Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik
Numerische Methoden I – FEM/REM Dr.-Ing. Markus Kästner ZEU 353 Tel.: 0351 463 32656 E-Mail:
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Dresden, 06.01.2016
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Zusammenfassung 8. Vorlesung 1. Schiefwinklige Scheibenelemente – Numerischer vs. physikalischer Bereich – Parameterdarstellung der Elementgeometrie (Geometrieinterpolation ) – Isoparametrisches Konzept • Gleiche Ansätze für Interpolation der Elementgeometrie und der Verschiebungen e x ξ =N ξ x
e u ξ =N ξ u
• Starrkörperbewegung verzerrungsfrei abbildbar 2. Scheibenelemente höherer Ordnung – Motivation: verbesserte Lösung – 9-Knoten-Scheibenelement – 8-Knoten-Randpunktelement
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3.1.7 3D-Kontinuumselemente
• •
analog zu 2D
•
20-Knoten-Randpunktelement
Formfunktionen z. B. aus vollständiger Produktbildung der 1D-Lagrange-Polynome → trilinear: 8-Knoten-Quader → triquadratisch: 27-Knoten-Quader
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Stützstellen und Gewichte für Gauss-Quadratur* Anzahl der Stützstellen n
Stützstelle ξi
Gewicht ai
1
ξ1 = 0, 5
a1 = 1
2
ξ1 = 0, 21132487
a1 = 0, 5
ξ2 = 0, 78867513
a2 = 0, 5
ξ1 = 0, 11270167
a1 = 0, 27777778
ξ2 = 0, 5
a2 = 0, 44444444
ξ3 = 0, 88729833
a3 = 0, 27777778
ξ1 = 0, 06943184
a1 = 0, 1739274
ξ2 = 0, 3300095
a2 = 0, 32607258
ξ3 = 0, 6699905
a3 = 0, 32607258
ξ4 = 0, 93056816
a4 = 0, 1739274
3
4
* Integrationsbereich ξ ∈ [0, 1] entnommen aus Hellmann, Numerische Methoden (FEM,REM), 2012 Dresden, 06.01.2016
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3.2.3 Berechnung von Spannungen und Verzerrungen e
• •
Lösung des Gesamtgleichungssystems → u bekannt Verzerrungen e ε ξ = B ξ u + ε0
•
Spannungen
•
ε0 ... Anfangsverzerrungen σ 0 ... Anfangsspannungen Auswertung an den Gauss-Punkten und – Extrapolation auf Knoten – Mittelung der Knotenwerte benachbarter Elemente – Interpolation mittels Formfunktionen
e σ ξ = C B ξ u + ε0 + σ 0
σ=
X
Ni σ i
i
σ i ... Knotenwerte der Spannung Dresden, 06.01.2016
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3.2.3 Berechnung von Spannungen und Verzerrungen e
• •
Lösung des Gesamtgleichungssystems → u bekannt Verzerrungen e ε ξ = B ξ u + ε0
•
Spannungen
•
ε0 ... Anfangsverzerrungen σ 0 ... Anfangsspannungen Auswertung an den Gauss-Punkten und – Extrapolation auf Knoten – Mittelung der Knotenwerte benachbarter Elemente – Interpolation mittels Formfunktionen
e σ ξ = C B ξ u + ε0 + σ 0
σ=
X
Ni σ i
i
σ i ... Knotenwerte der Spannung Dresden, 06.01.2016
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3.3 Fehler und Konvergenz Was kann eine FE-Lösung leisten?
•
Assemblierungsprozess gewährleistet: – Kompatibiliät der Knotenverformungen – Gleichgewicht der Knotenlasten
•
Polynomiale Ansatzfunktionen → stetige Feldgrößen im Element: – Verschiebungen – Verzerrungen – Spannungen
• •
Spannungen und Verzerrungen i. A. unstetig über Elementgrenzen Spannungsfelder im Element verletzen i. A. die Gleichgewichtsbedingungen
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3.3 Fehler und Konvergenz Was kann eine FE-Lösung leisten?
•
Assemblierungsprozess gewährleistet: – Kompatibiliät der Knotenverformungen – Gleichgewicht der Knotenlasten
•
Polynomiale Ansatzfunktionen → stetige Feldgrößen im Element: – Verschiebungen – Verzerrungen – Spannungen
• •
Spannungen und Verzerrungen i. A. unstetig über Elementgrenzen Spannungsfelder im Element verletzen i. A. die Gleichgewichtsbedingungen
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3.3 Fehler und Konvergenz Was kann eine FE-Lösung leisten?
•
Assemblierungsprozess gewährleistet: – Kompatibiliät der Knotenverformungen – Gleichgewicht der Knotenlasten
•
Polynomiale Ansatzfunktionen → stetige Feldgrößen im Element: – Verschiebungen – Verzerrungen – Spannungen
• •
Spannungen und Verzerrungen i. A. unstetig über Elementgrenzen Spannungsfelder im Element verletzen i. A. die Gleichgewichtsbedingungen
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3.3.1 Fehlerquellen
•
Fehler in der Modellbildung (vermeiden!) – Mechanisches Modell (1D, 2D, 3D, Statik, Dynamik?) – Lasten – Randbedingungen – Materialverhalten
•
FEM-spezifische Benutzerfehler (vermeiden!) – Elementtyp ungeeignet – Vernetzung ungeeignet
•
Numerische Fehler – Abbruch- bzw. Rundungsfehler – Fehler bei der (iterativen) Lösung des Problems
•
Diskretisierungsfehler – Geometrie – Feldgrößen
→ Numerischer Fehler + Diskretisierungsfehler = Fehler zwischen Kontinuumsmechanik und diskretem FE-Modell Dresden, 06.01.2016
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3.3.1 Fehlerquellen
•
Fehler in der Modellbildung (vermeiden!) – Mechanisches Modell (1D, 2D, 3D, Statik, Dynamik?) – Lasten – Randbedingungen – Materialverhalten
•
FEM-spezifische Benutzerfehler (vermeiden!) – Elementtyp ungeeignet – Vernetzung ungeeignet
•
Numerische Fehler – Abbruch- bzw. Rundungsfehler – Fehler bei der (iterativen) Lösung des Problems
•
Diskretisierungsfehler – Geometrie – Feldgrößen
→ Numerischer Fehler + Diskretisierungsfehler = Fehler zwischen Kontinuumsmechanik und diskretem FE-Modell Dresden, 06.01.2016
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3.3.1 Fehlerquellen
•
Fehler in der Modellbildung (vermeiden!) – Mechanisches Modell (1D, 2D, 3D, Statik, Dynamik?) – Lasten – Randbedingungen – Materialverhalten
•
FEM-spezifische Benutzerfehler (vermeiden!) – Elementtyp ungeeignet – Vernetzung ungeeignet
•
Numerische Fehler – Abbruch- bzw. Rundungsfehler – Fehler bei der (iterativen) Lösung des Problems
•
Diskretisierungsfehler – Geometrie – Feldgrößen
→ Numerischer Fehler + Diskretisierungsfehler = Fehler zwischen Kontinuumsmechanik und diskretem FE-Modell Dresden, 06.01.2016
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3.3.1 Fehlerquellen
•
Fehler in der Modellbildung (vermeiden!) – Mechanisches Modell (1D, 2D, 3D, Statik, Dynamik?) – Lasten – Randbedingungen – Materialverhalten
•
FEM-spezifische Benutzerfehler (vermeiden!) – Elementtyp ungeeignet – Vernetzung ungeeignet
•
Numerische Fehler – Abbruch- bzw. Rundungsfehler – Fehler bei der (iterativen) Lösung des Problems
•
Diskretisierungsfehler – Geometrie – Feldgrößen
→ Numerischer Fehler + Diskretisierungsfehler = Fehler zwischen Kontinuumsmechanik und diskretem FE-Modell Dresden, 06.01.2016
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3.3.2 Konvergenz
•
Ziel: Berechnung einer verbesserten Lösung
→ Verringerung des Diskretisierungsfehlers 1. Erhöhung der Elementanzahl → h-Konvergenz 2. Erhöhung der Ordnung der Formfunktionen → p-Konvergenz h ... charakteristische Elementlänge p ... Polynomgrad
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Voraussetzungen für Konvergenz 1. Vollständigkeit bis zur Ordnung n 2. Kompatibilität bis zur n − 1-ten Ableitung Beispiel Stab Π=
Z
1 EAu′2 dx + Πa 2
→
Ordnung n = 1
Ω
1. vollständiger Ansatz n = 1-ter Ordnung erforderlich – kontinuierliche Felder im Element – Abbildung Starrkörpertranslation und konstante Dehnung – Wahl der Ansatzfunktionen:
• • •
˜ (x) = a0 + a1 x → Konvergenz vollst. 1. Ordnung: u ˜ (x) = a0 + a1 x + a2 x4 → wie 1. Ordnung unvollst. 4. Ordnung: u ˜ (x) = a0 + a2 x2 → keine Konvergenz unvollst. 2. Ordnung: u
2. Kompatibilität der Verschiebungen Dresden, 06.01.2016
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Voraussetzungen für Konvergenz 1. Vollständigkeit bis zur Ordnung n 2. Kompatibilität bis zur n − 1-ten Ableitung Beispiel Stab Π=
Z
1 EAu′2 dx + Πa 2
→
Ordnung n = 1
Ω
1. vollständiger Ansatz n = 1-ter Ordnung erforderlich – kontinuierliche Felder im Element – Abbildung Starrkörpertranslation und konstante Dehnung – Wahl der Ansatzfunktionen:
• • •
˜ (x) = a0 + a1 x → Konvergenz vollst. 1. Ordnung: u ˜ (x) = a0 + a1 x + a2 x4 → wie 1. Ordnung unvollst. 4. Ordnung: u ˜ (x) = a0 + a2 x2 → keine Konvergenz unvollst. 2. Ordnung: u
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Voraussetzungen für Konvergenz 1. Vollständigkeit bis zur Ordnung n 2. Kompatibilität bis zur n − 1-ten Ableitung Beispiel Stab Π=
Z
1 EAu′2 dx + Πa 2
→
Ordnung n = 1
Ω
1. vollständiger Ansatz n = 1-ter Ordnung erforderlich – kontinuierliche Felder im Element – Abbildung Starrkörpertranslation und konstante Dehnung – Wahl der Ansatzfunktionen:
• • •
˜ (x) = a0 + a1 x → Konvergenz vollst. 1. Ordnung: u ˜ (x) = a0 + a1 x + a2 x4 → wie 1. Ordnung unvollst. 4. Ordnung: u ˜ (x) = a0 + a2 x2 → keine Konvergenz unvollst. 2. Ordnung: u
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Voraussetzungen für Konvergenz 1. Vollständigkeit bis zur Ordnung n 2. Kompatibilität bis zur n − 1-ten Ableitung Beispiel Stab Π=
Z
1 EAu′2 dx + Πa 2
→
Ordnung n = 1
Ω
1. vollständiger Ansatz n = 1-ter Ordnung erforderlich – kontinuierliche Felder im Element – Abbildung Starrkörpertranslation und konstante Dehnung – Wahl der Ansatzfunktionen:
• • •
˜ (x) = a0 + a1 x → Konvergenz vollst. 1. Ordnung: u ˜ (x) = a0 + a1 x + a2 x4 → wie 1. Ordnung unvollst. 4. Ordnung: u ˜ (x) = a0 + a2 x2 → keine Konvergenz unvollst. 2. Ordnung: u
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Beispiel: Stab durch Linienlast und Einzelkraft belastet s. Fish/Belytschko 2007 S. 115ff EA q=cx F=cl
2l
2
x
1 lineares Element Schnittkraftverlauf 1 2
Schnittkraft F/(cl )
Verschiebung u/(c/EA)
Verschiebungsverlauf 1
0.5 analyt. FEM 0
0
0.5 globale Koordinate x/2l
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1
0.5 0 analyt. FEM
−0.5 −1
0
0.5 globale Koordinate x/2l
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1
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2 lineare Elemente Schnittkraftverlauf 1 2
Schnittkraft F/(cl )
Verschiebung u/(c/EA)
Verschiebungsverlauf 1
0.5 analyt. FEM 0
0
0.5 globale Koordinate x/2l
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1
0.5 0 analyt. FEM
−0.5 −1
0
0.5 globale Koordinate x/2l
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1
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10 lineare Elemente Schnittkraftverlauf 1 2
Schnittkraft F/(cl )
Verschiebung u/(c/EA)
Verschiebungsverlauf 1
0.5 analyt. FEM 0
0
0.5 globale Koordinate x/2l
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1
0.5 0 analyt. FEM
−0.5 −1
0
0.5 globale Koordinate x/2l
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1
Folie 11 von 18
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1 quadratisches Element Schnittkraftverlauf 1 2
Schnittkraft F/(cl )
Verschiebung u/(c/EA)
Verschiebungsverlauf 1
0.5 analyt. FEM 0
0
0.5 globale Koordinate x/2l
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1
0.5 0 analyt. FEM
−0.5 −1
0
0.5 globale Koordinate x/2l
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Folie 12 von 18
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2 quadratische Elemente Schnittkraftverlauf 1 Schnittkraft F/(cl2)
Verschiebung u/(c/EA)
Verschiebungsverlauf 1
0.5 analyt. FEM 0
0
0.5 globale Koordinate x/2l
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1
0.5 0 analyt. FEM
−0.5 −1
0
0.5 globale Koordinate x/2l
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1
Folie 13 von 18
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10 quadratische Elemente Schnittkraftverlauf 1 2
Schnittkraft F/(cl )
Verschiebung u/(c/EA)
Verschiebungsverlauf 1
0.5 analyt. FEM 0
0
0.5 globale Koordinate x/2l
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1
0.5 0 analyt. FEM
−0.5 −1
0
0.5 globale Koordinate x/2l
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1
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Fehlernormen und Konvergenzrate Konvergenzverhalten
0
10
−1
10
||e||L
=
||e||L
∝
||e||en
=
||e||en
∝
2
Ω
−2
10
2
−3
10 Fehlernorm
vZ u u ˜ (x))2 dx t (u(x) − u
−4
10
p+1
h vZ u 1 u 2 dx E (ε(x) − ε(x)) ˜ t 2 Ω
−5
10
p
h
−6
10
L2 linear Energie linear Energie quadratisch
−8
10
˜ ... exakte Lösung (•)
L2 quadratisch
−7
10
−2
10
−1
0
10
10 Elementlänge h [m]
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p ... vollständiger Polynomgrad 1
10
h ... Elementgröße
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Folie 15 von 18
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Beispiel Diskretisierungsfehler: Scheibe mit Loch
x2 x1
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Beispiel: Scheibe mit Loch – bilineare Elemente
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Folie 17 von 18
Maschinenwesen – IFKM, Professur für Nichtlineare Festkörpermechanik
Beispiel: Scheibe mit Loch – 8-Knoten-Randpunktelemente
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