UNIDAD V.- PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION Productos Notables REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

x

(a)

om .m

(b) (c) (d) (e)

(f)

Un producto notable (multiplicación) es aquel que se puede obtener su resultado sin necesidad de realizar exactamente la multiplicación, por ejemplo al tener:

to .c

(2 x  3) 2 , un error común es pensar que es igual a (2 x  3) 2  (2 x) 2  (3) 2  4 x 2  9 ¡¡ERROR!! Ya que si 2 2 2 fuera cierto lo anterior, sería cierto lo siguiente: (3  5)  (3)  (5)  9  25  34 2

¿Cuadrado de 8, 8 es igual a 34?

(a  b)3  (a)3 (b)3

pero

ix

Recuerda entonces, si tienes una multiplicación (no suma o resta)

(a  b)3  a3  b3

2

al

Bueno pues veamos entonces a que es igual a (2 x  3) sabes que:

.c

32  3  3  9 y 53  5  5  5  125 Luego entonces:

w

w

w

(2 x  3) 2  (2 x  3)(2 x  3)

o sea:

OJO:Recuerda que al multiplicar dos binomios (x+2)(x+3) no es igual a x2 + 6

2x  3  2x  3 4 x2  6 x  6x  9 4 x 2  12 x  9

Matemáticas IV.- Álgebra

75

Es decir:

(2 x  3) 2  4 x 2  12 x  9

Ahora, las 6 reglas antes mencionadas te ayudan a encontrar este resultado sin necesidad de realizar la multiplicación en sí:

(2 x  3) 2  (2 x) 2  2(2 x)(3)  (3x) 2

x

 La primera regla (a  b)2  a 2  2ab  b2

om .m

(2 x  3) 2  4 x 2  12 x  9 Ejemplos, desarrollar los siguientes productos notables: a) (5 x 2  4)2  “primera regla (a  b)2  a 2  2ab  b2 ”

a  5x 2

b4

(5x 2  4) 2  (5x 2 ) 2  2(5x 2 )(4)  (4) 2

to .c

 25x 4  40 x 2  16 b) (3  2 y 2 )3  “Cuarta regla (a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3 ”

a3

b  2y 2

(3  2 y 2 ) 3  (3) 3  3(3) 2 (2 y 2 )  3(3)(2 y 2 ) 2  (2 y 2 ) 3

ix

 27  3(9)(2 y 2 )  3(3)(4 y 4 )  (8 y 6 )

al

 27  54 y 2  36 y 4  8 y 6 c) (a x 1  b y 2 )2 

.c

a  a x1 b  b y 2 (a x1  b y 2 ) 2  (a x1 ) 2  2(a x1 )(b y 2 )  (b y 2 ) 2  los exponentes se multiplican

w

 a 2 x2  2a x1b y 2  b 2 y 4 

Bases diferentes no se suman los exponentes

w

w

EJERCICIOS

76

a)

3a

b)

 4xy  a 

d)

 ab  3 ab  3

e)

 7a

3

g)

 6ab

h)

x

 4  x 2  7 

2

 b3 

2

2

 3

2

2 3

2

 3b4 

3

c)

2y

f)

 4x

i)

 y  14 y  20

x 1

2

 3ab 2 

2

 5 4 x 2  5

Prof. Jesús Calixto Suárez

El Binomio de Newton

Primero recordemos los productos notables ya estudiados:

 a  b

2

 a 2  2ab  b2

,

 a  b

3

 a3  3a 2b  3ab2  b3

como podrás observar , por ejemplo en el desarrollo de  a  b  el comportamiento de las literales (sus exponentes) es: la b no aparece en el primer término, aparce 3

a 2b

ab2

b3

om .m

a3

x

en el segundo y va aumentendo hasta b3

la a empieza con exponente 3 y va bajando de exponente 3, 2, 1 hasta que desaparece

Ahora los coeficientes los puedes obtener de la manera siguiente:

3

2

(3)(1)

1

2

3

 1

a  3 a b  3a b  b  2  3  2



6  3 2

3

tres término escritos

3

3

2

a  3a b  3ab

2

2

dos término escritos a  3a b

Analizemos ahora el desarrollo de  a  b  para que nos quede más claro

to .c

4

empezamos con a 4

 a  b

4

a4

las literales

a3b

a 2b 2

ab3

b4

terminamos con b 4 .

ix

Ya habíamos comentadoque los exponentes de “a” van disminuyendo a 4 , a3 , a 2 , a,sin a

sin b, b2 , b3 , b4

al

y los exponentes de b van aumentando. Ahora los coeficientes quedan:

a4

.c

(6)(2) 12  4 3 3

4 a3 b 6 a 2 b 2

4 a1 b3

Recuerda que se divide entre el número de términos anteriores

(1)(4) 1 4

w

(3)(4) 12  6 2 2

b4

Es decir tenemos:

 a  b

4

w

w

 a 4  4a3b  6a 2b2  4ab3  b4 Finalmente el binomio de Newton se escribiría como:

 a  b

n

 a n  na n 1b 

n(n  1) n  2 2 n(n  1)(n  2) n 3 3 a b  a b  ...  b n 1 2 1 2  3

Observación: El desarrollo antes mencionado sólo considera el caso en que el binomio es una suma, para cuando es una resta más adelante se vera que sucede

Matemáticas IV.- Álgebra

77





Ejemplo 1.- Desarrollar con el binomio de Newton 2 x 2  1

5

5

Ahora, desarrollando las potencias antes de multiplicar 2

 1  32 x10  5 16 x8  1  10 8 x6  1  10  4 x 4  1  5  2 x 2  1  1 5

 2x

2

 1  32 x10  80 x8  80 x6  40 x4  10 x2  1 5

om .m

 2x

x

 2  2 5 2 4 2 3 2 2 2 3 2 4 5  2 x  1  (2 x )  5(2 x ) (1)  10(2 x ) (1)  10(2 x ) (1)  5(2 x )(1)  (1) b  a (a  b)5  a5  5a 4b  10a3b 2  10a 2b3  5ab 4  b5

Observación: Si al desarrollar un binomio elevado a una potencia, el signo es

menos  a  b  , los términos son los mismos que en la potencia positiva  a  b  , sólo que los signo se van alternando, empezando con + n

n

 a  b   a5  5a 4b  10a3b2  10a 2b3  5ab4  b5 5  a  b   a5  5a 4b  10a3b2  10a 2b3  5ab4  b5 5

 













to .c

Los signos se alternan Ejemplo 2.- Desarrollar 3a3  2b2

 2b 2    4 a b   a  b   a 4  4a 3b  6a 2b 2  4ab3  b 4

3a

3

4

ix

3

4

 2b2    3a3   4  3a3   2b2   6 3a3   2b2   4 3a3  2b2    2b2  4

4

3

2

2

3

4

al

3a



no se pone 2b

2

.c

ahora primero desarrollamos las potencias

3a

3

 2b2   81a12   4  27a9  2b2   6  9a 6  4b4   4  3a3 8b6   16b8  4

w

 81a12  216a9b 2  216a 6b 4  96a3b6  16b8

Ejercicios Encuentra el desarrollo de los siguientes binomios utilizando el desarrollo del binomio de Newton

3x  y   1  2a   3a  5a  

w

a)

w

c)

78

e)

3

2 6

5 7

5 6

b) d) f)

 2x  4 y  3a b  a  1  3b   3

4 5

2

3 4

 

4 8

Prof. Jesús Calixto Suárez

Factorización Factorizar un número consiste en escribirlo como un producto de números primos (números que ya no se pueden descomponer). Por ejemplo al factorizar el número 20 nos queda: descomposición factorial del 20

20 

   (2)(2)(5)

x

es decir la factorización de 20 es

om .m

20 2 10 2 5 5 1

Cabe mencionar que aunque 20=(4)(5) ésta no es su descomposición factorial pues 4 no es primo (es decir se puede descomponer como 4=(2)(2) ). RECUERDA.- El número 1 NO es considerado como número primo

Factorización De Una Expresión Algebraica

to .c

Factorizar una expresión algebraica al igual que en los números, consiste en escribirla como un producto de dos o más expresiones algebraicas que ya no pueden ser factorizadas. Para factorizar una expresión algebraica ya no es tan fácil como en los números, sin embargo considerando 8 casos y un caso especial podemos lograrlo de la siguiente manera. Caso I.- Factor Común

FACTOR COMÚN.- Éste caso se presenta cuando todos los términos común.

 ésto es un producto

a) 2a2 + 4a = 2a ( a +2)

ix

Factorizar :

de dicha expresión tienen un factor en

(2)(a)(a)

(2)(2)(a)

2a es el factor común

al

18x2 y3 z  12 x3 y 4 z 2  24 xy 2

.c

Si vemos detalladamente la factorización de cada término de la expresión anterior tenemos: 18x2y3z = (2)(3)(3)(x)(x)(y)(y)(y)(z) Factor común : (2)(3)(x)(y)(y)6xy2

w

12x3y4z2 = (2)(2)(3)(x)(x)(x)(y)(y)(y)(y)(z)(z) 24 xy2 = (2)(2)(2)(3)(x)(y)(y)

w

Como podrás observar, 6 es el M.C.D. de 18,12 y 24 y además se toma la letra común en cada expresión pero con MENOR exponente es decir de x2 , x3yx se toma ax y de y3 , y4 y y2 se toma y2 .

w

Entonces podemos escribir 18x 2 y3 z  12 x3 y 4 z 2  24 xy 2  6 xy 2 3xyz  2 x 2 y 2 z 2  4 2 3





2

18x y z = (2)(3)(3)(x)(x)(x)(y)(y)(y)(z) = 6xy (3xyz) 12x3y4z2 = (2)(2)(3)(x)(x)(x)(y)(y)(y)(y)(z)(z) = 6xy2 (2x2y2z2) 2 2 24 xy = (2)(2)(2)(3)(x)(y)(y) = 6xy (4)

Matemáticas IV.- Álgebra

79

Ejemplo 1.- Factorizar 24a 2 y 3  18ay 4  12a3 y 2 Ahora, factoricemos más directo sin ser tan explícitos, es decir, tomemos a la vez sólo a los números (coeficientes) 24, 18 y 12 para encontrar su factor común (M.C.D.)

24 18 12 2 9 3

6 2

 2 3  6

3

es el factor común

x

12 4

om .m

en cuanto a las letras debemos tomar a las letras COMUNES Y DE MAYOR EXPONENTE → Para a 2 , a y a3 tomaremos a → Para y 3 , y 4 e y 2 tomaremos y 2 nuestra factorización queda:

24a 2 y3  18ay 4  12a3 y 2  6ay 2  4ay  3 y 2  2a 2  EJERCICIOS.- Factorizar las siguientes expresiones.

2a 2 x  6ax2

b) 35m n  70m

2 3

c)

2a2 x  2ax2  3ax

d)

x  x 2  x3  x 4

e) 15 y3  20 y 2  5 y

f)

24a 2 xy 2  36 x 2 y 4

2

g) 96  48mn  144n

3

to .c

a)

2

6

4

3

h) a  3a  8a  4a

2

Caso II.- Factorización Por Agrupación

ix

Este caso se presenta cuando la expresión algebraica por factorizar contiene términos que no todos comparten un factor común, sin embargo si los AGRUPAMOS ya comparten un factor común. Por ejemplo en la expresión siguiente los dos primeros términos comparten a “x” como factor común y los dos últimos a “–y2 “. La agrupación se hace en general de dos en dos , de tres en tres términos, etcétera.

al

Factorizar : x + x2 – x y2–y2

x + x2 – x y2–y2 = (x + x2 )+(– x y2–y2 ) 2

 x  1

.c

= x 1  x   y



=  x  1 x  y 2



factor común de x + x2 es: x factor común de – x y2–y2 es : –y2

factor común  x  1

w

Ejercicios.-Factorizar las siguientes expresiones. 2

a) a  ab  ax  bx 2 2

2

2

2

w

d) a x – 3bx  a y – 3by 3

2

g) 4a –1– a  4a 2

2

w

j) 3a – b  2b x – 6ax

80

c) ax – 2bx – 2ay  4by

b) am – bm  an – bn 2

4

e) 3m – 2n – 2nx  3mx 2

2

h) x  x – xy – y 3

4

2

2

2

2

2

f) x – a  x – a x 2

2

2

i) 3abx – 2 y – 2 x  3aby

2

2

k) 4a x – 4a b  3bm – 3amx

Prof. Jesús Calixto Suárez

Caso III.- Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P.)

x

Este caso se presenta cuando tenemos una expresión de tres términos de los cuales dos son positivos y tienen raíz cuadrada exacta y el tercer término(no necesariamente esta al centro) esta compuesto por el doble producto de las raíces de los dos términos. Por los productos notables ya vistos un T.C.P. se puede escribir como el cuadrado de un binomio (a+b)2, compuesto por las raíces antes mencionadas y el signo del término que no tuvo raíz cuadrada. Factorizar: 4x2–12xy + 9y2

4 x 2  12 xy  9 y 2 2

2

2x

3y

Entonces tenemos

y además 2  2 x  3 y   12 xy , es decir la expresión si es un T.C.P.

Signo del término que no tuvo raíz cuadrada –12xy 2

to .c

4 x 2 –12 xy  9 y 2   2 x – 3 y  Ejercicios: Factorizar a)

a2  2ab  b2

b)

2

d) a –10a  25 2

c)

y4 1  2 y2

2

f)

16  40 x2  25x4

i)

1– 2a3  a6

2

h) 36  12m  m

4

ix

a8  18a4  81

x2 – 2 x  1

e) 9 – 6x  x

g) 1  49a –14a j)

om .m

Como se puede observar

al

Caso IV.- Diferencia De Cuadrados

.c

En este caso es sencillo identificar el caso, ya que sólo tiene dos términos que tiene raíz cuadrada exacta y entre ellos hay un signo menos (necesariamente), al igual que en un T.C.P. por productos notables la diferencia de cuadrados se escribe como el producto de dos binomios, uno con la suma de las raíces y el otro con la diferencia de las raíces. 10

12

w

a – 49 b Factorizar: como podemos ver se trata de la diferencia de dos cantidades y tiene raíz cuadrada exacta, entonces 10 12 a  49 b  (a 5  7b 6 )(a 5  7b 6 )  2

2



w



a5

7 b6

w

Ejercicios: Factorizar a)

16 – n2

b)

a 2 – 25

c)

1– y 2

d)

e)

25 – 36a 4

f)

g)

4a 2 – 9 4 x 2 – 81y 4

h)

a 2b8 – c2

i)

1– 49a 2b2 100 – x 2 y 6

j)

a10 – 49b12

Matemáticas IV.- Álgebra

81

Caso V.- Trinomios De La Forma x2 + bx +c Para este caso debe de haber de nuevo, como en el Caso III, 3 términos , un cuadrático x2 , uno lineal bx y otro constante o independiente c, dichos trinomios por el 5° producto notable:

 x  a  x  b   x2   a  b  x   a b  2

x

Es decir al tener un trinomio de la forma x  bx  c se factoriza como sigue.

om .m

x2  bx  c   x  p  x  q  donde: p  q  b y  p  q   c 2

Factorizar: x – 7 x – 30 ésta expresión es un trinomio de la forma multiplicados den –30 y sumados den –7.

x2 – 7 x – 30   x –10  x  3 , ya que (–10)(3) = –30 y –10+(3) = –7

to .c

30 2 15 3 (2)(5) = 10 5 5 1

a2 – 2a – 35

d)

m2  13m – 30

g)

x2 –15x  54

j)

x2  8x –180

b)

x2  14 x  13

c)

a2  33 –14a

e)

c2 –13c –14

f)

x2  15x  56

h)

a2  7a – 60

i)

x2 –17 x – 60

k)

m2 – 20m – 300

l)

x2  x –132

ix

Ejercicios.-Factorizar a)

x2  bx  c , por tanto hay que encontrar dos números que

Caso VI.- Trinomios De La Forma ax2 + bx +c

al

La diferencia entre el caso V y el caso VI es que en el caso VI el término cuadrático ax 2 tiene coeficiente “a” diferente de uno como en el caso V, por tanto también se factoriza de una manera similar. (p)(r) = a (q)(s) = c (p)(s) + (q)(r) = b

w

.c

ax2 + bx +c = (px + q)(rx+s) donde :

Factorizar : 5x2  4 x  12

w

Como podrás observar ya no se trata de un trinomio de la forma que menciona el caso V, ya que el coeficiente de x2 (5x2) , es 5.

w

Apliquemos el caso VI 5x2 +4x–12 = (5x ) (x ), ahora busquemos dos números que den multiplicados –12

82

(5)(1) = 5 (3)(4) = 12

(6)(2) = 12

Prof. Jesús Calixto Suárez

5x2 + 4x – 12 = (5x + 3 ) (x – 4 ) , como puedes ver (3)(–4) = –12 pero (5)(–4)+(3)(1)  4 (3)(1) (5)(–4)

Ejercicios: Factorizar 2

2

om .m

5x2  4 x –12   5x – 6  x  2  , que cumple (5)(1) = 5 , (2)(6) = 12 y (5)(2)+(–6)(1) = 4

x

Ahora probemos con 6 y 2, es decir

a) 2 x  3x – 2

b) 3x –12 – 35x

c) 6 x2  7 x  2

d) 5x 2  13x – 6

e) 6 x 2 – 6 – 5 x

f) 12 x 2 – x – 6

g) 4a 2  15a  9

h) 3  11a  10a 2

i) 12m2 –13m – 35

2

k) 8a 2 –14a –15

l) 7 x 2 – 44 x – 35

j) 20 y  y –1 Caso VII.- Suma De Cubos

3

3

a

(a)2

b

(b)2

Factorizar: 27a6 + 8 3

27a 6  3a 2

Entonces



82

ix

3

to .c

Una suma de cubos como su nombre lo dice es una expresión compuesta por dos términos que tiene raíz cúbica exacta y se encuentran sumando, no confundirse con el cubo de una suma que es (a+b) 3 , es decir a3+b3  (a+b)3 , la suma de cubos se factoriza como el producto de un binomio por un trinomio los cuales se forman de la siguiente manera a3  b3   a  b   a 2 –  a  b   b2 

27a 6  8   3a 2  2   3a 2  –  3a 2   2    2 

2



al

2

27a6  8   3a 2  2  9a 4 – 6a 2  4 

a)

a3  27

b)

64  a 6

c)

8x3  y 3

8a3  27b6

e)

512  27a9

f)

1  343n3

x3 y 6  125

w

d)

.c

Ejercicios: Factorizar

w

w

g)

Matemáticas IV.- Álgebra

83

Caso VIII.- Diferencia De Cubos De la misma manera que en la suma de cubos tenemos. a3  b3 =  a – b   a 2   a  b   b2  3

3

a

b

(a)2

(b)2

8b 9  2b 3

3

1 1

Entonces 8b9– 1 = (2b3– 1) ( (2b3)2+ (2b3)(1) +(1)2 ) 8b9– 1 = (2b3– 1) (4b6 + 2b3 + 1) Ejercicios: Factorizar

y 3 – 27

b)

8 – a9

d)

8z 3 – 27 y 6

e)

512 – 27a9

g)

27 – x3 y 6

c)

8a3 – b3

f)

1– 343n3

w

w

w

.c

al

ix

to .c

a)

om .m

3

x

Factorizar: 8b9– 1

84

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