REFLEXIONES SOBRE LA NATURALEZA DEL CONOCIMIENTO, LAS CREENCIAS Y LAS CONCEPCIONES Miguel Montes, Eric Flores-Medrano, Enrique Carmona, José Luis Huitrado y Pablo Flores

1.1

SOBRE EL CONOCIMIENTO

Este apartado responde a la necesidad de clarificar el significado que asignamos al término conocimiento los investigadores del grupo SIDM de la Universidad de Huelva. La revisión bibliográfica nos lleva a dar una definición integradora útil que distinga conocimiento de otros elementos. Un término muy relacionado con conocimiento es comprensión. Richard Skemp (1978) define comprensión como la asimilación de diferentes elementos dentro de esquemas, que constituyen el conocimiento. Para este autor, la comprensión relacional está constituida por saber aquello que se debe hacer y porqué, y la comprensión instrumental por saber las reglas sin las razones. Posteriormente consideró la comprensión lógica, equivalente a la conciencia de la estructura de lo que se hace, como pueda suceder en la prueba formal, y comprensión simbólica, conexión entre el simbolismo y la notación con ideas asociadas. Esta definición de comprensión ha sido reelaborada posteriormente por diferentes autores (consultados especialmente referentes de educación matemática), caracterizando cómo se pone en juego y desarrolla: •

Superar obstáculos cognitivos. (Cornu, 1991; Sierpinska, 1990).

•

Generar imágenes y definiciones del concepto (Vinner, 1991; Tall y Vinner, 1981).

•

Operar con múltiples representaciones (Kaput, 1989).

•

Construir concepciones operacionales y estructurales (Sfard, 1991).

En literatura relativa al conocimiento profesional (e. g. Schön, 1983; Ponte, 1994; Climent 2005), encontramos la siguiente afirmación: “En la medida que las tareas [del profesional] cambian, lo harán también las demandas de un conocimiento utilizable, y los modelos de tarea y conocimiento serán intrínsecamente inestables” (Schön, 1983, p.26).

Esta reflexión nos lleva a otra: ¿hasta qué punto es útil tener una definición y modelo de conocimiento inmutable? Entendemos que, aceptando las palabras de Schön, el modelo que elaboremos, y la definición que adoptemos de conocimiento tendrá que estar sujeta a permanente revisión, siendo por tanto un constructo que satisfaga al grupo en el momento científico, social, cultural, profesional y en el que se encuentre, de forma que si alguno de estos contextos varía, podría ser revisado. En la literatura relativa a los modelos de conocimiento del profesor (Shulman 1986, 1987; Llinares y Sánchez, 1990; Pajares, 1992; Bromme 1994; Bromme y Tillema, 1995; Even, Tirosh y Markovits, 1996; Llinares 1998; Tirosh, 2000; Ball, Thames y Phelps, 2008; Rowland, Turner, Thwaites y Huckstep, 2009; Schoenfeld, 2010; Carrillo, Climent,

Contreras

y Muñoz-Catalán,

2013),se hace poco

énfasis

en

los

posicionamientos epistemológicos acerca del término conocimiento, más allá de ciertas reflexiones sobre la naturaleza a la que ha de aspirarse en el conocimiento de los profesores, “Conocer algo sin comprender el por qué, en el contexto de su conocimiento como profesor, no tiene más sentido para éste que en el contexto puramente matemático” (Tirosh, 2000, p.20), que usan los términos comprensión y conocimiento con significados que parecen muy próximos, con la salvedad de que el conocimiento parece cercano a algo que podríamos llamar “entendimiento declarativo”, o “no entendimiento”. Aceptamos esto como una llamada de atención sobre la necesidad de abordar el conocimiento de forma íntimamente ligada al entendimiento. Por tanto nos planteamos la utilidad de distinguir entre ambos, ya que podemos entender que existen grados de profundidad en la reflexión establecida sobre el conocimiento. Llinares (1998) adopta la siguiente caracterización de conocimiento: “Este conocimiento incluye no sólo la información específica sobre datos y métodos de comprobación de resolución de problemas, sino también la información necesaria para definir y comprender los problemas con los que debe enfrentarse el profesional” (p. 55). Por otro lado, Pajares (1992), utiliza el conocimiento para referirse a la amplia red de conceptos, imágenes, y habilidades inteligentes que poseen los seres humanos. Una vez más encontramos caracterizaciones sobre elementos que están englobados en el conocimiento, de forma que estos intentos de definición caracterizarían algunos de los elementos que pertenecen al conocimiento, pero aportan características que permiten discutir sobre elementos que pudieran pertenecer al mismo. En el caso de Pajares, se

incluyen las habilidades como parte del conocimiento, hecho a remarcar, teniendo en cuenta las discusiones establecidas sobre qué es conocimiento, y qué no, que han tenido lugar en el seminario. Finalmente, los aportes de Schoenfeld (2010) dan mayor precisión, con una definición del conocimiento que resulta bastante operativa para utilizarla en las investigaciones, que es compatible con la propuesta por Pajares: “Yo defino el conocimiento de un individuo como la información que tiene disponible para usar para resolver problemas, alcanzar metas, o desarrollar cualquier tarea. ¡Nótese que, de acuerdo a esta definición, el conocimiento no ha de ser necesariamente correcto!” (Schoenfeld, 2010, p.25). Además de los términos propios de su modelo de conocimiento, como el referido a las metas, esta definición introduce dos elementos importantes: -

Información disponible: Bajo esta nomenclatura caben acciones, comprensión de diferentes tipos, ya sea relacional, instrumental, lógica o simbólica según Skemp, y es adaptable a las diferentes situaciones en las que se ponen en juego comentadas anteriormente.

-

Para usar: Este es el elemento discriminador de la definición. Aquella información que no tenga sentido usar en la actividad que se desempeñe (en la tarea concreta de la enseñanza de la matemática en este caso), no tendrá cabida en esta definición de conocimiento. Así, si encontráramos un profesor de primaria que poseyera con amplias nociones de Análisis Funcional, no nos permitiría afirmar que dichas nociones fueran constituyentes de su conocimiento especializado, como profesor de matemáticas del ciclo en que enseña.

-

No necesariamente correcto: Esta aclaración es una llamada de atención sobre la posición del investigador que busca comprender el conocimiento del profesor, siendo la diferencia entre conocimiento correcto o incorrecto irrelevante en algunos casos, especialmente si la intención del investigador es saber qué conoce el profesor, ya que, coincida con el referente de corrección o no, el profesor posee dicha información, aunque puede resultar interesante, dependiendo del tipo de investigación en curso, para comprender el conocimiento del profesor o su actuación. Además, creemos necesario hacer una llamada de atención sobre la consideración negativa del término incorrecto, definiéndolo no cómo algo negativo, sino como no coincidente con el referente de verdad.

Tras la revisión realizada de la literatura, y después de hacer una honda reflexión sobre las posibles implicaciones de la definición aportada por Schoenfeld, proponemos adoptarla para su uso como punto de acuerdo en lo referente a lo que entendemos por conocimiento, para definir el modelo de conocimiento del profesor de matemáticas denominado MTSK. Cabe destacar que pese a que Schoenfeld (2010) busca una definición para el conocimiento profesional, sus aportes constituyen un posicionamiento general sobre el conocimiento, compatible y complementaria con la noción de Pajares (1992) tradicionalmente usada en investigaciones anteriores (Carrillo, 1998; Contreras 1999).

ͳǤʹ SOBRE CREENCIAS, CONCEPCIONES Y CONOCIMIENTO Usaremos la base teórica que diferentes miembros de este grupo han desarrollado y usado a lo largo de su historia, partiendo de la tesis de Carrillo (1998), en la que se comenta la diferenciación establecida por Ponte (1994) siguiendo a Pajares (1992), entre creencia, concepción y conocimiento: “Utilizo conocimiento para referirme a la amplia red de conceptos, imágenes, y habilidades inteligentes que poseen los seres humanos. Las creencias son las ‘verdades’ personales incontrovertibles que tiene cada uno, derivadas de la experiencia o de la fantasía, que tienen una fuerte componente afectiva y evaluativa (Pajares, 1992). Las concepciones son los esquemas subyacentes de organización de los conceptos, que tienen esencialmente naturaleza cognitiva. Creencias y concepciones son parte del conocimiento” (Ponte 1994, p.199). Esta definición, sin embargo, ha sido abordada por diferentes autores con posterioridad. Especial relevancia tiene la publicación de Furinghetti y Pehkonen (2002), en la que recogen la revisión que 22 expertos en Educación Matemática, conocedores de la temática, hacen de nueve definiciones de creencia/concepción dadas por diferentes autores. Estos autores preguntaron a los expertos si consideraban adecuada cada definición, indicando los motivos, y dando una caracterización propia. La definición de Ponte (1994) fue duramente criticada por tres de sus elementos centrales: El carácter incontrovertible, la relación directa entre creencia y conocimiento, y el término concepción. Las definiciones que fueron aceptadas por la mayoría de revisores fueron

las de Schoenfeld (1992) y la de Thompson (1992). La experiencia del grupo empleando la definición de Ponte nos lleva a tenerla muy en cuenta, pero no podemos ignorar la revisión de Furinghetti y Pehkonen, y manifestar que no nos sentimos plenamente satisfechos con el carácter incontrovertible de las creencias, aunque sí con considerarlas parte del conocimiento, y de igual modo, entendemos que las creencias pueden ser personales, por lo que proponemos un tratamiento integrado, incluyendo estas características, y evitando la diferenciación explícita entre creencia y concepción, ya que entendemos que resulta de escasa utilidad, al ser nuestro foco el conocimiento, al que dichas creencias y concepciones permean. Así, las creencias pueden ser entendidas, en la línea de los propuesto por Ponte (1994), como verdades personales, sostenidas individual y/o colectivamente, derivadas de la experiencia o el propio pensamiento, con cierta componente afectiva y evaluativa, sobre la que se pueden tener diferentes grados de convencimiento, así como pudiendo ser justificadas en base a argumentos que no sigan criterios que puedan responder a cánones de evidencia, es decir, no son falsables (en el sentido de Poper)3. Muy cercana a esta definición se encuentra la propuesta por Thompson (1992) para las concepciones, entendidas como las estructuras mentales generales, que abarcan significados, conceptos, proposiciones, reglas, imágenes mentales, etc., (Thompson 1992). La diferenciación, por tanto, entre creencia y concepción, puede entenderse, a priori, en base a la implicación de la componente afectiva y emocional en las creencias, frente a la racionalización que suponen las concepciones. Sin embargo, esta relación entre creencias y concepciones, así como su integración en el conocimiento, es una faceta que aún no se ha explorado en la profundidad necesaria como para llegar a puntos de consenso. En cuanto al conocimiento, adoptaremos la definición propuesta por Pajares (1992) Red amplia de conceptos, imágenes y habilidades inteligentes poseídas por el ser humano Entendemos que esta red abarca concepciones y creencias, y está construida también mediante éstas. Esta definición es totalmente compatible con la propuesta de Schoenfeld (2010), citada en el punto anterior, recogiendo el énfasis que ponen tanto Schoenfeld en la utilidad del conocimiento, como Pajares en la posesión, siendo ‘posesión útil’ equiparable al término “información disponible”. 3

Por tanto, el paso de la subjetividad a la objetividad (intersubjetividad) está ligado a la posibilidad de formulación en términos falsables, lo que requiere una disposición a romper con el sustento afectivo que conlleva la creencia.

Entendemos, por supuesto, que ninguna de estas definiciones es inmutable, sino que todas están sujetas a cambio, a través de la reflexión y experimentación. En la tradición investigadora del grupo, encontramos diferentes aproximaciones a estos elementos. En cuanto a las creencias y las concepciones, basados en los trabajos de Ernest (1989, 1991), entre otros, establecemos tres concepciones sobre la matemática articuladas en un sistema de categorías que incluye el tipo de conocimiento (¿qué lo compone y cómo es?), la finalidad y el modo de evolución [proceso de construcción y tipo de razonamiento] (Carrillo y Contreras, 1994). En la concepción Instrumentalista, el núcleo de la matemática está compuesto de resultados cuya veracidad y existencia no están sujetas a discusión; su finalidad es el desarrollo de otras ciencias y su modo de evolución está basado en la creación y uso de algoritmos generados como relaciones causa-efecto. En la concepción Platónica, el núcleo está en los conceptos y valores racionales, en el marco de un cuerpo de conocimientos preexistente; su finalidad es el desarrollo de la propia ciencia matemática y emerge como explicación a problemas de la propia matemática o de otras ciencias. En la concepción de la matemática como Resolución de Problemas (Ernest, 1989; Carrillo y Contreras, 1995), la esencia está en las estructuras conceptuales, que conforman un conocimiento sometido a revisión constante; su finalidad es el desarrollo de capacidades intelectuales del ser humano y su evolución es dinámica, basada en la resolución de problemas. Es en esta última concepción en la que nos posicionamos para desarrollar nuestros trabajos. En cuanto al conocimiento, se han desarrollado diversas investigaciones, en torno, por ejemplo al conocimiento que permite al profesor explicar matrices (Sosa, 2010), o justificar diferentes aspectos relacionados con la enseñanza de las fracciones (MorielJunior, Wielewski y Montes, 2013), así como gestionar el diseño de actividades de geometría en el aula (Carmona y Climent, 2012). También se ha profundizado en el desarrollo del conocimiento (Climent, 2005; Muñoz-Catalán). Asimismo, creemos interesante la investigación de la relación entre conocimiento y concepciones, como futura (y presente) línea de investigación (Flores y Carrillo, 2014), utilizando ambas dimensiones como complementarias a la hora de analizar el conocimiento del profesor, siguiendo la línea propuesta por Skott, van Zoest y Gellert (2013). La exploración de esta línea de investigación supone la aceptación de la integración de conocimiento y concepciones como parte de la red amplia de conceptos,

imágenes y habilidades que el profesor tiene disponibles para desarrollar su actividad docente.

ͳǤ͵ POSICIONAMIENTO EPISTEMOLÓGICO Dependiendo del objeto de estudio, y por tanto de la naturaleza del conocimiento a la que nos refiramos, podemos distinguir distintos niveles de concreción epistemológica: - Epistemología de las ciencias4 - Epistemología de las matemáticas - Epistemología de la didáctica de las matemáticas - Epistemología de las matemáticas escolares En la presente reflexión nos centraremos en el primer nivel de concreción, y por tanto, en el modo en que las ciencias se han desarrollado y se desarrollan. Entendemos que la reflexión epistemológica es, en sí misma, una oportunidad para ejercitar la honestidad científica y el gusto por la verdad, que nos conduce a comprender mejor esa compleja obra que son las ciencias; y un medio para tomar conciencia de los límites y ambigüedades inherentes a la propia ciencia. Nos permite cuestionarnos acerca de lo que somos, de lo que hacemos, del sentido que tiene lo que hacemos y nos obliga a revisar las ideas recibidas, profundizando en el porqué de las cosas.

1.3.1

Nuestro Posicionamiento epistemológico

Nos vamos a aproximar a la noción de ciencia desde una perspectiva epistemológica socioconstructivista con raíces en el socioconstructivismo pedagógico y en el socioconstructivismo socio-histórico. Partimos de la creencia de que al igual que toda actividad intelectual5, la ciencia implica elegir con qué ojos ver el mundo, y que por tanto, conocer implica ineludiblemente tomar decisiones (Fourez, 2008, 2010). Entendemos que todas las prácticas científicas, y por consiguiente sus producciones,

4

Hablamos de epistemología de las ciencias en plural con la intención de remarcar la existencia de una gran variedad de disciplinas científicas, donde cada una de las distintas aproximaciones comporta una manera de abordar el mundo y de construir sus objetos (Fourez, 1997). 5 Conocer, comprender, observar, representar, modelar, describir, etc.

están impregnadas de dimensiones éticas, políticas, sociales, psicológicas, y en definitiva humanas. En consonancia con las afirmaciones de Fourez (1997, 2008, 2010) y Bronowski (1968, 1978), entendemos que la ciencia es una producción histórica construida por humanos y para humanos, y por tanto no es algo existente por sí mismo, con valores intrínsecos propios; como afirma Maslow (1991) “sus orígenes están en las motivaciones del hombre; sus objetivos son humanos, y es creada, renovada y mantenida por seres humanos” (p.277). Sus teorías, sus modelos, su organización, sus articulaciones, no descansan sólo en la naturaleza de la realidad, sino que también lo hacen en la propia esencia de la naturaleza humana que la construye. “Creer que la ciencia es una empresa neutra, desinteresada, autónoma y autorregulada, con reglas propias y fijas es falso, poco realista, e incluso antiempírico” (p.277). El socioconstructivismo es, en principio, una visión constructivista, por el hecho de que reconocemos el rol que juega el sujeto en la construcción del conocimiento (Glasersfeld, 1996). El constructivismo es una manera de situar al sujeto en el centro de la visión, poniendo el acento en que cada sujeto se construye sus representaciones del mundo, y que además lo hace a través de lo que da sentido al propio sujeto: sus creencias, sus presupuestos, sus proyectos, su medio social, su salud psicológica, etc. El constructivismo fija su atención en la construcción de los saberes vinculados a las personas consideradas como individuos, por ello entendemos que dicha aproximación epistemológica por sí sola no cubre nuestras necesidades, como afirman Fourez, Englerbert-Lecompte y Mathy (1997)“para comprender la construcción de los saberes, de las disciplinas científicas, y de las representaciones, no es suficiente pensar en una producción vinculada únicamente a intereses individuales, sino que es necesario la toma en cuenta de los intereses sociales” (p. 31). Que nuestra perspectiva epistemológica tenga raíces en el socioconstructivismo pedagógico implica que concedemos importancia a las interacciones sociales que condicionan cómo se construyen los conocimientos individuales sobre el mundo, y por tanto, reconocemos que la ciencia es un producto social fruto de una aventura humana (Fourez et al. 1997; Fourez, 2008, 2010).

En este sentido las teorías, los modelos, las nociones, y todo lo que constituye y articula una disciplina científica son representaciones puestas a punto por los humanos y para los humanos, con la intención de comprender su mundo. Que nuestra perspectiva epistemológica tenga raíces en el socioconstructivismo sociohistórico implica que consideramos que la construcción del conocimiento estandarizado (física, biología, matemáticas, medicina, etc.) es una aventura humana que se desarrolla y evoluciona en la historia, marcada por un lugar, unas preguntas y unas situaciones (presión de factores sociales, económicos, políticos y culturales) (Fourez, 1997, 2008, 2010). 1.3.2

¿Qué significa observar?

En consonancia con los trabajos de Fourez (1997) y Maslow (1979, 1991) descartamos la existencia de información “pura6”, ya que toda información está previamente organizada por nuestros conocimientos y por tanto, desestimamos la existencia de la observación pasiva, neutra y desinteresada, ya que todo sujeto al observar interactúa con el mundo desde su realidad biológica, psicológica y cultural, y por tanto toda observación se hace siempre previamente desde una modelización que implica el contexto del propio sujeto, los proyectos que sustentan su observación e incluso sus destinatarios. Así, “una observación es la construcción de una representación o de un modelo de una situación” (Fourez et al., 1997, p.64). Así, por ejemplo, en la observación del conocimiento especializado de un profesor de matemáticas, hay más que un “sujeto individual” en juego, hay una situación donde hay seres humanos inmersos en un contexto social, con características psicológicas y culturales, interesados en un proyecto (identificar, describir y comprender el conocimiento profesional de un profesor con la mirada puesta en la mejora de la educación matemática) y que desean poder discutirlo entre ellos. Esta conciencia de la dimensión interpretativa de toda observación, implica que la observación científica parte de una selección hecha en nombre de una perspectiva particular (Fourez, 1997, 2008). 1.3.3

6

Revisión de la noción de objetividad

Siguiendo a Fourez (2008), el objeto que se observa no es un dato sino una construcción del sujeto que organiza su mundo para poner en evidencia el objeto.

La percepción que tenemos del mundo es plenamente subjetiva, está marcada por las interpretaciones y representaciones que elabora nuestro cerebro a través de los estímulos que reciben nuestros órganos sensoriales, y modelada por la organización del mundo que heredamos de nuestra cultura. En este sentido toda representación depende siempre de los sujetos que la construyen, de los criterios que emplean a este efecto, y de sus intenciones (Fourez, 1997, 2008). Las nociones de objetividad y subjetividad están siempre vinculadas, sin embargo, desde nuestra perspectiva la objetividad no puede significar ausencia de subjetividad y debe ser interpretada desde una dimensión social. El establecimiento de criterios comunes y convenciones en el marco de una institución social (comunidad científica) es lo que permite realizar una descripción objetiva. A pesar de que las representaciones de los sujetos presentan diferencias, y por tanto son necesariamente subjetivas, consideramos que las “cosas” pueden ser descritas objetivamente si la descripción se hace con referencia a los indicadores sobre los cuales el observador se ha puesto de acuerdo con una comunidad científica, es decir, si se realizan en base a un consenso social, siguiendo a Fourez “ser objetivo es respetar las reglas de una subjetividad compartida” (Fourez, et al., 1997, p.174). Así, por ejemplo, observar una secuencia de aula de un profesor de matemáticas, es observar con los criterios definidos por la comunidad de los investigadores en didáctica de las matemáticas. Pero los criterios de los investigadores en didáctica de las matemáticas corresponden a una visión particular propia de esta comunidad y son por lo tanto subjetivos. 1.3.4

Representaciones y modelos

Comprender, comunicar o actuar sobre una situación implica comenzar por construir una representación o modelo7, más o menos elaborado, que simplifique la complejidad del mundo; sin olvidar que ineludiblemente siempre nos aproximarnos a dicha situación insertos en un contexto determinado y desde un proyecto preciso. Coincidimos de nuevo con Fourez al entender que “el mundo no es perceptible más que por representaciones, que toman el lugar de lo que es siempre más complejo que ellas” (Fourez et al., 1997, p.155). 7

Así, por ejemplo, inferir que en tal acción, discurso o declaración de un profesor se pone en evidencia una característica de su conocimiento profesional es modelizar, mientras que la noción de conocimiento profesional es un modelo.

Ninguna situación obliga a formular una modelización determinada, y por ello, existen una infinidad de maneras de modelizar una situación. De igual manera, ante una misma situación, según el contexto y el proyecto, se puede recurrir a modelizaciones diferentes. Especialmente interesantes resultan los modelos científicos, se trata de modelos históricamente estandarizados o normalizados (Kuhn, 1972, creo que está referenciado con 2006, pero no estoy seguro) por comunidades científicas que están socialmente disponibles “para todos aquellos que los quieran aceptar” (Fourez et al., 1997, p.22). Los modelos estandarizados que constituyen el conocimiento científico son modelos, fruto del trabajo colectivo de reflexión y refinamiento, que han resultado exitosos, debido a que se han revelado más eficaces para interpretar las situaciones en un contexto y proyecto preciso. La estandarización de la ciencia, no es un proceso desarraigado y puramente racional, se realiza “según lógicas sociales e involucra referencias sociales, políticas económicas, estratégicas y culturales, es decir, también ideológicas” (Fourez et al., 1997, p.23). Sin embargo, aunque las modelizaciones estandarizadas no son necesariamente mejores que otras, poseen un valor especial, el de facilitar la comunicación entre personas o grupos que utilizan los mismos estándares (Fourez, 1997, 2008). Creemos necesario hacer énfasis en el valor de los modelos y teorías en educación matemática, así como en su naturaleza. Para la investigación reflejada en este documento, tomamos como base los criterios propuestos por Schoenfeld (2000), para la consideración de un modelo como tal, “poder descriptivo, poder explicativo, alcance, poder predictivo, rigor y especificidad, falseabilidad, replicabilidad y triangulación” (p.646). En base a estos criterios, y nuestro propio posicionamiento epistemológico, se comenzó la reflexión teórica expuesta en el capítulo 4.

1.3.5

Criterios de verdad y justificación

Como grupo de investigación, entendemos necesario explicitar nuestro criterio de justificación. Así, como criterio de verdad y justificación partimos de la lógica del descubrimiento matemático propuesta por Lakatos (1978) basada en la prueba y refutación, es decir, una visión de la construcción de la ciencia basada en la negociación y aceptación.

Al igual que Latour (1989), creemos que la actividad científica es un proceso social, y por tanto, toda producción científica (teorías, modelos y representaciones del mundo) es presidida por una negociación donde se toman decisiones en un marco de riesgo, relaciones de fuerza, tensiones y diversos grados de certidumbre8. La negociación de una representación o modelo se realiza siempre en función del proyecto que lo sustenta, en relación con los contextos donde se insertan, teniendo en cuenta las exigencias ligadas a la naturaleza del objeto de estudio y a los destinatarios de la comunicación; y para ello se seleccionan qué aspectos de la situación se van a tener en cuenta y cuáles se van a obviar. Como remarca Latour (1989), estas negociaciones son triangulares, se hacen entre humanos, pero también entre los humanos y las “cosas” representadas por científicos. Es importante señalar, que reconocer la existencia de una diversidad de puntos de vista, es decir, creer en la relatividad de las representaciones teórica, no implica caer en el relativismo ni en el anarquismo epistemológico, puesto que reconocer su existencia no conlleva nivelarlas, ni suponer que todas las maneras de ver el mundo sean equivalentes. Creer en la relatividad de las representaciones teóricas9 implica “sostener que la fecundidad de un modelo depende del contexto y del proyecto para los cuales ha sido concebido” (Fourez, 2008, p.32). Por ello, al igual que Quine (2001), entendemos que las distintas representaciones de una situación deben evaluarse no solo en función de los “objetos” de estudio, sino también en función de los proyectos para los que han sido construidas y en función de los contextos donde se insertan; es precisamente a la luz de dichos proyectos y contextos donde se pone de relieve su campo de validez, ya que ciertas representaciones de una situación son más interesantes o adecuadas que otras Fourez (2008, 2010).De manera que el valor de un modelo subyace, por tanto, vinculado a las situaciones particulares donde su uso resulta interesante.

8

Coincidimos con Feynman (1990, p.286) cuando manifiesta que los diversos grados de certidumbre que conforman el conocimiento científico “algunos son sumamente inseguros, algunos casi seguros, pero ninguno es absolutamente cierto”. 9

Así, creer en la relatividad de las representaciones teóricas conducirá a decir, por ejemplo, que la distinción entre el conocimiento matemático especializado para la enseñanza y conocimiento común es interesante, pero solamente en función de ciertos contextos y proyectos.

Todo modelo es limitado y su campo de aplicación lo es igualmente, por ello desde esta perspectiva diremos que el valor de un modelo es relativo al uso que se quiera hacer de él, como concluyen Fourez et al. (1997) “las modelizaciones serán más o menos adecuadas según lo que se quiera extraer de ellas” (p.61).

ͳǤͶ NATURALEZA DEL CONOCIMIENTO Y LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA La necesidad de posicionarnos acerca de la naturaleza del conocimiento y la actividad matemática, supera el deseo de contar con un elemento de referencia en el sustento teórico y supone situarnos firmemente en un paradigma que dé congruencia al trabajo que realizamos. Las interpretaciones sobre conocimiento matemático se reflejan en las publicaciones sobre educación matemática, que consideran diversas perspectivas sobre su naturaleza: absolutismo o relativismo, prescriptiva (o normativa) y descriptiva (o naturalista); los enfoques: logicista, formalista o intuicionista, o las tendencias surgidas en la segunda mitad del siglo XX: el empirismo, el cuasi-empirismo, el convencionalismo y el naturalismo. En el reconocimiento del contexto de la presente reflexión, la investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y considerando los diversos enfoques y su relación con las posturas fundamentales, argumentamos nuestra adhesión a una postura contextualizada sobre la naturaleza del conocimiento y de la actividad matemática en la práctica educativa. En pocas palabras, se pretende tender un nexo claro y congruente, desde una posición filosófica hasta una postura de enseñanza, que si bien no encorseta las propuestas que pudieran trabajarse en el grupo a una metodología de enseñanza específica, contribuya al acuerdo sobre las bases para un marco teórico compartido. En épocas recientes, principalmente a partir del desarrollo de las didácticas específicas como bases de las metodologías de enseñanza, se ha puesto el acento en reconocer que la tipología de los contenidos que se pretende que sean aprendidos, sugiere una diferenciación metodológica de su enseñanza. Para el caso del conocimiento matemático se reconocen, en general, dos formas extremas de concebir la matemática, por un lado una concepción filosófica de la matemática denominada formalista y, por otro lado, la epistemología constructivista.

El formalismo, concepción filosófica dominante en gran parte del siglo XX, ha favorecido un desarrollo significativo de la estructura de la matemática actual. Este reconocimiento del papel de la concepción formalista para atender y afrontar las inconsistencias formales de la estructura de la matemática, ha dado realce a una forma de presentar los conocimientos, de manera no afortunada para la propuesta educativa (Moreno y Waldegg, 1992; Eingenheer, 1995). El formalismo, “grosso modo", nos presenta a la matemática como un cuerpo estructurado de conocimiento conformado por los objetos matemáticos, las relaciones entre ellos y los criterios para validar resultados, dentro de un marco axiomáticodeductivo. Así: “El formalismo exige extirpar el significado de los objetos a fin de trabajar exclusivamente con las formas y con las relaciones entre dichos objetos que se derivan de la base axiomática de las teorías” (Moreno y Waldegg, 1992, p.52). Esta caracterización, productiva para la actividad matemática, como se ha mencionado, favoreció el surgimiento de notables y variados resultados durante el siglo XX; por otro lado, su influencia en lo educativo, producto de una vulgarización poco reflexiva, difundió la concepción de que la matemática consiste simplemente en la manipulación formal de símbolos no interpretados o en un raciocinio formal deductivo a partir de cualquier presupuesto (Eingenheer, 1995). La influencia del formalismo en la tarea educativa se ve acentuada por la influencia de la era industrial, que aplica modelos mecanicistas a la enseñanza, generando una fragmentación de los contenidos, producto de los principios de reduccionismo, mecanicismo y análisis que caracterizan a esta etapa. Como ejemplo de tal influencia en las actividades educativas, podemos mencionar que: a) Las actividades de enseñanza no revelan el origen de ese conocimiento, no dicen cuál fue la necesidad, la motivación o la intuición inicial. b) Se trata de modelos que toman como punto de partida definiciones que son, en realidad, el punto de llegada de un largo proceso de conocimiento. c) Se promueve: la reducción a las partes, el mecanicismo de las reglas (haga así y obtendrá el producto) y la pérdida de la visión del conjunto. Una visión que contrasta con la expuesta es la que toma como base la postura epistemológica del constructivismo, para la cual, la historia de la creación del

conocimiento matemático nos da cuenta de las múltiples motivaciones, necesidades y métodos que sustentaron esa creación que, en realidad, fue rica y diversificada, tanto en términos de contenido como de forma (Eingenheer, 1995). La epistemología genética pone el acento en el proceso y no sólo en los conceptos conseguidos. Así, el conocimiento matemático “es resultado de esta reflexión sobre acciones interiorizadas (abstracción reflexiva). La matemática no es un cuerpo codificado de conocimientos (así como la lengua no es el texto de su enseñanza) sino, esencialmente, una actividad” (Moreno y Waldegg, 1992, p.31). Dicha actividad estimula que el alumno construya su conocimiento en un proceso que podría describirse como el paso de un estado a otro de mayor conocimiento, a través de situaciones que les provoquen desequilibrios que favorecen la restructuración de sus conocimientos (Sierpinska, 1990). Así, se puede examinar la construcción del conocimiento matemático a lo largo de la historia para apreciar ciertos paralalelismos con el proceso de construcción de los conocimientos por parte de los alumnos, considerando esta perspectiva histórica equivalente a un laboratorio epistemológico (Moreno y Waldegg, 1992). A diferencia de la concepción formalista del conocimiento matemático, en la postura constructivista: a) El conocimiento es siempre contextual y nunca separado del sujeto. b) Conocer consiste en construir significados asociados a su propia experiencia. c) A lo largo del proceso constructivo —que es permanente— el estudiante encuentra situaciones que cuestionan el “estado” actual de su conocimiento y le obligan a un proceso de reorganización; con frecuencia el estudiante se ve obligado a rechazar, por inviable, mucho de lo que ya había construido (Moreno y Waldegg, 1992). Aunque reconocemos que el conocimiento matemático presenta, en su estado final de construcción, un alto nivel de abstracción y generalidad; una naturaleza esencialmente deductiva que se valida mediante un proceso interno de demostración y que este carácter deductivo le permite una estructura altamente integrada y jerarquizada; que se apoya en un lenguaje formal específico, que busca la precisión, el rigor, la abreviación y la universalidad; reconocemos que “las matemáticas tienen también una dimensión menos abstracta y descontextualizada, más funcional y relacionada con la resolución

de problemas prácticos en situaciones concretas, más pragmática y situada” (Barberá y Gómez, 1996; citado por Serrano, Parra y Padilla, 2011).

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