Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I
DEFINICIÓN DE RAÍZ ENÉSIMA Llamaremos raíz enésima de "a" y lo representaremos así que cumpla la cond...
DEFINICIÓN DE RAÍZ ENÉSIMA Llamaremos raíz enésima de "a" y lo representaremos así que cumpla la condición de que elevado a "n" sea igual a "a": n a = x / xn = a Al número "n" se le llama índice de la raíz. Al símbolo "
na
a otro número real "x" tal
" se le llama radicando.
Al conjunto n a se le llama "raíz enésima de a". Ejemplo: 3
8 =x Habrá que buscar un número que elevado al cubo obtengamos 8: x3 = 8 x3 = 23 x=2 Si n = 2, se dice raíz cuadrada y no suele escribirse el índice: 6 → Raíz cuadrada de 6 Si n = 3, se dice raíz cúbica: 3 6 → Raíz cúbica de 6
NÚMEROS RADICALES Los números radicales son números irracionales dados por raíces de números racionales. Ejemplo: 5 , 7 , 5.21 , etc. son números radicales: ¿Es
4 un número radical? No, pues
4 =2
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOS RADICALES DEMOSTRACIÓN 1
Si a ∈ℜ*
y n ∈ N, demuestra que
na
=
n ⋅m
am
x= na Aplicando la definición de raíz enésima xn = a Elevamos ambos miembros a "m" (xn)m = am Aplicamos la propiedad de potencia de una potencia xn·m = am Aplicando la definición de raíz enésima x=
n ⋅m
am
Sustituimos na 3
=
n ⋅m
am c.s.q.d. Ejemplos:
52 = 5 =
3⋅5
52⋅5 =
2⋅3 3
5
=
15 10
5
6
53
Abel Martín & Marta Martín Sierra
1
Radicales. Propiedades. Operaciones con radicales
Aplicando esta propiedad podremos SIMPLIFICAR expresiones radicales cuando el índice y los exponentes de las potencias que se encuentren dentro del radicando sean divisibles por un mismo número: 12
53 =
Tanto el índice (12) como el exponente (3) son divisibles por 3: 12
=
3
5
4
=
3
=
3
51 =
=
4
5
01. Simplifica, con lápiz y papel, los siguientes radicales: (a) 6 36
(b) 12 8000
(c)
8
144
(a) 6 36 36 18 9 1
2 2 32 1
36 = 22 · 32 = 6 2 2 ⋅ 32 = El índice y todos los exponentes son divisibles por 2: procedemos simplificar: 3 1
Podemos dividir el índice y todos los exponentes por 3 4 2
2 ⋅5 =
= 4 20 (c)
8
144
144 72 36 18 9 1
2 2 2 2 32 1
144 = 24 ·32 8
24 ⋅ 32 =
Podemos dividir el índice y todos los exponentes por 2 = 2
4 2
2 ⋅ 3 = 4 12
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Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I
EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL Si tenemos
n
an ⋅ b = Aplicando la definición de producto de radicales
= n a n · n b = a· n b Esto se le conoce como extraer factores fuera del radical.
SUMA Y RESTA DE RADICALES Dados 2 radicales semejantes, la suma de ellos es otro radical semejante cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los sumandos; es decir, para que 2 o más radicales puedan ser sumados han de ser semejantes. a n m + b n m = (a + b) n m
12 +
01. Simplifica el resultado de la siguiente operación con radicales 22 ⋅ 3 +
52 ⋅ 3 –
=2 3 +5 3 –
75 –
3
3 = 3
3 =6
RAÍCES DE RAÍCES "ENCADENADAS" DEMOSTRACIÓN 1
Si a ∈ℜ*
n m
y n, m ∈ N, demuestra que
a=
n⋅m
a
m x= n a
Aplicando la definición de raíz enésima xn =
m
a
Aplicando la definición de raíz enésima (xn)m = a Aplicando la definición de potencia de una potencia xn·m = a Aplicando la definición de raíz enésima x=
n⋅m
a
Sustituimos n m
a =
n⋅m
a
c.s.q.d.
01. Simplifica el resultado de la siguiente operación con radicales 28 =
8
28 = 2
02. Simplifica el resultado de la siguiente operación con radicales 30
215 ⋅ 2 5 ⋅ 2 4 =
30
2 24 =
5
3+5 = 8 =
22 ⋅ 2 = 2
Abel Martín & Marta Martín Sierra
2
3
2
5
24
24
03. Simplifica el resultado de la siguiente operación con radicales
3 + 21 + 4 =
256
3 + 21 + 10 + 6
2
3
Radicales. Propiedades. Operaciones con radicales
PRODUCTOS Y DIVISIONES DE RADICALES DEMOSTRACIÓN 1
Si a ∈ℜ*
y n ∈ N, demuestra que
na ·nb
n
=
a⋅b
x= na
y= nb
Aplicando la definición de raíz enésima
Aplicando la definición de raíz enésima
n
yn = b
x =a Multiplicamos miembro a miembro xn · yn = a · b
Aplicamos la propiedad de producto de potencias de igual exponente (x · y)n = a · b Aplicando la definición de raíz enésima x·y=
n
a ⋅b
Sustituimos na ·nb
=
n
a⋅b
c.s.q.d.
DEMOSTRACIÓN 2
Si a ∈ℜ*
y n ∈ N, demuestra que
a : nb = n b
na
DEMOSTRACIÓN
x= na
y= nb
Aplicando la definición de raíz enésima
Aplicando la definición de raíz enésima
n
yn = b
x =a Dividimos miembro a miembro
xn y
=
n
a b
Aplicamos la propiedad de cociente de potencias de igual exponente n
x a = b y
Aplicando la definición de raíz enésima
x a =n y b Sustituimos n n
4
a
a =n b b
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c.s.q.d.
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Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I
x ⋅ x3 ⋅ x4 ⋅ x
01. Simplifica RESOLUCIÓN
3
4
= x⋅x ⋅x ⋅x = = x 2
9
2
=
2
2
= x ⋅x ⋅x ⋅x ⋅x =
= x4 02. Simplifica
3
4
6
x3 ⋅ x 2 ⋅ x 4 ⋅
12
x
x3
RESOLUCIÓN
Como sólo podemos efectuar productos y divisiones de igual índice, calculamos el mcm de los índices y transformamos cada raíz en otras equivalentes de mismo índice, efectuando las operaciones oportunas para que no se modifique cada ninguna de ellas: mcm de los índices: 12
=
12
12
( x 3 )4
( x 2 )3
12
12
( x 4 )2
x3 =
En la práctica se procede directamente así: =
12
12
x12 =
12
= =
x6
12
12
x8
x3 =
x12 ⋅ x 6 ⋅ x8 ⋅ x 3 = 12
12
x12 ⋅ x17 =
x12 ⋅ x12 ⋅ x 5 =
= x2
12
x5
RACIONALIZACIÓN DE RADICALES CUADRÁTICOS Racionalizar una fracción consiste en quitar o eliminar números irracionales del denominador: Veamos varios tipos de racionalización: (1) En el denominador tenemos sólo una raíz cuadrada: a b
(2) En el denominador tenemos una raíz de índice distinto a dos. a n
b (3) En el denominador tenemos una suma o una resta en la que al menos uno de los términos es una raíz cuadrada. a a a b± c
b ±c
b± c
La calculadora realiza de automáticamente cualquier operación en la que haya que racionalizar, siempre y cuando sean radicales cuadráticos:
(1) EN EL DENOMINADOR TENEMOS SÓLO UNA RAÍZ CUADRADA REGLA PRÁCTICA con lápiz y papel: Se multiplica y divide por la propia raíz cuadrada del denominador. 01. Racionaliza
25 5
Abel Martín & Marta Martín Sierra
5
Radicales. Propiedades. Operaciones con radicales
25
5
·
5
=
5
25 ⋅ 5 =5 5 5
Como puedes ver, lo que es indudable es que ya no hay raíces en el denominador: está RACIONALIZADO. ¿Será correcta la solución?
3
02. Racionaliza
5 3 Procedemos a quitar números irracionales del denominador: 3
3
5 3
=
3
3⋅ 3 5 ⋅ ( 3)
2
=
3⋅ 3 3 = 5⋅3 5
(2) En el denominador tenemos una raíz de índice distinto a dos. REGLA PRÁCTICA con lápiz y papel: Sea la raíz enésima de una potencia ab → n a b Para racionalizar se multiplica y divide por la propia raíz enésima del denominador con el radicando an – b 03. Racionaliza
25 3
52 Procedemos a quitar números irracionales del denominador: 3
25 3
04. Racionaliza
·
3
52
51
5 3− 2
=
25
3
3
53
5
=
25 ⋅ 3 5 = 53 5 5
33 4 3
2 Procedemos a quitar números irracionales del denominador: 3⋅ 4
3
3
3
2
22
⋅3
22
3
3 ⋅ 4 ⋅ 22 3
=
3
23
3
=
3
3⋅ 2⋅ 2 3 ⋅ 22 ⋅ 22 3 = =3⋅ 2 2 2 3
(3) En el denominador tenemos una suma o resta en la que uno de los términos es una raíz cuadrada REGLA PRÁCTICA con lápiz y papel: Para racionalizar se multiplica y divide por el conjugado de la expresión que aparece en el denominador 05. Racionaliza
16 1− 5 Procedemos a quitar números irracionales del denominador:
16
·
1+ 5
=
1− 5 1+ 5
1 − 5 2
=
06. Racionaliza
16 ⋅ (1 + 5 )
=
2
16 ⋅ (1 + 5 ) 16 ⋅ (1 + 5 ) = = 1− 5 −4
16 ⋅ (1 + 5 ) =–4–4 5 −4
2⋅ 3 − 2 3+ 2
Procedemos a quitar números irracionales del denominador: