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Quick- und INR-Werte Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Josef BETTEN RWTH Aachen University Mathematical Models in Materials Science and Continuum Mechanics Augustinerbach 4-20 D-52056 A a c h e n , Germany

Bemerkung: Die Angaben der Quick-Werte sind fraglich, da sie von der Ermittlungsmethode und vom Labor abhängig sind. Dagegen sind die INR-Werte (International National Ratio) methodenunabhängig und somit zur Therapiekontrolle geeignet. Aufgrund der "fraglichen" Quick-Tests kann ein allgemein gültiger Zusammenhang zwischen Quick und INR nicht angegeben werden. Beispiel Im Folgenden wird ein spezieller Quick-Test mit entspechenden INR-Werten von Marcia L. Zucker, Ph.D., (Director Clinical Research, ITC International Technidyne Corporation) zu Grunde gelegt: > restart: > DATA:=[1,100],[1.1,85],[1.2,74],[1.5,52],[2,37],[2.5,28], [3,22],[3.5,18],[4,16],[4.5,15],[5,13],[5.5,11],[6,10], [7,9],[8,8],[9,7],[10,6]; DATA := [ 1, 100 ], [ 1.1, 85 ], [ 1.2, 74 ], [ 1.5, 52 ], [ 2, 37 ], [ 2.5, 28 ], [ 3, 22 ], [ 3.5, 18 ], [ 4, 16 ], [ 4.5, 15 ], [ 5, 13 ], [ 5.5, 11 ], [ 6, 10 ], [ 7, 9 ], [ 8, 8 ], [ 9, 7 ], [ 10, 6 ] > Diese Daten sind im folgenden Bild dargestellt. > alias(H=Heaviside,th=thickness,co=color): > p[1]:=plot([DATA],INR=1..10,th=3, style=point,symbol=cross,symbolsize=50,co=black): > p[2]:=plot(100,INR=1..10,co=black, title="Q[%] in Abhängigkeit vom INR-Wert"): > p[3]:=plot(100*H(INR-10),INR=9.99..10.001,co=black): > plots[display](seq(p[k],k=1..3));

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> Aus einer nichtlinearen Regression gewinnt man mit diesen Daten einen formelmäßigen Zusammenhang zwischen Q[%] und INR. Geeignet ist ein "inverses Polynom zweiter Ordnung": > Q(INR):=a+b/INR+c/INR^2; Q( INR ) := a +

b c + INR INR2

> Die nichtlineare Regression auf der Basis der gegebenen Daten liefert folgende Parameter und die gewünschte Formel zur Umrechnung von INR in Quick[%] oder umgekehrt: > [a, b, c] = [2.229, 39.43, 57.73]; [ a, b, c ] = [ 2.229, 39.43, 57.73 ] > Q(INR):=2.229+39.43/INR+57.73/INR^2; Q( INR ) := 2.229 +

39.43 57.73 + INR INR2

> Dieser Zusammenhang und die obigen Daten sind im folgenden Bild dargestelllt: > p[4]:=plot(Q(INR),INR=1..10,th=3,co=black): > plots[display](seq(p[k],k=1..4));

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L-zwei Fehlernorm Die Abweichung der obigen Näherungsformel von den vorliegenden experimentellen Daten kann durch die L-zwei Fehlernorm charakterisiert werden. Dazu benötigt man den Abstandsvektor zwischen der Näherungsformel und den experimentellen Daten, der folgendermaßen erzeugt wird. > with(linalg): > # Komponenten des Abstandsvektors in Prozent: > for i from 1 to 17 do v[i]:=(subs(INR=DATA[i][1],Q(INR))-DATA[i][2]) od; v1 := -0.611 v2 := 0.78519835 v3 := 1.17761111 v4 := 2.17344445 v5 := -0.62350000 v6 := -0.76220000 v7 := -0.21322223 v8 := 0.20736735 v9 := -0.30537500 v10 := -1.15791358 v11 := -0.57580000 v12 := 0.30652066 v13 := 0.40427778 v14 := 0.040020408 v15 := 0.059781250 v16 := 0.322827160 v17 := 0.749300000 > V:=vector([seq(v[i],i=1..17)]); V := [ -0.611, 0.78519835, 1.17761111, 2.17344445, -0.62350000, -0.76220000, -0.21322223, 0.20736735, -0.30537500, -1.15791358, -0.57580000, 0.30652066, 0.40427778, 0.040020408, 0.059781250, 0.322827160, 0.749300000 ] > # Damit erhält man die L-zwei Fehlernorm in Prozent gemäß: > L[2]:=(1/sqrt(17))*Norm(V,2)= evalf((1/sqrt(17))*norm(V,2),4)*Prozent; 1 17 Norm( V, 2 ) = 0.7982 Prozent 17 > # Alternativ ist die L-infinity Norm gegeben durch: > L[infinity]:=((1/17)^(1/infinity))*Norm(V,infinity)= L2 :=

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evalf(((1/17)^(1/infinity))*norm(V,infinity),4)*Prozent; L∞ := Norm( V, ∞ ) = 2.173 Prozent > L[infinity]:=Max(abs(v[1..17]))= evalf(max(seq(abs(v[i]),i=1..17)),4)*Prozent; L∞ := Max( v1 .. 17 ) = 2.173 Prozent > Relevanter Bereich Im relevanten Bereich (biologische Herzklappe) gilt INR = [2...3]. Daraus ergeben sich gemäß obiger Darstellung Quick-Werte von Quick = [37%...22%]. Zwischenwerte können folgenden Daten entnommen werden. > restart: > data:=[2,37],[2.2,33],[2.5,28],[2.8,24],[3,22]; data := [ 2, 37 ], [ 2.2, 33 ], [ 2.5, 28 ], [ 2.8, 24 ], [ 3, 22 ] > Mit diesen Werten erhält man durch nichtlineare Regression das Polynom > Q(INR):=-9.013+94.31/INR-4.44/INR^2; 94.31 4.44 − INR INR2 alias(H=Heaviside,th=thickness,co=color): p[1]:=plot([data],INR=2..3,th=3, style=point,symbol=cross,symbolsize=50,co=black): p[2]:=plot(Q(INR),INR=2..3,th=3,co=black, title="INR zwischen 2 und 3"): p[3]:=plot(40,INR=2..3,20..40,ytickmarks=4,co=black): p[4]:=plot(40*H(INR-3),INR=1.99..3.001,co=black): plots[display](seq(p[k],k=1..4)); Q( INR ) := −9.013 +

> > > > > >

> L-zwei Fehlernorm im relevanten Bereich Im Bereich INR = [2..3], der für biologische Herzklappen relevant ist, erhält man für den Vergleich zwischen den gegebenen Messwerten und der vorgeschlagenen Formel folgende Fehlerabschätzung. > with(linalg):

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> # Komponenten des Abstandsvektors in Prozent: > for i from 1 to 5 do v[i]:=subs(INR=data[i][1],Q(INR))-data[i][2] od; v1 := 0.03200000 v2 := -0.06217356 v3 := 0.00060000 v4 := 0.10281632 v5 := -0.06966666 > V:=vector([seq(v[i],i=1..5)]); V := [ 0.03200000, -0.06217356, 0.00060000, 0.10281632, -0.06966666 ] > # Damit erhält man die L-zwei Fehlernorm in Prozent gemäß: > L[2]:=(1/sqrt(5))*Norm(V,2)= evalf((1/sqrt(5))*norm(V,2),4)*Prozent; 1 5 Norm( V, 2 ) = 0.06373 Prozent 5 > # Alternativ ist die L-infinity Norm gegeben durch: > L[infinity]:=((1/5)^(1/infinity))*Norm(V,infinity)= evalf(((1/5)^(1/infinity))*norm(V,infinity),4)*Prozent; L2 :=

L∞ := Norm( V, ∞ ) = 0.1028 Prozent > L[infinity]:=Max(abs(v[1..5]))= evalf(max(seq(abs(v[i]),i=1..5)),4)*Prozent; L∞ := Max( v1 .. 5 ) = 0.1028 Prozent

Die obigen Darstellungen zeigen, dass durch ein inverses Polynom zweiter Ordnung die Umrechnung von Quick[%] in INR oder umgekehrt formelmäßig zufriedenstellend beschrieben werden kann. >

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