Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

Numerische Methoden I – FEM/REM Dr.-Ing. Markus Kästner ZEU 353 Tel.: 0351 463 32656 E-Mail: [email protected]

Dresden, 29.10.2015

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

Zusammenfassung 3. Vorlesung •

Grundzüge FEM – Ausgangspunkt: Schwache Form – Aufteilung des Berechnungsgebietes Ω in finite Elemente – Einfache Ansätze für finite Elemente → Diskretisierung und Algebraisierung der RWA

•

FEM für Fachwerke – Herleitung der Elementvektoren und -matrizen – Assemblierung des Gesamtgleichungssystems – Einbau von Randbedingungen – 2D-Fachwerke

Dresden, 29.10.2015

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 1 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

Zusammenfassung 3. Vorlesung •

Grundzüge FEM – Ausgangspunkt: Schwache Form – Aufteilung des Berechnungsgebietes Ω in finite Elemente – Einfache Ansätze für finite Elemente → Diskretisierung und Algebraisierung der RWA

•

FEM für Fachwerke – Herleitung der Elementvektoren und -matrizen – Assemblierung des Gesamtgleichungssystems – Einbau von Randbedingungen – 2D-Fachwerke

Dresden, 29.10.2015

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 1 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

Assemblierung des Gleichungssystems

1 f1 0

s1

EA, l

1

F0

0

1

2EA, l

0

s2

1

1

2 u3

u2

u1 1

3 f3

2 f2

1

2

1 F1

F0

f1

0

2

2 1 F1

f2 1

F0 1

1

f3 2

F1

F0

F1 3

2

Kräftegleichgewicht in Vektor-Matrixschreibweise   1   F0 f 2 1   2  1   1  ˆ=f ˆ +F f2 → F  F +F = 0   1 f3 2 F1 Dresden, 29.10.2015

2

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 2 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

1 f1

3 f3

2 f2

0

EA, l

s1

1

2EA, l

0

s2

1

1

2 u3

u2

u1

Verknüpfung zu Verschiebungsvektor u des Systems (k = EA/l) 

 1  F0   1   F  1 0 | {z }

=

1

ˆ F



0



 2   F0    2

|

F1 {z 2

ˆ F

Dresden, 29.10.2015

}

=



k  −k 0 | 

0  0 0 |

−k k 0 {z 1

ˆ K

0 2k −2k {z 2

ˆ K

 0 0  0 }|

 1  u1  P0 1 u2  −   P 1 u3 0 {z } | {z u

 0 −2k  2k }|

   

}

1

ˆ P



 u1  u2  −   u3 {z } | u

Numerische Methoden I – FEM/REM

0



2  P0   2

P1 {z 2

ˆ P

} Folie 3 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

Zusammenfassen entsprechend Kräftegleichgewicht  1   P0 k −k 0  1 2   −k k + 2k −2k u = f +  P1 + P0  0 −2k 2k 2 | {z } P1 1 2 {z | ˆ K ˆ K=K+

p

Ku

e

•

K=

n X

p=

n X

=

f+p

    

}

i

ˆ ... Gesamtsteifigkeitsmatrix K

i=1 e

•

i

ˆ ... Vektor der äquivalenten Knotenlasten P

i=1

f ... Vektor der äußeren Knotenlasten Erweiterung der Elementsteifigkeitsmatrizen für programmtechnische Umsetzung nicht zweckmäßig → Ziel: algorithmierbarer Assemblierungsprozess

• •

Dresden, 29.10.2015

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 4 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

2.4 Randbedingungen und Lösung des GLS r1 1

f3 = F

EA, l

0

s1

1

k  −k 0

−k k + 2k −2k

20 s2

2EA, l

1

3

2

u2

u1 = u1 

1

    ¯1 0 u r1 −2k   u2  =  0  2k u3 F

u3

mit k =

EA l

Lösung durch: 1. Auflösung des Gleichungssystems 2. Streichen von Zeilen und Spalten 3. Strafparametermethode Dresden, 29.10.2015

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 5 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

2. Streichen von Zeilen und Spalten

•

¯1 Ersetzen einer Gleichung durch die RB u1 = u 

1  0 0

• •

0 k + 2k −2k

    ¯1 0 u u1     ¯ = −2k u2 k u1  . u3 2k F

Streichen von Zeilen und Spalten Modifikation der rechten Seite bei inhomogener RB

→ aufwendig für große Systeme

•

und fmod sollen sich nur unwesentlich von K bzw. f Ziel: K mod unterscheiden

Dresden, 29.10.2015

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 6 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

3. Strafparameter- oder Penaltymethode

• c∞ . . . Strafparameter c∞ ≫ max Kij , z. B. 107 . . . 1010 · max Kij

•

Physikalische Interpretation: Elastische Stützstäbe mit Steifigkeit c∞

1

r c

2 0

s1 u

k

3

2k

0

1

s2

1

1

2 u3

u2

u1

F

→ Erweiterung der Gesamtsteifigkeitsmatrix 

c∞  −c∞   0 0 Dresden, 29.10.2015

−c∞ c∞ + k −k 0

0 −k k + 2k −2k

 ¯1 0 u  0    u1 −2k   u2 2k u3

Numerische Methoden I – FEM/REM





  =  

 r∞ 0   0  F Folie 7 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik



c∞  −c∞   0 0

•

•

0 −k k + 2k −2k

−c∞ c∞ + k −k 0

 ¯1 0 u  0    u1 −2k   u2 2k u3





  =  

 r∞ 0   0  F

erste Zeile liefert ¯ 1 − c∞ u1 c∞ u

=

¯ 1 − u1 u

=

u1

≈

r∞ r∞ ≈0 c∞ ¯1 u

modifiziertes Gleichungssystem      ¯1 u1 c∞ + k −k 0 c∞ u       u2 0 −k k + 2k −2k = u3 F 0 −2k 2k | {z }| {z } | {z } K

Dresden, 29.10.2015

mod

umod

Numerische Methoden I – FEM/REM

fmod

Folie 8 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

 

c∞ + k −k 0

|

−k k + 2k −2k {z

K

mod

 0 −2k  2k }|

   ¯1 u1 c∞ u    u2 0 = u3 F {z } | {z }

umod

fmod

•

Addition von c∞ zu jedem Hauptdiagonalenelement, das zu einer vorgegebenen Knotenverschiebung gehört

•

Modifikation des Knotenlastvektors im Fall inhomogener Verschiebungsrandbedingungen

→ K

mod

nicht singulär → Berechnung des Verschiebungsvektors aus: umod = K−1 fmod mod

•

Berechnung der Reaktionskräfte unter Verwendung der Verschiebungen umod und der nicht modifizierten Steifigkeitsmatrix K f = Kumod

Dresden, 29.10.2015

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 9 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

2.5 Zweidimensionale Fachwerke u1y F1y 1 F1x

u1x

u0y F0y y 0 F0x

u0x

x

•

Erweiterung der Knotenverformungs- und Knotenlastvektoren  T e u = u0x u0y u1x u1y e e  T  T F = F0x F0y F1x F1y ; P = P0x P0y P1x P1y e

•

e

e

e

geg: K uS = FS + PS mit S   e   e     e e F0 P0 u0 1 −1 ; P ; F = = = K = EA ; u S S S l S F1 P1 u1 −1 1

Dresden, 29.10.2015

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 10 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

e

• •

ges: K . . . Elementsteifigkeitsmatrix in x-y-Koordinatensystem Ausgangspunkt:

ui y ui i •

ui ui x

Knotenverschiebung in Richtung der Stabachse ui ui = uix cos α + uiy sin α

•

Zerlegung der Knotenkräfte Fi Fix = Fi cos α ;

Fiy = Fi sin α

analog für äquivalente Knotenlasten Dresden, 29.10.2015

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 11 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

e

e

e

e

e

e

→ Transformationen F = TFS , P = TPS und uS = TT u Fix = Fi cos α ;  F0x cos α 0  F0y   sin α 0 =   F1x   0 cos α F1y 0 sin α | {z } | {z 



T

e

F

•

Fiy = Fi sin α     F0  mit TT T = I  F1 | {z } } Fe S

bekannt: e

e

K uS S

e

e

TK uS S

e

e

T K TT u S | {z }

= =

e e FS + PS T · e  e T FS + P S e

=

e

e

mit uS = TT u

e

F+P

e

K

Dresden, 29.10.2015

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 12 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

•

u1y

mit c = cos α und s = sin α folgt

F1y

e



c2

sc s2 −sc −s2

EA   sc K= l  −c2 −sc

•

−c2 −sc c2 sc



−sc −s2   sc  s2

1 F1x

u1x

u0y F0y y 0 F0x

u0x

x

Eigenschaften der Elementsteifigkeitsmatrix – quadratisch [FGxFG] → [4x4] – symmetrisch – singulär   e

– Rg K

=1

– Rangabfall drei • 2 Starrkörpertranslationen • 1 Starrkörperrotation

Dresden, 29.10.2015

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 13 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

Vorlesungsbeispiel Fachwerk 1. Diskretisierung a a

4

u4x =0 4

3

s4

s2

a

s3

a s5 0

u1y =0

1

1

2

u1x =0 1 s1

y F

x

2a

Dresden, 29.10.2015

y

f 2y = -F

2a x

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 14 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

2. Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen  e  • Dehnsteifigkeit EAl q e • Länge l = (x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2   −y0 • Winkel αe = arctan xy1 −x 1

e

0

e

→ mit c = cos α und s = sin α folgt  c2 sc  e  e EA  sc s2  K= 2  −c −sc l −sc −s2   u e e 0x  K K  01   u0y →  e 00  e  u1x K K 10 11 u1y Dresden, 29.10.2015

 −c2 −sc 2 −sc −s   c2 sc  2 sc s    F0x   F0y  =    F1x  F1y

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 15 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

3. Assemblierung des Gesamtgleichungssystems a

Koinzidenzmatrix

4

u4x =0 4

3

s4

s2

s5

1

0

u1y =0

Element 1 2 3 4 5

a

s3

1

2

u1x =0 1 s1 y

f 2y = -F

lok. Knoten 0 1 3 1 4 1

lok. Knoten 1 2 2 3 3 4

2a x

 

e

K e

K

e

K

00

e

10



01

K

11

3

 K 3 :  3 11 K 31

Dresden, 29.10.2015

  3

K 3

K

13 33

→



1

 K 1 :  1 11 K 21



 ;



4

 K 4 :  4 44 K 34

1

K 1

12

K

22

4

K 4

K

43 33





2

 ;

 K 2 :  2 33 K





 ;

Numerische Methoden I – FEM/REM

23

5

 K 5 :  5 11 K 41

2

K 2

32

K

22

5

K 5

14

K

44



 ;   

Folie 16 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

3. Assemblierung des Gesamtgleichungssystems a

Koinzidenzmatrix

4

u4x =0 4

3

s4

s2

s5

1

0

u1y =0

Element 1 2 3 4 5

a

s3

1

2

u1x =0 1 s1 y

f 2y = -F

lok. Knoten 0 1 3 1 4 1

lok. Knoten 1 2 2 3 3 4

2a x

 

e

K e

K

e

K

00

e

10



01

K

11

3

 K 3 :  3 11 K 31

Dresden, 29.10.2015

  3

K 3

K

13 33

→



1

 K 1 :  1 11 K 21



 ;



4

 K 4 :  4 44 K 34

1

K 1

12

K

22

4

K 4

K

43 33





2

 ;

 K 2 :  2 33 K





 ;

Numerische Methoden I – FEM/REM

23

5

 K 5 :  5 11 K 41

2

K 2

32

K

22

5

K 5

14

K

44



 ;   

Folie 16 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

3. Assemblierung des Gesamtgleichungssystems a

Koinzidenzmatrix

4

u4x =0 4

3

s4

s2

s5

1

0

u1y =0

Element 1 2 3 4 5

a

s3

1

2

u1x =0 1 s1 y

f 2y = -F

lok. Knoten 0 1 3 1 4 1

lok. Knoten 1 2 2 3 3 4

2a x

 

e

K e

K

e

K

00

e

10



01

K

11

3

 K 3 :  3 11 K 31

Dresden, 29.10.2015

  3

K 3

K

13 33

→



1

 K 1 :  1 11 K 21



 ;



4

 K 4 :  4 44 K 34

1

K 1

12

K

22

4

K 4

K

43 33





2

 ;

 K 2 :  2 33 K





 ;

Numerische Methoden I – FEM/REM

23

5

 K 5 :  5 11 K 41

2

K 2

32

K

22

5

K 5

14

K

44



 ;   

Folie 16 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

a 4

u4x =0 4

s2

3

s4

a

s3 s5

1

0

u1y =0

1

2

u1x =0 1 s1 y

f 2y = -F

2a x

 1  K 1 :  1 11 K 21  3  K 3 :  3 11 K 31  5 K  5 :  5 11 K

1

K 1

K

u

=

f

=



K

=

r1x

Dresden, 29.10.2015

r1y

0

−F

0

0 r4x

22

3

K 3

K

13 33



 ; 

 ;

5

K

 2  K 2 :  2 33 K 23  4  K 4 :  4 44 K 34

2

K 2

K

T 0 ;

3

33

+K

44

4

K u3y

33

22

4

K 4

43

K

33



 ; 

 ;



5

K

13 23

2

K

32

 

14

3

K

2

K



5

K

41

 1 3 5 1 K  K11 + K11 + K11 12  1 1 2   K K +K 21 22 22   3 2  K K  31 32  5 0 K 41  ¯ ¯ u1x = 0 u1y = 0 u2x u2y u3x

12

14

0 4

+K

4

33

43

¯ 4x = 0 u4y u

K

34 5

4

K

44

+K

44

        

T

p=0

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 17 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

a 4

u4x =0 4

s2

3

s4

a

s3 s5

1

0

u1y =0

1

2

u1x =0 1 s1 y

f 2y = -F

2a x

 1  K 1 :  1 11 K 21  3  K 3 :  3 11 K 31  5 K  5 :  5 11 K

1

K 1

K

u

=

f

=



K

=

r1x

Dresden, 29.10.2015

r1y

0

−F

0

0 r4x

22

3

K 3

K

13 33



 ; 

 ;

5

K

 2  K 2 :  2 33 K 23  4  K 4 :  4 44 K 34

2

K 2

K

T 0 ;

3

33

+K

44

4

K u3y

33

22

4

K 4

43

K

33



 ; 

 ;



5

K

13 23

2

K

32

 

14

3

K

2

K



5

K

41

 1 3 5 1 K  K11 + K11 + K11 12  1 2 1   K K +K 21 22 22   3 2  K K  31 32  5 0 K 41  ¯ ¯ u1x = 0 u1y = 0 u2x u2y u3x

12

14

0 4

+K

4

33

43

¯ 4x = 0 u4y u

K

34 5

4

K

44

+K

44

        

T

p=0

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 17 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

a 4

u4x =0 4

s2

3

s4

a

s3 s5

1

0

u1y =0

1

2

u1x =0 1 s1 y

f 2y = -F

2a x

 1  K 1 :  1 11 K 21  3  K 3 :  3 11 K 31  5 K  5 :  5 11 K

1

K 1

K

u

=

f

=



K

=

r1x

Dresden, 29.10.2015

r1y

0

−F

0

0 r4x

22

3

K 3

K

13 33



 ; 

 ;

5

K

 2  K 2 :  2 33 K 23  4  K 4 :  4 44 K 34

2

K

T 0 ;

3

2

K

33

+K

44

4

K u3y

33

22

4

K 4

43

K

33



 ; 

 ;



5

K

13 23

2

K

32

 

14

3

K

2

K



5

K

41

 1 3 5 1 K  K11 + K11 + K11 12  1 2 1   K K +K 21 22 22   3 2  K K  31 32  5 0 K 41  ¯ ¯ u1x = 0 u1y = 0 u2x u2y u3x

12

14

0 4

+K

4

33

43

¯ 4x = 0 u4y u

K

34 5

4

K

44

+K

44

        

T

p=0

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 17 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

4. Randbedingungen a 4

u4x =0 4

s2

3

s4

s5 0

u1y =0

Strafparametermethode

a

s3 1

Ku = f

1

2

u1x =0 1 s1 y

→K

mod

umod = fmod

f 2y = -F

2a x

          

3 5 1 c∞ + K +K +K 11 11 11+c∞ 1

K 3

K 5

K

21 31 41

|

3

1

K 1

K

+K

22 2

K

K

12 2

2

22

K

32

0

3

33

+K 4

K K

Dresden, 29.10.2015

K 2

{z

mod

 u 1x  u  1y  u2x  u 0  2y   u3x 4  u K  3y 34  u 4 5 4x c∞ + K +K u4y 44 44 }| {z umod 5

K

13 23 33 43

4

+K

33

Numerische Methoden I – FEM/REM

14



           }

=

 0  0     0     −F     0   0     0  |

0 {z

fmod

Folie 18 von 19

}

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

4. Randbedingungen a 4

u4x =0 4

s2

3

s4

s5 0

u1y =0

Strafparametermethode

a

s3 1

Ku = f

1

2

u1x =0 1 s1 y

→K

mod

umod = fmod

f 2y = -F

2a x

          

3 5 1 c∞ + K +K +K 11 11 11+c∞ 1

K 3

K 5

K

21 31 41

|

3

1

K 1

K

+K

22 2

K

K

12 2

2

22

K

32

0

3

33

+K 4

K K

Dresden, 29.10.2015

K 2

{z

mod

 u 1x  u  1y  u2x  u 0  2y   u3x 4  u K  3y 34  u 5 4 4x c∞ + K +K u4y 44 44 }| {z umod 5

K

13 23 33 43

4

+K

33

Numerische Methoden I – FEM/REM

14

           }



=

 0  0     0     −F     0   0     0  0 {z } | fmod

Folie 18 von 19

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

5. Lösung des Gesamtgleichungssystems

•

Berechnung der Knotenverschiebungen umod umod

•

=

K−1 fmod

=

Fa (0 EA

mod

0

− 0.0952

− 0.5551

0.0952

− 0.2299

0

Berechnung der Reaktionskräfte f = Kumod = F (2.0

1.0

0

− 1.0

0

0

− 2.0

0)T

→ Gleichgewichtsbedingungen sind erfüllt

Dresden, 29.10.2015

Numerische Methoden I – FEM/REM

Folie 19 von 19

0)T