PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOS RADICALES

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I DEFINICIÓN DE RAÍZ ENÉSIMA Llamaremos raíz enésima de "a" y lo representaremos así que cumpla la cond...
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Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I

DEFINICIÓN DE RAÍZ ENÉSIMA Llamaremos raíz enésima de "a" y lo representaremos así que cumpla la condición de que elevado a "n" sea igual a "a": n a = x / xn = a Al número "n" se le llama índice de la raíz. Al símbolo "

na

a otro número real "x" tal

" se le llama radicando.

Al conjunto n a se le llama "raíz enésima de a". Ejemplo: 3

8 =x Habrá que buscar un número que elevado al cubo obtengamos 8: x3 = 8 x3 = 23 x=2 Si n = 2, se dice raíz cuadrada y no suele escribirse el índice: 6 → Raíz cuadrada de 6 Si n = 3, se dice raíz cúbica: 3 6 → Raíz cúbica de 6

NÚMEROS RADICALES Los números radicales son números irracionales dados por raíces de números racionales. Ejemplo: 5 , 7 , 5.21 , etc. son números radicales: ¿Es

4 un número radical? No, pues

4 =2

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOS RADICALES DEMOSTRACIÓN 1

Si a ∈ℜ*

y n ∈ N, demuestra que

na

=

n ⋅m

am

x= na Aplicando la definición de raíz enésima xn = a Elevamos ambos miembros a "m" (xn)m = am Aplicamos la propiedad de potencia de una potencia xn·m = am Aplicando la definición de raíz enésima x=

n ⋅m

am

Sustituimos na 3

=

n ⋅m

am c.s.q.d. Ejemplos:

52 = 5 =

3⋅5

52⋅5 =

2⋅3 3

5

=

15 10

5

6

53

Abel Martín & Marta Martín Sierra

1

Radicales. Propiedades. Operaciones con radicales

Aplicando esta propiedad podremos SIMPLIFICAR expresiones radicales cuando el índice y los exponentes de las potencias que se encuentren dentro del radicando sean divisibles por un mismo número: 12

53 =

Tanto el índice (12) como el exponente (3) son divisibles por 3: 12

=

3

5

4

=

3

=

3

51 =

=

4

5

01. Simplifica, con lápiz y papel, los siguientes radicales: (a) 6 36

(b) 12 8000

(c)

8

144

(a) 6 36 36 18 9 1

2 2 32 1

36 = 22 · 32 = 6 2 2 ⋅ 32 = El índice y todos los exponentes son divisibles por 2: procedemos simplificar: 3 1

2 ⋅ 31 =

=

= 36 (b) 12 8000 8000 23·53 8 23 1 1 8000 = 26 ·53 12

26 ⋅ 53 =

Podemos dividir el índice y todos los exponentes por 3 4 2

2 ⋅5 =

= 4 20 (c)

8

144

144 72 36 18 9 1

2 2 2 2 32 1

144 = 24 ·32 8

24 ⋅ 32 =

Podemos dividir el índice y todos los exponentes por 2 = 2

4 2

2 ⋅ 3 = 4 12

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Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I

EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL Si tenemos

n

an ⋅ b = Aplicando la definición de producto de radicales

= n a n · n b = a· n b Esto se le conoce como extraer factores fuera del radical.

SUMA Y RESTA DE RADICALES Dados 2 radicales semejantes, la suma de ellos es otro radical semejante cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los sumandos; es decir, para que 2 o más radicales puedan ser sumados han de ser semejantes. a n m + b n m = (a + b) n m

12 +

01. Simplifica el resultado de la siguiente operación con radicales 22 ⋅ 3 +

52 ⋅ 3 –

=2 3 +5 3 –

75 –

3

3 = 3

3 =6

RAÍCES DE RAÍCES "ENCADENADAS" DEMOSTRACIÓN 1

Si a ∈ℜ*

n m

y n, m ∈ N, demuestra que

a=

n⋅m

a

m x= n a

Aplicando la definición de raíz enésima xn =

m

a

Aplicando la definición de raíz enésima (xn)m = a Aplicando la definición de potencia de una potencia xn·m = a Aplicando la definición de raíz enésima x=

n⋅m

a

Sustituimos n m

a =

n⋅m

a

c.s.q.d.

01. Simplifica el resultado de la siguiente operación con radicales 28 =

8

28 = 2

02. Simplifica el resultado de la siguiente operación con radicales 30

215 ⋅ 2 5 ⋅ 2 4 =

30

2 24 =

5

3+5 = 8 =

22 ⋅ 2 = 2

Abel Martín & Marta Martín Sierra

2

3

2

5

24

24

03. Simplifica el resultado de la siguiente operación con radicales

3 + 21 + 4 =

256

3 + 21 + 10 + 6

2

3

Radicales. Propiedades. Operaciones con radicales

PRODUCTOS Y DIVISIONES DE RADICALES DEMOSTRACIÓN 1

Si a ∈ℜ*

y n ∈ N, demuestra que

na ·nb

n

=

a⋅b

x= na

y= nb

Aplicando la definición de raíz enésima

Aplicando la definición de raíz enésima

n

yn = b

x =a Multiplicamos miembro a miembro xn · yn = a · b

Aplicamos la propiedad de producto de potencias de igual exponente (x · y)n = a · b Aplicando la definición de raíz enésima x·y=

n

a ⋅b

Sustituimos na ·nb

=

n

a⋅b

c.s.q.d.

DEMOSTRACIÓN 2

Si a ∈ℜ*

y n ∈ N, demuestra que

a : nb = n b

na

DEMOSTRACIÓN

x= na

y= nb

Aplicando la definición de raíz enésima

Aplicando la definición de raíz enésima

n

yn = b

x =a Dividimos miembro a miembro

xn y

=

n

a b

Aplicamos la propiedad de cociente de potencias de igual exponente n

x a   = b y

Aplicando la definición de raíz enésima

x a =n y b Sustituimos n n

4

a

a =n b b

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x ⋅ x3 ⋅ x4 ⋅ x

01. Simplifica RESOLUCIÓN

3

4

= x⋅x ⋅x ⋅x = = x 2

9

2

=

2

2

= x ⋅x ⋅x ⋅x ⋅x =

= x4 02. Simplifica

3

4

6

x3 ⋅ x 2 ⋅ x 4 ⋅

12

x

x3

RESOLUCIÓN

Como sólo podemos efectuar productos y divisiones de igual índice, calculamos el mcm de los índices y transformamos cada raíz en otras equivalentes de mismo índice, efectuando las operaciones oportunas para que no se modifique cada ninguna de ellas: mcm de los índices: 12

=

12

12

( x 3 )4

( x 2 )3

12

12

( x 4 )2

x3 =

En la práctica se procede directamente así: =

12

12

x12 =

12

= =

x6

12

12

x8

x3 =

x12 ⋅ x 6 ⋅ x8 ⋅ x 3 = 12

12

x12 ⋅ x17 =

x12 ⋅ x12 ⋅ x 5 =

= x2

12

x5

RACIONALIZACIÓN DE RADICALES CUADRÁTICOS Racionalizar una fracción consiste en quitar o eliminar números irracionales del denominador: Veamos varios tipos de racionalización: (1) En el denominador tenemos sólo una raíz cuadrada: a b

(2) En el denominador tenemos una raíz de índice distinto a dos. a n

b (3) En el denominador tenemos una suma o una resta en la que al menos uno de los términos es una raíz cuadrada. a a a b± c

b ±c

b± c

La calculadora realiza de automáticamente cualquier operación en la que haya que racionalizar, siempre y cuando sean radicales cuadráticos:

(1) EN EL DENOMINADOR TENEMOS SÓLO UNA RAÍZ CUADRADA REGLA PRÁCTICA con lápiz y papel: Se multiplica y divide por la propia raíz cuadrada del denominador. 01. Racionaliza

25 5

Abel Martín & Marta Martín Sierra

5

Radicales. Propiedades. Operaciones con radicales

25

5

·

5

=

5

25 ⋅ 5 =5 5 5

Como puedes ver, lo que es indudable es que ya no hay raíces en el denominador: está RACIONALIZADO. ¿Será correcta la solución?

3

02. Racionaliza

5 3 Procedemos a quitar números irracionales del denominador: 3

3

5 3

=

3

3⋅ 3 5 ⋅ ( 3)

2

=

3⋅ 3 3 = 5⋅3 5

(2) En el denominador tenemos una raíz de índice distinto a dos. REGLA PRÁCTICA con lápiz y papel: Sea la raíz enésima de una potencia ab → n a b Para racionalizar se multiplica y divide por la propia raíz enésima del denominador con el radicando an – b 03. Racionaliza

25 3

52 Procedemos a quitar números irracionales del denominador: 3

25 3

04. Racionaliza

·

3

52

51

5 3− 2

=

25

3

3

53

5

=

25 ⋅ 3 5 = 53 5 5

33 4 3

2 Procedemos a quitar números irracionales del denominador: 3⋅ 4

3

3

3

2

22

⋅3

22

3

3 ⋅ 4 ⋅ 22 3

=

3

23

3

=

3

3⋅ 2⋅ 2 3 ⋅ 22 ⋅ 22 3 = =3⋅ 2 2 2 3

(3) En el denominador tenemos una suma o resta en la que uno de los términos es una raíz cuadrada REGLA PRÁCTICA con lápiz y papel: Para racionalizar se multiplica y divide por el conjugado de la expresión que aparece en el denominador 05. Racionaliza

16 1− 5 Procedemos a quitar números irracionales del denominador:

16

·

1+ 5

=

1− 5 1+ 5

1 − 5 2

=

06. Racionaliza

16 ⋅ (1 + 5 )

=

2

16 ⋅ (1 + 5 ) 16 ⋅ (1 + 5 ) = = 1− 5 −4

16 ⋅ (1 + 5 ) =–4–4 5 −4

2⋅ 3 − 2 3+ 2

Procedemos a quitar números irracionales del denominador:

2⋅ 3 − 2 3+ 2 =

6



3− 2 3− 2

=

(2 ⋅ 3 − 2 ) ⋅ ( 3 − 2 ) ( 3 )2 − ( 2 )2

=

2⋅ 3 ⋅ 3 − 2⋅ 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 = 2⋅3− 2⋅ 6 − 6 + 2 = 6 + 2 − 3 ⋅ 6 = 8 − 3 ⋅ 6 3−2 www.aulamatematica.com

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