REM

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik Numerische Methoden I – FEM/REM Dr.-Ing. Markus Kästner ZEU 353 Tel.: 0351 463 3...
Author: Matilde Franke
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Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

Numerische Methoden I – FEM/REM Dr.-Ing. Markus Kästner ZEU 353 Tel.: 0351 463 32656 E-Mail: [email protected]

Dresden, 06.01.2016

Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

Zusammenfassung 8. Vorlesung 1. Schiefwinklige Scheibenelemente – Numerischer vs. physikalischer Bereich – Parameterdarstellung der Elementgeometrie (Geometrieinterpolation ) – Isoparametrisches Konzept • Gleiche Ansätze für Interpolation der Elementgeometrie und der Verschiebungen    e x ξ =N ξ x

   e u ξ =N ξ u

• Starrkörperbewegung verzerrungsfrei abbildbar 2. Scheibenelemente höherer Ordnung – Motivation: verbesserte Lösung – 9-Knoten-Scheibenelement – 8-Knoten-Randpunktelement

Dresden, 06.01.2016

Numerische Methoden I – FEM/REM

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3.1.7 3D-Kontinuumselemente

• •

analog zu 2D



20-Knoten-Randpunktelement

Formfunktionen z. B. aus vollständiger Produktbildung der 1D-Lagrange-Polynome → trilinear: 8-Knoten-Quader → triquadratisch: 27-Knoten-Quader

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Stützstellen und Gewichte für Gauss-Quadratur* Anzahl der Stützstellen n

Stützstelle ξi

Gewicht ai

1

ξ1 = 0, 5

a1 = 1

2

ξ1 = 0, 21132487

a1 = 0, 5

ξ2 = 0, 78867513

a2 = 0, 5

ξ1 = 0, 11270167

a1 = 0, 27777778

ξ2 = 0, 5

a2 = 0, 44444444

ξ3 = 0, 88729833

a3 = 0, 27777778

ξ1 = 0, 06943184

a1 = 0, 1739274

ξ2 = 0, 3300095

a2 = 0, 32607258

ξ3 = 0, 6699905

a3 = 0, 32607258

ξ4 = 0, 93056816

a4 = 0, 1739274

3

4

* Integrationsbereich ξ ∈ [0, 1] entnommen aus Hellmann, Numerische Methoden (FEM,REM), 2012 Dresden, 06.01.2016

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3.2.3 Berechnung von Spannungen und Verzerrungen e

• •

Lösung des Gesamtgleichungssystems → u bekannt Verzerrungen    e ε ξ = B ξ u + ε0



Spannungen



ε0 ... Anfangsverzerrungen σ 0 ... Anfangsspannungen Auswertung an den Gauss-Punkten und – Extrapolation auf Knoten – Mittelung der Knotenwerte benachbarter Elemente – Interpolation mittels Formfunktionen

      e σ ξ = C B ξ u + ε0 + σ 0

σ=

X

Ni σ i

i

σ i ... Knotenwerte der Spannung Dresden, 06.01.2016

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Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik

3.2.3 Berechnung von Spannungen und Verzerrungen e

• •

Lösung des Gesamtgleichungssystems → u bekannt Verzerrungen    e ε ξ = B ξ u + ε0



Spannungen



ε0 ... Anfangsverzerrungen σ 0 ... Anfangsspannungen Auswertung an den Gauss-Punkten und – Extrapolation auf Knoten – Mittelung der Knotenwerte benachbarter Elemente – Interpolation mittels Formfunktionen

      e σ ξ = C B ξ u + ε0 + σ 0

σ=

X

Ni σ i

i

σ i ... Knotenwerte der Spannung Dresden, 06.01.2016

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3.3 Fehler und Konvergenz Was kann eine FE-Lösung leisten?



Assemblierungsprozess gewährleistet: – Kompatibiliät der Knotenverformungen – Gleichgewicht der Knotenlasten



Polynomiale Ansatzfunktionen → stetige Feldgrößen im Element: – Verschiebungen – Verzerrungen – Spannungen

• •

Spannungen und Verzerrungen i. A. unstetig über Elementgrenzen Spannungsfelder im Element verletzen i. A. die Gleichgewichtsbedingungen

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3.3 Fehler und Konvergenz Was kann eine FE-Lösung leisten?



Assemblierungsprozess gewährleistet: – Kompatibiliät der Knotenverformungen – Gleichgewicht der Knotenlasten



Polynomiale Ansatzfunktionen → stetige Feldgrößen im Element: – Verschiebungen – Verzerrungen – Spannungen

• •

Spannungen und Verzerrungen i. A. unstetig über Elementgrenzen Spannungsfelder im Element verletzen i. A. die Gleichgewichtsbedingungen

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3.3 Fehler und Konvergenz Was kann eine FE-Lösung leisten?



Assemblierungsprozess gewährleistet: – Kompatibiliät der Knotenverformungen – Gleichgewicht der Knotenlasten



Polynomiale Ansatzfunktionen → stetige Feldgrößen im Element: – Verschiebungen – Verzerrungen – Spannungen

• •

Spannungen und Verzerrungen i. A. unstetig über Elementgrenzen Spannungsfelder im Element verletzen i. A. die Gleichgewichtsbedingungen

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3.3.1 Fehlerquellen



Fehler in der Modellbildung (vermeiden!) – Mechanisches Modell (1D, 2D, 3D, Statik, Dynamik?) – Lasten – Randbedingungen – Materialverhalten



FEM-spezifische Benutzerfehler (vermeiden!) – Elementtyp ungeeignet – Vernetzung ungeeignet



Numerische Fehler – Abbruch- bzw. Rundungsfehler – Fehler bei der (iterativen) Lösung des Problems



Diskretisierungsfehler – Geometrie – Feldgrößen

→ Numerischer Fehler + Diskretisierungsfehler = Fehler zwischen Kontinuumsmechanik und diskretem FE-Modell Dresden, 06.01.2016

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3.3.1 Fehlerquellen



Fehler in der Modellbildung (vermeiden!) – Mechanisches Modell (1D, 2D, 3D, Statik, Dynamik?) – Lasten – Randbedingungen – Materialverhalten



FEM-spezifische Benutzerfehler (vermeiden!) – Elementtyp ungeeignet – Vernetzung ungeeignet



Numerische Fehler – Abbruch- bzw. Rundungsfehler – Fehler bei der (iterativen) Lösung des Problems



Diskretisierungsfehler – Geometrie – Feldgrößen

→ Numerischer Fehler + Diskretisierungsfehler = Fehler zwischen Kontinuumsmechanik und diskretem FE-Modell Dresden, 06.01.2016

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3.3.1 Fehlerquellen



Fehler in der Modellbildung (vermeiden!) – Mechanisches Modell (1D, 2D, 3D, Statik, Dynamik?) – Lasten – Randbedingungen – Materialverhalten



FEM-spezifische Benutzerfehler (vermeiden!) – Elementtyp ungeeignet – Vernetzung ungeeignet



Numerische Fehler – Abbruch- bzw. Rundungsfehler – Fehler bei der (iterativen) Lösung des Problems



Diskretisierungsfehler – Geometrie – Feldgrößen

→ Numerischer Fehler + Diskretisierungsfehler = Fehler zwischen Kontinuumsmechanik und diskretem FE-Modell Dresden, 06.01.2016

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3.3.1 Fehlerquellen



Fehler in der Modellbildung (vermeiden!) – Mechanisches Modell (1D, 2D, 3D, Statik, Dynamik?) – Lasten – Randbedingungen – Materialverhalten



FEM-spezifische Benutzerfehler (vermeiden!) – Elementtyp ungeeignet – Vernetzung ungeeignet



Numerische Fehler – Abbruch- bzw. Rundungsfehler – Fehler bei der (iterativen) Lösung des Problems



Diskretisierungsfehler – Geometrie – Feldgrößen

→ Numerischer Fehler + Diskretisierungsfehler = Fehler zwischen Kontinuumsmechanik und diskretem FE-Modell Dresden, 06.01.2016

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3.3.2 Konvergenz



Ziel: Berechnung einer verbesserten Lösung

→ Verringerung des Diskretisierungsfehlers 1. Erhöhung der Elementanzahl → h-Konvergenz 2. Erhöhung der Ordnung der Formfunktionen → p-Konvergenz h ... charakteristische Elementlänge p ... Polynomgrad

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Voraussetzungen für Konvergenz 1. Vollständigkeit bis zur Ordnung n 2. Kompatibilität bis zur n − 1-ten Ableitung Beispiel Stab Π=

Z

1 EAu′2 dx + Πa 2



Ordnung n = 1



1. vollständiger Ansatz n = 1-ter Ordnung erforderlich – kontinuierliche Felder im Element – Abbildung Starrkörpertranslation und konstante Dehnung – Wahl der Ansatzfunktionen:

• • •

˜ (x) = a0 + a1 x → Konvergenz vollst. 1. Ordnung: u ˜ (x) = a0 + a1 x + a2 x4 → wie 1. Ordnung unvollst. 4. Ordnung: u ˜ (x) = a0 + a2 x2 → keine Konvergenz unvollst. 2. Ordnung: u

2. Kompatibilität der Verschiebungen Dresden, 06.01.2016

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Voraussetzungen für Konvergenz 1. Vollständigkeit bis zur Ordnung n 2. Kompatibilität bis zur n − 1-ten Ableitung Beispiel Stab Π=

Z

1 EAu′2 dx + Πa 2



Ordnung n = 1



1. vollständiger Ansatz n = 1-ter Ordnung erforderlich – kontinuierliche Felder im Element – Abbildung Starrkörpertranslation und konstante Dehnung – Wahl der Ansatzfunktionen:

• • •

˜ (x) = a0 + a1 x → Konvergenz vollst. 1. Ordnung: u ˜ (x) = a0 + a1 x + a2 x4 → wie 1. Ordnung unvollst. 4. Ordnung: u ˜ (x) = a0 + a2 x2 → keine Konvergenz unvollst. 2. Ordnung: u

2. Kompatibilität der Verschiebungen Dresden, 06.01.2016

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Voraussetzungen für Konvergenz 1. Vollständigkeit bis zur Ordnung n 2. Kompatibilität bis zur n − 1-ten Ableitung Beispiel Stab Π=

Z

1 EAu′2 dx + Πa 2



Ordnung n = 1



1. vollständiger Ansatz n = 1-ter Ordnung erforderlich – kontinuierliche Felder im Element – Abbildung Starrkörpertranslation und konstante Dehnung – Wahl der Ansatzfunktionen:

• • •

˜ (x) = a0 + a1 x → Konvergenz vollst. 1. Ordnung: u ˜ (x) = a0 + a1 x + a2 x4 → wie 1. Ordnung unvollst. 4. Ordnung: u ˜ (x) = a0 + a2 x2 → keine Konvergenz unvollst. 2. Ordnung: u

2. Kompatibilität der Verschiebungen Dresden, 06.01.2016

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Voraussetzungen für Konvergenz 1. Vollständigkeit bis zur Ordnung n 2. Kompatibilität bis zur n − 1-ten Ableitung Beispiel Stab Π=

Z

1 EAu′2 dx + Πa 2



Ordnung n = 1



1. vollständiger Ansatz n = 1-ter Ordnung erforderlich – kontinuierliche Felder im Element – Abbildung Starrkörpertranslation und konstante Dehnung – Wahl der Ansatzfunktionen:

• • •

˜ (x) = a0 + a1 x → Konvergenz vollst. 1. Ordnung: u ˜ (x) = a0 + a1 x + a2 x4 → wie 1. Ordnung unvollst. 4. Ordnung: u ˜ (x) = a0 + a2 x2 → keine Konvergenz unvollst. 2. Ordnung: u

2. Kompatibilität der Verschiebungen Dresden, 06.01.2016

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Beispiel: Stab durch Linienlast und Einzelkraft belastet s. Fish/Belytschko 2007 S. 115ff EA q=cx F=cl

2l

2

x

1 lineares Element Schnittkraftverlauf 1 2

Schnittkraft F/(cl )

Verschiebung u/(c/EA)

Verschiebungsverlauf 1

0.5 analyt. FEM 0

0

0.5 globale Koordinate x/2l

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1

0.5 0 analyt. FEM

−0.5 −1

0

0.5 globale Koordinate x/2l

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1

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2 lineare Elemente Schnittkraftverlauf 1 2

Schnittkraft F/(cl )

Verschiebung u/(c/EA)

Verschiebungsverlauf 1

0.5 analyt. FEM 0

0

0.5 globale Koordinate x/2l

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1

0.5 0 analyt. FEM

−0.5 −1

0

0.5 globale Koordinate x/2l

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1

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10 lineare Elemente Schnittkraftverlauf 1 2

Schnittkraft F/(cl )

Verschiebung u/(c/EA)

Verschiebungsverlauf 1

0.5 analyt. FEM 0

0

0.5 globale Koordinate x/2l

Dresden, 06.01.2016

1

0.5 0 analyt. FEM

−0.5 −1

0

0.5 globale Koordinate x/2l

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1

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1 quadratisches Element Schnittkraftverlauf 1 2

Schnittkraft F/(cl )

Verschiebung u/(c/EA)

Verschiebungsverlauf 1

0.5 analyt. FEM 0

0

0.5 globale Koordinate x/2l

Dresden, 06.01.2016

1

0.5 0 analyt. FEM

−0.5 −1

0

0.5 globale Koordinate x/2l

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1

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2 quadratische Elemente Schnittkraftverlauf 1 Schnittkraft F/(cl2)

Verschiebung u/(c/EA)

Verschiebungsverlauf 1

0.5 analyt. FEM 0

0

0.5 globale Koordinate x/2l

Dresden, 06.01.2016

1

0.5 0 analyt. FEM

−0.5 −1

0

0.5 globale Koordinate x/2l

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1

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10 quadratische Elemente Schnittkraftverlauf 1 2

Schnittkraft F/(cl )

Verschiebung u/(c/EA)

Verschiebungsverlauf 1

0.5 analyt. FEM 0

0

0.5 globale Koordinate x/2l

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1

0.5 0 analyt. FEM

−0.5 −1

0

0.5 globale Koordinate x/2l

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1

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Fehlernormen und Konvergenzrate Konvergenzverhalten

0

10

−1

10

||e||L

=

||e||L



||e||en

=

||e||en



2



−2

10

2

−3

10 Fehlernorm

vZ u u ˜ (x))2 dx t (u(x) − u

−4

10

p+1

h vZ u 1 u 2 dx E (ε(x) − ε(x)) ˜ t 2 Ω

−5

10

p

h

−6

10

L2 linear Energie linear Energie quadratisch

−8

10

˜ ... exakte Lösung (•)

L2 quadratisch

−7

10

−2

10

−1

0

10

10 Elementlänge h [m]

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p ... vollständiger Polynomgrad 1

10

h ... Elementgröße

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Beispiel Diskretisierungsfehler: Scheibe mit Loch

x2 x1

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Beispiel: Scheibe mit Loch – bilineare Elemente

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Beispiel: Scheibe mit Loch – 8-Knoten-Randpunktelemente

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