EKONOMIA MENEDŻERSKA Wykład 6

Programowanie linowe. Zastosowania ekonomiczne.

1

PROGRAMOWANIE LINIOWE. ZASTOSOWANIA EKONOMICZNE. CENY DUALNE. ANALIZA WRAŻLIWOŚCI.

1. RACHUNEK EKONOMICZNY. ZASADY RACJONALNEGO GOSPODAROWANIA. Rachunek ekonomiczny - porównanie efektów i nakładów w celu wyboru optymalnego (najbardziej efektywnego ekonomicznie) rozwiązania wśród dopuszczalnych wariantów rozwiązań Dwie zasady racjonalnego gospodarowania: ƒ

Maksymalizacja efektów przy zadanych nakładach (z ograniczeniami dotyczącymi nakładów)

ƒ

Minimalizacja nakładów przy zadanych efektach (z ograniczeniami dotyczącymi efektów)

2. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ EKONOMICZNYCH Ekonomiczne problemy decyzyjne, które można przedstawić w postaci zadania programowania liniowego: ƒ

wyznaczenie optymalnego planu produkcji

ƒ

wybór procesów technologicznych

ƒ

układanie harmonogramu realizacji przedsięwzięć inwestycyjnych

ƒ

dobór diety

ƒ

obsada stanowisk pracy

ƒ

zadania transportowe i sprowadzalne do zadania transportowego: zadanie transportowo-produkcyjne, wybrane zagadnienia lokalizacji produkcji, minimalizacja pustych przebiegów

__________________________________________________________________________ Irena Woroniecka Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania

EKONOMIA MENEDŻERSKA Wykład 6

Programowanie linowe. Zastosowania ekonomiczne.

ƒ

lokalizacja ośrodka dystrybucji

ƒ

optymalne gospodarowanie zapasami

ƒ

wyznaczenie kanałów obsługi

ƒ

wybór wariantu inwestycyjnego

2

3. ZADANIE PRODUKCYJNE Zadanie produkcyjne – wyznaczenie optymalnego planu produkcji (wybór rozmiarów i struktury produkcji w przedsiębiorstwie) Zmienną decyzyjną jest:

xj – wielkość produkcji j-tego asortymentu ( j =1, …, n )

Parametrami zadania są: cj –

jednostkowy zysk ze sprzedaży asortymentu j

aij –

nakład i-tego czynnika produkcji (środka produkcji) niezbędny do wytworzenia jednostki produkcji asortymentu j

bi –

zasób i-tego środka produkcji, którym dysponuje przedsiębiorstwo ( i =1, …, m ), np. pracy, energii, surowców.

Poszukujemy planu produkcji, maksymalizującego przychody ze sprzedaży, przy ograniczonych zasobach środków produkcji: n

∑c j =1

xj

ij

x j ≤ bi

n

∑a j =1

→ max

j

( i = 1, ... , m )

maksymalizacja zysku ze sprzedaży

nakłady środków produkcji ograniczone przez zasoby

x j ≥ 0 ( j = 1, ... , n ) W zapisie macierzowym:: cx → max Ax ≤ b

x ≥ 0 __________________________________________________________________________ Irena Woroniecka Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania

EKONOMIA MENEDŻERSKA Wykład 6

Programowanie linowe. Zastosowania ekonomiczne.

3

gdzie:  a11 a A =  21  M  a m1

a12 a 22 M am2

L a1n  L a 2 n  O M   L a mn 

 x1  x  x =  2 M    xn 

 b1  b  b= 2 M   bm 

c = ( c1 , c 2 , ... , c n )

4. ZADANIE TRANSPORTOWE Zadanie transportowe – wyznaczanie optymalnego planu transportu jednorodnego towaru między dostawcami a odbiorcami (m dostawców, n odbiorców) Zmienną decyzyjną jest:

xij – ilość towaru dostarczana przez dostawcę i odbiorcy j

Parametrami zadania są: cij –

koszt transportu jednostki towaru od dostawcy i do odbiorcy j

ai –

ilość towaru jaką dysponuje dostawca i ( i =1, …, m )

bj –

zapotrzebowanie na towar odbiorcy j ( j = 1, …, n )

Poszukujemy planu przewozu minimalizującego koszty transportu: m

n

i =1

j =1

∑ ∑c n

∑x j =1

ij

ij

xij

≤ ai

→ min

minimalizacja kosztów transportu

( i = 1, ... , m )

ilość towaru wysyłana przez dostawcę do

wszystkich odbiorców jest ograniczona przez posiadaną przez niego ilość towaru m

∑x i =1

ij

≥ bj

( j = 1, ... , n )

ilość towaru dostarczona do odbiorcy

przez wszystkich dostawców powinna zaspokajać popyt dostawcy xij ≥ 0 ( i = 1, ... , m, j = 1, ... , n )

__________________________________________________________________________ Irena Woroniecka Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania

EKONOMIA MENEDŻERSKA Wykład 6

Programowanie linowe. Zastosowania ekonomiczne.

4

Zadanie transportowe zapisane w postaci standardowej: m

n

i =1

j =1

∑ ∑c

ij

xij

n

→ min

− ∑ xij ≥ − ai

( i = 1, ... , m )

j =1

m

∑x i =1

ij

≥ bj

( j = 1, ... , n )

xij ≥ 0 ( i = 1, ... , m, j = 1, ... , n )

5. CENY DUALNE. INTERPRETACJA EKONOMICZNA. Pierwotne i dualne zadanie programowania liniowego Zadanie pierwotne programowania liniowego:

cx → max Ax ≤ b

x ≥ 0

Zadanie dualne:

b ′ y → min

A ′ y ≥ c′ y ≥ 0

gdzie:

 y1  y  y= 2  M     ym 

__________________________________________________________________________ Irena Woroniecka Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania

EKONOMIA MENEDŻERSKA Wykład 6

Programowanie linowe. Zastosowania ekonomiczne.

5

Własności zadania programowania liniowego – pierwotnego i dualnego ƒ

W zadaniu dualnym jest tyle zmiennych, ile nierówności w zadaniu pierwotnym (i vice versa).

ƒ

Wagi w funkcji celu zadania pierwotnego są wyrazami wolnymi układu nierówności zadania dualnego (i na odwrót).

ƒ

Macierz współczynników układu nierówności w zadaniu dualnym jest transpozycją macierzy współczynników układu nierówności w zadaniu pierwotnym (i vice versa).

ƒ

Zadaniem dualnym względem zadania dualnego jest zadanie pierwotne.

Wybrane twierdzenia o dualności (przy założeniu, że oba zadania są niesprzeczne): ƒ

Dla dowolnych rozwiązań dopuszczalnych zadania pierwotnego i dualnego:

c x ≤ b′ y ƒ

Zadania pierwotne i dualne mają rozwiązania optymalne: x* i y*. Są to takie i tylko takie rozwiązania, przy których wartości funkcji celu obu zadań są równe:

c x * = b′ y * Zmiennymi dualnymi yi są ceny dualne, interpretowane jako ceny środków produkcji i=1, 2, …, m, które ustaliłyby się w warunkach konkurencji. Pytanie: Po jakich cenach firma konkurencyjna byłaby skłonna odkupić od naszej firmy środki produkcji? Oto zadanie wyznaczenia cen zakupu środków produkcji z punktu widzenia firmy kupującej: m

∑ i =1

y i bi

m

∑a i =1

ij

→ min

yi ≥ c j

( j = 1, ... , n )

minimalizacja kosztów zakupu

warunek opłacalności sprzedaży środków produkcji przez dysponenta

y i ≥ 0 ( i = 1, ... , m )

__________________________________________________________________________ Irena Woroniecka Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania

EKONOMIA MENEDŻERSKA Wykład 6

Programowanie linowe. Zastosowania ekonomiczne.

6

Interpretacja cen dualnych Cena dualna yi - informuje o ile poprawiłaby się wartość funkcji celu, jeśli zasób i-tego środka produkcji wzrósłby o jednostkę. Oznacza przyrost zysku, jaki dysponent zasobów mógłby dodatkowo osiągnąć, dokupując jednostkę i-tego środka produkcji. 6. DUALNE ZADANIE TRANSPORTOWE Pierwotne zadanie transportowe: m

n

i =1

j =1

∑ ∑c

ij

xij

→ min

n

− ∑ xij ≥ − ai

( i = 1, ... , m )

j =1

m

∑x i =1

ij

≥ bj

( j = 1, ... , n )

xij ≥ 0 ( i = 1, ... , m, j = 1, ... , n )

Dualne zadanie transportowe: n

m

j =1

i =1

∑ β j b j − ∑ α i ai β j − α i ≤ cij

→ max

( i = 1, ... , m, j = 1, ... , n )

β j ≥ 0 ( j = 1, ... , n ) α i ≥ 0 ( i = 1, ... , m ) Ceny dualne: αi oraz βj oznaczają ceny towaru, jakie ukształtowałyby się w warunkach konkurencji na rynku: dostawcy-pośrednicy-odbiorcy. Ceny αi to ceny, po których firma handlowo-transportowa chce zakupić towar u dostawców i sprzedać go odbiorcom po cenach βj. __________________________________________________________________________ Irena Woroniecka Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania

EKONOMIA MENEDŻERSKA Wykład 6

Programowanie linowe. Zastosowania ekonomiczne.

7

Zadanie dualne, to zadanie, które rozwiązuje wspomniana firma handlowotransportowa w warunkach konkurencji, postępując racjonalnie z punktu widzenia własnych korzyści i uwzględniając racjonalne zachowanie dostawców towaru. Maksymalizuje ona całkowitą marżę, jaką realizuje; jest to nadwyżka wartości towaru w cenach sprzedaży odbiorcom nad wartością towaru w cenach zakupu od dostawców. Ograniczenie odzwierciedla warunek opłacalności transakcji z punktu widzenia dostawców. Marża za sprzedaż i transport jednostki towaru pochodzącego od dostawcy i do odbiorcy j nie może przekraczać jednostkowych kosztów transportu, w przeciwnym razie dostawcy nie opłaca się korzystać z pośrednictwa firmy transportowej i woli sam dostarczać towar odbiorcom.

Interpretacja cen dualnych w zadaniu transportowym: Cena dualna βj - informuje o ile zmniejszyłyby się całkowite koszty transportu, gdyby j-ty odbiorca zmniejszył swoje zapotrzebowanie na towar o jednostkę. Cena dualna αi - informuje o ile zmniejszyłyby się całkowite koszty transportu, gdyby i-ty dostawca dysponował jedną jednostką towaru więcej.

__________________________________________________________________________ Irena Woroniecka Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania