Quantenthermodynamische Maschinen und Prozesse

Diplomarbeit von Peter Borowski

1.August 2002

Hauptberichter : Prof.Dr.G¨unter Mahler Mitberichter : Prof.Dr.Hans-Rainer Trebin

Institut f¨ur Theoretische Physik Teil 1 Universit¨at Stuttgart Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart

Ehrenw¨ ortliche Erkl¨ arung Ich erkl¨are, dass ich diese Arbeit selbstst¨andig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Stuttgart, 1.August 2002

Peter Borowski

Diese Diplomarbeit wurde mit dem Textsatzsystem LATEX erstellt. Die meisten Abbildungen wurden mit den Programmen gnuplot, xfig sowie Mathematica generiert.

Inhaltsverzeichnis Symbolverzeichnis

v

1 Einleitung

1

2 Grundlagen 2.1 Die Schr¨odingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Diskrete Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Ortsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Erhaltung der Energieverteilung . . . . . . . . . . . . . 2.2 Dichteoperator, von-Neumann-Gleichung . . . . . . . . . . . . 2.3 Zusammengesetzte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Verschr¨ankung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Verschr¨ankungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Die Gibbssche Fundamentalform und ihre statistische Deutung

3 3 3 5 5 6 7 8 8 9

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. . . . . . . . .

3 Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begru ¨ ndung des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik 3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 3.2 Ublicher Zugang zum Zweiten Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Die Gibbssche Ensembletheorie . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Quantenmechanischer Zugang zum Zweiten Hauptsatz . . . . . . 3.3.1 Mikrokanonische Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Kanonische Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Hamilton-Modelle f¨ ur eingebettete Zwei-Niveau-Systeme . 3.4.3 Methode der Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5 Eingebettetes F¨ unf-Niveau-Modell . . . . . . . . . . . . . . 3.4.6 G¨ ultigkeitsbereich; Relaxation ins Gleichgewicht . . . . . . 3.4.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

11 11 12 12 14 15 16 18 20 20 20 28 29 36 40 43

ii

Inhaltsverzeichnis 3.5

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Quantenmechanische Einbettung: “Station¨ ares QuantenManometer” 4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Das Hamilton-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Eindimensionales Zwei-Teilchen-Modell . . . . . . . . . . . 4.2.2 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Entwicklung des Hamiltonians . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Vergleich der Wechselwirkungsenergie mit der Energie des Produktzustands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Berechnung des Erwartungswertes hxW i . . . . . . . . . . 4.2.6 Varianz des Erwartungswertes hxW i . . . . . . . . . . . . . 4.2.7 Verschr¨ankung zwischen den zwei Subsystemen . . . . . . 4.2.8 Verallgemeinerung f¨ ur den dreidimensionalen Fall . . . . . 4.2.9 Verallgemeinerung auf zwei nichtwechselwirkende Teilchen verschiedener Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Quantenthermodynamische Kreisprozesse 5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Carnot-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Herleitung des Carnot-Wirkungsgrades 5.2.2 Eindeutigkeit von ηCarnot . . . . . . . . 5.3 Carnot-Prozess in der Quantenmechanik . . . 5.3.1 Beispiel: Harmonischer Oszillator (HO) QM 5.3.2 Allgemeiner Beweis f¨ ur ηCarnot = ηCarnot 5.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine 6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Der Maxwellsche D¨amon . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Die klassische Szilard-Maschine . . . . . . . . . 6.1.3 Die Quanten-Szilard-Maschine . . . . . . . . . . 6.2 Asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine . . . . . . . 6.2.1 Unvollst¨andiges Modell . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Verbessertes Modell . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Zusammenfassung und Ausblick

. . . . . . . .

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43

45 45 46 46 48 50 52 53 55 56 58 59 64

. . . . . . . .

67 67 68 69 69 70 72 73 74

. . . . . . . .

77 77 77 78 80 82 82 88 94 97

Inhaltsverzeichnis A Anhang t A.1 Analytische Formel f¨ ur ρg00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Transformation der Ableitungen f¨ ur die Transformation (4.12) . . A.3 Ungest¨orte Eigenfunktionen und -energien der Einteilchensysteme aus Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1 Unendlich hoher Kasten von x1 = 0 bis x1 = L . . . . . . . A.3.2 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . jjW zum Entwicklungskoeffizienten ersA.4 Berechnung der Beitr¨age 1x Ckk W ter Ordnung f¨ ur die St¨orungsrechnung in Kapitel 4 . . . . . . . . A.5 Berechnung des Wirkungsgrades ηHO der Harmonischer-OszillatorMaschine aus Abschnitt 5.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6 L¨osung der Schr¨odingergleichung f¨ ur den unendlich hohen Kasten mit einer Potenzialbarriere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii 99 99 101 102 102 102 103 105 107

Literaturverzeichnis

109

Index

112

Danksagung

115

iv

Inhaltsverzeichnis

Symbolverzeichnis √ i = −1 h ~ = 2π kB e Re(A) Im(A) [A, B] = AB − BA ⊗ ∨ δ(A), δij R hAi (∆A)2 Sp{A} A+ = (A∗ )T A˙ = ∂A ∂t Γ H D dτ A t A H Γ A ,A P A w w˜ ˆ H ˆ WW , W ˆ H ² α U λn D

imagin¨are Einheit Plancksches Wirkungsquantum Boltzmann-Konstante Eulersche Zahl Realteil der Gr¨oße A Imagin¨arteil der Gr¨oße A Kommutator der Gr¨oßen A und B dyadisches Produkt ODER Deltadistribution, Kronecker-Delta Menge der reellen Zahlen Erwartungswert der Gr¨oße A Varianz der Gr¨oße A Spur der Matrix A hermitesch Konjugierte der Gr¨oße A Zeitableitung der Gr¨oße A klassischer Phasenraum Hilbertraum Raum der reduzierten Dichtematrix infinitesimales Volumenelement Mittelwert der Gr¨oße A Zeitmittel der Gr¨oße A Hilbertraum- bzw. Phasenraummittel der Gr¨oße A Pfadmittel der Gr¨oße A entlang des Pfades P Hilbertraum- bzw. Phasenraumdichte; Wahrscheinlichkeit grobmaschige Hilbertraum- bzw. Phasenraumdichte Hamiltonoperator Wechselwirkungsoperator Maß f¨ ur die St¨arke der Wechselwirkung Faktor zur Beeinflussung der Wechselwirkungsst¨arke Matrix der Eigenvektoren; Potenzial; Energie Eigenwerte Diagonalmatrix der Eigenwerte v

vi |Ψi, |Φi, |ψi |ni, |iji an , b n , c n , ψ n ρˆ ρˆg Bc λ, β 1 C p p(E) pd (E) n N P S T i, j, k, l, m, n, p, r, s t x M V A E Q W F L f η a, Xj ξj b ω A, B, D

Symbolverzeichnis Zustandsvektor Basisvektor; Basisvektor im Produktraum Komponenten des Zustandsvektors Dichtematrix reduzierte Dichtematrix des ’Gases’ Bandbreite (im Container) Entwicklungsparameter Entwicklungskoeffizient erster Ordnung Wahrscheinlichkeit Energieverteilung dominante Energieverteilung Entartungsgrad; Zustandsdichte; Dimension Entartungsgrad; Systemgr¨oße; Normierungsfaktor Purity; Druck Entropie Zeit; Zeitentwicklungsoperator; Temperatur Quantenzahlen Zeit Ortskoordinate Masse; Zustandsmaß Volumen Fl¨ache Energie W¨armemenge Arbeit Kraft; unendliche Stufenfunktion Ausdehnung Federkonstante; Anzahl der Freiheitsgrade Wirkungsgrad verallgemeinerte Arbeitsvariable, verallgemeinertes Volumen verallgemeinerte intensive Variable verallgemeinerter Druck Kreisfrequenz Koeffizienten

Kapitel 1 Einleitung In ihrem fortw¨ahrenden Bestreben, die Welt und die ’Wirklichkeit’ um sich herum immer genauer zu beschreiben, entwickelten Naturforscher und Physiker vom Ende des 17.Jahrhunderts [1] an eine ph¨anomenologische Theorie, die Thermodynamik, die es erlaubte, Gasausdehnungen, W¨armefl¨ usse, Dr¨ ucke, Temperaturen, mechanische Arbeiten usw. zu berechnen und vorherzusagen. Als wichtiges Jahr in dieser Entwicklung sei 1775 genannt, in dem die Pariser Akademie beschloss, keine Vorschl¨age f¨ ur ein Perpetuum mobile mehr zu pr¨ ufen (Zu dieser Zeit war noch keine Unterscheidung in Perpetuum mobile erster und zweiter Art bekannt - die Pariser Akademie wollte allgemein Vorschl¨age f¨ ur Maschinen mit immerw¨ahrender Bewegung nicht mehr annehmen.). Die Thermodynamik hat sich u ¨ber die Jahrzehnte bew¨ahrt und liefert in ihrer modernen Form die Berechnungen f¨ ur Verbrennungsmotoren, Klimamodelle, Sternevolution, magnetische Eigenschaften fester K¨orper und vieles vieles mehr. Eine wesentliche Gr¨oße der Thermodynamik ist die Entropie und damit verbunden der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik (beides eingef¨ uhrt Mitte des 19.Jahrhunderts von Clausius), der postuliert, dass thermodynamische Systeme unter bestimmten Bedingungen irreversibel in ein nahezu station¨ares Gleichgewicht streben. Dieses in der Natur beobachtete irreversible Verhalten durch die reversiblen, d.h. zeitumkehrinvarianten, mikroskopischen mechanischen Grundgleichungen, die man bis Anfang des 20.Jahrhunderts f¨ ur die wesentlichen Grundgleichungen hielt, abzuleiten, war lange Zeit ein viel diskutiertes Thema unter den Physikern des sp¨aten 19. und des fr¨ uhen 20.Jahrhunderts und ist es teilweise auch heute noch. Die Fundamentalit¨at dieser Frage lockte und lockt auch noch heute so manchen Nichtphysiker in das Gebiet [2] [3] [4]. Gibbs entwarf in seinem Buch [5] ¨ 1902 schließlich ein von den Allermeisten akzeptiertes Bild, das den Ubergang von den reversiblen mikroskopischen Gleichungen der Mechanik zu den irreversiblen makroskopischen Gleichungen der Thermodynamik vollzieht, dabei aber nicht ganz ohne Zusatzannahmen auskommt. Das Jahr 1900 kann wegen des Vortrags Plancks’ u ¨ber die Quantisierung der Hohlraumstrahlung als das Geburtsjahr einer anderen, fundamentaleren Theo1

2

Kapitel 1. Einleitung

rie angesehen werden, der Quantentheorie. Die Quantentheorie konnte mit ihrem Teilgebiet, der Quantenstatistik [6], einige “Wolken auf der Theorie der W¨arme” (= statistische Mechanik)(Kelvin) beseitigen, schaffte es aber auf Grund der immer noch reversiblen Grundgleichungen, der Schr¨odinger- und der von-NeumannGleichung, auch nicht, die Ableitung irreversibler, makroskopischer Gleichungen aus den Grundgleichungen konsistenter zu vollziehen, die oben erw¨ahnten Zusatzannahmen in der Herleitung des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik bildeten noch ’W¨olkchen’. Einen Schritt in Richtung der Beseitigung dieser ’W¨olkchen’ [7] wurde in j¨ ungerer Zeit an der Universit¨at Stuttgart gemacht. Kapitel 3 dieser Arbeit besch¨aftigt sich mit diesem Versuch, die Thermodynamik auf ein noch fundamentaleres Ger¨ ust zu stellen. Der zentrale Begriff dabei ist die thermodynamische Einbettung eines Systems in ein gr¨oßeres Umgebungssystem. Um eine andere Form der Einbettung, n¨amlich die (quanten)mechanische, geht es in Kapitel 4. Hierbei wird an Hand der Gr¨oße Druck die thermodynamische Beschreibung eines einzelnen isolierten Systems mit der rein quantenmechanischen Beschreibung des eingebetteten Systems unabh¨angig von Begriffen wie Temperatur oder Entropie verkn¨ upft. Ziel sollte es dabei sein, jetzt, da die Quantenmechanik u ¨berall etabliert ist und nun auch genaue Messungen und Pr¨aparationen auf Skalen durchgef¨ uhrt werden k¨onnen, auf denen Quantenverhalten auftritt, die Thermodynamik in ihrer Gesamtheit durch die Quantenmechanik zu beschreiben. Dies sollte allerdings m¨oglichst in einem ’bottom up’ denn in einem ’top down approach’ erfolgen, d.h. die bekannten Relationen und Gr¨oßen der Thermodynamik sollten abgeleitet und nicht durch Analogieschl¨ usse o.¨a. vorausgesetzt werden, wie dies in einigen Ver¨offentlichungen geschieht (s. Kapitel 5). Kapitel 5 verbindet in gewisser Weise die beiden oben erw¨ahnten Einbettungen, indem versucht wird, klassische thermodynamische Kreisprozesse als Paradebeispiele der Thermodynamik in die Quantenmechanik zu u ¨bersetzen. Motivation daf¨ ur ist auch die immer weiter fortschreitende Experimentierkunst, die inzwischen auf einem Niveau angelangt ist, das so manchen Physiker und Nichtphysiker von wesentlichen technischen Neuerungen z.B. im Bereich der Nanotechnologie oder des Quantencomputings tr¨aumen l¨asst. Kapitel 6 schließlich besch¨aftigt sich wieder mit einem fundamentaleren Thema, das eine sehr lange Tradition besitzt, dem Maxwellschen D¨amon und der damit verbundenen Verletzung des Zweiten Hauptsatzes. Betrachtet wird dort eine spezielle Form des D¨amons in der Quantenmechanik. Kapitel 2 f¨ uhrt kurz in einige in dieser Arbeit ¨ofters verwendete Begriffe und Konzepte ein, speziellere Einf¨ uhrungen sowie mathematische Hilfsmittel werden aber auch in den jeweiligen Kapiteln gegeben. In Kapitel 7 wird der Inhalt dieser Arbeit zusammengefasst und ein kurzer Ausblick in weitere mit dieser Arbeit verbundene Problematiken gegeben.

Kapitel 2 Grundlagen Die dieser Diplomarbeit zu Grunde liegenden mathematischen und physikalischen Methoden spielen sich auf einem relativ einfachen Niveau ab. Im Folgenden sollen nur die h¨aufiger in dieser Arbeit verwendeten Begriffe und Methoden erkl¨art werden, so die zeitabh¨angige und -unabh¨angige Schr¨odingergleichung [8], der Dichteoperator oder Dichtematrix [9], sowie die Beschreibung zusammengesetzter Systeme in der Quantenmechanik [10][9]. Unterkapitel 2.4 u ¨ber die Gibbssche Fundaur die Kapitel 3, 4 und 5 mentalform [11] soll als thermodynamische Grundlage f¨ dienen.

2.1

Die Schr¨ odingergleichung

Die in dieser Arbeit verwendete grundlegende Gleichung der Quantenmechanik ist die 1926 von Schr¨ odinger formulierte Schr¨odingergleichung i~

∂ ˆ |Ψ(t)i = H(t)|Ψ(t)i ∂t

(2.1)

ˆ wobei |Ψ(t)i der quantenmechanische Zustand abh¨angig von der Zeit ist und H(t) der Hamiltonoperator oder Hamiltonian des betrachteten Systems.

2.1.1

Diskrete Basis

Zur L¨osung der Schr¨odingergleichung wird eine vollst¨andige, orthonormale Basis |ni gew¨ahlt, nach der sich der Zustand |Ψ(t)i entwickeln l¨asst: |Ψ(t)i =

N −1 X n=0

cn (t)|ni mit cn (t) = hn|Ψ(t)i.

(2.2)

Die Basiszust¨ande |ni spannen den N-dimensionalen Hilbertraum H auf, durch den sich der Zustand |Ψ(t)i bewegt. |Ψ(t)i kann also als Vektor in H aufgefasst 3

4

Kapitel 2. Grundlagen

ˆ ist dann in dieser Darstellung eine Matrix mit den werden. Der Hamiltonian H Elementen ˆ Hnm = hn|H|mi. (2.3)

Im folgenden Teil dieses Unterkapitels werden nur noch zeitunabh¨angige Hamiltonoperatoren betrachtet. ˆ hermitesch ist (H ˆ = H ˆ + = (H ˆ ∗ )T : Das hermitesch Konjugierte (die Da H ˆ ist gleich H), ˆ sind alle EigenTransponierte des komplex Konjugierten) von H ˆ werte von H reell und der Hamiltonian l¨asst sich als ein Produkt dreier Matrices schreiben: ˆ = U DU + . H (2.4) ˆ als Eintr¨agen Dabei ist D eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten λn von H + −1 und U eine unit¨are Matrix (U = U ), die in den Spalten die Eigenvektoren von ˆ in der zu D passenden Reihenfolge enth¨alt. Die Schr¨odingergleichung (2.1) H ∂ i ˆ |Ψ(t)i = − H|Ψ(t)i ∂t ~

(2.5)

kann somit umgeschrieben werden in i ∂ |Ψ(t)i = − U DU + |Ψ(t)i ∂t ~

U+

⇒

∂ i |Ψ(t)i = − DU + |Ψ(t)i. ∂t ~

(2.6)

Die Definition f¨ uhrt zu

|Φ(t)i ≡ U + |Ψ(t)i i ∂ |Φ(t)i = − D|Φ(t)i ∂t ~

⇔

∂ i Φn (t) = − λn Φn (t), ∂t ~

(2.7)

(2.8)

wobei die Φn (t) die Koeffizienten der Entwicklung des Vektors |Φ(t)i nach der Basis |ni sind: Φn (t) = hn|Φ(t)i. Gleichung (2.8) kann somit durch i

Φn (t) = e− ~ λn t Φn (t = 0)

(2.9)

gel¨ost werden. F¨ ur Real- bzw. Imagin¨arteil ergibt sich jeweils ¶ µ ¶ µ λn λn Re(Φn (t)) = Re(Φn (0)) cos − t − Im(Φn (0)) sin − t , ~ ~ µ ¶ µ ¶ λn λn Im(Φn (t)) = Im(Φn (0)) cos − t + Re(Φn (0)) sin − t . (2.10) ~ ~ Der Anfangszustand in der transformierten Darstellung |Φ(t = 0)i wird ebenso wie der Zustand in der urspr¨ unglichen Darstellung zur Zeit t, |Ψ(t)i, mit Hilfe von Gleichung (2.7) gewonnen: |Φ(0)i = U + |Ψ(0)i,

|Ψ(t)i = U |Φ(t)i.

(2.11)

2.1. Die Schr¨odingergleichung

5

Das Betragsquadrat der Eintr¨age im Zustandsvektor |Ψ(t)i ist nach den Axiomen der Quantenmechanik die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, bei einer Messung zum Zeitpunkt t das System in dem zu diesem Eintrag geh¨orenden Basiszustand |ni anzutreffen: (2.2) (2.12) p(|ni, t) = |Ψn (t)|2 ≡ |hn|Ψ(t)i|2 ≡ |cn (t)|2 .

2.1.2

Ortsdarstellung

Interessiert die Wellenfunktion |Ψ(t)i in Abh¨angigkeit des Ortes x, so kann eine kontinuierliche Basis |xi verwendet werden, bez¨ uglich der |Ψ(t)i entwickelt wird: Ψ(x, t) = hx|Ψ(t)i .

(2.13)

Der Hamiltonoperator f¨ ur ein Teilchen der Masse M in einem ortsabh¨angigen Potential V (x) ist ~2 ∂ 2 ˆ + V (x) , (2.14) H(x) =− 2M ∂x2 womit sich f¨ ur die Schr¨odingergleichung (2.1) in Ortsdarstellung ¸ · ∂ ~2 ∂ 2 i~ Ψ(x, t) = − + V (x) Ψ(x, t) (2.15) ∂t 2M ∂x2 ergibt. Hier kann nun der zeitabh¨angige Anteil durch den Ansatz mit der Energie i uhrt zur station¨ aren Schr¨ odingerE, Ψ(x, t) = e− ~ Et Ψ(x), gel¨ost werden und f¨ gleichung ¸ · 2 2 ~ ∂ ˆ + V (x) Ψ(x) . (2.16) EΨ(x) = HΨ(x) = − 2M ∂x2

2.1.3

Erhaltung der Energieverteilung

Die Wahrscheinlichkeit, in einem abgeschlossenen, durch den Zustandsvektor |Ψ(t)i beschriebenen System die Energie E anzutreffen, wird durch die Schr¨odingergleichung, die ja die gesamte Dynamik des Systems beschreibt, erhalten. Dies kann folgendermaßen gezeigt werden: F¨ ur einen beliebigen Operator Aˆ und ˆ ˆ H(t) ≡ H = const. gilt h i ˆ ˆ ˆ = const. A, H = 0 ⇒ hAi (2.17)

ˆ ist dabei der Erwartungswert bei einer Messung der zum Operator Aˆ geh¨ohAi renden Observablen A. Werden f¨ ur Aˆ die Projektionsoperatoren Aˆ = |nihn| auf die Energie-Eigenzust¨ande eingesetzt, und der Hamiltonoperator in der Energieˆ ist dann diagonal - , so ergibt sich f¨ Eigendarstellung geschrieben - H ur Gleichung (2.17) h i ˆ |nihn|, H = 0 ⇒ h|nihn|i ≡ hΨ|nihn|Ψi = |cn |2 = const. , (2.18)

6

Kapitel 2. Grundlagen

d.h. die Betragsquadrate aller Eintr¨age eines beliebigen Zustandsvektors |Ψi in der Energie-Eigendarstellung und somit die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur das Auftreten aller Energien En , bleiben konstant.

2.2

Dichteoperator, von-Neumann-Gleichung

Wenn der Zustand eines abgeschlossenen Systems nicht genau bekannt ist, sondern nur die Wahrscheinlichkeiten pn , in welchem der unabh¨angig pr¨aparierten Zust¨ande |Ψ(n) i es vorliegt (die |Ψ(n) i m¨ ussen nicht notwendigerweise orthogonal zueinander sein), so erfolgt die Beschreibung des Systems durch den Dichteoperator ρˆ: N −1 X ρˆ = pn |Ψ(n) ihΨ(n) | . (2.19) n=0

F¨ ur den Dichteoperator lassen sich einige Eigenschaften angeben: 1. ρˆ ist hermitesch: ρˆ = ρˆ+ .

2. Die Diagonalelemente von ρˆ geben die Wahrscheinlichkeiten an, das System in den Basiszust¨anden |ji zu finden: X (n) ρjj = pn |cj |2 , (2.20) n

(n)

mit cj

= hj|Ψ(n) i. Daraus folgen weitere Eigenschaften:

• ρjj ≤ 1

• Sp{ˆ ρ} =

P

j

ρjj = 1 .

3. Der Erwartungswert eines Operators Aˆ ist ˆ = Sp{ˆ ˆ . hAi ρA}

(2.21)

Der Dichteoperator eines reinen Zustands |Ψi ist ρˆ = |ΨihΨ| mit den Matrixelementen ρij = hi|ΨihΨ|ji = Ψi Ψ∗j .

(2.22)

Als Test, ob einem Dichteoperator ein reiner oder gemischter Zustand zu Grunde liegt, dient folgende Eigenschaft: ½ = 1 f¨ ur reine Zust¨ande 2 (2.23) Sp{ˆ ρ} < 1 f¨ ur gemischte Zust¨ande. Die Dynamik des Dichteoperators wird durch die von-Neumann- oder LiouvilleGleichung beschrieben: i h ∂ ˆ ρˆ(t) . (2.24) i~ ρˆ(t) = H, ∂t

2.3. Zusammengesetzte Systeme

2.3

7

Zusammengesetzte Systeme

Zwei quantenmechanische Systeme der Dimensionen n1 bzw. n2 , die, w¨aren sie jeweils abgeschlossen, durch die beiden Zustandsvektoren |ψ 1 i und |ψ 2 i beschrieben w¨ urden, lassen P sich durch einen Gesamtzustandsvektor in Produktform 1 2 |Ψ(t)i = |ψ i ⊗ |ψ i = i,j hi|ψ 1 ihj|ψ 2 i · |iji beschreiben, der sich im (n1 n2 )dimensionalen Gesamt-Hilbertraum (Produkt-Hilbertraum) H = H 1 ⊗ H2

(2.25)

bewegt. Dabei ist der erste Platz in |iji, das i, die Quantenzahl des Subsystems Eins, der zweite (j) ist die Quantenzahl des Subsystems Zwei. Dem reinen Zustand |Ψ(t)i kann eine Dichtematrix wie in Gleichung (2.22) zugeordnet werden. Wenn die beiden Subsysteme in irgendeiner Form wechselwirken, so ist es zu einem sp¨ateren Zeitpunkt im Allgemeinen nicht m¨oglich, sie jeweils durch einen reinen Zustandsvektor |ψ 1 i oder |ψ 2 i zu beschreiben (Theorem von i.Allg.

d’Espagnat [12], |Ψi 6= |ψ 1 i ⊗ |ψ 2 i). Aussagen u ¨ber die Subsysteme k¨onnen dann u ¨ber die reduzierten Dichtematrices ρˆ(1) und ρˆ(2) gemacht werden. Diese erh¨alt man durch ’Ausspuren’ des jeweils anderen Subsystems, z.B. f¨ ur das Subsystem Eins durch nX 2 −1 (1) him|ˆ ρ|jmi . (2.26) ρij = m=0

Hierbei l¨asst sich nun ein grundlegender Unterschied zwischen offenen und abgeschlossenen Quantensystemen feststellen: W¨ahrend ein abgeschlossenes System ˆ immer durch einen Zustandsvektor mit zeitunabh¨angigem Hamiltonoperator H |Ψi oder einen Dichteoperator ρˆ vollst¨andig beschrieben ist und dessen Evolution in der Zeit durch eine unit¨are Transformation |Ψ(t)i = Tˆ(t)|Ψ(0)i bzw. ρˆ(t) = Tˆ(t)ˆ ρ(0)Tˆ+ (t)

(2.27)

ˆ gegeben ist (solange keimit dem Zeitentwicklungsopertor Tˆ(t) = exp(− ~i Ht) ne Projektion oder Messung stattfindet), ist dies bei einem offenen System nicht m¨oglich. Das Gesamtsystem, in das das zu beobachtende System Eins eingebettet ist, l¨asst sich zwar immer durch einen Gesamtzustandsvektor |Ψ(t)i (den ’Weltvektor’) und dessen unit¨are Dynamik beschreiben, wird aber die Umgebung (Subsystem Zwei) nicht beobachtet, so k¨onnen Aussagen u ¨ber das beobachtete System nur mit Hilfe der reduzierten Dichtematrix aus Gleichung (2.26) gemacht werden. F¨ ur diese aber gibt es keine unit¨are Transformation, die die Zeitentwicklung beschreibt, die Dynamik der reduzierten Dichtematrix kann, hervorgerufen durch das ’Ausspuren’, sogar quasiirreversibel werden. In eine Umgebung eingebettete Systeme werden deshalb oft als offene Systeme mit Hilfe der Mastergleichung beschrieben.

8

Kapitel 2. Grundlagen

Die in dieser Diplomarbeit vertretene Auffassung eines einzigen ’Weltvektors’, der objektiv das gesamte Universum beschreibt, ist nicht die einzig m¨ogliche Interpretation der Quantenmechanik. Eine abweichende Interpretation des Zustandsvektors |Ψi, die Ensemble-Interpretation, wird z.B. in [13] in Abschnitt 9.3 vorgestellt. Auch subjektive Interpretationen, die davon ausgehen, dass |Ψi nur das subjektive ’Wissen’ eines Beobachters repr¨asentieren, existieren [14].

2.3.1

Verschr¨ ankung

Systeme, die miteinander wechselwirken, verschr¨anken miteinander, d.h. sie verlieren an lokaler Information zu Gunsten der globalen Information, also Information u ¨ber den Gesamtzustand [15]. Das Paradebeispiel eines maximal verschr¨ankten Zustands im Spin-Paar-Raum ist ein EPR-Zustand: 1 |ΨEP R i = √ (|00i + |11i) . 2

(2.28)

Dieser Zustand enth¨alt keinerlei lokale Information u ¨ber die beiden Subsysteme (d.h., die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Eigenzustand einer beliebigen lokalen Messgr¨oße an einem Spin zu messen, ist immer gleich 0,5), sondern nur noch die Kollektivinformation ’beide Subsysteme sind im gleichen Zustand’ und ’die Wahrscheinlichkeit, dass sie im Zustand |0i sind, ist 0, 5’.

2.3.2

Verschr¨ ankungsmaße

Verschr¨ankung zwischen Subsystemen f¨ uhrt dazu, dass u ¨ber die Zust¨ande der einzelnen Subsysteme nur noch Wahrscheinlichkeitsaussagen getroffen werden k¨onnen, sie also nur noch in der Form einer Dichtematrix dargestellt werden k¨onnen. Um den Grad der Verschr¨ankung eines Systems mit seiner Umgebung zu bestimmen, gibt es verschiedene Maße. Die zwei in dieser Arbeit verwendeten Maße sind die Purity und die von-Neumann Entropie. Purity P Die Purity P misst die Reinheit eines Systems. Sie ist definiert als P (ˆ ρ) = Sp{ˆ ρ2 } .

(2.29)

P (ˆ ρ) bewegt sich zwischen Eins f¨ ur reine Zust¨ande und N1 f¨ ur einen maximal gemischten Zustand der Dimension N . Da die Spur-Operation invariant unter unit¨aren Transformationen ist, kann die Purity auch u ¨ber die Eigenwerte λi der Matrix ρˆ berechnet werden: P (ˆ ρ) =

N −1 X i=0

λ2i .

(2.30)

2.4. Die Gibbssche Fundamentalform und ihre statistische Deutung

9

von-Neumann Entropie S Die von-Neumann Entropie S(ˆ ρ) = −kB Sp{ˆ ρ ln ρˆ}

(2.31)

stellt ebenfalls ein Maß f¨ ur die Reinheit eines Systems dar (kB ist die BoltzmannKonstante). Allerdings verh¨alt sich die Entropie gerade andersherum als die Purity: Handelt es sich um einen reinen Zustand, so gilt S = 0, ein maximal gemischter Zustand hat S = kB ln N . Wiederum kann auf Grund der Invarianz der SpurOperation unter unit¨aren Transformationen die Entropie u ¨ber die Eigenwerte λi von ρˆ berechnet werden: S(ˆ ρ) = −kB

N −1 X

λi ln λi .

(2.32)

i=0

Der Zusammenhang zwischen den zwei Maßen P und S l¨asst sich f¨ ur fast reine Zust¨ande n¨aherungsweise durch Entwicklung der Entropie zu S(ˆ ρ) ≈ kB (1 − P (ˆ ρ))

(2.33)

berechnen.

2.4

Die Gibbssche Fundamentalform und ihre statistische Deutung

Die Gibbssche Fundamentalform dE = T dS +

X

ξj dXj

(2.34)

j

¨ beschreibt die Anderung der inneren Energie E eines thermodynamischen Sys¨ tems in Abh¨angigkeit der Anderungen der Entropie S und der verallgemeinerten extensiven Arbeitsvariablen Xj . Die Temperatur T und die ξj sind die dazu konjugierten intensiven Variablen. In der statistischen Mechanik werden thermodynamische Variablen als Erwartungswert u ¨ber alle im System realisierbaren Mikrozust¨ande interpretiert, so z.B. die Energie mit Hilfe der Energieverteilung pi : X E ≡ hEi = pi E i . (2.35) i

Die Entropie als Maß f¨ ur die Unkenntnis bei Kenntnis des Makrozustands l¨asst sich auch mit Hilfe der pi definieren: X S = −kB pi ln pi . (2.36) i

10

Kapitel 2. Grundlagen

Im thermischen Gleichgewicht gilt f¨ ur ein System mit kanonischer Kopplung die Energieverteilung nach Boltzmann: exp(− kB1T Ei ) pi = P . 1 j exp(− kB T Ej )

Eingesetzt in die Gleichungen (2.36) und (2.34) ergibt sich damit ( P d( i pi ) = 0) X 1 X dpi ln pi + ξj dXj . dhEi = − kB T i j

(2.37) P

i

dpi = (2.38)

Demzufolge l¨asst sich die Energie eines Systems auf zwei verschiedene Arten ¨andern: ¨ ¨ 1. Durch Anderung der Energieverteilung pi . Uber Gleichung (2.36) ¨andert sich damit auch die Entropie des Systems. F¨ ur große thermodynamische Systeme, bei denen die Boltzmann-Verteilung der pi erhalten bleibt, ent¨ spricht dies einer Anderung der Temperatur, also einer Zu- bzw. Abfuhr von W¨arme. In Kapitel 3 wird diese Art der Energiebeeinflussung untersucht. ¨ 2. Durch Anderung der extensiven a¨ußeren Parameter Xj . Dadurch wird die Lage der Energieniveaus Ei und somit das Spektrum des Systems ge¨andert. Dies entspricht der Verrichtung von Arbeit am oder vom System. Bleiben die pi bei diesem Prozess konstant, so handelt es sich um eine adiabatische (dS = 0) Zustands¨anderung. Kapitel 4 gibt ein Beispiel einer solchen ¨ Anderung in einem kleinen Quantensystem. Durch Kombination der beiden oben genannten Prozesse lassen sich thermodynamische Maschinen beschreiben, was in Kapitel 5 f¨ ur Quantensysteme gezeigt wird.

Kapitel 3 Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begru ¨ ndung des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik 3.1

Einleitung

Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik, der auf viele verschiedene Arten formuliert werden kann, ist eine der fundamentalsten Aussagen u ¨ber Prozesse in der Natur. Es handelt sich dabei um eine ’Makroaussage’, d.h. eine Aussage u ¨ber das Verhalten makroskopischer Systeme, n¨amlich die, dass eine gewisse Gr¨oße, die Entropie S eines abgeschlossenen thermodynamischen Systems nur wachsen oder konstant bleiben kann: ∆S ≥ 0. Diese Makroaussage aus mikroskopischen Relationen abzuleiten, war lange Zeit Gegenstand intensiver physikalischer Forschung und Diskussion und ist bis zum heutigen Tage nach Meinung vieler immer noch nicht ausreichend konsistent und allgemein gelungen. Der ’¨ ubliche’ Zugang zu dieser Problematik wird in Unterkapitel 3.2 beschrieben, wobei besonderes Augenmerk auf die mit den klassischen Zug¨angen verbundenen Probleme gerichtet wird. Eine neue und konsistentere Theorie zur Ableitung des Zweiten Hauptsatzes aus den mikroskopischen Gleichungen der Quantenmechanik wird in Unterkapitel 3.3 beschrieben. Die Grundlage dieses neuen Zugangs bildet die thermodynamische Einbettung des untersuchten Systems in ein gr¨oßeres System. Durch diese Einbettung wird es mit Hilfe der Quantenmechanik m¨oglich, jedem einzelnen lokalen Zustand eine Entropie zuzuordnen, was im Klassischen nicht ohne Weiteres gelingt. Das Spektrum der hier behandelten Systeme bleibt w¨ahrend der zeitlichen Entwicklung konstant, weswegen dieses Kapitel unter der ersten der in Unterkapitel 2.4 genannten M¨oglichkeiten der Energie¨anderung in thermodynamischen 11

12 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begr¨undung des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik Systemen einzuordnen ist. In Unterkapitel 3.4 schließlich wird der vom Autor geleistete Teil pr¨asentiert - numerische Simulationen an bestimmten Modellsystemen, die die Aussagen des Unterkapitels 3.3 best¨atigen.

3.2

¨ Ublicher Zugang zum Zweiten Hauptsatz

Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik, also die Aussage, dass thermodynamische Systeme irreversibel in ein zeitlich station¨ares Gleichgewicht laufen, ist ein sch¨ones Beispiel f¨ ur verschiedene Betrachtungsebenen in der Physik. Stellt man sich auf eine ’makroskopische’ Betrachtungsebene und k¨ ummert sich nicht um die mikroskopischen Beweggr¨ unde und Relationen der beobachteten Materie, so erscheint es v¨ollig klar, dass Prozesse wie z.B. das unter Abk¨ uhlen der Umgebung ablaufende Wiederzusammensetzen einer Tasse, nachdem diese vom Tisch gefallen ist, extrem unwahrscheinlich sind. Stellt man sich aber andererseits auf den Standpunkt, dass die zeitumkehrinvarianten, d.h. reversiblen mikroskopischen Grundgleichungen, die Hamiltonschen Gleichungen bzw. die Schr¨odingergleichung, das Verhalten physikalischer Systeme komplett beschreiben, so muss einiges an Aufwand betrieben werden, um aus dieser mikroskopischen reversiblen Beschreibung irreversible Makrogleichungen zu erhalten, die auch noch die thermodynamisch relevante Gr¨oße Entropie beinhalten. Dieser Aufwand kann teilweise vermieden werden, indem die Eigenschaften der Entropie postuliert werden (Boltzmann-Postulat), was aber von einem deduktiven Standpunkt aus sicherlich unbefriedigend ist. Ziel sollte eine Ableitung des Zweiten Hauptsatzes sein, die sich ¨ahnlich dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik, der Energieerhaltung, ohne Zusatzannahmen aus den mikroskopischen Gleichungen ergibt. Einer der m¨oglichen Wege, sicherlich der etablierteste (der allerdings nicht ohne Zusatzannahmen auskommt), der Zugang u ¨ber die Gibbssche Ensembletheorie, soll im Folgenden kurz dargestellt werden.

3.2.1

Die Gibbssche Ensembletheorie

Ein System in der klassischen Mechanik wird durch einen sich im 2f dimensionalen Phasenraum Γ bewegenden Punkt beschrieben, wobei f die Anzahl der Freiheitsgrade ist und der Phasenraum aufgespannt wird durch die kanonisch konjugierten Variablen {q1 , ..., qf ; p1 , ..., pf }. Ein quantenmechanisches System hingegen wird durch einen Zustandsvektor |Ψ(t)i beschrieben, der sich durch den N -dimensionalen Hilbertraum H bewegt. In beiden F¨allen wird die Bewegung des Zustands im entsprechenden Raum vollkommen durch die jeweiligen mikroskopischen Grundgleichungen determiniert und formt eine Trajektorie, die sich auf einer durch den Anfangszustand vorgegebenen ’Energieschale’ bewegt. In der folgenden Beschreibung werden der klassische und der quantenmechani-

¨ 3.2. Ublicher Zugang zum Zweiten Hauptsatz

13

sche Fall analog behandelt, was zwar im Detail ohne genauere Betrachtung nicht ganz korrekt ist, f¨ ur den Blick auf die in beiden Systemen existierenden gleichen deduktiven Probleme aber ausreicht. Die Gibbssche Ensembletheorie beschreibt des Verhalten eines Systems, dessen Makroobservablen wie Volumen, Temperatur, Druck usw. bekannt sind, durch das gesamte Ensemble von Punkten im jeweiligen Raum Γ bzw. H, die zu diesem Makrozustand geh¨oren. Motiviert wird diese Art der Beschreibung durch die Tatsache, dass der wirkliche Mikrozustand, der ja nur einem einzigen Punkt in Γ bzw. H entspricht, nie genau ermittelt werden kann. Die Entropie des Makrozustands wird definiert als proportional zum Logarithmus der Anzahl Ω der zu diesem Makrozustand passenden Mikrozust¨ande: S ∝ ln Ω. F¨ ur große Systeme kann von einer diskreten Punktdichte im jeweiligen Raum u ¨bergegangen werden zu einer kontinuierlichen Zustandsdichte w, so dass wdτ die Wahrscheinlichkeit angibt, das System im infinitesimalen Raumelement dτ anzutreffen. Das thermodynamische System ist dann mit Kenntnis von w vollkommen beschrieben. Um nun die makroskopischen Messgr¨oßen - die ja Zeitmittel u ¨ber eine Messzeit TM ess sind, wobei TM ess viel gr¨oßer ist als typische Zeiten in der mikroskopischen Dynamik - mit dieser statistischen Gr¨oße w zu verkn¨ upfen, muss eine Annahme bez¨ uglich des Verhaltens der Trajektorien im jeweiligen Raum gemacht werden, die Ergoden- bzw. Quasiergodenhypothese [16]. Diese besagt, dass die Trajektorie des Systems im Laufe ihrer Entwicklung jeden Punkt im zug¨anglichen Bereich des Phasen- bzw. Hilbertraums erreicht, bzw. jedem Punkt beliebig nahe kommt (Quasiergodenhypothese). Daraus l¨asst sich schließen, dass das Zeitmittel einer Gr¨oße auf einer Trajektorie f¨ ur T → ∞ gleich dem Scharmittel der Gr¨oße ist, also t Γ t H A = A bzw. A = A (3.1) wobei die u ¨berstrichenen Gr¨oßen die Mittelwerte im klassischen bzw. quantenmechanischen Fall sind: Z t2 1 t A ≡ lim A [{qi (t), pi (t)} bzw. |Ψ(t)i] dt (t2 −t1 )→∞ t2 − t1 t1 Z 1 Γ bzw. H A ≡ A [{qi , pi } bzw. |Ψi] w [{qi , pi } bzw. |Ψi] dτ . V [Γ bzw. H] Γ bzw. H (3.2) Mit Hilfe des Liouvilleschen Satzes l¨asst sich leicht zeigen, dass w zeitlich = 0. Dies aber widerspricht der Beobachtung. Pr¨apariert man konstant ist: dw dt ein System in einem genau vorgegebenen Mikrozustand, d.h. w(t = 0) ist eine in Γ bzw. H scharf lokalisierte Funktion, und l¨asst man das System sich z.B. unter mikrokanonischen Bedingungen entwickeln, so l¨auft es ganz bestimmt in ein Gleichgewicht, das u ¨ber die Ergodenhypothese durch eine u ¨ber den gesamten Raum gleichm¨aßig verteilte Phasen- bzw. Hilbertraumdichte wmk beschrieben wird. Die Beobachtung ist also im Widerspruch zur Theorie, dem Liouvilleschen

14 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begr¨undung des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik Satz, der eine Erhaltung von w fordert. Um dies wieder in Einklang zu bringen, f¨ uhrt man eine grobmaschige Zelleinteilung (coarse graining) [17] ein und begr¨ undet diese u ¨ber die Unm¨oglichkeit sowohl der genauen Kenntnis als auch der genauen Messbarkeit des Systems. Gew¨ohnlich wird der jeweilige Raum in Zellen eingeteilt, die wesentlich gr¨oßer als h3N sind und ’schmiert’ die Zustandsdichte w innerhalb dieser Zellen aus, um eine grobmaschige Phasen- bzw. Hilbertraumdichte w˜ zu erhalten. F¨ ur diese P l¨asst sich nun eine Mastergleichung formulieren und daf¨ ur eine Gr¨oße H = k w˜k ln w˜k (w˜k ist die Wahrscheinlichkeit, das System in der grobmaschigen Zelle k zu finden), die tats¨achlich das vom Zweiten Hauptsatz ≤ 0 (beachte das Vorzeichen im Vergleich zur Defigeforderte Verhalten zeigt: ∂H ∂t nition der Entropie). Die grobmaschige Zelleinteilung f¨ uhrt also in gewisser Weise k¨ unstlich Irreversibilit¨at ein, indem sie u ¨ber die Mastergleichung den ganzen damit verbundenen Apparat an Methoden und Formalismen f¨ ur thermodynamische Systeme nutzbar macht [18].

3.2.2

Probleme

Zwei Kernpunkte des oben kurz dargestellten Zugangs zur Irreversibilit¨at sind nicht voll befriedigend, um den Zugang eine Ab- oder Herleitung nennen zu k¨onnen: 1. Die Ergodenhypothese bzw. Quasiergodenhypothese und die Verkn¨ upfung zu Messgr¨oßen ist mit einigen mathematischen wie anschaulichen Problemen verbunden [19]. Das gr¨oßte Problem ist sicherlich die Nichtbeweisbarkeit der Hypothesen f¨ ur allgemeine thermodynamische Systeme. Auch wurden thermodynamische Systeme gefunden, f¨ ur die gezeigt werden kann, dass sie eben nicht ergodisch sind. 1932 f¨ uhrte von Neumann eine noch strengere Eigenschaft ein, die statt der Ergodizit¨at f¨ ur thermodynamisches Verhalten gefordert werden muss, das Mischen [20], das auch nicht als allgemeine Systemeigenschaft abgeleitet werden kann. Ein weiteres Problem stellt die Vorstellung dar, ein Messergebnis sei Zeitmittel u ¨ber eine unendlich lange Messzeit. Die Entropie ist im klassischen Zugang eine Eigenschaft des gedanklichen Konstrukts Ensemble und nicht die Eigenschaft eines jeden Zustands zur Zeit t. Erst nachdem der Zustand w¨ahrend der Messzeit TM ess einen gen¨ ugend großen Raum seines zug¨anglichen Bereichs im Phasen- bzw. Hilbertraum ’besucht’ hat, kann man ihm eine Entropie zuordnen. Sch¨oner w¨are hier eine echte Zustandsgr¨oße S({qi , pi } bzw. |Ψi), die jedem Punkt {qi , pi } bzw. |Ψi im entsprechenden Raum einen Wert f¨ ur die Entropie zuweist. Genau dazu ist die Quantenmechanik in der Lage (siehe Unterkapitel 3.3). 2. Die Irreversibilit¨at wird im oben beschriebenen Zugang k¨ unstlich u ¨ber das coarse graining eingef¨ uhrt. Dabei ist die Zellgr¨oße der grobmaschigen Einteilung willk¨ urlich, was f¨ ur eine echte Ableitung unbefriedigend ist.

3.3. Quantenmechanischer Zugang zum Zweiten Hauptsatz

15

Neben dem beschriebenen Zugang zum Zweiten Hauptsatz finden sich in den vielen Lehrb¨ uchern zur statistischen Mechanik noch einige weitere Zug¨ange, die aber entweder nicht die reversiblen Grundgleichungen als Basis und Ausgangspunkt ihrer Analyse w¨ahlen oder, genau wie der oben beschriebene Zugang, nicht ohne ¨ die erw¨ahnten Zusatzannahmen auskommen. Einen guten Uberblick bietet [21]. Der neue, in Unterkapitel 3.3 beschriebene Zugang, ben¨otigt keine dieser zus¨atzlichen Annahmen mehr.

3.3

Quantenmechanischer Zugang zum Zweiten Hauptsatz

Der neue Zugang u ¨ber die Quantenmechanik zum Zweiten Hauptsatz [22][23][24] nutzt Aussagen u ¨ber die Gr¨oße bestimmter Regionen im zug¨anglichen Teil des Hilbertraums H und deren lokale Eigenschaften. Grunds¨atzlich setzt dieser Zugang Systeme voraus, die - und somit auch ihr Hamiltonian - sich in zwei Subsysteme, das beobachtete System, im Folgenden ’Gas’ ’g’ genannt, und die Umgebung, den ’Container’ ’c’, aufspalten lassen: ˆ = (H ˆ g )0 + H ˆ c + (H ˆ W W )0 . H

(3.3)

Eine solche Aufspaltung muss als generisch gelten, da es streng isolierte Systeme nicht gibt. Selbst Systeme im Vakuum wechselwirken immer mit dem elektroˆ W W )0 ist die Wechselwirkung zwischen den beiden Subsysmagnetischen Feld. (H temen ’freies Gas’ und ’fester Container’. Um nun nur die u ¨ber das ’Im-festenVolumen-halten’ hinausgehenden Wechselwirkungen im Zusatzterm zu ber¨ ucksichtigen, werden zwei Terme umdefiniert: ˆ g ≡ (H ˆ g )0 + Vˆ , H

ˆ W W ≡ (H ˆ W W )0 − Vˆ H

(3.4)

ˆ =H ˆg + H ˆc + H ˆ WW ≡ H ˆ (0) + H ˆ WW . H

(3.5)

ˆ W W i ¿ {hH ˆ g i, hH ˆ c i} . hH

(3.6)

und somit Vˆ soll dabei als effektives Potential den mittleren Effekt des ’Containers’ auf das ’Gas’ beschreiben, d.h. Vˆ sorgt f¨ ur das feste Volumen des ’Gases’. Die Restwechˆ W W zwischen den beiden Subsystemen soll nun klein sein in dem selwirkung H Sinne, dass ihr Erwartungswert zu einem beliebigen Zustand klein ist gegen die Erwartungswerte der lokalen Hamiltonians:

Ein einzelnes abgeschlossenes System ist immer durch einen Zustandsvektor beschreibbar, dessen Entropie gleich Null bzw. dessen Purity gleich Eins ist (siehe Abschnitt 2.3.2). Erst durch die Betrachtung der reduzierten Dichtematrix

16 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begr¨undung des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik eines in ein gr¨oßeres System eingebetteten Subsystems kann lokale von-Neumann Entropie ungleich Null entstehen. Zun¨achst wird in [22] f¨ ur die Purity und in [23] f¨ ur ein allgemeines Zustandsmaß M u ¨ber eine spezielle Parametrisierung des Gesamtzustands |Ψi RT t gezeigt, dass das Zeitmittel M = T1 0 M (|Ψ(t)i)dt gleich dem Pfadmittel R |Ψ(T )i P M = L1 |Ψ(0)i M ({Re(Ψn ), Im(Ψn )})|d|Ψi| entlang jeder beliebigen Trajektorie ist. Dabei wird ausgenutzt, dass die effektive Geschwindigkeit des Zustands auf jeder Trajektorie konstant ist: ´ X³ 1 2 2 2 ˙ ˙ ˆ 2 |Ψ(0)i = const. . vef f = (Re(Ψn )) + (Im(Ψn )) = 2 hΨ(0)|H (3.7) ~ n Im Folgenden wird nun zwischen mikrokanonischer und kanonischer Kopplung zwischen den beiden Subsystemen unterschieden.

3.3.1

Mikrokanonische Kopplung

Die mikrokanonische Kopplung ist definiert durch die jeweilige Energieerhaltung in beiden Subsystemen, d.h. die Erwartungswerte der beiden Teil-Hamiltonians ˆ g i = const., hH ˆ c i = const. Mit Gleichung (2.17) folgt m¨ ussen konstant sein: hH daraus h i h i ˆ g, H ˆ =! 0 , ˆ c, H ˆ =! 0 H H (3.8)

ˆ (0) ≡ H ˆg + H ˆ c eine Diagonalmatrix ist, kann f¨ ˆ in Gleichung (3.8) und da H ur H W W ˆ auch H eingesetzt werden. Es bleibt also bei dieser Kopplung nicht nur die Energieverteilung des Gesamtsystems ptot (E tot ) erhalten, sondern jeweils auch die Energieverteilungen der beiden Subsysteme pg (E g ) und pc (E c ). Die minimale, mit diesen Randbedingungen vereinbare Purity des Subsystems ’Gas’ ist g = Pmin

X (pg (E g ))2 Eg

N g (E g )

,

(3.9)

wobei die N g (E g ) die Entartungsgrade im ’Gas’ zur Energie E g sind. Im mikrokanonischen Fall kann nun das Mittel der Purity des Subsystems ’Gas’ u ¨ber den zug¨anglichen, durch die Bedingungen (3.8) eingeschr¨ankten Bereich direkt berechnet werden [22] und ergibt f¨ ur große Entartungsgrade N c im ’Container’ X (pg (E g ))2 X (pc (E c ))2 H Pg ≈ + . (3.10) g (E g ) c (E c ) N N g c E E Ist N c (E c ) À N g (E g ) und/oder die Energieverteilung pc (E c ) im ’Container’ wesentlich breiter als die im ’Gas’, so ist der zweite Term in Gleichung (3.10) vernachl¨assigbar gegen¨ uber dem ersten, der genau der minimalen Purity des ’Gases’

3.3. Quantenmechanischer Zugang zum Zweiten Hauptsatz

17

(Gleichung (3.9)) entspricht. Das Hilbertraummittel der Purity des ’Gases’ P g im zug¨anglichen Bereich weicht also f¨ ur die oben genannten Bedingungen nur sehr gering vom minimalen Wert der Purity ab, d.h. fast alle von der Trajektorie erreichbaren Zust¨ande haben minimale Purity und nur wenige kleine Regionen im zug¨anglichen Bereich von H eine h¨ohere Purity bis hin zu P g = 1. Wandert nun die Trajektorie des Systems mit konstanter Geschwindigkeit (Gleichung (3.7)) durch den zug¨anglichen Bereich des Hilbertraums, so ist es sehr wahrscheinlich, g dass sowohl das Zeitmittel als auch der momentane Wert der Purity gleich P min sind. Eine ¨ahnliche Betrachtung kann f¨ ur die lokale von-Neumann Entropie des g ’Gases’ S (Abschnitt 2.3.2) angestellt werden und f¨ uhrt zu dem Ergebnis, dass g g f¨ ur die selben oben genannten Bedingungen S ≈ Smax f¨ ur fast alle Punkte des zug¨anglichen Bereichs gilt. g S g = Smax ist die Aussage der klassischen Thermodynamik u ¨ber das thermodynamische Gleichgewicht und somit k¨onnen die in der obigen Herleitung verwendeten Bedingungen als eine m¨ogliche Definition eines thermodynamischen Systems aufgefasst werden, in dem Sinne, dass es einem solchen System m¨oglich ist, in einen Gleichgewichtszustand zu laufen, der durch die klassische Thermodynamik vorhergesagt wird: 1. Ein thermodynamisches System muss aufspaltbar sein in das eigentlich zu beobachtende System ’Gas’ und die Umgebung ’Container’. Die Wechselwirkung zwischen diesen beiden Subsystemen darf nur klein sein im Vergleich zu den in den Subsystemen auftretenden Energien (Gleichung (3.6)). 2. Das Umgebungssubsystem muss groß sein gegen¨ uber dem beobachteten System in dem Sinne, dass entweder die Entartungsgrade des ’Containers’ wesentlich gr¨oßer sind als die des ’Gases’ oder die Energieverteilung im ’Container’ wesentlich breiter ist als im ’Gas’. Einer der Unterschiede zwischen den beiden in den Unterkapiteln 3.2 und 3.3 dargestellten Zug¨angen und gleichzeitig einer der wesentlichen Vorteile des neuen Zugangs gegen¨ uber dem alten soll in Abbildung 3.1 dargestellt werden. Abbildung 3.1(a) zeigt die durch die Schr¨odingergleichung determinierte Bewegung des Zustandsvektors |Ψi im zug¨anglichen Bereich des Hilbertraums H 0 . Die Trajektorie soll dabei die (Quasi-)Ergodenhypothese verdeutlichen: F¨ ur den ’¨ ublichen Zugang’ aus Unterkapitel 3.2 ist eine Aussage u ¨ber alle Punkte in H0 n¨otig, n¨amlich die, dass |Ψi im Laufe seiner Entwicklung jedem Punkt beliebig nahe kommt. Abbildung 3.1(b) hingegen zeigt die wesentlich schw¨achere Forderung f¨ ur thermodynamisches Verhalten f¨ ur den neuen, in diesem Unterkapitel dargestellten Zugang: Der ganz u ¨berwiegende Teil des zug¨anglichen Bereichs des Hilbertraums besitzt die lokale Eigenschaft fast minimaler Purity im Subsystem ’Gas’. Pr¨apariert man nun das System in einem kleinen Bereich in H 0 , in dem P g ≈ 1 gilt, so ist nur zu fordern, dass |Ψi diesen Bereich verl¨asst. Es ist keinerlei Aussage u ¨ber die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Zustands im Rest von H 0

18 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begr¨undung des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik |Ψ(t)i

ρˆg (t)

P g ≈1

|Ψ(t)i

PSfrag replacements

ρˆg,d

PSfrag replacements PSfrag replacements H0 (a) u ¨blicher Zugang: Ergodenhypothese

g P g,d ≈Pmin

H0

D

(b) neuer Zugang: Einbettung

(c) Verhalten des reduzierten Dichteoperators ρˆg

Abb. 3.1: Gegen¨ uberstellung der beiden verschiedenen Zug¨ange zum Zweiten 0 Hauptsatz. H ist der zug¨angliche Bereich des Hilbertraums, D der reduzierte Hilbertraum des Subsystems ’Gas’. n¨otig. Sobald das System den kleinen Bereich mit P g ≈ 1 verlassen hat, ist die Wahrscheinlichkeit, es in einem Zustand minimaler Purity also maximaler lokaler Entropie vorzufinden, u ¨berw¨altigend groß. Die Irreversibilit¨at wird offensichtlich, wenn man sich den kleineren Raum D des reduzierten Dichteoperators ansieht (Abbildung 3.1(c)). Die Evolution startet mit einem ganz bestimmten ρˆg und l¨auft dann in das Gleichgewichts-ˆ ρg (“dominantes” ρˆg,d ) minimaler Purity, um um diesen Punkt noch leicht zu fluktuieren. Die Projektion von H 0 auf D macht dies deutlich, das große, dominante, fast den gesamten zug¨anglichen Bereich des Hilg bertraums ausf¨ ullende Gebiet mit P g,d ≈ Pmin entspricht der kleinen grau und schwarz gezeichneten Region in D.

3.3.2

Kanonische Kopplung

Im Falle der kanonischen Kopplung [23] zwischen ’Gas’ und ’Container’ ist Energieaustausch zwischen den beiden Subsystemen erlaubt, womit die Bedingung (3.8) wegf¨allt. Einzige Einschr¨ankung f¨ ur den einem bestimmten Zustand zug¨anglichen Bereich im Hilbertraum ist die Erhaltung der Energieverteilung p tot (E tot ) ¨ des Gesamtsystems (siehe Abschnitt 2.1.3). Uber eine Extremalrechnung mit Hilfe eines Lagrangeparameters l¨asst sich nun zeigen, dass es ein extremales Gebiet in dieser zug¨anglichen Region von H gibt, das sich dadurch auszeichnet, dass in ihm eine ganz bestimmte Energieverteilung vorliegt, n¨amlich pd (E g , E c ) =

N g (E g )N c (E c ) tot tot p (E ) . N tot (E tot )

(3.11)

Des Weiteren kann u ¨ber eine Untersuchung mit Hilfe einer kleinen Abweichung ² gezeigt werden, dass dieses extremale Gebiet das gr¨oßte, und f¨ ur große N tot tats¨achlich das dominante Gebiet im zug¨anglichen Teil des Hilbertraums ist.

3.3. Quantenmechanischer Zugang zum Zweiten Hauptsatz

19

Aus Gleichung (3.11) l¨asst sich durch Summation u ¨ber den hier nicht interessierenden Teil des ’Containers’ die f¨ ur das ’Gas’ lokale Wahrscheinlichkeitsverteig lung der ’Gas’energien E der dominanten Region berechnen: pg,d (E g ) =

X

pd (E g , E c ) = N g (E g )

X N c (E c )ptot (E tot ) N tot (E tot )

Ec

Ec

.

(3.12)

Diese lokale Wahrscheinlichkeitsverteilung l¨asst sich auch f¨ ur kontinuierliche Systeme mit Hilfe der Zustandsdichten ng (E g ), nc (E c ), ntot (E tot ) schreiben: Z ∞ tot tot p (E ) c tot g,d g g g n (E − E g ) dE tot . (3.13) p (E ) = n (E ) tot tot n (E ) Eg

Befindet sich das Gesamtsystem in einem Zustand scharfer Energie U (p tot (E tot ) = δ(E tot − U )), so vereinfacht sich Gleichung (3.13) zu pg,d (E g ) =

ng (E g )nc (U − E g ) . ntot (U )

(3.14)

Dies ist genau die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auch von fr¨ uheren Theorien f¨ ur das thermodynamische Gleichgewicht bei kanonischer Kopplung vorhergesagt wird. Nun aber sind, genau wie im Fall mikrokanonischer Kopplung, keine der in den ’¨ ublichen’ Herleitungen n¨otigen problematischen Schritte wie coarse graining oder die Quasiergodenhypothese n¨otig (siehe Abschnitt 3.2.2). Die Argumentation ist die gleiche wie im mikrokanonischen Fall: Bedingt durch die u ¨berragende Dominanz eines Gebietes im der Dynamik zug¨anglichen Teil des Hilbertraums mit einer bestimmten lokalen Eigenschaft, und durch die Tatsache, dass dieser zug¨angliche Teil mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen wird, ist die Wahrscheinlichkeit, das System zu einem beliebigen Zeitpunkt innerhalb dieses dominanten Gebietes zu finden, u ¨berragend groß. Um schließlich zu dem aus der Thermodynamik bekannten Resultat pg,d (E g ) ∝ ng (E g )e

g

− kE T B

(3.15)

zu gelangen, werden die Standardannahmen der Thermodynamik u ¨ber große Systeme gemacht [25]: • Der Entartungsgrad steigt exponentiell mit der Energie. • Die Funktion konzentriert.

ptot (E tot )nc (E tot ) ntot (E tot )

ist scharf um einen bestimmen Wert E = U

• Die Temperatur des Systems im Gleichgewicht wird eingef¨ uhrt durch d die Definition kB1T ≡ dU ln nc (U ). Der genaue Weg kann in B¨ uchern der Thermodynamik oder Statistischen Mechanik gefunden werden.

20 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begr¨undung des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik

3.4 3.4.1

Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen Einleitung

Um die in Unterkapitel 3.3 dargestellte neue Herleitung des Zweiten Hauptsatzes zu verifizieren und ein Gef¨ uhl f¨ ur den G¨ ultigkeitsbereich dieser Theorie zu bekommen, bestand ein wesentlicher Teil dieser Diplomarbeit darin, Modelle zu entwerfen und auszuwerten, die die entsprechenden Voraussagen u ufen k¨on¨berpr¨ nen. Diese Modelle sollten m¨oglichst abstrakt und somit allgemeing¨ ultig sein, also m¨oglichst wenig Bedingungen an das dem jeweiligen Modell zugrundeliegende physikalische System stellen (anders als z.B. in [26]). Numerisch sind die folgenden Simulationen nur in dem Sinne, dass der Computer zum Auswerten von Gleichungen mit bestimmten Parametern verwendet wird. Die Gleichungen selbst, die die beobachtete Dynamik beschreiben, sind vollst¨andig analytisch hergeleitet, d.h. durch die Verwendung des Computers entsteht in diesen Rechnungen kein Fehler wie das z.B. bei der numerischen Integration einer Differentialgleichung der Fall w¨are. Wie im Folgenden gezeigt wird, best¨atigen die Simulationen die Vorhersagen der Theorie u ¨ber Signaturen thermodynamischen Verhaltens in exakt l¨osbaren zusammengesetzten Quantensystemen. Sie zeigen aber auch G¨ ultigkeitsgrenzen und Ansatzpunkte f¨ ur eine weitere Untersuchung insbesondere f¨ ur den Gang ins Gleichgewicht.

3.4.2

Hamilton-Modelle fu ¨ r eingebettete Zwei-NiveauSysteme

Das f¨ ur die Simulationen verwendete Matrix-Modell macht keinerlei Aussagen u ¨ber die tats¨achliche physikalische Realisierung. Die verwendeten Methoden und Programme sind die gleichen f¨ ur die mikrokanonische und kanonische Kopplung, das Modell an sich muss aber geringf¨ ugig ver¨andert und somit an die verschiedenen Kopplungen angepasst werden. Dabei werden im Folgenden alle zu einer bestimmten Energie geh¨orenden Niveaus in ihrer Gesamtheit als Level bezeichnet, d.h. ein Energielevel ist entartet und spaltet sich entsprechend seines Entartungsgrades in eine bestimmte Anzahl Energieniveaus auf. Energieniveaus (z.B. des ’Gases’) sind immer nicht entartet. Energiespektrum Das Modellsystem ist aufgeteilt in zwei Subsysteme: Das eigentlich zu beobachtende System, das ’Gas’ g, sowie das gr¨oßere Umgebungssystem, der ’Container’ c. Das denkbar einfachste Modell f¨ ur das ’Gas’ ist ein Zweiniveausystem ohne Entartung mit dem Energieabstand ∆E g .

3.4. Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen

PSfrag replacements

"Gas"

21

"Container" |1ig Nc

∆E g |0i

g

WW

Abb. 3.2: Energiespektrum f¨ ur den Fall mikrokanonischer Kopplung. N c ist der Entartungsgrad des ’Container’levels. F¨ ur die beiden verschiedenen Kopplungen zwischen ’Gas’ und ’Container’ werden effizienterweise verschiedene Modell-Spektren f¨ ur den ’Container’ verwendet. • Mikrokanonische Kopplung Da kein Energieaustausch stattfindet zwischen ’Gas’ und ’Container’ und ¨ somit auch keine energetischen Uberg¨ ange innerhalb der Subsysteme m¨oglich sind, reicht es in diesem Fall aus, nur ein einziges Energielevel mit N c -facher Entartung (also N c Niveaus) im ’Container’ in der Simulation zu ber¨ ucksichtigen. Abbildung 3.2 zeigt das verwendete Energiespektrum, aufgeteilt in ’Gas’ und ’Container’. • Kanonische Kopplung In diesem Fall ist zur Ermittlung der Zahl der zur vollst¨andigen Simulation zu ber¨ ucksichtigenden Energielevels der Anfangszustand entscheidend. Beschr¨ankt man sich auf Anfangszust¨ande mit scharfer Energie im ’Container’, l¨asst aber eine beliebige Energieverteilung u ¨ber die zwei ’Gas’Energieniveaus zu, so m¨ ussen nur zwei weitere Energielevels in das Modell mit eingebunden werden, unabh¨angig davon, wie das Spektrum des ’Containers’ außerhalb dieser insgesamt dann drei Energien aussieht. Ist E2c die anf¨angliche scharfe Energie im ’Container’, so treten in einem solchen System die beiden Gesamtenergien E1tot = E1g + E2c und E2tot = E2g + E2c auf. Diese m¨ ussen auf Grund der Erhaltung der Gesamtenergieverteilung ptot (E tot ) (siehe Abschnitt 2.1.3) jeweils auch durch Produktzust¨ande der jeweils anderen ’Gas’-Zust¨ande mit ’Container’-Zust¨anden realisierbar sein, d.h. ! ! (3.16) E1tot = E2g + E1c und E2tot = E1g + E3c , woraus E1c = E2c − ∆E g

und E3c = E2c + ∆E g

(3.17)

folgt. Das tats¨achliche Energiespektrum des ’Containers’ kann durchaus kontinuierlich sein, es k¨onnen also viele Niveaus zwischen diesen drei liegen. Diese spielen auf Grund der Erhaltung von ptot (E tot ) durch die Schr¨odingergleichung aber keine Rolle f¨ ur die Dynamik. Abbildung 3.3 zeigt das

22 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begr¨undung des Zweiten PSfrag replacements Hauptsatzes der Thermodynamik

"Gas"

"Container" |1i

∆E g

|2ic

g

g

|0i WW

|1ic |0i

c

nc3 ∆E g nc2 ∆E g nc1

Abb. 3.3: Energiespektrum f¨ ur den Fall kanonischer Kopplung und scharfer Energieanfangszust¨ande mit Energie E2c im ’Container’. Die nci sind die Entartungsgrade der entsprechenden ’Container’levels |iic . verwendete Energiespektrum aufgeteilt in ’Gas’ und ’Container’ f¨ ur diesen Fall.

Basis Als Basis f¨ ur die Zust¨ande des Gesamtsystems wird die Produktbasis der nichtwechselwirkenden Subsysteme gew¨ahlt.

• Mikrokanonische Kopplung Beinhaltet der ’Container’ N c Niveaus, so l¨asst sich der Gesamtzustandsvektor so anordnen, dass die ersten N c Eintr¨age zum Zustand |0ig des ’Gases’ geh¨oren und die anderen N c zum angeregten Zustand im ’Gas’, |1ig : 

Ψ0 .. .

    Ψ c |Ψi =  N −1  ΨN c  ..  . Ψ2N c −1

        

 

   

zu |0ig .

(3.18)

zu |1ig

• Kanonische Kopplung Die zwei H¨alften des |Ψi-Vektors aus Gleichung (3.18) spalten sich nun jeweils wiederum in drei Teile auf, entsprechend den drei verschiedenen Energielevels des ’Containers’ und deren Entartungsgraden n ci (N c = nc1 +

3.4. Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen nc2 + nc3 ). Dargestellt ist hier die erste H¨alfte von |Ψi:     Ψ0   ..     c    . zu |0i         Ψnc1 −1           Ψnc1     .. c   zu |1i zu |0ig .       Ψ c c     n1 +n2 −1      Ψ c c      n1 +n2   c    . zu |2i  ..      ΨN c −1

.

23

(3.19)

Hamilton-Matrices

Der wechselwirkungsfreie Hamiltonian des Gesamtsystems ist die Summe der beiden Subsystem-Hamiltonians, die sich immer in der Basis der Energieeigenzust¨ande in Diagonalform aufschreiben l¨asst. Die Wechselwirkung zwischen ’Gas’ und ’Container’ wird auf diesen Grund-Hamiltonian aufaddiert und ist somit eine 2N c × 2N c -dimensionale hermitesche Matrix: ˆ =H ˆ (0) + H ˆ WW = H ˆ g ⊗ ˆ1c + ˆ1g ⊗ H ˆc + H ˆ WW . H

(3.20)

Da spezielle Aussagen u ¨ber die Wechselwirkung der beiden Subsysteme nicht gemacht werden k¨onnen und auch nicht gemacht werden sollen - die Allgemeinˆ WW g¨ ultigkeit des Modells soll gew¨ahrleistet bleiben - werden als Eintr¨age in H ˆ W W mit ZufallszahZufallszahlen verwendet. Dabei ist die Belegung der Matrix H len abh¨angig von der Art der Kopplung zwischen ’Gas’ und ’Container’. • Mikrokanonische Kopplung ˆ (0) kann in diesem Fall in Blockform geschrieben werden, wobei jeder der H vier diagonalen Blocks die Dimension N c × N c hat:  g  E1 + E c 0 0 0 ... 0 .. ... ...   0 . 0 0     g c 0 0 E + E 0 0 0   (0) 1 ˆ H =  . (3.21) g c 0 0 0 ... 0 E2 + E     .. ... ...   0 . 0 0 0 0 0 0 0 E2g + E c

Die mikrokanonische Kopplung erlaubt keinen Energieaustausch zwischen ˆ W W ebenden beiden Subsystemen. Aus Gleichung (3.8) folgt dann, dass H falls Blockform haben muss, wobei alle Elemente des rechten oberen sowie des linken unteren Blocks Null sein m¨ ussen. F¨ ur alle anderen Eintr¨age

24 Kapitel 3. Quantenthermodynamische Einbettung: Zur Begr¨undung des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik ˆ W W werden sowohl f¨ in H ur die Real- wie auch die Imagin¨arteile um Null Gauß-verteilte Zufallszahlen gew¨ahlt. Zu beachten ist, dass die Diagonalelemente der Matrix auf Grund der Hermitezit¨at nur reell sein d¨ urfen. (Zur verschiedenen Verteilung der Diagonal- und Nichtdiagonalelemente siehe weiter unten.) ˆ W W , die nur Zufallseintr¨age auf der Mit einer Wechselwirkungsmatrix H Diagonalen enth¨alt, entsteht keine interessante Dynamik, da in diesem Fall die Betragsquadrate der einzelnen Komponenten des Zustandsvektors erhalten bleiben: |Ψn |2 = const.. Das Nichtdiagonalelement der reduzierten Dichtematrix des ’Gases’ ρg01 und damit auch die Purity des ’Gases’ P g bleiben ebenfalls konstant: Mit den Gleichungen (3.34) und (3.38): ρg01 =

N −1 X

a0 bk a∗1 b∗k = a0 a∗1

k=0

N −1 X k=0

|bk |2 = const. .

(3.22)

• Kanonische Kopplung Durch die zus¨atzlichen Energielevels im ’Container’ kommt es zu einer weiteren Aufspaltung in der Struktur des Hamiltonians: 

ˆ (0) H

             =             

E1g +E1c 0

0

0

...

E1g +E2c

0

0

0

0

0

0

0

0

...

c

E1g +E3c 0

(N × N c - Matrix)

0

... E2g +E1c 0

c



0

0

0

0

...

E2g +E2c 0

c

(N × N - Matrix) 0

0

0 0

0

...

E2g +E3c 0

(3.23) Die Dimensionen der jeweiligen Unterr¨aume sind die Entartungsgrade des ’Containers’ nc1 , nc2 und nc3 . Die Hauptunterteilung in die beiden zu |0ig bzw. |1ig geh¨orenden Blocks bleibt erhalten.

Nun ist der Energieaustausch zwischen den beiden Subsystemen erlaubt und ˆ W W die Hermitezit¨at HijW W = (HjiW W )∗ . somit die einzige Bedingung an H Um die Allgemeing¨ ultigkeit der Simulationen zu gew¨ahrleisten, werden wie-

0

...

             .             

3.4. Signaturen thermodynamischen Verhaltens: Numerische Simulationen

25

derum hermitesche Zufallsmatrices benutzt, die nun auf dem Raum der hermiteschen Matrices gleichverteilt sein sollen. Diese Forderung f¨ uhrt zu zwei Bedingungen an die Wahrscheinlichkeitsverteilung ˆ W W ) der Wechselwirkungsmatrices [27][28]: P (H ˆ W W ) soll invariant sein unter unit¨aren Transformationen • Die Verteilung P (H der Matrices. • Die einzelnen, frei w¨ahlbaren Eintr¨age einer Diagonalh¨alfte der Matrices sollen v¨ollig unkorreliert sein, was zu einem Produktansatz f¨ ur die Verteilung der Matrices f¨ uhrt: Y ˆ WW ) = ˆ ijW W ) . P (H Pij (H (3.24) i,j; i≤j

Die Verteilung

Ã

ˆ W W )2 } ˆ W W ) = C exp − Sp{(H P (H 2σ 2

!

(3.25)

erf¨ ullt diese beiden Bedingungen, wobei C eine Normierungskonstante ist und σ die Breite der Verteilung angibt und damit die Energieskala festlegt. Die Spur in Gleichung (3.25) kann umgeschrieben werden: X X X ˆ W W )∗ ˆ W W (H ˆ W W )2 } = ˆ W W |jihj|H ˆ W W |ii = ˆ W W )2 + 2 H Sp{(H hi|H (H ij ij ii i,j

=

X i

i 0  0 sonst (4.10) PSfrag replacements Abbildung 4.2 zeigt diesen Wechselwirkungsoperator f¨ ur den Fall xW < 0 zusammen mit der Grundzustandsfunktion des Subsystems 1 (Teilchen im Kasten). Aus W

0

xW < 0









 













 











 






 






 L + xW L

x1

¨ Abb. 4.2: Wechselwirkungsoperator f¨ ur xW < 0. Das Uberlappintegral ist unendlich. Abbildung 4.2 wird ersichtlich, dass mit diesem Wechselwirkungsoperator alle relevanten Wechselwirkungsintegrale (z.B. in Gleichung (4.4)) entweder Unendlich oder Null sind: ½ Z Z HO 0 0 Ka ∗ HO ∗ Ka ˆ ψ ψ dx1 dxW = ∞ xW < 0 . ˆ |j, jW i = hj, jW |W (ψj ) (ψjW ) W j jW 0 xW > 0 (4.11) Das gleiche Problem tritt auf, wenn man Teilchen 2, die Wand, als eine f¨ ur Teilchen 1 endliche Potenzialstufe oder -wall modelliert und deren H¨ohe sp¨ater gegen Unendlich gehen l¨asst. Auch das Ritzsche Verfahren zum Auffinden einer N¨aherungsl¨osung des Grundzustandes des zusammengesetzten Systems f¨ uhrt bei dieser Art Wechselwirkung nicht zu vern¨ unftigen L¨osungen.

4.2.2

Koordinatentransformation

Es ist m¨oglich, durch eine Koordinatentransformation die Wechselwirkungsterme im Hamiltonian aus den Potenzialtermen in Transformationen der auftretenden Ableitungen zu u ¨bertragen. Abbildung 4.3(a) zeigt das Potenzial in Abh¨angigkeit der beiden Variablen x1 und xW , wobei man sich das Zwei-Teilchensystem als ein sich in dieser zweidimensionalen Potenziallandschaft bewegendes einzelnes Teilchen vorstellen kann, dass allerdings in den verschiedenen Richtungen verschiedene Massen besitzt. Die Transformation x1 y1 = L xW + L yW = x W (4.12)

4.2. Das Hamilton-Modell

49

0

xW

0

0

x1

yW

0

y1

L

−L PSfrag replacements

L

−L PSfrag replacements 0

(a) Potenziallandschaft {x1 , xW }-System

V

0

im

(b) Potenziallandschaft {y1 , yW }-System

V

im

Abb. 4.3: Veranschaulichung der Koordinatentransformation (4.12). f¨ uhrt diese Potenziallandschaft in die in Abbildung 4.3(b) gezeigte u ¨ber. Mathematisch l¨asst sich der Vorzug dieser Transformation mit Hilfe einer unendlich hohen Stufenfunktion ½ 0 z≤0 F (z) = (4.13) ∞ z>0

zeigen: Im {x1 , xW }-Koordinatensystem sieht der Potenzialterm des GesamtHamiltonians folgendermaßen aus: V 0 (x1 , xW ) = 12 f x2W + F (x1 − xW − L) + F (−x1 ) .

(4.14)

Durch die Transformation (4.12) geht Gleichung (4.14) u ¨ber in µ ¶ ´ ³ yy 1 1 W 2 0 1 V (y1 , yW ) = 2 f yW + F (y1 − L)(yW + L) + F − − y1 L L 2 + F ((y1 − L)(yW + L)) + F (−y1 (yW + L)) . (4.15) = 21 f yW

Macht man nun die Annahme

yW ¿ L ,

(4.16)

d.h. die Auslenkung der Wand aus dem Potenzialminimum ist klein gegen¨ uber der Kastengr¨oße (schwere Wand und harte Feder (großes f )), so separiert der Potenzialterm des transformierten Hamiltonians in eine Summe von Potenzialtermen der einzelnen Variablen: (4.16)

V 0 (y1 , yW ) ≈

2 1 f yW 2

+ F (y1 − L) + F (−y1 ) ,

(4.17)

was dem Weglassen des unendlich hohen Potenzialgebietes f¨ ur 0 ≤ y1 ≤ L und yW < −L in Abbildung 4.3(b) entspricht.

50 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Station¨ares Quanten-Manometer” Transformation der Ableitungen Geht man durch Anwendung der Transformation (4.12) in das {y1 , yW }Koordinatensystem u ussen auch die im Hamiltonian auftretenden Ablei¨ber, m¨ tungen transformiert werden. Der ausf¨ uhrliche Weg zum folgenden Ergebnis ist in Anhang A.2 wiedergegeben. ∂ 2 f (x1 , xW ) = ∂x21 ∂ 2 f (x1 , xW ) = ∂x2W

4.2.3

µ µ

L yW + L

¶2

∂ 2 f (y1 , yW ) ∂y12

(4.18)

¶2 2 y1 ∂ f (y1 , yW ) 2y1 ∂ 2 f (y1 , yW ) − yW + L ∂y12 yW + L ∂y1 ∂yW 2y1 ∂f (y1 , yW ) ∂ 2 f (y1 , yW ) + + (4.19) 2 (yW + L)2 ∂y1 ∂yW

Entwicklung des Hamiltonians

Mit den Gleichungen (4.18), (4.19) und (4.15) geht der urspr¨ ungliche Hamiltonian aus Gleichung (4.8) in 2 2 ˆ 1 , yW ) = − ~ ¡ 1 ¢ ∂ H(y 2M1 yW + 1 2 ∂y12 "L ³ y ´2 2 1 ~ 1 2y1 ∂2 ∂ 1 − ¡ yW ¢ 2 2 + 2 ¡ yW ¢2 2MW L L + 1 ∂y1 + 1 ∂y1 L L # 2y1 1 ∂2 ∂2 − + 2 L yLW + 1 ∂y1 ∂yW ∂yW

+V 0 (y1 , yW )

(4.20)

u ur yLW ¿ 1 (Gleichung (4.16)) lassen sich die Terme in Gleichung (4.20) ¨ber. F¨ entwickeln und ergeben zusammen mit Gleichung (4.17) 2 ³ yW ´ ∂ 2 ˆ 1 , yW ) ≈ − ~ 1−2 H(y 2M1 L ∂y12 " ³ y ´2 ³ ~2 yW ´ ∂ 2 2y1 ³ yW ´ ∂ 1 − 1−2 + 1 − 2 2MW L L ∂y12 L2 L ∂y1 # yW ´ ∂ 2 ∂2 2y1 ³ 1− + 2 − L L ∂y1 ∂yW ∂yW 2 + F (y1 − L) + F (−y1 ) + 21 f yW

und geordnet

(4.21)

4.2. Das Hamilton-Modell

51

2 2 2 ∂2 2 ˆ 1 , yW ) ≈ − ~ ∂ + F (y1 − L) + F (−y1 ) − ~ + 12 f yW H(y 2 2 2M1 ∂y1 2MW ∂yW | {z } ˆ (0) H

~ − 2MW | {z 2

y12 L2

ˆa W

2

2

ˆc W

ˆe W

ˆd W 2

~ y1 ∂ ~ y1 yW ∂ . − MW L ∂y1 ∂yW MW L2 ∂y1 ∂yW | {z }| {z } 2

+

ˆb W y12 yW L3

~ ~2 2y1 yW ∂ ~ yW ∂ ∂2 + + M L ∂y 2 M ∂y12 MW L3 ∂y1 {z } } | | 1 {z 1} | W {z 2

+

~ y1 ∂ ∂ − 2 ∂y1 MW L2 ∂y1 {z } }| 2

2

2

ˆf W

2

(4.22)

ˆg W

ˆ (0) ist dabei die Summe der ungest¨orten Einteilchenhamiltonians f¨ H ur ein Teilchen der Masse M1 in einem unendlich hohen Kasten von y1 = 0 bis y1 = L und eines Teilchens der Masse MW in einem harmonischen Potenzial. Mit den sieben ˆ a , ..., W ˆ g l¨asst sich nun gew¨ohnliche station¨are St¨orungszus¨atzlichen Termen W rechnung nach Gleichung (4.2) betreiben. Die schlecht zu handhabende St¨orung ¨ in Form der Anderung der Randbedingung wurde durch die Transformation in ’gew¨ohnliche’ St¨orterme abh¨angig von verschiedenen Kombinationen der Ableitungen umgewandelt. Um nun die Wichtigkeit der einzelnen St¨orterme beurteilen ˆ x |j, jW i0 zu k¨onnen, werden im Folgenden jeweils die Matrixelemente 0 hk, kW |W f¨ ur x = a, ..., g berechnet und mit Hilfe der beiden dimensionslosen Entwicklungsparameter r 1 M1 ~2 , β = λ= (4.23) 1 1 M 4 W 4 M f L W

verglichen. Die Gleichungen (4.24) bis (4.29) treten bei diesen Berechnungen h¨aufiger auf: ¶ µ ¶ µ Z L 4(−1)i+l ilL3 πi πl 2 y1 sin y1 dy1 = 2 (4.24) y1 sin L L π (i − l)2 (i + l)2 0 Z

L 0

µ

¶ µ ¶ πl πi (−1)i+l lL2 y1 cos y1 dy1 = y1 sin L L π(i2 − l2 ) µ ¶ µ ¶ Z L πl πl L2 y1 sin y1 cos y1 dy1 = L L 4lπ 0 yW |0i0HO

1 =√ 2

µ√

MW f ~

¶− 21

|1i0HO

(4.25) (4.26)

(4.27)

52 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Station¨ares Quanten-Manometer”

∂ 1 |0i0HO = − √ ∂yW 2 yW

µ√

MW f ~

¶ 12

|1i0HO

(4.28)

∂ 1 1 |0i0HO = − √ |2i0HO − |0i0HO . ∂yW 2 2

(4.29)

Die |ni0HO sind die Eigenfunktionen eines harmonischen Oszillators, von denen die ersten 6 (n = 0, ..., 5) im Anhang A.3 stehen. Die Berechnung der Matrixelemente der einzelnen St¨orterme sowie die daraus jjW resultierenden Beitr¨age zum Entwicklungskoeffizienten 1 Ckk in den gest¨orten EiW genfunktionen werden nach Gleichung (4.3) im Anhang A.4 berechnet und durch die Entwicklungsparameter (4.23) ausgedr¨ uckt. Die Berechnung muss jeweils getrennt f¨ ur die F¨alle gleicher und verschiedener Quantenzahlen {j, k} des Teilchens ˆ c bis W ˆ g werden nur Anregungen aus im Kasten erfolgen. F¨ ur die St¨orterme W dem Grundzustand jW = 0 des harmonischen Oszillators betrachtet. Durch bestimmte Wahl der Modellparameter M1 , MW , f und L lassen sich die zwei Entwicklungsparameter zu λ ≈ β ¿ 1 einstellen. In diesem Fall sind dann nur 2 der 7 St¨orterme relevant, da alle anderen proportional zu einer h¨oheren PojjW zum tenz als der ersten in den beiden Parametern {λ, β} sind. Die Beitr¨age 1x Ckk W Entwicklungskoeffizienten erster Ordnung, die linear in {λ, β} sind, entstehen aus folgendem St¨oroperator, der ab jetzt als St¨oroperator erster Ordnung bezeichnet wird: ˆ (1) = W ˆc + W ˆf . W (4.30)

4.2.4

Vergleich der Wechselwirkungsenergie mit der Energie des Produktzustands

Um die Richtigkeit der dargestellten St¨orungsrechnung zu u ufen, wird die ¨berpr¨ Wechselwirkungsenergie des St¨oroperators erster Ordnung mit der Summe der Energien der Einteilchensysteme verglichen (ungest¨ortes System). Dieser Vergleich findet auch nur f¨ ur jW = 0 statt. Dies ist gleichzeitig ein Test f¨ ur die Richtigkeit der Annahme, der Ausgangszustand f¨ ur die St¨orungsrechnung sei ein Produktzustand aus den beiden Einzelzust¨anden des Teilchens im Kasten und der Wand als harmonischer Oszillator. F¨ ur den nichtwechselwirkenden Fall ergibt sich die Gesamtenergie nullter Ordnung zu (vergleiche Anhang A.3) 1

(0) Ej,jW

(0) Ej,0

=

=

EjKa

+

EjHO W

³ ~2 π 2 j 2 +

2M1 L2

¢ π 2 ~2 j 2 f2 ¡ 1 j + = + ~ W 1 2 2M1 L2 2 MW ´ 2

β λ2

.

(4.31)

(4.32)

4.2. Das Hamilton-Modell

53

F¨ ur die Energiekorrektur erster Ordnung gilt (1) ˆ (1) |j, 0i0 Ej,0 = 0 hj, 0|W

(A.40),(A.48)

=

0

(4.33)

und zweiter Ordnung (2)

Ej,jW =

(2)

Ej,0 =

=

X 0 hj, jW |W ˆ (1) |k, kW i00 hk, kW |W ˆ (1) |j, jW i0 (0)

(4.34)

(0)

k,kW

Ej,jW − Ek,kW

k,kW

Ej,0 − Ek,kW

¯2 ¯ ¯ ˆ c |k, kW i0 + 0 hj, 0|W ˆ f |k, kW i0 ¯¯ X ¯0 hj, 0|W (0)

(0)

¯2 ¯ ¯0 ˆ c |j, 1i0 + 0 hj, 0|W ˆ f |j, 1i0 ¯¯ ¯ hj, 0|W (0)

+

(0)

Ej,0 − Ej,1 ¯2 ¯ ¯ ˆ c |k, 1i0 + 0 hj, 0|W ˆ f |k, 1i0 ¯¯ X ¯0 hj, 0|W (0)

(0)

Ej,0 − Ek,1

k6=j

1

π 4 j 4 ~4 2j 2 k 2 ~M1 f 2 ~2 . − + − = 1 3 2 2 6 1 β2 8M L 2M f L 2 2 2 2 2 2 2 2 4 W 1 2 2M1 MW f L (π (j − k ) − 2 λ2 )MW (j − k ) (4.35) π 2 j 2 ~3

Der Vergleich der Gleichungen (4.35) und (4.32) ergibt (2)

Ej,0

(0)

Ej,0

= ³

π2j 2

1 2 ´ ³ λ − 2 π 2 j 2 + βλ2 4 π2j 2 +

π4j 4 λ4 2 ³ ´ ´ β − 2 2 β2 π 2 j 2 + βλ2 β λ2

4j 2 k 2 ´³ +³ 2 π 2 (j 2 − k 2 ) − 2 βλ2 π2j 2 +

´ 2

β λ2

β4 , 2 (j 2 − k 2 )2 λ

(4.36)

das heißt, die Energiekorrektur, hervorgerufen durch den St¨oroperator, ist immer um den Faktor {λ, β}2 kleiner als die urspr¨ ungliche Energie der beiden Teilsysteme. Die Annahme eines Produktzustands als Ausgangsfunktion f¨ ur die St¨orungsrechnung ist also korrekt.

4.2.5

Berechnung des Erwartungswertes hxW i

Der Erwartungswert der Wand hxW i wird nun im wechselwirkenden System berechnet: Z ∞ Z xW +L W W hxW i = hj, jW |xW |j, jW i = Ψ∗ (x1 , xW )xW Ψ(x1 , xW ) dx1 dxW . −L

0

(4.37)

54 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Station¨ares Quanten-Manometer” Da die Zustandsfunktionen des wechselwirkenden Systems nur im {y 1 , yW }Koordinatensystem vorliegen, muss das Integral in Gleichung (4.37) auch in dieses Koordinatensystem transformiert werden. Dabei ist bei der Transformation der beiden Differenziale dx1 und dxW die Funktionaldeterminante zu beachten. ¯ ¯ ¯ ∂(x1 , xW ) ¯ ¯ dy1 dyW hxW i = Ψ (y1 , yW )yW Ψ(y1 , yW ) ¯¯ ∂(y1 , yW ) ¯ −L 0 µ 2 ¶ Z ∞Z L yW ∗ Ψ (y1 , yW ) = + yW Ψ(y1 , yW ) dy1 dyW L −L 0 # Z ∞Z L" ¢∗ ¡ HO ¢∗ ¡ Ka ¢∗ ¡ HO ¢∗ X ¡1 jjW ¢∗ ¡ Ka CkkW ψk (y1 ) ψkW (yW ) · ψj (y1 ) ψjW (yW ) + ≈ Z

∞

−L

·

≈

Z

Z

−L

∗

0

µ

∞

L

2 yW + yW L

ψjHO (yW ) W

¶"

µ

k,kW

(yW ) + ψjKa (y1 )ψjHO W

X

1

HO jjW (yW ) dy1 dyW ψ Ka (y1 )ψm Cmm W W m

m,mW



#

¶ 2 X  HO yW + yW  ψ (y ) + 2 W  jW L k W

kW 6=jW

1



 jjW HO  dyW . ψ (y ) Cjk W W kW 

(4.38)

Wiederum wird im Folgenden die Rechnung nur f¨ ur jW = 0 durchgef¨ uhrt. Dazu ben¨otigt man außer Gleichung (4.27) noch 2 yW 1 |0i0HO = √ L 2L

µ√

MW f ~

¶−1

|2i0HO

1 + 2L

µ√

MW f ~

¶−1

|0i0HO .

(4.39)

Die Ausweitung der unteren Integrationsgrenze in Gleichung (4.38) von −L nach −∞ (n¨aherungsweise erlaubt unter der Bedingung (4.16)) ergibt dann # ¶" 2 X y W 1 j0 |0i0HO + 2 CjkW |kW i0HO hxW i ≈ 0 h0|HO + yW L kW 6=0 " # µ√ ¶− 21 µ√ ¶−1 µ√ ¶−1 1 MW f M f 1 M f 1 W W 0 0 0 = √ h2|HO + h0|HO · h1|HO + √ ~ ~ 2L ~ 2 2L " # X j0 1 · |0i0HO + 2 CjkW |kW i0HO µ

1 = 2L

µ√

kW 6=0

MW f ~

¶−1

+

√

2

µ√

MW f ~

¶− 12

1

j0 Cj1

√ µ√ ¶−1 2 MW f 1 j0 Cj2 + L ~ (4.40)

4.2. Das Hamilton-Modell

55

und mit den ben¨otigten Koeffizienten 1

j0 = Cj1

=

i ˆ (1) |j, 0i0 −1 h0 hj, 1|W ˆ c |j, 0i0 + 0 hj, 1|W ˆ f |j, 0i0 = hj, 1| W EjKa + E0HO − EjKa − E1HO ~ω 0

1 j0 c Cj1

π 2 j 2 λ3 1 j0 + 1f Cj1 = √ − √ λ 2 2 β 2 2 3

1

1

4 ~2 π 2 j 2 ~ 2 MW − √ = √ 3 1 2f 4 L3 M1 2 2M 4 f 41 L W

1

j0 Cj2 =

1 j0 c Cj2

(4.41)

j0 + 1f Cj2 =0

(4.42)

ergibt sich hxW ij =

π 2 ~2 j 2 . M1 L 3 f

(4.43)

Allein durch die gemeinsame Behandlung der zwei Einteilchensysteme verschiebt sich also der Erwartungswert der Position der Wand aus der Nulllage (Einteilchenproblem) heraus, hin zu positiven Werten. F¨ ur eine solche Auslenkung ist im harmonischen Potenzial (Federkonstante f ) die Kraft Fj = f hxW ij =

π 2 ~2 j 2 M1 L 3

erforderlich. F¨ ur ein isoliertes Teilchen im Kasten der L¨ange L mit Energie EjKa = ergibt sich nach der klassischen Definition der Kraft aus Gleichung (4.1) FjKa = −

∂EjKa (L) π 2 ~2 j 2 = , ∂L M1 L 3

(4.44) π 2 ~2 j 2 2M1 L2

(4.45)

was exakt dem durch quantenmechanische Einbettung gewonnenen Resultat entspricht (Gleichung (4.44)): FjKa ≡ f hxW ij . (4.46) Es ist also gelungen, f¨ ur bestimmte Parameterbereiche (f¨ ur die die St¨orungsrechnung g¨ ultig ist) zwei v¨ollig verschiedene Gr¨oßen miteinander zu verkn¨ upfen. F¨ ur {λ, β} ¿ 1 entspricht die einfache, aus dem isolierten Einzelsystem berechenbare ’klassische’ Kraftdefinition dem tats¨achlichen quantenmechanischen Resultat, dass durch eine quantenmechanische Einbettung des urspr¨ unglichen Systems gefunden werden kann.

4.2.6

Varianz des Erwartungswertes hxW i

Die Varianz einer Gr¨oße A ist

(∆A)2 = hA2 i − hAi2 .

(4.47)

56 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Station¨ares Quanten-Manometer” hxW i wird aus Gleichung (4.43) u ¨bernommen, hx2W i = W hj, jW |x2W |j, jW iW muss noch berechnet werden. Die Rechnung erfolgt analog zu Gleichung (4.38) und ergibt µ 3 ¶ yW 2 2 W 2 W W + yW |jW iW hxW i = hj, jW |xW |j, jW i ≈ hjW |HO (4.48) HO . L Mit Gleichung (4.39) und √ µ√ ¶− 32 µ√ ¶− 23 3 3 MW f MW f 3 0 0 yW |0iHO = |3iHO + √ |1i0HO 2 ~ ~ 2 2

(4.49)

sowie Gleichung (4.2) ergibt sich µ 3 ¶ ¶ µ 3 X yW yW 1 j0 0 0 2 2 2 0 CjkW h0|HO + yW |0iHO + 2 + yW |kW i0HO hxW i ≈ h0|HO L L kW 6=0 √ 3 3 1 ~ ~ 1 j0 3 ~ 2 1 j0 √ 3 ~ 2 1 j0 = +√ Cj1 + 2 1 1 Cj2 + C . 3 2 M 12 f 12 L M 34 f 43 j3 2 2L M 4 f 34 2 M f W W W W (4.50) j0 j0 Die Koeffizienten 1 Cj2 und 1 Cj3 sind beide Null (siehe Anhang A.4). Somit folgt

(∆xW )2 ≈

8 3π 2 j 2 λ6 2 1 2 2 3 4 2 4 4λ L + L λ − λ L − π j L2 . 2 β2 2 4 β4

(4.51)

Zum Vergleich: Die Varianz der Position der Wand im ungest¨orten Grundzustand (ohne Teilchen im Kasten) betr¨agt ³ ´2 1 (0) ∆xW = 0 h0|HO x2W |0i0HO = L2 λ2 . (4.52) 2

Die Varianz besitzt also die selbe Gr¨oßenordnung in den Entwicklungsparametern wie der Erwartungswert der Gr¨oße selbst: hxW i = π 2 j 2 L

λ4 . β2

(4.53)

F¨ ur kleine L (10−9 m) aber ist die Varianz wesentlich kleiner als der Erwartungswert.

4.2.7

Verschr¨ ankung zwischen den zwei Subsystemen

Die Verschiebung der Wand auf eine zur thermodynamischen Definition des Drucks passende Position beruht auf Wechselwirkung zwischen den beiden Subsystemen. Wechselwirkung f¨ uhrt grunds¨atzlich zu Verschr¨ankung, aus dem urspr¨ unglichen Produktzustand |j, jW i0 = |ji0Ka ⊗ |jW i0HO wird eine nicht mehr als

4.2. Das Hamilton-Modell

57

Produkt darstellbare Summe von Produktzust¨anden (Gleichung (4.2)), die noch normiert werden muss:   |j, jW iW ≈

1  |j, jW i0 + N

X

1

k,kW k6=j ∨ kW 6=jW

 jjW |k, kW i0  Ckk W .

(4.54)

!

Der Normierungsfaktor N ergibt sich aus W hj, jW |j, jW iW = 1 zu v X u jjW 2 N =u (1 Ckk ) . 1 + W t

(4.55)

k,kW k6=j ∨ kW 6=jW

Ein Maß f¨ ur die Verschr¨ankung ist die Purity eines Teilsystems (Abschnitt 2.3.2), z.B. der Wand (harmonischer Oszillator). Um diese zu berechnen, muss zuerst die reduzierte Dichtematrix des Teilsystems gefunden werden (Gleichung (2.26)): X 0 ρˆHO = hl|Ka ρˆ|li0Ka . (4.56) l

Wird die Dichtematrix des reinen Zustands des Gesamtsystems

1 |j, jW iW W hj, jW | (4.57) 2 N in Gleichung (4.56) eingesetzt, so ergibt sich " X X 1 1 jjW 1 jjW ρˆHO = 2 |jW i0HO 0 hjW |HO + CjnW |jW i0HO 0 hnW |HO + CjnW |nW i0HO 0 hjW |HO N nW 6=jW n 6=j  W W ρˆ =

X

+

1

nW ,n0W ,k {nW 6=jW ,n0W 6=jW } ∨ k6=j

  jjW 1 jjW 0 0 0 | |n i hn Ckn C W HO  . kn0W W HO W 

(4.58)

Wird diese reduzierte Dichtematrix quadriert und davon die Spur genommen, so ergibt sich nach l¨angerer Rechnung die Purity des Subsystems Wand zu X ¡ ¢2 ¡ ¢2 0 P HO = Sp{ ρˆHO } = hm|HO ρˆHO |mi0HO =

"

m

X¡

1 1+2 N4 k6=j +

X

pW 6=jW ∨ k6=j p0W 6=jW ∨ k0 6=j

1

1

jjW Ckj W

¢2

+2

X ¡ 1

jjW Cjp W

pW 6=jW

¢2



+4

 jjW 1 jjW  C Ckjj0 pW0 1 Ckjj0 pWW 1 Ckp 0 kp W . W

W

X

1

jjW 1 jjW Cjp CkpW W

pW 6=jW ,k6=j

(4.59)

58 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Station¨ares Quanten-Manometer” Diese Gleichung kann f¨ ur den niedrigsten Zustand des Systems (j = 1, jW = j0 1 j0 j0 0) ausgewertet werden, wobei dann nur die Beitr¨age 1c Cj1 , f Cj1 und 1f Ck1 zum St¨orungskoeffizienten erster Ordnung ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen. Es ergibt sich dann · ¸ 6 4 1 2 1 4λ 2λ HO,0 Ka,0 P ≡P ≈ 4 1+π 4 −π 2 + λ (4.60) N β β 8 mit X 1 N ≈ 1 + π 4 − π 2 + λ2 + 2 ³ β β 8 k6=1 4

4λ

6

2λ

8k 2

4

2

π 2 (1 − k 2 ) − 2 βλ2

´2

(1 − k 2 )

β4 . (4.61) 2 2λ

Die letzte Summe in dieser Gleichung kann noch analytisch zusammengefasst werden. Wird nun λ = β gesetzt, so folgt f¨ ur die Purity des Subsystems Wand P HO,0 ≈

1 + 87, 6645λ2 1 + 87, 672λ2

λ=10−3

≈

1 − 8 · 10−9 .

(4.62)

Entsprechend bleibt die durch die Verschr¨ankung entstehende Entropie verschwindend gering.

4.2.8

Verallgemeinerung fu ¨ r den dreidimensionalen Fall

ur Druck ist Kraft dividiert durch die Fl¨ache, auf die diese Kraft wirkt: P = FA . F¨ einen Quader als ’Kasten’ und somit Begrenzung f¨ ur das Teilchen 1 ist diese Verallgemeinerung zum dreidimensionalen Fall recht einfach, da die zus¨atzlichen, von der Bewegungsm¨oglichkeit der einen Wand nicht beeinflussten zwei Dimensionen einfach zwei weitere Freiheitsgrade konstanter Energie beisteuern. PSfrag replacements f



















  

x3 x2



x1

0

L1 + x W

Abb. 4.4: Modell des dreidimensionalen Manometers. Ist V

Ka

(x; y, z) =

½

0 y≤x≤z ∞ sonst

(4.63)

4.2. Das Hamilton-Modell

59

ein unendlich hohes Kastenpotenzial der Breite (z − y) in der einen Dimension x, so l¨asst sich das durch den Quader in Abbildung 4.4 gezeigte Potenzial in drei Dimensionen folgendermaßen schreiben: V (x1 , x2 , x3 ; xW ) = V Ka (x2 ; 0, L2 ) + V Ka (x3 ; 0, L3 ) + V Ka (x1 ; 0, L1 + xW ) + 12 f x2W . (4.64) Der Hamiltonian des dreidimensionalen Problems besteht somit aus der Summe des eindimensionalen Hamiltonians aus Gleichung (4.8) mit zwei Einteilchenhamiltonians eines Teilchens der Masse M1 in den jeweils festen K¨asten in x2 und x3 . Die Energie ohne Wechselwirkung ist einfach die Summe der Energien des Teilchens im Kasten sowie der Wand im harmonischen Potenzial: µ ¶ ¢ ¡ j22 j32 π 2 ~2 j12 1 . (4.65) + + E= + ~ω j + W 2 2M1 L21 L22 L23 Dabei sind die ji die jeweiligen Quantenzahlen in der i-Richtung. Die Energie des Teilchens im Kasten l¨asst sich mit V = L1 L2 L3 umschreiben in µ ¶ π 2 ~2 j12 L22 L23 j22 j32 Ka E{j} = + 2+ 2 , (4.66) 2M1 V2 L2 L3 womit sich formal f¨ ur den Druck des isolierten Kastens Pj1 = −

Ka ∂E{j}

∂V

=

π 2 ~2 j12 L22 L23 M1 V 3

(4.67)

ergibt. Das Ergebnis f¨ ur den Erwartungswert der Position der Wand bleibt von der Erweiterung auf drei Dimensionen unber¨ uhrt (Gleichung (4.43)): hxW ij1 =

π 2 ~2 j12 M1 L31 f

(4.68)

und somit stimmt auch in diesem Fall (mit der Fl¨ache A = L2 L3 ) die Formel des quantenmechanischen ’Drucks’ - gewonnen durch die Einbettung - mit der klassischen Gleichung (4.67) des isolierten Kastens u ¨berein: Ka

∂E{j} f hxW ij1 Fj1 π 2 ~2 j12 π 2 ~2 j12 L22 L23 Pj1 = = ≡ − . = = A L2 L3 M1 L31 L2 L3 M1 V 3 ∂V

4.2.9

(4.69)

Verallgemeinerung auf zwei nichtwechselwirkende Teilchen verschiedener Masse

Die St¨orungsrechnung, wie sie in den vorhergehenden Abschnitten f¨ ur ein ZweiTeilchen-Problem (Teilchen im Kasten und Wand als harmonischer Oszillator)

60 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Station¨ares Quanten-Manometer” behandelt wurde, gelingt auch f¨ ur ein Drei-Teilchen-Problem (2 Teilchen verschiedener Masse im Kasten plus Wand), wobei hier nur der Fall nichtwechselwirkender Teilchen im Kasten untersucht werden soll. Ist x2 die Koordinate des zweiten Teilchens im Kasten und M2 6= M1 dessen Masse, so hat der Hamiltonian dieses Problems die folgende Form (alle anderen Koordinaten und Massen wie in Abschnitt 4.2.1): 2 2 2 2 2 ∂2 ˆ 1 , xW ) = − ~ ∂ − ~ ∂ − ~ H(x + 12 f x2W +V (x1 , x2 , xW ) , (4.70) 2 2 2 2M1 ∂x1 2M2 ∂x2 2MW ∂xW

mit V (x1 , x2 , xW ) = F (x1 − xW − L) + F (−x1 ) + F (x2 − xW − L) + F (−x2 ) und F (z) aus Gleichung (4.13). Transformiert werden muss nun jede der Teilchen-im-Kasten-Koordinaten: yW = x W x1 L; y1 = xW + L x2 L; y2 = xW + L

(4.71) y1 x1 = (yW + L) L y2 x2 = (yW + L) , L

(4.72) (4.73)

was wiederum zu einer Separierung des Potenzialterms V (x 1 , x2 , xW ) f¨ uhrt, diesmal f¨ ur beide Koordinaten x1 und x2 . Die Abbildungen 4.3(a) und 4.3(b) gelten nun also f¨ ur jede der Koordinaten x1 , y1 bzw. x2 , y2 unabh¨angig voneinander. Bei der Transformation der Ableitungen im Hamiltonian muss darauf geachtet werden, dass statt Gleichung (A.21) eine Funktion abgeleitet wird, die von drei Koordinaten abh¨angt: f = f (x1 , x2 , xW ) = f (x1 (y1 , y2 , yW ), x2 (y1 , y2 , yW ), xW (y1 , y2 , yW )) .

(4.74)

Die Ableitungen nach den beiden Koordinaten x1 und x2 bleiben davon unber¨ uhrt, die zweite Ableitung nach der Wandkoordinate x W aber ’verdoppelt’ sich und erh¨alt einen Zusatzterm: 2

X ∂ 2f = x2W k=1

µ

+2

yk yW + L

¶2

∂f ∂ 2f 2yk 2yk ∂ 2f ∂ 2f + + − 2 ∂yk2 yW + L ∂yk ∂yW (yW + L)2 ∂yk ∂yW

∂ 2f y1 y2 . (yW + L)2 ∂y1 ∂y2

(4.75)

Die Entwicklung des Hamiltonians im transformierten Koordinatensystem f¨ ur

4.2. Das Hamilton-Modell yW L

61

¿ 1 f¨ uhrt dann auf folgenden Ausdruck: ˆ 1 , y2 , yW ) ≈ H(y

2 X

|k=1

−

~2 ∂ 2 ~2 ∂ 2 Ka 2 + V (y ; 0, L) − + 21 f yW k 2 2Mk ∂yk2 2MW ∂yW {z } ˆ (0) H



2  2 2 2 2 X   − ~ yk ∂ − ~ yk ∂ +  2MW L2 ∂y 2 MW L2 ∂yk k | k=1 | {z } {z } ˆ b,k W

ˆ a,k W

+

~2 yk2 yW ∂ 2 ~2 2yk yW ∂ ~ 2 yW ∂ 2 + + M L ∂y 2 M L3 ∂yk2 MW L3 ∂yk {z } | k {z k} | W {z } | ˆ c,k W

ˆ e,k W

ˆ d,k W



~ 2 yk ∂ 2 ~ 2 yk yW ∂ 2   + −  2 MW L ∂yk ∂yW MW L ∂yk ∂yW  {z }| {z } | ˆ f,k W

ˆ g,k W

~ 2 y1 y2 ∂ 2 ~2 2y1 y2 yW ∂ 2 − + M L2 ∂y ∂y M L3 ∂y1 ∂y2 | W {z 1 2} | W {z } ˆh W

(4.76)

ˆi W

(V Ka aus Gleichung (4.63)). Die neuen ungest¨orten Drei-Teilchen-Zust¨ande lassen sich nun in der folgenden Form aufschreiben: |j1 , j2 ; jW i0 = |j1 iKa ⊗ |j2 iKa ⊗ |jW iHO .

(4.77)

F¨ ur die St¨orungsrechnung analog zu Gleichung (4.3) gilt: X 1 j1 ,j2 ,jW |j1 , j2 ; jW iW ≈ |j1 , j2 ; jW i0 + Cm1 ,m2 ,mW |m1 , m2 ; mW i0 ,

(4.78)

m1 ,m2 ,mW

1

j1 ,j2 ,jW = Cm 1 ,m2 ,mW

0

ˆ |j1 , j2 ; jW i0 hm1 , m2 ; mW |W (0)

(0)

Ej1 ,j2 ,jW − Em1 ,m2 ,mW

.

(4.79)

ˆ h und W ˆ i im St¨oroperator werden nun analog zu AnF¨ ur die neuen Terme W hang A.4 q die´Beitr¨age zum Entwicklungskoeffizienten erster Ordnung berechnet ³ βi ≡ MMWi : ˆ h: • W

0

ˆ h |j1 , j2 ; jW i0 = 0 hm1 , m2 |Ka W ˆ h |j1 , j2 i0Ka δm j hm1 , m2 ; mW |W W W

(4.80)

62 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Station¨ares Quanten-Manometer” – m1 6= j1 , m2 6= j2 : ˆ h |j1 , j2 i0Ka hm1 , m2 |Ka W Z LZ L ³ πm ´ ³ πm ´ ~2 4 1 2 y y2 · y y sin sin =− 1 1 2 MW L 4 0 0 L L µ ¶ µ ¶ πj1 πj2 ∂2 sin y1 sin y2 dy1 dy2 · ∂y1 ∂y2 L L ~2 4 π 2 j1 j2 (−1)m1 +j1 m1 L2 (−1)m2 +j2 m2 L2 (4.25) = − MW L 4 L 2 π(j12 − m21 ) π(j22 − m22 )

0

1 j1 ,j2 ,jW h Cm1 ,m2 ,mW

=−

(4.81)

j1 ,j2 ,jW ≡ 1h Cm 1 ,m2 ,jW

8(−1)j1 +m1 +j2 +m2 j1 j2 m1 m2 £ ¤ (4.82) π 2 (j12 − m21 )(j22 − m22 ) β1−2 (j12 − m21 ) + β2−2 (j22 − m22 )

– m1 6= j1 , m2 = j2 : mit Gleichung (4.26) ergibt sich 1 j1 ,j2 ,jW h Cm1 ,j2 ,jW

=

2(−1)j1 +m1 j1 m1 2 β π 2 (j12 − m21 )2 1

(4.83)

und mit m1 = j1 , m2 6= j2 das entsprechend symmetrische Resultat.

jjW im An– mk = jk , ml = jl : kein Beitrag, da jW = mW (vergleiche 1a Cjj W hang A.4).

ˆ i nur f¨ • W ur jW = 0: ˆ i |j1 , j2 ; 0i0 hm1 , m2 ; mW |W 2~2 0 ∂2 = hm , m | y y |j1 , j2 i0Ka 0 hmW |HO yW |0i0HO 1 2 Ka 1 2 MW L 3 ∂y1 ∂y2 µ ¶ Z L 5 √ ³ πm ´ 2 πj1 (4.27) ~ 2 4 2π j1 j2 1 y1 cos y1 dy1 · = y1 sin 5 1 L L 4 0 MW f 4 L7 µ ¶ Z L ³ πm ´ πj2 2 · (4.84) y2 sin y2 cos y2 dy2 δmW 1 L L 0

0

– m1 6= j1 , m2 6= j2 : mit Gleichung (4.25):

√ 4 2(−1)j1 +m1 +j2 +m2 j1 j2 m1 m2 = · 5 1 (j12 − m21 )(j22 − m22 ) M 4 f 4 L3 3

1 j1 ,j2 ,0 i Cm1 ,m2 ,1

~2

W

·

π2 ~ 2L2

h

1

1 (j 2 M1 1

− m21 ) +

1 (j 2 M2 2

i q − m22 ) − MfW

(4.85)

4.2. Das Hamilton-Modell

63

– m1 6= j1 , m2 = j2 : mit den Gleichungen (4.25) und (4.26): √ 2 2(−1)j1 +m1 j1 m1 1 1 j1 ,j2 ,0 2 2 β λ i Cm1 ,j2 ,1 = − 2 2 2 β1 1 2 2 j1 − m 1 j −m − 2 2 1

1

(4.86)

π λ

und mit m1 = j1 , m2 6= j2 das entsprechend symmetrische Resultat.

– m1 = j1 , m2 = j2 : mit Gleichung (4.26): 1 j1 ,j2 ,0 i Cj1 ,j2 ,1

1 = − √ λ3 . 2 2

(4.87)

Wird in den Gleichungen (4.82) und (4.85) M1 ≈ M2 gesetzt, so sieht man, dass die entsprechenden Terme proportional zu β12 bzw. β12 λ sind. Somit sind alle durch die zwei zus¨atzlichen Terme im Hamiltonian hervorgerufenen Beitr¨age zum Entwicklungskoeffizienten erster Ordnung h¨oherer Ordnung als der ersten und damit vernachl¨assigbar. Die weitere Rechnung erfolgt nun analog zu Abschnitt 4.2.5: hxW i = W hj1 , j2 ; jW |xW |j1 , j2 ; jW iW ¯ ¯ Z ∞Z LZ L ¯ ∂(x1 , x2 , xW ) ¯ ∗ ¯ ¯ dy1 dy2 dyW = Ψ (y1 , y2 ; yW )yW Ψ(y1 , y2 ; yW ) ¯ ¯ ∂(y , y , y ) 1 2 W −L 0 0   µ 3 ¶ Z ∞ 2 X yW yW   HO 1 j1 ,j2 ,jW HO (y ) ≈ ψjHO (yW ) dyW . (y ) + 2 Cj1 ,j2 ,mW ψm + 2 + y ψ  W W W jW W W 2 L L −L mW mW 6=jW

(4.88)

Mit der Verschiebung der Integrationsgrenze von −L auf −∞ und f¨ ur jW = 0 gilt also   µ 3 ¶ 2 X yW yW   1 j1 ,j2 ,0 hxW i = h0|HO Cj1 ,j2 ,mW |mW iHO  . (4.89) |0i + 2 + 2 + y  HO W 2 L L mW mW 6=0

Mit den Gleichungen (4.27), (4.39) und (4.49) und unter Ber¨ ucksichtigung nur der nichtverschwindenden Entwicklungskoeffizienten ergibt sich · µ ¸¶ √ √ 3 3 2 1 j1 ,j2 ,0 hxW i = L λ + Cj1 ,j2 ,1 2λ + √ λ (4.90) ≈ Lλ2 + 2Lλ 1 Cjj11,j,j22,1,0 2 ³ 2 ´ 2 3 j j2 und mit 1 Cjj11,j,j22,1,0 = c,11 Cjj11,j,j22,1,0 + f,11 Cjj11,j,j22,1,0 + c,21 Cjj11,j,j22,1,0 + f,21 Cjj11,j,j22,1,0 = π√λ2 β12 + β22 − 1

√1 λ 2

hxW ij1 ,j2

π 2 ~2 = 3 Lf

µ

j2 j12 + 2 M1 M2

¶

.

2

(4.91)

64 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Station¨ares Quanten-Manometer” Auch in diesem Fall gelingt also die Ableitung der Gr¨oße ’Kraft’ bzw. ’Druck’ aus der quantenmechanischen Einbettung. Die ’klassische’ Kraft f¨ ur zwei Teilchen mit den Quantenzahlen j1 und j2 in einem Kasten ist FjKa 1 ,j2

µ · ¶¸ ∂EjKa ∂ π 2 ~2 j12 j22 1 ,j2 =− =− + ∂L ∂L 2L2 M1 M2

(4.92)

was wiederum genau dem Erwartungswert der Wandkoordinate multipliziert mit der Federkonstanten f entspricht: FjKa ≡ f hxW ij1 ,j2 . 1 ,j2

(4.93)

Die Einschr¨ankung auf zwei Teilchen verschiedener Massen resultiert aus dem ˆ h im Hamiltonian und dem damit verkn¨ zus¨atzlichen Term W upften Beitrag zum Entwicklungskoeffizienten erster Ordnung (Gleichung (4.82)). Gilt M1 = M2 und damit β1 = β2 , so divergiert der Beitrag aus Gleichung (4.82) f¨ ur bestimmte Kombinationen der Quantenzahlen j1 , j2 , m1 , m2 . Dies wiederum folgt aus der Tatsache, dass die Zust¨ande |j1 , j2 ; jW i und |j2 , j1 ; jW i f¨ ur M1 = M2 zum selben Energieeigenwert geh¨oren, die entsprechenden Energien also entartet sind. Treten entartete Energien in einer St¨orungsrechnung auf, so darf die St¨orungstheorie, so wie sie hier gezeigt wurde, nicht verwendet werden. Sie muss ersetzt werden durch die St¨orunstheorie f¨ ur Systeme mit Entartung, was den Rechenaufwand aber wesentlich steigert. Diese bei Mehrteilchensystemen auftretenden Entartungen sind auch der Grund daf¨ ur, dass eine weitere Verallgemeinerung auf N nichtwechselwirkende Teilchen im Kasten mit dieser simplen St¨orungsrechnung nicht gelingt, obwohl gegen¨ uber dem Problem der zwei Teilchen im Kasten keine wesentlichen weiteren Schwierigkeiten auftreten (keine weiteren St¨orterme im transformierten Hamiltonian, die Funktionaldeterminante l¨asst sich analytisch berechnen und es l¨asst sich numerisch zeigen, dass deren Beitr¨age vernachl¨assigbar sind). Eventuell k¨onnte es m¨oglich sein, die Zust¨ande der N Teilchen im Kasten zu einem einzigen Zustand mit entsprechendem statistischen Gewicht zusammenzufassen und dann ein Zwei-Teilchen-Problem mit der Wand zu l¨osen. F¨ ur dieses Vorgehen fehlte aber leider die Zeit.

4.3

Zusammenfassung

Anhand des Modellsystems Quanten-Manometer konnte explizit gezeigt werden, ∂E dass der Name ’Druck’ f¨ ur die klassische Gr¨oße − ∂V eines isolierten Systems auch in der Quantenmechanik Sinn macht. Sie korrespondiert in gewissen Parameterbereichen mit der rein quantenmechanischen, durch eine mechanische Einbettung mit Hilfe quantenmechanischer station¨arer St¨orungsrechnung gewonnenen Gr¨oße

4.3. Zusammenfassung

65

des Erwartungswertes der Ortskoordinate. Entsprechend kann - wie in einem thermodynamischen System (vergleiche Punkt 2 in Unterkapitel 2.4) - durch Variation ¨außerer Parameter die Energie des Systems u ¨ber die Beeinflussung des Spektrums ver¨andert werden. Dieses Gelingen der (quanten)mechanischen Einbettung in diesem Fall ist ein weiterer Schritt hin zu einer allgemeineren Verbindung zwischen Thermodynamik und Quantenmechanik. Weiterhin ist es z.B. vorstellbar, tats¨achlich den Druck eines in einem Potenzialkasten gefangenen Teilchens durch eine Vielzahl von Ortsmessungen (Ensemblemessung bei großer Varianz) zu bestimmen. Die hier gezeigte Berechnung ist nur in gewissen Parameterbereichen g¨ ultig und untersuchte nur hinreichende Bedingungen. Es ist nicht ausgeschlossen, dass die Herleitung auch f¨ ur andere Parameterbereiche der Entwicklungsparameter λ und β g¨ ultig ist, insbesondere f¨ ur λ 6≈ β. Entgegen den Folgerungen aus Kapitel 3 und entgegen den Annahmen aus Kapitel 5 bez¨ uglich der Besetzung der Energielevel wurden hier keine thermischen Zust¨ande vorausgesetzt bzw. untersucht. Die Ableitung gilt also streng nur f¨ ur T → 0. F¨ ur die Anschauung ist es auch wichtig zu betonen, dass das behandelte Zwei-Teilchen-System das abgeleitete Verhalten nur dann dynamisch zeigen kann, wenn eine gen¨ ugend große Umgebung mit dem richtigen Energiespektrum angekoppelt wird. Wird das abgeschlossene System z.B. im Zustand |ji Ka und |0iHO pr¨apariert, so wird es im Produktzustand aus diesen beiden Einteilchenzust¨anden verweilen. Der Gesamtzustand kann sich erst ver¨andern und die Subsysteme miteinander verschr¨anken, wenn eine Umgebung angekoppelt wird, die entsprechende ¨ ’Ubergangslevel’ bereitstellt. Diese dynamische Sichtweise soll hier aber bewusst außen vor gelassen werden um den Unterschied zwischen thermodynamischer und (quanten)mechanischer Einbettung zu betonen. Die Varianz der f¨ ur den Druck relevanten Ortskoordinate der Wand wurde berechnet und das Modell auf drei Dimensionen verallgemeinert. Die Verschiebung der Wand und somit der Druck hat ihren Ursprung in der Wechselwirkung der beiden Subsysteme ’Teilchen im Kasten’ und ’Wand’, was zu Verschr¨ankung f¨ uhren muss. Als Maß f¨ ur diese sehr geringe Verschr¨ankung wurde die Purity des Subsystems Wand berechnet. Auch f¨ ur zwei Teilchen im Kasten mit verschiedenen Massen gelingt die Ableitung. Eine weitere Verallgemeinerung auf N Teilchen macht aber nur Sinn f¨ ur Teilchen gleicher Massen (man denke an N in der Gr¨oßenordnung von 1023 ). Dann aber treten Entartungen der Energien auf, deren Entartungsgrad f¨ ur große N sehr groß sind. F¨ ur Systeme mit Entartung reicht die Behandlung in der hier gezeigten Weise nicht aus, die rechenintensivere St¨orungstheorie mit Entartung m¨ usste angewendet werden, was aber in dieser Arbeit nicht gemacht wurde. Zu ¨ erwarten f¨ ur einen solchen Ubergang aus der Quantenmechanik hin zur klassichen Mechanik (viele Teilchen), w¨are ein Abfallen des Verh¨altnisses Varianz zu 2 W) . Dies allerdings wurde ebenfalls nicht untersucht. Erwatungswert, (∆x hxW i

66 Kapitel 4. Quantenmechanische Einbettung: “Station¨ares Quanten-Manometer” Weitere interessante Verallgemeinerungen des hier gezeigten Modells w¨aren die Ber¨ ucksichtigung von • Ausgangszust¨anden des harmonischen Oszillators mit jW > 0 sowie • thermischer Besetzung der Basiszust¨ande.

Kapitel 5 Quantenthermodynamische Kreisprozesse 5.1

Einleitung

Wie schon im vorigen Kapitel geht es hier wiederum um die ’Miniaturisierung’ von in der klassischen Thermodynamik h¨aufig verwendeten Systemen und Prozessen. Thermodynamische Kreisprozesse stellen in gewisser Weise die Fortf¨ uhrung des im vorigen Kapitel Beschriebenen dar, wobei die allgemeinen Ergebnisse aus Kapitel 3 dabei nicht außer Acht gelassen werden d¨ urfen, wie dies z.B. in einigen Publikationen geschieht [35]. In diesem Kapitel werden nun die beiden in Unterkapitel 2.4 beschriebenen Einbettungen aus den Kapiteln 3 und 4 miteinander vereint, was einen weiteren Schritt in Richtung Thermodynamik darstellt. Thermodynamische Maschinen stehen per Definition zumindest zeitweise mit einem großen Umgebungssystem in Kontakt (thermodynamische Einbettung (Kapitel 3)) was zu typisch thermodynamischem Verhalten (Boltzmann-Verteilung) und dem Gebrauch der Temperatur zur Beschreibung der Systeme f¨ uhrt. Sie leisten aber auch Arbeit bzw. an ihnen wird Arbeit verrichtet, beides durch Variation ¨außerer Parameter ((quanten)mechanische Einbettung (Kapitel 4)). Den ersten Teil der folgenden Untersuchung bildet eine kurze Betrachtung zur wichtigsten thermodynamischen Maschine, der Carnot-Maschine in der klassischen Thermodynamik. Danach wird dieser Prozess in die Quantenmechanik ’¨ ubersetzt’, wobei neue Definitionen der Begriffe ’adiabatisch’ und ’isotherm’ entsprechend den beiden Einbettungen aufgestellt werden m¨ ussen. Ein Beispiel f¨ ur eine verallgemeinerte thermodynamische Maschine liefert der Carnot-Prozess eines quantenmechanischen Harmonischen Oszillators (Abschnitt 5.3.1) und anschließend wird allgemein gezeigt, dass mit den hier gemachten Annahmen bez¨ uglich der Entropie und Energieverteilung in quantenthermodynamischen Systemen kein vom klassischen Carnot-Wirkungsgrad abweichender Wirkungsgrad einer Quantenmaschine zu erwarten ist. W¨are dies der Fall, so w¨ urde eine solche Maschine 67

PSfrag replacements 68

Kapitel 5. Quantenthermodynamische Kreisprozesse P ➀ IV

TH

I

➁

➃ III

II

TC ➂ 0

V

Abb. 5.1: Der Carnot-Kreisprozess im Druck-Volumen-Diagramm. Die Adiabaten sind gestrichelt, die Isothermen durchgezogen. ¨ den Zweiten Hauptsatz verletzen, wie sich schon durch klassische Uberlegungen leicht zeigen l¨asst [39] (Abschnitt 5.2.2).

5.2

Carnot-Prozess

Der Carnot-Prozess ist ein aus vier Schritten bestehender reversibler Kreisprozess, der zwischen den beiden W¨armereservoirs der jeweils konstanten Temperaturen TH und TC < TH mit dem Wirkungsgrad ηCarnot W¨armeenergie in mechanische Arbeit umwandelt. Die vier Prozessschritte sind (Abbildung 5.1): I Isotherme (T = TH ) Ausdehnung von Punkt ➀ nach Punkt ➁ unter Abgabe der Arbeit WI und Aufnahme der W¨armeenergie QI aus dem w¨armeren W¨armereservoir. II Adiabatische Ausdehnung von Punkt ➁ nach Punkt ➂ unter Abgabe der Arbeit WII . III Isotherme (T = TC ) Kompression von Punkt ➂ nach Punkt ➃ unter Aufnahme der Arbeit WIII und Abgabe der W¨armeenergie QIII an das k¨altere W¨armereservoir. IV Adiabatische Kompression von Punkt ➃ nach Punkt ➀ unter Aufnahme der Arbeit WIV . Der Wirkungsgrad der Maschine ist die Effizienz der Umwandlung der aufgenommenen W¨arme zu verrichteter mechanischer Arbeit, d.h. der Koeffizient der beiden Gr¨oßen: P W WI + WII + WIII + WIV η= = . (5.1) QI QI

5.2. Carnot-Prozess

5.2.1

69

Herleitung des Carnot-Wirkungsgrades

Aus dem Energieerhaltungssatz ergibt sich η=

P

W = QI − QIII und somit

QIII QI − QIII =1− . QI QI

(5.2)

An die klassische Carnot-Maschine werden nun die folgenden drei Bedingungen gestellt: 1. Es handelt sich um einen Kreisprozess, d.h. die Entropie der Maschine darf sich nach dem Durchlaufen eines Zyklus nicht ver¨andert haben: ∆SM aschine = 0 . 2. Die Entropieaufnahme und -abgabe erfolgt reversibel, d.h. es gilt die Glei. chung dS = dQ T 3. Die Entropieaufnahme und -abgabe erfolgt isotherm (f¨ ur die adiabatischen Schritte gilt per Definition ∆Sadiabatisch = 0). Aus den Bedingungen 2 und 3 ergibt sich Z Z 1 dQ = dQ S= T T also ∆SI =

QI , TH

⇒ SIII =

∆S =

∆Q T

(5.3)

QIII TC

(5.4)

QIII TC =1− QI TH

(5.5)

und mit Bedingung 1: ∆SI = ∆SIII QI QIII = TC TH

⇒

ηCarnot = 1 −

[25]. Dass dieses ηCarnot der einzig m¨ogliche Wirkungsgrad f¨ ur reversibel arbeitende Maschinen ist, kann recht schnell gezeigt werden:

5.2.2

Eindeutigkeit von ηCarnot

Eine Carnot-Maschine arbeitet als W¨armekraftmaschine mit dem Wirkungsgrad η (1) zwischen zwei W¨armereservoirs mit den Temperaturen TH und TC . Die dabei erzeugte mechanische Arbeit W (1) wird von einer zweiten Maschine mit W¨armekraftmaschinenwirkungsgrad η (2) teilweise dazu verwendet, die durch Maschi(1) (2) ne 1 dem warmen W¨armereservoir entzogene W¨armemenge QH = QH wieder zuzuf¨ uhren. Maschine 2 arbeitet als reversible W¨armepumpe (Umkehrung der W¨armekraftmaschine). F¨ ur die verbleibende mechanische Arbeit ∆W gilt ∆W = W (1) − W (2) = (η (1) − η (2) )QH

(5.6)

70

Kapitel 5. Quantenthermodynamische Kreisprozesse

(η: W¨armekraftmaschinenwirkungsgrad; W¨armepumpenwirkungsgrad ηW P = − QWH = − η1 ). F¨ ur η (1) 6= η (2) folgt ∆W 6= 0, d.h. es geschieht nichts anderes (dem w¨armeren W¨armebad wird genau die gleiche W¨armemenge zugef¨ uhrt wie abgef¨ uhrt), als die Erzeugung mechanischer Arbeit unter Abk¨ uhlung eines W¨armebades. Dies aber ist ein Widerspruch zum Zweiten Hauptsatz (Verbot eines Perpetuum mobiles 2.Art). Somit existiert nur ein Wirkungsgrad f¨ ur reversibel arbeitende W¨armekraftmaschinen, n¨amlich ηCarnot .

5.3

Carnot-Prozess in der Quantenmechanik

F¨ ur eine Quantenversion des Carnot-Prozesses werden die einzelnen Prozessschritte wie im Klassischen gew¨ahlt. Die Bedeutung von ’adiabatisch’ und ’isotherm’ in der Quantenmechanik muss jedoch genauer betrachtet werden. Das Arbeitsmedium, das mindestens zwei Energieniveaus verschiedener Energie besitzen muss, wird im quasistatischen Carnot-Prozess mit W¨armereservoirs in Kontakt gebracht und muss auch in irgendeiner Form von seiner Umgebung (’Kasten’) fixiert sein. Ein kleines System, gekoppelt an eine große Umgebung, geht nach Kapitel 3 in ein thermisches Gleichgewicht u ¨ber, in dem Sinne, dass die Besetzungswahrscheinlichkeiten auf den Energieniveaus des Systems Boltzmannverteilt sind. Anzunehmen, man k¨onne ein System in einem reinen Zustand scharfer Energie pr¨aparieren und mit diesem unendlich lange dauernde Prozesse in Kontakt mit einer Umgebung fahren (wie z.B. in [35]), ist also Unsinn bzw. gilt n¨aherungsweise nur f¨ ur T → 0. Die beiden Arten der Prozessf¨ uhrung werden nun folgendermaßen definiert: 1. adiabatisch: Die Besetzungswahrscheinlichkeiten pn (En ) der Energieniveaus En bleiben konstant (adiabatic following [40] [13]). 2. isotherm: Die Besetzungswahrscheinlichkeiten pn (En ) d¨ urfen sich a¨ndern, bleiben aber w¨ahrend des Prozesses Boltzmann-verteilt zur Temperatur T der Umgebung: ³ ´ En exp − kB T ´. ³ pn (En ) = pnBoltzmann (En ) ≡ P (5.7) ∞ Em exp − m=1 kB T Die spezielle Variable Volumen V wird im Folgenden durch eine allgemeine Arbeitsvariable a, das ’verallgemeinerte Volumen’ , ersetzt. F¨ ur die vier Schritte des Quanten-Carnot-Prozesses gilt also (vergleiche Abbildung 5.1) I Isotherme Ausdehnung: pn = pn (a, TH = const.), II Adiabatische Ausdehnung: pn = const. = pn (a➁ , TH ) = pn (a➂ , TC ),

5.3. Carnot-Prozess in der Quantenmechanik

71

III Isotherme Kompression: pn = pn (a, TC = const.), IV Adiabatische Kompression: pn = const. = pn (a➃ , TC ) = pn (a➀ , TH ). Da der Gesamtprozess reversibel ablaufen soll, d.h. es d¨ urfen keine Spr¨ unge in den Besetzungswahrscheinlichkeiten pn (En ) auftreten, ergeben sich Anschlussbedingungen zwischen den einzelnen Prozessschritten: 1. Nach der adiabatischen Expansion (Schritt II) muss die Besetzungswahrscheinlichkeit Boltzmann-verteilt zur Temperatur T C sein: !

pn (a➁ , TH ) = pn (a➂ , TC ) = pnBoltzmann (En (a➂ ), TC ) .

(5.8)

2. Nach der adiabatischen Kompression (Schritt IV) muss die Besetzungswahrscheinlichkeit Boltzmann-verteilt zur Temperatur T H sein: !

pn (a➃ , TC ) = pn (a➀ , TH ) = pnBoltzmann (En (a➀ ), TH ) .

(5.9)

Die zum verallgemeinerten Volumen a konjugierte intensive Gr¨oße, der ’verallgemeinerte Druck’ b, soll mit der Energie E analog zu Kapitel 4 definiert sein: ∂En ∂E ; f¨ ur die diskreten Energieniveaus: bn = − . (5.10) ∂a ∂a Damit l¨asst sich die Arbeit in einem Prozessschritt berechnen: Z a2 X Z a2 X Z a2 ∂En pn pn bn da = − b da = W = da ∂a a a1 a1 1 n n µ ¶ X Z a2 Z a2 X ∂p ∂pn part.Int. n a2 = − [pn En ]a1 − En da = En da − E(a2 ) + E(a1 ) . ∂a ∂a a a 1 1 n n (5.11) b=−

Bei den adiabatischen Schritten II und IV bleiben die Besetzungswahrscheinlichn keiten konstant, d.h. ∂p = 0, es gilt also ∂a WII = E(a➁ ) − E(a➂ ) = E➁ − E➂ , WIV = E(a➃ ) − E(a➀ ) = E➃ − E➀ . F¨ ur die isothermen Schritte I und III gilt Z a➁ X ∂pn (a, TH ) WI = En (a)da − E➁ + E➀ ∂a a➀ Z a➃ X ∂pn (a, TC ) WIII = En (a)da − E➃ + E➂ . ∂a a➂

(5.12) (5.13)

(5.14) (5.15)

72

Kapitel 5. Quantenthermodynamische Kreisprozesse

und die in Schritt I aufgenommene W¨arme QI ergibt sich u ¨ber die Energieerhaltung: QI = WI + ∆EI = WI + E➁ − E➀ , . (5.16)

Damit l¨asst sich f¨ ur den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses in der Quantenmechanik (Gleichung (5.1)) die folgende Formel angeben: R a➃ P ∂pn (a,TC ) En (a) da ∂a a QM ηCarnot = 1 + R a➂➁ P ∂pn (a),T . (5.17) H En (a) da ∂a a➀

5.3.1

Beispiel: Harmonischer Oszillator (HO)

Im Folgenden soll als Beispiel ein harmonischer Oszillator als thermodynamische Maschine betrachtet werden, indem die Eigenkreisfrequenz ω als verallgemeinerte Arbeitsvariable a gew¨ahlt wird. Dieses ω stelle man sich analog zum Volumen V in den u ¨blichen Gas-Maschinen vor, d.h. es soll m¨oglich sein, ω von außen zu a¨ndern. Die Eigenenergien eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators sind En = ~ω(n + 12 ) .

(5.18)

Damit kann die Zustandssumme (der Nenner in der Boltzmann-Verteilung aus Gleichung (5.7)) berechnet werden: ∞ X

−

~ω(m+ 1 2) kB T

=e

− 2k~ω T

∞ ³ X

− k~ωT

´m

=

e

− 2k~ω T B

. (5.19) 1−e B Im letzten Schritt wurde dabei die Formel f¨ ur die unendliche geometrische Reihe [41] ∞ X 1 qn = (5.20) 1−q n=0 m=1

e

B

m=1

e

B

− k~ωT

verwendet. F¨ ur die Besetzungswahrscheinlichkeiten ergibt sich somit ³ ´ − k~ωT n − k~ωT B B pn = e 1−e .

(5.21)

Ausgehend davon kann der Wirkungsgrad ηHO f¨ ur die Harmonische-Oszillatorussen die AnschlussMaschine nach Gleichung (5.17) berechnet werden. Dabei m¨ bedingungen (5.8) und (5.9) ber¨ ucksichtigt werden, die zu den folgenden Bedingungen f¨ uhren: TH TC ω2 = ω3 , ω4 = ω1 . (5.22) TC TH Die recht aufw¨andige Rechnung findet sich im Anhang A.5. Das Ergebnis ist der Carnot-Wirkungsgrad TC QM ηHO = ηCarnot = 1 − . (5.23) TH

5.3. Carnot-Prozess in der Quantenmechanik

5.3.2

73

QM Allgemeiner Beweis fu ¨ r ηCarnot = ηCarnot

Im Folgenden wird gezeigt, dass f¨ ur eine allgemeine quantenmechanische CarnotMaschine in einem zweidimensionalen thermodynamischen Zustandsraum (S = S(T, a); T : Temperatur, a: Arbeitsvariable) unter gewissen thermodynamischen Bedingungen der Carnot-Wirkungsgrad gilt [34]. Diese beiden Bedingungen k¨onnen wir folgt formuliert werden: 1. Das Arbeitsmedium der Maschine steht in den isothermen Schritten in thermodynamischem Kontakt mit seiner Umgebung, dem ’Kasten’, und geht somit in den Zustand maximaler lokaler Entropie u ¨ber (vergleiche Kapitel 3), d.h. die Wahrscheinlichkeiten pn (En ), das System im Zustand der Energie En anzutreffen, sind Boltzmann-verteilt (Gleichung (5.7)). 2. Die lokale von-Neumann P Entropie der reduzierten Dichtematrix des Arbeitsmediums, S = −kB pn ln pn , entspricht der thermodynamischen Entropie.

Wenn nun gezeigt werden kann, dass f¨ ur reversible Prozesse unter diesen beiden gilt, kann weiter wie in Annahmen die thermodynamische Relation dS = dQ T Abschnitt 5.2.1 argumentiert werden und es gilt dann QM . ηCarnot = ηCarnot

(5.24)

dS ist ein vollst¨andiges Differenzial und kann mit der Arbeitsvariablen a folgendermaßen aufgel¨ost werden: ¯ ¯ ∂S ¯¯ ∂S ¯¯ dS = da + dT . (5.25) ∂a ¯T ∂T ¯a

Mit der von-Neumann Entropie ergibt das ! à ! à X ∂pn ¯¯ X ∂pn ¯¯ X ∂pn ¯¯ X ∂pn ¯¯ ¯ ln pn + ¯ ¯ ln pn + ¯ dT . da−k dS = −kB ¯ ¯ ¯ ¯ ∂a ∂a ∂T ∂T T T a a n n n n (5.26) Setzt man = ³ in ´diese Gleichung die Boltzmann-Verteilung mit Z P∞ Em ein, so ergibt sich mit m=1 exp − kB T ln pn = −

En − ln Z kB T

(5.27)

und unter Beachtung von X ∂pn n

∂ X = pn = 0 ∂X ∂X n

Ã

X n

pn = 1 = const.

!

(5.28)

74

Kapitel 5. Quantenthermodynamische Kreisprozesse ¯ ¯ 1 X ∂pn ¯¯ 1 X ∂pn ¯¯ dS = En da + En dT . T n ∂a ¯T T n ∂T ¯a

(5.29)

Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik, dem Energieerhaltungssatz, ergibt sich mit der Arbeit W ¯ ¯ ¯ ¯ ∂E ¯¯ ∂E ¯¯ ∂W ¯¯ ∂W ¯¯ dQ = dE − dW = da + dT − da − dT . (5.30) ∂a ¯T ∂T ¯a ∂a ¯T ∂T ¯a

a ist die ’Arbeitsvariable’. Bleibt a konstant, wird keine Arbeit verrichtet (analog ¯ ∂W ¯ zum Volumen), weshalb ∂T a = 0 gilt. W ist die Arbeit und als solche wie in Gleichung (5.11) definiert. Damit ergibt sich ¯ X ∂En ∂W ¯¯ . (5.31) da = − pn ∂a ¯T ∂a n

¯ n¯ Da ∂E = 0 (die Eigenenergien des Quantensystems sind temperaturunabh¨an∂T a gig), gilt ¯ ¯ X ∂pn ¯ X ∂pn ¯ ¯ ¯ En dT (5.32) dQ = ¯ En da + ¯ ∂a ∂T T a n n und durch Vergleich mit Gleichung (5.29) dS =

dQ . T

(5.33)

F¨ ur die von-Neumann Entropie gilt also bei thermischer Besetzung der Eigenenergien die gleiche thermodynamische Relation wie in der klassischen Mechanik. Mit Abschnitt 5.2.1 ist somit auch gezeigt, dass eine Quanten-Carnot-Maschine den gleichen Wirkungsgrad wie in der klassischen Thermodynamik hat.

5.4

Zusammenfassung

Der letzte Abschnitt zeigt, dass detaillierte Betrachtungen wie in Abussen, da vom klassischen Carnotschnitt 5.3.1 eigentlich nicht gemacht werden m¨ Wirkungsgrad abweichende Wirkungsgrade unter den in Abschnitt 5.3.2 gemachten Annahmen nicht zu erwarten sind. So muss z.B. die n¨aherliegende aber viel aufw¨andigere Untersuchung eines Carnot-Prozesses eines Teilchens im Kasten, dem Quanten-Analogon eines Gases in einem Beh¨alter, gar nicht erst durchgef¨ uhrt werden. In Abschnitt 5.3.2 wurde der Beweis ’differenziell’ gef¨ uhrt. Es sollte eigentlich auch m¨oglich sein, diesen Beweis ’integral’ zu f¨ uhren, d.h. aus Gleichung (5.17) mit den entsprechenden Anschlussbedingungen auf Grund der Reversibilit¨at des Prozesses den Carnot-Wirkungsgrad abzuleiten. Sollte dies gelingen, sind daf¨ ur

5.4. Zusammenfassung

75

sicherlich Symmetriebetrachtungen - a¨hnlich denen in Anhang A.5 gemachten n¨otig. Bei ’direkt u ¨bersetzten’ Quantenversionen u ¨blicher klassischer thermodynamischer Maschinen ist also nicht mit h¨oheren Wirkungsgraden und somit einer Verletzung des Zweiten Hauptsatzes zu rechnen. Es bleiben dennoch zwei zu betrachtende F¨alle: 1. Die in Abschnitt 5.3.2 gemachte Ableitung ist nur unter den dort genannten Bedingungen g¨ ultig. So wird keine Aussage u ¨ber den Wirkungsgrad einer Maschine gemacht, bei der entweder die von-Neumann Entropie nicht mit der thermodynamischen Entropie u ¨bereinstimmt, noch u ¨ber den Fall einer Besetzung der Energieniveaus, die nicht der Boltzmann-Besetzung entspricht. Die Realisierung der Boltzmann-Besetzung ist an gewisse Annahmen bez¨ uglich des Umgebungssystems gebunden (wie in Kapitel 3 teilweise erl¨autert wird). F¨ ur kleine quantenmechanische Systeme w¨aren eventuell auch abweichende Besetzungen der Energieniveaus denkbar, wurden in dieser Arbeit aber nicht behandelt. 2. Durch tieferes Greifen in die ’Quanten-Trickkiste’, d.h. die Ausnutzung spezieller Quanten-Eigenschaften und M¨oglichkeiten von Quantensystemen, sind Systeme denkbar, die zumindest vordergr¨ undig neue, u ¨ber die klassische thermodynamische Beschreibung herausreichende Ph¨anomene zeigen [42]. Eine dieser Eigenschaften ist der ’spukhafte’ quantenmechanische Messprozess, dessen Anwendung auf Maschinen im folgenden Kapitel 6 behandelt werden soll.

76

Kapitel 5. Quantenthermodynamische Kreisprozesse

Kapitel 6 Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine 6.1

Einleitung

¨ Dieses Kapitel befasst sich mit Uberlegungen zu einer Quantenversion der SzilardMaschine, die wiederum eine m¨ogliche Realisierung des Konzeptes des Maxwellschen D¨amons ist. Zuerst sollen diese Begriffe in der folgenden Einleitung erl¨autert werden. In dem darauffolgenden Unterkapitel wird anhand eines unvollst¨andigen sowie eines verbesserten Modells der ’asymmetrischen Quanten-Szilard-Maschine’ gezeigt, wie durch unvollst¨andige Betrachtung eines physikalischen Systems Widerspr¨ uche zu Beschreibungen auf anderen Betrachtungsebenen auftreten k¨onnen und wie diese durch die Ber¨ ucksichtigung von “mehr Physik” teilweise aufgel¨ost werden k¨onnen. Auch in diesem Kapitel geht es wieder um den Zweiten Hauptsatz und dessen m¨ogliche Verletzung in der Quantenwelt, wobei gleich vorab bemerkt werden soll, dass auch diesmal keine Bauanleitung f¨ ur ein Perpetuum mobile 2.Art angegeben werden kann.

6.1.1

Der Maxwellsche D¨ amon

Maxwell erw¨ahnte erstmals ¨offentlich 1871 in seinem Buch ’Theory of Heat’ [43] ein Wesen - sp¨ater von Thomson D¨amon genannt - das zwar keine Arbeit verrichten, aber Ventile reibungs- und tr¨agheitsfrei ¨offnen und schließen kann [44]. Er erfand dieses sehr kleine Wesen (Abbildung 6.1), um den statistischen Charakter des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik deutlich zu machen, indem er den D¨amon in einen zweigeteilten Gasbeh¨alter setzte, in dem dieser die herumfliegenden Gasmolek¨ ule oder -atome beobachtete und immer dann, wenn ein solches Teilchen mit einer gr¨oßeren als der Durchschnittsgeschwindigkeit auf die Wand zuflog, eine T¨ ur zwischen den beiden Gasbeh¨altern ¨offnen ließ. Stehen die beiden H¨alften des Gasbeh¨alters anfangs im thermodynamischen Gleichgewicht, d.h. die 77

78

Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine

Gasteilchen haben jeweils die gleiche Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung, so sorgt der D¨amon daf¨ ur, dass nach einer gewissen Zeit dem nicht mehr so ist. In der einen H¨alfte des Beh¨alters werden sich die Teilchen hoher Geschwindigkeit h¨aufen und in der anderen - l¨asst man ihn auch noch die langsameren Teilchen in der anderen H¨alfte beobachten und entsprechend entgegengesetzt behandeln - die Teilchen mit niedriger Geschwindigkeit. Die Entstehung einer inhomogenen Energieoder Temperaturverteilung aus einem thermodynamischen Gleichgewicht heraus ist aber eine Verletzung des Zweiten Hauptsatzes.

Abb. 6.1: Der Maxwellsche D¨amon bei der ’Arbeit’ (aus [44]).

6.1.2

Die klassische Szilard-Maschine

Szilard machte in seinem Artikel von 1929 [45] die Verletzung des Zweiten Hauptsatzes noch offensichtlicher. Er setzt in einem Gedankenexperiment den Maxwellschen D¨amon dazu ein, mit einem Ein-Teilchen-Gas in einem zyklischen Prozess nichts anderes zu machen, als ein W¨armebad abzuk¨ uhlen und mit der W¨armeenergie mechanische Arbeit zu verrichten. Dies ist ein direkter Verstoß gegen den Zweiten Hauptsatz in der Thomsonschen Formulierung. Eine Form der von Szilard erdachten Maschine ist in Abbildung 6.2 gezeigt. W

PSfrag replacements




Bad


➀

Messung

➁

➂ ➃

Abb. 6.2: Eine Form der Szilard-Maschine.

6.1. Einleitung

79

Das erste Bild zeigt das Ein-Teilchen-Gas eingesperrt in einen Beh¨alter, das an ein großes W¨armereservoir (das Bad) einer bestimmte Temperatur T angekoppelt ist. Das Teilchen befindet sich im thermischen Gleichgewicht mit dem Beh¨alter und hat somit auch eine der Temperatur T entsprechende Energie. Nun wird im Schritt ➀ das Bad abgekoppelt und in der Mitte des Beh¨alters eine f¨ ur das Teilchen undurchdringliche Trennwand eingeschoben. Dies erfordert im Klassischen keine Arbeit. Im Schritt ➁ misst nun ein Beobachter, der D¨amon, in welcher der zwei H¨alften sich das Teilchen befindet (Information) und verbindet die jeweilige Seite der Trennwand mit einer Feder (Information → physikalische Korrelation). Das Teilchen arbeitet nun mit seiner thermischen Energie gegen die Feder und spannt diese, bis die Trennwand an der Beh¨alterwand angelangt ist. An diesem Punkt (Schritt ➃) wird die Trennwand wieder ohne Arbeit herausgezogen und der Beh¨alter wieder an das Bad angekoppelt. (Denkbar ist auch, dass das Bad w¨ahrend des gesamten Zyklus an den Beh¨alter gekoppelt ist. Es w¨ urde sich dann um eine isotherme statt um eine adiabatische Expansion handeln.) Nach Durchlaufen eines solchen Zyklus befindet sich das System also wieder im Ausgangszustand, der Effekt des Zyklus ist ein leicht abgek¨ uhltes Bad sowie eine gespannte mechanische Feder. Szilard berechnet nun in seiner Ver¨offentlichung [45] den Entropiebetrag, der irgendwo in diesem Zyklus - seiner Meinung nach bei der Messung - entstehen muss, damit der Zweite Hauptsatz nicht verletzt wird. Des Weiteren beschreibt er ein Modell f¨ ur eine klassische Messung und zeigt, dass bei diesem Modell tats¨achlich mindestens dieser von ihm geforderte Entropiebetrag entsteht. Der Maxwellsche D¨amon und besonders Szilards Vorschlag einer Maschine und deren Eingliederung in die Thermodynamik waren und sind immer noch ¨ Gegenstand ausf¨ uhrlicher Diskussionen. (Einen Uberblick inklusive einer Chronologie der Ver¨offentlichungen zum Thema bietet [44].) Die Verbindung MessungInformation-Arbeit veranlasste viele, darunter auch Philosophen wie z.B. Popper, sich neue Maschinen und Prozesse auszudenken, unter anderem deshalb, um den anscheinend entropieerzeugenden Messprozess bei der Szilard-Maschine zu umgehen. Die Abbildungen 6.3 und 6.4 zeigen Vorschl¨age von Popper (1974) und Feyerabend (1966) bzw. Rothstein (1979). In Abbildung 6.3 stellen A und B Massen dar, die durch die spezielle Aufh¨angung nur nach oben bewegt werden k¨onnen. Bewegt sich der Teller C bzw. D nach unten, tut sich an den Massen A bzw. B nichts. Somit wird unabh¨angig von der Position des Teilchens M immer eine der Massen nach oben gehoben. Die Kenntnis der Position des Teilchens und damit eine Messung ist daf¨ ur nicht n¨otig. Um das System in seinen urspr¨ unglichen Zustand zur¨ uckzuversetzen, wird die Klappe O ge¨offnet und der Stempel P arbeitsfrei in die Mitte geschoben. Dort wird dann O wieder geschlossen. Der in Abbildung 6.4 gezeigte Vorschlag verf¨ ugt auch u ¨ber eine solche (nicht eingezeichnete) Klappe, um den Stempel (’Piston’) arbeitsfrei in die Mitte zur¨ uckbewegen zu k¨onnen. In diesem Beispiel ist wiederum keine Messung n¨otig. Der Stempel wird, unabh¨angig von der Position des Teilchens, von diesem in eine

80

Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine

Abb. 6.3: Maschine (erdacht von Popper und Feyerabend), die ohne Messung der Teilchenposition auskommt (aus [44]). Das kleine Bild in der Mitte ist eine dreidimensionale Darstellung der Teile A,C bzw. B,D.

Abb. 6.4: Maschine (erdacht von Rothstein), die ohne Messung der Teilchenposition auskommt (aus [44]). Der Stempel (’Piston’) enth¨alt schließbare L¨ocher wie in Abbildung 6.3. der beiden Richtungen gedr¨ uckt und zieht dabei u ¨ber das Zahnrad (’Shaft’) eine Feder immer in die selbe Richtung auf. Die Argumentation zur ’Rettung’ des Zweiten Hauptsatzes erfolgt bei Maschinen dieser Art u uckstellen des Stempels, d.h. ¨ber einen Entropiezuwachs beim R¨ beim Wiederherstellen des Ausgangszustandes. Abstrakter kann vom L¨oschen eines Informationsspeichers gesprochen werden [46], d.h. dem Vergessen der Information (die zwar nicht durch eine Messung aber durch die Position des Stempels am Ende der Expansion gewonnen wurde), auf welcher Seite des Stempels sich das Teilchen zu Beginn der Expansion befand.

6.1.3

Die Quanten-Szilard-Maschine

Da die Szilard-Maschine mit einem Ein-Teilchen-Gas arbeitet, d.h. mit einem einzigen Teilchen (Atom oder Molek¨ ul) in einem Beh¨alter, und da offenbar die

6.1. Einleitung

81

Messung, also der Messprozess, eine entscheidende Rolle spielt, ist es sicherlich sinnvoll f¨ ur eine genauere Betrachtung das Modell auf der Ebene der QuantenPSfrag replacements mechanik zu behandeln. Meines Wissens nach wurde erstmals von Zurek eine Quantenversion der Szilard-Maschine genauer betrachtet [47]. Abbildung 6.5 Bad

Messung

➀

➁

VW

➂

V 0

L

W



d x

➅

➃

➄

Abb. 6.5: Quantenversion der Szilard-Maschine. zeigt ein Schema einer solchen Quantenversion. Der Beh¨alter ist nun ein eindimensionaler unendlich hoher Potenzialkasten von der x-Koordinate 0 bis L. Das Teilchen wird durch seine Wellenfunktion repr¨asentiert, im ersten Bild der Abbildung angedeutet durch die ersten zwei Eigenfunktionen des Kastens. Das Teilchen soll anfangs an ein Bad (W¨armereservoir) gekoppelt sein, was zu einer Boltzmann-Besetzung der Energieniveaus f¨ uhrt (Kapitel 3). In Schritt ➀ wird nun als Trennwand eine Potenzialbarriere der Breite d in der Mitte des Beh¨alters hochgefahren bis (3.Bild) auf eine H¨ohe VW , die viel gr¨oßer ist als das h¨ochste noch wesentlich besetzte Energieniveau. W¨ahrend des Hochfahrens des Trennpotenzials ¨andern sich die Eigenfunktionen, bis sie schließlich - in Bild 3 angedeutet angen¨ahert wer- wiederum als Kasteneigenfunktionen der jeweiligen L¨ange L−d 2 den k¨onnen. In Schritt ➂ erfolgt nun eine quantenmechanische bin¨are Messung mit der Ergebnismenge {Teilchen links, Teilchen rechts}. Diese Messung projiziert die Wellenfunktion des Teilchens mit jeweils 50%iger Wahrscheinlichkeit in den linken bzw. rechten Teil des Beh¨alters und macht es so zur Arbeitsverrichtung verf¨ ugbar (Schritt ➃). Durch Herunterfahren des Trennpotenzials, wenn dieses durch die Expansion am Beh¨alterrand angekommen ist (➄) und Ankoppeln an das Bad (➅), erreicht man wieder den Ausgangszustand. Zurek geht nun auf den Schritt ➂ der quantenmechanischen Messung n¨aher ein und modelliert den Messapparat - den D¨amon - als ein Quantensystem mit zwei Niveaus. Betrachtet man dessen Wechselwirkung (¨ uber einen entsprechenden Kopplungshamiltonian) mit dem System, so zeigt sich in der Analyse, dass der Prozess zwar wie oben beschrieben ablaufen kann, der D¨amon aber sich nach der Messung in einem gemischten Zustand befindet. Dieser gemischte Zustand hat eine h¨ohere von-Neumann Entropie als der urspr¨ unglich reine Zustand des

82

Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine

D¨amons, den dieser vor der Messung besaß. Um also das System wirklich zyklisch arbeiten lassen zu k¨onnen, d.h. um nach Schritt ➅ wirklich wieder den Anfangszustand vorzufinden, muss auch der D¨amon wieder in seinen urspr¨ unglichen reinen ’ready to measure’-Zustand gebracht werden. Dies erfordert, wie Zurek zeigt, eine Entropieentnahme aus dem System von der Gr¨oße kB ln 2, was genau der Entropieerniedrigung im Gas bei der Expansion entspricht. Die Gesamtentropiebilanz f¨ ur einen Zyklus der Maschine ∆S = 0 gen¨ ugt also wiederum dem Zweiten Hauptsatz. Dass die L¨oschung der bei der Messung gewonnenen Information der entropieerzeugende Prozess des Zyklus ist, ist h¨aufig angezweifelt worden und Zurek selbst zeigt [49], dass diese Vorstellung - durch ’effizientere Speicherung’ der Information - dazu f¨ uhren kann, dass der Zweite Hauptsatz doch verletzt ist (auch wenn er diese Konsequenz seiner Abhandlung nicht explizit erw¨ahnt). Interessant w¨are also ein Zyklus, der ohne eine Messung auskommt, zum einen weil ohne Messung auch keine Information gewonnen und wieder gel¨oscht werden muss, zum anderen, weil der quantenmechanische Messprozess noch immer nicht vollst¨andig verstanden ist (zumindest von mir). Ein solcher Zyklus ohne Messung wird in den folgenden zwei Unterkapiteln untersucht.

6.2 6.2.1

Asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine Unvollst¨ andiges Modell

Die Betrachtungen aus Kapitel 4 zur mechanischen Einbettung und zum ’Druck’ ¨ auf Potenzialw¨ande f¨ uhren zur Uberlegung, die Trennwand außerhalb der Mitte ugen. Im Folgendes Kastens, d.h. asymmetrisch bei der Position x0 6= L2 einzuf¨ den wird gezeigt, dass in einer ersten groben Betrachtung tats¨achlich mit dieser ¨ Uberlegung eine Kraft auf die Trennwand resultiert und eine Maschine denkbar ist, die mechanische Arbeit verrichtet, ohne Information in irgendeiner Weise anzuh¨aufen, deren eventuelles L¨oschen Entropie erzeugen w¨ urde. In einer genaueren Betrachtung dieses Prozesses in Abschnitt 6.2.2 wird dann aber gezeigt, dass dieses Bild falsch ist und der Zweite Hauptsatz doch gilt. In diesem ersten groben Bild wird von zwei Annahmen ausgegangen, die sich in Abschnitt 6.2.2 als unhaltbar herausstellen werden: 1. Die Trennwand (hier unendlich d¨ unn mit d = 0) lasse sich instantan und ohne Verrichtung von Arbeit an der Position x0 in den Kasten einf¨ ugen. 2. Die Wahrscheinlichkeiten, das Gasteilchen auf den jeweiligen Seiten links bzw. rechts der Trennwand anzutreffen, ¨anderen sich durch das Einschieben der Wand nicht, sie sind also durch die Wellenfunktion vor Einschieben der Wand vorgegeben.

PSfrag replacements 6.2. Asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine Bad

wl (x0 )

83 Bad

wr (x0 )

➀

➁

V 0

x0

L

x0

x0 E➁

x

➂


W

E➄





➄ ➃

x1 Abb. 6.6: Modell der asymmetrischen Quanten-Szilard-Maschine. Diese zwei Annahmen resultieren aus der Betrachtung eines solchen Prozesses in der klassischen Mechanik, wo sie beide g¨ ultig sind. Abbildung 6.6 zeigt den Zyklus der asymmetrischen Quanten-SzilardMaschine. Das erste Bild zeigt den unendlich hohen eindimensionalen Kasten an das W¨armereservoir mit der Temperatur T (Bad) gekoppelt. Das Teilchen der Masse M wird durch die ersten beiden Eigenfunktionen im Kasten angedeutet, wobei die jeweiligen Eigenfunktionen im thermischen Gleichgewicht mit dem Bad mit den Boltzmann-Wahrscheinlichkeiten (Gleichung (5.7)) besetzt sind. An der Stelle x0 wird in Schritt ➀ die unendlich hohe und unendlich d¨ unne Trennwand eingesetzt unter der Annahme, dass die Wahrscheinlichkeiten das Teilchen links bzw. rechts von x0 zu finden, w l (x0 ) bzw. w r (x0 ), erhalten bleiben. Diese werden also schon ausgehend vom Zustand im ersten Bild von Abbildung 6.6 berechnet. Nach Einf¨ ugen der Trennwand werden in Schritt ➁ beide Teilbeh¨alter wieder an das Bad der Temperatur T angekoppelt. Durch Aufnahme der W¨armeenergie E➁ aus dem Bad werden die Energieniveaus beider Teile des Kastens jeweils wieder Boltzmann-besetzt. In Schritt ➂ wird an die der Mitte des Kastens abgewandten Seite der Trennwand eine mechanische Feder montiert, welche durch eine resultierende Gesamtkraft, wie sp¨ater gezeigt werden wird, zur Mitte hin bis zu einer optimalen Position x1 ausgedehnt wird. Dabei wird an der Feder die mechanische Arbeit W verrichtet. An der Position x1 wird nun die Trennwand wieder instantan aus dem Kasten entfernt (Schritt ➃), was zu einer typischerweise nicht Boltzmann-verteilten Besetzung der urspr¨ unglichen Energieeigenfunktionen des gesamten Kastens f¨ uhrt. Um den Ausgangszustand wieder zu erreichen, wird unter Aufnahme der W¨armeenergie E➄ das Bad angekoppelt (Schritt ➄). Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in einem bestimmten Energieniveau n des gesamten Kastens (von 0 bis L) links von x0 anzutreffen betr¨agt (mit den

84

Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine

Energieeigenfunktionen eines Teilchens im unendlich hohen Kasten (Gleichung (A.25))) Z x0 Z ³ 2 x0 2 ³ π ´ x0 1 x0 ´ 2 l |ψn | dx = sin n x dx = − sin 2πn wn (x0 ) = . L 0 L L 2πn L 0 (6.1) Die entsprechende Wahrscheinlichkeit, das Teilchen rechts anzutreffen Z L r wn (x0 ) = |ψn |2 dx = 1 − wnl (x0 ) . (6.2) x0

Mit dem Boltzmann-Faktor erh¨alt man die Gesamtwahrscheinlichkeiten ∞ X l/r pn (En )wnl/r (x0 ) . w (x0 ) =

(6.3)

m=1

Dabei sind die En die Energieeigenwerte des Teilchens im gesamten Kasten (Gleichung (A.26)). Diese Gesamtwahrscheinlichkeiten bleiben u ¨ber den gesamten Zyklus bis zum Herausziehen der Trennwand erhalten, die einzelnen Besetzungszahlen der jeweiligen Niveaus links und rechts aber a¨ndern sich nach dem Ankoppeln des Bades in Schritt ➁. Die neuen Eigenenergien links bzw. rechts nach Einf¨ ugen der Wand in Schritt ➀ sind π 2 ~2 π 2 ~2 2 r m2 , (6.4) n ; E = Enl = m 2M x20 2M (L − x0 )2 woraus sich entsprechende neue Boltzmann-Verteilungen nach Ankoppeln des Bades in Schritt ➁ ergeben (analog zu Gleichung (5.7)): pln (Enl ) ;

r ). prm (Em

(6.5)

Diese sind nun aber nicht auf Eins normiert, sondern so, dass die Summe u ¨ber alle Faktoren auf jeder Seite jeweils die Gesamtwahrscheinlichkeiten aus Gleichung (6.3) ergeben: ∞ X

! pln (Enl ) =

l

w (x0 ) ;

∞ X

!

r prm (Em ) = wr (x0 ) .

(6.6)

m=1

n=1

Die W¨armeenergie E➁ kann nun als Differenz der Energien der Systeme in den Bildern 3 und 1 berechnet werden: ∞ ∞ X X l l l r r r E➁ = E 3 − E 1 = pn (En )En + pn (En )En − pn (En )En . (6.7) n=1

n=1

Analog ergibt sich f¨ ur die W¨armeenergie E➄ (die Ausdehnung in Schritt ➂ erfolgt adiabatisch, d.h. unter Erhaltung der Besetzungszahlen, siehe Unterkapitel 5.3): E➄ = E 1 − E 4 =

∞ X n=1

pn (En )En −

∞ X

pln (Enl (x0 ))Enl (x1 ) + prn (Enr (x0 ))Enr (x1 ) .

n=1

(6.8)

PSfrag replacements

6.2. Asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine

85

wl 1 0.8 0.6

T1 = 1K

0.4 0.2 0.2

0.4

0.6

T2 = 100K x0 [nm] 0.8 1

Abb. 6.7: Wahrscheinlichkeit, das Teilchen links der Position x0 anzutreffen f¨ ur den unendlich hohen Kasten ohne Trennwand der L¨ange L = 1nm. Energieerhaltung fordert E➁ + E ➄ + W = 0 .

(6.9)

Aus Gleichung (6.4) lassen sich die Kr¨afte auf die Trennwand berechnen (vergleiche Kapitel 4): Fnl = −

π 2 ~2 2 ∂Enl = n ; ∂x0 M x30

Fmr = −

r ∂Em π 2 ~2 m2 . =− ∂x0 M (L − x0 )3

(6.10)

Dabei wirken die Fnl von links auf die Trennwand, die Fmr von rechts. Multipliziert mit den entsprechenden Boltzmann-Faktoren aus Gleichung (6.5) und summiert u ¨ber jeweils alle Quantenzahlen ergeben sich die Gesamtkr¨afte Fl =

∞ X n=1

pln (Enl )Fnl

und F r =

∞ X

r )Fmr . prm (Em

(6.11)

m=1

Alle diese Terme sind aufgrund der unendlichen Summen und der BoltzmannFaktoren unsch¨on in der Handhabung, lassen sich aber mit einem Programm wie Mathematica berechnen und veranschaulichen. Dabei werden in den auftretenden Summen jeweils nur die ersten 50 Terme ber¨ ucksichtigt, wobei darauf zu achten ist, dass die darauf folgenden Terme tats¨achlich klein sind im Vergleich zu den ber¨ ucksichtigten. Die folgenden Rechnungen sind f¨ ur ein Proton (M = mP ≈ 1.673 · 10−27 kg) in einem Kasten der L¨ange 1nm = 10−9 m durchgef¨ uhrt. Abbildung 6.7 zeigt die Gesamtwahrscheinlichkeit w l , das Teilchen links der Position x0 der Wand anzutreffen aus Gleichung (6.3) in Abh¨angigkeit von x0 f¨ ur die Temperaturen T1 = 1K und T2 = 100K. Die Kurve f¨ ur die h¨ohere Temperatur T2 = 100K kommt der zu erwartenden Kurve, w¨ urde das Teilchen klassich behandelt, einer Geraden, schon sehr nahe. Mit w l und den Gleichungen (6.11) l¨asst sich das Verh¨altnis der Betr¨age der beiden Kr¨afte auf die Trennwand von links und von rechts berechnen. Dies zeigt

PSfrag replacements 86

Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine |F l | |F r | 6

T1 = 10K

4

T2 = 100K 2 1 0.2

0.4

0.6

0.8

1

x0 [nm]

Abb. 6.8: Verh¨altnis der Betr¨age der Kr¨afte von den verschiedenen Seiten auf die Trennwand in Abh¨angigkeit der Einschubposition x0 . f¨ ur die beiden Temperaturen T1 = 10K und T2 = 100K die Abbildung 6.8 in Abh¨angigkeit der Position x0 , an der die Wand eingef¨ ugt wird. W¨ urden die oben genannten Annahmen bez¨ uglich des Einf¨ ugens der Wand sowie der Erhaltung der Wahrscheinlichkeiten links und rechts zutreffen, so zeigt Abbildung 6.8, dass auf die an der Position x0 6= L2 eingesetzte Trennwand tats¨achlich eine Kraft zur Mitte des Gesamtbeh¨alters wirkt: Ist x0 < L2 , so ist F l , die Kraft von links, gr¨oßer als F r . Ist x0 > L2 , ist das Verh¨altnis genau andersherum. Nur wenn die Wand exakt bei x0 = L2 eingeschoben wird, kompensieren sich die Kr¨afte von links und rechts. Wird nun die Wand von der Stelle x0 weg adiabatisch verschoben, so ¨andern sich die Energieterme und damit die Kr¨afte auf den beiden Seiten, nicht aber die l/r Besetzungswahrscheinlichkeiten. pn = const. folgt aus der adiabatischen Annahme [40][13], also dem Prozess, der im Allgemeinen am wenigsten Arbeit erfordert bzw. am meisten Arbeit verf¨ ugbar macht. x0 wird also zu einem Parameter wie dies auch die Temperatur T ist: ³ l/r ´ 0) exp − EnkB(x T l/r l/r ³ l/r ´ = const. . pn (x0 , T ) = w (x0 ) P (6.12) ∞ Em (x0 ) exp − m=1 kB T Die neuen Kr¨afte nach einer Verschiebung der Wand, die bei der Position x 0 eingef¨ ugt wurde, zur Position x sind also F

l/r

(x; x0 , T ) = −

∞ X

pl/r n (x0 , T )

n=1

∂ l/r E (x) ∂x n

(6.13)

mit den neuen Energien Enl (x) =

π 2 ~2 2 n ; 2M x2

r = Em

π 2 ~2 m2 . 2M (L − x)2

(6.14)

PSfrag replacements 6.2. Asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine

F l + F r [10−12 N]

87

T1 = 10K

2

T2 = 100K

1 0.2

0.3

0.4

0.5

x[nm]

−1 −2

PSfrag replacements Abb. 6.9: Summe der Kr¨afte auf die Trennwand von links und rechts nach Einschieben bei der Position x0 = 0.1 · 10−9 m in Abh¨angigkeit der Position x. W [10−22 J]

T1 =10K T2 =100K

1.6 1.2 0.8 0.4 0.2

0.3

0.4

0.5

x[nm]

−0.4

Abb. 6.10: Arbeit im Expansionsprozess f¨ ur x0 = 0, 1 · 10−9 m in Abh¨angigkeit der Position x der Wand. Die Wand wird nun so lange von der Einschubposition x 0 zur Mitte des Gesamtkastens hin verschoben, bis an der Stelle x1 Kr¨aftegleichgewicht zwischen den Kr¨aften von links und rechts herrscht: F l (x1 ; x0 , T ) = −F r (x1 ; x0 , T ). Abur ein x0 = 0, 1 · 10−9 m und bildung 6.9 zeigt die Summe der beiden Kr¨afte f¨ die Temperaturen T1 = 10K und T2 = 100K zu Beginn der Verschiebung. F¨ ur den in Abbildung 6.9 gezeigten Fall betr¨ uge die Endposition der Verschiebung −10 x1 ≈ 1, 60 · 10 m bei T1 = 10K und x1 ≈ 1, 32 · 10−10 m bei T2 = 100K. Die durch eine solche Verschiebung der Wand extrahierbare Arbeit betr¨agt Z x1 ¡ l ¢ F (x; x0 , T ) + F r (x; x0 , T ) dx (6.15) W (x1 ; x0 , T ) = − x0

und ist in Abbildung 6.10 wiederum f¨ ur x0 = 0, 1 · 10−9 m und die zwei Temperaturen T1 = 10K und T2 = 100K dargestellt. Negative Werte in Abbildung 6.10 bedeuten, dass Arbeit aus dem System entnommen wird. Deren Maximum liegt genau bei x1 , der Nullstelle aus Abbildung 6.9. Die Arbeit im Expansionsprozess

88

Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine

PSfrag replacements

2 0.5

0 −1

0.3

W [10−23 J]

0.5

x[nm] 0.3

0.1 0.1

x0 [nm]

Abb. 6.11: Arbeit im Expansionsprozess in Abh¨angigkeit von x0 und x f¨ ur die Temperatur T = 10K. Die horizontalen Fl¨achen im positiven Bereich der Arbeit sind darstellungsbedingt und stehen f¨ ur noch gr¨oßere Arbeitswerte. kann auch abh¨angig von x und x0 aufgetragen werden (Abbildung 6.11). Die Abbildungen zeigen, dass es unter diesen Annahmen tats¨achlich Parameterbereiche mit W < 0 gibt, d.h. Bereiche, in denen die Maschine nichts anderes tut, als W¨armeenergie des Reservoirs in mechanische Arbeit umzuwandeln. Ein D¨amon, der z.B. die Teilchenposition feststellt, ist f¨ ur dieses System nicht mehr n¨otig, man ben¨otigte ausschließlich einen Mechanismus, der eine Trennwand an einer zu ermittelnden optimalen Stelle x0 in den Kasten einf¨ ugt und diese an einer anderen optimalen Stelle x1 wieder herausnimmt. Diese beiden optimalen Stellen sind abh¨angig von der Temperatur und der Kastengr¨oße L und entspr¨achen dem Minimum der Auftragung in Abbildung 6.11. Der beschriebene Kreisprozess ¨ besitzt dann Ahnlichkeit mit dem Carnot-Prozess.

6.2.2

Verbessertes Modell

Die grobe Betrachtung der asymmetrischen Quanten-Szilard-Maschine in Abschnitt 6.2.1 f¨ uhrt also zu einer offensichtlichen Verletzung des Zweiten Hauptsatzes, die nicht mehr wie in [47] durch eine eventuelle Informationsl¨oschung, ein Zur¨ ucksetzen des D¨amons, korrigierbar w¨are. Um diesen Umstand weiter zu untersuchen, werden im Folgenden zuerst die beiden zu Beginn des Abschnitts 6.2.1 genannten Annahmen und anschließend der gesamte Prozess genauer untersucht. Die beiden Annahmen, die Trennwand lasse sich ohne Verrichtung von Arbeit in den Kasten einf¨ ugen und ver¨andere die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten des Teilchens nicht, sind in der klassischen Mechanik g¨ ultig, ihre G¨ ultigkeit in der Quantenmechanik darf aber nicht ohne eingehendere Untersuchung vorausgesetzt werden. In dem in den vorigen Kapiteln entwickelten Bild der verschiede-

6.2. Asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine PSfrag replacementsV





∞






I

II








d






VW (t)








0

x0

89 ∞                       

III

L

x

Abb. 6.12: Potenzial f¨ ur das Einf¨ ugen der Trennwand mit den drei Bereichen I, II, III. nen Einbettungen handelt es sich beim bis jetzt beschriebenen, unvollst¨andigen Modell um eine thermodynamische (Boltzmann-Verteilung!), nicht aber um eine quantenmechanische Einbettung. Um die Beschreibung n¨aher an die Realit¨at zu bringen, soll im Folgenden ein Schritt in Richtung quantenmechanische Einbettung gemacht werden, indem der Prozess des Einf¨ ugens der Trennwand in den Kasten quantenmechanisch behandelt wird. Die Trennwand ist in diesem eindimensionalen Fall ein rechteckiger Potenzialwall der Breite d und H¨ohe VW (t), der von Null auf einen Wert VW,0 hochgefahren wird. Dieses Hochfahren soll wieder adiabatisch (d.h. dem ’adiabatic following’ gen¨ ugend) passieren, so dass die Besetzungszahlen pn (En ) der einzelnen Niveaus En konstant bleiben. Was sich ¨andern wird, sind die Eigenfunktionen Ψn (x; t) und -energien En (t), es muss also die Schr¨odingergleichung f¨ ur das in Abbildung 6.12 gezeigte Potenzial gel¨ost werden. Die station¨are Schr¨odingergleichung f¨ ur das Teilchen der Masse M (Gleichung (2.16)) ~2 ∂ 2 ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) (6.16) − 2M ∂x2 l¨asst sich aufspalten in die drei Bereiche ¾ I) 0 ≤ x ≤ x0 − d2 V (x) = 0 II) x0 + d2 ≤ x ≤ L (6.17) d d III) x0 − 2 ≤ x ≤ x0 + 2 V (x) = VW . Die Ans¨atze zur L¨osung der Schr¨odingergleichung in diesen Bereichen sind I) ψI (x) = A1 eB1 x + D1 e−B1 x II) ψII (x) = A2 eB2 x + D2 e−B2 x III) ψIII (x) = A3 eB3 x + D3 e−B3 x . Dazu kommen

(6.18)

90

Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine 1. die Randbedingungen durch das unendlich hohe Potenzial: !

(6.19)

!

(6.20)

ψ(0) = 0 ψ(L) = 0 ,

2. die Anschlussbedingungen an den Grenzen der verschiedenen Bereiche (die Schr¨odingergleichung erlaubt nur st¨ uckweise stetige Funktionen als L¨osung): ψI (x0 − d2 ) ∂ψI (x0 − d2 ) ∂x ψII (x0 + d2 ) ∂ψII (x0 + d2 ) ∂x 3. die Normierung

Z

L 0

!

= ψII (x0 − d2 ) ∂ψII ! = (x0 − d2 ) ∂x ! = ψIII (x0 + d2 ) ∂ψIII ! = (x0 + d2 ) , ∂x

!

|ψ(x)|2 dx = 1 .

(6.21) (6.22) (6.23) (6.24)

(6.25)

Die komplette L¨osung dieses Problems findet sich im Anhang A.6. Im Folgenden soll zuerst eine qualitative Betrachtung angef¨ uhrt werden, danach werden die Ergebnisse aus Anhang A.6 grafisch dargestellt. Qualitative Betrachtung Die Schr¨odingergleichung links und rechts der Trennwand (in den Bereichen I und III) ist die gleiche, d.h. die Abschnitte der Wellenfunktion in diesen Bereichen werden die gleichen Wellenl¨angen haben. Wird nun ein Rechteckpotenzial z.B. an der Stelle x0 > L2 eingef¨ ugt und sehr hoch gew¨ahlt, wird die Amplitude der Wellenfunktion in diesem Bereich II der Breite d sehr klein werden gegen¨ uber den anderen Bereichen. Bei der Grundzustandswellenfunktion n = 1 des freien Kastens, der halben Sinuswelle, kann dann die Anschlussbedingung (6.23) nur gew¨ahrleistet werden, wenn auch die Amplitude der Wellenfunktion im kleineren Teil des Kastens, Bereich III, sehr klein wird und f¨ ur VW → ∞ gegen Null geht. ¨ ¨ Ahnliche Uberlegungen k¨onnen f¨ ur die h¨oheren Eigenfunktionen mit k¨ urzeren Wellenl¨angen angestellt werden: Wann immer die Trennwand rechts des letzten Maximums der Wellenfunktion des Kastens ohne Trennwand eingesetzt wird und hoch genug ist, wird die Amplitude im kleineren Teil des Kastens gegen Null ge¨ hen. Uber das Verhalten der Wellenfunktion beim Einf¨ ugen der Wand an anderen Positionen ist eine solche absch¨atzende Aussage schwieriger zu machen.

6.2. Asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine

PSfrag replacements

91

Im(ψ)

Im(ψ)

Im(ψ)

1.4

1.5

1.5

1.2

1.25

1.25

1

1

0.8 0.6

PSfrag replacements

0.75

PSfrag replacements

1 0.75

0.5

0.5

0.25

0.25

0.4 0.2 0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

(a) VW = 500

0.2

0.4

0.6

0.8

(b) VW = 2500

1

x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

(c) VW = 12500

Abb. 6.13: Grundzustandsfunktion n = 1 nach Einf¨ ugen der Trennwand bei x0 = 0, 8 f¨ ur drei verschiedene Wandh¨ohen. Rechnerische L¨ osung ur die Eigenenergien sowie die KoeffiziIn Anhang A.6 sind die Gleichungen f¨ enten der L¨osung der Schr¨odingergleichung (6.18) gegeben. Die Eigenenergien En k¨onnen durch numerische L¨osung von Gleichung (A.68) durch ein Programm wie Mathematica gefunden werden. Diese L¨osungen f¨ ur En werden dann in die Gleichungen (A.70), (A.65), (A.66) und (A.67) eingesetzt und die zugeh¨origen Eigenfunktionen bestimmt. Dies und das Plotten der Funktionen geschieht ebenfalls mit Mathematica. In den folgenden Diagrammen wurde ~ = 1, M = 1 und L = 1 gesetzt. Dies ¨andert nichts am qualitativen Verlauf der Wellenfunktionen. Mit diesen Einheiten wird die Energie dann in der L¨angeneinheit hoch minus Zwei gemessen ([E] = [L]−2 ) und da die L¨angeneinheit auch gleich Eins gew¨ahlt wurde, entf¨allt die Einheit f¨ ur die Energie ebenso. Die Trennwanddicke d wurde zu d = 0, 01 gew¨ahlt, also einem Hundertstel der Kastengr¨oße. Die Abbildungen 6.13(a) bis 6.13(c) zeigen die Grundzustandsfunktion des Kastens (n = 1) mit einem Trennwand-Rechteckpotenzial an der Stelle x 0 = 0, 8 f¨ ur die drei verschiedenen Trennwandpotenzialh¨ohen VW = 500, 2500 und 12500, die Abbildungen 6.14(a) bis 6.14(c) die entsprechenden Eigenfunktionen f¨ ur n = 2. Aufgetragen ist jeweils der Imagin¨arteil von ψ(x). Der Realteil ist auf Grund der speziellen Wahl in A.6 f¨ ur alle drei Bereiche f¨ ur diesen einen Zeitpunkt Null. Die Eigenenergien f¨ ur die drei Trennwandpotenziale betragen f¨ ur n = 1 E1 ≈ 6, 540; 7, 394 und 7,675, f¨ ur n = 2 E2 ≈ 25, 52; 29, 50 und 30,70. 2 Die entsprechenden Eigenenergien ohne Trennwand sind E 10 = π2 ≈ 4, 935 2 und E20 = π2 22 ≈ 19, 74. Die Eigenenergien eines Kastens ohne Trennwand π2 der L¨ange L = x0 = 0, 8 betragen E10 (L = 0, 8) = 2·(0,8) ≈ 7, 711 und 2 2

π 2 E20 (L = 0, 8) = 2·(0,8) 2 2 ≈ 30, 84. Die Bilder best¨atigen die zuvor gemachten qualitativen Aussagen: Die Wellenfunktion wird f¨ ur wachsendes Trennpotenzial in diesen beiden F¨allen aus dem kleineren Teil des Kastens verdr¨angt, das Einf¨ ugen einer Trennwand kommt al-

92

Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine Im(ψ) 1.5

PSfrag replacements

Im(ψ)

Im(ψ)

1.5

1.5

1

1

1

0.5

0.5

0.5

x PSfrag replacements

0.2

0.4

0.6

0.8

1

PSfrag replacements x

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2

1

-1

-1

-1

-1.5

-1.5

-1.5

(a) VW = 500

0.4

0.6

0.8

1

x

-0.5

-0.5

-0.5

(b) VW = 2500

(c) VW = 12500

Abb. 6.14: Erste angeregte Eigenfunktion n = 2 nach Einf¨ ugen der Trennwand bei x0 = 0, 8 f¨ ur drei verschiedene Wandh¨ohen. so einer adiabatischen Kompression des Kastens von der L¨ange L auf x0 gleich. Folglich kann durch einen Arbeitsschritt, wie er im Zyklus der Quanten-SzilardMaschine vorgesehen ist, nur genau die Arbeit aus dem System extrahiert werden, die durch das Einf¨ ugen der Trennwand in das System gesteckt wurde. Im Folgenden soll die Betrachtung abh¨angig von der Temperatur gemacht werden. Durch die Ankopplung des Bades mit der Temperatur T vor Einf¨ ugen der Trennwand nimmt die Besetzung der Energieniveaus im Kasten eine BoltzmannVerteilung zur Temperatur T an: ³ ´ 0 exp − kEBnT ³ ´. pn (En0 ) = P (6.26) 0 ∞ Em exp − m=1 kB T

Diese Besetzungszahlen ¨andern sich beim adiabatischen Einf¨ ugen der Wand nicht, solange das Einf¨ ugen nicht zur Entartung vorher nicht entarteter Energieniveaus f¨ uhrt (wovon vorerst ausgegangen werden soll). Der Boltzmann-Faktor k B wird gleich Eins gesetzt, wodurch die Temperatur einheitenlos wird. 1. T → 0: In sehr tiefen Temperaturbereichen dominiert die Besetzung des Grundzustandes: p1 (E1 ) ≈ 1. In diesem Fall wird eine arbeitende asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine auf keinen Fall m¨oglich sein, da f¨ ur die Eigenfunktion mit n = 1 das Wandeinf¨ ugen bei x0 6= L2 immer genau die gleiche Arbeit erfordert wie die adiabatische Expansion von x 0 auf L (vergleiche Abbildungen 6.13(a) bis 6.13(c)). 2. T → ∞: Dies entspricht dem klassischen Fall. Abbildung 6.15 zeigt die Wahrscheinlichkeit w l , das Teilchen links der bei x0 = 0, 7 eingef¨ ugten Trennwand (d = 0, 05) zu finden f¨ ur verschiedene Temperaturen T . Die Kastenl¨ange betr¨agt auch hier L = 1, die Trennwandpotenzialh¨ohe VW = 2500. F¨ ur T → ∞ geht die Wahrscheinlichkeit gegen den klassisch zu erwartenden l Wert wklass. = x0 − d2 = 0, 675 und somit ist auch kein dominanter Druck von einer der beiden Seiten zu erwarten. Existiert aber kein resultierender

6.2. Asymmetrische Quanten-Szilard-Maschine

93

wl 200

400

600

800

1000

T

0.95 0.9 0.85 0.8

PSfrag replacements 0.75 0.7

¨ Abb. 6.15: Ubergang zum Klassischen, dargestellt als die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen links der Trennwand bei x0 = 0, 7 anzutreffen in Abh¨angigkeit der Temperatur. Druck bzw. keine Kraft auf die Trennwand, so ist der Arbeitsprozess der Quanten-Szilard-Maschine nicht m¨oglich. 3. Mittlere T : F¨ ur Trennwandpositionen x0 6= L2 kann es durchaus f¨ ur bestimmte Eigenfunktionen zur Quantenzahl n vorkommen, dass die Wellenfunktion durch das Hochfahren des Potenzials nicht aus dem kleineren, sondern aus dem gr¨oßeren Teil des Kastens ’verdr¨angt’ wird. So z.B. f¨ ur n = 2 2 L ur n = 9 (Abbildung 6.16(b)). und 2 < x0 < 3 L (Abbildung 6.16(a)) oder f¨ Die Untersuchung der anderen zu diesen Parametern geh¨orenden Eigenfunktionen zeigt aber, dass die meisten - insbesondere die tiefliegenden und damit h¨oher besetzten - Eigenfunktionen aus dem kleineren Teil des Kastens ’verdr¨angt’ werden. Es dominiert also auch f¨ ur diesen Fall mittlerer Temperaturen f¨ ur thermische Besetzungen die Kraft von der Kastenmitte weg. Ein einfaches Gleichsetzen der n¨otigen bzw. freiwerdenden Arbeiten zum Einf¨ ugen der Trennwand und bei der adiabatischen Expansion ist in diesem Fall nicht mehr m¨oglich. Ohne eingehendere Untersuchung kann aber hierbei davon ausgegangen werden, dass bei einer adiabatischen Expansion und thermischer Besetzung der Energieniveaus nicht mehr Arbeit dem System entzogen werden kann, als ihm durch das Trennwandeinf¨ ugen zugef¨ uhrt wurde. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass zum Trennwandeinf¨ ugen (endliche Dicke d 6= 0) immer - egal wie die Energieniveaus des Kastens besetzt sind Arbeit n¨otig ist. Das Maximum an Arbeit, das aus dieser neuen Wellenfunktion nach Einf¨ ugen der Trennwand gewonnen werden kann, ist f¨ ur jede Quantenzahl n die Differenz der Energien des neuen Zustands und des Zustands mit geringster Energie zur Quantenzahl n. Dies aber ist der urspr¨ ungliche Zustand im Kasten

94

Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine Im(ψ)

Im(ψ) 0.2

0.4

0.6

0.8

1

x 2

-0.5

1 -1

0.2

PSfrag replacements -1.5

PSfrag replacements

0.4

0.6

0.8

1

x

-1 -2

-2

(a) n = 2; x0 = 0, 6

(b) n = 9; x0 = 0, 8

Abb. 6.16: F¨alle, in denen die Wellenfunktion durch das Hochfahren des Trennwandpotenzials aus dem gr¨oßeren Teil des Kastens ’verdr¨angt’ wird (L = 1; d = 0, 01; VW = 10000). ohne Trennwand, d.h. maximal kann bei einer adiabatischen Expansion genau die Arbeit dem System entnommen werden, die ihm vorher durch Einf¨ ugen der Wand zugef¨ uhrt wurde.

6.3

Zusammenfassung

Aus den vorhergehenden Betrachtungen l¨asst sich Folgendes schließen: 1. Eine zu grobe, ’zu klassische’ Betrachtungsweise eines mikroskopischen Systems kann leicht zu verfr¨ uhten Schl¨ ussen und Ableitungen f¨ uhren. Auch das in Abschnitt 6.2.2 beschriebene System kann durchaus noch Raum f¨ ur ¨ Uberraschungen bieten, denn selbst dieses detaillierte Bild ist immer noch weit entfernt von einer voll quantenmechanischen Behandlung. Es ist noch insofern semi-klassisch, als die auftretenden Potenziale der W¨ande und der Trennwand nicht durch quantenmechanische Teilchen oder quantisierte Felder beschrieben werden. Dieser Punkt ist in gewisser Weise analog zur Diskussion um die SzilardMaschine und besonders deren Quantenversion zu verstehen. Auch dort trat so lange eine Verletzung des Zweiten Hauptsatzes ein, so lange der Messprozess in der Modellierung ’vom Himmel fiel’ und nicht auch modelliert wurde. Erst als Zurek genau diesen Schritt machte [47], funktionierte die Maschine wieder in Einklang mit der ’globalen’ Beschreibung durch die Thermodynamik. Entsprechend kl¨aren sich vielleicht andere Unklarheiten spezieller Gedankenexperimente, wenn ein konsistentes Modell des quantenmechanischen Messprozesses aufgestellt wurde (so fern so eines existiert).

6.3. Zusammenfassung

95

2. F¨ ur eine Quantenversion der Szilard-Maschine nach Zurek k¨onnen zwei Forderungen abgeleitet werden: (a) Die Trennwand der Quanten-Szilard-Maschine muss exakt in der Mitugt werden. Ist dies nicht der Fall, so te des Kastens bei x0 = L2 eingef¨ werden zumindest bei tiefen Temperaturen die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten des Teilchens im linken bzw. rechten Teil des Kastens stark ver¨andert und unter Umst¨anden ist sehr viel Energie notwendig, um die Wand einzuf¨ ugen. Dies wiederum heißt, dass die Quanten-SzilardMaschine nach Zurek f¨ ur T → 0 nicht robust ist, d.h. selbst infinitesimale Abweichungen der Wandeinschubposition von x 0 = L2 lassen die Maschine nicht mehr im urspr¨ unglichen Sinne laufen. (b) Es muss eine Messung erfolgen. Erst die Messung macht die Energie des Teilchens verf¨ ugbar und ausnutzbar f¨ ur eine Expansion. Die Messung steckt zwar keine Energie in das System, sie macht aber durch die Konzentration (Projektion) der Wellenfunktion in einem der beiden Teile des Kastens die vorhandene Energie nutzbar. Die obige Beschreibung der asymmetrischen Quanten-SzilardMaschine ist also keine Realisierung des Maxwellschen D¨amons, da im gesamten Zyklus keine Messung auftaucht. Die ganze mit der Messung und der darauf folgenden L¨oschung der Information verbundene, bei der Szilard-Maschine auftretende Problematik bleibt hier außen vor, was im Nachhinein den Namen ’asymmetrische Quanten-SzilardMaschine’ etwas ungl¨ ucklich gew¨ahlt erscheinen l¨asst. Das in diesem Kapitel beschriebene Modell scheint eine interessante Analogie zum quantenmechanischen Messprozess zu bieten: Wird die Wand z.B. f¨ ur L den Grundzustand des Teilchens n = 1 nur minimal von der Mitte 2 abweichend eingef¨ ugt und hoch genug gew¨ahlt, so wird die Wellenfunktion des Teilchens praktisch vollst¨andig im gr¨oßeren Teil des Kastens lokalisiert, was einer Messung mit der Ergebnismenge {Teilchen links, Teilchen rechts} gleich kommt. Es w¨are also m¨oglich, ein Arbeits¨aquivalent der Messung zu definieren. Wie schon in der Einleitung zu diesem Kapitel erw¨ahnt, scheitert auch dieser Versuch, den Zweiten Hauptsatz zu verletzen. Die Untersuchung der asymmetrischen Quanten-Szilard-Maschine erbrachte zwar zwei recht rigorose Bedingungen f¨ ur eine Maschine nach Zurek, sie kann aber - wie schon oben beschrieben - die Frage, ob der zum Erhalt des Zweiten Hauptsatzes n¨otige Entropiebetrag nun bei der Messung oder bei der L¨oschung des D¨amonspeichers entsteht, nicht kl¨aren. Eine endg¨ ultige Entscheidung w¨ urde wohl erst ein konsistentes Modell der quantenmechanischen Messung liefern. Man darf aber, so lange dieses konsistente Modell noch nicht existiert, schonmal vermuten, dass ein physikalisch vollst¨andiges Modell des Maxwellschen D¨amons den Zweiten Hauptsatz nicht verletzen kann.

96

Kapitel 6. Kreisprozess und Information: Die Szilard-Maschine

Kapitel 7 Zusammenfassung und Ausblick Diese Arbeit befasste sich mit der in letzter Zeit wieder neu auflebenden Verbindung eines alten Gebietes der Physik, der Thermodynamik, und des inzwischen etablierten Gebietes, der Quantenmechanik. Mit der zunehmenden Miniaturisierung in der Elektronik und Mechanik bis hin zur inzwischen m¨oglichen Manipulation und Pr¨aparation einzelner Quantenobjekte wie z.B. Atome oder Molek¨ ule, wird es immer wichtiger, diesen Grenzbereich zwischen Quantenmechanik und klassischer Mechanik genauer zu untersuchen und nach eventuell bestehenden, anschaulichen Analogien zu suchen. Unabh¨angig davon bietet die Untersuchung solcher Systeme Ans¨atze zur L¨osung und klareren Darstellung alter Probleme der klassischen Physik. Dieser letzte Punkt war die Motivation f¨ ur das Kapitel 3 dieser Arbeit. Zu einer in j¨ ungerer Zeit entworfenen neuen Herleitung des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik aus der Quantenmechanik wurden numerische Simulationen kleiner Modellsysteme gemacht und gezeigt, dass thermodynamisches Verhalten in erster Linie aus der Kopplung eines Systems an eine Umgebung entsteht, d.h. durch thermodynamische Einbettung des kleinen Systems in ein gr¨oßeres. Durch die Verschr¨ankung der beiden Subsysteme entsteht Quasi-Irreversibilit¨at im beobachteten Subsystem, obwohl die die Dynamik beschreibende Gleichung des Gesamtsystems, die Schr¨odingergleichung, reversibel ist. Die Kapitel 4 und 5 setzten sich mit Analogien klassischer thermodynamischer Gr¨oßen und Prozesse - dem Druck sowie dem Carnot-Prozess - in der Quantenmechanik auseinander. Dabei wurde f¨ ur die Gr¨oße Druck ein Modellsystem, das ’Quanten-Manometer’, untersucht, und es konnte gezeigt werden, dass unter bestimmten Umst¨anden die klassische Gr¨oße Druck mit ihrer Definition auch in der Quantenmechanik klassisch zu verstehen ist. Die Verbindung zur Thermodynamik wird hier durch die mechanische Einbettung des interessierenden Systems in eine Umgebung hergestellt. Die exakte Behandlung des aus System und Umgebung gebildeten Gesamtsystems zeigt, dass unter gewissen Umst¨anden thermodynamische, ’globale’ Gleichungen zur Beschreibung des Subsystems verwendet werden k¨onnen, ohne die Umgebung weiter zu ber¨ ucksichtigen. In Kapitel 5 wurden, 97

98

Kapitel 7. Zusammenfassung und Ausblick

quasi als Verbindung der thermodynamischen mit der mechanischen Einbettung, der quantenmechanische Carnot-Prozess betrachtet, Definitionen f¨ ur die verschiedenen Prozessf¨ uhrungen gegeben (die in anderen Publikationen anders gew¨ahlt werden) und nach Betrachtung eines speziellen Beispiels einer verallgemeinerten Maschine allgemein gezeigt, dass f¨ ur thermodynamische F¨alle im Quantenregime kein Unterschied zur Klassik zu erwarten ist. Kapitel 6 schließlich schloss den Bogen, indem eine quantenmechanische Maschine betrachtet wurde, die den Zweck hat, den Zweiten Hauptsatz (Kapitel 3) ¨ zu verletzen. In einer ersten groben Uberlegung gelingt dies mit Hilfe der asym¨ metrischen Quanten-Szilard-Maschine. Diese grobe Uberlegung stellt sich aber bei n¨aherer Betrachtung als falsch heraus und wird durch eine genauere Modellierung ersetzt, die wiederum dem Zweiten Hauptsatz gen¨ ugt. Aus der genaueren Betrachtung konnten zwei Forderungen an eine funktionierende Quanten-SzilardMaschine nach Zureks Modell gestellt werden und gezeigt werden, dass diese nicht robust ist. Die neue, hier teilweise dargestellte Sichtweise auf die klassische Thermodynamik er¨offnet ein weites Feld f¨ ur weitere interessante Untersuchungen. Es ist sicherlich lohnenswert, nach weiteren Analogien zwischen klassischen, anschaulichen und quantenmechanisch bestimmbaren Gr¨oßen zu suchen und deren Verwendung auf ein solides Fundament zu stellen. Ein weiterer interessanter Punkt ist die Untersuchung, unter welchen Umst¨anden (Hamiltonian) ein System ins thermodynamische Gleichgewicht l¨auft und wie sich dies f¨ ur technische Anwendungen wie z.B. einen Quantencomputer verhindern l¨asst. Die Untersuchungen in Kapitel 3 legen nat¨ urlich auch nahe, den bisher nur schwer zug¨anglichen Weg ins Gleichgewicht genauer zu untersuchen und vielleicht lassen sich dadurch Aussagen treffen u ¨ber das große Gebiet der Nichtgleichgewichtsphysik, das ganz offensichtlich dominant in der Natur vertreten ist. Auch die Suche nach dem Perpetuum mobile 2.Art ist immer noch nicht ganz aufgegeben, sie erh¨alt sogar neuen Schwung durch die ’wunderbare Welt der Quanten’. Gibt es Systeme, die stabil in einem Nichtgleichgewichtszustand bleiben? Und ließen sich daraus ’verallgemeinerte Maschinen’ bauen, die anders als die in Kapitel 5 und 6 vorgestellten Maschinen arbeiten?

Anhang A Anhang A.1

g Analytische Formel fu ¨ r ρ00

t

Die folgende Herleitung gilt f¨ ur ein ’Gas’ mit zwei und eine Umgebung mit N c Energieniveaus, wobei im Gesamtsystem keine Entartung auftreten darf (λ k 6= λk0 f¨ ur k 6= k 0 ). Die reduzierte Dichtematrix des ’Gases’ hat die Dimension 2 × 2. Mit der Transformationsmatrix U l¨asst sich der Zustandsvektor |Ψ(t)i in den Zustandsvektor |Φ(t)i transformieren (Gleichung (2.11)): |Ψ(t)i = U |Φ(t)i

Ψm (t) =

Umk Φk (t) .

(A.1)

(Gleichung (3.37)) mit Gleichung (2.9) ¯2 ¯ c −1 c −1 2N c −1 N N ¯ ¯X X X i ¯ ¯ = |Ψm |2 = Umk e− ~ λk t Φk (0)¯ . ¯ ¯ ¯ m=0 m=0

(A.2)

Damit ergibt sich f¨ ur ρg00

⇒

c −1 2N X

k=0

ρg00

k=0

F¨ ur eine komplexe Zahl dk gilt ¯2 ¯ c !2 !2 Ã2N c −1 Ã2N c −1 ! Ã2N c −1 Ã2N c −1 ! −1 ¯ ¯2N X X X X X ¯ ¯ . Im(dk ) Re(dk ) + dk = dk +Im2 dk ¯ = Re2 ¯ ¯ ¯ k=0 k=0 k=0 k=0 k=0 (A.3) Es seien a, b, c drei komplexe Zahlen mit a = a1 + ia2 b = b1 + ib2 c = c1 + ic2

(A.4) (A.5) (A.6)

{a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 } ∈ R. Damit wird abc = a1 b1 c1 −a2 b2 c1 −a1 b2 c2 −a2 b1 c2 +i(a1 b2 c1 +a2 b1 c1 +a1 b1 c2 −a2 b2 c2 ) . (A.7) 99

100

Anhang A. Anhang

Mit der Eulerschen Formel ¢ ¡ ¢ ¡ i e− ~ λk t = cos − ~1 λk t + i sin − ~1 λk t

(A.8)

ergibt sich mit Gleichung (A.7) ³ ´ ¢ ¡ − ~i λk t Re Umk e Φk (0) = [Re(Umk )Re(Φk (0)) − Im(Umk )Im(Φk (0))] cos − ~1 λk t ¡ ¢ − [Re(Umk )Im(Φk (0)) + Im(Umk )Re(Φk (0))] sin − ~1 λk t (A.9) ´ ³ ¡ ¢ i Im Umk e− ~ λk t Φk (0) = [Re(Umk )Im(Φk (0)) + Im(Umk )Re(Φk (0))] cos − ~1 λk t ¡ ¢ + [Re(Umk )Re(Φk (0)) − Im(Umk )Im(Φk (0))] sin − ~1 λk t . (A.10) Definition: Amk ≡ Re(Umk )Re(Φk (0)) − Im(Umk )Im(Φk (0)) Bmk ≡ Re(Umk )Im(Φk (0)) + Im(Umk )Re(Φk (0)) .

(A.11) (A.12)

Mit Gleichung (A.3) Ã2N c −1 !2 Ã2N c −1 ! ³ ´ 2 X X £ ¡ 1 ¢¤ ¡ 1 ¢ − ~i λk t . Re Umk e = Φk (0) Amk cos − ~ λk t − Bmk sin − ~ λk t k=0

k=0

(A.13)

Wird nun das Zeitmittel gebildet: t ρg00

1 = lim T →∞ T

Z

T 0

ρg00 (t) dt

(A.14)

so verschwinden die folgenden Terme aus Gleichung (A.13), da sie im Zeitmittel gleich Null sind: ¢ ¡ ¢¢ ¡ ¡ 1. Amk1 Bmk2 cos(..) sin(..) ∝ 21 sin − ~1 (λk2 − λk1 ) − cos − ~1 (λk2 + λk1 ) ¡ ¢ 2. Amk1 Bmk1 cos(..) sin(..) ∝ 21 sin −2 ~1 λk1 t ¢ ¡ ¢¢ ¡ ¡ 3. Amk1 Amk2 cos(..) cos(..) ∝ 12 cos − ~1 (λk1 − λk2 ) + cos − ~1 (λk1 + λk2 ) ¢ ¡ ¢¢ ¡ ¡ 4. Bmk1 Bmk2 sin(..) sin(..) ∝ 12 cos − ~1 (λk1 − λk2 ) − cos − ~1 (λk1 + λk2 ) . F¨ ur das Zeitmittel von Gleichung (A.13) ergibt sich somit Ã2N c −1 X k=0

!2 t ³ ´ i Re Umk e− ~ λk t Φk (0) = =

c −1 2N X

¡ ¢t ¢t ¡ 2 A2mk cos2 − ~1 λk t + Bmk sin2 − ~1 λk t

k=0 c −1 2N X

1 2

k=0

2 A2mk + Bmk

(A.15)

A.2. Transformation der Ableitungen f¨ur die Transformation (4.12)

101

¢t ¢t ¡ ¡ ur die Imagimit cos2 − ~1 λk t = sin2 − ~1 λk t = 21 . Entsprechend ergibt sich f¨ n¨arteile aus Gleichung (A.3) Ã2N c −1 X

³

Im Umk e

k=0

− ~i λk t

Φk (0)

!t ´ 2

c

2N −1 1 X 2 2 A + Bmk = 2 k=0 mk

(A.16)

und somit f¨ ur t ρg00

= =

c −1 2N c −1 N X X

m=0 k=0 c −1 2N c −1 N X X m=0

=

k=0

c −1 2N c −1 N X X

m=0

k=0

2 A2mk + Bmk

¡ ¢ Re2 (Umk ) Re2 (Φk (0)) + Im2 (Φk (0))

¡ ¢ + Im2 (Umk ) Re2 (Φk (0)) + Im2 (Φk (0))

|Umk |2 |Φk (0)|2

und mit Φk (0) =

c −1 2N X

Ukl+ Ψl (0)

(A.17)

(A.18)

l=0

t ρg00

=

¯ ¯ ¯ ¯

c −1 2N c −1 2N ¯X X

k=0

l=0

¯2 N c −1 ¯ X ¯ Ukl+ Ψl (0)¯ |Umk |2 . ¯ m=0

(A.19)

In analoger Weise ergibt sich f¨ ur das Nichtdiagonalelement t ρg01

=

k=0

A.2

¯ ¯ ¯ ¯

c −1 2N c −1 2N ¯X X

l=0

¯2 N c −1 ¯ X ¯ ∗ Ukl+ Ψl (0)¯ Umk Um+N ck . ¯ m=0

(A.20)

Transformation der Ableitungen fu ¨ r die Transformation (4.12) f = f (x1 , xW ) = f (x1 (y1 , yW ), xW (y1 , yW ))

∂f ∂f ∂y1 ∂f ∂yW = + ∂x1 ∂y1 ∂x1 ∂yW ∂x1 ∂f ∂f ∂y1 ∂f ∂yW = + ∂xW ∂y1 ∂xW ∂yW ∂xW

(A.21)

(A.22)

102

Anhang A. Anhang

µ ¶ ∂ ∂f ∂f ∂y1 ∂ 2f ∂ ∂f ∂yW = = + ∂x21 ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂y1 ∂x1 ∂yW ∂x1 µ ¶ µ ¶ ∂y1 ∂ ∂f ∂y1 ∂f ∂y1 ∂yW ∂ ∂f ∂yW ∂f ∂yW = + + + ∂x1 ∂y1 ∂y1 ∂x1 ∂yW ∂x1 ∂x1 ∂yW ∂y1 ∂x1 ∂yW ∂x1 (A.23) µ ¶ 2 ∂f ∂y1 ∂ ∂f ∂ ∂f ∂yW ∂ f = = + 2 ∂xW ∂xW ∂xW ∂xW ∂y1 ∂xW ∂yW ∂xW µ ¶ µ ¶ ∂y1 ∂ ∂f ∂y1 ∂f ∂y1 ∂yW ∂ ∂f ∂yW ∂f ∂yW = + + + ∂xW ∂y1 ∂y1 ∂xW ∂yW ∂xW ∂xW ∂yW ∂y1 ∂xW ∂yW ∂xW (A.24) x1 L; xW +L

Transformation (4.12): y1 =

yW = xW

⇔

∂y1 L = ∂x1 xW + L y1 x1 L ∂y1 =− =− 2 ∂xW (xW + L) yW + L 2 ∂ y1 y1 = ∂yW ∂xW (yW + L)2

A.3 A.3.1

y1 yW L

+ y1

∂yW =0 ∂x1 ∂yW =1 ∂xW 1 ∂ 2 y1 =− ∂y1 ∂xW yW + L

Ungest¨ orte Eigenfunktionen und -energien der Einteilchensysteme aus Kapitel 4 Unendlich hoher Kasten von x1 = 0 bis x1 = L |ni0Ka

=

r

³ πn ´ 2 sin x1 L L

EnKa =

A.3.2

x1 =

π 2 ~2 2 n 2M1 L2

(A.25) (A.26)

Harmonischer Oszillator

aus [38]

¡ ¢ |mi0HO = Am Hm (ξ) exp − 12 ξ 2 HO Em

¡

= ~ω m +

Am ist ein Normierungsfaktor und Hm Am =

µ

MW ω π~

¶ 14 µ

1 m!2m

¶ 21

¢

r

f MW die Hermiteschen Polynome: 1 2

;

ω=

; Hm (ξ) =

m −ξ 2 m ξ2 d e (−1) e dξ m

(A.27) (A.28)

(A.29)

jjW zum Entwicklungskoeffizienten erster Ordnung A.4. Berechnung der Beitr¨age 1x Ckk W f¨ur die St¨orungsrechnung in Kapitel 4 103

|0i0HO |1i0HO |2i0HO |3i0HO |4i0HO

|5i0HO

¶ ¶1 µ 1 MW ω 2 MW ω 4 (A.30) = exp − xW π~ 2 ~ √ µ ¶3 ¶ µ 1 MW ω 2 2 MW ω 4 = 1 xW (A.31) xW exp − ~ 2 ~ π4 µ ¶ µ µ ¶1 ¶ MW ω 4 1 1 MW ω 2 MW ω 2 √ 2 = xW − 1 exp − xW (A.32) π~ ~ 2 ~ 2 µ ¶3 µ ¶ ¶ µ MW ω 4 MW ω 3 1 MW ω 2 1 2 xW − 3xW exp − xW (A.33) =√ 1 ~ ~ 2 ~ 3π 4 ! ¶1 Ã ¶2 µ µ µ ¶ MW ω 4 1 MW ω 2 MW ω 2 MW ω 1 4 3 − 12 xW exp − xW + 4 xW = √ 1 ~ ~ ~ 2 ~ 2 6π 4 (A.34) Ã ! 3 µ µ µ ¶ ¶2 ¶ 1 MW ω 3 1 MW ω 2 MW ω MW ω 4 5 = √ 15xW − 20 xW + 4 xW xW exp − 1 ~ ~ ~ 2 ~ 2 15π 4 (A.35) µ

jjW zum EntBerechnung der Beitr¨ age 1xCkk W wicklungskoeffizienten erster Ordnung fu ¨r die St¨ orungsrechnung in Kapitel 4

A.4

ˆ a: • W – j 6= k: 0

2 ~2 0 2 ∂ hk, k |y |j, jW i0 W 1 2MW L2 ∂y12 2 ~2 0 2 ∂ hk| y δ |ji0 = − Ka 1 k j 2MW L2 W W ∂y12 Ka µ ¶ µ ¶ Z L πk πj ~2 2π 2 j 2 2 y1 sin δ kW j W y1 sin y1 dy1 − 2MW L2 L3 L L 0 4~2 (−1)k+j j 3 k (4.24) δk j (A.36) = MW L2 (j − k)2 (j + k)2 W W

ˆ a |j, jW i0 hk, kW |W

(A.25)

=

=

1 jjW a CkjW

−

8 j 3 k(−1)j+k = 2 β2 3 3 π (j − k) (j + k)

(A.37)

– j = k: kommt nicht vor, da jW = kW (HO) und da mindestens eines der beiden Quantenzahlen-Paare verschieden sein muss (Gleichung (4.2)).

104

Anhang A. Anhang

ˆ b: • W – j 6= k: 0

2~2 (−1)k+j jk ˆ b |j, jW i0 = ... (4.25) hk, kW |W = − δk j MW L2 (j 2 − k 2 ) W W 1 jjW b CkjW

=−

4(−1)j+k jk β2 2 2 π (j − k 2 )2

(A.38)

(A.39)

– j = k: kommt nicht vor, da jW = kW (HO) ˆ c : nur f¨ • W ur jW = 0 5

0

~ 2 π2j 2 ˆ c |j, 0i0 = ... (4.27) hk, kW |W = −√ δkW 1 δjk 1 1 4 2M1 MW L3 f 4 1 j0 c Cj1

(A.40)

π 2 j 2 λ3 = √ 2 β2

(A.41)

ˆ d : nur f¨ • W ur jW = 0 – j 6= k: 0

ˆ d |j, 0i = ... = − hk, kW |W 1 j0 d Ck1

– j = k:

√ 5 4 2~ 2 (−1)j+l j 3 k

(4.27)

0

5 4

MW f

1 4

L3 (j

−

k)2 (j

+

k)2

δ kW 1

√ −8 2(−1)j+k j 3 k i β 2λ =h 2 β π 2 (j 2 − k 2 ) − 2 λ2 (j − k)2 (j + k)2 1 j0 d Cj1

2π 2 j 2 − 3 3 √ = λ 6 3

(A.42)

(A.43)

(A.44)

ˆ e : nur f¨ • W ur jW = 0 – j 6= k: 0

ˆ e |j, 0i hk, kW |W 1 j0 e Ck1

0 (4.25)

(4.27)

= ... =

√ 5 2 2~ 2 (−1)j+k jk 5

1

4 MW f 4 L3 (j 2 − k 2 )

δ kW 1

√ 4 2jk(−1)j+k i =h β 2λ β2 2 2 2 2 2 π (j − k ) − 2 λ2 (j − k )

(A.45)

(A.46)

A.5. Berechnung des Wirkungsgrades ηHO der Harmonischer-Oszillator-Maschine aus 105 Abschnitt 5.3.1 – j = k: 1 j0 e Cj1

1 = √ λ3 2

(A.47)

ˆ f : nur f¨ • W ur jW = 0 – j 6= k: 0

ˆ f |j, 0i hk, kW |W 1 j0 f Ck1

– j = k:

(4.28)

0 (4.25)

= ... = −

√

3

1

2~ 2 f 4 (−1)j+k jk 3

4 L(j 2 − k 2 ) MW

δ kW 1

√ 2 2jk(−1)j+k β2 i = −h 2 π 2 (j 2 − k 2 ) − 2 βλ2 (j 2 − k 2 ) λ 1 j0 f Cj1

1 =− √ λ 2 2

(A.48)

(A.49)

(A.50)

ˆ g : nur f¨ • W ur jW = 0 – j 6= k: 0

(4.29) ˆ g |j, 0i0 (4.25) hk, kW |W = ... =

1 j0 g Ck2

~2 (−1)j+k jk √ ( 2δkW 2 +δkW 0 ) (A.51) MW L2 (j 2 − k 2 )

√ 2 2(−1)j+k jk i = −h β2 2 β π 2 (j 2 − k 2 ) − 4 λ2 (j 2 − k 2 ) 1 j0 g Ck0

=

– j = k: 1 j0 g Cj2

A.5

(A.52)

2(−1)j+k jk 2 β π 2 (j 2 − k 2 )2

(A.53)

1 = − √ λ2 4 2

(A.54)

Berechnung des Wirkungsgrades ηHO der Harmonischer-Oszillator-Maschine aus Abschnitt 5.3.1

Mit Gleichung (5.21): ´ ~ω ~ − k~ωT (n+1) ³ ∂pn 1 + n − ne kB T . = e B ∂ω kB T

(A.55)

106

Anhang A. Anhang

Damit ∞ X ∂pn n=0

∂ω

En

"

´X ~ω 1 X − k~ωT n 1 ³ − ~ω n kB T B e 3−e + ne kB T 2 n=0 2 n=0 # ∞ ³ ´ X ~ω − ~ω n . (A.56) + 1 − e kB T n2 e k B T

~2 ω − k~ωT = e B kB T

∞

∞

n=0

Mit einem Programm wie Mathematica findet man die folgenden Relationen: ∞ X

nq n =

n=0

∞ X

q , (q − 1)2

n2 q n =

n=0

−q(q + 1) . (q − 1)3

(A.57)

Zusammen mit Gleichung (5.20) und der Definition des sinh(x) l¨asst sich Gleichung (A.56) folgendermaßen schreiben: ∞ X ∂pn n=0

∂ω

En =

− k2~ωT



2 sinh

³

~ω kB T

´

~ω e B . ´2 1 + − ~ω ³ ~ω kB T − kB T kB T − 1 e −1 e 2

(A.58)

Diese Gleichung l¨asst sich nun mit Mathematica integrieren: µ

µ

³ ~ωx ´¶ kB T Z ωy X ~ ωx 1 − e + ωy e −1 ∞ ∂pn (ω, T ) ¶ En (ω) dω = ´ µ ~ωy ³ ~ωx ∂ω ωx n=0 kB T kB T −1 −1 e e · ³ µ ~ω ¶¸ ´ − k~ω xT − k yT +kT ln e B − 1 − ln e B − 1 . (A.59) ~ω y kB T

¶

Diese Gleichung ist antisymmetrisch gegen¨ uber der Vertauschung von ωx und ωy , d.h. bei der Vertauschung wechselt das Vorzeichen. Wird nun f¨ ur ωx ω3 bzw. ω1 , f¨ ur ωy ω4 bzw. ω2 und f¨ ur T TC bzw. TH eingesetzt, die beiden resultierenden Terme in Gleichung (5.17) eingesetzt und die Anschlussbedingungen (5.22) ber¨ ucksichtigt, so ergibt sich auf Grund der Asymmetrie QM ηHO =1−

TC TH

also genau der Carnot-Wirkungsgrad einer klassischen Carnot-Maschine.

(A.60)

A.6. L¨osung der Schr¨odingergleichung f¨ur den unendlich hohen Kasten mit einer Potenzialbarriere 107

A.6

Lo ¨sung der Schro ¨dingergleichung fu ¨ r den unendlich hohen Kasten mit einer Potenzialbarriere

Das Einsetzten der drei Ans¨atze aus Gleichung (6.18) in die entsprechende Schr¨odingergleichung ergibt direkt die Wellenl¨angen von ψ in den drei Bereichen: i√ B1 = B 3 = 2M E (A.61) ~ ip B2 = 2M (E − VW ) . (A.62) ~

Aus der ersten Randbedingung (6.19) folgt A1 = −D1 . Damit l¨asst sich der Ansatz f¨ ur Bereich I umformen in Ã√ ! 2M E 0 ψI (x) = A1 i sin x (A.63) ~

mit A01 = 2A1 . Die zweite Randbedingung (6.20) f¨ u³ hrt in ¨ahnlicher Weise mit ´ √ 2 2M E wesentlich mehr Rechenaufwand u ¨ber A3 = −D3 exp −i ~ L zu ! Ã√ 2M E (x − L) (A.64) ψIII (x) = D30 sin ~ h ³√ ´ ³√ ´i 2M E 2M E 0 mit D3 = −2D3 sin L + i cos L . Die Gleichungen (A.63) und ~ ~ unf Unbe(A.64) zusammen mit ψII aus Gleichung (6.18) beinhalten also die f¨ 0 0 kannten A1 , D3 , A2 , D2 und E, die mit den vier Anschlussbedingungen (6.21) bis (6.24) sowie der Normierung (6.25) gefunden werden k¨onnen. Gleichung (6.21) √ 2M E multipliziert mit B2 und addiert zu Gleichung (6.22) ergibt mit a = ~ A2 =

A01 i B2 sin(a(x0 − d2 )) + a cos(a(x0 − d2 )) 2B2 exp(B2 (x0 − d2 ))

(A.65)

und Gleichung (6.21) multipliziert mit B2 minus Gleichung (6.22) D2 =

A01 i B2 sin(a(x0 − d2 )) − a cos(a(x0 − d2 )) . 2B2 exp(−B2 (x0 − d2 ))

(A.66)

Setzt man diese beiden Ausdr¨ ucke f¨ ur A2 und D2 in Gleichung (6.23) ein, so 0 erh¨alt man eine Gleichung f¨ ur D3 , die nur noch von A01 und E (¨ uber a und B2 ) abh¨angt: D30 =

£ B2 d A01 i 1 e (B2 sin(a(x0 − d2 )) + a cos(a(x0 − d2 ))) 2B2 sin(a(x0 + d2 − L)) ¤ +e−B2 d (B2 sin(a(x0 − d2 )) − a cos(a(x0 − d2 ))) . (A.67)

108

Anhang A. Anhang

Setzt man dieses D30 zusammen mit A2 und D2 in Gleichung (6.24) ein, so k¨ urzt 0 sich A1 heraus und u ¨brig bleibt eine Beziehung, aus der sich die gequantelten Eigenenergien des Problems als Nullstellen des Terms bestimmen lassen: ¸ · £ B2 d a cos(a(x0 + d2 − L)) e (B2 sin(a(x0 − d2 )) + a cos(a(x0 − d2 ))) − 1 0 = B2 sin(a(x0 + d2 − L)) ¤ +e−B2 d (B2 sin(a(x0 − d2 )) − a cos(a(x0 − d2 ))) . (A.68)

Im p Folgenden werden nur noch F¨alle mit E < VW betrachtet, d.h. mit B2 = √ 1 2M E − ~ 2M (V − E). Zusammen mit a = ~ bietet Gleichung (A.68) also eine M¨oglichkeit, numerisch die Eigenenergien En zu berechnen. Um die Koeffizienten der Wellenfunktionsabschnitte ψI bis ψIII zu bestimmen, muss noch die Normierung (6.25) ausgenutzt werden: Z

x0 − d2 0

2

|ψI (x)| dx +

Z

x0 + d2 x0 − d2

2

|ψII (x)| dx +

Z

L x0 + d2

!

|ψIII (x)|2 dx = 1 .

(A.69)

Werden diese Integrale mit den Ans¨atzen (A.63), (A.64) und ψII aus Gleichung (6.18) gel¨ost, sowie die Beziehungen (A.65), (A.66) und (A.67) eingesetzt, so ergibt sich eine Beziehung f¨ ur |A01 |2 , man besitzt also eine gewisse Freiheit in der Wahl der komplexen Zahl A01 . Hier wurde A01 ∈ R reell gew¨ahlt, was zu folgenden Beziehungen f¨ uhrt: Re(A2 ) = Re(D2 ) = Re(D30 ) = 0 und Re(D2 A∗2 ) = −D2 A2 . Damit ergibt sich f¨ ur A01 · 1 1 x0 d 0 2 − − sin (2a(x0 − d2 )) + · |A1 | = 2 2 2 4 4a 4B2 sin (a(x0 + d2 − L)) £ · eB2 d (B2 sin(a(x0 − d2 )) + a cos(a(x0 − d2 ))) + e−B2 d (B2 sin(a(x0 − d2 )) · ¸ x0 d L 1 2 d d −a cos(a(x0 − 2 )))] − − + + sin (2a(x0 + 2 − L)) 2 4 2 4a B2 sin(a(x0 − d2 )) + a cos(a(x0 − d2 )) 1 B2 sin(a(x0 − d2 )) − a cos(a(x0 − d2 )) +2d d d 4B22 eB2 (x0 − 2 ) e−B2 (x0 − 2 ) ¶2 µ ¢ 1 e2B2 x0 ¡ B2 d B2 sin(a(x0 − d2 )) + a cos(a(x0 − d2 )) −B2 d + e −e d 2B2 4B22 eB2 (x0 − 2 ) ¶2 #−1 µ ¢ 1 e−2B2 x0 ¡ −B2 d B2 sin(a(x0 − d2 )) − a cos(a(x0 − d2 )) B2 d − e −e . d 2B2 4B22 e−B2 (x0 − 2 ) (A.70)

Die anderen Koeffizienten A2 , D2 und D30 ergeben sich aus den Gleichungen (A.65), (A.66) und (A.67).

Literaturverzeichnis [1] W.Greiner, L.Neise, H.St¨ocker: Theoretische Physik Band 9 - Thermodynamik und Statistische Mechanik, Harri Deutsch 1993 1 [2] L.Sklar: Physics and chance - philosophical issues in the foundation of statistical mechanics, Cambridge University Press 1993 1 [3] Stud. Hist. Phil. Mod. Phys., Vol. 32, No. 4 (2001) 1 [4] Y.Guttmann: The Concept of Probability in Statistical Physics, Cambridge University Press 1999 1 [5] J.Gibbs: Elementary principles in statistical mechanics, Dover Publishing 1960 1 [6] E.Fick, G.Sauermann: Quantenstatistik dynamischer Prozesse - Band I: Generelle Aspekte, Harri Deutsch 1983 2 [7] J.Jauch: Die Wirklichkeit der Quanten - Ein zeitgen¨ ossischer galileischer Dialog, Hanser 1973, Vierter Tag S.131 2 [8] F.Schwabl: Quantenmechanik, Springer 1993 3 [9] K.Blum: Density Matrix Theory and Applications, Plenum Press 1996 3 [10] G.Mahler, V.Weberruß: Quantum Networks - Dynamics of Open Nanostructures, Springer 1998 3 [11] H.R¨omer, T.Filk: Statistische Mechanik, VCH 1994 3 [12] B.d’Espagnat: Conceptual W.A.Benjamin, Inc. 1976 7

Foundations

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[13] L.Ballentine: Quantum Mechanics - A Modern Development, World Scientific 1998 8, 70, 86 [14] C.Caves, C.Fuchs, R.Schack: Quantum probabilities as Bayesian probabilities, Phys. Rev. A 65, 022305 (2002) 8 109

110

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Literaturverzeichnis

111

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Index Adiabate, 68 in der QM, 70 Anfangszustand, 26 Arbeitsvariable verallgemeinerte, 72

G¨ ultigkeitsbereich, 40

Boltzmann -Postulat, 12 -Verteilung, 10, 37, 38, 40, 70, 83, 92

Isotherme, 68 in der QM, 70

harmonischer Oszillator, 46, 72, 102 Hermitezit¨at, 4 Hilbertraum, 3, 12, 15, 17

Kastenpotenzial, 39, 46, 84, 102 Kopplung kanonische, 18, 31 mikrokanonische, 16, 29 Kraft, 45, 85

Carnot -Prozess, 68 -Prozess in der QM, 70 -Wirkungsgrad, 68, 72, 105 coarse graining, 14

Level, 20 Liouville-Gleichung, 6 Liouvillescher Satz, 13

D¨amon Maxwellscher, 77 Dichtematrix, 6 reduzierte, 7, 37, 57 Druck, 45, 58 verallgemeinerter, 71

Maschine, 67, 77 Mastergleichung, 7, 14 Maxwellscher D¨amon, 77 Messung, 7, 82, 95 Mischen, 14

Einbettung, 2, 11, 43, 45, 55, 64, 67, 89, 97 Energiespektrum, 20, 70 Energieverteilung, 18 Erhaltung der, 5 Entropie, 11, 29, 30, 34, 35, 44 von-Neumann, 9 Entwicklungsparameter, 51 Ergodenhypothese, 13, 14, 17

Niveau, 20 Perpetuum mobile, 1, 70, 77, 98 Phasenraum, 12 Purity, 8, 16, 28–30, 57 Quanten-Manometer, 46 Quantencomputer, 2, 98 Quasiergodenhypothese, 13, 14 Reihe geometrische, 72 Reinheit, 8

finite-size-Effekt, 33 Fundamentalform, 9 Funktionaldeterminante, 54 112

INDEX Relaxation, 30, 40 Schr¨odingergleichung, 3, 28 station¨are, 5, 89 Schwankung, 30 St¨orungsrechnung, 46 Systeme offene, 7 zusammengesetzte, 7, 15 Szilard-Maschine asymmetrische Quanten-, 82 klassische, 78 Quanten-, 80 Tasse, 12 Thermodynamik, 19 Transformation, 4, 48, 99, 101 unit¨are, 7 Varianz, 36, 55 Verschr¨ankung, 8, 56 Volumen verallgemeinertes, 70 von-Neumann-Gleichung, 6 Wahrscheinlichkeit, 5, 18, 84 Wechselwirkung, 23 Weltvektor, 7, 8 Zeitmittel, 29, 99 Zelleinteilung, 14 Zufallsmatrix, 25 Zustand EPR-, 8 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik, 68, 70, 77 klassischer Zugang, 12 numerische Simulationen zum, 20 quantenmechanischer Zugang, 15 Verletzung des, 75, 77, 88, 95

113

Danksagung Diese Diplomarbeit w¨ urde in dieser Form nicht existieren ohne die Mithilfe einiger Personen, denen im Folgenden gedankt sei: Prof.Dr.G¨ unter Mahler f¨ ur die gew¨ahrte Freiheit, die vielen Vorschl¨age und Diskussionen, die viele in mich investierte Zeit, das Interesse an meiner Arbeit, die freundliche, vertrauensvolle und lockere Art sowie die Erm¨oglichung meiner ’Dienstreise’ nach Princeton, NJ, Jochen Gemmer f¨ ur die hervorragende Betreuung, wie sie nicht besser h¨atte sein k¨onnen, die vielen Stunden, die er in mich investiert hat, die Geduld, die er walten ließ (besonders bez¨ uglich Perpetuum mobile 2.Art), die Unverkrampftheit, die er an den Tag legt, die Spagetti sowie nicht zuletzt f¨ ur die M¨oglichkeit, an revolution¨aren, inh¨arent besseren Ideen in der Physik teilhaben zu k¨onnen, Prof.Dr.G¨ unter Wunner, Rosemarie Bund und allen Institutsmitgliedern f¨ ur die freundliche Aufnahme ans Institut sowie dessen hervorragende Ausstattung, ¨ Prof.Dr.Hans-Rainer Trebin f¨ ur die Ubernahme des Mitberichts, meinen tempor¨aren Zimmerkollegen im Zimmer 4/556, Dr.Alexander Otte und Michael Hartmann f¨ ur die gute Atmosph¨are, Diskussionen und Hilfestellungen vor allem bez¨ uglich Mathematica (A.O.), meinen Kommilitonen am Institut, Harry Schmidt und Mathias Michel f¨ ur die vielen Tipps und Vorlagen bez¨ uglich diverser Computerprobleme (Linux, LATEX, C++) sowie die aufmunternden Worte, den u ¨brigen Mitgliedern der Arbeitsgruppe, Marcus Stollsteimer, Friedemann Tonner und Thomas Haury f¨ ur interessante Diskussionen sowie physikalische und computerbezogene Hilfestellungen, meinen Eltern Renate und Wolfgang Borowski f¨ ur die jahrelang gew¨ahrte finanzielle und ideelle Unterst¨ utzung (auch wenn sie es so manches Mal recht gut verstanden, die letztere sehr gut zu verbergen), das Vertrauen in mich, die Freiheit, das Erdulden meiner ¨ofters nicht allzuguten Laune, die unz¨ahligen wochenendlichen Fresspakete sowie das Korrekturlesen dieser Arbeit (R.B.), meinen Freunden, die ein offenes Ohr f¨ ur mich hatten und f¨ ur ordentlich Zerstreuung sorgten, insbesondere Michael Willmer. 115