PROSES PEMIKlRAN MATEMATIK PELAJAR DALAM PEMBELAJARAN TEKNIK KAMIRAN

NOR'AIN MOHD. TAJUDIN

JABATAN MATEMATIK

FAKULTI SAINS DAN TEKNOLOGI

KOD PENYELIDlKAN UPSI: 04-15-41-03

AKAUN PENYELIDlKAN UPSI: 051131

2004

ABSTRAK

Kajian ini terbahagi kepada 3 fasa, iaitu pertama, bertujuan untuk meninjau secara lebih mendalam tentang kemahiran pelajar dalam menyelesaikan persamaan pembezaan pembolehubah boleh pisah, kedua, mengenal pasti masalah yang dihadapi oleh pelajar dalam pembelajaran teknik kamiran dan ketiga meninjau proses pemikiran pelajar dalam menilai suatu kamiran serta mengenal pasti kesukaran yang dihadapi oleh mereka dalam menilai suatu kamiran. Sampel kajian seramai 120 orang pelajar tahun 2 Universiti Pendidikan Sultan Idris yang mengambil kursus Persamaan Pembezaan Permulaan pada semester 2 sesi 2003/2004 telah dipilih secara rawak. Instrumen bagi fasa 1 adalah Ujian 1 bagi kursus berkenaan. Fasa 2 pula menggunakan soal selidik terbuka tentang masalah pelajar dalam pembelajaran teknik kamiran. Fasa 3 pula dilaksanakan secara temu duga klinikal terhadap 15 pelajar berpencapaian cemerlang, sederhana dan lemah yang dipilih secara rawak daripada sampel fasa 1 dan mereka menyelesaikan 2 soalan kamiran secara "think-aloud". Dapatan kajian menunjukkan bahawa pelajar tidak dapat menyelesaikan persamaan pembezaan pembolehubah boleh pisah dengan betul, walaupun mereka boleh mencamkan bentuk persamaan yang diberikan. Ini adalah disebabkan oleh penguasaan pelajar yang lemah dalam teknik kamiran. Antara 3 masalah utama yang dihadapi oleh pelajar dalam pembelajaran teknik kamiran ialah sukar mengingati rumus dalam teknik kamiran, sukar memilih teknik kamiran yang sesuai dan tidak menguasai teknik karniran. Dapatan kajian juga menunjukkan bahawa proses pernikiran matematik dalam pembelajaran teknik kamiran bagi pelajar berpencapaian cemerlang adalah baik. Mereka didapati dapat memikirkan strategi secara teratur dan mudah untuk membuat pernilihan teknik kamiran yang sesuai dan seterusnya dapat menilaikan kamiran dengan menggunakan cara yang betul dengan teknik pilihan mereka. Manakala, proses pernikiran pelajar berpencapaian sederhana dan lemah pula adalah lemah dalam pembelajaran teknik kamiran di mana dapatan menunjukkan bahawa mereka tidak merancang dengan baik, menggunakan strategi yang sesuai dan mengikut proses yang logik dan sah dalam menyelesaikan soalan kamiran yang diberi. Selain itu, pelajar-pelajar yang berpencapaian sederhana dan lemah didapati menghadapi beberapa kesukaran dalam menilaikan suatu karniran yang diberi. Antara kesukaran-kesukaran tersebut adalah kesukaran dalam memilih teknik kamiran yang betul bagi suatu kamiran, kesukaran dalam mengenal pasti bahawa mereka melakukan kesilapan dalam proses menilai suatu

kamiran, kesukaran dalam mencamkan bentuk karniran kamiran yang bukan suatu

fungsi dengan

membezakan

as as yang boleh dikarnirkan terus dan bentuk yang tidak boleh dikarnirkan terus, kesukaran dalam mencamkan bentuk karniran teknik karniran yang betul bagi menilaikan karniran tersebut dan kesukaran dalam

asas

rumus-rumus

dalam teknik karniran dan

rumus-rumus

pembezaan.

11

ABSTRACT

This

was carried in 3 phases. The purpose of the first phase of the study is to explore the students' solving the separable variables differential equation, the second phase of the study is to identify their problems in learning the techniques of integration and the third phase of the study is to explore their mathematical thinking process and to identify their difficulties in evaluating the integrals. A sample of 120, second year UPSI students that were taken the Elementary Differential Equation course in second semester 2003/2004 session was randomly chosen to participate in this study. The instrument of the first phase of the study is the Elementary Differential Equation Test 1. An open questionnaire related to the students' problems in learning the techniques of integration was used in the second phase of the study. While, in the third phase of the study, 15 students which were categorized as excellent, moderately good and week achievement were chosen randomly from sample phase 1 to participate in the clinical interviews in which they solved the 2 integral questions in a "think-aloud" manner. The findings showed that most of the students were unable to solve the separable variables differential equation correctly, even though they could identify the form of the equation because they were not competent at using the techniques of integration. The 3 main problems that the students encountered in learning the techniques of integration were the difficulties in recalling the formulas, the difficulties in choosing an appropriate technique of integration for a given integrand and they were not competent at using the techniques of integration. The study also showed that the excellent achievement students have good mathematical thinking process in learning the techniques of integration. They could think easily and systematically to determine an appropriate technique of integration for a given integrand. Thus, they were able to evaluate the integrals correctly. However the moderately good and low achievement students have weak mathematical thinking process in learning the techniques of integration. It is found that they were not planning well, applied appropriate strategies and followed a logical and verifiable process to solve the problems. The finding also showed that students with moderately good and low achievement have difficulties in evaluating the integrals. The difficulties that students encountered were in choosing an appropriate technique of integration for a given integrand, identifying that they were making mistakes in the process of evaluating the integrals, identifying the basic integral form that could be integrated directly, identifying the form of integral with an appropriate techniques of integration and differentiating the formulas in techniques of integration and differentiation.

study

skills in

111

KANDUNGAN

ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

SENARAI JADUAL

v

SENARAI RAJAH

vi

SENARAI LAMPlRAN

vii

1.

PENGENALAN

1

2.

PENYATAAN MASALAH

1

3.

OBJEKTIF KAJIAN

2

4.

SOALAN KAJIAN

2

5.

TINJAUAN LITERA TUR

3

6.

BATASAN KAJIAN

8

7.

METODOLOGlKAJIAN

9

8.

9

7.1

Reka Bentuk

7.2

Sampel Kajian

10

7.3

Instrumen

10

7.4

Pengumpulan

Kajian

Kajian

11

Data

13

ANALISIS DATA

13

8.1

Profil

8.2

Persoalan

Kajian

1

13

8.3

Persoalan

Kajian 2

15

8.4

Persoalan

Kajian 3

16

8.5

Responden

8.4.1 Analisis Temu

Duga Pelajar Berpencapaian Cemerlang Soalan

8.4.2 Analisis Temu

Duga Pelajar Berpencapaian Cemerlang

8.4.3 Analisis Temu

Duga Pelajar Berpencapaian Sederhana Soalan

1

22

8.4.4 Analisis Temu

Duga Pelajar Berpencapaian Sederhana Soalan

2

26

8.4.5 Analisis Temu

Duga Pelajar Berpencapaian Lemah Soalan

8.4.6 Analisis Temu

Duga Pelajar Berpencapaian Lemah

Persoalan

Kajian 4

1

16

Soalan 2

20

-

-

-

-

-

-

1

Soalan 2

29 33 36

iv

9.

DAPATAN DAN PERBINCANGAN 9.1

Kemahiran-kemahiran yang

38

Dapat Dikuasai

dan Tidak Dikuasai Oleh

38

Pelajar Semasa Menyelesaikan Soalan yang Melibatkan Persamaan Pembezaan Pembolehubah Boleh Pisah

9.2

Masalah-masalah yang

Dihadapi Oleh Pelajar dalam Pembelajaran

38

Teknik Kamiran 9.3

Proses Pemikiran Matematik

Pelajar Bagi

Soalan 1

Mengikut Tahap

39

Pelajar Bagi

Soalan 2

Mengikut Tahap

43

Pencapaian 9.4

Proses Pemikiran Matematik

Pencapaian 9.5

Kesukaran yang

Dihadapi

Oleh Pelajar Dalam Menilaikan suatu Kamiran 46

10.

RUMUSAN

46

11.

CADANGAN

47

LAMPIRAN

49

v

SENARAI JADUAL

Muka Surat

Jadual 7.1

Kategori Tahap Penguasaan Pelajar

12

8.1

Taburan Markah

Soalan Tentang Persamaan Pembezaan Pembolehubah Boleh Pisah

13

8.2

Penguasaan Kemahiran

Bagi

Dalam

Menyelesaikan

Soalan

Tentang

15

Persamaan Pembezaan Pembolehubah Boleh Pisah

8.3

Masalah

Pembelajaran Teknik Kamiran

16

vi

SENARAI RAJAH

Muka Surat

Rajah 11.1

Carta Aliran

Bagi

Kamiran

Fungsi Nisbah

49

Vll

SENARAI LAMPlRAN

Muka Surat

Lampiran A

Soalan

Ujian

Boleh Pisah B

Soal Selidik

-

Pembolehubah

51

Teknik Kamiran­

52

Tentang Persamaan Pembezaan

1

Instrumen Fasa 1

Tentang Masalah Pembelajaran

Instrumen Fasa 2

Kamiran

c

Soalan

D

Transkrip Temu Duga

E

Maklumat

Tentang

-

Instrumen Fasa 3

Klinikal

Penyelidikan (a) Borang Laporan Akhir Projek Pencapaian (b) Laporan Sari Penyelidikan

53 54

55

1

1.

PENGENALAN

suatu ilmu yang

Kalkulus,

angin bertiup, bagaimana

air

alunan muzik menusuk ke bersifat

abstrak

kita suatu bahasa

mengajar

mengalir, bagaimana

Ia,

meliputi pelbagai topik

termasuklah

fungsi,. jujukan, siri, had,

maupun di institusi

2.

lagi

yang memerlukan

suatu ilmu yang amat

dengan peratus kegagalan

sederhana

sahaja.

Kursus ini

tinggi. Kurangnya

kalkulus

juga

penguasaan

adalah

merupakan

tinggi

dan

daya taakulan di sekolah

penting

pelajar

Salah satu

topik penting

Secara umumnya, merasa

yang tidak

pelajar

sukar untuk

disiasat

apabila

mengikuti

dapat menguasai

mempunyai Menurut

dipelajari tetapi

suatu kamiran yang diberi.

berupaya

teknik kamiran.

menyebabkan

kajian tentang

bahawa

mengaplikasikan

asas

kefahaman

pelajar mempunyai

teknik-teknik kamiran dan

tidak

Dalam

membina

Mereka

hanya

pelajar

tentang konsep kamiran (Ferrini-Mundy, 1991).

Kay(2002) pula, kebanyakan pelajar

tidak

kesukaran

menyebabkan

lebih mendalam dan teliti, memberi indikasi bahawa

salah faham yang

kamiran yang

kalkulus yang lebih

teknik kamiran

kursus tersebut. Dalam

yang rendah untuk

secara

am at

iaitu Persamaan Pembezaan.

tinggi

pelajar bagi topik kamiran oleh Orton(1983), mendapati

keupayaan pada tahap

yang

dalam kursus kalkulus ini ialah teknik-teknik kamiran

dalam kursus yang lebih

diperlukan

lanjutan

dalam kursus kalkulus

kursus-kursus matematik yang lain.

kursus

suatu

pencapaian pelajar kebanyakannya

adalah pra syarat kursus

mengikuti

yang amat

pelajar

ilmu yang

cabang

PENYATAAN MASALAH

mencabar

mereka

dan lain-lain

suatu

pengajian tinggi.

Bagi kebanyakan pelajar universiti,

mereka

menerangi bumi, bagaimana

banyak lagi.

Justeru, kalkulus merupakan

tinggi.

matahari

kita dan

telinga

keselanjaran, pembezaan, pengkamiran yang

bagi menerangkan bagaimana

berupaya

kajian

boleh

mengaplikasikan pelbagai

untuk memilih teknik yang sesuai untuk

Schoenfeld

strategi kognitif yang mampu

teknik

menduplikasi

(1985), baik

beliau

semasa

mendapati

bahawa

mempelajari

teknik­

teknik-teknik tersebut

seperti

di

2

dalam

pengajaran

kuliah

memuaskan lebih-lebih

kajian

sahaja,

mana

yang

di dalam

lagi

akhirnya mengakibatkan pencapaian

penyelesaian

masalah matematik.

ini akan cuba meneroka masalah-masalah yang

teknik-teknik kamiran serta

mengenal pasti

proses

dihadapi

pemikiran

dalam

matematik

tidak

Justeru

itu,

mempelajari

pelajar

semasa

menilaikan suatu kamiran.

3.

OBJEKTIF KAJIAN

Secara

khususnya objektifkajian ini

(a)

Meninjau

secara

persaman

pembezaan pembolehubah boleh pisah yang

ialah untuk:

lebih mendalam tentang kemahiran

pelajar dalam menyelesaikan melibatkan teknik kamiran.

oleh

pelajar

dalam

(c)

Meninjau proses pemikiran matematik pelajar

semasa

menilai suatu kamiran.

(d)

Mengenal pasti

(b)

Mengenal pasti

masalah yang

dihadapi

pembelajaran

teknik

kamiran.

kesukaran yang

oleh

dihadapi

pelajar

dalam menilai suatu

kamiran.

4.

SOALAN KAJIAN

Soalan

kajian adalah

(a)

Apakah kemahiran-kemahiran

:

menyelesaikan

semasa

yang

soalan

dapat dikuasai

dan tidak dikuasai oleh

melibatkan

yang

persamaan

pelajar

pembezaan

pembolehubah boleh pisah. (b)

Apakah

masalah-masalah yang

dihadapi

oleh

pelajar

dalam

pembelajaran

teknik

kamiran.

(c)

Bagaimanakah proses pemikiran

matematik

pelajar

semasa

menilai suatu kamiran

mengikut tahap pencapaian pelajar. (d)

Apakah kamiran.

kesukaran-kesukaran yang

dihadapi

oleh

pelajar

dalam menilai suatu

3

5.

TINJAUAN LITERATUR

Seperti

yang telah

pembezaan

diketahui, pembezaan merupakan

sesuatu

fungsi

bentuk

fungsi.

membezakan

bentuk.

Walaupun fungsi

dengan

cara

secara

kamiran

yang diberikan adalah

Menurut

pelbagai

demi

simpanan

bahagian

dan

lain-lain),

Kay(2002), kebanyakan pelajar mempunyai sekali

tetapi jarang

memilih teknik kamiran yang sesuai

apabila

dalam

pelbagai

cara

dan

algoritma biasa;

ia

mengandungi teknik-teknik (gantian,

untuk memilih teknik-teknik yang sesuai

teknik kamiran,

as as

ia bukanlah suatu proses yang

kita masih boleh

kompleks,

mengkombinasikan fungsi-fungsi

kotak

mempunyai

bahagian

bagaimana

5.1

prinsipalnya kita boleh membezakan pelbagai

Sebaliknya, bagi pengkamiran pula

seolah-olah

hasil

petua-petua seperti hasil tambah, hasil

asas, bersama-sama

darab, hasil bahagi dan petua rantai,

algoritma: diberi

suatu proses

yang

bagai

memerlukan

pengalaman

menilaikan sesuatu kamiran.

penguasaan dalam

terdapat pelajar

yang

mengaplikasikan untuk

berupaya

diminta menilaikan sesuatu kamiran.

Kesukaran Dalam Teknik Kamiran

Mengapakah

sukar untuk memilih teknik yang betul untuk menilaikan sesuatu kamiran? oleh Orton

Terdapat kajian-kajian

(2002)

dan

(1983), Cipra(1989), Ferrini-Mundy (1991), Kay

Hirst(2003) tentang kepayahan

menerangkan kepayahan

dan

yang dilakukan oleh

kesilapan

Berikut adalah

menilaikan suatu kamiran.

semasa

dan

beberapa

pelajar

contoh yang

dapat

kesilapan-kesilapan tersebut.

Pertimbangkan kamiran-kamiran berikut:

(a)

f

1 2

x

(b)

+4x+3

f x2 +4x+4 dx

Kamiran di atas

hanya

berfikir bahawa

penyelesaian bagi

menggunakan

berbeza dari

teknik yang

kritis, terdapat begitu

1

1

dx

sama

besar

segi

nilai

(c)

f x2 +4x+5 dx

konstannya. Pelajar kebiasaannya

akan

menilaikan kamiran-kamiran tersebut adalah

hanya

jika kita berfikir

secara

sahaja.

perbezaan

Walau

bagaimana

pun

antara kamiran bentuk

(a), (b)

dan

(c).

Bagi

4

kamiran bentuk

(a), ungkapan penyebutnya boleh difaktorkan

kamiran tersebut

dapat

dikamirkan

dengan

ditulis semula dalam bentuk

(exact square)

menilaikan kamiran tersebut,

secara

kamiran terus

iaitu

{x + 2 y.

tetapi bagi pelajar

menggunakan

kaedah penyempurnaan kuasa dua

boleh dikenal

pasti dengan

yang

T eknik

yang

penggantian

bijak

Kita

kelihatannya hampir

sama,

u

=

x +

2

ia boleh dikamirkan kamiran bentuk

(c)

(irreducible quadratic). Dengan hasil kamiran

bagi penyebut tersebut,

mudah iaitu berbentuk songsangan tang en

(arc tan).

demikian, jelaslah bahawa kepayahan pelajar dalam menilaikan

sememangnya wujud.

Maka,

separa dan seterusnya boleh

(direct integration). Ungkapan penyebut bagi

kuadratik yang tidak boleh difaktorkan

pula merupakan

linear.

Bagi kamiran bentuk (b), didapati ungkapan penyebutnya

mudah.

adalah kuasa dua sempurna

dapat

pecahan

secara

dapati bahawa, bagi ketiga-tiga bentuk

tetapi sebenamya mempunyai

Oleh

suatu kamiran

kamiran di atas yang

teknik-teknik

penyelesaian

kamiran yang berbeza.

Kita lihat

(a)

pula kamiran-kamiran

fe-x2 dx

yang berikut:

fxe-x2 dx

(b)

Kamiran bentuk (a) adalah contoh kamiran klasik yang boleh dinilaikan

(b) pula

langsung

kelihatan

payah

hanya menggunakan dalam

nampak mudah, tetapi

kerana ia bukan dalam bentuk kamiran

untuk

teknik

asas.

ia tidak

Kamiran bentuk

dikamirkan, tetapi sebenarnya adalah mudah iaitu dengan

penggantian, maisalnya

u

=

_x2• Walau bagaimana pun

kajian Kay(2002, m.s.18), kebanyakan pelajar mempunyai

seperti berikut apabila menemui

kamiran bentuk

proses

pemikiran

(b):

2

"xe" is can't

a

product,

integrate

so

«",

I need to so

that

integration-by-partsformula.

f

xdx

X2 =

-

2

and

d

fixes

Since

2

_(e-X ) dx

integrate by parts. I can integrate x, but I

=

-2xe-

X2

my choice

of

"u" and ltv" in the

5

[get

Oh

dear, the

started with!

new

integral

[give

idea-idea

iaitu

"

products

should be

Kesilapan

Kajian

Hirst

Ini

proses

akan

Idea

integrated by parts" sebenamya

adalah

membuat latih tubi agar mereka mudah

kekecewaan kerana menemui

kegagalan

fxe-x2 dx seperti di atas.

Dalam Teknik Kamiran

(Tahun dalam

adalah berkaitan

tidak

topik

dinyatakan) mendapati kalkulus.

bahawa

Kesilapan-kesilapan

pelbagai kesilapan

dilakukan

yang dilakukan oleh mereka

dengan "generalization, intuition, inadequacy of concepts, instrumental

understanding, problem of language, symbol manipulation control".

I

fungsi.

berulangan, contohnya menilaikan kamiran bentuk

pelajar

one

teknik kamiran untuk menilaikan suatu kamiran.

begitu, pelajar sering digamit

5.2

oleh

than the

kepayahan kepada pelajar apabila berdepan dengan kamiran bentuk

dapat mengenal pasti pelbagai

yang

worse

tentang konsep kamiran.

kesahannya. Pelajar perlu banyak

Namun

is

contoh di atas yang melibatkan hasil darab dua

pengkamiran terhad

right-hand side

mengilustrasikan bagaimana kebiasaannya

pemikiran pelajar terhadap

(b) seperti

the

up.

Contoh-contoh di atas

menimbulkan

on

Antara

kesilapan yang telah

and lack

dianalisis oleh Hirst adalah

of meta-cognitive

seperti

berikut:

6

(a)

Kesilapan Mengekstrapolasi:

Petua kamiran

fungsi

demi

bahagian

hasil darab.

bahagian

Dalam petua

membezakan kedua-dua

fungsi

fx

cos xdx

=

�X2( -sinx)

kebiasaannya memahami

boleh

seeara

C.

+

bagi pembezaan

yang

bahagian pelajar mengandaikan

adalah songsangan petua suatu

bagi pembezaan

hasil darab kita akan

fungsi

terlibat, jadi bagi teknik kamiran bahagian demi

mereka akan

mengkamirkan

Kebanyakan pelajar

mengunakan petua

yang melakukan

hasil darab

verbal tidak formal tentang

kedua-dua

fungsi seperti

kesilapan begini

dengan baik, tetapi pelajar gagal

prosedurnya.

Mereka

mengekstrapolasi

petua dalam pembezaan kepada petua dalam pengkamiran iaitu "kamiran bagi darab

fungsi adalah

hasildarab kamiran

segi bahasa

adalah sonsangan

yang

mengandaikan hasil

bagi petua

bahawa kamiran

darab

pembezaan (fg),:= gf' + fg', maka bagi pengkamiran

f

x cos xdx

=

i x2

cos X +

x(

hasil

pengajaran

iaitu

bahagian

demi

iaitu

bagi

fg.

Jadi

pelaj ar

amat

matematik itu sendiri.

Terdapat juga pelajar

bahagian

suatu

setiap fungsi", Dengan kata lain, terdapat

masalah kekaburan tentang petua-petua yang diberikan dalam proses kekaburan dari

suatu

-

sin x)

+

Di sini

c.

dapat

dalam

ffg

=

pembezaan g

x

ff

+

fx

dirumuskan bahawa

gemar memelihara sesuatu bentuk yang telah sedia ada dalam fikiran mereka.

Kita lihat

pula

contoh-contoh ini:

f�:= Apabila

In(1+3x)

1+3x

3

In(l + 3x) kita

akan

kita terbitkan

memperoleh fungsi

yang

sepatutnya kita

kamirkan, kecuali terdapat tambahan nilai 3, maka kita akan bahagikan jawapan tadi

dengan

nilai 3.

prosedur

iaitu

"

Bagi

eontoh yang kedua

juga, pelajar didapati

membahagi dengan terbitan bagi fungsi

ianya hanya benar apabila terbitan di

dalam

di dalam

merumuskan satu

kurungan".

kurungan tersebut adalah pemalar

Di

atau

sini,

fungsi

7

di dalam

kurungan

fungsi di

mana

sering pelajar

kemungkinan untuk

adalah linear.

dalam

Tetapi pelajar

mengeksrapolasi kepada

telah

Seseorang pelajar

disebabkan oleh arahan yang tidak betul iaitu

pelajar kebiasaanya

atas

diminta

Kesilapan "equation balancing"

Kesalahan dalam kamiran

adalah disebabkan kita telah

juga

"

tentang prinsip "equation balancing" iaitu

contoh ini 1

f (1 +u)

3

menegaskan

Jika anda melakukan

disebelah kanan dan kiri suatu persamaan, maka

du

=

Inl1 + ul3

contoh pertama,

mana

pelajar hanya

f

1 2

dx

=

+4x+7

x

Inlx2

4x

+

akan

mengkuasakan tiga

+

dalam contoh tersebut,

asas

x

yang dilakukan

digantikan dengan polinomial x2

oleh Maurer

dinyatakan)

matematik

menunjukkan

semasa

peringkat pembelajaran

(1987)

bahawa

pembelajaran

sarna

Perhatikan

1

f (1 +u) du Inl1 ul, di

iaitu

kesilapan

P-dx

asas

4x

+

7

mana

Dari

pelajar

=

lnlxl,

di

mana

.

dan

kesilapan-kesilapan

matematik akan berterusan

hinggalah

tinggi. Ianya mengesahkan cadangan­

dan ditekankan

dan intuition" maka

berlaku dalam kursus-kursus di

+

(1994)(Dalam Heirdfield,

struktur sukar untuk dielakkan.

menerbitkan kesalahan-kesalahan struktur.

+

=

asas

kepayahan

dan Norman & Pritchard

pula pelajar didedahkan

dengan sendiri,

bahawa

matematik yang lebih

reversibility, generalization

itu

yang

di kedua-dua belah persamaan tersebut.

pula pelajar menggunakan petua

Analisis di atas ini

konsep

algebra

71.

x

cadangan

perkara

adalah sarna".

nilainya

pelajar telah menggunakan petua

Manakala contoh kedua

konsep

dalam

pula:

Bagi

tidak

keadaan di

mengekstrapolasi

menyemak kamiran dengan membezakan hasil kamiran tersebut.

(b)

ke

situasi di

Ia adalah suatu kesalahan yang

adalah tidak linear.

kurungan

lakukan.

telah

Dalam

tahun

pengajaran

dengan konsep seperti "flexibility,

secara

paradoksnya konsep-konsep

pandangan

konstrutivist

ini

ianya hanya

membentuk makna atau maksud sesuatu

8

Secara umumnya tidak

Artikel

topik pengkamiran. Integration"

topik

ini.

banyak penyelidikan

Orton(1983) bertajuk

adalah satu-satunya artikel yang

Beliau telah

mengklasifikasikan

kepada "structural", "arbitrary" skema Donaldson.

Kesilapan

and

Manakala

kesilapan

indikasi bahawa

kebanyakan pelajar

kefahaman

asas

BATASAN KAJlAN

Kajian

ini terbatas

kepada pelajar Pembezaan

Universiti Pendidikan Sultan Idris.

pelajar

dalam menilaikan 2

pelajar hanya

jenis

Dapatan kajian

sedang mengikuti

min

or

grasp

3.40 berdasarkan

skomya

some

arose

from failure

"

those which involved

subject

failure

to

essential to

principle

the constraints laid down in what

yang telah

masih

dibincangkan

dangkal

serta

kursus

ini

seramai 120 orang yang

Permulaan) bagi

behaved

was

given",

to carry out

di atas, jelas memberikan cetek

pemikiran dalam

bagaimana

prosedur

Tinjauan

proses

sedang mengikuti

semester

Kajian tertumpu kepada

bentuk kamiran.

melibatkan tentang

teknik kamiran yang betul dan tersebut.

dalam menilaikan kamiran

kalkulus.

6.

TMK2043(Persamaan

membincangkan tentang

the principles involved may have been understood".

Daripada beberapa kajian lepas

konsep

pelajar

topik khususnya

Understanding of

adalah "those in which the

"executive" adalah

manipulations, though

eksklusif

dengan

in the problem

to take account

failed

kesalahan

"Students'

"structural" bermaksud "those which

Kesilapan "arbitrary" pula

arbitrarily

secara

dan "executive"

appreciate the relationships involved solution".

yang dibuat tentang

2

sesi

kursus

2003/2004

proses

pemikiran

matematik

proses

pemikiran

matematik

pemikiran mereka dalam memilih

yang dilakukan

semasa

menggunakan

teknik

hanya dapat digeneralisasikan bagi pelajar-pelajar

TMK2043(Persamaan

Pembezaan

sesi 2003/2004 di Universiti Pendidikan Sultan Idris.

di

Permulaan) bagi

yang

semester 2

9

7.

METODOLOGI KAJIAN

7.1

Reka Bentuk

Kajian

yang

Kajian

dijalankan

adalah berbentuk kuantitatif dan kualitatif melibatkan

tiga

fasa

iaitu:

Fasa 1:

Kajian

fasa 1 ini

pelajar

dalam

bertujuan

untuk

menyelesaikan

lebih mendalam tentang penguasaan

pembezaan pembolehubah

persamaan

penelitian

sedang mengikuti kursus TMK2043(Persamaan

semester 2 sesi

secara

boleh

pisah

yang

120

skrip

terperinci

1 tentang kemahiran-kemahiran yang dikuasai dan tidak dikuasai oleh

jawapan Ujian yang

secara

Fasa ini melibatkan

melibatkan teknik kamiran.

pelajar

meninjau

Pembezaan

Permulaan) bagi

2003/2004 di Universiti Pendidikan Sultan Idris.

Fasa 2:

Di dalam fasa 2

dalam

kajian

dihadapi

ini, kajian dijalankan terhadap pelajar seramai

fasa 1

secara

tinjauan melalui soal

oleh mereka dalam

selidik

120 orang yang terlibat

bagi mengenal pasti masalah

yang

pembelajaran teknik kamiran.

Fasa 3:

Kajian

fasa 3

matematik

pula dijalankan

pelajar

mengenal pasti

semasa

kesukaran-kesukaran yang

Di dalam fasa ini

kebolehan

pelajar (lemah,

Ujian

kualitatif

menilai suatu kamiran

kamiran.

dalam

secara

1 untuk

penyelidik

menggunakan teknik-teknik kamiran menjawap menggunakan

proses

pemikiran

mengikut tahap pencapaian pelajar

dihadapi

oleh

memilih 5 orang

sederhana dan

menyelesaikan

bertujuan meninjau

cemerlang)

pelajar

dalam menilai suatu

pelajar

berdasarkan

dari

setiap kategori

pencapaian pelajar

soalan tentang menilaikan suatu kamiran

yang tertentu

teknik "think-aloud".

secara

temu

serta

duga klinikal

serta

dengan

pelajar

10

Merrifield

dan

Pearn

tahun

(1999)(Dalam Heirdsfield,

mencadangkan

bahawa temu

kaedah

sangat efektif dalam mengumpulkan maklumat

yang

matematik

pelajar.

klinikal yang

duga

Dalam temu

duga

pelajar dengan bertanya kepada pelajar kamiran.

tidak

Penyelidik

Penyelidik juga

tidak akan

Semasa menilai kamiran

menjawab

7.2

mendorong pelajar

(Tall

&

Rashidi, 1993).

Piaget merupakan

tentang pemikiran ali ran

dan

suatu

duga sedang berjalan.

apabila perlu, penyelidik akan

meneruskan

(verbalize)

Setiap pelajar

tempoh 20

pemikiran

pelajar menilaikan

tersebut, pelajar akan melaksanakannya

melibatkan

ini

seramai

Pembezaan

Universiti Pendidikan Sultan Idris

pelajar

berdasarkan

dari

setiap kategori

pencapaian pelajar

120

penilaian kamirannya. secara

apa

"think-aloud", di

sahaja

dalam

yang terlintas

kajian

ini diminta

minit.

Instrumen

Terdapat 3

bagi

bagi

sedang

semester

fasa 1 dan fasa 2.

kebolehan

dalam

yang

Ujian

dipilih

secara

bagi

sederhana dan

rawak untuk

menggunakan teknik kamiran

fasa 3, lima

cemerlang)

menyelesaikan

yang sesuai.

Ujian

kajian

ini iaitu:

1 yang melibatkan persamaan

pembezaan pembolehubah

pisah. Soalan ini

kursus

sesi 2003/2004 di

Manakala

pelajar (lemah, 1

2

mengikuti

Kajian

instrumen dalam

Satu soalan

pelajar

Permulaan)

soalan ten tang menilaikan suatu kamiran

(a)

semasa

mencelah ketika sesi temu

soalan tersebut dalam

TMK2043(Persamaan

7.3

perlu

dinyatakan)

Sampel Kajian

Kajian

orang

mana

mereka diminta untuk membuat pernyataan

dalam fikiran mereka

untuk

di

oleh

penyelidik mengikuti

mengeluarkan pendapatnya

soalan-soalan yang

menyoal

mana

banyak

klinikal

diperkenalkan

tidak

mempunyai

7 kemahiran iaitu:

bentuk persamaan

pembezaan pembolehubah boleh pisah,

1.

mencam

2.

melakukan proses memisahkan

pembolehubah.

boleh

11

1

3.

menentukan teknik kamiran

4.

menilaikan kamiran tak tentu

kamiran

secara

bagi

2

ds

f (s

bagi

.

1 +

1)

2

ds

teknik

menggunakan

gantian.

5.

menentukan teknik kamiran

6.

menilaikan kamiran tak tentu

bagi

flntt

bagi

dt.

flnt

t

dt

menggunakan

teknik kamiran

gantian.

secara

menentukan

7.

f (s+1)

penyelesaian bagi

persamaan

pembezaan pembolehubah

boleh pisah dalam bentuk tak tersirat.

Ujian

yang dibina ini terdiri

serta kesesuaian soalan ini

daripada

soalan-soalan

mengikut silibus

mutu

dan format

2043(Persamaan

Pembezaan

dengan konstruk,

kursus TMK

Permulaan).

(b)

Satu set soal selidik terbuka yang

Bahagian

mengandungi

2

bahagian:

1:

Bahagian ini mengandungi butiran ten tang pelajar iaitu nama dan

markah

Ujian

1.

Bahagian 2: Bahagian dari

(c)

ini

pula

terdiri

pelajar tentang masalah mereka

Satu set soalan yang

mengandungi

dengan menggunakan teknik

7.4

Data

Pengumpulan

1 dan

semasa

2 soalan

kamiran

secara

mempelajari

mendapatkan

respon

teknik kamiran.

tentang menilaikan kamiran tak

gantian dan pecahan

tentu

separa.

Data

kajian dikumpul mengikut

peringkat

1 soalan terbuka untuk

daripada

3

peringkat seperti

yang dihuraikan di bawah.

2, data dianalisis menggunakan perisian SPSS 11.0

.

Bagi

12

Peringkat 120

1:

skrip jawapan pelajar bagi

satu

soalan dalam

Ujian

1

bagi

Kursus TMK 2043

(Persamaan Pembezaan Permulaan) bagi

Semester 2 Sesi 2003/2004 yang melibatkan

soalan tentang

pembezaan pembolehubah

menguji

penyelesaian

persamaan

7 kemahiran dianalisis

dikuasai dan tidak dikuasai. Markah

kemahiran yang

kemahiran itu

pelajar

secara

pelajar bagi

mengenalpasti

tidak

bagi

menguasai

"

untuk

sesuatu

serta

kemahiran yang

menguasai

kemahiran itu.

setiap

sesuatu

Analisis

untuk menentukan peratus dan min keseluruhan

deskriptif

penguasaan kemahiran yang dikuasai oleh

pelajar bagi setiap

Tahap penguasaan pelajar dikategorikan seperti

Jadual 7.1:

pisah

soalan tersebut akan diarnbil dan

kuasai akan diberikan label "1

dan label "2"

seterusnya dibuat

teliti untuk

secara

boleh

kemahiran yang

diuji.

dalam jadual 7.1.

Kategori Tahap Penguasaan Pelajar

Tahap Penguasaan

Minmarkah

Baik

6-8

Sederhana

4-5.9

Lemah

2-3.9

Sangat Lemah

0-1.9

Peringkat 2: Bagi

soal selidik terbuka dalam

yang

dihadapi oleh

dan disenaraikan yang

mereka

bahagian

semasa

mengikut peratus

2 yang diberi

kepada pelajar,

pembelajaran topik

masalah yang

masalah-masalah

teknik kamiran akan dianalisis

paling tinggi hinggalah peratus masalah

paling rendah.

Peringkat 3: Semua sesi audio temu

duga

klinikal

dipindahkan kepada

tahap pencapaian pelajar dalam Ujian berpencapaian

sederhana dan 5

tersebut dianalisis untuk

1

iaitu

5

berpencapaian lemah.

meninjau bagaimana

mengikut tahap pencapaian pelajar

serta

proses

mengenal pasti

bentuk 15

transkrip mengikut

berpencapaian cemerlang, Transkrip

pemikiran

5

duga

klinikal

matematik

pelajar

temu

kesukaran yang

dihadapi

oleh

13

pelajar

semasa

bagaimana cara

menilaikan suatu kamiran. Analisis ini melibatkan dua

pemikiran pelajar

proses

melakukan teknik kamiran yang

8

ANALISIS DATA

8.1

Profil

dari

aspek strategi pemilihan

ini

terdiri

dipilih itu.

120

daripada

Pembezaan

TMK2043(Persamaan

orang

Permulaan) bagi

Universiti Pendidikan Sultan Idris. Seramai 19 -

10 iaitu

markah antara 11

(33.33%)

orang

8.2

-

20 iaitu

pelajar mendapat

dalam

Ujian

Persoalan

1 yang

Kajian

menunjukkan

mengikuti

yang 2

semester

(15.83%)

orang

sesi

2003/2004 di

pelajar mendapat

61

(50.83%)

orang

markah 21

30 iaitu

-

pelajar sahaja

mendapat

markah

menunjukkan sederhana

mempunyaijumlah markah penuh

taburan markah

bagi

30.

dikuasai dan tidak dikuasai oleh yang

120 orang

dapat menyelesaikan

iaitu 8 markah.

bahawa penguasaan

sahaja.

pelajar

1:

yang

penuh

markah

kategori pelajar berpencapaian

melibatkan

pelajar

yang

pelajar

soalan tersebut

Min markah

dalam

menjawap

bagi

persamaan

menjawap

tentang persamaan pembezaan pembolehubah boleh pisah dalam Ujian 1. orang

kursus

kategori pelajar berpencapaian sederhana dan 40

Apakah kemahiran-kemahiran yang dapat pelajar semasa menyelesaikan soalan pembezaan pembolehubah boleh pisah Jadual 8.1

pelajar

kategori pelajar berpencapaian lemah,

mendapat

cemerlang

teknik kamiran dan

Responden

Responden kajian

antara 0

aspek iaitu tentang

soalan

Terdapat

3

dengan betul dengan

soalan ini adalah 3.76

soalan ini adalah

pada tahap

14

Taburan Markah

Jadual 8.1:

Pelajar Bagi Soalan Tentang Persamaan Pembezaan

Pembolehubah Boleh Pisah Markah

Kekerapan(peratus)

0

4(3.3) 4(3.3)

Jadual 8.2

beberapa orang

4

38(31.7)

5

7(5.8)

6

18(15.0)

7

4(3.3)

8

3(2.5)

Min

3.76

98.3%

tersebut iaitu persamaan

75%

pelajar

yang

pembezaan

50%

bagi

menggunakan

f (s

1 +

1)

2

dapat menguasai

pelajar ds

,

tidak

yang

boleh

secara

dikuasai oleh

soalan tersebut

pisah.

Analisis

tak

.

flnt t

dt

.

maka

betul.

hanya

3

Didapati

pembolehubah bagi bahawa

bagi

f (s

1 +

1)

2

ds

dengan

teknik kamiran tak tentu

gantian

bagi

serta menilaikan kamiran tak

Peratusan pelajar yang dapat menguasai kemahiran-kemahiran

tersebut adalah 44.2%, 35%,45% dan 33.3%

menyelesaikan

dengan

disebabkan

juga menunjukkan

tentu

t

tentu b agi

dalam

kemahiran menentukan teknik

gantian, menentukan secara

begitu,

pelajar,

kemahiran memisahkan

kamiran

f l� dt dengan menggunakan teknik kamiran

Namun

pisah.

dapat menguasai

menilaikan

teknik kamiran

dapat

pisah

dalam

mencamkan bentuk persamaan

dapat

boleh

menyelesaikan

pembezaan pembolehubah

kurang daripada

yang

pelajar

boleh

pembezaan pembolehubah

pelajar

penting

yang boleh

penguasaan kemahiran

terperincinya

secara

kemahiran lain yang

persamaan

kamiran

16(13.3)

Didapati

pelajar sahaja

terdapat

3

soalan tentang persamaan

1 tersebut.

pembezaan

26(21.7)

pula menunjukkan

menyelesaikan Ujian

2

persamaan

masing-masingnya,

pembezaan pembolehubah

boleh

tersirat, hanya 40.8% pelajar dapat menguasainya. Tahap

pisah

penguasaan

Bagi kemahiran dalam bentuk tak

pelajar bagi soalan

15

ini adalah lemah

bahawa

menunjukkan tersebut tidak

dengan

tetapi

markah keseluruhan adalah 3.76.

mm

Analisis ini

mencamkan bentuk persamaan

walaupun pelajar dapat

jelas

pembezaan

disebabkan penguasaan yang lemah dalam teknik kamiran, maka mereka soalan ini

dapat menjawap

Jadua18.2:

dengan baik.

Penguasaan Kemahiran Dalam Menyelesaikan

Soalan

Tentang

Persamaan Pembezaan Pembolehubah Boleh Pisah

Kemahiran Mencam bentuk persamaan

Kekerapan(%)

pembezaan pembolehubah boleh pisah.

Melakukan proses memisahkan

pembolehubah.

Mengenalpasti teknik kamiran bagi

Menilaikan kamiran tak tentu

118(98.3)

bagi

f (s

f (s

1

1)

+

2

1 +

1)

2

ds

75(62.5) 53(44.2) .

ds menggunakan teknik kamiran

42(35.0) secara

gantian.

Mengenalpasti

teknik kamiran

Menilaikan kamiran tak tentu

Menentukan penyelesaian bentuk tak tersirat,

8.3

Persoalan

Apakah

bagi

bagi

fluft

54(45.0)

dt.

Slut �t menggunakan

40(33.3) teknik kamiran

secara

gantian.

bagi persamaan pembezaan pembolehubah boleh pisah dalam

kajian

49(40.8)

2:

masalah-masalah yang

dihadapi

oleh

pelajar

dalam

pembelajaran

teknik kamiran

Jadual 8.3 menunjukkan masalah yang dihadapi oleh kamiran.

Daripada

masalah yang

pelajar

yang

120 orang

dihadapi

oleh mereka dalam

menyatakan

menyatakan masalah

pelajar

yang

pelajar

menjawab

pembelajaran

hadapi.

Tiga

pembelajaran

teknik

soal selidik terbuka tentang

teknik

mereka tiada masalah dan

yang mereka

dalam

10

kamiran, terdapat

orang

3 orang

pelajar pula

masalah utama yang

dihadapi

tidak

oleh

16

ialah sukar

pelajar

mengingati

teknik kamiran yang sesuai

rumus

(22.5%)

Jadual 8.3

:

dalam teknik kamiran

dan tidak

Masalah

menguasai

(24.2%),

teknik kamiran

sukar memilih

(19.2%).

Pembelajaran Teknik Kamiran

Masalah

Kekerapan

Peratus

dalam teknik kamiran

29

24.2

Sukar memilih teknik kamiran yang sesuai

27

22.5

Tidak menguasai teknik kamiran

23

19.2

Keliru dan cuai dalam proses

12

10.0

10

8.3

3

2.5

2

1.7

2

1.7

Sukar mengingati

rumus

Sukar menentukan

menggunakan teknik kamiran

gantian yang sesuai dalam teknik penggantian

Tidak boleh selesai soalan berbentuk Keliru Tiada

aplikasi

dengan pembezaan keyakinan diri

Tidak memahami kehendak soalan

0.8

Kurang latihan menggunakan teknik kamiran yang pelbagai bentuk

0.8

JUMLAH

8.4

8.4.1

Bagi

110

Persoalan

Kajian 3: Bagaimanakah proses pemikiran matematik pelajar kamiran mengikut tahap pencapaian pelajar. Analisis Temu

soalan

membuat tersebut.

pemilihan

Duga Pelajar Berpencapaian Cemerlang Bagi

menilai suatu

Soalan 1

betul. Mereka

dengan jelas

dan mudah

teknik kamiran yang sesuai iaitu teknik

dapat

memikirkan untuk

penggantian bagi

Bukti-buktinya adalah seperti berikut:

"

yang saya

"Soalan ini

semasa

1, empat daripada lima pelajar berpencapaian cemerlang ini dapat

menjawapnya dengan

...

91.7

...

nampak ni bentuk dia

...

...

saya

gunakan kaedah penggantian

ka1au nak selesaikan masalah ini

"

(P13/1/2)

...

...

harus guna

gantian

" ...

(P5/l/2)

soalan