaje sie, je po uprzednim pomno˙zeniu jednego z nich przez −1 . str. 224 ,,RozÃlo˙zy´c wielomian, to znaczy zapisa´c go w postaci iloczynu wielomian´ ow liniowych, . . . ” — wynika z tego, z˙ e np. wielomian (x−1)(x2 +1) nie jest rozÃlo˙zony, ale na stronie 227 jest r´owno´s´c x3 + 5x2 + 7x = x(x2 + 5x + 7) i to ju˙z, zdaniem Autorki jest rozkÃlad na czynniki. str. 230 Na tej stronie Autorka napisaÃla m.in. ,,W metodzie IV potocznie zwanej ,,Bezu” ()od B´ezout’a, szukamy najpierw jednego z miejsc zerowych. Jest on ukryty w´sr´ od dzielnik´ ow wyrazu wolnego, . . . ” Pomijaja,c osobliwa, gramatyke,, widzimy wpajanie w czytelnik´ow przekonania, z˙ e wielomiany o wsp´olÃczynnikach caÃlkowitych musza, mie´c caÃlkowite pierwiastki, cho´c takie twierdzenie wypowiedziane nie zostaÃlo. str. 248 ,,Funkcja wymierna okre´slona jest wzorem y =

a x

lub f (x) =

a x

.” — znam wiele innych

funkcji wymiernych! str. 289 ,,Obliczanie logarytmu nazywam wycieczka, turystyczna,, bo spaceruje sie, w k´ olÃko po strzaÃlkach.” — Autorka akurat u˙zywa jakich´s strzaÃlek. Dalej jest w zasadzie standardowa opowie´s´c o logarytmach bez pr´oby wyja´snienia, do czego one sÃlu˙za, poza lekcjami matematyki im po´swie,conymi. str. 303 ,,Oblicz dziedzine,” — dziedziny obliczy´c nie mo˙zna, mo˙zna ja, znale´z´c, okre´sli´c lub zdefiniowa´c. Nie rozumiem, dlaczego Autorka (i wielu innych) woli napisa´c np. ,,poniewa˙z drugi pierwiastek nie nale˙zy do dziedziny” zamiast np. log2 (−3 + 2) nie jest okre´slony, dodaja,c ewentualnie, z˙ e logarytm´ow liczb ujemnych nie da sie, zdefiniowa´c (przynajmniej za pomoca, liczb rzeczywistych). str. 306 Podany jest wz´or na liczbe, przeka,tnych wieloka,ta bez uzasadnienia, przecie˙z jednolinijkowego, co jest zgodne z panuja,ca, moda,, ale jest caÃlkowicie niewÃla´sciwe — przynajmniej proste dowody powinny by´c podawane. 6

str. 307 ,,Na podstawie miary ka,ta wpisanego mo˙zna obliczy´c ile stopni ma ka,t ´srodkowy i na odwr´ ot.” - co to jest podstawa miary ka,ta? Gdy byÃlem licealista, m´owiono: ,,Ka,t wpisany to poÃlowa ka,ta ´srodkowego opartego na tym samym Ãluku.” Je,zyk w podre,czniku powinien by´c poprawny, a cytowane zdanie to stosowany, niestety wcale nierzadko, beÃlkot. Je´sli ju˙z co´s ma by´c podstawa, to twierdzenie o . . . To tylko jeden z licznych przykÃlad´ ow nieporadno´sci je,zykowej, a jednym z wa˙znych cel´ow nauczania w szkoÃlach matematyki powinno sprawne, kr´otkie i precyzyjne wyra˙zanie swych my´sli. str. 314 ,,Okra,g — to zbi´ or punkt´ ow r´ owno oddalonych od ´srodka okre,gu. KoÃlo to wne,trze okre,gu z linia, brzegowa,.” — to zapewne uwa˙zane jest w tej ksia,z˙ ce za definicje, koÃla. str. 332 Na rysunku ilustruja,cym definicje, funkcji kosinus i sinus zapewne dowolnego ka,ta jest tylko ka,t ostry. Opis jest zreszta, zÃly, tekst sugeruje, z˙ e x to przyprostoka,tna, a przecie˙z teraz to ju˙z jest wsp´olÃrze,dna, wie,c bywa ujemna. Dalej sa, obliczane funkcje ka,t´ow: 90◦ , 270◦ itp. str. 342 ,,Ka,ty rozpisujemy liczbami: (90◦ ∓ α) , (180◦ ∓ α) , (270◦ ∓ α) itd.” — to zawarto´s´c ramki. Dwie strony dalej Autorka zamieszcza wierszyk o wzorach redukcyjnych pisza,c, z˙ e ucze´ n da rade, na jego podstawie odtwarza´c wzory redukcyjne, ale nigdzie nie napisaÃla, z˙ e osoby, kt´ore zapamie,taÃly definicje, sinusa i kosinusa moga, te wzory odczyta´c z rysunku w ukÃladzie wsp´oÃlrze,dnych . . . str. 354 Pisza,c wz´or x = x0 + kπ podkre´sla, z˙ e x ∈ R , ale nic o k nie pisze w tym miejscu. W dziale o funkcjach trygonometrycznych nie zauwa˙zyÃlem uwagi o tym, z˙ e wykresy funkcji sinus i kosinus sa, przystaja,ce, chocia˙z r´oz˙ ne uwagi na temat przeksztaÃlcania wykres´ ow w ksia,z˙ ce sa,, tu sie, akurat nie zmie´sciÃly. str. 360 ,,wz´or og´olny zapisujemy jako {an } ” — chodzi o cia,g, wie,c raczej jednak (an ) , jak zawsze wtedy, gdy porza,dek jest istotny. str. 364 ,,Mogliby´smy p´ oj´s´c Ãlatwa, droga,, obliczy´c kilka kolejnych wyraz´ ow i te˙z zbada´c monotoniczno´s´c” — typowe studenckie brednie, kt´ore potem przychodzi z trudem zwalcza´c, gdy studenci pr´obuja, tak rozumowa´c, Autorka jest w stanie przekona´c sie, i niestety ³ 2 ´ n innych te˙z, z˙ e cia,g o wyrazie 1,001 jest ´sci´sle rosna,cy. Ten tekst to po prostu n skandal. str. 380 ,,Szereg rozpoznasz po tym, z˙ e zawsze zapisane sa, pierwsze trzy wyrazy, a potem trzy kropki” — rozumiem, z˙ e ja od kilkudziesie,ciu lat cze,sto ´zle pisuje,, bo jako´s liczba trzy w tym kontek´scie u mnie rzadko sie, pojawia. Pojawia sie, tu nieoczekiwanie szereg geometryczny zbie˙zny, z informacja,, z˙ e jest zbie˙zny, gdy |q| < 1 , wcze´sniej nie ma granic. str. 382 Sumowanie szeregu geometrycznego to zdaniem Autorki inny spos´ob zamieniania uÃlamka okresowego dziesie,tnego na zwykÃly. str. 390 ProstopadÃlo´s´c i r´ownolegÃlo´s´c wektor´ow — podane sa, warunki bez powia,zania z czymkol7

wiek, cho´c dwie strony dalej jest iloczyn skalarny, a wz´or wyznacznikowy na pole tr´ ojka,ta jest na stronie 402. str. 394 ,, . . . wszystkie skÃladniki podanej postaci kierunkowej przeÃlo˙zymy na lewa, strone,. . . ” str. 451 z tekstu wynika, z˙ e ucze´ n nie mo˙ze obliczy´c (bez wzoru) liczby wynik´ow czterokrotnego rzutu kostka, — przecie˙z wyprowadzenie tego wzoru jest bardzo proste i wielu uczni´ow do niego mo˙ze samodzielnie doj´s´c. str. 452 i naste,pne. Omawiana jest reguÃla mno˙zenia, kt´orej nie sformuÃlowano. str. 460 ,,Wariacje z powt´ orzeniami zastosujesz, gdy 1. Rzucasz kostka,, moneta, a czasem czworo´scianem foremnym. 2. Masz zadanie o liczbach, w kt´ orych cyfry mo˙zna powtarza´c. 3. Gdy masz zadanie o kulach rozmieszczonych w szufladach. 4. Gdy rozwia,zujesz zadanie o pasa˙zerach wysiadaja,cych z windy.” — ot , taka reguÃlka. Podobne reguÃlki sa, w innych miejscach ksia,z˙ ki. Zgodnie z panuja,ca, moda, sa, kombinacje, wie,c sa, symbole Newtona, ale tr´ojka,ta Pascala nie ma. ¯ to ilo´s´c wynik´ str. 477 ,, Ω ow w Ω . Taki zapis czytasz: omega moc.” i wtedy ju˙z mo˙zna to skojarzy´c z ,,Gwiezdnymi wojnami”? str. 480 Poprawny opis rozwia,zania zadania 315 (prawdopodobie´ nstwo otrzymania w dw´och rzutach w sumie siedmiu oczek, ale jednak bardzo zÃly z dydaktycznego punktu widzenia, wyniki wypisano w cia,gu zamiast w tabelce! str. 487 Wynik

90 (10 1 )·( 3 ) jest obliczany na raty bez skracania i w ko´ ncu otrzymano 100 (4)

a gdyby skracano byÃloby np. str. 513 ,, lim

x→0−

x+x2 2+x

= −∞ , lim

x→2+

str. 514 Granice ,, lim+ x→3

x2 x−6

, lim+ x→2

89·2·8 49·97

x x−3 1−x x+5

=

1424 4753

15664 52283

,

, niby to samo, ale . . .

= −∞ ” — napisano w ksia,z˙ ce. , lim+ x→0

x x+3

, lim− x→2

4−x 2x

, lim− x→5

x2 x+1

, lim− x→0

4x 4+x

sa,, zda-

niem Autorki, niesko´ nczone, chocia˙z jest errata i w niej sa, ju˙z poprawne wyniki, ale trzeba wiedzie´c, z˙ e tam sa, nie tylko liter´owki, ale te˙z sprostowania bÃle,d´ow merytorycznych. str. 520 ,,Gdy pochodna jest r´ owna zero funkcja ma maksimum lub minimum.” — za takie stwierdzenie na egzaminie z matematyki na UW student chemii otrzyma ocene, niedostateczna, nale˙zna, ka˙zdemu, kto twierdzi, z˙ e funkcja x3 ma w punkcie 0 jakie´s ekstremum. str. 522 Zadanie ,,Zbadamy monotoniczno´s´c funkcji f (x) =

x3 x2 −1

.” nie zostaÃlo zako´ nczone, nie

ma wniosk´ow z ustalenia znaku pochodnej i — co wa˙zniejsze — nie ma wykresu funkcji, cho´c jest wykres pochodnej. str. 533 ,,Je´sli istnieje asymptota uko´sna, to granic lim+ oraz lim− nie liczymy.” — chodzi o x→1

funkcje,

x2 x−1

x→1

. Dlaczego nie obliczane sa, te granice?! Oczywi´scie powinny by´c obliczone. 8

Przy okazji: badanie przebiegu zmienno´sci tej funkcji to cztery strony ksia,z˙ ki. str. 536 ,,Asymptota wykresu to prosta, do kt´ orej ten wykres sie, zbli˙za, gdy sie, wzdÃlu˙z niej przemieszcza.” — to zn´ow ma by´c definicja!? Co sie, przemieszcza i wzdÃlu˙z czego? Dalej na kilku stronach znajdowane sa, asymptoty, pojawiaja, sie, rysunki, ale bez wykresu funkcji, kt´orej asymptoty sa, znajdowane!!! R str. 540 ,,CaÃlka x2 dx ma Ãladny symbol, kt´ ory kojarzy mi sie, ze skrzypcami.” — napisaÃla Autorka. Jako´s innym kojarzy sie, on z wydÃlu˙zonym S , ale to tym, kt´orzy rzeczywi´scie wiedza,, czym jest caÃlka. Warszawa, 29 grudnia 2012 r.

MichaÃl Krych

9