Programa Entrenamiento MT-22

SOLUCIONARIO Guía de ejercitación avanzada

SGUICEN032MT22-A16V1

Cuerpos geométricos

TABLA DE CORRECCIÓN Guía de ejercitación Cuerpos geométricos ÍTEM 1

ALTERNATIVA HABILIDAD ASE D Aplicación ASE Aplicación Comprensión Aplicación Comprensión Aplicación ASE

2 3 4 5 6 7 8

E B C C B E C

9

D

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

E D C C E B D C B D B C A D D D C D A

29

C

ASE Aplicación ASE ASE Aplicación Aplicación Aplicación Aplicación ASE Aplicación Aplicación ASE ASE Aplicación Aplicación ASE ASE ASE ASE ASE

30

D

ASE

1. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

Si Área del cubo = 384 = 6a2, encontrando la arista del cubo: 64 = a2 O sea, la arista del cubo mide 8 cm. Luego:



8=a

I) Verdadera, ya que el total de aristas es 12, entonces 12 • 8 cm = 96 cm. II) Falsa, ya que Volumen = (8cm)3 = 512 cm3 III) Verdadera, ya que la diagonal de un cubo de arista a cm mide a 3 cm. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.

2. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

Al referirnos a capacidad estamos hablando del volumen del cubo, luego el volumen medido en centímetros cúbicos nos queda: Volumen del cubo  a 3  8.000 cm 3 Luego, a  3 8.000cm 3 = 20 cm. Es decir, cada arista mide 20 cm, y en total son 12 aristas, entonces, la suma de las medidas de todas las aristas es 240 cm.

3. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

Aplicando la fórmula de las áreas, tenemos

Área del cubo 1 6  a 2 9   2 16 Área del cubo 2 6  b

Donde a = arista del cubo 1, y b = arista del cubo 2. Luego,

a2 9  2 16 b



a 3  b 4

Luego, la razón entre los volúmenes es

Volumen del cubo 1 a 3 27 = 27: 64.  3  Volumen del cubo 2 64 b

4. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

El área del paralelepípedo se calcula por: Área del paralelepípedo = 2(largo · ancho + ancho · alto + alto · largo) Luego, reemplazando los valores, tenemos: Área del paralelepípedo = 2(48 + 18 + 24) = 2·90 = 180 cm2

5. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Comprensión

Calculemos los volúmenes de los cubos. Volumen cubo menor = 8a3 Volumen cubo mayor = 64a3 El volumen del cubo menor está contenido 8 veces en el cubo mayor.

6. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

Sean a el ancho, h la altura y l el largo del paralelepípedo. como a : h : l = 2 : 3 : 4, entonces a = 2k, h = 3k y l = 4k con k constante. Luego: a + h + l = 18  2k + 3k + 4k = 18  9k = 18  k = 2 Por lo tanto: a = 2k = 2 ∙ 2 = 4 cm ; h = 3k = 3 ∙ 2 = 6 cm ; l = 4k = 4 ∙ 2 = 8 cm Entonces:

Volumen = a ∙ h ∙ l  Volumen = 4 ∙ 6 ∙ 8  Volumen = 192 cm3

7. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Comprensión

La cantidad de caras de un icosaedro es 20.

8. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

El volumen de un prisma es igual a Área de la base · Altura. Luego, reemplazando:

 lado 2   3  · Área = 6 ·   4 

 22   3 · 5 =6·   4   

2  5 = 6 ·   3 · 4 

5 = 3 15

9. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

I)

Verdadera, ya que un poliedro es un cuerpo geométrico en los que todas las superficies que lo limitan son polígonos, por lo tanto, todas sus caras son planas, condición que cumple el cubo.

II)

Verdadera, ya que un prisma es un cuerpo geométrico que tiene una pareja de caras basales que son polígonos congruentes paralelos entre sí y las caras laterales son paralelógramos, condición que cumple el cubo.

III)

Verdadera, ya que un paralelepípedo es un cuerpo geométrico en el cual todas sus caras son paralelógramos, condición que cumple el cubo.

Por lo tanto, todas son verdaderas.

10. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

El volumen de un prisma se calcula: Volumen prisma = área base · altura. Si la base es un hexágono regular de lado 4 cm, entonces se puede descomponer en seis triángulos equiláteros de lado 4 cm. Entonces, el área del hexágono regular se calcula 6

lado 2  3 lado 2  3 3 .  4 2

Luego, como el lado del hexágono regular mide 4 cm, entonces el área de la base mide: 4 2  3 3 16  3 3 área    24 3 . 2 2

Como todas las caras del prisma tienen igual área, entonces las seis caras laterales son rectángulos de área 24 3 . Por lo tanto, si la base del rectángulo mide 4 cm, entonces la altura mide 6 3 , y coincide con la altura del prisma. Luego, el volumen del prisma mide 24 3 · 6 3 = 24 · 6 · 3 = 432 cm 3.

11. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

1 (Área de la base · Altura). Luego: 3 1 1 4.950 Área = · 152 · 22 = · 225 · 22 = = 1.650 cm3 3 3 3

El volumen de una pirámide es igual a

12. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

Si todas las aristas son de igual medida, entonces las caras laterales son cuatro triángulos equiláteros. Si a es la medida de la arista, entonces el área basal corresponde a un cuadrado de lado a, luego su área es a2, y el área lateral está formada por cuatro triángulos equiláteros a2 3  a2 3 4 Por lo tanto, la razón pedida es:

de lado a, luego su área es 4 

área basal a2  área lateral a 2 3 área basal 1  área lateral 3

(Simplificando) (Racionalizando)

área basal 3  área lateral 3

13. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

Al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura en torno al lado AB , se genera un cilindro de radio BC , y altura 30 cm. Como AB : BC = 2 : 1, entonces BC = 15 cm. Luego, el volumen de ese cilindro es:

30

Volumen cilindro = πr2 • h = 225π • 30 = 6.750π cm3

14. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

El área de un cilindro es igual a la suma de las áreas que lo limitan. Luego: Área cilindro = 2πr2 + 2πrh = 2π · 42 + 2π · 4 · 6 = 32π + 48π = 80π cm2

15

15. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

Volumen cilindro = π ∙ r2 ∙ h Como el cilindro está lleno en

3 de su capacidad con agua, entonces: 4

3 π ∙ r2 ∙ h 4 3 Volumen agua = π ∙ (4 cm)2 ∙ 10 cm 4 Volumen agua = 120 π cm3

Volumen agua =

16. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad Vcilindro = πr2h Vcilindro = 3 ∙ 102 ∙ h Vcilindro = 300h

Cuerpos geométricos Aplicación (Reemplazando π por 3 y r por 10)

Como el cilindro se llena completamente con 1,2 litros de agua (1.200 cm³), significa que: 300h = 1.200, luego h = 4 cm

17. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

El cuerpo que se genera está formado por dos conos iguales, de altura 2 y radio 2 V= V= V=

 r2 h 3

  22  2 3 8 3

(Sustituyendo) (Calculando)

Debemos multiplicar el volumen por 2, luego el volumen del cuerpo generado es

16 3

18. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

Al rotar indefinidamente el segmento PQ de coordenadas P(6, 3) y Q(3, 7) en torno a la recta x = 3, se genera un cono de radio 3 y altura 4. Luego, calculamos el volumen de ese cono. Volumen cono = Volumen cono =

 r2 h 3

  32  4 3

Volumen cono = 12

19. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

El cuerpo que se genera es un cono de altura 5 y radio 5: V= V=

 r2 h 3

  52  5

3 125 V= cm3 3

20. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

Si se ubican los puntos en el plano cartesiano resulta el dibujo adjunto. Luego, el triángulo ABC corresponde a un triángulo rectángulo de catetos 3a y 2a. Si el triángulo se gira indefinidamente en torno al lado BC se genera un cono de radio 3a y altura 2a.

El volumen de un cono se calcula: Volumen cono =

 r2 h 3

Por lo tanto, reemplazando radio = 3a y altura = 2a, se obtiene: Volumen cono = Volumen cono =

  (3a) 2  2a 3

(Calculando)

  9a 2  2a 3

Volumen cono = 6a  3

21. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

En un cono, el radio, la altura y la generatriz forman un triángulo rectángulo, donde el radio y la altura son los catetos y la generatriz es la hipotenusa. Por lo tanto, la generatriz es mayor que el radio y que la altura, pero entre la medida del radio y la medida de la altura no existe una relación de orden establecida. Por lo tanto: I)

Verdadero.

II)

Verdadero, ya que como generatriz > radio (Multiplicando por π · radio) π · radio · generatriz > π · radio2 Área lateral > Área basal Entonces, el área lateral es mayor que el área basal.

III)

Falso.

Por lo tanto, solo I y II son verdaderas.

22. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 15 cm y 20 cm, entonces, por trío pitagórico, la hipotenusa mide 25 cm. Además, al trazar la altura que cae sobre la hipotenusa, es posible calcular la medida de esa altura y de las proyecciones mediante el teorema de Euclides, como lo indica el dibujo. Luego, al girar el triángulo en torno a la hipotenusa resultan dos conos de base común cuyo radio mide 12 cm, y con alturas de 9 cm y 16 cm, como muestra el dibujo.

20

15 12

9

16 25

12

12

9

El

16

volumen

de un cono se calcula: 1 Volumen cono     radio 2  altura 3

Luego, como uno de los conos tiene radio = 12 cm y altura = 9 cm, entonces su volumen 1 1 mide: Volumen cono     12 2  9 cm 3     144  9 cm 3  432  cm 3 3 3 Además, el otro cono tiene radio = 12 cm y altura = 16 cm, entonces su volumen mide: 1 1 Volumen cono     12 2  16 cm 3     144  16 cm 3  768  cm 3 3 3 Por lo tanto, volumen total mide: 432  cm3 + 768  cm3 = 1.200  cm 3.

23. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación 4   radio 3 . 3

El volumen de una esfera se calcula como Luego, radio = 3

24 3 3 3  24   18 cm. 4 4 3

 

El área de una esfera se calcula como 4π·radio². Luego, Área = 4π· 3 18 Al desarrollar la raíz, resulta

 18  3

2

 3 18  18  3 3  3  2  3  3  2  3  3 12

Por lo tanto, el área de la esfera mide (4π· 3 3 12 ) = 12  3 12 cm².

24. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos Aplicación

El volumen de una esfera de diámetro 6 cm y radio 3 cm, es: Volumen esfera =

4r 3 3

=

4  3 3 4  27 = = 36 3 3

Luego, el volumen de la esfera es 36π cm3

25. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

2

Cuerpos geométricos ASE

Debemos analizar en cuánto varía el radio. Si el radio es r, y aumenta en un 20% el nuevo radio es Luego, el volumen con el nuevo radio es:

288 3 r 125

6 r. 5

cm²

288 = 1,728 = 172,8% 125 Por lo tanto varía en un 72,8%

Dividiendo:

26. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

La razón entre las áreas de dos esferas es igual al cuadrado de la razón entre sus radios. La razón entre los volúmenes de dos esferas es igual al cubo de la razón entre sus radios. Por lo tanto, como el área de la esfera original mide A, si se asignan las variables: R 1: radio de la esfera original R 2: radio de la segunda esfera A 2: área de la segunda esfera V 1: volumen de la esfera original V 2: volumen de la segunda esfera 3

 R2   . Como la esfera original se divide en dos partes  Entonces se puede plantear: V 1  R 1  iguales, cada una de ellas tiene la mitad del volumen de la esfera original, es decir: V2

3

V2 1 R2 1  R 2  1 1 1  . Luego,   , entonces 3  3 . V 2  V 1 , o sea: 2  R 1  V1 2 R1 2 2 2 2

2  R2  A2  1  1 A      3   3 . Por lo tanto, A 2  3 . Por otro lado, , entonces   A  R1  A  2 4 4 A Luego, el área de la segunda esfera es 3 . 4

A2

27. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

(1) La diagonal del cubo mide 6 3 cm. Con esta información, sí es posible determinar el área del cubo, ya que se puede determinar la arista del cubo. (2) El volumen del cubo mide 216 cm3. Con esta información, sí es posible determinar el área del cubo, ya que podemos determinar la arista del cubo. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.

28. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

(1)El área de una de las caras circulares del cuerpo formado es 16π cm2 y el área del rectángulo es 32 cm2. Con esta información, sí es posible determinar el volumen del cilindro generado, ya que se puede saber que el radio mide 4 cm y la altura 8 cm. (2)La altura del cilindro formado mide 8 cm. Con esta información, no es posible determinar el volumen del cilindro generado, ya que falta el radio de la base. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.

29. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

(1) El perímetro de la base mide 12  cm. Con esta información, no es posible determinar el volumen de un cono, ya que se puede conocer el radio pero no la altura. (2) La altura del cono mide 9 cm. Con esta información, no es posible determinar el volumen de un cono, pues no se conoce el radio.

Con ambas informaciones, sí es posible determinar el volumen del cono, ya que podemos determinar el radio y la altura es conocida. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.

30. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Cuerpos geométricos ASE

(1) El radio de la esfera mide 9 cm. Con esta información, sí es posible determinar el área de una esfera, ya que solo reemplazamos en la fórmula. (2) El volumen de la esfera mide 972 cm3. Con esta información, sí es posible determinar el área de una esfera, ya que podemos determinar el radio. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.