˜ de Compensadores Resumen de las Reglas de Diseno R. Alzate Universidad Industrial de Santander Bucaramanga, marzo de 2012
Sistemas de Control - 23358 Escuela de Ingenier´ıas El´ectrica, Electr´onica y Telecomunicaciones
Contenidos: Secci´on 1 2 a b c d 3 e f g 4
tema
p´agina
Introducci´on Lugar Geom´etrico de las Ra´ıces Compensaci´on en adelanto de fase Compensaci´on en atraso de fase Compensaci´on atraso-adelanto: γ 6= β Compensaci´on atraso-adelanto: γ = β Respuesta en frecuencia Compensaci´on en adelanto de fase Compensaci´on en atraso de fase Compensaci´on atraso-adelanto Referencias
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1. Introducci´on A continuaci´on se presentan los pasos que resumen los procedimientos de dise n˜ o de compensadores (adelanto, atraso y atraso-adelanto) mediante las t´ecnicas del Lugar Geom´etrico de las Ra´ıces y de la Respuesta en Frecuencia, tomando como referencia textual los contenidos de [1].
2. Lugar Geom´etrico de las Ra´ıces (LGR) a.
Compensaci´ on en adelanto de fase:
a.1) A partir de las especificaciones de desempen˜ o, determine la ubicaci´on deseada para los polos dominantes en lazo cerrado. a.2) Por medio de una gr´afica del lugar geom´etrico de las ra´ıces, compruebe si el ajuste de la ganancia puede o no por si solo producir los polos en lazo cerrado deseados. En caso contrario, calcule la deficiencia de a´ ngulo φ. Este a´ ngulo debe ser una contribucio´ n del compensador de adelanto si el nuevo lugar geom´etrico de las ra´ıces va a pasar por las ubicaciones deseadas para los polos dominantes en lazo cerrado. a.3) Suponga que el compensador de adelanto Gc (s) es Gc (s) = Kc α
s + T1 Ts + 1 = Kc 1 , αT s + 1 s + αT
para 0 < α < 1 y donde α y T se determinan a partir de la diferencia de a´ ngulo. Kc se determina a partir del requerimiento de la ganancia en lazo abierto. a.4) Si no se especifican las constantes de error est´atico, determine la ubicaci´on del polo y del cero del compensador de adelanto, para que el compensador de adelanto contribuya al a´ ngulo φ necesario. Si no se imponen otros requerimientos sobre el sistema, intente aumentar lo m´as posible el valor de α. Un valor m´as grande de α por lo general produce un valor m´as grande de Kv , lo cual es conveniente. Si se especifica una constante de error est´atico, por lo general es m´as sencillo usar el enfoque de la respuesta en frecuencia. a.5) Determine la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a partir de la condici o´ n de magnitud. b.
Compensaci´ on en atraso de fase:
b.1) Dibuje la gr´afica del lugar geom´etrico de las ra´ıces para el sistema no compensado, cuya funcio´ n de transferencia en lazo abierto sea G(s). Con base en las especificaciones de la respuesta transitoria, ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el lugar geom´etrico de las ra´ıces. b.2) Suponga que la funci´on de transferencia del compensador de atraso es 1 ˆ cβ T s + 1 = K ˆc s + T , Gc (s) = K 1 βT s + 1 s + βT
para β > 1. As´ı, la funci´on de transferencia en lazo abierto del sistema compensado se convierte en Gc (s)G(s). 2
b.3) Calcule la constante de error est´atico especificada en el problema. b.4) Determine el incremento necesario en la constante de error est´atico para satisfacer las especificaciones. b.5) Determine el polo y el cero del compensador de atraso que producen el incremento necesario en la constante de error est´atico determinado sin alterar apreciablemente los lugares geom´etricos de las ra´ıces originales. Observe que la razo´ n entre el valor de la ganancia requerido en las especificaciones y la ganancia que se encuentra en el sistema no compensado es la raz o´ n entre la distancia del cero al origen y la del polo al origen. b.6) Dibuje una nueva gr´afica del lugar geom´etrico de las ra´ıces para el sistema no compensado. Localice los polos dominantes en lazo cerrado deseados sobre el lugar geom´etrico de las ra´ıces. Si la contribuci´on de a´ ngulo de la red de atraso es muy pequen˜ a, es decir, de pocos grados, los lugares geom´etricos de las ra´ıces originales y los nuevos ser´an casi id´enticos. Sin embargo, habr´a una ligera discrepancia entre ellos. A continuacio´ n ubique, sobre el nuevo lugar geom´etrico de las ra´ıces, los polos dominantes en lazo cerrado deseados a partir de las especificaciones de la respuesta transitoria. ˆ c del compensador a partir de la condicio´ n de magnitud, a fin de que los polos b.7) Ajuste la ganancia K dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicaci o´ n deseada. Compensaci´ on de atraso-adelanto: Suponga que usamos el compensador de atraso-adelanto β (T1 s + 1) (T2 s + 1) = Kc Gc (s) = Kc γ T1 s + 1 (βT s + 1) γ
2
s+ s+
1 T1 γ T1
!
s+ s+
1 T2 1 βT2
!
,
donde β > 1 y γ > 1. c.
Caso γ 6= β
c.1) A partir de las especificaciones de desempen˜ o proporcionadas, determine la ubicacio´ n deseada para los polos dominantes en lazo cerrado. c.2) Use la funci´on de transferencia en lazo abierto no compensado G(s), para determinar la deficiencia de a´ ngulo φ si los polos dominantes en lazo cerrado estar´an en la posici´on deseada. La parte de adelanto de fase del compensador de atraso-adelanto debe contribuir a este a´ ngulo φ. c.3) Suponiendo que despu´es selecciona un T2 suficientemente grande para que la magnitud de la parte de atraso s1 + 1 T2 s1 + βT1 2
se acerque a la unidad, de modo que s = s1 es uno de los polos dominates en lazo cerrado, elija los valores de T1 y γ a partir del requerimiento de que ∠
s1 + s1 + 3
1 T1 γ T1
= φ.
La elecci´on de T1 y γ no es u´ nica. Puede escogerse un conjunto infinitamente m´as grande de valores para T1 y γ. A continuaci´on determine el valor de Kc a partir de la condici´on de magnitud: ! s1 + T11 G(s1 ) = 1. K c γ s1 + T1
c.4) Si se especifica la constante de error est´atico de velocidad Kv , determine el valor de β que satisfaga el requerimiento para Kv . La constante de error est´atico de velocidad Kv se obtiene mediante ! ! s + T11 s + T12 β G(s) = lim sKc G(s), Kv = lim sGc (s)G(s) = lim sKc γ 1 s→0 s→0 s→0 s + T1 γ s + βT 2
en donde Kc y γ se determinaron en el paso c.3. Por tanto, dado el valor de K v , el valor de β se determina a partir de esta u´ ltima ecuaci´on. Despu´es, usando el valor de β determinado de este modo, seleccione un valor de T2 tal que s1 + 1 T2 ≡1 s1 + βT1 2
−5◦ < ∠
d.
s1 +
s1 +
1 T2 1 βT2
< 0◦
Caso γ = β
d.1) A partir de las especificaciones de desempen˜ o proporcionadas, determine la ubicacio´ n deseada para los polos dominantes en lazo cerrado. d.2) El compensador de atraso-adelanto adquiere la forma (T1 s + 1) (T2 s + 1) Gc (s) = Kc = Kc T1 s + 1 (βT s + 1) 2 β
s+ s+
1 T1 β T1
!
s+ s+
1 T2 1 βT2
!
,
donde β > 1. La funci´on de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es G c (s)G(s). Si se especifica la constante de error est´atico de velocidad Kv , determine el valor de la constante Kc a partir de la ecuaci´on siguiente: Kv = lim sGc (s)G(s) = lim sKc G(s). s→0
s→0
d.3) Para tener los polos dominantes en lazo cerrado en la ubicaci o´ n deseada, calcule la contribucio´ n requerida del a´ ngulo φ de la parte de adelanto de fase del compensador de atraso-adelanto. d.4) Para el compensador de atraso-adelanto, seleccione una T 2 suficientemente grande, a fin de que s1 + 1 T2 s1 + βT1 2
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se aproxime a la unidad, de modo que s = s1 sea uno de los polos dominantes en lazo cerrado. Determine los valores de T1 y β a partir de las condiciones de magnitud y a´ ngulo: ! s1 + T11 G(s ) K c =1 1 β s1 + T1
∠
s1 +
s1 +
1 T1 β T1
= φ.
d.5) Usando el valor de β reci´en determinado, seleccione T2 de modo que s1 + 1 T2 ≡1 s1 + βT1 2 s1 +
◦
−5 < ∠
s1 +
1 T2 1 βT2
< 0◦ .
El valor βT2 , la constante de tiempo m´as grande del compensador de atraso adelanto no debe ser demasiado grande, a fin de que pueda materializarse.
3. Respuesta en Frecuencia e.
Compensaci´ on en adelanto de fase:
e.1) Suponga el siguiente compensador de adelanto: Gc (s) = Kc α
s + T1 Ts + 1 = Kc 1 , αT s + 1 s + αT
para 0 < α < 1. Defina Kc α = K, y as´ı Gc (s) = K
Ts + 1 αT s + 1
La funci´on de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es Gc (s)G(s) = K
Ts + 1 Ts + 1 Ts + 1 G(s) = KG(s) = G1 (s), αT s + 1 αT s + 1 αT s + 1
en donde G1 (s) = KG(s). Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante est´atica de error. e.2) Usando la ganancia K determinada, dibuje las trazas de Bode de G 1 (jω), el sistema con la ganancia ajustada pero sin compensar. Calcule el valor del margen de fase. e.3) Determine el a´ ngulo de adelanto de fase φ necesario que se agregar´a al sistema.
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e.4) Determine el factor de atenuacio´ n α a partir de sin(φ) =
1−α . 1+α
√ Establezca la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado G 1 (jω) es igual a −20 log(1/ α). Seleccione e´ sta como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a √ ωm = 1/( αT ), y el cambio de fase m´aximo φm ocurre en ella. e.5) Determine las frecuencias de esquina del compensador de adelanto del modo siguiente: - Cero del compensador de adelanto: ω = - Polo del compensador de adelanto: ω =
1 T, 1 αT .
e.6) Usando el valor de K determinado en el paso e.1 y el de α establecido en el paso e.4, calcule la constante Kc a partir de K Kc = . α e.7) Verifique el margen de ganancia para asegurarse de que es satisfactorio. De no ser as´ı, repita el proceso de dise˜no modificando la ubicaci´on de los polos y ceros del compensador hasta obtener un resultado satisfactorio.
f.
Compensaci´ on en atraso de fase:
f.1) Suponga el siguiente compensador de atraso: Gc (s) = Kc β
s + T1 Ts + 1 = Kc 1 , βT s + 1 s + βT
para β > 1. Defina Kc β = K, y as´ı Gc (s) = K
Ts + 1 βT s + 1
La funci´on de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es Gc (s)G(s) = K
Ts + 1 Ts + 1 Ts + 1 G(s) = KG(s) = G1 (s), βT s + 1 βT s + 1 βT s + 1
en donde G1 (s) = KG(s). Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante est´atica de error. f.2) Si el sistema no compensado G1 (jω) = KG(jω) no satisface las especificaciones en los m´argenes de fase y de ganancia, encuentre el punto de frecuencia en el cual el a´ ngulo de fase de la funci´on de ´ transferencia en lazo abierto sea igual a −180◦ m´as el margen de fase requerido. Este es el margen ◦ ◦ ◦ ◦ de fase especificado entre 5 y 12 (la adici´on de entre 5 y 12 compensa el atraso de fase del compensador de atraso). Seleccione e´ sta como la nueva frecuencia de cruce de ganancia.
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f.3) Para evitar los efectos nocivos del atraso de fase producido por el compensador de atraso, el polo y el cero del compensador de atraso deben ubicarse mucho m´as abajo que la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por tanto, seleccione la frecuencia de esquina ω = 1/T (que corresponde al cero del compensador de atraso) entre una octava y una d´ecada por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Si las constantes de tiempo del compensador de atraso no se vuelven demasiado grandes, se selecciona la frecuencia de esquina ω = 1/T una d´ecada por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. f.4) Determine la atenuaci´on necesaria para disminuir la curva de magnitud a 0 dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Considerando que esta atenuaci o´ n es de −20 log β, determine el valor de β. Luego se obtiene la otra frecuencia de esquina (que corresponde al polo del compensador de atraso) a partir de ω = 1/(βT ). f.5) Usando el valor de K determinado en el paso f.1 y el de β obtenido en el paso f.4, calcule la constante Kc a partir de K Kc = . β g.
Compensaci´ on de atraso-adelanto:
Suponga que usamos el compensador de atraso-adelanto β (T1 s + 1) (T2 s + 1) Gc (s) = Kc = Kc γ T1 s + 1 (βT s + 1) γ
2
s+ s+
1 T1 γ T1
!
s+ s+
1 T2 1 βT2
!
,
donde β > 1 y γ > 1.
El procedimiento de dise˜no (de la misma manera que fue ilustrado en los numerales c y d), corresponde con una combinaci´on de los pasos ilustrados en e y f para las respectivas partes de adelanto y atraso del compensador.
4. Referencias [1]. K. Ogata “Ingenier´ıa de Control Moderna”. 3 Ed. Pearson. 1998.
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