UFRJ

´ pulas: Co ˜ es em Financ Algumas Aplicac ¸o ¸ as

Rafael Martins de Souza

Disserta¸c˜ao de Mestrado submetida ao Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Estat´ıstica do Instituto de Matem´atica da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necess´arios para obten¸c˜ao do grau de Mestre em Ciˆencias Estat´ısticas.

Orientadora: Beatriz V. de M. Mendes

Rio de Janeiro Junho de 2003

´ pulas: Algumas Aplicac ˜ es em Financ Co ¸o ¸ as Rafael Martins de Souza Orientadora: Profa . Beatriz Vaz de Melo Mendes Disserta¸c˜ao de Mestrado submetida ao Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Estat´ıstica do Instituto de Matem´atica da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necess´arios para obten¸c˜ao do grau de Mestre em Ciˆencias Estat´ısticas.

Aprovada por :

Presidente, Profa . Beatriz V. de M. Mendes

Prof. Augusto C´esar Gadelha Vieira

Prof. Cristiano Augusto Coelho Fernandes

Rio de Janeiro Junho de 2003

Souza, Rafael Martins de C´opulas: Algumas Aplica¸c˜oes em Finan¸cas/ Rafael Martins de Souza.- Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2003. ix, 113f.: il.; 31cm. Orientador: Beatriz V. de M. Mendes Disserta¸c˜ao (mestrado) - UFRJ/IM/ Programa de P´osgradua¸c˜ao em Estat´ıstica, 2003. Referˆencias Bibliogr´aficas: f.104-109. 1. C´opulas. 2. Modelos ARFIMA e FIGARCH. 3. Correla¸c˜ao Condicional. 4. Simula¸c˜ao de “Portfolios”. I. Mendes, Beatriz V. de M. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

Resumo ´ pulas: Algumas Aplicac ˜ es em Financ Co ¸o ¸ as Rafael Martins de Souza Orientadora: Profa . Beatriz V. de M. Mendes Resumo da Disserta¸c˜ao de Mestrado submetida ao Programa de P´osgradua¸c˜ao em Estat´ıstica do Instituto de Matem´atica da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necess´arios para obten¸c˜ao do grau de Mestre em Ciˆencias Estat´ısticas. Entre os fatos estilizados apresentados por s´eries multivariadas de retornos financeiros podemos citar a existˆencia de mem´oria curta e longa na estrutura de variˆancia condicional, assimetria e excesso de curtose na distribui¸c˜ao univariada e estrutura de dependˆencia assim´etria. Este trabalho tem dois objetivos. O primeiro ´e modelar s´eries de cˆambio, do Real Brasileiro, Won Coreano e Peso Mexicano com o D´olar Norte-Americado usando fermamentas como os modelos integrados para a variˆancia condicional, ou modelos FIGARCH, com a dstribui¸c˜ao t-student assim´etrica para os res´ıduos para em seguida buscar a c´opula (“estrutura de dependˆencia”) mais adequada para cada par formado a partir destas s´eries de cˆambio. O segundo ´e um exerc´ıcio de simula¸c˜ao de monte-carlo no qual s˜ao simuladas diversas carteiras bivariadas compostas por ativos com retornos com diferentes distribui¸c˜oes. Por fim, ainda ´e feita a compara¸c˜ao entre estimadores cl´assicos e robustos para a estima¸c˜ao de medidas de desempenho e escolha de portfolios. Houve evidˆencias de persistˆencia na variˆancia condicional das s´eries apresentas e que as caracter´ısticas de assimetria, tanto na estrutura de dependˆencia quanto na distribui¸c˜ao marginal, e excesso de curtose s˜ao relevantes para uma modelagem mais adequada e para a tomada de decis˜oes em investimento. Houve tamb´em, evidˆencia de melhor desempenho do estimador robusto. Palavras-chave: c´opulas, t-student assim´etrica, Modelos FIGARCH, correla¸c˜ao condicional e estima¸c˜ao robusta de matriz de covariˆancia.

Abstract Copulas: Some Applications in Finance Rafael Martins de Souza Advisor: Beatriz V. de M. Mendes Abstract da Disserta¸c˜ao de Mestrado submetida ao Programa de P´osgradua¸c˜ao em Estat´ıstica do Instituto de Matem´atica da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necess´arios para obten¸c˜ao do grau de Mestre em Ciˆencias Estat´ısticas.

Among the stylized facts presented by financial time series we can mention the presence of long and short memory in conditional variance, assimetry, and excess of curtosis in univariate distribuitions. We can still remark the assimetric dependence structure in the multivariate case. In this work we model exchange rate time series of the Brazilian Real, the Corean Won, and the Mexican Peso with the US Dollar using the fractional integrated models for conditional variance, the FIGARCH, with assimetric t-student distribuition for the residuals. Then, we use the residuals to estimate some copula models and compare its adjustiment. The second exercise is a monte-carlo simulation in which we simulate a some of bivariate portfolios with assets with different returns distributions. In this exercise we use classic and robust estimators of the covariance matrix to compare them. The results present some evidence of persistence in the conditional variance, assimetry and curtosis of the univariate distribuitions, as expected. The results also indicate that an adequate model of assimetric dependence structure is importante to the portifolio choice and some advance to robust estimators. Key-words: Copulas, t-student assimetric distribution, FIGARCH models, conditional correlation and robust estimation.

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“All knowledge is, in final analysis, History. All sciences are, in the abstract, Mathematics. All judgements are, in their rationale, Statistics.” Radhakrishna Rao.

Agradecimentos A Deus. Precisa explicar porque? Aos meus pais, Ronaldo e Marlene, pelo amor infinito que criou todas as condi¸c˜oes que me permitiram concluir mais esta etapa. Sem vocˆes... ` Professora Beatriz pela orienta¸c˜ao e pelo incentivo. A Aos meus, mais que colegas, Amigos de classe Aline, Madalena, Luiz, Ralph, Ricardo (Estat´ıstico do Bem) e Romy. Estudar com vocˆes sempre tornou as coisas mais f´aceis. Agradecimento especial `a Aline, irm˜azinha desde os primeiros passos desta caminhada. Muito obrigado pelo constante e sempre encorajador empurr˜ao moral. Ao meu amigo Eduardo, o grande incentivador a seguir a vida acadˆemica desde os primeiros dias de nossa amizade na ENCE. Aos professores Ney, Carla e Ademir, que desde os primeiros per´ıodos da ENCE at´e os u ´ltimos do mestrado foram fonte de est´ımulo e aprendizado. Ao meu irm˜ao Samuel. Bem sei que n˜ao foi f´acil aturar computador e lumin´aria ligados durante todas as noites por mais de um ano. P˜oe na conta. Ah, n˜ao posso esquecer da Rachel. Sei que atrapalhei v´arias vezes as suas reflex˜oes sobre hiperdial´etica e a luta armada revolucion´aria esquerdista no Cone Sul para falar de c´opulas e como ganhar dinheiro com elas. Obrigado pela tolerˆancia. Aos amigos Adrian e Savano, os torcedores mais ansiosos pelo desfecho desta tese. A audiˆencia atenta e inquisitiva ao ensaio da defesa foi muito importante. A todos os brasileiros que pagam seus impostos honestamente e permitem que institui¸c˜oes como a UFRJ, CAPES e CNPq mantenham cursos de alto n´ıvel e ofere¸cam bolsas aos alunos. Enfim, n˜ao posso deixar de agradecer a todos que torceram, incentivaram e que, diretamente ou indiretamente, contribu´ıram pelo sucesso desta empreitada. Muito obrigado.

Sum´ ario 1 Introdu¸c˜ ao

1

2 Modelos para S´ eries Financeiras

6

2.1

Modelos ARFIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2

Modelos para Variˆancia Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3

Modelos Integrados para a Variˆancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4

Estima¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5

An´alise de Diagn´ostico e Sele¸c˜ao de Modelo . . . . . . . . . . . . . . 15

3 C´ opulas 3.1

3.2

3.3

17

Apresenta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.1

O que ´e c´opula? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.2

Invariˆancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Defini¸c˜oes Gerais e Medidas de Associa¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.1

Cotas de Fr´echet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.2

Dependˆencia de cauda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.3

Medidas de Concordˆancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.4

Medidas de Dependˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.5

Correla¸c˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.6

Outros conceitos de dependˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Fam´ılias de C´opulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3.1

C´opulas Arquimedianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.2

C´opulas de Valor Extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

´ SUMARIO 3.3.3

C´opulas El´ıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Inferˆ encia sobre C´ opulas 4.1

Estima¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1.1

Estima¸c˜ao Param´etrica Conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.2

Estima¸c˜ao Param´etrica em Dois Est´agios . . . . . . . . . . . . 57

4.1.3

Estima¸c˜ao Semi-param´etrica em Dois Est´agios . . . . . . . . . 58

4.1.4

Estima¸c˜ao n˜ao-param´etrica em dois est´agios . . . . . . . . . . 61

5 Aplica¸c˜ ao 5.1

62

Fatos Estilizados de S´eries Financeiras . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.1.1

5.2

56

Cont´agio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

An´alise de Taxas de Cˆambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2.1

Ajustes Marginais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.2

Ajuste das C´opulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Simula¸c˜ oes

86

7 Conclus˜ oes e Perspectivas Futuras

102

A A distribui¸c˜ ao t assim´ etrica

110

B Densidades das C´ opulas

112

Lista de Figuras 3.1

Esquerda: Gr´ afico de dispers˜ ao de dados simulados da c´ opula bivariada C − . Direita: Gr´ afico de dispers˜ ao de dados simulados da c´ opula bivariada C + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2

Esquerda: Curvas de n´ıvel da c´ opula bivariada C − . Direita: Curvas de n´ıvel da c´ opula bivariada C + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3

Esquerda: Gr´ afico em perspectva da c´ opula bivariada C − . Direita: Gr´ afico em perspectiva da c´ opula bivariada C + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4

Gr´ aficos em contorno e em perspectiva da densidade CG(1,5) (gr´ aficos superiores) e da distribui¸c˜ ao bivariada cujas marginais s˜ ao normais(0,1) e CG(1,5) (gr´ aficos inferiores).

3.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Gr´ aficos em contorno e em perspectiva da densidade CC(1,5) (gr´ aficos superiores) e da distribui¸c˜ ao bivariada cujas marginais s˜ ao normais(0,1) e CC(1,5) (gr´ aficos inferiores). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6

Gr´ aficos em contorno e em perspectiva da densidade CF(1,3) (gr´ aficos superiores) e da distribui¸c˜ ao bivariada cujas marginais s˜ ao normais(0,1) e CF(1,3) (gr´ aficos inferiores). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.7

Gr´ aficos em contorno e em perspectiva da densidade CBB1(1,5;0,5) (gr´ aficos superiores) e da distribui¸c˜ ao bivariada cujas marginais s˜ ao normais(0,1) e CBB1(1,5;0,5) (gr´ aficos inferiores). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.8

Densidade da c´ opula Gumbel com δ = 3 e δ = 1.5 sobre o eixo de 45 e 135 graus (gr´ aficos superiores) e Densidade da c´ opula Clayton com δ = 1 e δ = 2 sobre o eixo de 45 e 135 graus (gr´ aficos inferiores). . . . . . . . . 43

LISTA DE FIGURAS 3.9

Densidade da c´ opula Frank com δ = 3 e δ = 1.5 sobre o eixo de 45 e 135 graus (gr´ aficos superiores) e densidade da c´ opula Frank com δ1 = 1 e δ2 = 3 e δ1 = 0.5 e δ2 = 1.5 sobre o eixo de 45 e 135 graus (gr´ aficos inferiores). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.10 Densidade da c´opula normal com ρ = 0, 5 e ρ = 0, 7 sobre o eixo de 45 e 135 graus (gr´ aficos superiores) e Densidade da c´ opula ct10 com ρ = 0, 5 e ρ = 0, 7 sobre o eixo de 45 e 135 graus (gr´ aficos inferiores). . . . . . . . . 53

3.11 Gr´aficos em contorno e em perspectiva da densidade CN0,5 (gr´aficos superiores) e da distribui¸c˜ ao normal bivariada cujas marginais s˜ ao normais(0,1) e ρ = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.12 Gr´aficos em contorno e em perspectiva da densidade Ct10 aficos supe0,5 (gr´ riores) e da distribui¸c˜ ao com c´ opula Ct10 0,5 e mariginais normais(0,1). . . . 55

5.1

S´erie di´ aria de pre¸cos do D´ olar em Reais no per´ıodo de 2 de janeiro de 1995 a 2 de outubro de 2002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2

S´erie di´ aria de pre¸cos do D´ olar em Pesos no per´ıodo de 2 de janeiro de 1995 a 2 de outubro de 2002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3

S´erie di´ aria de pre¸cos do D´ olar em Rublos no per´ıodo de 2 de janeiro de 1995 a 2 de outubro de 2002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4

S´erie di´ aria de pre¸cos do D´ olar em Won no per´ıodo de 2 de janeiro de 1995 a 2 de outubro de 2002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.5

S´erie di´ aria de pre¸cos do D´ olar em Reais no per´ıodo de 2 de janeiro de 1995 a 2 de outubro de 2002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.6

S´erie di´ aria de pre¸cos do D´ olar em Pesos no per´ıodo de 2 de janeiro de 1995 a 2 de outubro de 2002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.7

S´erie di´ aria de pre¸cos do D´ olar em Rublos no per´ıodo de 2 de janeiro de 1995 a 2 de outubro de 2002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.8

S´erie di´ aria de pre¸cos do D´ olar em Wons no per´ıodo de 2 de janeiro de 1995 a 2 de outubro de 2002. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.9

Gr´ afico da Correla¸c˜ ao Condicional entre as S´eries do Real e do Peso. . . . . . .

79

5.10 Gr´afico da Correla¸c˜ao Condicional entre as S´eries do Real e do Peso defasado. . 82 5.11 Gr´afico da Correla¸c˜ao Condicional entre as S´eries do Real e do Won. . . . . . . 83

LISTA DE FIGURAS 5.12 Gr´afico da Correla¸c˜ao Condicional entre as S´eries do Real defasada e do Won. . 85 6.1

Gr´ aficos de caixa das medidas V ar(1%), V ar(5%), P E(1%), P E(5%) e Ri das carteiras cl´ assicas de m´ınimo risco simuladas. . . . . . . . . . . . 96

6.2

Gr´ aficos das medidas V aR(99%), V aR(95%), LE(1%), LE(95%) e RE das carteiras cl´ assicas de m´ aximo retorno simuladas. . . . . . . . . . . . 98

6.3

Gr´ aficos de caixa das medidas V aR(1%), V aR(5%), P E(1%), P E(5%) e Ri das carteiras robustas de m´ınimo risco simuladas. . . . . . . . . . . . 100

Lista de Tabelas 3.1

C´opulas Arquimedianas Utilizadas nesta tese. . . . . . . . . . . . . . 37

5.1

Estat´ısticas Descritivas das s´eries de Retornos Financeiros do D´olar/Real, D´olar/Peso, D´olar/Rublo e D´olar/Won. . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2

Matriz de correla¸c˜ao das s´eries de retornos das taxas de cˆambio D´olar/Real, D´olar/Peso, D´olar/Rublo e D´olar/Won. . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3

Estimativas do modelo GARCH para os retornos das S´eries de Cˆ ambio D´ olar/Real, D´ olar/Peso e D´ olar/Won e seus respectivos p-valores, entre parˆenteses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.4

Sum´ ario dos Ajustes GARCH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.5

Estat´ısticas Descritivas das s´eries de res´ıduos dos ajustes GARCH para as s´eries do D´olar/Real, D´olar/Peso, D´olar/Rublo e D´olar/Won.

76

5.6

Estat´ısticas de qualidade dos ajustes das distribui¸c˜ oes marginais. . . . . . 77

5.7

Estat´ıstica dos ajustes das c´opulas para o par de res´ıduos uniformizados das s´eries Real e Peso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.8

Probabilidades de que a s´erie Real assuma valores superiores ao quantil de probabilidade (1 − α), dado que a s´erie do Peso assumiu valor superior ao quantil (1 − α). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.9

Estat´ıstica dos ajustes das c´opulas para o par de res´ıduos uniformizados das s´eries Real e Peso defasado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.10 Probabilidades de que a s´erie Real assuma valores superiores ao quantil de probabilidade (1−α), dado que a s´erie do Peso defasada assumiu valor superior ao quantil (1 − α). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

LISTA DE TABELAS 5.11 Estat´ıstica dos ajustes das c´opulas para o par de res´ıduos uniformizados das s´eries Real e Won. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.12 Estat´ıstica dos ajustes das c´opulas para o par de res´ıduos uniformizados das s´eries Real defasada e Won. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1

Modelos probabil´ısticos simulados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2

Portfolios ´otimos segundo as 17 medidas de desempenho apresentadas. 92

6.3

Portfolios ´otimos segundo as 17 medidas de desempenho apresentadas. 93

Cap´ıtulo 1 Introdu¸c˜ ao Um dos maiores desafios na an´alise e gest˜ao de risco ´e a estima¸c˜ao de riscos associados `a carteiras de investimentos. Este desafio tem motivado o surgimento de v´arios trabalhos acadˆemicos, como Glasserman, Heidelberger e Shahabuddin(2002), Hennessy e Lapan(2002), entre outros. Essa preocupa¸c˜ao ´e plenamente justific´avel, uma vez que os modelos mais utilizados para sele¸c˜ao de carteiras de ativos e para estima¸c˜ao de riscos destas carteiras sup˜oem que a distribui¸c˜ao dos retornos (logaritmo da raz˜ao de dois pre¸cos pre¸cos consecutivos) ´e normal multivariada (o mais conhecido desses modelos ´e o Modelo de M´edia-Variˆancia de Markovitz, Markovitz(1959)). Por´em, v´arios fatos estilizados sobre dados financeiros n˜ao s˜ao corretamente captados atrav´es do uso distribui¸c˜ao normal multivariada. Esse conjunto de caracter´ısticas confere ao modelo normal dois aspectos de inadequa¸c˜ao: univariado e multivariado. No caso univariado, existem in´ umeras evidˆencias emp´ıricas comprovando que os retornos possuem caudas mais “pesadas”que as associadas `a distribui¸c˜ao normal. O problema de excesso de curtose ´e verificado at´e mesmo em res´ıduos de modelos de variˆancia condicional, como os modelos GARCH (propostos por Engle(1982) e Bollerslev(1986)), conforme estudo de Bollerslev(1987), entre outros. H´a, tamb´em, o problema da assimetria. Como consequˆencia destes fatos, o uso da normal para modelar retornos financeiros pode proporcionar estimativas inadequadas para o risco de um determinado ativo ou mercado. 1

˜ CAP´ITULO 1. INTRODUC ¸ AO

2

Se no aspecto univariado a hip´otese de normalidade tem fortes restri¸c˜oes, a inadequa¸c˜ao do modelo multivariado pode ser ainda maior. Gra¸cas ao disseminado uso da distribui¸c˜ao normal multivariada e `a facilidade de c´alculo, o coeficiente de correla¸ca˜o assumiu papel central na teoria de finan¸cas e na tentativa de entendimento do fenˆomeno da dependˆencia de uma maneira geral. Sob este enfoque, o estudo sobre dependˆencia entre s´eries financeiras esteve durante algum tempo dirigido `a quest˜ao do ”grau”de dependˆencia. Contudo, estudos como Login e Solnik(2001) mostram que a forma de dependˆencia entre dados financeiros pode ser n˜ao-linear (a dependˆencia imposta pelo modelo normal ´e linear e o coeficiente de correla¸c˜ao nada mais ´e que uma medida de dependˆencia linear) pˆos em xeque o uso da distribui¸c˜ao normal e do coeficiente de correla¸c˜ao. Conforme mostra Embrechts, McNeil e Strauman(1999), existem v´arias fal´acias a respeito do uso do coeficiente de correla¸c˜ao como medida de dependˆencia, o que pode conduzir a v´arios erros, entre eles a subestima¸c˜ao dos riscos associados a ativos financeiros. Tais estudos mostram que ao modelarmos dependˆencia em finan¸cas devemos considerar a quest˜ao do seu “grau”, bem como a quest˜ao da sua “forma”ou “estrutura”. Nos pr´oximos par´agrafos voltaremos a esta quest˜ao. Dada a importˆancia da estima¸c˜ao de riscos para os agentes do mercado financeiro e a grande inadequa¸c˜ao dos modelos te´oricos utilizados, estudiosos sobre o assunto se empenham em criar novas solu¸c˜oes. No aspecto univariado, o uso de distribui¸c˜oes com caudas mais pesadas que a normal, como a t-student, ou simplestemente t, j´a ´e feito h´a algum tempo. H´a, tamb´em, uma alternativa mais recente, a utiliza¸c˜ao Teoria dos Valores Extremos, veja, por exemplo, Embrechts(1999). Por meio da Teoria dos Valores Extremos, ou TVE, ´e poss´ıvel buscar um melhor ajuste, estimando com maior cuidado a cauda, a parte da distribui¸c˜ao que mais interessa aos gestores de risco. Alguns trabalhos tamb´em prop˜oem o uso conjugado de Modelos GARCH com a TVE, como McNeil(1998) e Abramovitz(2001), de forma a possibilitar uma estima¸c˜ao mais precisa de riscos condicionais. Alternativas tamb´em tˆem sido elaboradas para a modelagem multivariada. Assim como para o caso univariado, o uso da ditribui¸c˜ao t e algumas extens˜oes tˆem sido sugeridos por alguns autores, veja Glasserman, Heidelberger e Sha-

˜ CAP´ITULO 1. INTRODUC ¸ AO

3

habuddin(2001). Contudo, ela imp˜oe uma forte restri¸c˜ao: por ser uma distribui¸c˜ao el´ıptica sim´etrica a t n˜ao permite que se capte de maneira satisfat´oria o efeito de cont´agio1 . Desta forma, n˜ao possibilita que se capture a mudan¸ca de dependˆencia em fenˆomenos conhecidos como bear ou bull markets2 . A existˆencia de cont´agio implica em assumir que a forma de dependˆencia entre os retornos ´e assim´etrica, ou seja, assume diferentes graus e formas, dependendo da regi˜ao do suporte do vetor aleat´orio em an´alise. Alguns estudos usam o conceito de correla¸c˜ao condicional para captar o fenˆomenos no cont´agio, como Boyer, Gibson e Loretan(1999). Outros tˆem sido apresentados na literatura com o objetivo de contornar de forma satisfat´oria o problema de cont´agio por meio do uso da TVE, como Starica(2000) e Mendes e Moretti(2001), que mostram que modelos bivariados de valores extremos podem ser bastante u ´teis para explicar associa¸c˜ao entre mercados financeiros. Por outro lado, esse fenˆomeno pode ser modelado por meio da utiliza¸c˜ao de c´opulas. Bons textos introdut´orios sobre o assunto podem ser encontrados em Nelsen(1999) e ´ et al.(2000) e Hu(2002) fazem Joe(1997). Trabalhos recentes, como Bouye o uso do conceito de c´opulas para modelar dependˆencia em dados financeiros. Ao fazermos o uso de c´opulas, podemos dividir a tarefa de propor um modelo multivariado em duas partes distintas: a ado¸c˜ao de um modelo marginal para cada uma das s´eries e a identifica¸c˜ao da “estrutura de dependˆencia”entre elas. Al´em de permitir um adequado ajuste marginal, este procedimento permite um enorme ganho de flexibilidade no processo de modelagem de fenˆomenos multivariados. Esta caracter´ıstica ´e possibilitada porque existem in´ umeros modelos param´etricos com diversas formas diferentes e com boas propriedades matem´aticas. Tais propriedades podem ser bastante u ´teis nos processos de identifica¸c˜ao do modelo mais adequado, inferˆencia e estima¸c˜ao de medidas de risco. 1

Caracter´ıstca de retornos mudarem seu “grau de dependˆencia”em decorrˆencia da observa¸c˜ao de

valores em baixo (alto) quantil da distribui¸c˜ao de outro retorno. Este termo ser´a melhor explicado adiante. 2 Na linguagem dos agentes do mercado financeiro, bear e bull markets representam situa¸c˜oes nas quais podemos afirmar que os mercados est˜ao em baixa ou em alta, respectivamente.

˜ CAP´ITULO 1. INTRODUC ¸ AO

4

O primeiro objetivo deste trabalho ´e introduzir o conceito de c´opulas, apresentando as diferentes fam´ılias deste conjunto de fun¸c˜oes, trabalho realizado no Cap´ıtulo 3. Antes disso, faremos no Cap´ıtulo 2 a apresenta¸c˜ao dos modelos de s´eries temporais que utilizaremos para filtrar a estrutura de volatilidadde condicional t´ıpicamente observada em s´eries financeiras. Naquele cap´ıtulo, identificaremos o tipo de dependˆencia que elas representam, estudaremos as medidas de concordˆancia e dependˆencia relacionadas `a estas fun¸c˜oes entre outras medidas de associa¸c˜ao entre vari´aveis aleat´orias, incluindo o coeficiente de correla¸c˜ao. Investigaremos, tamb´em, os procedimentos de inferˆencia estat´ıstica mais adequados. Ilustraremos o conceito de c´opulas e sua utilidade por meio alguns pares de taxas de cˆambio, como Real Brasileiro (Real)/D´olar Americano (D´olar), Peso Mexicano (Peso)/D´olar e Won Coreano (Won)/D´olar. Preliminarmente, ser˜ao realizados ajustes marginais com modelos GARCH, introduzidos no Cap´ıtulo 2, para filtrar a dependˆencia na variˆancia, de modo a obter res´ıduos com variˆancia constante. A tais res´ıduos ser´a aplicada a transforma¸c˜ao integral de probabilidades. A partir da´ı, buscaremos o modelo param´etrico de dependˆencia mais adequado para cada par de res´ıduos, com vistas a comparar diferentes estruturas. Nesta tarefa, faremos uso da terminologia apresentada por Hu(2000), descrevendo a rela¸c˜ao entre os pares como ”J”, ”L”ou ”U”, que representam que os comovimentos se d˜ao de maneira mais forte nas caudas superiores, inferiores ou se s˜ao sim´etricos em rela¸c˜ao `as caudas, respectivamente. A classifica¸c˜ao das s´eries segundo este crit´erio, ser´a possibilitada pelas caracter´ısticas associadas a cada um dos modelos param´etricos que ser˜ao propostos neste trabalho: Gumbel, Clayton, Frank, Normal, t e BB1. A Gumbel imp˜oe, ou capta, dependˆencia na forma ”J”, a Clayton na forma ”L”, a Frank e a t possuem forma ”U”, a normal ´e sim´etrica mas imp˜oe independˆencia nas caudas3 e a BB1 capta a assimetria na forma de dependˆencia por ser biparam´etrica, ou seja, possui dois parˆametros de dependˆencia. Em resumo, nossa contribui¸c˜ao inclui a contempla¸c˜ao de mem´oria longa na m´edia e na variˆancia das s´eries de retornos, a considera¸c˜ao da assimetria na distribui¸c˜ao marginal dos res´ıduos atrav´es do uso da distribui¸c˜ao t de student assim´etrica e da 3

Conceito a ser apresentado formalmente adiante.

˜ CAP´ITULO 1. INTRODUC ¸ AO

5

assimetria na dependˆencia dos retornos nos bear e bull markets. Finalmente, mostraremos atrav´es de experimento de simula¸c˜ao, como escolher uma melhor carteira de investimento, dado que se tem uma certo crit´erio de desempenho a ser otimizado, com certo perfil de investidor, certas condi¸c˜oes (univariadas) dos mercado e um certo tipo de associa¸c˜ao capturada por um certo tipo de c´opula.

Cap´ıtulo 2 Modelos para S´ eries Financeiras Para estimar os parˆametros das c´opulas ´e necess´ario que tenhamos observa¸c˜oes independentes e identicamente distribu´ıdas. Todavia, sabemos que as s´eries de retornos financeiros tˆem entre os seus fatos estilizados a presen¸ca de variˆancia condicional. Tal estrutura de variˆancia nos obriga a usar filtros de volatilidade, ou seja, nos faz buscar modelos de volatilidade que eliminem da s´erie esta caracter´ıstica indesejada para o ajuste das c´opulas. Nesta tese, os modelos de volatilidade utilizados s˜ao os modelos GARCH e suas extens˜oes. Uma breve introdu¸c˜ao sobre estes modelos ser´a apresentada nesta se¸c˜ao. Melhores informa¸c˜oes podem ser obtidas em Campbell, Lo e Mackinlay(1997) entre outros textos did´aticos sobre o assunto.

2.1

Modelos ARFIMA

Embora a teoria sobre finan¸cas freq¨ uentemente assuma que os retornos de ativos financeiros s˜ao imprevis´ıveis, n˜ao ´e raro observar que algumas s´eries de retornos apresentam alguma estrutura de dependˆencia na m´edia. Como estamos interessados em obter res´ıduos distribu´ıdos como ru´ıdos brancos, ´e bastante conveniente investigar a existˆencia de estrutura de dependˆencia na m´edia das observa¸c˜oes. Considerando a s´erie de retornos rt , t = 1, . . . , n, e Ωt−1 como toda a informa¸c˜ao dispon´ıvel at´e o tempo t − 1 podemos escrever que

6

´ CAP´ITULO 2. MODELOS PARA SERIES FINANCEIRAS

rt = E[rt |Ωt−1 ] + εt ,

7

(2.1)

onde µt = E[rt |Ωt−1 ] ´e a esperan¸ca condicional de rt dado Ωt−1 e εt ´e um termo err´atico que goza de duas caracter´ısticas, E[εt ] = 0 e E[εt εs ] = 0, para ∀t 6= s. Os modelos para m´edia mais simples que consideraremos nesta tese s˜ao os modelos Autoregressivos de M´edias M´oveis, ou ARMA apresentados por Box e Jenkins(1976). No modelo ARMA(p∗, q), temos que Φ(L)(rt − µ) = Θ(L)εt , onde L ´e o operador retroativo1 e Φ(L) e Θ(L) s˜ao polinˆomios da forma Ψ(L) = 1−

Pp∗

i=1

φi Li e θ(L) = 1 −

Pq

j=1 θi L

i

.

Muitos estudos revelam que s´eries financeiras costumam apresentar auto-correla¸c˜oes significantes mesmo para observa¸c˜oes bem separadas no tempo. Nestes casos, podemos afirmar que a s´erie rt possui mem´oria longa. S´eries com estas caracter´ısticas s˜ao adequadamente modeladas atrav´es de modelos Autoregressivos Fracionalmente Integrados de M´edias M´oveis, ou ARFIMA, introduzidos por Granger(1980) e Granger e Jouyeux(1980). O modelo ARFIMA(p∗ , D, q) ´e dado como segue: Φ(L)(1 − L)D (rt − µt ) = Θ(L)εt , onde o termo (1 − L)D capta a mem´oria longa do processo, definido como D

(1 − L) =

∞ X

Γ(D + 1) Lk i=1 Γ(k + 1)Γ(D − k + 1)

1 1 = 1 − DL − D(1 − D)L2 − D(1 − D)(2 − D)L3 − . . . 2 6 =1−

∞ X

ck (D)Lk ,

k−1

com −0.5 < D < 0.5, c1 (D) = D, c2 (D) =

1 D(1 2

− D), ... e Γ(.) ´e a fun¸c˜ao

Gama. A soma infinita ´e truncada em t − 1. A imposi¸c˜ao −0.5 < D < 0.5 ´e 1

Definindo Li xt = xt−i .

´ CAP´ITULO 2. MODELOS PARA SERIES FINANCEIRAS

8

feita para garantir a estacionariedade da s´erie. Se 0.5 ≤ D < 1, rt tem variˆancia infinita, o que segundo, os procedimentos de identifica¸c˜ao de Box-Jenkins, sugeriria a diferencia¸c˜ao de rt com D inteiro. Se −0.5 < D < 0 o processo ´e dito de “mem´oria curta”, se 0 < D < 0.5 o processo ´e dito de “mem´oria longa”. Tal denomina¸c˜ao ´e empregada pelo fato de que em processos de mem´oria longa as autocorrela¸c˜oes ρk decaem de forma hiperb´olica, ou seja, ρk ∼ k −D , o que produz autocorrela¸c˜ao alta para k grande, caracterizando a longa dependˆencia. Para efeito de compara¸c˜ao, nos modelos ARMA(p∗ , q) as auto-correla¸c˜oes decaem de forma exponencial, ou seja, ρk ∼ ak , para 0 < a < 1.

2.2

Modelos para Variˆ ancia Condicional

Conforme colocado anteriormente, s´eries de retornos financeiros tipicamente possuem estrutura de dependˆencia na variˆancia. Para lidar com dados com estrutura de variˆancia condicional, Engle(1982) propˆos os modelos Autoregressivos Condicionalmente Heterosced´asticos, conhecidos como modelos ARCH. A maneira usual de construir modelos de variˆancia condicional para as observa¸c˜oes rt consiste em impormos uma forma `as inova¸c˜oes εt na equa¸c˜ao (2.1), como segue εt = zt σt , onde os zt s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas, tais que E[zt ] = 0 e V [zt ] = 1. Desta forma, E[εt ] = 0 e V [εt ] = σt2 , ou seja, a variˆancia de εt varia ao longo tempo. A constru¸c˜ao dos modelos ARCH se faz ao considerarmos que a V [εt ] ´e linear nos quadrados dos erros anteriores. Mais especificamente o modelo ARCH(r) ´e formulado como se segue: εt = zt σt zt ∼ H(0, 1) σt2 = α0 +

r X i=1

αi ε2t−i .

(2.2)

´ CAP´ITULO 2. MODELOS PARA SERIES FINANCEIRAS

9

Algumas restri¸c˜oes s˜ao impostas ao modelo ARCH para garantir que variˆancia condicional seja positiva, s˜ao elas: αi > 0 , i = 0, . . . , r. Para garantir que a variˆancia incondicional exista e seja positiva,

Pr

i=1

αi < 1. Desta forma, podemos escrever a

2

variˆancia incondicional, σ , como segue σ 2 = E[ε2t ] =

α0 1−

Pr

i=1

αi

.

Em v´arias aplica¸c˜oes o valor de r, ou seja, a ordem do modelo ARCH(r) ajustado `as s´eries ´e muito grande, produzindo um modelo pouco parcimonioso. Para tratar a variˆancia condicional de modo mais adequado, ou seja, com modelos com menor n´ umero de parˆametros, Bollerslev(1986) introduz uma generaliza¸c˜ao dos modelos autoregressivos condicionamente heterosced´asticos. Estes modelos s˜ao conhecidos como modelos GARCH. O modelo GARCH(r, s) ´e, como o pr´oprio nome sugere, uma extens˜ao do modelo ARCH(r), no qual ´e alterada a formula¸c˜ao da variˆancia condicional, que passa a ser dada por σt2 = α0 +

r X i=1

αi 2t−i +

s X

2 βi σt−i .

(2.3)

i=1

Na equa¸c˜ao (2.3) podemos perceber que na formula¸c˜ao de σt2 s˜ao inseridos s 2 termos σt−j , j = 1, . . . , s. Bollerslev(1986) mostra que se α0 > 0 e αi ≥ 0,

i = 1, . . . , r e βj ≥ 0, j = 1, . . . , s a variˆancia condicional ´e positiva. Usando o operador L o modelo (2.3) pode ser reescrito, como segue σt2 = α0 + α(L)ε2t + β(L)σt2 ,

(2.4)

onde α(L) = α1 L+. . .+αr L e β(L) = β1 L+. . .+βs L. Se todas a ra´ızes do polinˆomio |1 − β(L)| = 0 estiverem fora do c´ırculo unit´ario, o modelo pode ser reescrito como segue σt2 = α0 [1 − β(L)]−1 + α(L)[1 − β(L)]−1 ε2t ,

(2.5)

esta u ´ltima forma ´e u ´til para escrever extens˜oes do modelo, como veremos adiante. Dada a grande aceita¸c˜ao dos modelos GARCH, tanto pela academia quanto pelos agentes do mercado, v´arias extens˜oes foram apresentadas na literatura de finan¸cas,

´ CAP´ITULO 2. MODELOS PARA SERIES FINANCEIRAS

10

como os modelos EGARCH, Nelson(1991), PGARCH, Ding, Granger e Engle(1993) etc. Nesta tese, nos deteremos apenas em estimar modelos GARCH, j´a apresentado acima, EGARCH e PGARCH. As demais varia¸c˜oes n˜ao ser˜ao consideradas neste trabalho por alguns motivos: nosso objetivo ´e utilizar as ferramentas dispon´ıveis apenas para obter res´ıduos independentes e identicamente distr´ıbu´ıdos, ou seja, n˜ao nos preocupamos em fazer uma profunda an´alise desta classe de modelos. Segundo, o modelo GARCH(1,1) ´e bastante difundido entre os agentes financeiros, tendo estudos, como Issler(1999) e Abramovitz(2001), que revelam que este modelo se adequa satisfatoriamente `a grande parte das s´eries financeiras dispon´ıveis. Dadas esta coloca¸c˜oes, utilizamos o EGARCH e o PGARCH para nos certificarmos que efeitos de alavancagem e de choques negativos n˜ao estejam erroneamente sendo desconsiderados. O modelo Exponential GARCH, EGARCH, foi proposto por Nelson(1991) e reescrito por Bollerslev e Mikkelsen(1996) como segue: ln σt2 = α0 + [1 − β(L)]−1 [1 + α(L)]g(zt−1 ),

(2.6)

onde g(zt−1 ) = γ1 zt + γ2 [|zt | − E|zt |]. No S+ o modelo tem ´e dado da seguinte forma: ln σt2 = α0 +

r X i=1

αi

s |εt−i | + γi εt−i X 2 + βi ln σt−1 σt−i i=1

(2.7)

O EGARCH permite que incorporemos a assimetria dos choques na volatilidade condicional do processo. Este modelo possibilita que consideremos a hip´otese dos retornos negativos terem uma maior impacto na volatidade condicional que os retornos positivos. Uma vantagem inerente a este modelo ´e que, como ele ´e especificado atrav´es do logaritmo da variˆancia condicional, n˜ao h´a restri¸c˜oes a serem feitas sobre os parˆametros αi e βi para assegurar que as variˆancias n˜ao sejam estimadas com valores negativos. O modelo PGARCH (Power GARCH) tem a f´ormula da variˆancia dada por: σtδ

= α0 +

r X i=1

δ

αi (|εt−i | + γi εt−i ) +

s X

δ βi σt−1 ,

i=1

na qual δ ´e um expoente cujo valor pode ser estimado pelos dados ou ser especificado a priori e coeficientes |γi | devem ser, em m´odulo, menores que 1.

´ CAP´ITULO 2. MODELOS PARA SERIES FINANCEIRAS

11

O modelo PGARCH, tamb´em conhecido como APARCH (de Asymmetric Power GARCH), pode ser entendido como uma extens˜ao do modelo GARCH que considera os termos leverage. Isso possibilita modelar, como no modelo EGARCH, o efeito assim´etrico de grandes perdas. Se fizemos δ = 2, passamos a ter o modelo GARCH com leverage, cuja variˆancia condicional ´e dada por: σt2 = α0 +

r X

αi (|t−i | + γi t−i )2 +

i=1

s X

2 βi σt−1 ,

i=1

no qual os termos leverage tem coeficientes γi . ´ sabido que em muitas oportunidades s´eries financeiras apresentam forte perE sistˆencia ou seja, r X

αi +

i=1

Temos que se

Pr

i=1

αi +

Ps

j=1

s X

βj ≈ 1.

j=1

βj < 1 o processo εt ´e estacion´ario de segunda ordem

e os choques na variˆancia condicional σt2 tˆem impacto que decai exponencialmente ao longo do tempo. Entretanto, se

Pr

i=1

αi +

Ps

j=1

βj ≥ 1, o efeito de um choque

n˜ao se perde no tempo, ou seja, um choque no tempo t impacta a volatilidade infinitamente. Quando

Pr

i=1

αi +

Ps

j=1

βj = 1 estamos diante dos modelos GARCH

Integrados, ou IGARCH, Engle e Bollerslev(1986). Um conceito bastante similar ´e usado na equa¸c˜ao na m´edia, quando a soma de todos os coeficientes AR e MA ´e igual a um, o modelo ARMA ´e integrado (ARIMA). Embora tenhamos destacado esta semelhan¸ca, a compara¸c˜ao entre os modelos IGARCH e ARIMA deve ser feita com cuidado. Como colocado em Nelson(1990), o modelo IGARCH ´e erg´odico e estritamente estacion´ario, mas n˜ao de segunda ordem. Sabemos que os modelos GARCH podem ser escritos como modelos ARMA. Usando o operador diferen¸ca L, podemos reescrever o modelo (2.3) como segue: [1 − α(L) − β(L)]ε2t = α0 + [1 − β(L)](ε2t − σt2 ),

(2.8)

onde o termo (ε2t −σt2 ) pode ser entendido como o choque na volatilidade no instante t.

´ CAP´ITULO 2. MODELOS PARA SERIES FINANCEIRAS

12

Quando o polinˆomio [1 − α0 (L) − β0 (L)] tem raiz unit´aria, ou seja, a soma de todos αi e βj ´e um, temos o modelo IGARCH(r, s). Este modelo pode ser escrito, conforme abaixo: φ(L)(1 − L)ε2t = α0 + [1 − β(L)](ε2t − σt2 ).

(2.9)

onde φ(L) = [1 − α(L) − β(L)](1 − L)−1 ´e de ordem max{r, s} − 1. Podemos escrever o modelo acima para explicitar a variˆancia condicional como fun¸ca˜o dos res´ıduos. σt2 =

2.3

α0 + {1 − φ(L)(1 − L)[1 − β(L)]−1 }ε2t . [1 − β(L)]

(2.10)

Modelos Integrados para a Variˆ ancia

Ding, Granger e Engle(1993), entre outros, mostram que as auto-correla¸c˜oes de potˆencias dos retornos financeiros podem decair muito lentamente ao longo do tempo, ou seja, os efeitos dos choques na volatilidade podem levar muito tempo para se anularem. Contudo, os modelos apresentados at´e este momento parecem muitos restritivos. Se adotarmos um modelo2 I(0), impomos que a propaga¸c˜ao dos choques tem decaimento exponencial, que parece n˜ao contemplar a velocidade hiperb´olica do decaimento das auto-correla¸c˜oes. Por outro lado, se adotarmos um modelo I(1) impomos uma persistˆencia infinita, que tamb´em parece uma restri¸c˜ao muito forte. Para capturar de maneira adequada a presen¸ca de mem´oria longa na volatilidade condicional, Baille, Bollerslev e Mikkelsen(1996) propuseram um modelo fracionalmente integrado para a variˆancia condicional, o modelo GARCH Fracionalmente Integrado, conhecido como FIGARCH. Os modelos FIGARCH capturam o efeito de longo prazo na variˆancia condicional simplesmente substituindo o operador diferen¸ca no modelo (2.10) pelo operador (1 − L)d . Isolando o termo σt2 , o modelo FIGARCH(r, d, s) pode ser escrito da seguinte forma: 2

O termo I(i) ´e utilizado para representar um processo integrado de ordem i, i = 0, 1, 2, . . ..

´ CAP´ITULO 2. MODELOS PARA SERIES FINANCEIRAS

n

13

o

σt2 = α0 [1 − β(L)]−1 + 1 − [1 − β(L)]−1 φ(L)(1 − L)d ε2t , 0 ≤ d ≤ 1. Podemos provar que as condi¸c˜oes α0 > 0, β1 − d ≤ φ1 ≤ d(φ1 −

1−d ) 2

(2.11) 2−d 2

e

≤ β1 (φ1 − β1 + d) s˜ao suficiente para assegurar que a variˆancia do

modelo FIGARCH(1, d, 1) ´e positiva para todo t. O operador (1 − L)d , assim como nos modelos ARFIMA, pode ser escrito como uma expans˜ao infinita dos termos da s´erie, conforme segue (1 − L)d =

∞ X

Γ(d + 1) Lk Γ(k + 1)Γ(d − k + 1) i=1

1 1 = 1 − dL − d(1 − d)L2 − d(1 − d)(2 − d)L3 − . . . 2 6 =1−

∞ X

ck (d)Lk ,

k−1

c1 (d) = d, c2 (d) =

1 d(1 2

− d) etc. O modelo FIGARCH(r, d, s) engloba os modelos

GARCH(r, s), se tivermos d = 0, e os modelos IGARCH(r, s), quando d = 1, captando a mem´oria longa na variˆancia condicional quando d > 0. Devemos ressaltar que quando d > 0, o modelo FIGARCH(r, d, s) n˜ao possui os momentos incondicionais, assim como os modelos IGARCH(r, s). Similarmente aos modelos GARCH(r, s), o modelo EGARCH(r, s) pode ser estendido para capturar a caracter´ıstica de mem´oria longa fatorando o polinˆomio [1 − β(L)] = φ(L)(1 − L)d , onde todas as ra´ızes do polinˆomio φ(z) = 0 est˜ao fora do c´ırculo unit´ario. O modelo FIEGARCH(r, d, s) ´e especificado como segue: ln(σt2 ) = α0 + φ(L)−1 (1 − L)−d [1 + α(L)]g(zt−1 ).

2.4

(2.12)

Estima¸c˜ ao

Engle(1982) fez uso da suposi¸c˜ao de normalidade dos res´ıduos para estimar os modelos GARCH. Contudo, existem estudos, como Bollerslev(1987), que evidenciam que existe excesso de curtose nos res´ıduos. Para lidar de maneira adequada com

´ CAP´ITULO 2. MODELOS PARA SERIES FINANCEIRAS

14

este problema, faremos tamb´em a estima¸c˜ao desses modelos utilizando a distribui¸c˜ao t, dado que esta distribui¸c˜ao possui caudas mais pesadas que normal, tornando-se, portanto adequada para captar o excesso de curtose. Nos modelos FIGARCH e FIEGARCH os parˆametros ser˜ao estimados usando a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca supondo distribui¸c˜ao condicional normal, ou seja, embora reconhecendo que distribui¸c˜ao dos res´ıduos n˜ao seja normal, a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca que ser´a utilizada faz uso da normalidade. Tal procedimento chama-se estima¸c˜ao por quasi-verossimilhan¸ca e ´lez-Rivera(1991), fornece bons estimadores, como distutido em Engle, Gonza entre outros. Sendo assim, condicionalmente aos parˆametros do modelo, uma estimativa da variˆancia inicial, e a especifica¸c˜ao de uma distribui¸c˜ao condicional normal, constru´ımos uma fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca de modo recursivo para cada observa¸c˜ao. Se chamarmos o vetor de parˆametros do modelo de θ, definimos σt (θ) como o desviopadr˜ao condicional no tempo t determinado pelos parˆametros e pela hist´oria dos retornos. Definimos, tamb´em, ηt+1 (θ) = t+1 /σt (θ). Considerando que θ contenha os verdadeiros parˆametros do modelo, ηt+1 (θ) s˜ao independentes e identicamente distribu´ıdos com fun¸c˜ao de densidade f (ηt+1 (θ)), que sendo normal padr˜ao fornece: 1 2 f (ηt+1 (θ)) = √ exp−ηt+1 (θ ) /2 . 2π

(2.13)

A partir da equa¸c˜ao (2.13) podemos escrever a log-verossimilhan¸ca de t+1 : lt (t+1 (θ)) = ln(f (t+1 /σt (θ)) − ln(σt2 (θ))/2

(2.14)

√ lt (t+1 (θ)) = − ln( 2π) − 2n+1 /2σt2 (θ) − ln(σt2 (θ))/2.

(2.15)

Nas equa¸c˜oes (2.15) e (2.14) o u ´ltimo termo surge como um jacobiano, uma vez que a fun¸c˜ao de densidade utilizada para escrever a log-verossimilhan¸ca ´e fun¸c˜ao de t+1 (θ) n˜ao de t+1 /σt (θ). Com base nesta constru¸c˜ao, podemos escrever a fun¸c˜ao de log-verossimilhan¸ca para todo o conjunto de dados, como segue: L(1 , . . . , t ) =

T X i=1

lt (t+1 ; θ).

(2.16)

´ CAP´ITULO 2. MODELOS PARA SERIES FINANCEIRAS

15

Caso o modelo probabil´ıstico escolhido seja t, basta proceder de modo an´alogo ao apresentado supondo normalidade, utilizando a fun¸c˜ao de densidade dada abaixo:  −1

v+1 1 f (t+1 (θ)) = Γ Γ 2 2 



−1/2

(v − 2)

t+1 (θ) 1+ v−2

!−(v+1)/2

.

O procedimento adotado com os modelos EGARCH e PGARCH ´e an´alogo ao procedimento adotado com o modelo GARCH.

2.5

An´ alise de Diagn´ ostico e Sele¸ c˜ ao de Modelo

V´arias t´ecnicas estat´ısticas ser˜ao utilizadas para a sele¸c˜ao e an´alise de diagn´ostico de modelos. Em uma fase preliminar, o uso de estat´ısticas descritivas das perdas, bem como gr´aficos de dispers˜ao, de autocorrela¸c˜ao e de autocorrela¸c˜ao parcial das perdas e de seus quadrados prover˜ao importante intui¸c˜ao a respeito das caracter´ısticas relevantes de cada s´erie. Realizada a an´alise preliminar, estimaremos alguns modelos que reproduzam as caracter´ısticas observadas nesta an´alise com vistas `a selecionar o candidato aparentemente mais adequado segundo os crit´erios de informa¸c˜ao AIC, Akaike Information Criterion, e BIC, Bayesian Information Criterion. Uma vez pr´e-selecionado o modelo mais adequado, uma nova inspe¸c˜ao gr´afica e testes estat´ısticos ser˜ao realizados a fim de verificarmos a eficiˆencia e qualidade de ajuste do modelo proposto. Basicamente, estaremos investigando se todo o tipo de dependˆencia temporal foi eliminado, tanto na m´edia quanto na variˆancia, se os res´ıduos se distribuem segundo a distribui¸c˜ao proposta e se os parˆametros estimados s˜ao significativos. Gr´aficos como qq-plot, de autocorrela¸c˜ao fornecer˜ao boa intui¸c˜ao sobre a qualidade dos ajustes. Testes estat´ısticos formais, como o de Jarque-Bera, Jarque e Bera(1987), Ljung-Box, Ljung e Box(1978), e o teste do Multiplicador de Lagrange desempenhar˜ao papel importante. O teste Jarque-Bera tem como finalidade investigar a hip´otese de normalidade de um conjunto de dados. Sua estat´ıstica de teste ´e JB = (n/6)A2 + (n/24)(C − 3)2 ,

(2.17)

´ CAP´ITULO 2. MODELOS PARA SERIES FINANCEIRAS

16

onde A ´e o coeficiente de assimetria e C ´e o coeficiente de curtose. Sob hip´otese nula, ou seja, sob normalidade dos dados, JB ∼ χ22 , cujo ponto cr´ıtico a 5% ´e 5,99. Vale acrescentar que este teste ´e v´alido para amostras de tamanho n ≈ 103 ou maiores. Para verificar se os res´ıduos padronizados possuem a distribui¸c˜ao pressuposta pelo modelo ser˜ao utilizados dois testes de adequabilidade: o Kolmogorov-Sminorf e o teste χ2 . Para testar a significˆancia das autocorrela¸c˜oes dos res´ıduos padronizados e de seus quadrados utilizaremos a estat´ıstica de Ljung-Box, dada por LB = n(n + 2)

m X

(n − k)−1 ρ2k ,

(2.18)

k=1

na qual ρ2k , ´e a autocorrela¸c˜ao de ordem k. Sob hip´otese nula, ou seja, se as autocorrela¸c˜oes forem nulas at´e a ordem m, LB ∼ χ2m , assintoticamente.

Cap´ıtulo 3 C´ opulas 3.1

Apresenta¸c˜ ao

Ao observamos uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao conjunta, sabemos que nela h´a toda a informa¸c˜ao sobre o comportamento das vari´aveis envolvidas. Tais informa¸c˜oes se referem tanto ao comportamento marginal de cada uma das vari´aveis quanto `a inter-rela¸c˜ao entre as mesmas. O objetivo ao estudar c´opulas ´e extrair a Estrutura de Dependˆencia do vetor aleat´orio sem nenhuma influˆencia das distribui¸c˜oes marginais. Antes de introduzimos efetivamente o conceito de c´opulas, ´e conveniente apresentarmos um resultado da teoria das probabilidades que ´e extremamente u ´til para lidarmos com c´opulas: a transforma¸c˜ao integral de probabilidades. Proposi¸c˜ ao 1 Seja X uma vari´ avel aleat´ oria com distribui¸c˜ ao F e F −1 a sua inversa, ou seja, F −1 (α) = inf{x|F (x) ≥ α}, α ∈ (0,1). Temos, que se F ´e cont´ınua1 ent˜ ao a vari´ avel aleat´ oria F (X) ´e distribu´ıda uniformemente, ou seja, F (X) ∼ U (0, 1). Prova. Livros elementares de teoria das probabilidades. 1

Neste trabalho, estudaremos apenas vari´aveis aleat´orias cont´ınuas, desta forma os teoremas e

defini¸c˜ oes ser˜ ao restritos ` a esta classe de distribui¸c˜ao.

17

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

18

Esta transforma¸c˜ao ser´a muito explorada ao longo desse estudo, uma vez que para qualquer ditribui¸c˜ao uniforme padr˜ao U ∼ U (0, 1), temos F −1 (U ) ∼ F .

3.1.1

O que ´ e c´ opula?

Como introduzido anteriormente, a rela¸c˜ao de dependˆencia entre vari´aveis aleat´orias X1 , ..., Xp ´e completamente descrita pela sua fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao conjunta F (x1 , ..., xp ) = P [X1 ≤ x1 , ..., Xp ≤ xp ]. Para extrairmos a estrutura de dependˆencia, ´e, de certa forma, intuitivo que seja necess´aria a realiza¸c˜ao de uma esp´ecie de padroniza¸c˜ao das vari´aveis unidimensionais pertencentes ao vetor aleat´orio. Esta seria uma maneira eficaz de eliminarmos as informa¸c˜oes marginais presentes no modelo. Suponha que transformemos o vetor aleat´orio X = (X1 , ..., Xp )t de forma que passe a ter componentes com distribui¸c˜oes marginais uniformes-padr˜ao. Como visto, este procedimento ´e realizado atrav´es do uso da transforma¸c˜ao integral. A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao conjunta C de (F1 (X1 ), ..., Fp (Xp ))t ´e chamada de C´ opula do vetor aleat´orio (X1 , ..., Xp )t ou a distribui¸c˜ao multivariada F . Isto porque F (x1 , ..., xp ) = P[F1 (X1 ) ≤ F1 (x1 ), ..., Fp (Xp ) ≤ Fp (xp )] = = C(F1 (x1 ), ..., Fp (xp )).

(3.1)

Devemos notar que com esta constru¸c˜ao temos garantia de que a distribui¸c˜ao de cada uma das marginais de C, F1 , ..., Fp ´e uniforme no intervalo [0, 1]. Outro aspecto que merece aten¸c˜ao, ´e que embora as distribui¸c˜oes marginais sejam uniformes, a distribui¸c˜ao conjunta de (F1 (X1 ), ..., Fp (Xp ))t s´o ser´a uniforme se todas as vari´aveis pertencentes ao vetor aleat´orio forem independentes2 . ´ interessante notarmos que para anularmos as diferentes informa¸c˜oes proveE nientes das marginais poder´ıamos transform´a-las em qualquer distribui¸c˜ao. A vantagem de utilizarmos a uniforme[0, 1] est´a diretamente associada `a grande simplicidade desta distribui¸c˜ao e `as facilidades provenientes da tranforma¸c˜ao integral de probabilidades. 2

Adiante trataremos melhor desta quest˜ao.

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

19

Nelsen(1999) define de maneira mais formal o conceito de c´opulas: Defini¸c˜ ao 1 Uma c´opula ´e uma fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao de um vetor aleat´ orio no F1−1 (α)],

(3.8)

λL = lim P [X2 < F2−1 (α)|X1 < F1−1 (α)],

(3.9)

α→1−

α→0+

se os limites λU ∈ [0, 1] e λL ∈ [0, 1] existem. Se λU ∈ (0, 1] (λL ∈ (0, 1]) X2 e X1 s˜ao denominadas assintoticamente dependentes na parte extrema da cauda direita (esquerda), caso contr´ ario, se λ = 0, as denominamos assintoticamente independentes na cauda direita (esquerda). Como estamos interessados em modelar vari´aveis aleat´orias cujas distribui¸c˜oes sejam cont´ınuas, podemos definir a fun¸c˜ao de sobrevivˆencia como F¯1 (F1−1 (α)) = P [X1 > F1−1 (α)] = 1 − F1 (F1−1 (α)). O mesmo pode ser feito para distribui¸c˜oes bivariadas, F¯1,2 (F1−1 (α), F2−1 (α)) = 1 − F1 (F1−1 (α)) − F2 (F2−1 (α)) + F1,2 (F1−1 (α), F2−1 (α)). O ´ındice de dependˆencia de cauda pode ser escrito atrav´es de c´opulas. Esta caracter´ıstica faz com que esta medida seja invariante para transforma¸c˜oes mon´otonas crescentes. Assumindo que, novamente, X1 e X2 sejam vari´aveis cont´ınuas e que o limite exista, podemos reescrever λU atrav´es da fun¸c˜ao de sobrevivˆencia da c´opula deste vetor, como segue: ¯ C(α, α) . α→1− 1 − α

λU = lim P [X2 > F2−1 (α) | X1 > F1−1 (α)] = lim α→1−

(3.10)

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

25

¯ onde C(α, α) ´e a fun¸c˜ao de sobrevivˆencia da c´opula de X1 e X2 . De forma an´aloga, podemos reescrever λL : C(α, α) . α→0+ α Nas pr´oximas p´aginas calcularemos estes ´ındices para algumas fam´ılias de c´opulas λL = lim

das quais faremos uma breve apresenta¸c˜ao nesta monografia.

3.2.3

Medidas de Concordˆ ancia

Nelsen(1999) define que uma medida kX1 ,X2 de associa¸c˜ao entre um par de vari´aveis aleat´orias cont´ınuas (X1 , X2 ) cuja c´opula ´e C, como uma medida de concordˆ ancia se kX1 ,X2 apresenta as seguintes propriedades: 1. k ´e definido para todo par (X1 , X2 ) de vari´aveis aleat´orias cont´ınuas; 2. −1 = kX,−X ≤ kC = kU1 ,U2 ≤ kX,X = 1; 3. kX1 ,X2 = kX2 ,X1 ; 4. se X1 e X2 s˜ao independentes, ent˜ao kX1 ,X2 = kC ⊥ = 0; 5. k−X1 ,X2 = −kX1 ,X2 ; 6. C1 ≺ C2 , ent˜ao kC1 ≤ kC2 ; 7. Se (X1,n , X2,n ) ´e uma sequˆencia de pares de vari´aveis aleat´orias cont´ınuas, com c´opula Cn e se {Cn } converge pontualmente para C, ent˜ao limn→∞ kCn = kC . Medidas n˜ao-param´etricas de correla¸c˜ao como o coeficiente de correla¸c˜ao de Kendall, equa¸c˜ao, (3.11), e o coeficiente de correla¸c˜ao de Spearman,equa¸c˜ao (3.12), s˜ao estat´ısticas que se enquadram em todas estas caracter´ısticas. O coeficiente de correla¸c˜ao linear (ou de Pearson), segundo esta defini¸c˜ao, n˜ao pode ser considerado uma medida de concordˆancia entre vari´aveis. Uma se¸c˜ao deste cap´ıtulo ser´a dedicada `a apresenta¸c˜ao de alguns aspectos te´oricos do coeficiente de correla¸c˜ao.

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

26

Essas duas medidas, o coeficiente de correla¸c˜ao de Kendall, τ , e o coeficiente de correla¸c˜ao de Sperman, %, podem ser escritas em fun¸c˜ao da c´opula da distribui¸c˜ao bivariada das vari´aveis que estudamos, como segue: τ =4

Z Z

% = 12

I2

C(u1 , u2 )dC(u1 , u2 ) − 1

Z Z I2

u1 u2 dC(u1 , u2 ) − 3.

(3.11) (3.12)

Estes resultados s˜ao demonstrados em Schweizer e Wolff(1981).

3.2.4

Medidas de Dependˆ encia

Nelsen(1999) define que uma medida δX1 ,X2 de associa¸c˜ao entre um par de vari´aveis aleat´orias cont´ınuas, (X1 , X2 ) cuja c´opula ´e C, como uma medida de dependˆencia se δX1 ,X2 possui as seguintes propriedades: 1. δ ´e definido para todo par X1 , X2 de vari´aveis aleat´orias cont´ınuas; 2. 0 = δC ⊥ ≤ δC ≤ δC + = 1; 3. δX1 ,X2 = δX2 ,X1 ; 4. δX1 ,X2 = δC = 0 se, e s´o se, X1 e X2 s˜ao independentes; 5. δX1 ,X2 = δC = 1 se, e s´o se, X1 ´e uma fun¸c˜ao mon´otona3 de X2 ; 6. se h1 e h2 s˜ao fun¸c˜oes mon´otonas estritamente positivas, ou crescentes, ent˜ao δh1 (X1 ),h2 (X2 ) = δX1 ,X2 ; 7. Se (X1,n , X2,n ) ´e uma sequˆencia de vari´aveis aleat´orias cont´ınuas, com c´opula Cn e se {Cn } converge pontualmente para C, ent˜ao limn→∞ δCn = δC . Schweizer e Wolff(1981) apresentam duas medidas de dependˆencia que possuem essas caracter´ısticas, a Medida de Dependencia de Schwetizer, ou Wolff, 3

Dizemos que f (x) ´e mon´ otona se f (x) ´e estritamente crescente ou decrescente.

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

27

´ ς, e o Indice de Dependˆencia de Hoeffding, Φ2 . Nesse mesmo trabalho, os autores provam que tais medidas podem ser escritas em fun¸c˜ao da c´opula da distribui¸c˜ao bivariada, como segue: ς = 12

Z Z I2

|C(u1 , u2 ) − C ⊥ (u1 , u2 )|∂u1 ∂u2

(3.13)

|C(u1 , u2 ) − C ⊥ (u1 , u2 )|2 ∂u1 ∂u2 .

(3.14)

e 2

Φ = 90

Z Z 2

I

3.2.5

Correla¸ c˜ ao Linear

Como discutido anteriormente, o coeficiente de correla¸c˜ao ´e uma medida largamente utilizada para lidar com dependˆencia entre vari´aveis aleat´orias. Entender sua constru¸ca˜o, suas propriedades matem´aticas e os aspectos nos quais ele ´e mal interpretado ´e de fundamental importˆancia para a constru¸c˜ao de modelos baseados nesta estat´ıstica. O que ´ e correla¸c˜ ao? A defini¸c˜ao do coeficiente de correla¸c˜ao entre um par de vari´aveis aleat´orias, (X, Y ) ´e dada, conforme segue: Defini¸c˜ ao 6 O coeficiente de correla¸c˜ ao entre X e Y ´e ρ(X, Y ) =

Cov[X, Y ] , σ[X]σ[Y ]

onde Cov[X, Y ] ´e a covariˆancia entre X e Y , σ[X] e σ[Y ] s˜ ao os desvios-padr˜ ao de X e Y , respectivamente. O coeficiente de correla¸c˜ao linear, como o pr´oprio nome diz, ´e uma medida de dependˆencia linear, estritamente. Sendo assim, para qualquer outro tipo de dependˆencia, o coeficiente de correla¸c˜ao linear n˜ao ´e a medida mais adequada para capt´a-la ou model´a-la.

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

28

Como sabemos, o coeficiente de correla¸c˜ao assume valores no intervalo [−1, 1]4 . Se duas vari´aveis aleat´orias, X e Y , s˜ao independentes, temos que o coeficiente de correla¸c˜ao entre elas ´e ρ = 0. Esta propriedade, geralmente, induz os usu´arios desta estat´ıstica a acreditarem que a rec´ıproca ´e verdadeira, quando na verdade n˜ao ´e. Somente quando possu´ımos distribui¸c˜oes normais multivariadas ´e v´alido acreditar que correla¸c˜ao implica em independˆencia. Quando existe perfeita dependˆencia linear entre vari´aveis, ou seja, quando P [Y = a + bX] = 1 para b ∈ < \ {0}, teremos ρ(X, Y ) = ±1. Para perceber a rela¸c˜ao do coeficiente de correla¸c˜ao com a id´eia de dependˆencia linear, basta lembrar que o R2 , ou coeficiente de determina¸c˜ao do modelo de regress˜ao simples, nada mais ´e que o quadrado do coeficiente de correla¸c˜ao. Quando observamos que ρ ∈ (−1, 1) temos que n˜ao h´a uma perfeita dependˆencia ´ justamente quando isto ocorre que corremos o risco de linear entre as vari´aveis. E cometer v´arios equ´ıvocos. A ampla preferˆencia pelo uso do coeficiente de correla¸c˜ao pode ser explicada por motivos, de certa forma, bem simples, como por exemplo: facilidade de c´alculo, analogia com os procedimentos de regress˜ao, seu ensinamento em cursos b´asicos de estat´ıstica, sua adequa¸c˜ao para as distribui¸c˜oes normais etc. Do ponto de vista te´orico, existem algumas propriedades do coeficiente de correla¸ca˜o que favorecem o seu uso, vejamos: 1. O coeficiente de correla¸c˜ao ´e invariante `a transforma¸c˜oes afins5 estritamente crescentes. Podemos calcular o coeficiente de correla¸c˜ao quando trabalhamos com transforma¸c˜oes afins de vari´aveis aleat´orias utilizando esta propriedade, por exemplo Cov[AX + a, BY + b] = ACov[X, Y]B t , onde A : x2 ]∀x1 , x2 ∈ x1 ), g2 (X2 > x2 )] ≥ E[g1 (X1 > x1 )]E[g2 (X2 > x2 )] ∀x1 , x2 ∈ < (3.17) onde g1 e g2 s˜ao fun¸c˜oes crescentes e as esperan¸cas acima s˜ ao bem definidas. De posse desses dois novos conceitos de dependˆencia, Embrechts et al.(1999a) mostram que a seguinte ordem de dependˆencia pode ser estabelecida:

comonotonicidade ⇒ P A ⇒ P QD ⇒ ρ(X1 , X2 ) ≥ 0, %(X1 , X2 ) ≥ 0, τ (X1 , X2 ) ≥ 0. (3.18)

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

3.3

33

Fam´ılias de C´ opulas

Ao estudarmos c´opulas e suas aplica¸c˜oes, ´e de suma importˆancia conhecer as propriedades dessas fun¸c˜oes. Por exemplo, ´e necess´ario conhecer as formas das distribui¸c˜oes te´oricas e averiguar se a dependˆencia que elas imp˜oem ´e compat´ıvel com a dependˆencia verificada empiricamente. Al´em disso, as propriedades matem´aticas das c´opulas podem e devem ser aproveitadas nos procedimentos de inferˆencia e, principalmente, em procedimentos de simula¸c˜ao estoc´astica. Segundo estas caracter´ısticas, podemos agrupar as c´opulas em grupos, das quais as de maior interesse s˜ao: c´opulas arquimedianas, c´opulas de valor extremo e c´opulas el´ıpticas. As densidades das c´opulas discutidas nesta se¸c˜ao ser˜ao apresentadas no apendice B.

3.3.1

C´ opulas Arquimedianas

Nesta se¸c˜ao, faremos uma apresenta¸c˜ao sobre a fam´ılia das c´opulas arquimedianas. O objetivo ´e apresentar alguns resultados para c´opulas bivariadas e posteriormente estender os resultados para para o caso multivariado. H´a pelo menos dois bons motivos para um estudo das c´opulas arquimedianas: 1. h´a um grande n´ umero de fun¸c˜oes pertencentes `a esta fam´ılia com uma grande variedade de estruturas de dependˆencia diferentes; 2. suas boas propriedades matem´aticas s˜ao u ´teis em procedimentos de inferˆencia com simula¸c˜ao e verifica¸c˜ao de adequabilidade de ajuste. Ap´os estabelecermos algumas defini¸c˜oes e obtermos de algumas propriedades importantes sobre c´opulas arquimedianas, teremos um conjunto de resultados que possibilitar˜ao o c´alculo de algumas medidas de associa¸c˜ao importantes, como o τ de Kendall e o ´ındice de dependˆencia de cauda, bem como um algoritmo geral para simula¸c˜ao de c´opulas arquimedianas que ´e especialmente u ´til na tarefa de estima¸c˜ao de riscos financeiros.

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

34

Defini¸c˜ oes Defini¸c˜ ao 9 Seja ϕ uma fun¸c˜ ao cont´ınua estritamente decrescente, tal que ϕ : I → [0, ∞], sendo que ϕ(1) = 0. A pseudo-inversa de ϕ ´e a fun¸c˜ ao ϕ[−1] , tal que ϕ[−1] : [0, ∞] → I, de forma que ϕ[−1] (t) =

   ϕ−1 (t), 0 ≤ t ≤ ϕ(0)   0,

(3.19)

ϕ(0) ≤ t ≤ ∞.

Lema 1 Seja ϕ uma fun¸c˜ao cont´ınua estritamente decrescente, tal que ϕ : I → [0, ∞], sendo que ϕ(1) = 0 e seja ϕ[−1] , definida em 3.19. Seja C a fun¸c˜ ao, tal que C : I 2 → I dada por C(u, v) = ϕ[−1] (ϕ(u) + ϕ(v)).

(3.20)

Ent˜ ao, C satizfaz as condi¸c˜oes 1 e 2 da defini¸c˜ ao 1. Prova. Veja em Lindskog(2000). Lema 2 Sejam ϕ, ϕ[−1] e C satisfazendo a condi¸c˜ oes do lema 1. Ent˜ ao a fun¸c˜ ao C ´e crescente em seus dois argumentos, se e somente se toda vez que u1 ≤ u2 C(u2 , v) − C(u1 , v) ≤ u2 − u1 .

(3.21)

Prova. Veja em Lindskog(2000). Teorema 2 Seja ϕ : I → [0, ∞] uma fun¸c˜ ao cont´ınua, estritamente decrescente, tal que ϕ(1) = 0 e seja ϕ[−1] a pseudo-inversa de ϕ definida em (3.19). A fun¸c˜ao C : I 2 → I dada em (3.20) ´e uma c´ opula se, e somente se, ϕ ´e convexa. Prova. Veja em Lindskog(2000). C´opulas dadas pela equa¸c˜ao (3.20) s˜ao chamadas de c´opulas arquimedianas. A fun¸ca˜o ϕ ´e chamada de gerador da c´opula. Geradores tais que ϕ(0) = ∞ s˜ao

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

35

chamados de geradores estritos. Com base nestes resultados, podemos constatar que a constru¸c˜ao de c´opulas arquimedianas ´e relativamente simples. Basta obter uma fun¸c˜ao ϕ(·) que satisfa¸ca as condi¸c˜oes estabelecidas para construir uma c´opula arquimediana. A t´ıtulo de ilustra¸c˜ao podemos apresentar algumas c´opulas arquimedianas, como por exemplo a c´opula C ⊥ , para vari´aveis independentes: C ⊥ (u, v) = exp{−[(− ln u) + (− ln v)]} = exp{ln u + ln v} = u · v. Outro exemplo ´e a c´opula Gumbel, CG, dada por 1

CG(u, v) = exp{−[(− ln uδ ) + (− ln v δ )] δ }. Um exerc´ıcio interessante ´e buscar fun¸c˜oes ϕ(·) que gerem c´opulas com algumas caracter´ısticas desej´aveis que se ajustem `a fatos estilizados do conjunto de dados a ser modelado. Uma caracter´ıstica das c´opulas arquimedianas bivariadas que merece ser ressaltada ´e a permutabilidade, ou seja, C(u, v) = C(v, u)∀ (u, v) ∈ I 2 . Propriedades Nesta parte do trabalho, conduziremos uma seq¨ uˆencia de resultados que nos prover˜ao um algoritmo para gera¸c˜ao de vari´aveis aleat´orias com c´opula arquimediana. Seja Ω o conjunto de fun¸c˜oes convexas cont´ınuas estritamente decrescentes ϕ : I → [0, ∞], sendo que ϕ(1) = 0. Teorema 3 Seja C uma c´opula arquimediana gerada por ϕ em Ω. Seja KC (t) a medida C7 do conjunto {(u, v) ∈ I 2 |c(u, v) ≤ t}. Ent˜ ao, para qualquer t ∈ I, KC (t) = t −

ϕ(t) . ϕ(t+)

(3.22)

Prova. Veja em Lindskog(2000). Corol´ ario 1 Sejam U e V vari´ aveis aleat´ orias uniformes (0, 1) cuja fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ao conjunta ´e uma c´opula arquimediana C gerada por ϕ ∈ Ω. Ent˜ ao a fun¸c˜ao kC , apresentada em (3.22), ´e a fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao da vari´ avel aleat´ oria C(U, V ). 7

Veja mais detalhes em Lindskog(2000).

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

36

Prova. Veja em Lindskog(2000). Teorema 4 Seja X e Y uma vari´ avel aleat´ oria com uma c´ opula arquimediana C gerada por ϕ ∈ Ω. O τ de Kendall de (X, Y ) ´e dado por τ =1+4

Z o

1

ϕ(t) dt. ϕ0 (t)

(3.23)

Prova. Veja em Lindskog(2000). Teorema 5 Sob as hip´oteses do Corol´ ario 1, a fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao H(s, t) da vari´ avel aleat´oria S = ϕ(U )/[ϕ(U ) + ϕ(V )] e T = C(U, V ) ´e dada por H(s, t) = sKc (t) para todo (s, t) em I 2 . Ent˜ ao S e T s˜ ao independentes e S ´e uniformemente distribu´ıda em (0, 1). Prova. Veja em Lindskog(2000). O teorema 5 fornece um m´etodo de gera¸c˜ao de vari´aveis aleat´orias bivariadas da fun¸ca˜o de distribui¸c˜ao conjunta C com gerador ϕ ∈ Ω: Algoritmo 1 Gera¸c˜ao de um par de vari´ aveis aleat´ orias cuja distribui¸c˜ ao pertence a classe das c´opulas arquimedianas. ` • Gere duas vari´aveis aleat´ orias independentes uniformes (0, 1), s e q; (−1)

• t = KC

(−1)

(q), onde KC

denota a quasi-inversa da fun¸c˜ ao de distribui¸c˜ao

KC ; • Seja u = ϕ[−1] (sϕ(t)) e v = ϕ[−1] ((1 − s)ϕ(t)); • O par (u, v) tem distribui¸c˜ ao C. Prova. Veja em Lindiskog(2000.) H´a alguns resultados interessantes a respeito do ´ındice de dependˆencia de cauda para c´opulas arquimedianas, como segue:

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

37

Tabela 3.1: C´opulas Arquimedianas Utilizadas nesta tese.

C´opula

ϕ(t)

C(u1 , u2 )

C⊥

− ln t

u 1 u2

Gumbel

Clayton

(t−δ − 1)

BB1

(t−δ1 − 1)δ2

λU

0

0

0

1 − 1/θ

0

2 − 21/δ

1 − 4δ (1 − D1 (δ))

0

0

δ δ+2

2−1/δ

0

2−1/(δ1 δ2 )

2 − 21/δ2

exp(−(˜ uδ1 + u ˜δ2 ) )

−δt

−1 − ln e eδ −1

λL

1 δ

(− ln t)δ

Frank

τ

1 δ



1+

(e−δu −1)(e−δu −1) (e−δ −1)



(u−δ + v −δ − 1)−1/δ n

1 + [ϕ(u) + ϕ(v)]1/δ2

o−1/δ1

0

Teorema 6 Seja C uma c´opula arquimediana bivariada, se ϕ−1 (0) ´e finito, ent˜ao, C n˜ ao tem ´ındice de dependˆencia de cauda superior λU . Se C tem ´ındice de cauda 0

superior, ent˜ao ϕ−1 (0) = −∞ e o ´ındice de dependˆencia de cauda superior ´e dado por

0

ϕ−1 (2s) λU = 2 − 2 lim −10 . s→0 ϕ (s) Prova. Veja em Lindiskog(2000). Teorema 7 Seja ϕ o gerador estrito da c´ opula C. O ´ındice de dependˆencia de cauda de C(u, v) = ϕ[−1] (ϕ(u) + ϕ(v)) ´e dado por 0

ϕ−1 (2s) λL = 2 s→∞ lim −10 . ϕ (s) Prova. Veja em Lindiskog(2000.) Com base nestes resultados, podemos montar um quadro apresentando as c´opulas arquimedianas que ser˜ao utilizadas nesta monografia informando as suas fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao, seus ´ındices de dependˆencia de cauda e suas medidas de concordˆancia. Para simplificar a nota¸c˜ao, daqui em diante, nos referiremos a cada uma das c´opulas Gumbel, Frank, Clayton e BB1 com parˆametro δ como, CG(δ), CF (δ),

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

38

CC(δ) e CBB1(δ), respectivamente. Na Tabela 3.1, acima, a fun¸c˜ao Dk (x) ´e a fun¸ca˜o de Debye, dada por: Dk (x) =

k xk

tk 0 et −1 dt,

Rx

para algum inteiro positivo k.

Este quadro permite que observemos algumas caracter´ısticas das c´opulas que certamente devem ser exploradas no processo de escolha do modelo a ser utilizado. Por exemplo, as c´opulas que s˜ao assintoticamente independentes como a Frank, que possui λL = 0 e λU = 0, talvez n˜ao sejam boas alternativas para modelagem de de fenˆomenos financeiros. J´a a c´opula Gumbel possui λL = 0 e λU > 0, o que a pode tornar uma boa escolha para capta¸c˜ao de dependˆencia em bull markets. De todas c´opulas apresentadas arquimedianas, a mais flex´ıvel ´e a BB1 por ser bi-param´etrica. Assim, podemos ter ´ındices de dependˆencia de cauda positivos e diferentes para cada quadrante, possibilitando que se capte melhor as diferentes intensidades de dependˆencia em bull markets e bear markets. Alguns gr´aficos s˜ao bastante u ´teis para aprimorarmos a nossa intui¸c˜ao sobre estas distribui¸c˜oes. Nos gr´aficos (3.4),(3.5), (3.6) e (3.7) podemos perceber de maneira bem clara toda a forma de dependˆencia imposta por cada uma das c´opulas arquimediana utilizadas nesta monografia. Os gr´aficos da figura (3.4) mostram claramente que a densidade Gumbel ´e bastante concentrada em torno do eixo de 45 graus, como todas as c´opulas apresentadas nesta tese. Esta propriedade implica que elas imp˜oem uma dependˆencia positiva, no sentido em que uma vez se X e Y s˜ao vari´aveis aleat´orias com c´opula Gumbel e qx (α) e qy (α) s˜ao quantis com probabilidade α da distribui¸c˜ao de X e Y , ent˜ao P [X > qx (α)|Y > qy (α)] > P [X > qx (α)]. A dependˆencia de cauda da c´opula Gumbel pode ser observada atrav´es da Figura 3.4, no ponto (1,1) do gr´afico em perspectiva no canto esquerdo superior (1,1). A alta densidade neste ponto faz que altos quantis das distribui¸c˜oes marginais ocorram conjuntamente com probabilidade muito alta. De forma mais clara, sejam X e Y vari´aveis aleat´orias com c´opula Gumbel e qx (α) e qy (α), α grande, ent˜ao, P [X > qx (α)|Y > qy (α)] >> P [X > qx (α)]. Por isto e pelo fato de possuir dependˆencia de cauda superior positiva a Gumbel ´e considerada uma boa distribui¸c˜ao para modelagem de fenˆomenos financeiros que

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

39

Figura 3.4: Gr´aficos em contorno e em perspectiva da densidade CG(1,5) (gr´aficos superiores) e da distribui¸c˜ ao bivariada cujas marginais s˜ ao normais(0,1) e CG(1,5) (gr´ aficos

0.2

0.1

0.4

0.60.811.2

56789 4 3 2 1.4

0.2

0 2

0.4

4

6

0.6

0.8

8 10 12

1.0

inferiores).

0.8 0.6

0.0

0.8

0.4

0.6 0.4

0.2

3

0.0

2

1.4 1.2 1

0.2

0.8

0.4

0.6

0.4

0.6

0.2 0.1

0.8

1.0

0.02

2

0.2

0.2

0.15

0.04

-2

1

-1

-1

0

0

0.05

0.1

1

0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

0

-1

1 -2

-2

0

-2

-1

0

1

2

tˆem sua dependˆencia acentuada durante os chamados bull markets, como colocado anteriormente. Na Figura 3.5 podemos observar que o ponto (0,0) ´e o ponto de m´aximo da densidade Clayton, com densidade muito alta. De maneira an´aloga ao que foi colocado para a c´opula Gumbel, sejam X e Y vari´aveis aleat´orias com c´opula Clayton e qx (α)

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

40

Figura 3.5: Gr´aficos em contorno e em perspectiva da densidade CC(1,5) (gr´aficos superiores) e da distribui¸c˜ ao bivariada cujas marginais s˜ ao normais(0,1) e CC(1,5) (gr´ aficos

0.05 0.10.2 0.4 0.6 0.8

1

6

0.8

1.0

8 10 12 14

inferiores).

1.2

0.8 0.6

0.8 0.4

0.2

0.4

0 2

0.6

4

1.4

0.6 0.2

0.0

0.4 0.2

98765 43 21.4 1.2 10.80.60.4

0.2

0.2

0.1

0.4

0.05

0.6

0.8

1.0

0.1

1

0.15

2

0.2

0.0

-2

1

-1

-1

0

0

0.05

0.060.04 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

0 -1

1 -2

0.02

-2

0

-2

-1

0

1

2

e qy (α), α pequeno, quantis com probabilidade α das distribui¸c˜oes de X e Y ent˜ao, P [X < qx (α)|Y < qy (α)] >> P [X < qx (α)]. Por conta desta propriedade e pelo fato desta densidade possuir dependˆencia de cauda inferior positiva a Clayton ´e considerada uma boa distribui¸c˜ao para mode-

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

41

Figura 3.6: Gr´aficos em contorno e em perspectiva da densidade CF(1,3) (gr´aficos superiores) e da distribui¸c˜ ao bivariada cujas marginais s˜ ao normais(0,1) e CF(1,3) (gr´ aficos

1.0

inferiores).

0.7 0.8 0.9 0.951

1.6 1.5 1.3 1.3 1.4 1.3 1.2

0.6

1.6 1.8 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.8

0.6

0.2

0.4

1.1

0.9 0.8 0.7 1.61.51.4 1.3 1.2 1.1 10.95

0.0

0.8

0.0

0.6

0.2

0.4

0.6

0.6

0.8

1.0

0.8 0.4

0.6 0.4

0.2

0.04 0.080.06 0.02 0.120.1 0.14 0.16

-2

1

-1

-1

0

0

0.05

0.1

1

0.15

2

0.2

0.2

-1

1

-2

0

0 -2

-2

-1

0

1

2

lagem de fenˆomenos financeiros que tˆem sua dependˆencia aumentada durante os chamados bear markets. A c´opula Frank, Figura 3.6, imp˜oe dependˆencia positiva e sim´etrica com duas modas, os pontos (0,0) e (1,1). Embora possua estas duas modas, a distribui¸c˜ao Frank n˜ao possui dependˆencia de cauda, mesmo sendo uma distribui¸c˜ao de valor

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

42

Figura 3.7: Gr´aficos em contorno e em perspectiva da densidade CBB1(1,5;0,5) (gr´aficos superiores) e da distribui¸c˜ ao bivariada cujas marginais s˜ ao normais(0,1) e CBB1(1,5;0,5)

0.4

0.2

0.60.811.2 1.4

10.6 10.8 10.4 10.2 9.8 9.6 9.2 9.4 8.6 8.8 8.4 8.2 7.8 7.6 7.2 7.4 789 6.8 6.4 6.6 6.2 5.8 5.6 5.4 5.2 5610 4.8 4.6 4.2 44.4 3.8 3.6 3.4 3.2 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6

0.2

0 2

0.4

4

6

0.6

0.8

8 10 12

1.0

(gr´ aficos inferiores).

0.8 0.6

0.0

0.8

0.4

0.6 0.4

0.2

4.2 3.8 3.6 43.4 5.2 5.6 5.4 4.4 2.4 5.8 3.2 6.2 6.4 6.6 6.8 7.2 2.2 7.4 7.6 7.8 4.6 32.6 8.2 8.4 8.8 8.6 21.6 987654.8 1.4 9.2 9.6 9.4 9.8 2.8 10 1.8 10.4 10.2 10.6 1.210.80.60.4 10.8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

2

0.25 0 0.05 0.1 0.15 0.2

0.2

0.2

0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22

1

0.02

-2

1

-1

-1

0

0.02

0 -1

1 -2

0.02

-2

0

-2

-1

0

1

2

extremo, como veremos adiante. Aspecto observ´avel atrav´es da Figura 3.6. Nela ´e facil perceber que as modas da distribui¸c˜ao n˜ao possuem densidade t˜ao alta quanto as observadas na c´opula Gumbel e Clayton. J´a a c´opula BB1, gr´afico (3.5), capta dependˆencia positiva e dependˆencia de cauda inferior e superior, dependendo dos valores de seus parˆametros. Esta flexibili-

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

43

Figura 3.8: Densidade da c´opula Gumbel com δ = 3 e δ = 1.5 sobre o eixo de 45 e 135 graus (gr´ aficos superiores) e Densidade da c´ opula Clayton com δ = 1 e δ = 2 sobre o eixo

0

0.0

10

20

1.0

30

40

2.0

50

de 45 e 135 graus (gr´ aficos inferiores).

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.8

1.0

Verde, delta=3; Preto, delta=1.5.

0

0.0

10

0.5

20

30

1.0

40

1.5

50

Verde, delta=1.5; Preto, delta=3

0.0

0.2

0.4

0.6

Verde, delta=1; Preto, delta=2

0.8

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

Verde, delta=1; Preto, delta=2

dade ´e bastante interessante, uma vez que permite identificar com um u ´nico modelo a dependˆencia incrementada em bull markets e bear markets. Vale notar que θ → 0 a c´opula BB1 se torna a c´opula Gumbel e que δ → 1 a BB1 se torna a c´opula Clayton. Para uma melhor intui¸c˜ao da nomenclatura apresentada na introdu¸c˜ao desta monografia, apresentamos as figuras 3.8 e 3.9 que possibilitam entender de modo mais claro o significado da nota¸c˜ao “J”, “L” e “U” citados na introdu¸c˜ao desta monografia, e relacionados com as c´opulas Gumbel, Clayton e BB1, respectivamente.

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

44

Figura 3.9: Densidade da c´opula Frank com δ = 3 e δ = 1.5 sobre o eixo de 45 e 135 graus (gr´ aficos superiores) e densidade da c´ opula Frank com δ1 = 1 e δ2 = 3 e δ1 = 0.5 e

0

0.0

1

0.5

2

1.0

3

4

1.5

δ2 = 1.5 sobre o eixo de 45 e 135 graus (gr´ aficos inferiores).

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

0.4

0.6

0.8

1.0

0.8

1.0

3 2

20

0

1

10 0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Verde, delta1=1, delta2=3; Preto, delta1=0.5, delta2=1.5

3.3.2

0.2

Verde, delta=1.5; Preto, delta=3

30

Verde, delta=3; Preto, delta=1.5

0.0

0.2

0.4

0.6

Verde, delta1=1, delta2=3; Preto, delta1=0.5, delta2=1.5

C´ opulas de Valor Extremo

Antes de apresentarmos a defini¸c˜ao de c´opulas de valor extremo, cabe fazer a coloca¸c˜ao de alguns resultados importantes provenientes da Teoria dos Valores Extremos. Os resultados utilizados nesta subse¸c˜ao, entre outros, encontram-se em Demarta(2002). Mais informa¸c˜oes sobre a Teoria dos Valores Extremos, ou TVE, ¨ppelberg e Mikosch(1999). podem ser encontrados em Embrechts, Klu

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

45

Como o pr´oprio nome sugere, ao utilizarmos a Teoria do Valores Extremos estamos interessados em buscar informa¸c˜oes sobre altos (baixos) quantis das distribui¸c˜oes de probablidade das vari´aveis aleat´orias que desejamos estudar. Desta forma, ´e conveniente, primeiramente, definirmos os seus principais objetos de estudo. Consideremos um conjunto de vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas, doravante iid, X1 , X2 , . . . , Xn , para n ≥ 2, com densidade F. Sejam Mn e Ln o m´aximo e o m´ınimo, respectivamente, coletados neste bloco de vari´aveis aleat´orias de tamanho n, ou seja, Mn = max(X1 , . . . , Xn ), Ln = min(X1 , . . . , Xn ). A rela¸c˜ao entre o m´aximo e m´ınimo, Mn = max(X1 , . . . , Xn ) = − min(−X1 , . . . , −Xn ), permite que todos os resultados te´oricos obtidos para a distribui¸c˜ao do m´aximo sejam automaticamente estendidos para a distribui¸c˜ao do m´ınimo. ´ oportuno estabelecer a seguinte defini¸c˜ao, que ser´a u E ´til na apresenta¸c˜ao alguns resultados. Defini¸c˜ ao 10 Dizemos que as fun¸c˜ oes de distribui¸c˜ ao G(x) e G∗ (x) s˜ ao do mesmo tipo, se existem n´ umeros reais a e b > 0 tais que G∗ (x) = G(a + bx) ∀ x ∈ 0

α>0

   exp{−(−x)−α} , x ≤ 0   1,

α < 0.

x>0

¨ppelberg e Mikosch (1999). Prova. Veja em Embrechts Klu Uma representa¸c˜ao destes modelos atrav´es de uma u ´nica classe de distribui¸c˜oes ´e poss´ıvel se fizermos ξ = 1/α. Assim procedendo, temos a Distribui¸c˜ao Generalizada de Valor Extremo, GEV, como segue G0 (x) = exp{−e−x }, ∀ x

(3.25)

Gξ (x) = exp{−(1 + ξx)−1/ξ }, 1 + ξx > 0, ξ 6= 0.

(3.26)

e

Apresentado o resultado mais importante da Teoria dos Valores Extremos Univariados, o objeto de estudo da Teoria dos Valores Extremos Multivariados e seu teorema mais importante. Defini¸c˜ ao 11 Seja X = (X1 , . . . , Xp ) ∈ 0.

Prova. Veja em Dematra (2002). A partir de agora, suponhamos que a c´opula C satisfa¸ca a seguinte propriedade: t

C (u) = C(ut ) ∀ t > 0. Sejam Fi ∈ MDA(G)i , i = 1, . . . , p e definamos F (x) = C(F1 (x1 ), . . . , Fp (xp )) e G(x) = C(G1 (x1 ), . . . , Gp (xp )). Ent˜ao consideremos um vetor aleat´orio X ∼ F e definamos o m´aximo em blocos M n . Sabemos que para k = 1, . . . , p existem n´ umeros ak,n > 0 e bk,n tal que Fkn (ak,n x + bn,k ) → Gk (x), n → ∞. Seja an = (a1,n , . . . , ap,n ) e bn = (b1,n , . . . , bp,n ). Ent˜ao, P [M n ≤ an x + bn ] = F n (an x + bn ) C n (F1 (a1,n xp + b1,n ), . . . , Fp (ap,n xp + bp,n )) C(F1n (a1,n xp + b1,n ), . . . , Fpn (ap,n xp + bp,n )) Esse express˜ao tende a C(G1 (x1 ), . . . , Gp (xp )) = G(x), quanto n → ∞. Isso ´e equivalente a F ∈ MDA(G). Ent˜ao toda c´opula satisfazendo a condi¸c˜ao (ii) da proposi¸c˜ao (9) ´e a c´opula de uma distribui¸c˜ao de valor extremo. Aliando a discuss˜ao acima e a proposi¸c˜ao (9) temos o seguinte teorema. Teorema 10 Uma distribui¸c˜ ao de distribui¸c˜ ao G p-variada com c´ opula C ´e uma distribui¸c˜ao de valor extremo se, e se e somente se,

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

48

1. Suas marginais univariadas Gi , s˜ ao do mesmo tipo Gξ para algum ξ ∈ < e 2. C(ut ) = C t (u)∀t ≥ 0. A partir deste teorema, podemos estabelecer a seguinte defini¸c˜ao Defini¸c˜ ao 12 Uma c´opula C satisfazendo a propriedade (ii) no teorema (9), ou seja, se C(ut1 , . . . , utp ) = C t (u1 , . . . , up ) ∀ t ≥ 0. ent˜ ao C ´e chamada de c´opula de valor extremo. Se X tem fun¸c˜ao de distribui¸c˜ ao F ∈ MDA(G), ent˜ ao a c´ opula de G ´e chamada chamada c´opula limite de valor extremo (ou simplesmente c´ opula limite) de X (ou F ). Com base nesta defini¸c˜ao podemos apresentar algumas c´opulas pertencentes `a categoria das c´opulas de valor extremo. Por exemplo, a c´opula de independˆencia ⊥

t

c (u) = (

p Y

)t = c⊥ (ut ).

i=1

As c´opulas Gumbel, Clayton e BB1 tamb´em s˜ao c´opulas de valor extremo. Uma caracter´ıstica bastante atraente das c´opulas de valor extremo no que tange `a modelagem de s´eries financeiras ´e a existˆencia de dependˆencia de cauda, exceto sob independˆencia, como colocado pela seguinte teorema. Teorema 11 Seja C uma c´opula de valor extremo p-variada para qual λi,j = 0, ∀ i, j, i 6= j. Ent˜ao, C ´e a c´opula de independˆencia. Prova. Veja em Demartra(2002).

´ CAP´ITULO 3. COPULAS

3.3.3

49

C´ opulas El´ıpticas

Antes de abordarmos c´opulas el´ıpticas, ´e conveniente apresentarmos a classe das distribui¸c˜oes esf´ericas. Isto se deve pelo fato das c´opulas el´ıpticas serem implicitamente constru´ıdas a partir daquelas distribui¸c˜oes. A classe das distribui¸c˜oes esf´ericas ´e constitu´ıda por um grupo de distribui¸c˜oes sim´etricas formadas por vetores aleat´orios n˜ao correlacionados. Podemos definir as distribui¸c˜oes esf´ericas de v´arias formas, todas equivalentes. Abaixo, apresentamos a primeira delas: Defini¸c˜ ao 13 Um vetor aleat´ orio X = (X1 , ..., Xp )t tem distribui¸c˜ ao esf´erica se para toda transforma¸c˜ao ortogonal U ∈ x1 ]

o que implica, pelo fato de X1 contagiar X2 , que P [(X2 > x2 ) ∩ (X1 > x1 )] > P [X2 > x2 ]P [X1 > x1 ], que conduz ao conceito de PQD, conforme defini¸c˜ao 7. Notemos que esta defini¸c˜ao de cont´agio ´e sim´etrica em rela¸c˜ao a X1 e X2 , no sentido que

P [X2 > x2 |X1 > x1 ] > P [X2 > x2 ] ⇔ P [X1 > x1 |X2 > x2 ] > P [X1 > x1 ]. Com este resultado, conclu´ımos que se o mercado 1 contagia o mercado 2, ent˜ao, necessariamente o mercado 2 contagia o mercado 1 n˜ao necessariamente na mesma

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

65

intensidade. Portanto, essa defini¸c˜ao n˜ao implica necessariamente que X1 s˜ao X2 permut´aveis1 . Segundo esta defini¸c˜ao, estamos aptos a capturar, atrav´es de uma c´opula adequada, o fenˆomeno de assimetria no cont´agio, quest˜ao que ser´a abordada em trabalhos futuros. Hip´otese que certamente merece ser considerada. Dadas todas as implica¸c˜oes da defini¸c˜ao estabelecida por Roncalli e Teyletche(2000), a adotaremos no decorrer desta monografia.

1

Dizemos que X1 e X2 s˜ ao permut´aveis se P [X2 > x2 |X1 > x1 ] = P [X1 > x1 |X2 > x2 ].

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

5.2

66

An´ alise de Taxas de Cˆ ambio

O conceito de c´opulas pode ser aplicado com bom aproveitamento `a an´alise da varia¸c˜ao das taxas de cˆambio de moedas. Nesta tese, estudaremos o comportamento conjunto dos retornos das taxas de cˆambio entre o D´olar Americano, doravente D´olar, e o Real Brasileiro, doravante Real, entre o D´olar e o Peso Mexicano, doravante Peso, entre o Won coreano, doravante Won e o Real e entre o Rublo russo, doravante Rublo e o Real. As s´eries das taxas de cˆambio s˜ao apresentadas abaixo por meio das Figuras 5.1, 5.2, 5.4 e 5.3, respectivamente.

5.2.1

Ajustes Marginais

Primeiramente ´e conveniente explorar algumas caracter´ısticas interessantes das s´eries em quest˜ao. No gr´afico da s´erie de pre¸cos do D´olar em Reais, gr´afico (5.1), podemos perceber uma clara quebra estrutural decorrente da mudan¸ca na pol´ıtica de cˆambio adotada pelo Banco Central do Brasil, BaCen, ocorrida em janeiro de 1999. Neste mˆes, o regime de cˆambio praticado no Brasil deixou de ser fixo passando a variar em bandas e, logo posteriormente, tornou-se livre. Esta mudan¸ca impede que um u ´nico modelo seja adotado para toda s´erie, uma vez que as mudan¸cas estruturais presentes na s´erie em quest˜ao alteraram suas caracter´ısticas e possivelmente provocaram mudan¸ca na distribui¸c˜ao conjunta dos retornos das s´eries analisadas. Diante destas coloca¸c˜oes, estat´ısticas descritivas e modelos apresentados nesta tese se reportam ao conjunto de retornos observados entre 12 de fevereiro de 1999 e 19 de outubro de 2002, totalizando 925 observa¸c˜oes. No mesmo gr´afico ´e poss´ıvel observar os impactos na volatilidade dos retornos da s´erie do Real devido aos atentados de setembro de 2001, bem como o impacto gerado pela tens˜ao em torno das elei¸c˜oes de 2002. Ainda neste gr´afico, ´e poss´ıvel observar que as tens˜oes decorrentes do processo eleitoral provocaram impacto no pre¸co do D´olar compar´avel `a crise de 1999 e a instabilidade provocada pela crise argentina no decorrer do ano de 2001. Quanto `a s´erie mexicana, ´e poss´ıvel identificar atrav´es do gr´afico (5.2) uma pertuba¸c˜ao na s´erie no final do ano de 1998 e in´ıcio de 1999, varia¸c˜ao certamente provocada pela crise vivida pela R´ ussia, a mesma que induziu o real `a sua desvaloriza¸c˜ao

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

67

Figura 5.1: S´erie di´aria de pre¸cos do D´olar em Reais no per´ıodo de 2 de janeiro de 1995 a 2 de outubro de 2002.

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0 02/01/95 02/07/95 02/01/96 02/07/96 02/01/97 02/07/97 02/01/98 02/07/98 02/01/99 02/07/99 02/01/00 02/07/00 02/01/01 02/07/01 02/01/02 02/07/02

diante do D´olar. As Figuras 5.1 e 5.2sugerem que o mercado de cˆambio brasileiro ´e substancialmente mais vol´atil que o mercado mexicano. Tal fenˆomeno talvez possa ser explicado pelo fato de o M´exico fazer parte do NAFTA, o que garante um satisfat´orio fluxo de divisas em moeda extrangeira, primordialmente D´olar, a este pa´ıs. Essa diferen¸ca de volatilidade ´e apropriadamente revelada pelas distintas curtoses amostrais das s´eries de retornos obtidas das s´eries, conforme Tabela 5.1. ´ As crises da R´ ussia e da Asia est˜ao muito bem caracterizadas nos gr´aficos da s´erie de pre¸cos do D´olar em Rublos, Figura 5.3, e no gr´afico da s´erie de pre¸cos do D´olar em Wons. No gr´afico da s´erie russa, o pico observado no in´ıcio de setembro de 1998 marca bem o ´apice da crise observada neste pa´ıs. No per´ıodo de 6 de agosto a 7 de setembro de 1998 o D´olar se valorizou mais de 250 % sobre o Rublo, fechando o ano com uma ´ curioso notar que ao mesmo tempo que a crise desvaloriza¸c˜ao de cerca de 248 %. E russa colaborou para a ocorrˆencia da crise brasileira, a ocorrˆencia da desvaloriza¸c˜ao do Real teve repercuss˜oes na s´erie de cambio russa, como pode ser observado pelo segundo pico da s´erie de pre¸cos do D´olar em Rublos. A marca da crise asi´atica na s´erie de pre¸cos do D´olar em Wons percept´ıvel atrav´es

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

68

Figura 5.2: S´erie di´aria de pre¸cos do D´olar em Pesos no per´ıodo de 2 de janeiro de 1995 a 2 de outubro de 2002.

12

10

8

6

4

2

0 02/01/95 02/07/95 02/01/96 02/07/96 02/01/97 02/07/97 02/01/98 02/07/98 02/01/99 02/07/99 02/01/00 02/07/00 02/01/01 02/07/01 02/01/02 02/07/02

Figura 5.3: S´erie di´aria de pre¸cos do D´olar em Rublos no per´ıodo de 2 de janeiro de 1995 a 2 de outubro de 2002.

35

30

25

20

15

10

5

0 02/01/95 02/07/95 02/01/96 02/07/96 02/01/97 02/07/97 02/01/98 02/07/98 02/01/99 02/07/99 02/01/00 02/07/00 02/01/01 02/07/01 02/01/02 02/07/02

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

69

Figura 5.4: S´erie di´aria de pre¸cos do D´olar em Won no per´ıodo de 2 de janeiro de 1995 a 2 de outubro de 2002.

2500

2000

1500

1000

500

0 01/02/95

01/02/96

01/02/97

01/02/98

01/02/99

01/02/00

01/02/01

01/02/02

da Figura 5.4. O pico observado em dezembro de 1997 serve como um bom referencial ´ do momento mais cr´ıtico da crise que assolou os chamados “tigres asi´aticos.” E v´alido registrar que no per´ıodo de 22 de outubro a 23 de dezembro de 1997 o D´olar se valorizou mais de 114 % diante do Won. Ao contr´ario das moedas brasileira e russa, o Won n˜ao tem seu valor abalado pelas crises que se sucederam depois da crise asi´atica. Muito provavelmente a ocorrˆencia desta “tranq¨ uilidade” teve contribui¸c˜ao da forte interven¸c˜ao realizada pelo Fundo Monet´ario Internacional, FMI, na Cor´eia do Sul, a¸c˜ao que n˜ao foi verificada com igual rapidez e presteza para com a R´ ussia. Se os gr´aficos das s´eries de pre¸cos s˜ao u ´teis para uma an´alise de conjuntura econˆomica, os mesmos n˜ao s˜ao as ferramentas mais adequadas para um an´alise quantitativa. Para realizar tal tarefa, gr´aficos e estat´ısticas descritivas dos retornos di´arios se mostram mais apropriados, instrumentos que ser˜ao devidamente utilizados a partir deste momento. A observa¸c˜ao das Tabela 5.1 e dos gr´aficos dos retornos das s´eries de Pre¸co do D´olar revelam que estas s´eries gozam de caracter´ısticas t´ıpicas de s´eries de retornos financeiros: h´a indica¸c˜ao de estrutura de variˆancia condicional com forma¸c˜ao de clusters de volatilidade, m´edia pr´oxima a zero e alta curtose.

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

Tabela 5.1:

70

Estat´ısticas Descritivas das s´eries de Retornos Financeiros do

D´olar/Real, D´olar/Peso, D´olar/Rublo e D´olar/Won. Real

Peso

Rublo

Won

Min

-9.35

-2.75

-5.64

-2.53

q0.01

-3.15

-1.20

-1.13

-1.21

q0.05

-1.52

-0.75

-0.36

-0.76



0.07

0.00

0.03

0.00

q0.5

0.07

0.00

0.00

0.00

q0.95

1.57

0.77

0.50

0.84

q0.99

3.37

1.43

1.59

1.43

Max

4.92

2.30

5.54

2.20

s

1.09

0.49

0.49

0.48

Assimetria

0.78

0.15

1.84

0.28

Excesso de curtose

9.69

2.54

58.29

2.78

Tabela 5.2: Matriz de correla¸c˜ao das s´eries de retornos das taxas de cˆambio D´olar/Real, D´olar/Peso, D´olar/Rublo e D´olar/Won. S´erie

Real

Peso Rublo Won

Real

1.00

0.18

-0.01

0.07

Peso

0.18

1.00

0.00

0.00

Rublo

-0.01

0.00

1.00

0.00

Won

0.07

0.00

0.00

1.00

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

71

Figura 5.5: S´erie di´aria de pre¸cos do D´olar em Reais no per´ıodo de 2 de janeiro de 1995

-10

-5

0

5

10

a 2 de outubro de 2002.

0

200

400

600

800

Os coeficientes de assimetria das s´eries, embora levemente superiores a zero (com exce¸c˜ao da s´erie russa, cujo coeficiente de assimetria ´e pr´oximo a 2), nos fazem adotar com reticˆencias um modelo de variˆancia condicional cuja distribui¸c˜ao condicional dos res´ıduos ´e sim´etrica. A considera¸c˜ao de modelos apropriados para erros com distribui¸c˜ao assim´etrica pode ser uma boa alternativa em trabalhos futuros, dado que j´a existem modelos para estes tipos de situa¸c˜oes, como pode ser verificado em Lambert e Laurent(2000) e Lambert e Laurent(2001). Voltando `a observa¸c˜ao das Figuras 5.5 e 5.6, intu´ımos que boa parte da diferen¸ca no coeficiente de curtose entre as duas s´eries ´e ocasionada pela grande oscila¸c˜ao de cˆambio no mercado brasileiro no decorrer do ano de 2002, ano no qual o Real teve uma forte desvaloriza¸c˜ao frente ao D´olar. A t´ıtulo de curiosidade, calculamos as estat´ısticas descritivas do Real excluindo as 100 u ´ltimas observa¸c˜oes. A curtose amostral observada da s´erie reduzida foi a 2,38 e a assimetria amostral observada foi a 0,33, o que sem d´ uvida refor¸ca a id´eia de que as elei¸c˜oes aumentaram as incertezas na economia. Observadas todas as caracter´ısticas relevantes das s´eries estudadas nesta se¸c˜ao, ajustamos os modelos GARCH que se mostraram mais adequados aos dados segundo

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

72

Figura 5.6: S´erie di´aria de pre¸cos do D´olar em Pesos no per´ıodo de 2 de janeiro de 1995

-10

-5

0

5

10

a 2 de outubro de 2002.

0

200

400

600

800

Figura 5.7: S´erie di´aria de pre¸cos do D´olar em Rublos no per´ıodo de 2 de janeiro de 1995

-10

-5

0

5

10

a 2 de outubro de 2002.

0

200

400

600

800

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

73

Figura 5.8: S´erie di´aria de pre¸cos do D´olar em Wons no per´ıodo de 2 de janeiro de 1995

-10

-5

0

5

10

a 2 de outubro de 2002.

0

200

400

600

800

os crit´erios de sele¸c˜ao apresentados na se¸c˜ao 2.5. Devemos ressaltar que houve certa dificuldade em ajustar um modelo adequado para a s´erie russa. Talvez a Figura 5.7 possa contribuir para entender o porquˆe deste problema. Depois de alguns impactos na volatilidade, a s´erie de retornos da R´ ussia quase n˜ao apresentou varia¸c˜ao di´aria, ao contr´ario das demais s´eries. Esta “falta” de varia¸c˜ao nos dados, que pode ter sido gerada por interven¸c˜ao governamental na taxa de cˆambio, muito possivelmente explica a dificuldade de ajuste. Devido a estes problemas, n˜ao conseguimos eleger um modelo mais “adequado” para os retornos da taxa de cˆambio russa. Os ajustes mais adequados realizados para as demais s´eries s˜ao apresentados na Tabela 5.3, abaixo. Nestes ajustes alguns pontos merecem ser destacados. Nos modelos para m´edia ´e verificada existˆencia de dependˆencia longa em todas as s´eries. Para as s´eries brasileira e mexicana o modelo mais adequado para a variˆancia condicional foi o modelo FIEGARCH com presen¸ca de leverage, indicando a presen¸ca de mem´oria longa na volatilidade condicional dos retornos das s´eries. Fato que n˜ao foi verificado na s´erie coreana. Como discutido anteriormente, os modelos FIGARCH e FIEGARCH foram estimados atrav´es do m´etodo da m´axima verossimilhan¸ca supondo

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

74

Tabela 5.3: Estimativas do modelo GARCH para os retornos das S´eries de Cˆambio D´ olar/Real, D´ olar/Peso e D´ olar/Won e seus respectivos p-valores, entre parˆenteses.

S´erie

Real

Peso

Won

Modelo

FIEGARCH

FIEGARCH

EGARCH

φ0

0.004

(0.292)

0.013

(0.322)





φ1

0.948

(0.000)

-0.867

(0.000)





φ2

-0.118

(0.000)









φ3

0.105

(0.001)









D

0.062

(0.000)

0.00004

(0.000)

0.004

(0.000)

θ1

-0.927

(0.000)

0.845

(0.000)





α0

0.614

(0.000)

-0.226

(0.000)

-0.268

(0.000)

α1

0.244

(0.000)

0.284

(0.000)

0.528

(0.000)

α2









-0.217

(0.005)

d

0.535

(0.000)

0.576

(0.000)





β1

0.614

(0.000)





0.974

(0.000)

LEV

0.110

(0.000)

0.159

(0.000)





distribui¸c˜ao condicional normal ao passo que a s´erie coreana foi ajustada supondose distribui¸c˜ao t5 , que se mostrou a distribui¸c˜ao com o melhor ajuste entre as dis´ conveniente tribui¸c˜oes consideradas (normal e t com outros graus de liberdade). E apresentar as estat´ısticas que reportam a qualidade do ajuste realizado e que indicam a adequa¸c˜ao das distribui¸c˜oes associadas aos res´ıduos dos modelos. Todas as estat´ısticas de qualidade dos modelos de volatilidade propostos apresentam valores que ratificam a boa qualidade do ajuste. As estat´ısticas de Ljung-Box e do Multiplicador de Lagrange n˜ao rejeitam a hip´otese nula de que os res´ıduos padronizados e seus quadrados possuem autocorrela¸c˜ao zero, o que nos permite avan¸car em dire¸c˜ao ao ajuste dos modelos bivariados.

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

75

Tabela 5.4: Sum´ario dos Ajustes GARCH. S´erie

LB12

LBs12

TR2

LM

Real

8.877

7.148

9.045

0.830

(0.713)

(0.847)

(0.699)

(0.720)

4.466

9.432

9.951

0.914

(0.973)

(0.665)

(0.620)

(0.636)

7.222

13.05

13.51

1.248

(0.842)

(0.365)

(0.333)

(0.361)

Peso

Won

5.2.2

Ajuste das C´ opulas

Com afirmado em situa¸c˜oes anteriores, para um correto ajuste das c´opulas fazse necess´ario um correto ajuste marginal, posto que ´e a partir dos res´ıduos dos modelos marginais que desenvolvemos as estima¸c˜ao do modelo bivariado. Em vista disso, apresentaremos alguns coment´arios sobre os res´ıduos, a come¸car por suas estat´ısticas descritivas, tabela (5.5). Na tabela (5.5) podemos observar existˆencia de excesso de curtose e assimetria em todas as s´eries. Curioso ´e notar que a s´erie de res´ıduos do Real, que tinha a maior curtose amostral, ´e a que tem menor curtose. Estas caracter´ısticas indicam que a distribui¸c˜ao t assim´etrica possivelmente ´e uma boa alternativa de ajuste `a estas s´eries, exatamente por contemplar estes aspectos. Tais suspeitas s˜ao ratificadas pelas estat´ısticas de teste de qualidade de ajuste, conforme Tabela 5.6. Pela Tabela 5.6 podemos notar que para as 3 s´eries de res´ıduos apresentadas, a distribui¸c˜ao t assim´etrica se mostrou a mais adequada entre todas as distribui¸c˜oes examinadas quando comparadas segundo os crit´erios de informa¸c˜ao AIC e BIC. Atestada a qualidade dos ajustes marginais, podemos prosseguir em dire¸c˜ao ao ajuste das c´opulas. A Tabela 5.7 mostra as estat´ısticas de ajuste para cada uma das c´opulas ajustadas para as s´eries Real e Peso. Nesta tabela, podemos perceber que a c´opula Gumbel parece se ajustar de maneira mais adequada aos dados, uma vez que

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

76

Tabela 5.5: Estat´ısticas Descritivas das s´eries de res´ıduos dos ajustes GARCH para as s´eries do D´olar/Real, D´olar/Peso, D´olar/Rublo e D´olar/Won. Real

Peso

Rublo

Won

Min

-3.83

-4.67

-5.64

-4.04

q0.01

-2.57

-2.32

-1.13

-2.47

q0.05

-1.62

-1.51

-0.36

-1.60



0.00

0.00

0.03

0.00

q0.5

0.03

0.00

0.00

0.00

q0.95

1.57

1.70

0.50

1.62

q0.99

2.44

2.81

1.59

2.70

Max

3.71

3.98

5.54

5.14

s

1.00

1.00

0.49

0.99

Assimetria

0.13

0.15

1.84

0.23

Excesso de curtose

0.72

1.78

58.29

2.23

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

77

Tabela 5.6: Estat´ısticas de qualidade dos ajustes das distribui¸c˜oes marginais. S´erie

Real t11

Peso t6

Won t5

Estat´ıstica

γ = −0.075

γ=0

γ = 0.034

γ=0

γ = 0.021

γ=0

KS

0.017

0.022

0.019

0.019

0.035

0.039

(> 5%)

(0.724)

(> 5%)

(0.876)

(> 5%)

(0.107)

χ2

40.62

27.53

131.94

0.093

(0.594)

0.000

AIC

2616

2802

2581

2954

2614

3018

BIC

2630

2807

2591

2954

2619

3023

´ interessante notar possui os menores valores dos crit´erios de informa¸c˜ao AIC e BIC. E que a estimativa do parˆametro δ1 da c´opula BB1 ´e praticamente zero, indicando que a dependˆencia entre as s´eries ´e realmente mais marcante para quantis altos das distribui¸c˜oes, sendo assim uma indica¸c˜ao de que a dependˆencia entre as s´eries tem forma “J”.

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

78

Tabela 5.7: Estat´ıstica dos ajustes das c´opulas para o par de res´ıduos uniformizados das s´eries Real e Peso. Densidade

θ1

θ2

LV

τ

AIC

BIC

λU

Gumbel

1.114



18.755

-35.51

-30.68

0.000

0.136

Frank

1.014



13.055

-24.11

-19.28

0.000

0.000

Clayton

0.152



6.974

-11.94

-7.11

0.010

0.000

BB1

0.000

1.114

18.755

-33.51

-23.85

0.000

0.136

Normal

0.187



16.650

-31.30

-26.47

0.000

0.000

t29

0.184



17.215

-32.43

-27.60

0.000

0.000

λL

Tabela 5.8: Probabilidades de que a s´erie Real assuma valores superiores ao quantil de probabilidade (1 − α), dado que a s´erie do Peso assumiu valor superior ao quantil (1 − α). C´opula

α = 0, 05

α = 0, 01

α = 0, 001

Gumbel

0.177

0.144

0.137

Frank

0.075

0.015

0.001

Clayton

0.057

0.011

0.001

BB1

0.117

0.144

0.137

Normal

0.100

0.031

0.006





t29

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

79

0.4 0.2 -0.2

0.0

Correlacoes

0.6

0.8

Figura 5.9: Gr´afico da Correla¸c˜ao Condicional entre as S´eries do Real e do Peso.

0.2

0.4

0.6

0.8

Probabilidades

Uma exerc´ıcio interessante ´e a estima¸c˜ao das c´opulas considerando algumas defasagens. Por exemplo, na Tabela 5.9 estimamos a c´opula para as s´eries Real e Peso defasada. Podemos perceber que al´em de uma mudan¸ca no grau de dependˆencia, a dependˆencia considerando a defasagem parece ser maior, h´a tamb´em uma mudan¸ca em sua forma. Considerando a s´erie do peso defasada, podemos perceber que o mel´ ainda curioso notar que todas hor ajuste deixa de ser Gumbel e passa a ser t32 . E as c´opulas sim´etricas apresentam valores dos crit´erios de informa¸c˜ao menores que as demais. O que aumenta a cren¸ca de h´a uma mudan¸ca no padr˜ao de dependˆencia entre as s´eries quando consideramos as suas defasagens deixando de ser “J” para se tornar “U”. Novamente, o exerc´ıcio de c´alculo das probabilidades conjuntas para altos quantis, Tabela 5.10, merece destaque. Notamos que embora a correla¸c˜ao entre a s´erie Real e s´erie Peso defasado seja maior que a do para analisado anteriormente, a probabilidade de altas conjuntas ´e bem menor, considerando os modelos te´oricos mais adequados. ´ interessante observar as Figuras e 5.2.2. Neles, podemos perceber que a esE

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

80

Tabela 5.9: Estat´ıstica dos ajustes das c´opulas para o par de res´ıduos uniformizados das s´eries Real e Peso defasado. Densidade

δ1

δ2

LV

AIC

BIC

λU

λL

Gumbel

1.131



17.578

-33.15

-28.32

0.154

0.000

Frank

1.391



23.297

-44.59

-39.76

0.000

0.000

Clayton

0.249



17.144

-32.28

-27.45

0.000

0.061

BB1

0.145

1.074

20.998

-37.99

-28.33

0.093

0.011

Normal

0.222



23.026

-44.05

-39.22

0.000

0.000

t32

0.223



23.536

-45.02

-40.24

0.000

0.000

Tabela 5.10: Probabilidades de que a s´erie Real assuma valores superiores ao quantil de probabilidade (1 − α), dado que a s´erie do Peso defasada assumiu valor superior ao quantil (1 − α). C´opula

α = 0, 05

α = 0, 01

α = 0, 001

Gumbel

0.193

0.162

0.155

Frank

0.086

0.018

0.001

Clayton

0.061

0.010

0.001

BB1

0.142

0.103

0.094

Normal

0.115

0.037

0.008







t32

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

81

trutura de correla¸c˜ao condicional se altera bastante quanto consideramos a s´erie do Peso defasada.

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

82

0.4 0.2 -0.2

0.0

Correlacoes

0.6

0.8

Figura 5.10: Gr´afico da Correla¸c˜ao Condicional entre as S´eries do Real e do Peso defasado.

0.2

0.4

0.6

0.8

Probabilidades

Continuaremos a an´alise das s´eries de cˆambio, agora analisando o par de s´eries Real e Won. A Tabela 5.11, abaixo, apresenta as estat´ısticas dos ajustes das c´opulas propostas nesta tese para este par. Nesta tabela, percebemos que o ajuste mais adequado parece ser o ajuste t13 , que possui verossimilhan¸ca superior aos demais. ´ curioso notar, atrav´es da Figura 5.2.2, que embora o ajuste t possua o maior E valor da fun¸c˜ao de m´axima-verossimilhan¸ca, a correla¸c˜ao condicional apresenta um comportamento assim´etrico. Ou seja, as correla¸c˜oes para quantis superiores a 0,5 ´ parecem ser bem diferentes das correla¸c˜oes para quantis inferiores a este valor. E curioso notar, tamb´em, que as correla¸c˜oes assumem valores negativos para quantis muito pequenos. ´ v´alido lembrar que uma quest˜ao que dever ser considerada ao analisarmos E dependˆencia entre as s´eries Real e Won ´e o fuso hor´ario. Quando o mercado coreano fecha, o brasileiro aguarda mais 5 horas at´e a sua abertura, devido `a diferen¸ca de hor´ario de 12 horas. Isso faz com que o not´ıcias coreanas influenciem o mercado brasileiro no mesmo dia, ao passo que as not´ıcias brasileiras s´o influenciem o mercado coreano no dia seguinte. Portanto, ´e razo´avel afirmar que a investiga¸c˜ao realizada

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

83

Tabela 5.11: Estat´ıstica dos ajustes das c´opulas para o par de res´ıduos uniformizados das s´eries Real e Won. C´opula

θ1

θ2

LV

AIC

BIC

λL

λU

Gumbel

1.044



3.146

-4.29

0.53

0.000

0.057

Frank

0.383



1.813

-4.24

3.20

0.000

0.000

Clayton

0.054



1.238

-0.47

4.35

0.000

0.000

BB1

0.013

1.040

3.201

-2.40

7.25

0.000

0.526

Normal

0.068



2.200

-2.40

2.42

0.000

0.000

t13

0.066



4.756

-7.51

-2.68

0.001

0.001

0.2 0.0 -0.2

Correlacoes

0.4

0.6

Figura 5.11: Gr´afico da Correla¸c˜ao Condicional entre as S´eries do Real e do Won.

0.2

0.4

0.6 Probabilidades

0.8

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

84

Tabela 5.12: Estat´ıstica dos ajustes das c´opulas para o par de res´ıduos uniformizados das s´eries Real defasada e Won. C´opula

θ1

θ2

LV

AIC

BIC

λL

λU

Gumbel

1.031



1.390

-0.780

4.048

0.000

0.041

Frank

0.337



1.452

-0.904

3.924

0.000

0.000

Clayton

0.012



0.060

1.880

6.708

0.000

0.000

BB1

0.000

1.031

1.390

1.220

10.877

0.000

0.041

Normal

0.060



1.679

-1.358

3.470

0.000

0.000

t140

0.059



1.448

-0.896

3.932

0.003

0.003

at´e agora capta a influˆencia coreana sobre o mercado brasileiro. Este mesmo tipo de coment´ario n˜ao ´e pertinente em rela¸c˜ao `as s´eries Real e Peso, uma vez que a diferen¸ca de fuso hor´ario entre os dois mercados ´e de apenas 2 horas, o que implica que durante boa parte do dia a troca de not´ıcias entre os dois mercados ´e realizada em “m˜ao-dupla”. Dadas todas as coloca¸c˜oes anteriores, tamb´em investigamos o grau e a forma de dependˆencia entre a s´erie Real defasada e Won. As correla¸c˜oes estimadas, ao contr´ario do que ocorre com a s´erie mexicana e a s´erie brasileira, n˜ao s˜ao mais elevadas quando consideramos defasagens s´erie do Real defasada. Vejamos que a correla¸c˜ao amostral ente as duas s´eries ´e igual a 0.057. Para uma melhor compreens˜ao da dependˆencia entre estas s´eries, observe a Tabela 5.12. Nesta tabela podemos comprovar que a dependˆencia entre as s´eries ´e realmente bem pequena, com o ajuste da c´opula normal sendo por pouco superior aos demais. Ao contr´ario do par anterior, o gr´afico da correla¸c˜ao condicional, Figura 5.2.2, mostra que a correla¸c˜ao condicional ´e bem pr´oxima a zero para todos os quantis, exceto para os quantis superiores a 0.2 e 0.8 cujas estimativas da correla¸c˜ao condicional certamente s˜ao comprometidas por conta de existˆencia de poucas observa¸c˜oes. Embora notamos que as correla¸c˜oes para quantis superiores a 0.5 s˜ao um pouco superiores a

˜ CAP´ITULO 5. APLICAC ¸ AO

85

0.0 -1.0

-0.5

Correlacoes

0.5

1.0

Figura 5.12: Gr´afico da Correla¸c˜ao Condicional entre as S´eries do Real defasada e do Won.

0.2

0.4

0.6

0.8

Probabilidades

zero e que as inferiores a 0.5 s˜ao ligeiramente negativas, n˜ao existe evidˆencia que a hip´otese de simetria deva ser afastada. ´ bem prov´avel que haja uma rela¸c˜ao de dependˆencia entre os mercados asi´aticos E de pa´ıses em desenvolvimento e o mercado brasileiro. Talvez fosse interessante considerar um ´ındice formado por uma cesta de moedas de pa´ıses emergentes asi´aticos para analisar a dependˆencia destes pa´ıses com o mercado nacional para dimensionar mais adequadamente o fenˆomeno do cont´agio que foi verificado nos u ´ltimos anos. Tal proposta trata-se apenas de uma especula¸c˜ao e ser´a considerada uma motiva¸c˜ao para poss´ıvel trabalho futuro. Outro bom exerc´ıcio seria a busca de outras vari´aveis que pudessem explicar a dependˆencia, ou mesmo cont´agio, entre os diferentes mercados e economias ao redor do mundo. Acreditamos que estudo semelhante a este pode ser realizado com outras s´eries como PIB, Produ¸c˜ao Industrial, Taxa de Desemprego, Taxa de Juros, entre outras, com poss´ıveis contribui¸c˜oes importantes para o entendimento das rela¸c˜oes de dependˆencia entre os mercados e economias ao redor do mundo.

Cap´ıtulo 6 Simula¸c˜ oes Neste cap´ıtulo, apresentaremos o resultado de algumas simula¸c˜oes de s´eries financeiras impondo distribui¸c˜oes bivariadas com marginais tentando reproduzir caracter´ısticas tipicamente observadas em mercados desenvolvidos e em mercados emergentes. O objetivo final da simula¸c˜ao ´e obter a fronteira eficiente segundo o modelo de Markowitz, Markowitz(1959), para a partir da´ı obter alguns tipos de carteiras. O processo de simula¸c˜ao se inicia com a gera¸c˜ao de dados bivariados de v´arias c´opulas representando as estruturas de dependˆencia “U”, “J”, “L” e normal, para em seguida obter as marginais que contemplem caracter´ısticas como excesso de curtose e assimetria. Essas possibilidades univariadas e de dependˆencia nos fizeram chegar a 38 distribui¸c˜oes multivariadas h(x, y) diferentes. Para cada uma delas seria obtida a fronteira eficiente (a partir de 2 m´etodos diferentes, cl´assico e robusto) e a partir destas fronteiras, 4 tipos de carteiras de investimento. Este experimento ent˜ao deveria ser repetido um n´ umero grande de vezes, digamos 500. Devido ao ´obvio enorme esfor¸co computacional que isto envolveria, passando inclusive pela dificuldade extra de utiliza¸c˜ao de 2 pacotes computacionais (S+ e Matlab, com transferˆencia de dados de um para o outro), optamos por um procedimento diferente: em vez de gerar, para cada h(x, y), 500 s´eries bivariadas de tamanho T = 1000, geramos para cada uma das h(x, y) uma s´erie bivariada de tamanho T = 50000. Com isto esperamos reproduzir o valor esperado da fronteira eficiente, j´a que todos os estimadores utilizados para a obten¸c˜ao da mesma s˜ao consistentes. 86

˜ CAP´ITULO 6. SIMULAC ¸ OES

87

Os dados foram simulados da seguinte forma: primeiro, obtivemos 50200 observa¸c˜oes simuladas da c´opula normal, t-student, Gumbel e Clayton, as trˆes u ´ltimas representando as estruturas “U”, “J” e “L”, respectivamente. A escolha dos parˆametros das c´opulas foi feita de forma que, se as marginais fossem ambas normais, as correla¸co˜es do modelo multivariado teriam coeficiente de correla¸c˜ao pr´oximo de 0,3. Depois, aplicamos a transforma¸c˜ao inversa de probabilidades para obter as marginais de interesse (normal, t ou t assim´etrica) e conduzimos a constru¸c˜ao das s´eries simuladas impondo a estrutura de volatilidade condicional e de dependˆencia na m´edia. As 200 primeiras observa¸c˜oes foram descartadas para que a influˆencia do chute nos valores iniciais fosse adequadamente minimizada. Devemos ressaltar que as distribui¸c˜oes marginais apresentadas s˜ao as distribui¸c˜oes condicionais. Uma vez simulados os dados, estimamos seus retornos esperados e suas matrizes ´ relevante esclarecer que o estimador de covariˆancia de maneira cl´assica e robusta. E robusto utilizado ´e uma pequena extens˜ao do estimador MCD (Minimum Covariance Determinator), utilizado para implementa¸c˜ao do algortimo de Markowitz por Mendes e Leal(2002) com resultados bastante satisfat´orios. A partir da´ı, utilizaremos o algortimo de M´edia-Variˆancia de Markowitz para obter carteiras eficientes. Neste trabalho, ser˜ao consideradaos 4 carteiras: a de m´ınimo risco, m´aximo retorno, central1 e igualmente ponderada, que ser˜ao denotadas simplesmente por 1, 2, 3 e IP, respectivamente, precedidas por C, se obtidas com estimador cl´assico, e R se obtidas com estimador robusto. Para facilitar o entendimento do processo de simula¸c˜ao, veja o algoritmo abaixo realizado para cada uma das 4 c´opulas consideradas: 1. Simule T = 50200 observa¸c˜oes bivariadas da c´opula; 2. Para cada marginal obtenha, a partir das observa¸c˜oes geradas, os quantis equivalentes da distribui¸c˜ao de probabilidade dos res´ıduos atrav´es do uso das inversas de cada uma das fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao marginais; 3. Para cada s´erie de res´ıduos simulada, imponha a estrutura de dependˆencia na 1

Aqui chamamos de central a carteira cujo retorno esperado ´e a m´edia entre os retornos das

carteiras de m´ aximo retorno e de m´ınimo risco.

˜ CAP´ITULO 6. SIMULAC ¸ OES

88

variˆancia e de dependˆencia na m´edia desejadas, conforme o mercado que se deseja representar, emergente ou desenvolvido; 4. Descarte as 200 primeiras observa¸c˜oes das s´eries simuladas, para minimizar a dependˆencia dos chutes iniciais para a m´edia e a variˆancia; 5. Estime o vetor de m´edia e de variˆancia para o par obtido com estimadores cl´assicos e Robustos; 6. Construa, usando o Matlab, a fronteira eficiente para cada um dos estimadores utilizados; 7. Obtenha a s´erie de retornos simulados das carteiras de interesse utilizando as s´eries simuladas e os pesos obtidos com a utiliza¸c˜ao do Matlab e, finalmente; 8. Calcule as medidas de desempenho para a s´erie de retornos simulados da carteira. Os modelos bivariados, com suas c´opulas e distribui¸c˜oes marginais (a primeira marginal tem estrutura de variˆancia condicional t´ıpica de pa´ıs em desenvolvimento e a segunda t´ıpica de pa´ıs desenvolvido), s˜ao apresentados na Tabela 6.1. Ao todo ser˜ao consideradas 17 medidas de desempenho (ou simplesmente MD), a saber: ´ de interesse do 1. RE, retorno esperado, dado pela esperan¸ca dos retornos. E investidor maximiz´a-la. ´ de interesse do investidor 2. Ri, risco dado pelo desvio-padr˜ao dos retornos. E minimiz´a-la. 3. RS, Raz˜ao de Sharpe (ou Sharpe Ratio como tamb´em ´e conhecida), ´e dada ´ de interesse do investidor maximiz´a-la. por RE/Ri . E ´ dada pelo quantil de 1% da 4. V aR(1%), Valor em Risco (ou Value at Risk). E ´ uma medida de risco e ´e do interesse do investidor distribui¸c˜ao dos retornos. E maximiz´a-la.

˜ CAP´ITULO 6. SIMULAC ¸ OES

89

Tabela 6.1: Modelos probabil´ısticos simulados. h(x, y) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

c´opula CN0,3 CN0,3 CN0,3 CN0,3 CN0,3 CN0,3 CN0,0 CN0,0 CN0,0 CN0,0 CN0,0 CN0,0 CN−0,3 CN−0,3 CN−0,3 CN−0,3 CN−0,3 CN−0,3 Ct70,3 Ct70,3 Ct70,3 Ct70,3 Ct70,3 Ct7−0,3 Ct7−0,3 Ct7−0,3 Ct7−0,3 Ct7−0,3 CG1.25 CG1.25 CG1.25 CG1.25 CG1.25 CC0.45 CC0.45 CC0.45 CC0.45 CC0.45

f1 (x) N (0, 1) t07 t70,25 t7−0,25 t70,25 t7−0,25 N (0, 1) t07 0,25 t7 t−0,25 7 t70,25 t−0,25 7 N (0, 1) t07 0,25 t7 t−0,25 7 t70,25 t−0,25 7 t07 0,25 t7 t−0,25 7 t70,25 t−0,25 7 t07 0,25 t7 t−0,25 7 t70,25 t−0,25 7 t07 t70,25 t−0,25 7 t70,25 t−0,25 7 t07 0,25 t7 t−0,25 7 t0,25 7 t−0,25 7

f2 (y) N (0, 1) t08 t08 t08 0,25 t8 t80,25 N (0, 1) t08 t08 t08 0,25 t8 t80,25 N (0, 1) t08 t08 t08 0,25 t8 t80,25 t08 t08 t08 t80,25 t80,25 t08 t08 t08 t80,25 t0,25 8 t08 t08 t08 0,25 t8 t0,25 8 t08 t08 t08 t0,25 8 t0,25 8

Nota: O termo tγυ denota uma distribui¸c˜ao t-student assim´etrica com υ graus de liberdade e parˆametro γ de assimetria. Mais informa¸c˜oes sobre a t assim´etrica s˜ao encontradas no apˆendice A.

˜ CAP´ITULO 6. SIMULAC ¸ OES

90

5. V aR(5%), an´aloga `a anterior. ´ dada pelo quantil de 99% 6. V aR(99%), Valor em Risco (ou Value at Risk). E ´ uma medida de retorno e ´e do interesse do da distribui¸c˜ao dos retornos. E investidor maximiz´a-la. 7. V aR(95%), an´aloga `a anterior. ´ dada pela m´edia dos retornos inferi8. P E(1%), Perda em excesso Esperada. E ´ uma medida de risco e ores ao quantil de 1% da distribui¸c˜ao dos retornos. E ´e do interesse do investidor maximiz´a-la. 9. P E(5%), an´aloga `a anterior. ´ dada pela m´edia dos retornos superiores ao 10. LE(99%), Lucro Esperado. E ´ uma medida de risco e ´e do quantil de 99% da distribui¸c˜ao dos retornos. E interesse do investidor maximiz´a-la. 11. LE(95%), an´aloga `a anterior. ´ do interesse do investidor maximiz´a-la. 12. RE/|V aR(1%)|. E ´ do interesse do investidor maximiz´a-la. 13. RE/|V aR(5%)|. E ´ do interesse do investidor maximiz´a-la. 14. RE/|P e(1%)|. E ´ do interesse do investidor maximiz´a-la. 15. RE/|P e(5%)|. E ´ do interesse do investidor maximiz´a-la. 16. mRE, m´ınimo retorno esperado. E ´ do interesse do investidor maximiz´a-la. 17. M RE, m´aximo retorno esperado. E Uma primeira an´alise que faremos ´e investigar quais das 7 carteiras montadas otimiza cada uma das 17 medidas de desempenho para cada distribui¸c˜ao h(x, y) simulada. Faremos, tamb´em, uma compara¸c˜ao das carteiras montadas com estimativas cl´assicas (ou carteiras cl´assicas) e as carteiras obtidas com estimativas robustas

˜ CAP´ITULO 6. SIMULAC ¸ OES

91

(doravante carteiras robustas), de modo a verificar se algum estimador produz porfif´olios sistematicamente mais eficientes que o outro segundo cada um dos crit´erios apresentados. Na Tabela 6.2, podemos perceber que a existˆencia de assimetria na distribui¸c˜ao marginal e na forma de dependˆencia parece n˜ao afetar a capacidade de algoritmo de Markowtiz de selecionar os porfif´olios. Ou seja, n˜ao observamos nenhum caso em que um portif´olio definido como mais arriscado apresente medidas de risco como, V aR e P E, menores que os de menor risco.

2 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1

3 R1 R1 C1 R3 C1 R3 R2 R2 IP R3 IP R3 R1 R1 R3 R2 C1 R3

4 C1 C1 R2 C1 R2 C1 C1 C1 R1 C1 C1 C1 C1 C1 R1 C1 C1 C1

5 C1 C1 R2 C1 R2 C1 C1 C1 C1 C1 C1 C1 R1 R1 R1 C1 C1 C1

6 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3

Medidas de Desempenho 7 8 9 10 11 C3 R1 C1 C3 C3 C3 R1 C1 C3 C3 C3 R1 R1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 C1 R2 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 R1 C1 C3 C3 C3 R1 R1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 R2 C1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 12 R1 R1 C1 R2 C1 R3 C1 C1 IP R2 C1 R1 C1 C1 R3 R2 C1 R3

13 R1 R1 C1 R3 C1 R3 IP IP IP R3 IP R1 C1 C1 R3 R2 C1 R3

4 R1 R1 C1 R2 C1 R3 R1 C1 IP R2 IP R1 C1 C1 R3 R1 IP R3

15 R1 R1 IP R2 C1 R3 R1 C1 IP R2 IP R1 C1 C1 R3 R2 IP R3

16 C1 C1 C1 C1 R1 R1 R1 IP R1 R1 R1 R1 C1 C1 R3 C1 R3 C1

17 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3

risco, central e de m´ aximo retorno, respectivamente.

Nota: A letra C denota a carteira cl´ assica e R a carteira robusta. Os algarismos 1, 2 e 3 indicam as carteiras de m´ınimo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 R3 R3 C3 R3 C3 R3 R3 C3 C3 R3 C3 R3 C3 C3 C3 R3 C3 R3

Tabela 6.2: Portfolios ´otimos segundo as 17 medidas de desempenho apresentadas.

h(x, y)

˜ CAP´ITULO 6. SIMULAC ¸ OES 92

2 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1

3 R2 IP R3 IP R3 R1 R3 R2 C1 R3 IP IP R3 IP R3 R1 R2 R2 C1 R3

4 R1 R1 C1 C1 C1 C1 C1 C1 C1 C1 R1 R1 C1 R2 C1 C1 C1 C1 R3 C1

5 C1 C1 C1 R2 C1 C1 R1 C1 C1 C1 C1 R2 C1 R2 C1 C1 C1 C1 R3 C1

6 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3

Medidas de Desempenho 7 8 9 10 11 C3 C1 C1 C3 C3 C3 R1 R1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 C1 R2 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 R2 C1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 R1 R1 C3 C3 C3 R1 R1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 R2 R2 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 C3 R3 R3 C3 C3 C3 C1 C1 C3 C3 12 R2 IP R3 IP R3 C1 R3 R2 C1 R3 C1 IP R2 C1 R3 R1 R2 C3 R1 R3

13 R2 C2 R3 C2 R3 C1 R3 R2 C1 R3 IP IP R3 IP R3 R1 R3 C3 R1 R3

14 R2 IP R2 IP R3 C1 R3 R2 IP R3 C1 IP R2 IP R3 R1 R2 C3 R1 R3

15 R2 IP R3 IP R3 C1 R3 R2 C1 R3 C1 IP R3 IP R3 R1 R2 C3 R1 R3

16 C1 C1 C1 R3 C1 C1 R2 C1 R2 C1 R2 C2 IP R1 R1 C1 C1 C1 R3 C1

17 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3 C3

Nota: A letra C denota a carteira cl´ assica e R a carteira robusta. Os algarismos 1, 2 e 3 indicam as carteiras de m´ınimo risco, central e de m´ aximo retorno, respectivamente.

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

1 R3 C3 R3 C3 R3 C3 C3 R3 C3 R3 C3 C3 R3 C3 R3 R3 R3 R3 C3 R3

Tabela 6.3: Portfolios ´otimos segundo as 17 medidas de desempenho apresentadas.

h(x, y)

˜ CAP´ITULO 6. SIMULAC ¸ OES 93

˜ CAP´ITULO 6. SIMULAC ¸ OES

94

Come¸cando a observar cada um dos 17 crit´erios, percebemos que em v´arias oportunidades os portif´olios constru´ıdos com estimativas robustas conduziram `a carterias com retornos, denotados por RE (MD 1), mais elevados que os carteiras formadas com estimativas cl´assicas. Esta caracter´ıstica parece especialmente interessante, uma vez que os portif´olios robustos constantemente oferecem medidas Ri (MD 2) mais atraentes. Todas as carteiras de m´ınimo risco robustas oferecem menor Ri. Quando analisamos a MD 3, a Raz˜ao de Sharpe, n˜ao somos capazes de identificar uma carteira que possar ser mais interessante ao investidor. Contudo, ´e v´alido notar que jamais tivemos carteiras cl´assicas centrais ou de m´aximo retorno otimizando este crit´erio. Quantos `as medidas V aR(1%) e V aR(5%) (MDs 4 e 5), o portif´olio cl´assico de m´ınimo risco se porta de maneira muito satisfat´oria, sendo poucas vezes batido pelos demais. N˜ao h´a indica¸c˜ao que alguma caracter´ıstica como assimetria na distribui¸c˜ao marginal ou assimetria na dependˆencia alterem a performance das carteiras segundo essas medidas de desempenho. O portif´olio cl´assico de m´aximo retorno deu indica¸c˜oes de que ´e imbat´ıvel segundo as medidas V aR(99%), V aR(95%), LE(99%), LE(95%) e M RE (MDs 6, 7, 10, 11, 17, respectivamente). Aos que n˜ao est˜ao preocupados com os riscos, essa parecer ser uma excelente op¸c˜ao, independentemente das distribui¸c˜ao dos retornos dos ativos. De forma geral, comparando as carteiras cl´assicas e robustas, podemos dizer que a carteira de m´aximo retorno cl´assico possui o melhor desempenho segundo quase todos as medidas de desempenho relacionados `a rentabilidade. Notando, apenas, que em algumas situa¸c˜oes a carteira robusta ofereceu maior retorno esperado. Contudo, a carteira robusta sempre exp˜oe o investidor a menor risco, segundo todas as medidas de risco: Ri, V aR(1%), V aR(5%), P E(1%) e P E(5%) (MDs 2, 4, 5, 8 e 9, respectivamente)). Aos aversos ao risco, podemos dizer que as carteiras robustas de m´ınimo risco s˜ao sempre as que otimizam o crit´erio Ri (MD 2), al´em disso algumas vezes os seus RE (MD 1) superam os RE observados para a carteira cl´assica. Aos que preferem uma carteira que possibilite n´ıveis m´edios de retorno e risco, podemos dizer que a carteira robusta central sempre otimiza as medidas de risco

˜ CAP´ITULO 6. SIMULAC ¸ OES

95

citadas acima quando comparada `a cl´assica central. Notando, n˜ao obstante, que em algumas situa¸c˜oes fornece retornos superiores `a carteira cl´assica. A cl´assica, por sua vez, fornece sempre medidas de retorno superiores `a robusta, salvo, como j´a mencionamos, o RE. A Tabela 6.2 permite, ainda, um interessante exerc´ıcio: suponhamos que um determinado investidor estimasse os modelos que propomos nesta monografia e identificasse que suas a¸c˜oes comportam-se segundo um determinado distribui¸c˜ao, por exemplo como o “mundo” 13, e que ele estivesse interessado em otimizar a medida de desempenho 8, ou seja, a perda em excesso esperada para retornos inferiores ao quantil de 1%. Este exerc´ıcio indicaria que o investidor deve optar pela carteira de m´ınimo risco cl´assica, conforme indicado atrav´es de linhas horizontais e verticais na Tabela 6.2. Este tipo de exerc´ıcio pode ser muito u ´til aos agentes que atuam no mercado. Imagine que se estime o comportamento conjunto de um conjunto de a¸c˜oes pertencentes a um determinado mercado no qual planejasse investir. Os exerc´ıcios propostos neste cap´ıtulo podem ser bastante proveitosos para simula¸c˜ao de cen´arios, estima¸c˜ao de riscos, retornos acumulados e forma¸c˜ao de estrat´egias de investimento. Outra boa forma de analisar as simula¸c˜oes ´e considerar preferˆencias de investimento como se realiz´assemos estudos de casos supondo diferentes comportamentos diante do risco. Por exemplo, veja os casos a seguir: 1. Suponha que um determinado investidor ´e averso ao risco e est´a decidido a investir na carteira de m´ınimo risco. Imaginemos, ainda, que no nosso universo de investimento, estejamos interessados em criar carteiras de dois ativos e que as distribui¸c˜oes desses pares sejam bem representadas pelos 38 modelos que simulamos. Segundo estas condi¸c˜oes, quais seriam as melhores alternativas de investimento dadas as 17 medidades de desempenho adotadas? A Figura 6.1 ajuda a responder esta interroga¸c˜ao para 5 crit´erios de desempenho: V ar(1%), V ar(5%), P E(1%), P E(5%) e Ri, respectivamente.

VaR1%

risco simuladas.

-2.2

-2.4

-2.6

-2.8

-3.0

19 3 2 21 4 35 36 34

20

1 29 31 30

9 8 10

6

38 26 7 23 5

22 25 24 37

14 32 15 33 16 12

11

28

13

18 27

17

-1.4 -1.5 -1.6 -1.7 -1.8 -1.9

VaR5%

1

3 2 4

7 30 29 31 20 36 19 21 35 34

9 6 8 10

23 5

32 33 38 37 22

12

13 11

24 26 25 16 14 15

27 17 18 28

-2.8 -3.0 -3.2 -3.4 -3.6 -3.8 -4.0

PE1%

36 35 34

3 19 29 31 30 2 21 4

10 20

9 8

26

24

25

1

15 12 28 5 37 23 38 6

14 16 7 22

27 11 32 33

17 18

13

PE5%

19 21 3 2 36 35 4 34

1 29 31 30 20

10

8

9

6 7

37 38 23 5

32 33 25 24 12 22 26

14 11 16 15

13 28

27

18

17

1.10 1.05 1.00 0.95

-2.0 -2.2 -2.4 -2.6

1.15

Ri

14 13 18 16

17 24 28 26 15

25

27

9 8 10 7 11 12

37

33 38

30 29 31 36 19 21 20 34 22 23 35 32

5 3 2 6 4

1

Figura 6.1: Gr´aficos de caixa das medidas V ar(1%), V ar(5%), P E(1%), P E(5%) e Ri das carteiras cl´assicas de m´ınimo

˜ CAP´ITULO 6. SIMULAC ¸ OES 96

˜ CAP´ITULO 6. SIMULAC ¸ OES

97

Podemos perceber que, se o interesse do investidor ´e obter a carteira que otimize o V aR(1%), seria interessante escolher carteiras cujas dependˆencias sejam negativas. Na Figura (6.1) isto ´e facilmente observado pela posi¸c˜ao das carteiras 17, 18, 27 e 28 no gr´afico. Devemos ressaltar, que nessas carteiras, pelo menos um dos ativos possui distribui¸c˜ao com assimetria `a direita e nen´ curioso notar, tamb´em, que tal investidor huma com assimetria `a esquerda. E deveria evitar ao m´aximo carteiras que tivessem estrutrura de dependˆencia descrita pela c´opula Clayton, uma vez que as carteiras com este tipo de dependˆencia estiveram entre as que apresentam o pior desempenho segundo esta medida de desempenho. Embora as carteiras com c´opula normal sejam n˜ao sejam alternativas ruins, elas j´a n˜ao parecem t˜ao razo´aveis quanto avaliamos as carteiras segundo o V aR(5%). As 4 piores carteiras segundo esta medida de desempenho possuem c´opula normal. As melhores s˜ao as c´opulas t e normal com ρ negativo. Segundo `as Perdas Esperadas, tanto as inferiores ao V ar(1%) quanto ao V aR(5%), colocam os modelos com dependˆencia negativa como os prefer´ıveis, principalmente os que apresentam pelo menos uma das s´eries com assimetria positiva. Novamente, os modelos com c´opula Clayton, s˜ao os piores segundo este crit´erio de desempenho. 2. De maneira an´aloga a anterior, podemos imaginar que estamos diante de um investidor extremamente agressivo. Interessado em altos ganhos e pouco averso ao risco. A Figura 6.2, que cont´em algumas medidas de desempenho das carteiras de m´aximo retorno, pode fornecer interessantes subs´ıdios ao processo de sele¸c˜ao de investimento para este investidor. Por exemplo, quando observamos a distribui¸c˜ao da medida V aR(99%) em rela¸c˜ao `as 38 distribui¸c˜oes analisadas, percebemos que os maiores ganhos s˜ao dados por modelos que possuem c´opula t, Gumbel e Clayton com pelo menos uma distribui¸c˜ao marginal assim´etricas a direita. O V aR(95%) ´e otimizado com o uso de ativos com distribui¸c˜ao normal multivariada e tem seu pior desempenho com as distribu¸c˜oes com c´opula normal e t com marginais assim´etricas `a esquerda.

VaR99%

6 4

12 10 23 21

33 31

18 16

19

8 2 26 28

7 1 38

22 20 29 13

14

34 5 3

24 11 9

17 15

32 30

37 36 35

27 25

retorno simuladas.

VaR95%

4 6 23 21

16 18 12 10 33 31

38

28 26

19

2

22 20 34 29 14 8

24 5 3

11 9 27 25 32 30 17 15 37 36 35

1

13 7

Ge1%

6 4

12 10

33 31 23 21

1 16 18 7

19 2 8

13

29

28 26 22 20

11 9

14 5 3

32 30

24

34 38 17 15 37 36 35

27 25 8.0 7.5 7.0

9.0

8.5

8.0

7.5

7.0

6.5

4.4 4.2 4.0 3.8 3.6

16 14 12 10

Ge5%

6 4

12 10 23 21

33 31

18 16

2 19

1 26 28 8

29 7

13 22 20

14

5 3

38 11 9

30 32 24

34

15 17 37 36 35

27 25

0.045 0.040 0.035 0.030

6.5 6.0 5.5

0.050

Re

4 6 2 5 3 37 35

1 31 33

26 28 34 29 38 36

32 30

24

25 27 22 20

19

15 17 18 16

14 23 21 13

8 11 9 12 10 7

Figura 6.2: Gr´aficos das medidas V aR(99%), V aR(95%), LE(1%), LE(95%) e RE das carteiras cl´assicas de m´aximo

˜ CAP´ITULO 6. SIMULAC ¸ OES 98

˜ CAP´ITULO 6. SIMULAC ¸ OES

99

´ curioso notar que nas nossas simula¸c˜oes, as carteiras que otimizaram o E GE(99%) e GE(95%) s˜ao compostas por ativos com c´opula com dependˆencia negativa, normal e t, e com assimetria positiva na distribui¸c˜ao de pelo menos um dos ativos. Vale notar que para a primeira, as carteiras com c´opula Gumbel e Clayton com pelo menos uma marginal assim´etrica `a direita foram superiores `as carteiras com c´opula normal. Em ambos os casos as carteriras com c´opula normal e t com marginais assim´etricas `a esquerda mostram-se com as que s˜ao menos bem colocadas segundo esta medida de desempenho. 3. Suponha agora que o investidor averso ao risco tenha entendido, ap´os ver este estudo, que com as carteiras robustas ele consiga minimizar ainda mais sua exposi¸c˜ao `as perdas sem, contudo, comprometer a rentabilidade de suas aplica¸c˜oes. De modo geral, as afirma¸c˜oes e coment´arios tecidos para as carteiras cl´assicas de m´ınimo risco s˜ao v´alidos para as carteiras robustas de m´ınimo risco. As carteiras que possuem estrutura de dependˆencia dadas por uma c´opula Clayton apresentam pior performance segundo as medidas de desempenho V aR(1%), P E(1%) e P E(5%), como pode ser constatado na Figura 6.3. Quanto ao V aR(5%), a carteira com c´opula normal e marginais normais apresenta o pior desempenho, seguida pelas carteiras com c´opulas normais e c´opulas Clayton. As medidas contidas na Figura 6.3 s˜ao otimizadas, em geral, por carteiras que apresentam dependˆencia negativa, normal ou t, c´opula Gumbel e assimetria positiva em pelo menos uma das distribui¸c˜oes marginais. ´ importante acrescentar que na grande maioria dos casos as carteiras robustas E apresentaram medidas de risco mais interessantes que as apresentadas pelas carteiras cl´assicas. Por exemplo, nos 38 distribui¸c˜oes simuladas, em apenas 5 as carteiras cl´assicas apresentaram V aR(5%) mais atraente. Em 12 dos 38 pares de “ativos” as robustas apresentaram maior retorno esperado.

VaR1%

risco simuladas.

-2.4

-2.6

-2.8

-3.0

-3.2

34

35

4 36

19 3 2 21

29 1 30 10 31 38 20

26 8

24 6 37 9

22 28 16 12 25 7 5 23

11 15 32 14 33

27 18

13

17 -1.4 -1.5 -1.6 -1.7 -1.8 -1.9

VaR5%

1

4 34

21 3 36 35 2

19

7 30 29 20 31

8 38 6 10

37 23 5 9

33 22

12 32

11

13 16 26

14 24

25 15

18 28

17 27 -3.0 -3.2 -3.4 -3.6 -3.8 -4.0 -4.2 -4.4

PE1%

34

26 36 35

20 30 25 29 3 28 2 24 19 31 10 4 38 21

8

9

27

14 1 23 6 12 16 15 37

5

11 32 7 22 33 17 18

13

PE5%

34

36 35

4

2 21

19 3

30 29 1 38 10 31 20

8

9 26

12 5 24 23 7 37 6

33 16 22 28 25

11 15 14 32

27

18

13

17

0.9 0.8 0.7

-2.0 -2.2 -2.4 -2.6

1.0

Ri

17 18 24 26 25 28 27

14 15 16

13

12 11

8 9 10

2 3 4 31 29 6 5 35 30 19 21 34 20 33 37 36 23 32 38 22

7

1

Figura 6.3: Gr´aficos de caixa das medidas V aR(1%), V aR(5%), P E(1%), P E(5%) e Ri das carteiras robustas de m´ınimo

˜ CAP´ITULO 6. SIMULAC ¸ OES 100

˜ CAP´ITULO 6. SIMULAC ¸ OES

101

Resumindo nossas conclus˜oes a respeito dos exerc´ıcios de simula¸c˜ao, podemos afirmar que as caracter´ısticas das distribui¸c˜oes condicionais dos retornos dos ativos empregados para a forma¸c˜ao de carteiras de investimentos s˜ao cruciais nos resultados obtidos pelas mesmas. O investidor que se encontra diante de quest˜oes t´ıpicas do seu dia-a-dia - Onde e como investir? - deve estar atento `as condi¸c˜oes e caracter´ısticas das distribui¸c˜oes marginais, bem como a respeito c´opulas dos ativos nos quais ele pretende investir. Por exemplo, nossos exerc´ıcios d˜ao uma indica¸c˜ao de que ele deve buscar forma sua carteira com ativos que tenham distribui¸c˜oes condicionais assim´etrica a direita, cuja dependˆencia seja acentuada durante os chamados bull markets, a Gumbel ´e um exemplo, e minorada durante os bear markets, como a Clayton.

Cap´ıtulo 7 Conclus˜ oes e Perspectivas Futuras Nossa contribui¸c˜ao ´e a proposta de uma modelagem para s´eries financeiras bivariadas incorporando trˆes fatos estilizados deste tipo de s´erie: presen¸ca de mem´oria longa na m´edia e na variˆancia condicional, contempla¸c˜ao de assimetria nas distribui¸c˜oes marginais dos res´ıduos e considera¸c˜ao de “estruturas de dependˆencia” assim´etricas por meio do conceito de c´opulas. Foram analisadas os pre¸cos do D´olar Americano em Reais Brasileiros, Pesos Mexicanos e Wons Coreanos no per´ıodo de 12 de fevereiro de 1999 a 2 de outubro de 2002 com o objetivo de investigar e modelar apropriadamente a dependˆencia existente entre estas s´eries e o fenˆomeno do cont´agio entre os mercados financeiros dos pa´ıses citados. Para alcan¸car tal objetivo, constru´ımos modelos univariados para filtrar a dependˆencia temporal t´ıpica de s´eries financeiras, nos quais ficou devidamente identificada a relevˆancia da utiliza¸c˜ao de modelos de s´eries temporais que captem a presen¸ca de mem´oria longa na m´edia e na variˆancia destas s´eries, bem como o comportamento leptoc´ urtico e assim´etrico dos res´ıduos. Realizados os ajustes marginais, houve l´ımpida indica¸c˜ao de que a estrutura de dependˆencia entre s´eries financeiras pode se dar de modo assim´etrico, conforme indicado pelos modelos estimados, pela estrutura de dependˆencia condicional observada e pelos valores estimados da dependˆencia de cauda das s´eries. Exerc´ıcios de simula¸c˜ao ilustraram como o investidor pode tirar proveito das caracter´ısticas de assimetria positiva, tanto marginal quanto da estrutura de de102

˜ CAP´ITULO 7. CONCLUSOES E PERSPECTIVAS FUTURAS

103

pendˆencia, da distribui¸c˜ao bivariada dos retornos para aperfei¸coar suas estrat´egias de investimento, considerando inclusive o uso de estimadores robustos para a m´edia esperada dos retornos e para a matriz de covariˆancia dos mesmos. Constatamos que as carteiras geradas por estimadores robustos sempre oferecem menor exposi¸c˜ao ao risco e em algumas situa¸c˜oes otimizam as medidas de rentabilidade, fornecendo possibilidades de investimentos alternativas e interessantes. Algumas quest˜oes motivam o aprofundamento do estudo de c´opulas e suas aplica¸c˜oes n˜ao s´o em finan¸cas, mas em diversas ´areas do conhecimento. Entre os desafios lan¸cados, destacamos a dificuldade de estima¸c˜ao de misturas c´opulas e o estudo da poss´ıvel contribui¸c˜ao das c´opulas `a otimiza¸c˜ao carteiras.

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Apˆ endice A A distribui¸c˜ ao t assim´ etrica Nesta se¸c˜ao apresentaremos formalmente a distribui¸c˜ao t assim´etrica e algumas de suas propriedades mostradas em Hansen(1994). Apresentaremos, mais precisamente, a fun¸c˜ao de densidade, de distribui¸c˜ao e sua fun¸c˜ao inversa baseadas na fun¸ca˜o de distribui¸c˜ao t sim´etrica. Estes resultados s˜ao bastante u ´teis na implementa¸c˜ao de algoritmos, dado que a grande parte dos pacotes estat´ıticos e econom´etricos possuem algoritmos j´a implementados para a distribui¸c˜ao t sim´etrica. Seja Y uma vari´avel aleat´oria com distribui¸c˜ao g(y; ν, λ) com m´edia zero e variˆancia por constru¸c˜ao, de forma que seja um modelo adequado para os res´ıduos padronizados de algum modelo para a m´edia e variˆancia. Os parˆametros ν, ν = 1, 2 . . ., e λ, λ ∈ (−1, 1), s˜ao parˆametros de curtose e assimetria, respectivamente. Desta forma, podemos escrever a densidade t de student assim´etrica       bc 1 + g(y; ν, λ) =     bc 1+ 

 −(ν+1)/2 by+a 2 1−λ   −(ν+1)/2 by+a 2 1 ν−2 1+λ 1 ν−2



c=

Γ



ν+1 2

 q

para y ≤ − ab

(A.1)



Γ ν2 π(ν − 2) √ b = 1 + 3λ2 − a2   ν−2 a = 4λc ν−1 110

, onde

para y > − ab (A.2) (A.3) (A.4)

ˆ ˜ T ASSIMETRICA ´ APENDICE A. A DISTRIBUIC ¸ AO

111

Seja X uma vari´avel aleat´oria com distribui¸c˜ao tν , com m´edia zero e variˆancia ν . ν−2

Seja F (x; ν) a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de X no ponto x. A fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao

de uma vari´avel t assim´etrica pode ser escrita como segue  q    by+a  ν  (1 − λ)F ;ν h ν−2 q 1−λ   i G(y; ν, λ) = by+a ν   1−λ (1 + λ) F ; ν − 0.5 2

ν−2

1+λ

para y ≥ − ab para y > − ab

,

(A.5)

onde a, b e c s˜ao definidos anteriormente. A fun¸c˜ao inversa da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de uma vari´avel aleat´oria com distribui¸c˜ao tν assim´etrica tamb´em pode ser escrita usando a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao F (ν), ou melhor, por meio de F −1 , conforme abaixo:

−1

 

G (y; ν, λ) = 

q

1−λ ν−2 −1 F b q ν 1+λ ν−2 −1 F b ν



u ;ν  1−λ

0.5 +





1 1+λ

a

b

u−

para 0 < u < 1−λ 2





;ν −

a b

para

1−λ 2

1−λ 2

≤u