R¨uckw¨arts-Einsetzen Bei einem linearen Gleichungssystem in   r1,1 · · · r1,n   . . ..   . . 0 |

rn,n {z R

oberer Dreiecksform,    x1 b1 ..  =  ..  , .   .  xn bn

}

mit det R = r1,1 · · · rn,n 6= 0 k¨ onnen die Unbekannten xn , . . . , x1 nacheinander bestimmt werden: rn,n xn = bn =⇒ xn = bn /rn,n

Gauß-Elimination

1-1

R¨uckw¨arts-Einsetzen Bei einem linearen Gleichungssystem in   r1,1 · · · r1,n   . . ..   . . 0

rn,n {z

|

R

oberer Dreiecksform,    x1 b1 ..  =  ..  , .   .  xn bn

}

mit det R = r1,1 · · · rn,n 6= 0 k¨ onnen die Unbekannten xn , . . . , x1 nacheinander bestimmt werden: rn,n xn = bn =⇒ xn = bn /rn,n und, f¨ ur ` = n − 1, . . . 1,

Gauß-Elimination

1-2

R¨uckw¨arts-Einsetzen Bei einem linearen Gleichungssystem in   r1,1 · · · r1,n   . . ..   . . 0

rn,n {z

|

R

oberer Dreiecksform,    x1 b1 ..  =  ..  , .   .  xn bn

}

mit det R = r1,1 · · · rn,n 6= 0 k¨ onnen die Unbekannten xn , . . . , x1 nacheinander bestimmt werden: rn,n xn = bn =⇒ xn = bn /rn,n und, f¨ ur ` = n − 1, . . . 1,

r`,` x` + · · · + r`,n xn = b` =⇒ x` = (b` − r`,`+1 x`+1 − · · · − r`,n xn ) /r`,` . Gauß-Elimination

1-3

R¨uckw¨arts-Einsetzen Bei einem linearen Gleichungssystem in   r1,1 · · · r1,n   . . ..   . . 0

rn,n {z

|

R

oberer Dreiecksform,    x1 b1 ..  =  ..  , .   .  xn bn

}

mit det R = r1,1 · · · rn,n 6= 0 k¨ onnen die Unbekannten xn , . . . , x1 nacheinander bestimmt werden: rn,n xn = bn =⇒ xn = bn /rn,n und, f¨ ur ` = n − 1, . . . 1,

r`,` x` + · · · + r`,n xn = b` =⇒ x` = (b` − r`,`+1 x`+1 − · · · − r`,n xn ) /r`,` . Gauß-Elimination

1-4

R¨uckw¨arts-Einsetzen Bei einem linearen Gleichungssystem in   r1,1 · · · r1,n   . . ..   . . 0

rn,n {z

|

R

oberer Dreiecksform,    x1 b1 ..  =  ..  , .   .  xn bn

}

mit det R = r1,1 · · · rn,n 6= 0 k¨ onnen die Unbekannten xn , . . . , x1 nacheinander bestimmt werden: rn,n xn = bn =⇒ xn = bn /rn,n und, f¨ ur ` = n − 1, . . . 1,

r`,` x` + · · · + r`,n xn = b` =⇒ x` = (b` − r`,`+1 x`+1 − · · · − r`,n xn ) /r`,` . Gauß-Elimination

1-5

Die Berechnungen k¨onnen mit Hilfe eines Tableaus R|b erfolgen, in dem die Koeffizientenmatrix und die rechte Seite zusammengefasst sind. F¨ ur ` = n, . . . , 1 dividiert man die Zeile ` durch r`,` ( Diagonalelement gleich 1) und zieht f¨ ur i = ` − 1, . . . , 1 das ri,` -fache der `-ten Zeile von den Zeilen mit niedrigerem Index ab. Dadurch werden oberhalb von r`,` = 1 Nullen erzeugt. Als Resultat enth¨alt das Tableau die Einheitsmatrix und in der letzten Spalte (modifizierte rechte Seite b) die L¨osung x.

Gauß-Elimination

1-6

Die Berechnungen k¨onnen mit Hilfe eines Tableaus R|b erfolgen, in dem die Koeffizientenmatrix und die rechte Seite zusammengefasst sind. F¨ ur ` = n, . . . , 1 dividiert man die Zeile ` durch r`,` ( Diagonalelement gleich 1) und zieht f¨ ur i = ` − 1, . . . , 1 das ri,` -fache der `-ten Zeile von den Zeilen mit niedrigerem Index ab. Dadurch werden oberhalb von r`,` = 1 Nullen erzeugt. Als Resultat enth¨alt das Tableau die Einheitsmatrix und in der letzten Spalte (modifizierte rechte Seite b) die L¨osung x. Bei der praktischen Durchf¨ uhrung werden nur die sich ¨andernden Zeilen untereinander notiert.

Gauß-Elimination

1-7

Beispiel: 4x1 + 3x2 + x3 = 6 2x2 + 2x3 = 0 7x3 = 7

Gauß-Elimination

2-1

Beispiel: 4x1 + 3x2 + x3 = 6 2x2 + 2x3 = 0 7x3 = 7 R¨ uckw¨artseinsetzen x3 = 7/7 = 1 x2 = (0 − 2x3 )/2 = (0 − 2 · 1)/2 = −1 x1 = (6 − 3x2 − x3 )/4 = (6 − 3(−1) − 1)/4 = 2

Gauß-Elimination

2-2

alternative L¨osung mit Hilfe des Tableaus R|b

Gauß-Elimination

2-3

alternative L¨osung mit Hilfe des Tableaus R|b 4 0 0 4 0 0 4 0 1

3 2 0 3 2 0 0 1 0

1 2 7 0 0 1 0 0 0

6 0 7 5 −2 1 8 −1 2

Gauß-Elimination

2-4

alternative L¨osung mit Hilfe des Tableaus R|b 4 0 0 4 0 0 4 0 1

3 2 0 3 2 0 0 1 0

1 2 7 0 0 1 0 0 0

6 0 7 5 −2 1 8 −1 2

markierte Zeilen (Diagonalelement gleich 1)

L¨osung

x3 = 1, x2 = −1, x1 = 2

Gauß-Elimination

2-5

Gauß-Elimination Durch Gauß-Transformationen l¨asst sich ein lineares Gleichungssystem mit invertierbarer (n × n)-Koeffizientenmatrix A in maximal n − 1 Schritten auf obere Dreiecksform bringen.

Gauß-Elimination

3-1

Gauß-Elimination Durch Gauß-Transformationen l¨asst sich ein lineares Gleichungssystem mit invertierbarer (n × n)-Koeffizientenmatrix A in maximal n − 1 Schritten auf obere Dreiecksform bringen. Dazu werden sukzessive die Koeffizienten unterhalb der Diagonalen annulliert, d.h. nach ` − 1 Schritten hat das lineare Gleichungssystem die Form a1,1 x1 + a1,2 x2 + . . . + a2,2 x2 + . . . +

a1,` x` a2,` x` a`,` x` a`+1,` x` an,` x`

+ . . . + a1,n xn + . . . + a2,n xn .. .. . . + . . . + a`,n xn + . . . + a`+1,n xn .. .. . .

= = .. .

+ ... +

=

Gauß-Elimination

an,n xn

b1 b2

= b` = b`+1 .. . bn 3-2

Im einzelnen verl¨auft der `-te Eliminationsschritt wie folgt.

Gauß-Elimination

3-3

Im einzelnen verl¨auft der `-te Eliminationsschritt wie folgt. Aus den Koeffizienten a`,` , . . . , an,` wird ein von Null verschiedener Koeffizient ak,` , das sogenannte Pivot-Element, ausgw¨ahlt, und die `-te mit der k-ten Gleichung vertauscht.

Gauß-Elimination

3-4

Im einzelnen verl¨auft der `-te Eliminationsschritt wie folgt. Aus den Koeffizienten a`,` , . . . , an,` wird ein von Null verschiedener Koeffizient ak,` , das sogenannte Pivot-Element, ausgw¨ahlt, und die `-te mit der k-ten Gleichung vertauscht. F¨ ur i > ` wird die i-te Gleichung durch eine Linearkombination der i-ten und `-ten Gleichung ersetzt, um den Term mit der Unbekannten x` zu eliminieren (ai,` → 0): ai,j ← αi ai,j + βi a`,j , j = `, . . . , n,

bi ← αi bi + βi b`

(j = ` : αi ai,` + βi a`,` = 0).

Gauß-Elimination

3-5

Im einzelnen verl¨auft der `-te Eliminationsschritt wie folgt. Aus den Koeffizienten a`,` , . . . , an,` wird ein von Null verschiedener Koeffizient ak,` , das sogenannte Pivot-Element, ausgw¨ahlt, und die `-te mit der k-ten Gleichung vertauscht. F¨ ur i > ` wird die i-te Gleichung durch eine Linearkombination der i-ten und `-ten Gleichung ersetzt, um den Term mit der Unbekannten x` zu eliminieren (ai,` → 0): ai,j ← αi ai,j + βi a`,j , j = `, . . . , n,

bi ← αi bi + βi b`

(j = ` : αi ai,` + βi a`,` = 0). Eine kanonische Wahl bei den Eliminationsschritten ist αi = 1, βi = −ai,` /a`,` ; jedoch kann, um gegebenenfalls Br¨ uche zu vermeiden, auch eine andere Wahl getroffen werden, z.B. αi = a`,` , βi = −ai,` .

Gauß-Elimination

3-6

¨ Ublicherweise werden f¨ ur die Eliminationsschritte die Matrix A und die rechte Seite b zu einem Tableau A|b zusammengefasst. Die modifizierten Zeilen werden dann untereinander aufgelistet und die Pivot-Elemente markiert. Zur besseren Erl¨auterung k¨ onnen die Faktoren αi und βi in einer zus¨atzlichen Spalte notiert werden. Die resultierende Dreieckform besteht dann aus den markierten Pivot-Zeilen.

Gauß-Elimination

3-7

¨ Ublicherweise werden f¨ ur die Eliminationsschritte die Matrix A und die rechte Seite b zu einem Tableau A|b zusammengefasst. Die modifizierten Zeilen werden dann untereinander aufgelistet und die Pivot-Elemente markiert. Zur besseren Erl¨auterung k¨ onnen die Faktoren αi und βi in einer zus¨atzlichen Spalte notiert werden. Die resultierende Dreieckform besteht dann aus den markierten Pivot-Zeilen. Das Schema kann zur simultanen Behandlung mehrerer rechter Seiten benutzt werden. Insbesondere kann so mit b = (e1 , . . . , en ) die Inverse der Matrix A bestimmt werden.

Gauß-Elimination

3-8

Beispiel: lineares Gleichungssystem 2x2 + x3 3x1 + 2x2 3x1 + x2 − 2x3 6x1 + 4x2 − x3

−x4 +x4 +x4 +x4

= −1 = 5 = 3 = 7

Gauß-Elimination

4-1

Beispiel: lineares Gleichungssystem 2x2 + x3 3x1 + 2x2 3x1 + x2 − 2x3 6x1 + 4x2 − x3 Matrix und rechte Seite 

0 3 A= 3 6

 2 1 −1 2 0 1 , 1 −2 1  4 −1 1

−x4 +x4 +x4 +x4

= −1 = 5 = 3 = 7



 −1 5  b= 3 7

Gauß-Elimination

4-2

Ablauf des Gauß-Algorithmus mit Hilfe des Tableaus A|b 0 3 3 6 0 0 0 0 0 0

2 2 1 4 2 -1 0 0 0 0

1 0 −2 −1 1 −2 −1 −3 -1 0

−1 1 1 1 −1 0 −1 −1 −1 2

−1 5 3 7 −1 −2 −3 −5 −3 4

1 0

1 2

−1 −2 1 1 0 1

1 −3

→ Zeile 1

→ Zeile 2

→ Zeile 3 → Zeile 4

Gauß-Elimination

4-3

Ablauf des Gauß-Algorithmus mit Hilfe des Tableaus A|b 0 3 3 6 0 0 0 0 0 0

2 2 1 4 2 -1 0 0 0 0

1 0 −2 −1 1 −2 −1 −3 -1 0

−1 1 1 1 −1 0 −1 −1 −1 2

−1 5 3 7 −1 −2 −3 −5 −3 4

1 0

1 2

−1 −2 1 1 0 1

1 −3

→ Zeile 1

→ Zeile 2

→ Zeile 3 → Zeile 4

Beispielsweise entsteht die drittletzte Zeile des Tableaus, indem die Zeile mit Pivot-Element −1 und die dar¨ uberliegende Zeile, gewichtet mit den Faktoren 2 und 1 (notiert in der Kommentarspalte rechts), addiert werden.

Gauß-Elimination

4-4

R¨ uckw¨artseinsetzen f¨ ur das resultierende System in Dreiecksform, beginnend mit dem Tableau R|b (erste vier Zeilen) 3 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 3 0 1

2 −1 0 0 2 −1 0 0 2 −1 0 0 1 0

0 1 5 −2 0 −2 −1 −1 −3 0 2 4 0 0 3 −2 0 −2 −1 0 −1 0 1 2 = x4 0 0 3 0 0 0 0 1 = x3 1 0 0 3 0 0 0 = x2 0 0 1 = x1 Gauß-Elimination

4-5